KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG - Vted

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAMPROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAMPROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

1

KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG (ĐỀ SỐ 01)

*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn

Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại www.vted.vn Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Mã đề thi 132

Họ, tên thí sinh:..................................................................... Trường: ........................................... Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp trực tiếp Một số dấu hiệu xác định chân đường cao của hình chóp:

• Nếu SA1 ⊥ ( A1A2...An )⇒ SA1 chính là đường cao của hình chóp. • Nếu (SAk Ak+1) ⊥ ( A1A2...An ) thì SH ⊥ Ak Ak+1 ⇒ SH ⊥ ( A1A2...An ). • Nếu SAk = SAk+1 = SAk+2 ⇒ SH ⊥ ( A1A2...An ) với H là tâm ngoại tiếp tam giác Ak Ak+1Ak+2. • Nếu (SAk Ak+1),(SAk Ak−1) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy ( A1A2...An ) thì SAk ⊥ ( A1A2...An ).

Các bạn nên nhớ nhanh để làm bài thi trắc nghiệm; khi trình bày tự luận thì áp dụng tương tự cách chứng minh trong bài giảng.

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI ĐIỂM

Xét hai điểm phân biệt M , N và mặt phẳng (P).

• Nếu MN / /(P), ta có d( M ,(P)) = d(N ,(P)).

• Nếu MN ∩ (P) = I , ta có

d( M ,(P))d(N ,(P))

=MINI

.

Đặc biệt trong trường hợp này với I là trung điểm đoạn MN , ta có d( M ,(P)) = d(N ,(P)).

Nhận xét: Vậy mặt phẳng (P) cách đều hai điểm M , N ⇔

(P) / / MNI ∈ (P)

⎡

⎣⎢⎢ với I là trung điểm đoạn thẳng

MN . Phương pháp đổi điểm được thực hiện như sau: Ta sẽ đổi khoảng cách từ điểm M về điểm N sao cho thoả mãn đồng thời hai điều kiện:

• (P) là mặt bên của một hình chóp (H ). • N là chân đường cao của hình chóp (H ).

Khi đó khoảng cách từ N đến (P) xác định đơn giản và sử dụng tỷ số khoảng cách theo hai trường hợp liệt kê phía trên. Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD). Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SCD).

2BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAMPROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

2 BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAMPROXCHOTEEN2K–DUYNHẤTTẠIVTED.VN

A. h =

a 34

. B. h =

a 155

. C. h =

a 217

. D. h =

a 73

.

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 4a,SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC). Tính khoảng cách h từ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng (SBC).

A. h =

a 33

. B. h =

2a 33

. C. h = a 3. D. h =

2a 39

.

Câu 3. Cho tứ diện ABCD. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn đỉnh A, B,C, D của tứ diện đã cho ? A. vô số mặt phẳng. B. 4 mặt phẳng. C. 7 mặt phẳng. D. 3 mặt phẳng. Câu 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ′A ′B ′C có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB =1, AC = 2, A ′A = 2. Tính khoảng cách h từ ′C đến mặt phẳng ( ′A BC).

A. h =

a 62

. B. h =

a 63

. C. h =

a 23

. D. h =

a 32

.

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SD =

3a2

, hình chiếu vuông góc

của S lên mặt phẳng ( ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng

(SBD).

A. h =

2a3

. B. h =

a3

. C. h =

4a3

. D. h =

3a4

.

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC! = 300, mặt bên (SBC) là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC). Tính khoảng cách h từ C đến mặt phẳng (SAB).

A. h =

a 313

. B. h =

a 1313

. C. h =

a 1339

. D. h =

a 3913

.

Câu 7. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ′A ′B ′C có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB =1, AC = 2, A ′A = 2. Gọi M là trung điểm cạnh C ′C . Tính khoảng cách h từ M đến mặt phẳng

( ′A BC).

A. h =

63

. B. h =

64

. C. h =

612

. D. h =

66

.

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy ( ABCD), BAD! =1200, M là trung điểm cạnh BC và SMA! = 450. Tính khoảng cách h từ D đến mặt phẳng (SBC).

A. h =

a 62

. B. h =

a 64

. C. h =

a 66

. D. h =

a 63

.

Câu 9. Cho hình lăng trụ ABC. ′A ′B ′C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của ′A lên mặt phẳng ( ABC) là trung điểm cạnh AB, góc giữa đường thẳng ′A C và mặt phẳng đáy bằng

600. Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng ( AC ′C ′A ).



3

A. h =

3a 1313

. B. h =

a 1313

. C. h =

2a 1313

. D. h =

3a 1326

.

Câu 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SCD).

A. h =

a6

. B. h =

2a6

. C. h =

a 34

. D. h =

a 32

.

Câu 11. Cho tứ diện ABCD. Các điểm M , N , P lần lượt trên các cạnh AB, AC, AD thoả mãn

AMAB

=12

, ANAC

=13

, APAD

=23

. Kí hiệu h1,h2 ,h3 lần lượt là khoảng cách từ M , N , P đến mặt phẳng

(BCD). Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. h2 < h1 < h3. B. h2 > h1 > h3. C. h1 < h2 < h3. D. h2 < h3 < h1. Câu 12. Cho hình lăng trụ ABC. ′A ′B ′C . Các điểm M , N , P lần lượt thuộc các cạnh A ′A , B ′B ,C ′C sao

cho AMA ′A

=23

, BNB ′B

=12

, CPC ′C

=13

. Kí hiệu h1,h2 ,h3 lần lượt là khoảng cách từ M , N , P đến mặt phẳng

( ABC). Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. h1 > h2 > h3. B. h1 < h2 < h3. C. h1 > h3 > h2. D. h1 < h3 < h2. Câu 13. Cho hình lăng trụ ABC. ′A ′B ′C . Các điểm M , N thuộc cạnh A ′A sao cho AM = MN = N ′A . Gọi (α),(β) lần lượt là các mặt phẳng qua M , N và song song với mặt phẳng đáy ( ABC). Kí hiệu

h1,h2 ,h3 lần lượt là khoảng cách từ ′A đến mặt phẳng ( ABC),(α),(β). Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. h1 =

32

h2 = 3h3. B. h1 = 2h2 = 4h3. C. h1 = 3h2 = 9h3. D. h1 =

32

h2 = 2h3.

Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC) bằng 9. Các điểm M , N

trên cạnh SA sao cho SMSA

=13

, SNSA

=12

. Tính tổng khoảng cách từ M , N đến mặt phẳng ( ABC).

A. 212

. B. 152

. C. 6. D. 92

.

Câu 15. Cho ba mặt phẳng (α),(β),(γ) song song với nhau. Điểm A thuộc mặt phẳng (α), biết khoảng cách từ A đến các mặt phẳng (β),(γ) lần lượt là 9 và 3. Một đường thẳng d thay đổi cắt cả

ba mặt phẳng (α),(β),(γ) lần lượt tại M , N , P. Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = MN 2 +

144MP

là ?

A. 108. B. 72 43 . C. 96. D. 72 33 . Câu 16. Cho hình lăng trụ ABCD. ′A ′B ′C ′D . Các điểm M , N , P lần lượt thuộc các cạnh A ′A , B ′B ,C ′C

sao cho AMA ′A

=12

, BNB ′B

=23

, CPC ′C

=13

. Mặt phẳng ( MNP) cắt cạnh D ′D tại Q. Biết khoảng cách từ P

đến mặt phẳng ( ABCD) bằng 12. Tính khoảng cách h từ Q đến mặt phẳng ( ABCD). A. h = 6. B. h = 9. C. h = 4. D. h = 3.



Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm M , N , P lần lượt trên các

cạnh SA,SB,SC sao cho SMSA

=12

, SNSB

=23

, SPSC

=13

. Mặt phẳng ( MNP) cắt cạnh SD tại Q. Biết

khoảng từ S đến mặt phẳng ( ABCD) bằng h0. Tính khoảng cách h từ Q đến mặt phẳng ( ABCD).

A. 27

h0. B. 57

h0. C. 16

h0. D. 56

h0.

Câu 18. Cho hình hộp ABCD. ′A ′B ′C ′D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Hình chiếu vuông góc của ′A lên mặt phẳng ( ABCD) trùng với O. Biết tam giác ′A AC vuông cân tại ′A . Tính khoảng cách h từ D đến mặt phẳng ( AB ′B ′A ).

A. h =

a 66

. B. h =

a 23

. C. h =

a 26

. D. h =

a 63

.

Câu 19. Cho hình hộp ABCD. ′A ′B ′C ′D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Hình chiếu vuông góc của ′A lên mặt phẳng ( ABCD) trùng với O. Biết tam giác ′A AC vuông cân tại ′A . Tính khoảng cách h từ D đến mặt phẳng (BC ′C ′B ).

A. h = a. B. h =

a2

. C. h =

a 63

. D. h =

a 66

.

Câu 20. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Điểm H thuộc cạnh AC sao cho

CH =

a 33

. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC) tại H lấy điểm S sao cho CSA! = 900.

Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SBC).

A. h =

a 69

. B. h =

2a 69

. C. h =

a 63

. D. h =

a 66

.

Câu 21. Cho khối chóp S.ABC có SA⊥ (SBC),SA = SC = 4,SB = 3, BC = 5. Tính khoảng cách h từ S đến mặt phẳng ( ABC).

A. h = 6 34

17. B.

h = 34

12. C.

h = 2 34

17. D.

h = 34

4.

Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên

SA⊥ ( ABCD),SA = a 3. Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SBC).

A. h = a 3

2. B.

h = 2a

3. C.

h = 3a

4. D.

h = 4a

3.

Câu 23. Cho hình thoi ABCD cạnh bằng a, tâm O và AC = a, từ trung điểm H của cạnh AB dựng

SH ⊥ ( ABCD) với SH = a. Tính khoảng cách h từ H đến mặt phẳng (SCD).

A. h = a

2. B.

h = a 7

3. C.

h = a 3

2. D.

h = a 21

7.

Câu 24. Cho hình lập phương ABCD. ′A ′B ′C ′D cạnh bằng a, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng

( ′A BD).



5

A. h = a

3. B.

h = a

2. C.

h = a

6. D.

h = a

3.

Câu 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ′A ′B ′C ′D có ba kích thước là a,b,c. Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng ( AC ′B ).

A. h = abc

a2b2 + b2c2 + c2a2.

C. h = ab+ bc + ca

a2 + b2 + c2.

B. h = abc

3 a2b2 + b2c2 + c2a2.

D. h = ab+ bc + ca

3 a2 + b2 + c2.

Câu 26. Cho lăng trụ đứng ABC. ′A ′B ′C có AB = 1, AC = 2, BAC! = 1200 và kí hiệu D là trung điểm

cạnh C ′C , biết BD ′A! = 900. Tính khoảng cách h từ ′A đến mặt phẳng ( ABC).

A. h = 5. B. h = 2 5. C. h = 7. D. h = 2 7. Câu 27. Cho hình hộp ABCD. ′A ′B ′C ′D có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng

a, ′A AB! = BAD! = ′A AD! = 600. Tính khoảng cách h từ ′A đến mặt phẳng ( ABCD).

A. h = a 6

9. B.

h = a 6

6. C.

h = a 6

3. D.

h = a 6

2.

Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác cân

tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ( ABCD). Biết SC = 3a

2. Tính khoảng cách h từ

S đến mặt phẳng ( ABCD).

A. h = 3a

4. B.

h = 2a

3. C.

h = a

3. D. h = a.

Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có SB = a, tất cả các cạnh còn lại bằng b. Tính khoảng cách h từ S đến mặt phẳng ( ABCD).

A. h = ab

a2 + b2. B.

h = a

ba2 + b2 . C.

h = b

aa2 + b2 . D.

h = a a2 + b2

b.

Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và tam giác SCD vuông cân tại S. Tính khoảng cách h từ S đến mặt phẳng ( ABCD).

A. h = a 3

2. B.

h = a

2. C.

h = a 3

4. D.

h = a 5

5.

Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD). Gọi I là trung điểm cạnh AB. Tính khoảng cách h từ I đến mặt phẳng

(SCD).

A. h = a 3

3. B.

h = a 6

6. C.

h = a 3

2. D.

h = a 2

2.



Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA⊥ ( ABCD). Biết khoảng

cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng a 3

3. Tính độ dài SA.

A. SA = a. B. SA = a 3. C. SA = 2a. D. SA = a 2. Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên

SA⊥ ( ABCD),SA = a 3. Tính khoảng cách h từ O đến mặt phẳng (SBC).

A. h = a 3

2. B.

h = a 3

4. C.

h = 3a

4. D.

h = 4a

3.

Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD! = 600 và

SA = SB = SD = a 3

2. Tính khoảng cách h từ S đến mặt phẳng ( ABCD).

A. h = a 15

6. B.

h = a 6

3. C. h = a. D.

h = a

2.

Câu 35. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,SA = SB = SC = a 6 và BC = 2a. Tính khoảng cách h từ S đến mặt phẳng ( ABC).

A. h = a 5. B. h = a 2. C. h = a 30

6. D. h = 2a.

Câu 36. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA = a 6

2 và vuông

góc với mặt phẳng đáy ( ABC). Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SBC).

A. h = a 2

4. B.

h = a 6

3. C.

h = a 2

2. D.

h = a 3

4.

Câu 37. Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA⊥ ( ABC). Tam giác ABC cân tại A có

AB = 2a, BAC! = 1200. Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SBC).

A. h = a 10

30. B.

h = 4a

3. C.

h = 3a

4. D.

h = 3a 10

10.

Câu 38. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a, gọi O là tâm mặt đáy, biết SO = a 3

3.

Tính khoảng cách h từ O đến mặt phẳng (SBC).

A. h = a 15

15. B.

h = a 5

15. C.

h = a 5

5. D.

h = a 3

5.

Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D với AD = 2a, DC = a, AB = 2a. Gọi I là trung điểm cạnh AD, hai mặt phẳng (SIB),(SIC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy góc 600. Tính khoảng cách h từ I đến mặt phẳng (SBC).



7

A. h = a 15

15. B.

h = a 15

5. C.

h = 3a 15

10. D.

h = 3a 5

5.

Câu 40. Cho tứ diện ABCD đều cạnh a, tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (BCD).

A. h = a 3

3. B.

h = a 6

3. C.

h = a 33

12. D.

h = a 3

2.

Câu 41. Cho hình chóp S.ABC có ASB! = CSB! = 600, ASC! = 900,SA = SB = SC = a. Tính khoảng cách h từ S đến mặt phẳng ( ABC).

A. h = 2a 2

3. B.

h = a 3

3. C.

h = a 6

3. D.

h = a 2

2.

Câu 42. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và ASB! = 600, BSC! = 900,CSA! = 1200. Tính khoảng cách h từ S đến mặt phẳng ( ABC).

A. h = a

2. B.

h = a 3

2. C.

h = a 2

2. D.

h = a 3

4.

Câu 43. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ′A ′B ′C ′D có AB = 1, AD = 2, A ′A = 3. Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng ( ′A BD).

A. h = 6

7. B.

h = 7

6. C.

h = 36

49. D.

h = 49

36.

Câu 44. Cho hình hộp ABCD. ′A ′B ′C ′D có tất cả các cạnh bằng nhau và A ′C = 3a. Biết các góc tại đỉnh A bằng nhau và bằng 600. Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng ( ′A BD).

A. h = a 3. B. h = a 3

3. C. h = a. D.

h = 2a

3.

Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O,SO ⊥ ( ABCD). Biết

AC = 2, BD = 2 3,SO = 1. Tính khoảng cách h từ O đến mặt phẳng (SBC).

A. h = 21

7. B.

h = 3

2. C.

h = 3

7. D.

h = 7

3.

Câu 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 3, BC = 4,SC = 5. Tam giác SAC nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Các mặt phẳng (SAB) và (SAC) tạo với nhau góc α

thoả mãn cosα=

329

. Tính khoảng cách h từ đỉnh S đến mặt phẳng ( ABCD).

A. h = 4. B. h =

3 294

. C. h = 5. D. h = 2 5.

Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A và D, đáy nhỏ của hình thang là CD, cạnh bên SC = a 15. Tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm cạnh AD, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SHC) bằng 2 6a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. V = 8 6a3. B. V =12 6a3. C. V = 4 6a3. D. V = 24 6a3.



Câu 48. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 8, BC = 6. Biết SA = 6 và vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC). Tồn tại một điểm M thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và cách đều tất cả các mặt của hình chóp một khoảng bằng h. Tính h.

A. h =

49

. B. h =

23

. C. h =

43

. D. h =

29

.

Câu 49. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng 1. Các điểm M1, M2 lần lượt trên các cạnh BC,CD sao cho BM1 = 2017CM1,CM2 = 2018DM2. Gọi d1 là tổng khoảng cách từ M1 đến các mặt phẳng

( ABD),( ACD) và d2 là tổng khoảng cách từ M2 đến các mặt phẳng ( ABC),( ABD). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. d1 = d2 =1. B. d1 > d2. C. d1 = d2 =

23

. D. d1 < d2.

Câu 50. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tồn tại một điểm M nằm bên trong hình chóp và cách đều tất cả các mặt của hình chóp một khoảng bằng h. Tính h.

A. h =

( 6− 2)a12

. B. h =

( 6− 2)a4

. C. h =

( 6− 2)a2

. D. h =

( 6− 2)a6

.

CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN DÀNH CHO 2K – 2K1 – 2K2 – 2K3 TẠI VTED

PRO XMAX – VẬN DỤNG CAO 2018 MÔN TOÁN CHO TEEN 2K

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xmax-chinh-phuc-nhom-cau-hoi-van-dung-cao-2018-mon-

toan-kh266161831.html

PRO X LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MÔN

TOÁN 2018 CHO TEEN 2K https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-

quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

PRO XPLUS – LUYỆN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2018 MÔN TOÁN

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xplus-luyen-de-thi-thu-thpt-quoc-gia-2018-mon-toan-

kh644451654.html



9

PRO XMIN –BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018 MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÀ CÁC

SỞ ĐÀO TẠO https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-xmin-bo-de-thi-

thu-thpt-quoc-gia-2018-mon-toan-cac-truong-chuyen-va-cac-so-giao-duc-dao-tao-

kh084706206.html

PRO Y NỀN TẢNG TOÁN 11 VỮNG CHẮC CHO TEEN 2K1

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-hoc-bam-sat-toan-dien-chuong-trinh-toan-11-plus-11-

kh968641713.html

PRO O CHƯƠNG TRÌNH HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 CHO TEEN 2K1

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/olympic-toan-11-kh071103157.html

PRO Z NỀN TẢNG TOÁN 10 VỮNG CHẮC CHO TEEN 2K2

https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-hoc-pro-z-nen-tang-toan-hoc-10-vung-chac-cho-teen-2k2-

kh546669683.html

ĐỘI NGŨ HỖ TRỢ VTED

KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG - Vted

Documents