Kestabilan Analisa Respon Sistem 1
Kestabilan
Analisa Respon Sistem
1
Definisi Kestabilan
Total respon output sistem :
Definisi kestabilan (berdasar natural response):
Sistem stabil jika natural response mendekati nol saat waktu
mendekati tak hingga
Sistem tidak stabil jika natural response mendekati tak hingga
saat waktu mendekati tak hingga
Sistem marginally stable jika natural response tetap/konstan
atau berosilasi teratur
Definisi kestabilan (berdasar total respon):
Sistem stabil jika setiap input yang dibatasi menghasilkan
output yang terbatas juga.
Sistem tidak stabil jika setiap input yang dibatasi
mengahasilkan output yang tidak terbatas
)()()( tctctc naturalforced
2
Apakah Sistem Ini Stabil?
Suatu sistem dengan pole di sebelah kiri bidang s ( )
menghasilkan :
Respon eksponensial yang meluruh (decay), atau
Respon sinusoidal yang teredam
Berarti natural response mendekati nol saat waktu mendekati
tak hingga sistem stabil
Sistem yang stabil hanya mempunyai poles sistem close
loop di sebelah kiri bidang s
Sistem yang tidak stabil mempunyai poles sistem close
loop di sebelah kanan bidang s dan atau mempunyai lebih
dari 1 poles di sumbu imajiner
Sistem yang marginally stable mempunyai 1 pole di
sumbu imajiner dan poles di sebelah kiri
ate
3
Apakah Sistem Ini Stabil?
4
Apakah Sistem Ini Stabil?
5
Kriteria Kestabilan Routh
Transfer function dari suatu sistem loop tertutup berbentuk :
Hal pertama memfaktorkan A(s) A(s) : persamaan karakteristik
Pemfaktoran polinomial dengan orde lebih dari 2 cukup sulit, sehingga digunakan
Kriteria Kestabilan Routh
Kriteria kestabilan Routh memberi informasi ada tidaknya akar positif pada persamaan karakterisitik bukan nilai akar tersebut
)(
)(
...
...
)(
)(
1
1
10
1
1
10
sA
sB
asasasa
bsbsbsb
sR
sC
nn
nn
mm
mm
6
Prosedur Kriteria Kestabilan Routh
1. Tulis persamaan karakteristik sistem
dalam bentuk polinomial s:
2. Semua koefisien persamaan
karakteristik harus positif. Jika tidak,
sistem tidak stabil.
3. Jika semua koefisien positif, susun
koefisien polinomial dalam baris dan
kolom dengan pola:
0... 11
10
nn
nn asasasa
7
Prosedur Kriteria Kestabilan Routh
1
0
1
1
21
2
4321
4
4321
3
4321
2
7531
1
6420
...
...
...
.
.
.
.
.
gs
fs
ees
dddds
ccccs
bbbbs
aaaas
aaaas
n
n
n
n
n
1
30211
a
aaaab
1
50412
a
aaaab
1
70613
a
aaaab
1
21311
b
baabc
1
31512
b
baabc
1
41713
b
baabc
1
21211
c
cbbcd
1
31312
c
cbbcd
8
Prosedur Kriteria Kestabilan Routh
Proses ini diteruskan sampai baris ke-n secara
lengkap. Susunan lengkap dari koefisien
berbentuk segitiga.
Syarat perlu dan syarat cukup agar sistem stabil
(memenuhi kriteria kestabilan Routh)
Koefisien persamaan karakteristik semua positif
(jika semua negatif maka masing masing ruas dikalikan minus 1 sehingga hasilnya positif)
Semua suku kolom pertama pada tabel Routh
mempunyai tanda positif.
Jika ada nilai nol lihat pada bagian kondisi khusus 9
Contoh
Contoh 4-3
Terapkan kriteria kestabilan Routh untuk :
Dengan semua koefisien positif. Susunan koefisien menjadi
Syarat agar semua akar mempunyai bagian real negatif diberikan :
0322
1
3
0 asasasa
3
01
30211
31
2
20
3
as
a
aaaas
aas
aas
a1a2 > a0 a3 10
Contoh
Contoh 4-4
Perhatikan polinomial berikut :
Ikuti prosedur untuk membuat susunan koefisien.
Pada kolom 1, terjadi dua kali perubahan tanda. Ini berarti ada dua akar positif dan sistem tidak stabil.
05432 234 ssss
5
6
51
042
531
0
1
2
3
4
s
s
s
s
s
5
3
51
021
042
531
0
1
2
3
4
s
s
s
s
s
Baris ke dua dibagi dengan 2
11
Keadaan khusus K.K.Routh 0 di kolom pertama
Bila salah satu suku kolom pertama dalam suatu baris adalah nol, maka suku nol ini diganti dengan bilangan positif yang sangat kecil.
Contoh :
s3 + 2s2 + s + 2 = 0
Susunan koefisiennya :
Bila tanda koefisiennya sama, berarti terdapat pasangan akar imajiner pada sistem. Pada persamaan di atas ada akar di
2
0
22
11
0
1
2
3
s
s
s
s
j12
Bila tanda koefisien () berlawanan, berarti ada akar positif persamaan karakteristik.
Contoh :
s3 3 s + 2 = (s 1)2 (s + 2) = 0 Susunan koefisiennya adalah
s3 1 -3
berubah tanda s2 0 2
berubah tanda s1 -3 (2/ )
s0 2
Terdapat dua perubahan tanda koefisien di kolom pertama, berarti ada dua akar positif di pers. karakteristik. Sesuai dengan persamaan awalnya sistem tidak stabil
Keadaan khusus K.K.Routh 0 di kolom pertama
13
Keadaan khusus K.K.Routh 0 di seluruh suku baris
Jika semua koefisien pada suatu baris adalah nol maka koefisien itu menunjukkan
akar akar besaran yang sama tapi letaknya berlawanan
Penyelesaian : menggantinya dengan turunan suku banyak pembantu P(s) P(s) berasal dari suku pada baris sebelumnya
Contoh :
s5 + 2s4 + 24s3 + 48s2 25s 50 = 0
Susunan koefisiennya adalah
s5 1 24 -25
s4 2 48 -50 Suku banyak pembantu P(s)
s3 0 0
14
Keadaan khusus 0 di seluruh suku baris
Susunan koefisiennya adalah
s5 1 24 -25
s4 2 48 -50 Suku banyak pembantu P(s) s3 0 0
P(s) = 2s4 + 48s2 500 dP(s)/ds = 8s3 + 96s
Sehingga susunan koefisiennya:
s5 1 24 -25
s4 2 48 -50
s3 8 96 Koefisien dari dP(s)/ds s2 24 -50
s1 112,7 0
s0 -50
Ada satu perubahan tanda, berarti ada satu akar positif. Sistem tidak stabil.
15
Aplikasi K.K.Routh
untuk analisa sistem Kontrol Tinjau sistem berikut
Fungsi alih loop tertutup Persamaan karakteristik
Susunan koefisien
Untuk kestabilan, K harus positif dan semua koefisien pada kolom pertama harus positif. Oleh karena itu,
14/9 > K > 0
Kssss
K
sR
sC
)2)(1()(
)(2
R(s) ____K______
s(s2+s+1)(s+2)
C(s) +
-
0233 234 Kssss
Ks
Ks
Ks
s
Ks
0
791
372
3
4
2
023
31
16
17
18
19
em es
ia Ra
t,q
J
B
ea
Rs La
20
)t(iK)t(
)t(dt
)t(dB
dt
)t(dJ
)t(edt
)t(diL)t(i)RR()t(e
dt
)t(dK
dt
)t(dK)t(e
am
2
2
ma
aaass
mm
t
tq
q
q
q
21
)s(IK)s(
sBsJ
)s()s(
sLRR
)s(E)s(E)s(I
)s(sK)s(E
am
2
aas
msa
mm
t
22
Es
Em
G1(s) Ia
Km t G2(s)
Km s
sBsJ
1)s(G
RRLs
1)s(G
22
asa1
23
Es T(s)
)s(G)s(GKs1
)s(G)s(GK
)s(E
)s()s(T
212m
21m
s
assa
msasaaa
m
RRR
KBRsJRBLsJLs
K
)()( 223
Jika nilai La sangat kecil
24
assa
msasa
m
RRR
KBRsRJs
KsT
)()(
22
TEMPAT KEDUDUKAN AKAR
Root Locus
Pendahuluan
Tempat Kedudukan Akar (TKA) Metode menetukan kestabilan sistem.
TKA adalah penggambaran posisi-posisi akar-akar sistem pada bidang-s dengan parameter dari 0 hingga tak hingga.
Parameter tersebut pada umumnya adalah nilai gain K pada sistem umpan tertutup
TKA memberikan penjelasan secara grafis kestabilan sistem serta kondisi-kondisi lainnya.
Bilangan Kompleks
Suatu bilangan komlpeks A=+ j dapat digambarkan dalam bidang-s sebagai berikut
Dengan
M = (2+2)
q = tan-1 (/)
j
M
j
q
s
ROOT LOCUS
ROOT = akar-akar
LOCUS = tempat kedudukan
ROOT LOCUS
Tempat kedudukan akar-akar persamaan karakteristik dari sebuah sistem pengendalian proses
Digunakan untuk menentukan stabilitas sistem tersebut: selalu stabil atau ada batas kestabilannya?
Dua Cara Penggambaran ROOT LOCUS
Cara 1: Mencari akar-akar persamaan karakteristik pada tiap inkremen harga Kc (controller gain)
Cara 2: Didasarkan pada pengalaman
Mencari harga pole dan zero
Menentukan harga breakaway point, center of gravity, asimtot
Mencari harga u (titik potong dengan sumbu imajiner, menggunakan substitusi langsung)
Contoh 1
Perhatikan diagram blok di bawah ini
Persamaan Karakteristiknya:
atau 1 + OLTF = 0
30
Kc
0.5
R(s) C(s)
)1)(13(
2
ss
0)1)(13(
1
ss
Kc
Rumus Penentuan Akar
3s2 + 4s + (1 + Kc) = 0
31
c
cK
Krr 31
3
1
3
2
6
)1(12164, 21
Gambar Root Locus
REAL
IMAJINER
X X
-1 -1/3 -2/3
Kc AKAR
0 -1; -1/3
1 -2/3 (2)/3
5 -2/3 (14)/3
10 -2/3 (29)/3
20 -2/3 (59)/3
50 -2/3 (149)/3
-
Sistem SELALU STABIL karena akar-akarnya selalu berada di sebelah KIRI
Contoh 2
Persamaan karakteristik:
0
15,0)1)(13(1
sss
Kc
33
Kc R(s) C(s)
)1)(13(
2
ss
15,0
5,0
s
Persamaan Karakteristik
015.455.1
015.0)1)(13(
015.0)1)(13(
15.0)1)(13(
015.0)1)(13(15.0)1)(13(
15.0)1)(13(
015.0)1)(13(
1
23
c
c
c
c
c
Ksss
Ksss
sss
Ksss
sss
K
sss
sss
sss
K
Gambar Root Locus
REAL
IMAJINER
X X
-1 -1/3
Kc AKAR
0 -1; -1/3; -2
1 -2.271; -0.530.55i
5 -2.77; -0.2811.168i
14 -3.3; 1.732i
20 -3.586; 0.1261.97i
30 -3.92; 0.292.279i
-
X
-2
Sistem ADA BATAS KESTABILAN karena akar-akarnya ada yang berada di sebelah KANAN
Cara 2
Persamaan karakteristik:
pole: -1/3, -1, -2; n (jumlah pole) = 3
zero: tidak ada; m (jumlah zero) = 0
0
15,0)1)(13(1
sss
Kc
Tentukan Letak Pole/Zero
REAL
IMAJINER
X X
-1 -1/3
X
-2
n m = 3 0 =
ganjil tempat
kedudukan akar
Tentukan Letak Pole/Zero
REAL
IMAJINER
X X
-1 -1/3
X
-2
n m = 2 0 = genap BUKAN
tempat kedudukan
akar
Tentukan Letak Pole/Zero
REAL
IMAJINER
X X
-1 -1/3
X
-2
n m = 1 0 = ganjil tempat kedudukan
akar
Tentukan Letak Pole/Zero
REAL
IMAJINER
X X
-1 -1/3
X
-2
Di Antara Tempat Kedudukan 2 Pole Ada BREAKAWAY POINT
0363
01223
0213/1
13/123/121
2
1
1
1
3/1
10
11
322
31
312
32
3122
11
ss
ssssss
sss
ssssss
sss
pszs
n
j j
m
i i
0.6268
1.5954
2
1
s
s DI LUAR TEMPAT KEDUDUKAN
YANG DIPAKAI
Letak Breakwaway Point
REAL
IMAJINER
X X
-1 -1/3
X
-2 -0.6
Penentuan Center of Gravity dan Sudut Asimtot
1.13
3
03
2131
31
1 1
mn
zp
CG
n
j
m
i
ij
o
o
o
mn
k
30003
2)360(180
18003
1)360(180
6003
0)360(180
)360(180
00
2
00
1
00
0
00
Center of Gravity dan Sudut Asimtot
REAL
IMAJINER
X X
-1 -1/3
X
-2 -0.6 -1.1
60o
180o
300o
Titik Potong dengan Sumbu Imajiner
015.455.1 23 cKsssSubstitusi dengan
uis
01)(5.455.1
01)(5.4)(5)(5.1
23
23
cuuu
cuuu
Kii
Kiii
3dan 0
05.45.1
05.45.1
2
2
3
uu
uu
uu
i
ii
14
01)3(5
0152
c
c
cu
K
K
K
7.1 u TITIK POTONGNYA
Titik Potong dengan Sumbu Imajiner
REAL
IMAJINER
X X
-1 -1/3
X
-2 -0.6 -1.1
1.7
-1.7
Hasil ROOT LOCUS
REAL
IMAJINER
X X
-1 -1/3
X
-2 -0.6 -1.1
TERIMA KASIH
49
Tugas
)3()(
)5)(2)(1(
1)(
ssH
sssssG
K G(s)
H(s)
C(s) R(s)
Kontroler PID
Pengendalian Sistem
Pendahuluan
Urutan cerita : 1. Pemodelan sistem
2. Analisa sistem
3. Pengendalian sistem
Contoh : motor DC 1. Pemodelan mendapatkan transfer function dan
blok sistem motor DC
2. Analisa memberikan inputan sinyal uji pada motor, menganalisa respon yang dihasilkan
3. Pengendalian mengendalikan motor agar memberikan hasil yang sesuai
Pendahuluan
Dari analisa respon sistem yang telah kita
lakukan, bagaimana respon sistem (c(t)) yang
kita inginkan?
Sesuai dengan input/r(t) (misal : unit step)
Jika tidak sesuai?
Salah satu caranya dengan menambahkan kontroler
Fungsi kontroler :
Mengendalikan sistem dengan memanipulasi sinyal
error, sehingga respon sistem (output) sama dengan
yang kita inginkan (input)
Kontroler dalam Diagram Blok
Error detector
(comparator)
Set Point
+ -
Feedback
Signal
Measurement
Devices
Error
Signal Controller
Controller
Output
Signal Actuator
Energy or
fuel
Manipulated
variable
Manufacturing
Process
Controlled
variable
Disturbances
Measured
variable
r(t) e(t) u(t)
c(t)
Definisi kontroler
Controller
Otak dari sistem.
Ia menerima error / e(t) sebagai input
Lalu menghasilkan sinyal kontrol / u(t)
U(t) menyebabkan controlled variable / c(t)
menjadi sama dengan set point / r(t)
Respon Sistem Analisa respon sistem :
Kestabilan
Respon transient (karakteristik sistem)
Error steady state
Respon yang diinginkan (set point), misal unit step. Spesifikasi :
Stabil
Karakteristik respon transient : Mp : 0 % (sekecil mungkin)
Tr, tp, ts : 0 (sekecil mungkin)
Error steady state : 0 (tidak ada error steady state
1
t
Unit step
Kontroler Proporsional (P) Persamaan matematis :
u(t) = KP . e(t)
dimana KP : konstanta proporsional
dalam Laplace
U(s)/E(s) = KP Diagram Blok
Dikenal juga sebagai : gain/penguatan
KP
U(s) E(s) +
-
Kontroler Proporsional (P) Pengaruh pada sistem :
Menambah atau mengurangi kestabilan
Dapat memperbaiki respon transien khususnya : rise time, settling time
Mengurangi (bukan menghilangkan) Error steady state Catatan : untuk menghilangkan Ess, dibutuhkan KP besar,
yang akan membuat sistem lebih tidak stabil
Kontroler Proporsional memberi pengaruh langsung (sebanding) pada error Semakin besar error, semakin besar sinyal kendali
yang dihasilkan kontroler
Grafik (di Ogata)
+
+
-
+
Aplikasi kontroler Proporsional 1 Dari K. Ogata halaman 311, plant stabil jika : 14/9 > K > 0
K = 1.2 , stabil K = 1.6 , tidak stabil
Aplikasi kontroler Proporsional 2
Tanpa Kontroler, respon lambat Dengan kontroler P, respon cepat
Contoh 2
Kontroler Integral (I) Persamaan matematis :
dimana Ki : konstanta integral
dalam Laplace
Diagram Blok
Ki / s
U(s) E(s) +
-
t
i dtteKtu0
)()(
s
K
sE
sU i)(
)(
Kontroler Integral (I)
Pengaruh pada sistem :
Menghilangkan Error Steady State
Respon lebih lambat (dibanding P)
Dapat menimbulkan ketidakstabilan (karena menambah orde sistem)
Perubahan sinyal kontrol sebanding dengan perubahan error
Semakin besar error, semakin cepat sinyal kontrol bertambah/berubah
Grafik (lihat Ogata)
+
-
-
Aplikasi kontroler Integral
Respon sistem tanpa kontroler
Aplikasi kontroler Integral
Dengan kontroler P, KP = 2
Dengan kontroler I, Ki = 1
Dengan kontroler PI
Kp = 2 , Ki = 1
Aplikasi kontroler Integral
sssG
22
1)(
12
1)(
s
sGP
)()(1
1
)(
)(
sHsGsR
sE
sss
sssE
ss
ss
sR
sE
1
12
2)(
12
2
)(
)(
2
2
2
2
01
12
2lim
)(lim
2
2
0
0
sss
sssE
ssEE
sss
sss
Perhitungan dari contoh tersebut :
ssGC
1)(
Jika transfer function plant = Jika transfer function kontroler I =
Maka transfer function open loop =
Transfer function error =
TF Error steady state =
Terbukti bahwa penggunaan kontroler I menghilangkan error steady state!
Kontroler Derivatif (D)
Pengaruh pada sistem : Memberikan efek redaman pada sistem yang
berosilasi sehingga bisa memperbesar pemberian nilai Kp
Memperbaiki respon transien, karena memberikan aksi saat ada perubahan error
D hanya berubah saat ada perubahan error, sehingga saat ada error statis D tidak beraksi Sehingga D tidak boleh digunakan sendiri
Besarnya sinyal kontrol sebanding dengan perubahan error (e) Semakin cepat error berubah, semakin besar aksi
kontrol yang ditimbulkan
Grafik (lihat Ogata)
+
+
-
Aplikasi kontroler Derivatif
Dengan kontroler P saja,
respon berosilasi Dengan kontroler PD, Kp=1, Kd = 3
Aplikasi kontroler Derivatif
01
1
1
)(
)(
1)(
2
2
2
s
ssR
sC
ssG
Perhitungan dari contoh tersebut :
01
1
1
)(
)(
1)(
2
2
2
ss
ss
s
sR
sC
s
ssG
Dengan kontroler P
Kp = 1
Dengan kontroler PD
Kp = 1, Kd=1
TF open loop
TF close loop
Persamaan
karakteristik
Akar persamaannya imajiner,
responnya berosilasi terus menerus
Akar persamaannya real negatif,
respon saat tak hingga = 0
Kontroler PID
Kombinasi beberapa jenis
kontroler diperbolehkan
PI, PD, PID
Keuntungan kontroler PID:
Menggabungkan kelebihan
kontroler P, I, dan D
P : memperbaiki respon
transien
I : menghilangkan error
steady state
D : memberikan efek
redaman
)()()()(
)()(1
)()(
)()(
1)()(
0
ssEKsEs
KsEKsU
ssETsEsT
sEKsU
dt
tdeTdtte
TteKtu
di
p
d
i
p
t
d
i
p
)()()()(
)()(1
)()(
)()(
1)()(
0
ssEKsEs
KsEKsU
ssETsEsT
sEKsU
dt
tdeTdtte
TteKtu
di
p
d
i
p
t
d
i
p
Kontroler PID Seri
Kontroler PID Paralel
Kontroler PID praktis (rangkaian)
Tuning kontroler PID
Permasalahan terbesar dalam desain kontroler PID Tuning : menentukan nilai Ki, Kp, dan Kd
Metode metode tuning dilakukan berdasar Model matematika plant/sistem
Jika model tidak diketahui, dilakukan eksperimen terhadap sistem
Cara tuning kontroler PID yang paling populer : Ziegler-Nichols metode 1 dan 2
Metode tuning Ziegler-Nichols dilakukan dengan eksperimen (asumsi model belum diketahui)
Metode ini bertujuan untuk pencapaian maximum overshoot (MO) : 25 % terhadap masukan step
Metode tuning Ziegler-Nichols 1
Dilakukan berdasar eksperimen, dengan memberikan input step pada sistem, dan mengamati hasilnya
Sistem harus mempunyai step response (respons terhadap step) berbentuk kurva S
Sistem tidak mempunyai integrator (1/s)
Sistem tidak mempunyai pasangan pole kompleks dominan (misal : j dan j, 2j dan -2j) Muncul dari persamaan karakteristik s2+1, s2+4
Respon sistem berosilasi
Metode tuning Ziegler-Nichols 1
Metode tuning Ziegler-Nichols 1
Prosedur praktis 1. Berikan input step pada sistem
2. Dapatkan kurva respons berbentuk S
3. Tentukan nilai L dan T
4. Masukkan ke tabel berikut untuk mendapatkan nilai Kp, Ti, dan Td
Tipe alat
kontrol
KP Ti Td
P T/L ~ 0
PI 0.9 T/L L/0.3 0
PID 1.2 T/L 2L 0.5L
Metode tuning Ziegler-Nichols 2
Metode ini berguna untuk sistem yang mungkin mempunyai step response berosilasi terus menerus dengan teratur Sistem dengan integrator (1/s)
Metode dilakukan dengan eksperimen Dengan meberikan kontroler P pada suatu sistem
close loop dengan plant terpasang
Gambar
Lalu nilai Kp ditambahkan sampai sistem berosilasi terus menerus dengan teratur Nilai Kp saat itu disebut penguatan kritis (Kcr)
Periode saat itu disebut periode kritis (Pcr)
Metode tuning Ziegler-Nichols 2
Metode tuning Ziegler-Nichols 2 Prosedur praktis
1. Buat suatu sistem loop tertutup dengan kontroler P dan plant di dalamnya
2. Tambahkan nilai Kp sampai sistem berosilasi berkesinambungan
3. Dapatkan responnya, tentukan nilai Kcr dan Pcr
4. Tentukan nilai Kp, Ti, dan Td berdasar tabel berikut
Tipe alat
kontrol
KP Ti Td
P 0.5 Kcr ~ 0
PI 0.45 Kcr 1/1.2 Pcr 0
PID 0.6 Kcr 0.5 Pcr 0.125 Pcr
TERIMA KASIH
77