Power Spektral Density
KERAPATAN SPEKTRUM DAYA(POWER SPECTRAL DENSITY)Sigit
Kusmaryantohttp://sigitkus.lecture.ub.ac.id
Kerapatan Spektrum Daya dalam topik ini dapat dijabarkan melalui
penjabaran spektrum Daya sinyal sinyal random dan noise. Di dalam
bab ini kita mencoba beberapa metode untuk menangani munculnya efek
noise di dalam dasar spektrum.
4.1. Kerapatan Spektrum Daya.Teorema Parseval memberikan
hubungan antara waktu ( f(t) ) dan transformasi Fourier sebagai
berikut :
4.1
Integtral sebelah kiri merupakan Daya dalam f(t) yang dikalikan
dengan r3esistansi satu ohm. Sedang asdalah Daya per unit dari
frekuensi normal untuk resis6ansi satu ohm. Daya yang terbentuk
berasal dari hasil integral tegangan dan arus dengan batas - batas
tertentu. Hubungan tegangan v(t) dan arus I(t) adalah sebagai
berikut:
E = 4.2Namun demikian kita dapat menggunakan persamaan matematik
untuk sinyal - sinyal baik arus maupun tegangan. Jika muatan
resistor satu ohm, tidak banyak perbedaanya. Untuk muatan - muatan
resistor yang bukan satu ohm, kita gunakan hukum ohm : v(t) =
Ri(t). Sebagai contoh f(t) = tegangan. Menggunakan teorema
Parseval, kita mendapatkan hubungan sebagai berikut :
Ef = 4.3a
Ef = 4.3b
Sedangkan untuk f(t) = arus kita dapat menuliskan sebagai
berikut:
Ef = 4.4a
Ef = 4.4b
Dimensi Daya dalam sistem MKS adalah joule.
Untuk resisstansi satu ohm adalah Daya per unit dari frekuensi,
biasa disebut : energy spectral density dari sinyal f(t). Energy
spectral density merupakan fungsi relattif dari energy yang
dihasilkan oleh sinyal dan frekuensi, kedua- energy spctral density
adalah total luasan di bawah energy . Kuantitas diperoleh dari Daya
variasi frekuensi. Untuk kontunu, Daya yag diperoleh adalah nol.
Jadi untuk memperoleh Daya harus ada range frekuensi untuk
pengintegralan.
Konsep dari energy spectral density merupakan satu hal penting
untuk pengantar perhitunganh spektral energy relatif melalui sistem
linier. Melihat hal itu,sinyal input f(t) dari sistem linear
invarian waktu yang ditransfer ke fungsi frekuensi adalah H(.
Keluarannya adalah spectral - density amplitodo yang dinyatakan
dlam G(:
G
Dan energy density(keadaan normal) dari G(adalah :
Daya output dari sinyal adalah :
Eg = 4.6Dengan kata lain energy density dari respon sistem
diberikan oleh energy density dari sistem input digandakan oleh
kwadrat magnitude dari fungsi sistem transfer. Semua phasa
informasi sinyal dari fungsi sistem transfer merupakan kalkulasi
dari Daya dan energy density. Namun hanya magnitude dari fungsi
sistem transfer perlu diperhatikan dalam perhitungan Daya
density.
Di dalam ilmu fisika interprestasi dari Daya density dapat
diterangkan melalui persamaan (4.6). Sinyal f(t) diumpamakan input
dari verry narrow bandpassfilter dengan fungsi transfer frekuensi
H(ditunjukkan dalam gambar 4.1. Output dari narrow band filter
adalah g(t),dapat kita temukan Dayag(t) sebagai berikut :
Eg =
=
= 4.7
dimana = sanagat kecil.
Jika sinyal f(t) bernilai real, maka F(-=F(dan . Kosekuensi
semua sinyal bernilai nyata dari energy spectral density adalah
fungsi dari w. Prosesnya adalah:Jika f(t) bernilai real setengah
dari Daya dikontribusikan dengan komponen - kompoinen frekuensi
negatif dan setengahnya lagi oleh komponen - komponen frekuensi
positif.Penandaan praktis dari pembahasan ini dapayt diralisasikan
dengan penyegaran prosedure. Diberi sinyal pulsa f(t) dimana dapat
kita temukan energy spectral density ? Salah satu jalan adalah
pendalaman penyebaba dan bentuk paralel dari narrow band filter,
semua filter - filter diletrakkan pada frekuensi berdekatan antara
yang satu dengan yang laian. Jika kita memakai f(t) untuk rangkaian
paralael filter - filter seperti gambar 4.2(a) kita dapat mengira -
ngira penyebaran energy spectral density dari f(t). Ediilustrasikan
pada gambar 4.2(b).Penandaan setengah energy dari distribusi yang
satu untuk daerah komponen - komponen frekuensi negatif ditunjukkan
gambar 4.2 . Peralatan yang digunakan untuk pembentukan fungsi
biasa disebutr multi channel spectral analyser.Ringkasan ari uraian
di atas, Daya spektral density dan sinyal merupakan energy per unit
dari frekuensi dan tampilan - tampilan dari penyebaran Daya dari
komponen frekuensi yang berbeda. Daerah di bawah Daya spectral
density memberikan Daya tanpa diberi band frekuensi.
4.2. Power Spectral densityTidak semua sinyal yang interest
mempunyai Daya terbatas . Beberapa sinyal mempunyai Daya terbatas
tetapi mungkin mempunyai rata - rata waktu Daya yang terbatas. Rata
- rata waktu dari Daya disebut rata - rata Daya dan beberapa sinyal
disebut sinyal Daya.Rata - rata waktu Daya dari sinyal diberikan
oleh :
P = 4.9Untuk sinyal periodik masing - masing periode berisi
jiplakan dari fungsi dan operasi limit dari persamaan 4.9 dapat
ditinggalkan sejauh T sesuai dengan periodenya.Persamaan 4.9
merupakan nilai kuadrat dari sinyal f(t), yang merupakan nilai rata
- rata Daya, jika resistansinya satu ohm. Skala diluar satu ohm
yang melewati dibahas pada Daya dan Daya spectral density.Analog
seperti sinyal Daya yang dibahas sebelumnya, Daya harusberhati -
hati di dalam fungsi baru dalam frekuensi yang berbeda. Ambil
contoh fungsi dari power spectral density ada Sf(w). Fungsi ini
adalah unbit - unity Daya per frekuensi dan diintegralkan dalam
daerah Daya pada fungsi f(t). Ditulis :
P = 4.10Fungsi spektrum kepadatan Daya melukiskan penyebaran
Daya terhadap frekuensi dan merupakan hal yang penting dalam sistem
praktis.
Kita dapat menggunakan perkiraan relatif dari kerapatan spektrun
Daya Sfterhadap sinyal f(t). Sinyal tenega diberikan pada gambar
4.3(a). Dari observasi sinyal Daya terdapat pada interval (-T/2,
T/2) ditunjukkan pada gambar 4.3(b). Fungsi translasi dapat ditulis
f(t) rec (t/T).
Tranformasi Fourier dari fungsi translasi f(t) rec (t/T)
adalah:
4.10Teorema Parseval untuk fungsi translasi :
4.11Rata - rata Daya pada satu ohm adalah :
4.12
Gabungan dari 4.10 - 4.12 adalah :
4.13
Selanjutnya dalam hubungan peningkatan frekuensi :
4.14
Gf(w) = Daya komulatif dari semua komponen frekuensi yang diberi
oleh frekuensi w= Spektrum Daya Komulatif/ equivalensy
4.15
4.17Persamaan 4.17 merupakan hasil yang kita inginkan untuk
kerapatan spektrum Daya.
Fungsi translasi Daya naik dengan naiknya T( lain tidak turun).
Kuantitas meningkat dengan meningkatnya T( lain tetap ). T besar
maka nilai fluktuasi dan efek akhir -pad integrasi akan menjadi
kecil dan kuantitas /T mungkin mendekati limit.Dalam praktek
penggunaan Power Spectral Density sering disingkat dengan power
density atua power spectrum.Persamaan 4.17 merupakan metode yang
digunakan untuk mencari determinan dari power spectral density pada
sinyal.Untuk pengunaan sinyal Daya yang umum kita dapat mengulang
lebih cepat jika kita punya sinyal Daya periodik. Asumsi f(t)
madalah periodik diberikan oleh persamaan exponensial Fourier :
Dengan Teorema Parseval :
4.18Memberikan Daya pada resistansi satu ohm pada frekuensi lain
yang harmonik untuk f(t), menghasil nilai total rata - rata
Daya.Untuk sinyal periodik kita menggunakan persamaan 4,18 yang
diplot untuk spektrum Daya garis, gambar4.4(a). Spektrum Daya
komulatif yang diperoleh dari persamaan 4.18. Daya akan naik step -
per step, karena Daya tidak mungkin negatif.
Spektrum Daya pada fungsi periodikPenulisan Gf() dalam
pembentukan rumus, didapatkan :(4.19)Menurut pengertian kita, bahwa
turunan fungsi tep adalah fungsi implus (impulse Function).
Persamaan (4.16) dan (4.19) menjadi :(4.20)Oleh karena itu densitas
power sprektral dari fungsi periodik adalah fungsi impulse secara
seri dengan luasan dihubungkan dengan komponen yang dikuadratkan
dari koefisien fourier seri.Umumnya dapat dikonversikan garis power
sprektrum pada power sprektal density yang sederhana dengan
mengubah garis menjadi impulse. Luasan dari impulse ini adalah
jumlah dari kuadrat komponen-komponen garis tinggidan dikalikan
dengan 2 jika dalam frekuensi radian. Integral dari power sprektral
density pada semua luuasan frekuensi adalah :
yang mana setiap satu ohm resistor diberikan :
Hasil ini adalah bersesuai dengan teorema
Parseval.Pentransmisian power sprektral melalui sistem linier
mengikuti alur yang sama dari densitas Daya. Misalkan
mengaplikasikan fungsi alih pada pemfilterasn variasi waktu linier,
frekuensi fungsi alih dituliskan H(). Pemotongan fungsi tanggapan,
GT() adalah
Sinyal keluaran dari densitas power sprektral :
=
(4.21)Jadi sinyal keluaran densitas power sprektral adalah
sinyal masukan densitas power sprektral yang dimodifikasi oleh
besarnya akar dari sistem fungsi alih. Akar rata-rata sinyal
keluaran didefinisikan sebagai berikut :
(4.22)
Persamaan (4.21) dan (4.22) memberikan suatu gambaran bahwa
besarnya fungsi alih yang dihasilkan adalah cara yang populer untuk
membangkitkan penguat amplifier. Hi-fidelity audio amplifiers.
Misalnya digunakan untuk membangkitkan tanggapan kurva pada penguat
basis (basis power) adalah merupakan grafik dari logdengan
log().Satuan densitas power sprektral dalam sistem MKS adalah watt
per Hz.
4.3 Waktu Rata-rata timbulnya Noise/kebisinganKonsep power
sprektral juga dapat menganalisa efek rata-rata dari fluktuasi acak
yang timbul dalam proses kerja suatu alat. Fluktuasi inii
disebabkan dari tegangan atau arus yang tidak stabil dan melekat
dalam sinyal yang disebut noise atau kebisingan. Dalam beberapa hal
umum, noise terdiri dari sinyal yang tidak diinginkan, acak yang
terinterferensi dengan sinyal yang dihasilkan kembali dari sistem
tersebut. Sinyal yang tidak di inginkan ini muncul dari beberapa
macam sumber dan bisa diklasifikasikan sebagai kejadian alam. Noise
yang timbul tidak bisa dihilangkan tetapi dapat diperkecil dengan
pendisainan sistem yang cermat . Konsep densitas power sprektral
sangat berguna dalam menghilangkan efek-efek noise pada basis
penguat perata (averege power basis). Dalam pembentukan nilai
rata-rata dari sinyal (acak atau tidak acak) didapatkan suatu
parameter yang dapat menganalisa tentang sinyal yang biasanya
hilang dalam suatu proses dari suatu sistem.Misalkan n(t) adalah
noise tegangan atau arus. Maka :
1. Nilai rata-rata, :
(4.23)
Parameter direferensikan sebagai dc atau rata-rata nilai n(t)
dalam waktu interval T. yang digambarkan pada gambar 4.6(a).
2. Nilai akar rata-rata
(4.24)
Akar disebut nilai rms dari n(t). Persamaan (4.24) melukiskan
waktu rata-rata Daya pada n(t). Dari persamaan ini dapat dicari
integral dari densitas power sprektral Sn()
3. Komponen AC, :
(4.25)
AC/Fluktuasi, komponen dari n(t) adalah komponen yang tetap dari
nilai rata-rata yang terlewat, yang digambarkan gambar 4.6(b)
sebagai berikut :
Gambar 4.6(a) Gelombang noise acak dan (b) komponen ac
Dengan mesubstitusikan persamaan (4.25) ke dalam persamaan
(4.24) didapatkan :
(4.26)
Dari persamaan (4.26) terlihat bahwa adalah konstan dan
rata-rata dari didefinisikan sama dengan nol. Pada sisi kiri
persamaan (4.26) adalah waktu rata-rata Daya dalam n(t). Pada sisi
kanan persamaan (4.26) pertama adalah komponen dc dan persamaan
kedua adalah Daya ac (ac power) dalam n(t) dan nilai rms n(t) di
hitung dari nilai rms jika nilai rata-rata sama dengan nol.Contoh
4.3.1Hitunglah a) Nilai rata-rata, b) ac power dan c) Nilai rms
dari suatu gelombang periodik V(t)=1 + Cos 0 tJawabKarena V(t)
adalah gelombang periodik (berulang-ulang), maka dapat
diintegralkan dari pada mencari limit-nya.
a).,
b).
c).
Rasio sinyal per noise (S/N) dapat dibentuk dengan mencari rasio
sinyal akar rata-rata dibagi akar rata-rata noise karena adanya
faktor resistansi jatuh. yaitu :
(4.27)dalam desibel
[S/N]db=10 Log10 (4.28)
Dimana dan diasumsikan untuk diukur pada suatu titik yang
sama.
4.4. Fungsi KolerasiPada pembahasan yang lalu telah dijelaskan
tentang bagaimana sinyal-sinyal bisa dianalisa dengan menggunakan
fungsi densitas power sprektral Sf(). Dalam sub bab ini membahas
bentuk operasi dalam kawasan waktu (time domain) yang ekivalen
untuk menyelesaikan densitas power sprektral dalam fungsi
frekuensi. Dengan mengasumsikan definisi dari densitas power
sprektral memenuhi yaitu :
(4.29)Hubungan operasi dalam kawasan waktu adalah invers
transformasi Fourier dari persamaan (4.29) :
(4.30)Dari persamaan (4.30) dipilih variable waktu baru sebab
variable waktu t sudah didefinisikan dari fungsi FT(). Hubungan
baru dapat diperoleh dari penyelesaian bidang operasi :
(4.31)Integral dalam dari persamaan (4.31) dikenal sebagai
t-tkarena itu :
(4.32)Persamaan (4.32) melukiskan tentang operasi dalam kawasan
waktu yang berkolerasi dengan pendefinisian dari Sf() dalam kawasan
frekuensi. Invers transformasi fourier dari Sf() disebut fungsi
kolerasi langsung dari f(t), dikenal dengan Rf(). sehingga dapat
dituliskan :
(4.33)Juga, mencari transformasi fourier dari kedua sisi dari
persamaan (4.32) dan persamaan (4.33), didapatkan :
(4.34)Sehingga dari persamaan diatas dihasilkan metode lain
dalam mencari fungsi densitas power sprektral.
Contoh 4.4.1
Cari dan sketsa fungsi kolerasi langsung dari fungsi periodik
gelombang segi empat dengan amplitudo puncak ke puncak A, periode
T, dan nilai rata-rata Jawab.Karena f(t) periodik (berulang-ulang),
operasi limit dalam menyelesaikan Rf(t) dapat diganti dengan
mengintegralkan dalam satu periode dengan menggunakan persamaan
(4.33) :Untuk -T/2 < < 0 :
Untuk 0 < < T/2 :usghjkjdfjkhdfgambar f(t) dan R()
ditunjukkan oleh gambar 4.7. Sejak f(+T)=f(t), maka semua
perhitungan diulangi sampai setiap periode. Ini membuktikan bahwa
fungsi kolerasi langsung secara periodik dari bentuk gelombang
adalah periodik.
Contoh 4.4.2.
Cari fungsi korelasi langsung dari Jawab
Fungsi kolerasi langsung (autocorelation) secara luas digunakan
dalam menganalisa suatu sinyal, dan berguna untuk mendeteksi
sinyal-sinyal yang melekat pada noise yang bertambah. Misalnya
gelombang berulang segi empat seperti yang ditunjukkan 4.8(a)
adalah fungsi kolerasi langsung (autocoleration) seperti contoh
4.4.1 yang ditunjukkan gambar 4.8(b). Bidang limit dari gel noise
acak ditunjukkan oleh gambar 4.8(c) dan fungsi kolerasi langsunya
ditunjukkan gambar 4.8(f).Untuk cross kolerasi dari dua bentuk
gelombang f(t) dan g(t) didefinisikan Rrf()adalah :(4.35)Sebagai
contoh aplikasi dari cross kolerasi, misalnya bentuk gelombang acak
f(t) pada gambar 4.9(a), fungsi kolerasi langsungnya Rfr () akan
sama dengan yang ditunjukkan gambar 4.8(a). Untuk fungsi kedua g(t)
dipilih g(t)=f(1-t0)+n(t), bentuk gabungan fungsi g(t) adalah pada
gambar 4.9(b). Sedangkan fungsi cross kolerasinya yang
didefinisikan pada persamaan (4.35) hasilnya ditunjukkan oleh
gambar 4.9(c).
puncak dari fungsi korellasi mengindikasikan tentang bagusnya
kesesuaian antara sinyal-sinyal tersebut.Keduanya, autokorellasi
dan krosskorellasi adalah alat yang sangat kuat dalam analisa
sinyal dalam pekerjaan analisa dan praktek. Kita akan sering
membahas keduanya dalam bahasan selanjutnya.4.5BEBERAPA HAL TENTANG
FUNGSI KORELASIKita telah mendapatkan pada bagian sebelumnya, bahwa
tranformasi Fourier dari fungsi autocorellasi mamberikan kerapatan
spektrum daya dari fungsi korellasi. Kita akan membahas secara
singkat beberapa hal yang berhubungan dengan fungsi
autokorellasi.4.5.1 SymmetryPengujian fungsi autokorrelasi untuk
argumen negativ, kita memiliki (4.36)
Oleh karena itu bagian nyata dari Rf(t) adalah suatu fungsi
kejadian; dan jika f(t) adalah nilai nyata kemudian Sf(-) =
Sj*(w)(sesuai persamaan 3.38 dan 4.34)
4.5.2 Nilai kuadrat rata-rataFungsi autokorellasi Rf()
dievaluasi pada t=0 adalah persamaan nilai kuadrat rata-rata dari
sinyal (t)[ sesuai persamaan (4.24)],(4.37)Bagian kiri dari
persamaan (4.37) sesuai dengan persamaan (4.10) dan (4.34) dengan
referensi 1 0hm.
4.53 Periodesitasjika f(t + T) = f(t) untuk semua t, makaRf( +
T) = Rf() untuk semua .(4.38)Bukti kemudahan dari penulisan
integral dan penggunaan dari definisi periodesitas.
4.54 Nilai rata-rataFungsi f(t) kembali diwakili oleh fungsi
x(t) dengan nilai rata-rata nol, dan nilai rata-rata dibentuk oleh
m1. Secara umum kita mewakilkan g(t) sebagai fungsi y(t) dengan
nilai rata-rata nol, dan nilai rata-rata dibentuk oleh m2. Dalam
persamaan umum kita dapat menuliskan sebagai..f(t) = x(t) + m1,g(t)
= y(t) + m2Krosskorellasi dari f(t) dan g(t) adalah
Tercatat bahwa x(t) dan y(t) didefinisikan bernilai rata-rata
nol, sehimgga kita mempunyai
Nilai rata-rata dari fungsi kroskorelasi adalah
Pengubahan untuk pengintegralan, kita mempunyai
Sebab adalah nol, kita mendapatkan hasilOlehkarena itu nilai
rata-rata dari dua fungsi autokarrelasi f(t) dan g(t) adalah
persamaan dari hasil nilai rata-rata keduanya. Jika nilai rata-rata
salah satu dari kedua fungsi tersebut adalah nol, maka nilai
rata-rata dari krosskorelasinya adalah nol. Hasil dari
autokorrelasi bisa diambil dari hasilnya
4.5.5 Nilai MaximumKita dapat melihat bahwa Rx(0) untuk beberapa
t (lihat persamaan 4.7) dengan mengambil kuadrat besarnya dari
fungsi autokorrelasi dan menggunakan persamaan Schwarz. Sehingga
kita mempunyai
Rf(0) Rf(0)Dengan mengambil akar kuadrat dari kedua sisi, kita
mendapatkan Rf() Rf(0).Olehkarena itu fungsi autokorrelasi Rf()
terikat oleh nilai kuadrat rata-rata dari sinyal f(t). Untuk sebuah
sinyal periodik , persamaan pada 4.40 adalah sesuai pada multi
periode dari aslinya(lihat persamaan 4.7).Untuk non periodik
f(t),Rf(t) adalah secara tepat kurang dari Rf(0) untuk semua tidak
samadengan 0.
4.5.6 PenambahanJika dua sinyal ditambahkan, Fungsi
Autokorrelasi dari penjumlahan keduanya bukan berarti penjumlahan
dari kedua fungsi autokorrelasi tersebut. Untuk menyelidikinya,
kita tulis z(t) = x(t) + y(t). Jumlah fungsi autokorrelasi dari dua
sinyal x(t) dan y(t) adalah(4.41)Kita menyimpulkan bahwa jika
fungsi krosskorelasi adalah nol [ i.e., jika Rxy() = Ryx() =
0]dapat ditulis
Rz() = Rx() + Ry().(4.42)Untuk kondisisi Rxy () = 0 untuk semua
, kita mengatakan bahwa x(t) dan y(t) adalah unkorrelasi.Lebih
jauh, kita dapat melihat bahwa Ryx() = R*xy (), maka dengan
demikianRxy() = 0, sehingga Ryx() = 0. Catatan jika x(t) dan y(t)
adalah orthogonal, sehingga keduanya bersifat unkorellasi. Dalam
penambahan, sesuai yang kita bahas dalam BAB 8, jika x(t) da y(t)
bersifat statistik yang bebas, maka keduanya juga bersifat
unkorellasi.Sebab Daya kerapatan spektrum adalah transformasi
Fourier tentang fungsi autokorellasi, dalam hal ini mencakup dua
sinyal x(t) dan y(t) diman bersifat unkorellasi saaat Daya
kerapatan spektrumnya ditambahkan. Dengan kata lain Daya rata-rata
dari penjumlahan dua sinyal adalah jumlahan dari Daya rata-rata dua
sinyal yang bersifat unkorellasi. Dalam hal ini fungsi
krooskorellasi tidak nol, yang pertama sinyal harus ditambahkan
kemudian Daya rata-rata mungkin dideterminasi atau diekivalenkan,
dengan mencakup krosskorellasi.
4.6 Fungsi Korelasi dari Sinyal-sinyal Daya Terbatas.
Konsep dari korelasi dapat diperluas untuk memperjelaskan
sinyal-sinyal dari Daya terbatas. Secara khusus, kita
mendefinisikan fungsi autokorelasi rf( ) untuk suatu sinyal f(t)
dari Daya terbatas sebagai,(4.43)
Sama dengan diatas untuk sinyal-sinyal f(t) dan g(t) yang
keduanya adalah Daya, mendefinisikan fungsi korelasi silang
(cross-correlation function) rfg ( ) sebagai,(4.44)Perhatikan untuk
fungsi-fungsi dengan nilai nyata. Operasi ini akan sama dengan yang
digunakan untuk belit (convolution) kecuali fungsi kedua tidak
terbalik.Transformasi fourier dari persaman (4.43) memberikan
:(4.45)Penukaran tingkatan integrasi dari persamaan (4.45),
diperoleh(4.46)Menggunakan selang waktu dari transformasi fourier
pasa sisi kanan pada persamaan (4.46) didapatkan(4.47)Dengan
mengkombinasikan persamaan (4.46) dan (4.47) didapatkan :
F { rf () } = F()2 (4.48)
Mengindentifikasi sisi kanan pers. (4.48) sebagai kerapatan
spektral Daya f(t). Dapat disimpulkan bahwa kerapatan spektral Daya
adalah transformasi fourier dari fungsi autokorelasi untuk
sinyal-sinyal Daya terbatas.
4.7 Band Limited White Noise.
Funsi kerapatan spektral daya memiliki peran penting didalam
penjelasan rata-rata waktu (time-averange) dari noise acak. Type
tertentu dari kerapatan spektral daya yang diteliti ini adalah
cenderung konstan untuk segala frekuensi. Spektrum daya yang datar
seperti yang ini mengandung seluruh komponen-komponen frekuensi
dengan pengaruh daya yang sembarang disebut white, yang
dianalogikan cahaya putih (white light). Jika kita memiliki suatu
kerapan spektral spektral daya yang konstan dengan Watt/Hz (diukur
pada frekuensi positif), dan jika n(t) memiliki nilai rata-rata
nol, maka kerapan spektral daya dari white noise adalah :
Sn () = /2(4.49)
Setengah dari faktor pers. (4.49) seharusnya memiliki kerapatan
spektral daya dua sisi. Perhatikan bahwa kita mendefinisikan Sn( )
dalam basis daya. Dengan kata lain untuk suatu resistor dengan R
Ohm, kita harus mengalikan pers.(4.49) dengan R untuk diubah ke
tegangan kuadrat rata-rata(mean-square current) dan dibagi dengan R
untuk diubah kearus kuadrat rata-rata.Secara tepatnya pers.(4.49)
tidak dapat digunakan untuk menggambarkan sustu proses fisik
tertentu karena mengandung sutu jumlah tak terbatas dari daya,
yaitu Bagaimanapun juga persamaan ini pada akhirnya menjadi suatu
model yang baik bagi banyak kasus dimana bandwidth dari perangkat
yang diukur lebih smpit dari batasan proses fisik yang sedang
diteliti. Karena pengukuran kita dibatasi oleh banwidth terbatas.
Dengan kata lain jika suatu bentuk gelombang noise memiliki
kerapatan spektral daya yang melebihi bandwith dari suatu sistem,
noise akan tampak ke dalam sistem bagaikan white yang
sebenarnya.Untuk band-limited white noise, daya noise tidak
tergantung kepada pilihan frekuensi yang dioperasikan. Sebagai
contoh misalnya n(t) adalah white noise rata-rata nol dengan
kerapatan spektral daya n/2 Watt/Hz. Untuk suatu bandwith (B)
dengan daya noise (Pn) adalah
watt(4.50)Dengan mengasumsikan bahwa persamaan diatas di
kembangkan bagi suatu resistor ( R ) diperoleh tegangan noise
kuadrat rata-rata (mean-square noise voltage) adalah :(4.51)Jika
n(t) adalah arus maka :GB amperes2(4.52)Pentransmisian white noise
melalui sistem invarian waktu linier mengikuti suatu pola seperti
yang dijelaskan pada kerapan spektral daya. Misalnya kita hendak
mencari tegangan rms pada keluaran suatu filter yang fungsi
transfer H( ) telah diketahui. Input diberi ni(t) dan output no(t).
Kita dapat tuliskan :
Sno() = Sn() H()2(4.53)
(4.54)
Jika kerapatan spektral dari noise adalah white (diasumsikan
resistor 1 Ohm). Pers. (4.54) menjadi (4.55)
4.7.1 Noise Termal
Noise termal tejadi akibat dari gerakan elektron-elektron bebas
yang acak dari suatu medium penghantar karena adanya rangsangan
Daya panas. Jalur dari tiap elektron pada pergerakannya beriontasi
secara acak sebagai akibat dari adanya tubrukan. Pengaruh gerakan
ini timbul arus listrik dalam resistor yang acak dengan suatu nilai
dengan rata-rata nol. Dari pertimbangan termodinamik dan mekanikal
kuantum kerapatan spektral daya dari noise termal dapat dijelaskan
dengan persamaan sebagai berikut,
(4.56)
Sn() 2 kT watt / Hz Untuk 2 kT/h(4.57)
dimana : T = Suhu penghantar, K K = konstanta Boltzman = 1,38 x
10 -23 Joule/ K h = konstanta Plancks = 6,625 x 10 -34
Joule-detik
Untuk frekuensi diatas kT/h, noise termal tidak lagi white.
Sebaliknya jika frekuensi terlalu tinggi bagi sinyal-sinyal listrik
dapat diasumsikan bahwa noise termal adalah white untuk maksud ini
(sebagai contoh kt/h = 6000 GHz untuk T = 290 K).Dalam prakteknya
resistor bisa saja menghasilkan sedikit lebih banyak noise termal
dibandingkan dengan yang diindikasikan kerapatan spektral diatas.
Kelebihan ini merupakan suatu fungsi dari material-material dan
geometri dengan mengabaikan faktor-faktor tersebut dalam hal ini.
Perhatikan bahwa suatu suatu kapasitor ideal tidak memiliki sumber
noise termal karena tidak adanya elektron-elektron bebas didalam
suatu dielektrik ideal. Dilain pihak suatu Induktor ideal tidak
memiliki sumber noise termal disebabkan konduktor ideal tidak
mempunyai suatu struktur celah-celah untuk menghalang aliran atau
elektron.Pers. (4.57) dan (4.51) kita dapatkan tegangan kuadrat
rata-rata (rangkaian terbuka) yang dihasilkan oleh suatu resistor R
didalam suatu bandwith (B) adalah :(4.58)
Arus kuadrat rata-rata (rangkaian terhubung) dihasilkan dengan
menggunakan pers. (4.57) dan (4.52) adalah sebagai berikut
:(4.59)Model rangkaian ekivalen tegangan dan arus untuk
band-limited termal noise diperlihatkan pada gambar 4.11.
Resistansi ( R ) dan Konduktansi (G) diasumsikan bebas noise dan
bandwidth tidak terdapat pada peralatan yang diukur.Masalah
-masalah rangkaian noise yang melibatkan komponen-komponen resistif
yang dapat dipecahkan dengan menggunakan model-model rangkaian
ini,
Gambar 4.11 Model rangkaian ekivalen noise termala) model
tegangan b) model arus
4.7.2 Transmisi Noise Termal Menggunakan Sistem Linier.
Kita telah mengasumsikan bahwa tidak terdapat hubungan antara
gerakan acak dari elektron-elektron bebas pada resistor yang
berbeda. Hal ini berrarti konstribusi noise yang ditimbulkan dari
gerakan acak ini menambah basis daya untuk lebar frekuensi
tertentu.Misalnya sebagai contoh kita hubungkan suatu resistor ke
terminal-terminal input dari suatu sistem linier yang hanya
berisikan komponen-komponen yang bebas noise, seperti terlihat pada
gambar 4.12 (a) , prosedurnya adalah sbb :
Kita mengganti resistansi input dengan sumber dengan suatu
tegangan noise dan satu resistor ( R ) yang bebas noise seperti
pada gambar 4.12 (b). Resistor yang bebas noise merupakan bagian
dari fungsi transfer dari sistem. Berdasarkan suatu basis tegangan
:
Svi() = 2kTR(4.60)
Svi() = Svi() H()2(4.61)Tegangan output kuadrat rata-rata
adalah
) H()2d(4.62)
Tapi bagaimana jika sistem itu sendiri mengandung
komponen-komponen resistif yang bersifat noise ? . Jika sistem
adalah linier , pasif dan bilateral maka resistansi noise efektif
yang berlaku bagi input adalah ,
Req() = e{Z()}(4.63)
Dimana Z() adalah nilai komplek impedansi input sistem.
Kerapatan spektral tegangan noise berdasarkan pers. (4.60)
Sv() = .2kTReq()(4.64)
Perhatikan bahwa pada umumnya Req () adalah suatu fungsi dari
frekuensi.
Gambar 4.12 Transmisi noise termal menggunakan sistem
liniera)model sistem b) model sistem linier
4.7.3 Lebar Bidang Noise Ekivalen
pernyataan seperti pada persamaan (4.58) dan (4.59)
mengasumsikan adanya suatu filter idealdari lebar bidang (B) untuk
tujuan pengukuran noise. Dalam praktek, adalah mudah untuk
mengkombinasikan berbagai karakteristik terbatas lebar bidang dari
suatu sistem, dengan cara menentukan suatu lebar bidang noise
ekivalen ( Bn ), sebenarnya adalah filter ideal bandwith yang
memberikan daya noise yang setara dengan yang dimiliki oleh sistem
yang sebenarnya. Lebar bidang noise ekivalen untuk white noise
dapat ditentukan sebagai berikut.Didalam asumsi white noise,
kerapatan spektral daya input adalah adalah suatu konstata /2.
Output tegangan kuadrat rata-rata dari suatu sistem linier
ditentukan oleh persamaan (4.62). Maka tegangan kuadrat rata-rata
vo (t), untuk suatu resistor 1 Ohm adalah (berdasarkan pers.
(4.55).
(4.65)Integral tertentu pada persamaan (4.65) adalah suatu
konstanta untuk fungsi transfer frekuensi sistem tertentu H().
Kita dapat menggunakan sustu pendekatan dalam kerapatan spektral
daya adalah white untuk beberapa lebar bidang dari sistem. Dengan
menentukan suatu lebar bidang noise ekivalen Bn sehingga :1.
Kerapatn spektral daya pada output filter adalah white diantara
bandwith (Bn) dan nol atau membentuk suatu kerapatan spektral
persegi panjang ekivalen.2. Areal dimana kerapatan spektral persegi
panjang ini terdapat sama dengan areal dari kerapatan spektral pada
output filter.Hal ini diilustrasikan pada gambar 4.14
Gambar 4.14 Sebuah grafik yang didefinisikan pada bandwith noise
ekivalen.
Dengan menentukan frekuensi bidang tengah (midband) dari suatu
sistem o (o = 0untuk suatu low pass filter ), tegangan sistem
midband yang didapatkan adalah H()2, dapat ditulis
(4.66)
jika dihitung sisi kiri dari persamaan (4.65) dan (4.66)
diperoleh
(4.67)
4.7.4 Daya Yang Tersedia dan Suhu Noise.
Dari pers.(4.49) dan (4.57), daya noise termal yang dihasilkan
pada suatu pada resistor R adalahPn = kTB (4.68)Seberapa besar daya
noise dapat diringkaskan menggunakan suatu muatan resistif yang
telah disesuaikan R (bebas noise) untuk transfer daya maksimum,
diperoleh tegangan transfer adalah setengah dari tegangan rangkaian
terbuka. Daya maksimum yang tersedia Pa, selanjutnya adalah seperti
ditunjukan pada pers. (4.68), atau
Pn = kTB (4.69)Dengan menguji persamaan diatas dapat dilihat
bahwa k adalah suatu konstanta dan B adalah lebar bidang noise
ekivalen yang konstan untuk suatu sistem yang ditentukan. Suhu T
secara langsung berhubungan dengan daya noise yang tersedia untuk
menggambarkan daya noise input adalah dengan menggolongkan daya
noise input ini sebagai suatu suhu noise, Jadi temperatur noise
menggolongkan kedalam suatu resistansi yang sesuai.Dalam
prakteknya, kita harapkan untuk menghubungkan suatu amplifier
(receiver) yang memiliki suatu resistansi input R untuk transfer
daya maksimum. Suatu model yang disederhanakan dari amplifier ini
adalah suatu resistansi input R pada temperatur noise ekivalen Te
diikuti oleh suatu daya yang diperoleh yakni Gp. Dengan kata lain
temperatur noise (Te) adalah suatu temperatur efektif dari suatu
sumber noise termal while pada input sistem yang diperlukan untuk
menghasilkan daya noise yang sama dengan yang ada pada output dari
suatu sistem yang bebas noise ekivalen (eqivalen noiseless system).
Beberapa amplifier yang noisenya sangat rendah misalnya antara 10 K
s/d 30 K sementara receiver pemancar standar memiliki temperature
noise 1000 K.
Rangkaian penerima yang disebabkan oleh thermal NOISE
Pada sebuah penguat white Noise umumnya masuk melalui temperatur
( Te ) yang disebabkan oleh pergerakan elektron acak yang bebas
dalam rangkaian berada pada pada seluruh spektrum frekuensi yang
tersedia. Tidak dapat dihindari dan biasanya tidak terlalu
mengganggu transmisi. Efek temperatur noise pada resitansi output (
Ro ) , Gain yang besar semuanya tidak dapat diabaikan begitu
saja.
Dalam kenyataannya (operasi ) pengaruh temperatur ini ada juga
dari luar yaitu langit dan linkungan sekitarnya dan pada saluran
antena juga terjadinya noise.Perhitungan daya noise ialah:Pa =
KTeB
4.7.5 NOISE FIGURE
Dalam suatu perangkat telekomunikasi daya kebisingan selalu ada
(noise) karena dalam alat tersebut ada input maupun output. Maka
daya noise dibandingkan dengan daya sinyal input dan daya sinyal
output. Perbandingan daya sinyal terhadap kebisingan (sinyal to
noise power ratio = S/N).Input sinyal to noise adalah (4.70)Output
sinyal to noise adalah(4.71)
S/N yang ada pada output akan selalu kurang dari .S/N yang ada
pada input, karena setiap penguat atau jaringan akan menambah
kebisingan (noise).
(4.72)
Rumus ini baik sekali digunakan untuk menyederhanakan noise
termal pada suatu sistem. Dimana Si(t) = sinyal input Ni(t) = noise
termal, To= temperatur, Gp = Gain dan B = Bandwidth. Daya noise
input adalah :
Ni = kTB(4.73)
dan daya noise output adalah So = Si Gp (4.74)
Sebuah penguat selalu ditambahkan noise termal karena terwakili
dalam input amplifier.
No = k To B G + k Te B G(4.75)
Kemudian disubstistusikan (4.73) - (4.75) kedalam (4.72) maka
noise figure sebuah amplifier adalah :
(4.76)
Kadang-kadang faktor kebisingan dinyatakan dalam Decibel
(dB).Angka kebisingan FdB = 10 log 10 (F)
4.7.6 Sky -Noise Temperatur.
Ketika suatu antena dihubungkan ke suatu input penerima akan
selalu lebih mudah diwakili oleh suatu resistor yang (matching)
dengan input penerima dan temperatur serta yang mewakili noise
efektif langit dan lingkungan sekitarnya yang dilihat dari sisi
antena. Suhu antena biasanya berkisar antara 290 K. Bila resistansi
input (Ri) suatu antena dengan temperatur (Ta), persamaan (4.75)
dapat diubah menjadi :
No = k B (Ta + Te) G(4.77)
Noise temperatur lebih mudah dipahami dan dapat dibandingkan
secara langsung dengan noise temperatur penerima.
Gambar 4.16 Nilai rata -rata dari sky noise temperature
4.7.7 Sumber-sumber Lain Dari White Noise Dengan Range
Terbatas.
Ada jenis lain dari noise yang dapat digambarkan dalam istilah
sumber white noise, walaupun perkiraan tidak memuat range frekuensi
seluas noise termal. Tabel 4.1.
Shot noise, sebagaimana dengan halnya dengan noise termal adalah
timbul dalam peralatan fisik ketika suatu partikel muatan bergerak
melalui suaru gradien potensial tanpa tumbukan dengan startime yang
acak dengan menyamaratakan terhadap partikel-partikel seperti
diatas, yang dapat diperoleh dari suatu aliran rata-rata, tetapi
akan selalu ada fluktuasi pada harga rata-rata ini. Dalam tabung
hampa udara shot noise timbul dari emisi acak elektron yang berasal
dari katoda. Dalam perlatan semikonduktor, shot noise timbul dari
sebagai hasil difusi acak, dari pembawa minoritas dengan generasi
acak serta rekombinasi dari pasangan hole dan elektron. Dari
pembawa yang dimuati dalam istilah arus rms.
(4.78)Komponen noise lainnya muncul dalam divisi arus dengan
peralatan multielektroda yang disebut noise partisi. Partisi ini
merupakan noise yang acak. Transistor dan tabung hampa udara
menghasilkan 3 noise : shot noise, partition noise dan termal
noise, semua ini dapat dianggap seolah-olah kerapatan daya spektrum
adalah data sepanjang bandwidth.
4.8 RINGKASAN
Kuantitas F()2menggambarkan jumlah relatif dari Daya sinyal yang
diberikan, f(t) terhadap frekuensi disebut sebagai kerapatan
spektral Daya dari f(t), fungsi tersebut menggambarkan sambungan
daya relatif dari sinyal f(t). Spektral daya dari suatu sinyal
tidak periodik adalah merupakan fungsi frekeunsi.
Nilai rms dari bentuk gelombang dapat ditemukan dari daerah
dibawah fungsi kerapatan spektral dayanya. Perbandingan dari sinyal
rms terhadap noise rms disebut S/N. Transformasi fourier kebalikan
dari kerapatan spektral daya adalah merupakan fungsi autokorelasi.
Untuk sinyal dengan harga nyata dengan durasi (jangkauan waktu
tertentu). Fungsi autokorelasi adalah disamping dari suatu konstnta
normalisasi, yang diberikan oleh Coulomb. Noise yang merupakan
kerapatan spektral daya datar disebut white noise. Noise termal
berasal dari gerakan acak elektron-elektron bebas pada suatu media
konduksi.
Daya noise adalah suatu figure of merit yang mudah bagi sistem
apabila suatu temperatur referensi dipasang pada To = 290 K .
Shot noise dan noise partition adalah dua jenis yang putih
terhadap range frekuensi yang agak lebar dan noise temperatur
ekivalen dengan sky noise temperatur. Ketiganya ada untuk
membedakan derajat dalam peralatan termionik dan semikonduktor.
DAFTAR PUSTAKA
Feher, Kamilo .1987. Advanced Digital Communication . USA :
prentice-HallHaykin, Simon . 1989. An Introduction to Analog and
Digital Communications . Singapore : John WilleyLathi , B . P .
1983 .Modern Digital and Analog Communication System . USA : Holt
Saunders.Schwartz , Mischa . 1986 . Transmisi , Informasi ,
Modulasi dan Bising . Terjemahan Srijatno W., Ph.D. Jakarta :
Erlangga.Smith , David R . 1985 . Digital Transmission Systems .
New york :Van Nostrand Reinhold Company .Stallings , William .1991
. Data and Computer Communications. Singapore : Maxwell Macmilan
International Edition.Roddy , Denis and John Coolen . 1985 .
Electronic Communication . New Delhi : Prentice-Hall.Sigit
Kusmaryanto, 1996, Diktat Sistem Transmisi Telekomunikasi, Teknik
Elektro UB