Seite 1 von 13 Keplers Fassformel Von PETER FRANZKE in Berlin Beim Einkauf von Weinfässern für seine zweite Hochzeit beobachtet Kepler zu seinem Miss- fallen, dass die Weinhändler das Volumen eines Fasses bestimmen, indem sie eine geeichte Messrute durch das Spundloch einführen, die Länge l bis zu den Rändern der Böden messen und daraus das Volumen anhand der kubischen Teilungsmarken (1-8-27-64-125...), die in Ei- mern angegeben sind, mit Hilfe der Formel 3 0, 6 Fass V l berechnen, egal, welche Form die Fässer haben. Keplerfass 1 1 Quelle: http://www.kepler-gesellschaft.de/images/keplerpreis/images/Fass_KM_Weil%20der%20Stadt.jpg
13
Embed
Keplers Fassformel - Ebelt EDV & Unternehmensberatung · Für Polynome höchstens dritten Grades stellt die Keplersche Fassregel den exakten Integralwert dar, da die 4. Ableitung
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Seite 1 von 13
Keplers Fassformel
Von PETER FRANZKE in Berlin
Beim Einkauf von Weinfässern für seine zweite Hochzeit beobachtet Kepler zu seinem Miss-
fallen, dass die Weinhändler das Volumen eines Fasses bestimmen, indem sie eine geeichte
Messrute durch das Spundloch einführen, die Länge l bis zu den Rändern der Böden messen
und daraus das Volumen anhand der kubischen Teilungsmarken (1-8-27-64-125...), die in Ei-
mern angegeben sind, mit Hilfe der Formel 30,6FassV l berechnen, egal, welche Form die
Aufgrund dieses Messverfahrens stößt Kepler auf zwei erstaunliche Eigenschaften:
Wenn man das Fass als Zylinder betrachtet, so hat es bei gleicher Visierstablänge den größten Inhalt von allen.
Eine kleine Abweichung der Form des Fasses bleibt ohne relevanten Einfluss auf sein Fassungsvermögen.
Die Ergebnisse seiner Überlegungen veröffentlicht Kepler 1615 in dem Büchlein „Nova stere-ometria doliorum vinariorum“.
Gleich zu Beginn beschreibt er, wie er auf das Problem stieß:
"Als ich im vergangenen November eine neue Gattin in mein Haus eingeführt hatte, gerade zu der Zeit, da nach einer reichen und ebenso vorzüglichen Weinernte viele Lastschiffe die Donau herauffuhren und Österreich die Fülle seiner Schätze an unser Norikum verteilte, so dass das ganze Ufer in Linz mit Weinfässern, die zu erträglichem Preis ausgeboten wurden, belagert war, da verlangte es meine Pflicht als Gatte und guter Familienvater, mein Haus mit dem not-wendigen Trunk zu versorgen. Ich ließ daher etliche Fässer in mein Haus schaffen und daselbst einlegen. Vier Tage hernach kam nun der Verkäufer mit einer Messrute, die er als einziges In-strument benutzte, um ohne Unterschied alle Fässer auszumessen, ohne Rücksicht auf ihre Form zu nehmen oder irgendwelche Berechnung anzustellen. Er steckte nämlich die Spitze des Eisenstabes in die Einfüllöffnung des vollen Fasses schief hin-ein bis zum unteren Rand der beiden kreisförmigen Holzdeckel, die wir in der heimischen Spra-che die Böden nennen. Wenn dann beiderseits diese Länge vom obersten Punkt des Fassrunds bis zum untersten Punkt der beiden kreisförmigen Bretter gleich erschien, dann gab er nach der Marke, die an der Stelle, wo diese Länge aufhörte, in den Stab eingezeichnet war, die Zahl der Eimer an, die das Fass hielt, und stellte dieser Zahl entsprechend den Preis fest. Mir schien es verwunderlich, ob es möglich sei, aus der durch den Körper des halben Fasses quer gezogenen Linie den Inhalt zu bestimmen, und ich zweifelte an der Zuverlässigkeit dieser Messung."
Keplers Fassformel von Peter Franzke in Berlin
Seite 3 von 13
1. Lehrsatz:
Die Transversale von einem Punkt der Grundkreislinie eines Kreiszylinders zum Mittelpunkt
der zu ihm diametral liegenden Mantellinie habe die Länge l. Dann gilt:
Unter allen Zylindern der festen Transversalenlänge l ist derjenige der größte, dessen Höhe
sich zum Basisdurchmesser wie 2 :1 verhält.
Beweis:
2 2 32 2 2 2 23 3 2 3
04 4 4 4 4 4 8 3
E
h d hl d V h hl V l h V h h l
6
3Ed l : 2 :1E Eh d und
3 330,605
9MaxV l l
.
2. Lehrsatz: (Keplersche Fassregel)
Ein rotationssymmetrisches Fass der Höhe h, dem Radius r am Boden und Deckel und dem
Radius R des Mittelschnittes und den zugehörigen Kreisumfängen u und U hat näherungs-
weise das Volumen
2 2 2 22 43 12
Fass
h hV r R u U
.
Beweis:
Den Flächeninhalt eines durch den Graphen einer Funktion f(x) begrenzten Flächenstückes
auf dem Intervall ,a b berechnet man näherungsweise, indem man den Graphen durch ei-
nen Parabelbogen durch die drei Punkte 1 2( , ( )), ,2 2
a b a bP a f a P f
und 3(b, (b))P f
approximiert.
Keplers Fassformel von Peter Franzke in Berlin
Seite 4 von 13
Mit dem Näherungspolynom 2( )p x x x erhält man
3 3 2 2( ) p( ) ( )3 2
b b
a a
f x dx x dx b a b a b a
2 2 ( )3 2
b a b ab a b a a b b a
2 22 2 2 3 3 6 ( ) 4 ( )6 6 2
b a b a a ba b ab a b p a p p b
f( ) 4 ( )6 2
b a a ba f f b
(sog. Keplersche Fassformel)
Hieraus ergibt sich die folgende Näherungsformel für das Volumen eines Rotationskörpers,
der durch die Rotation des Graphen von f, der Meridianlinie, um die x-Achse entsteht.
2
2 2 2[ ( )] [f(a)] 4 [f(b)]6 2
b
a
b a a bV f x dx f
Für ein Fass mit der Höhe h, dem Radius ( ) ( )r f a f b an Boden und Deckel und dem Ra-
dius R des Mittelschnitts folgt daraus die Näherungsformel
2 2 2 22 4 .3 12
Fass
h hV r R u U
Keplers Fassformel von Peter Franzke in Berlin
Seite 5 von 13
Zu jeder Näherungsformel gehört eine Möglichkeit, den bei der Anwendung der Formel be-
gangenen Fehler abzuschätzen, d. h. eine obere Schranke für die Abweichung anzugeben.
3. Lehrsatz: (Fehler F der Keplerschen Fassregel):
Die exakte Keplersche Formel lautet
5( )( ) f( ) 4 ( ) ( )
6 2 2880
b
IV
a
b a a b b af x dx a f f b f
,
wobei ein unbekannter Zwischenwert mit a b ist.
Sei S eine obere Schranke für ( )IVf x , so dass ( )IVf x S ist für alle [ , ]x a b .
Dann gilt
5( ): ( ) f( ) 4 ( )
6 2 2880
b
a
b a a b b aF f x dx a f f b S
.
Beweis:
Sei f(x) sooft stetig differenzierbar, als es jeweils erforderlich ist.
Mit :2
b ak
und
1 1K : f( ) 4 ( ) f( ) 4 (a 2k)
6 2 6
a ba f f b a f a k f
2 3 41 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6 6 2! 3! 4!
IVk k kf a f a kf a f a f a f a
2 3 41 4 8 16( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )
6 2! 3! 4!
IVk k kf a kf a f a f a f a
2 3 42 5( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 36
IVk k kf a kf a f a f a f a und dem bestimmten Integral
1 111 2
( ) ( )1 1
b n nn n
a
kx a dx b a
n n
erhält man
( ) ( ) ( )
b b
a a
f x dx b a K f x K dx
2 3 4( ) ( ) ( )f(a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2! 3! 4!
b
IV
a
x a x a x ax a f a f a f a f a K dx
Keplers Fassformel von Peter Franzke in Berlin
Seite 6 von 13
2 3 4
2 3 4
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2! 3! 4!
2 5( ) ( ) ( ) ( )
3 3 36
IV
b
a IV
x a x a x ax a f a f a f a f a
dxk k k
kf a f a f a f a
2 3 4 5
2 3 4 5
4 2 42 ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 15
4 2 12 ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 90
IV
IV
k f a k f a k f a k f a
k f a k f a k f a k f a
55 51 1 ( )
( ) ( ) ( )90 90 2880
IV IV IVb ak f a k f f
mit a b .
Folgerungen:
Für Polynome höchstens dritten Grades stellt die Keplersche Fassregel den exakten
Integralwert dar, da die 4. Ableitung identisch verschwindet.
Für ein Polynom 4 3 2
4 3 2 1 0( )p x a x a x a x a x a ist 4( ) 4!IVp x a , so dass exakt
5
4
( )( ) f( ) 4 ( )
6 2 120
b
a
b a a b b af x dx a f f b a
gilt.
Beispiele:
Für Kreiszylinder ( )R r ist die Näherungsformel exakt (s. o.), also gilt 2
ZylinderV r h .
Parabolischer Tonnenkörper: Ist die Meridianlinie des Fasses der Höhe h ein achsen-
symmetrisches Bogenstück einer quadratischen Parabel 2( )p x u x q mit
2
4( )R ru
h
, (0)q R p und ( / 2) ( / 2) rp h p h , so erhält man exakt (Achtung!
Der Integrand ist ein Polynom 4. Grades)
/2 /2 5
22 2 2 2 2
/2 /2
(x)dx 23 210
h h
Fass
h h
hV p R ux dx h R r u
2 2 2 2 2 2 222 ( ) 8 4 3 8 4 3
3 5 15 60
h h hR r R r R rR r U uU u
.
Die Approximation 2( ) 0R r , d. h. 2 22Rr R r liefert
2 2 2 28 4 3 215 3
Fass
h hV R rR r R r
,
also den Näherungswert nach Kepler.
Für 3R , 2,5r und 8h findet man 202,318...FassV (genau) und
203,156...FassV , also einen nur 0,4% zu großen Näherungswert.
Keplers Fassformel von Peter Franzke in Berlin
Seite 7 von 13
Elliptischer Tonnenkörper: Die Meridianlinien eines Fasses der Höhe h seien Ellipsen.
Die Randkreise haben die Radien r, der Mittelkreis den Radius R.
Die Meridianellipse des Fasses hat daher in y-Richtung die Halbachse :b R und in x-
Richtung 2 2
:2
Rha
R r
.
Aus der Ellipsengleichung
2 2
2 21
x y
a R folgt für
2
hx sofort
2 2
2 21
4
h r
a R , also
2 2 2 22 2
2 21
4
h r R ra a
R R
, d. h.
2 2:
2
Rha
R r
.
Ein in 2 2
h hx gelegter Querschnitt des Fasses ist ein Kreis mit dem Inhalt
22 2
2( ) 1
xq x y R
a
, der eine quadratische Funktion von x ist. Also gilt die
Keplersche Fassregel exakt (s. o.).
Mit 2( / 2) ( / 2)q h q h r und 2(0)q R erhält man dann
/2
22 2 2 2
/2
( ) [q( / 2)] 4 0 [q(h/ 2)] 26 3
h
Fass
h
h hV q x dx h q r R
.
Sonderfall: Für 0r , 2h a und R b erhält man das Volumen 24
3V ab des ver-
längerten Rotationsellipsoids.
Keplers Fassformel von Peter Franzke in Berlin
Seite 8 von 13
Trivialerweise gilt dann die Fassformel auch für den Fall exakt, dass die Meridianlinie
des Fasses ein symmetrischer Kreisbogen des Kreises 2 2 2x y R ist.
Für das Kugelvolumen ergibt sich unmittelbar 34
3KugelV R .
Kreistonnenkörper: Die Meridianlinien des Fasses der Höhe h seien Kreisbögen eines
Kreises mit dem Radius R* und dem Mittelpunkt (0, (R* ))M R mit * 0R R .
Die Randkreise haben die Radien r, der Mittelkreis den Radius R.
Die zugehörige Kreisgleichung hat die Form 2 2 2( ) ( )x y m R mit :m R R .
Daraus folgt 2 2( )y m R x , so dass gilt:
/2 /2
2 2 2 2 2 2
0 0
2 ( ) 2 2 ( ) ( )
h h
FassV y x dx m m R x R x dx
2 32 2 2 22 ( ) ( ) arcsin ( )
2 2 4 2 2 24
h h h h h hm m R R R
R
/2 /2
2 2 2 2 2 2
0 0
2 ( ) 2 2 ( ) ( )
h h
FassV y x dx m m R x R x dx
Keplers Fassformel von Peter Franzke in Berlin
Seite 9 von 13
2 32 2 2 22 ( ) ( ) arcsin ( )
2 2 4 2 2 24
h h h h h hm m R R R
R
23
22 2 2( ) ( ) 2( ) arcsin
12 4 2
h h hh R R R R R h R R
R
mit
22( )
4
2( )
hR r
RR r
.
Für 4R , 2r und 8h erhält man 5R , das heißt 298,352...FassV (genau).
Die Keplersche Fassformel liefert den Näherungswert 96 301,6FassV ,
also einen nur 1% zu großen Näherungswert.
Um die Approximation für den numerischen Wert des Integrals ( )
b
a
f x dx zu verbessern, er-
setzt man die Funktion f(x) durch ein Polynom p(x) 4. Grades, dessen Graph außer den drei
Stützpunkten 1( | ( ))P a f a , 2(( ) / 2 | (( ) / 2))P a b f a b und
3( | ( ))P b f b auch noch die Tangentensteigungen ( )f a und (b)f in den Randpunkten 1P und
3P berücksichtigt. Die Bedingungen für die 5 Koeffizienten des Polynoms lauten demnach:
( ) ( )p a f a , ((a b) / 2)) ((a b) / 2))p f , (b) (b)p f , ( ) ( )p a f a und (b) (b)p f .
Keplers Fassformel von Peter Franzke in Berlin
Seite 10 von 13
Führt man die Beweisschritte analog zu denen des 2. Lehrsatzes (Keplersche Fassregel) durch,
erhält man den
4. Lehrsatz (randverbesserte Keplersche Formel):
Der Flächeninhalt eines durch den Graphen einer stetig differenzierbaren Funktion f(x) be-
grenzten Flächenstückes auf dem Intervall ,a b ist näherungsweise bestimmt durch
2( )
( ) 7 ( ) 16 7 ( ) ( ) (b)30 2 60
b
a
b a a b b af x dx f a f f b f a f
.
Für ein Fass mit der Höhe h, dem Radius ( ) ( )r f a f b an Boden und Deckel und dem Ra-
dius R des Mittelschnitts folgt daraus die Näherungsformel
2 2 2[ ( )] 7 8 ( )15
b
Fass
a
hV f x dx r R hrf a
,
wobei ( )f a die 1. Ableitung der achsensymmetrischen Meridiankurve am linken Randpunkt
ist.
Wendet man die randverbesserte Keplersche Formel auf den oben angegebenen Kreistonnen-