7 Limit Fungsi Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri Cobalah kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam sebuah tempat dengan genggaman sebanyak lima kali. Setelah dihitung, pengambilan pertama terdapat 5 bungkus, pengambilan ke dua 6 bungkus, pengambilan ke tiga 5 bungkus, pengambilan ke empat 7 bungkus, dan pengambilan kelima 6 bungkus. Jika dirata- 5 hampir mendekati 6. Dalam contoh sehari-hari, banyak sekali kamu temukan kata- kata hampir, mendekati, harga batas, dan sebagainya.Pengertian tersebut sering dianalogikan dengan pengertian limit. Limit merupakan konsep dasar atau pengantar dari deferensial dan integral pada kalkulus. Untuk lebih
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
rata pada pengambilan pertama, ke dua, sampai ke lima adalah 29 = 5,8 dan dikatakan
7
Limit Fungsi
Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga
Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak TentuFungsi Aljabar dan Trigonometri
Cobalah kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam sebuah tempatdengan genggaman sebanyak lima kali. Setelah dihitung, pengambilan pertamaterdapat 5 bungkus, pengambilan ke dua 6 bungkus, pengambilan ke tiga 5 bungkus,pengambilan ke empat 7 bungkus, dan pengambilan kelima 6 bungkus. Jika dirata-
5
hampir mendekati 6. Dalam contoh sehari-hari, banyak sekali kamu temukan kata-kata hampir, mendekati, harga batas, dan sebagainya.Pengertian tersebut seringdianalogikan dengan pengertian limit. Limit merupakan konsep dasar atau pengantardari deferensial dan integral pada kalkulus. Untuk lebih jelasnya, dalam bab ini kamuakan mempelajari konsep limit fungsi dalam pemecahan masalah.
Limit Fungsi 197
Limit Fungsi
Menjelaskan secara intuitif arti limitfungsi di suatu titik dan di tak hingga
Menggunakan sifat limit fungsi untukmenghitung bentuk tak tentu fungsi
aljabar dan trigonometri
Arti limit fungsi di satutitik melalui perhitungannilai-nilai di sekitar titik
Arti limit fungsididitak hingga
Menghitung limitfungsi aljabar
Menghitung limitfungsi trigonometri
tersebut
·····
198
limit fungsilimit fungsi tak hinggalimit fungsi berhinggalimit fungsi aljabarlimit fungsi trigonometri
Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
lim 2x− 1 5 ”. Grafiknya dapat kamu amati
x2 x− 6x− 2
x2 x− 6x− 2
A Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik dan di TakHingga
1. Limit Fungsi di Satu Titik Melalui Perhitungan Nilai-Nilai diSekitar Titik Tersebut
Diketahui fungsi f : R→ R yang ditentukan oleh f(x) = 2x – 1. Jika variabel xdiganti dengan 3, maka f(3) = 2⋅ 3 – 1 = 5. Berapakah nilai yang akan didekati f(x) jikavariabel x mendekati 3? Untuk menjawab persoalan ini diperlukan tabel sebagai berikut.
x
f(x)
1,5
2
1,75
2,5
2,5
4
2,75
4,5
2,85
4,7
2,95
4,9
2,97
4,94
2,98
5,96
2,99
4,98
….
…..
Dari tabel dapat dilihat jika x mendekati 3 dari pihak kurang dari 3, maka nilai f(x)mendekati 5. Apakah nilai f(x) akan mendekati 5 jika x lebih besar dari 3? Untukmenjawabnya kita lihat tabel berikut ini.
x
f(x)
…..
…..
3,01
5,02
3,10
5,20
3,25
5,50
3,50
6,00
3,50
6,50
3,75
6,50
4,25
7,50
….
…..
Dari tabel dapat dilihat bahwa jika xmendekati 3 dari pihak lebih dari 3 maka nilai
Y
f(x) mendekati 5, sehingga dikatakan bahwafungsi f(x) = 2x – 1 mempunyai limit 5 untuk xmendekati 3 dan ditulis “jika f(x) = 2x – 1, maka
Dari tabel dapat dilihat jika variabel x = 2, maka f(2) = 00 yaitu suatu bentuk taktentu, tetapi jika x mendekati 2 dari arah kiri maka nilai f(x) mendekati 5. Demikian jugajika x mendekati 2 dari arah kanan maka nilai f(x) mendekati 5.
Limit Fungsi 199
lim f ( x) L artinya jika x mendekati a (tetapi x≠ a ) maka
lim f (x) f (a)
lim k⋅ f (x) k⋅ lim f (x)
lim { f ( x) g ( x)} lim f ( x) lim g ( x)
f ( x)⋅ lim g ( x)x→a
f ( x) x→a , untuk lim g ( x)≠ 0
f ( x)n lim f ( x)
1. lim f ( x) lim g ( x)
2. lim { f ( x) g ( x)}
lim f ( x) lim g ( x) = lim (2x− 5) lim (3x 4x)
Oleh karena itu dapat ditulis:
limx→2
x2 x − 6 x− 2
=5
Dari uraian di atas, secara intuitif limit dapat didefinisikan sebagai berikut.
x→ a
f(x) mendekati nilai L.
2. Sifat-Sifat Limit Fungsi
Apabila k suatu konstanta, f dan g merupakan fungsi-fungsi yang mempunyai limituntuk x→ a, a∈ R maka berlaku:
a.
b.
c.
d.
lim k = kx→a
x→a
x→a x→a
x→a x→a x→a
e. limx→a
f ( x)⋅ g (x) limx→a
f.
g.
limx→a
limx→a
lim f ( x)
g (x) lim g (x) x→a
x→a
x→a
n
Untuk lebih memahami tentang sifat-sifat limit fungsi, pelajarilah contoh soal berikut.
Contoh soal
Diketahui f(x) = 2x – 5 dan g(x) = 3x2 + 4x . Tentukan:
Diketahui f(x) = 2x . Jika dibuat tabel untuk x bilangan sebagai berikut.
Apabila nilai x makin besar, ternyata nilai f(x) makin lama makin kecil. Apabila x
besar sekali atau x mendekati tak berhingga, ditulis x→∞ , maka nilai 2x akan
mendekati nol, dikatakan limit dari 2x untuk x mendekati tak berhingga adalah nol danditulis:
lim 2 = 0
Sekarang perhatikan contoh berikut ini.
Hitunglah lim 2xx 1
.
Untuk menjawab limit tersebut, dapat dicoba dengan tabel berikut ini.
x 1
= 2.x→∞
Limit fungsi yang berbentuk limx→∞
f ( x)
g ( x)dapat diselesaikan dengan cara membagi bagian
pembilang f(x) dan bagian penyebut g(x) dengan xn, n adalah pangkat tertinggi dari f(x)atau g(x) untuk setiap n bilangan positip dan a bilangan real, maka:
limx→∞
a
x n 0
Limit Fungsi 201
xx1
lim 1 0x→∞
x 5x− 3
x 5x− 3 x 5x− 3
= x→∞ x2
3x− 1
5− 3
3− 1
1 5− 3x→∞
2 x2− 5x x x2
x2− 2x x x2
x→∞
x→∞
x x2
x x
Dari contoh itu dapat ditulis:
limx→∞
2x
x 1= lim
x→∞
= lim
2x
x2
1 1x
(pembilang, penyebut dibagi x)
x→∞ x
= 21 0
= 21
=2
Contoh soal
Hitunglah limit dari:
1. limx→∞
2
3x− 13. lim
x→∞
4 x 2 2 x 1 5x− 4
2. limx→∞
2 x 2− x 5
x 2− 3x 2
Penyelesaian
1. limx→∞
2
3x− 1 = limx→∞
2
3x− 1x2
x2
(pembilang dan penyebut dibagi x2)
lim
x2
x2 x2
x x= lim
x2
x2
=0− 0 0
1 0− 0 1= 0
2. limx→∞
2 x 2− x 5 x2− 3x 2
= limx→∞
2x2− x 5x2
x2− 3x 2x2
(pembilang dan penyebut dibagi x2)
= lim
= lim
x2 2
3x2 2
2− 1 5
1− 3 2
= 2− 0 0 21− 0 0 1
=2
202 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
4x2 1x x x2
5x− 4x x25− 4
x→∞
x→∞
x x2
x→∞
Bentuk 0 adalah bentuk tak terdefinisi, tetapi karena angka 0 pada 0 bukan
lim
nilai lim∞ g ( x) = 0.
lim
−
x
lim x− 1 x
1
= lim∞
lim x2− 1
3. limx→∞
4 x 2 2 x 1 5x− 4
= lim
= lim
4x2 2x 1x2
5x− 4x2
2x2 2
2
(pembilang dan penyebut dibagi x2)
4 2 1= lim
x2
= 4 0 0 40− 0 0
=∞
4 4
angka nol tetapi angka yang kecil sekali sehingga suatu bilangan dibagi kecil sekalihasilnya besar sekali atau∞ .
Dari contoh-contoh diatas dapat diambil kesimpulan nilai dari limx→∞
sebagai berikut.
f ( x)g ( x)
adalah
1. Jika derajat dari pembilang f(x) lebih besar daripada derajat penyebut g(x), maka
nilai limx→∞
f ( x)g ( x) =∞ .
2. Jika derajat dari pembilang f(x) sama dengan derajat penyebut g(x), maka nilai
f ( x)x→∞ g ( x) = real.
3. Jika derajat dari pembilang f(x) lebih kecil daripada derajat penyebut g(x), maka
BSifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk TakTentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri
1. Menghitung Limit Fungsi Aljabar
Perhatikan fungsi f(x) = 2x pada tabel di bawah ini.
Limit Fungsi 205
c. Carilah nilai lim f ( x) 3x− 5.
a. lim 2x 5
b. lim 2
a. lim 3x− 1
a. lim x2 4x− x b. lim x2 6x− ( x− 4)
lim 2x 6
0 x→ a 0
0 x→ a 0
x→ a
lim (5x 7)
lim (5x 7) = 5 (–2) + 7 = –10 + 7 = –3
x2 5(−1) 1
32− 2⋅ 3 9− 6 33− 3 0 0
Dari tabel terlihat jika nilai x diperbesar hingga mendekati 3, maka nilai f(x) men-dekati 6, dikatakan bahwa limit dari 2x untuk x mendekati 3 adalah 6 ditulis:
x→3
Menentukan limit dengan cara di atas ternyata lambat dan tidak efisien. Misalkan
untuk menyelesaikan lim f (x) , maka dapat dilakukan dengan cara yang lebih cepatx→ a
dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
1.
2.
3.
4.
Jika f(a) = C, maka nilai lim f ( x) = f(a) = Cx→ a
Jika f(a) = C , maka nilai lim f ( x) = C =∞
Jika f(a) = C , maka nilai lim f (x) = C = 0
Jika f(a) = 0 , maka nilai lim f ( x) , maka sederhanakan atau ubahlah lebih dahulu
bentuk f(x) hingga menjadi bentuk (1), (2), atau (3).
Untuk lebih memahami, perhatikan contoh berikut.
Contoh soal
1. Hitunglah nilai limit-limit berikut ini.
a.
b.
x→−2
lim (2x2− 3)x→1
d.
e.
limx→3
limx→5
x2− 2 x x− 3
x− 52x 1
c. limx→−1
x2 5 x2 1
f. limx→3
x2− 8 x 15 x− 3
Penyelesaian
a.x→−2
b. lim ( 2x2− 3)x→1
= 2⋅ 12 – 3 = 2 – 3 = –1
c. limx→−1 x2 1
=(−1)2 5
2
1 5 61 1 2
=3
d. limx→3
x 2− 2 x x− 3
= ∞
e. limx→5
x− 52x 1
=5− 5 0 0
2⋅ 5 1 10 1 11=0
206 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
32− 8⋅ 3 15 9− 24 15 03− 3 0 0
x→3 x→3
⋅x→1
x→1
x→1
⋅( x 2 2)
x→0
x→0
f. limx→3
x2− 8 x 15 x− 3
=
Karena nilai limit =00 , maka perlu diubah lebih dahulu dengan jalan difaktorkan.
limx→3
x2− 8 x 15 x− 3
= lim( x − 5)( x −
3)( x− 3)
= lim x− 5 = 3 – 5 = –2
2. Hitunglah limit-limit berikut.
a. limx→1
b. limx→0
x− 1
x− 1
x 2− 2x
c. limx→0
1 − x 1
x2− x
Penyelesaian
a. limx→1
x− 1x− 1
=1− 1 1− 1 0
1− 1 1− 1 0
Jadi harus diubah lebih dahulu dengan jalan dikalikan dengan sekawannya.
limx→1
x− 1x− 1
= lim
= lim
= limx→1
( x− 1) ( x 1)
( x− 1) ( x 1)
( x − 1)( x 1)
( x )2− 12
( x − 1)( x 1) x− 1
= lim x 1 = 1 +1 = 1+1=2
b. limx→0
x 2− 2x
= 0 2− 2 2− 2 00 0 0
Jadi harus diubah lebih dahulu dengan jalan dikalikan dengan sekawannya.
limx→0
x 2− 2x
= limx→0
= lim
= lim
( x 2 − 2) ( x 2 2) x
( x 2)2− ( 2)2
x( x 2 2)
x 2− 2
x( x 2 2)
Limit Fungsi 207
x→0 x→0
02− 0
⋅
( x− x)(1 x 1)
x→0
x→0
x→0
x→0
x→0
x→0
= limx
x( x 2 2)= lim
1
x 2 2
=
=
1
0 2 2
2 12
2⋅ 2 4
=1 1 2
2 2 2 2 2
c. limx→0
1 − x 1 x2− x
= 1 − 0 1 1− 1 1− 1 00 0 0
Jadi harus diubah lebih dahulu dengan jalan dikalikan dengan sekawannya.
limx→0
1 − x 1 x2− x
= lim
= lim
= lim
= lim
= lim
(1 − x 1) (1 x 1)
( x2− x) (1 x 1)
12− ( x 1)2
( x2− x)(1 x 1)
1− ( x 1)2
1− x− 1x( x− 1)(1 x 1)
− x
x( x− 1)(1 x 1)
= lim−1
( x− 1)(1 x 1)=
−1
(0− 1)(1 0 1)
=−1
(−1)(1 1)=
−1 1−2 2
3. Carilah limh→0
f ( x h ) − f ( x ) h
, jika diketahui fungsi f(x) di bawah ini.
a.
b.
f(x) = 2x + 3
f(x) = 3x2 – x
Penyelesaian
a. f(x) = 2x + 3f(x + h) = 2 (x + h) + 3
= 2x + 2h + 3
208 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
h→0
h→0
f(x) = 3x – x
6xh 3h− h
6xh 3h h= lim0 h h h
−
= lim (6x 3h− 1)
− 23 1 2
x− 2 2x2− x− 3 x x
1 2 3 .... x
limh→0
f ( x h ) − f ( x ) h
= limh→0
= lim
= lim
2 x 2 h 3 − (2 x 3) h
2 x 2 h 3 − 2 x − 3 h
2 h h
= lim 2 = 2h→0
b. 2
f(x + h) = 3(x + h)2 – (x + h)
= 3(x2 + 2xh + h2) – x – h= 3x2 + 6xh + 3h2 – x – h
limh→0
f ( x h ) − f ( x ) h
= limh→0
= limh→0
= limh→0
3 x 2 6 xh 3 h 2− x − h − (3 x 2− x ) h
3 x 2 6 xh 3 h 2− x − h − 3 x 2 x h
2
h2
h→
h→0
= 6x + 3⋅ 0 – 1 = 6x – 1
Buatlah kelasmu menjadi beberapakelompok, lalu kerjakan soal-soal berikutsecara berkelompok.
1. limx→2
2. limx→∞ x2
Cocokkan dengan kelompok lain adakandiskusi kelas.
Ingat!!
Sn = 12 n {2a + (n – 1)b}
di mana:Sn = jumlah n sukua = suku pertamab = beda (selisih suku-suku
yang berurutan)n = banyaknya suku
Limit Fungsi 209
a. lim (2x 7) b. lim ( x2 4x− 9)
2. Diketahui f(x) = x− 2, untuk x 4 x x− 7, untuk x≥ 4
a. lim x− 9
a. lim{ f (x)− g (x)}
7.2
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.
1. Tentukan nilai limit berikut.
x→−2 x→1c. lim
x→5
2x− 3
x2− 4x 1
2
Hitunglah nilai limit berikut.
a. lim f ( x)x→1
b. lim f ( x)x→5
3. Hitunglah nilai limit berikut ini.
2
x→−3 x 3b. lim
x→2
2 x 2− 5 x 2 x− 2
c. limx→3
x2− x 2− 6 x x− 3
4. Carilah limh→0
f ( x h ) − f ( x ) h
, jika diketahui fungsi di bawah ini.
a. f(x) = 3x + 2 b. f(x) = x2 + 3x – 1
5. Tentukan nilai limit berikut ini.
a. lim 2x→1
− 5− xx− 1
b. limx→0
x x
x
6. Jika diketahui f(x) = 3x – 2 dan g(x) = x2 + x – 3, tentukan:
x→2b. lim { f ( x)}2
x→1c. lim
x→0
g ( x ) f ( x)
2. Menghitung Limit Fungsi Trigonometri
r
BD Perhatikan gambar di samping. Dari gambar
di samping diketahui panjang jari-jari lingkaran = r,besar sudut AOB adalah x radian, BC dan AD tegak
Ox
r C Alurus OA untuk 0 < x < 12
BCOB
= sin x⇒ BC = OB sin x
BC = r sin x
210 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
2
⋅
< 1 x r2 < 2
⋅2
⋅
1 r 2
OC sin x
2⋅
x⋅ r
1 r 2
2
⋅
1 r 2
< OA tan x
: r
2 2
lim
lim
lim
< cos x
< lim0
1cos 0
11
r 2
x r 2
lim
= 1 atau lim sin x = 1
1
⋅ cos x⋅ sin x 1
ADOA = tan x⇒ AD = OA tan x
= r tan x
L∆ OBC
1 OC⋅ BC
< L juring OAB <
2
L OAD
1 OA⋅ AD
1 OC⋅ r sin x
1 OC⋅ r⋅ sin x
2
r
<
<
<
1 x r2
12
2
x
< 1 OA⋅ r⋅ tan x
1 OA⋅ r⋅ tan x
2
r
1 2
2
Ingat!!
cos x sin x
cos x sin x
cos x
lim cos xx→0
cos 0
1
<
<
<
<
<
<
x
x
xsin x
xx→0 sin x
xx→0 sin x
xx→0 sin x
< r tan x
< tan x
1
1x→ cos x
<
<
: sin xr
O x
Luas juring =
=
A
x
2
12
B
1 <x
x→0 sin x < 1
Maka limx→0
xsin x x→0 x
Dari persamaan:
cos x sin x < x < tan x: tan x
cos x sin xtan x
xtan x
tan xtan x
cos x sin x
sin x x
tan xcos x
cos x xsin x tan x
cos2x <x
tan x <1
Limit Fungsi 211
= 13⋅ 1⋅ 3 = 9
⋅= lim0 3 sin 3x⋅ 3x
= lim0 3 sin 3x⋅ 3x
3 3
x→0⋅
x→0⋅
x→0
x→0
x→0x→0
x→0
lim cos2 x limx→0 x→0
1 < lim
xtan x
xtan x
1
1
Maka limx
tan x= 1 atau lim
tan x x =1
Dengan cara yang sama didapat rumus:
limx→0
limx→0
xsin x
sin x x
1⇒
1⇒
limx→0
limx→0
axsin ax
sin ax ax
1
1
limx→0
limx→0
xtan x
tan x x
1
1
⇒
⇒
limx→0
limx→0
axtan ax
tan ax ax
1
1
Untuk lebih memahami tentang limit fungsi trigonometri, perhatikan contoh berikut.
Contoh soal
1. Carilah nilai limit berikut.
a.
b.
limx→0
limx→0
sin 2 x 3x
5x3sin 3x
c. lim
d. lim
4 tan 5 x 3x
2xtan 4x
Penyelesaian
a. limx→0
sin 2 x 3x
= limsin 2x 2x
3x 2x
= limsin 2x 2x
2x 3x
= 1⋅ 2 = 2
b. limx→0
5x3sin 3x =
limx→0
5x3 sin 3x ⋅
3x3x
3x 5xx→
1 3x 5xx→
5 5
212 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
⋅
⋅x→0
3 3 3
⋅ ⋅x→0 x→0
lim 2x⋅ cot x
b. lim 3tan 4x
⋅
⋅⋅x→0
2
⋅
⋅⋅
x→0
x→0
x→0x→0
x→0
x→
c. limx→0
4 tan 5 x 3x
= limx→0
4 tan 5x 5x3x 5x
= lim 4 tan 5x 5x5x 3x
= 4⋅ 1⋅ 5 = 20 = 6 2
d. limx→0
2xtan 4x
= lim2x 4x
tan 4x 4x= lim
4x 2xtan 4x 4x
= 1⋅ 24 = 12
2. Carilah limit berikut.
a. limx→0
2sin 5 x tan 2x
c.x→0
x→0 sin 6xPenyelesaian
a. limx→0
2sin 5 x =tan 2x
limx→0
2sin 5x 2x 5xtan 2x 2x 5x
= lim 2sin 5x5x
2x 5xtan 2x 2x
= 2⋅ 1⋅ 1⋅ 5 = 5
b. limx→0
3tan 4 x sin 6x
= lim
= lim
3tan 4x 4x 6xsin 6x 4x 6x
3tan 4x6x 4x
4xsin 6x 6x
= 3⋅ 1⋅ 1⋅ 46 = 2
c. lim 2x⋅ cot x = lim2x
tan x Ingat!!
3.
= lim 2⋅
Carilah limit berikut.
xtan x = 2⋅ 1 = 2
tan x cot x = 1
a. limx→0
2 − 2cos 2 x x2
c. limh→0
sin( x h ) − sin x h
b. lim4
cos 2 x
x−4
Limit Fungsi 213
x x→0 x→0
= x→0
x→0
= 4 lim0 x= 4⋅ 1 = 4
lim
misal y = x – 4
x = y + 4
untuk x→ 4 , maka y = 0
cos 2( y4 )y
4
⋅
⋅
2 2
2 2
2 2
Penyelesaian
a. limx→0
2 − 2cos 2 x 2 = lim
2(1 − cos 2 x )
x 2= lim
2{1 − (1 − 2sin 2 x )}
x2
= limx→0
lim
= lim
2(1 − 1 2sin 2 x ) x2
2(2sin 2 x )
x2
4sin 2 xx2
Ingat!!
cot 2x = 1 – 2 sin2x
x→
2
sin x 2
b.
lim = limy→0 y→0
cos 2 x
x→ 4 x−
Ingat!!
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin Bcos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
cos (2 y 2 ) y
=
=
=
=
=
limy→0
limy→0
limy→0
limy→0
limy→0
(cos 2 y ⋅ cos − sin 2 y ⋅ sin )
y
(cos 2 y ⋅ 0 − sin 2 y ⋅ 1) y
(0 − sin 2 y ) y
− sin 2 y 2 yy 2 y
− sin 2 y 2 y2 y y
= –1⋅ 2 = –2
c. limh→0
sin ( x h ) − sin x h
= limh→0
2 cos 1 {( x h ) x } ⋅ sin 1 {( x h ) − x }
h
= limh→0
2 cos ( x 1 h ) ⋅ sin 1 h
h
214 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
x→x→ cos xa. lim 1 cos 2x
h→0
(A + B)⋅
21
21
lim cos ( x 12 h)⋅
2⋅ 12 h
2cos ( x 12 21 hh) sin= lim
sin 12 h
= h→0 1 h2
= cos (x + 12⋅ 0)⋅ 1= cos x
7.3
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.
1. Carilah limit berikut.
sin A + sin B = 2 sin
sin A – sin B = 2 cos
sin
Ingat!!
(A + B)
12
(A – B)
a. limx→0
sin 3 x 5x
c. limx→0
6 tan x 4x
b. limx→0
4x2sin x
d. limx→0
7 x5sin 5x
2. Carilah limit berikut.
a. limx→0
2sin 5 x 3sin 2x
c. limx→0
tan 8x4sin 4x
b. limx→0
4sin 2 x tan 4x
d. limx→0
3tan 2 x 2 tan 3x
3. Tentukan nilai dari:
a. limx→0
x sin 3 x tan 2 x
b. limx→0
sin 43 x
3x
4. Hitunglah nilai dari:
12
b. lim14
tan x − 1 cos 2x
5. Hitunglah nilai dari:
a. limx→0
1 − cos 2 x x2
b. limx→0
tan 3 x sin x
x 2
Limit Fungsi 215
sebagai berikut.
maka nilai lim
, maka nilai lim f ( x) =∞ .C0
0 , maka nilai lim f ( x) harus diubah lebih dahulu supaya
lim f (x) f (a)
lim k⋅ f ( x) k⋅ lim f ( x)
lim { f ( x) g ( x)} lim f ( x) lim g ( x)
1.
2.
Pengertian limit
Limit sering dikatakan sebagai nilai pendekatan.
Limit tak berhingga
Untuk mengerjakan limit menuju tak berhingga berbentuk limx→∞
f ( x)
g ( x)berlaku
a. Jika derajat dari pembilang f(x) lebih besar daripada derajat penyebut g(x),
f ( x)x→∞ g ( x) adalah∞ .
b. Jika derajat dari pembilang f(x) sama dengan derajat penyebut g(x), maka
nilai limx→∞
f ( x)g ( x)
adalah real.
c. Jika derajat dari pembilang f(x) lebih kecil daripada derajat penyebut g(x),
3.
maka nilai limx→∞
Limit berhingga
f ( x)g ( x)
adalah 0.
Untuk mengerjakan limit menuju berhingga berbentuk lim f ( x) berlaku sebagaix→a
berikut.
a.
b.
Jika f(a) = C, maka nilai lim f ( x) = C.x→a
Jika f(a) =x→a
c. Jika f(a) = 0C
, maka nilai lim f ( x) = 0.x→a
d. Jika f(a) = 0 x→a
berbentuk a, b, atau c.
4. Sifat-sifat limit
Apabila k suatu konstanta, f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limituntuk x mendekati a, maka berlaku:
a.
b.
c.
d.
x→a
lim k = kx→a
x→a x→a
x→a x→a x→a
216 Matematika SMA dan MA Kelas XI Program IPA
f ( x)⋅ lim g ( x)x→a
f ( x) x→a , lim g ( x)≠ 0
f ( x) lim f ( x)
Nilai lim x2− 9 adalah ….
6− 4x4
e. limx→a
f ( x)⋅ g (x) limx→a
f. limx→a
lim f ( x)
g ( x) lim g ( x)x→a
x→a
g. limx→a
n
x→a
n
I.
1.
Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
x→5
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
e. 6
2. Nilai limx→2
a. 3
x − 4 3− x
adalah .…
d. 13
b. 1
c. 0e. – 13
3. Nilai limx→1
a. 0
2 x 2− 2 x− 1
= ….
d. 4b. 1c. 2
e. 6
4. Nilai limx→∞
a. –2
b. –1
2 x − 1 3− x
adalah ….
d. 23e. 2
c. 0
5. Nilai limx→∞ 2 x4
a. –6
b. –4
c. 3
adalah ….
d. 4e. 6
Limit Fungsi 217
Nilai lim x2 2x− x2 x adalah ….
a. – 3
e. 3
x2− 9x→−3 x 3
2 x 3
x→8
lim f ( x) 3 , lim g ( x)−5 , dan 1 , maka nilai dari