-
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Bilangan merupakan ide abstrak yang digunakan untuk
menyatakan
banyaknya anggota suatu himpunan. Karena bilangan merupakan
suatu ide
abstrak, maka perlu adanya suatu simbol yang dapat mewakili
bilangan tersebut,
simbol ini yang disebut lambang bilangan. Lambang-lambang dasar
yang
digunakan untuk menyusun suatu lambang bilangan yang baru
disebut angka.
Lambang-lambang bilangan dasar itu adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9. Dalam
matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah
diperluas
untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan
rasional, bilangan
irasional, dan bilangan kompleks.
Dalam makalah pembahasan hanya terfokus pada konsep bilangan
bilangan bulat dan operasinya. Bilangan bulat merupakan kumpulan
bilangan
bulat negatif, bilangan nol, dan bilangan bulat positif.
Bilangan bulat merupakan
konsep prasyarat yang harus dikuasai oleh semua siswa sebelum
memahami
konsep selanjutnya.
Begitu pentingnya pemahaman akan bilangan bulat, maka
didalam
pembelajaran mengenai bilangan bulat haruslah dikemas sedemikian
rupa
sehingga siswa memahami dengan benar konsep tersebut dan guru
diharapkan
tidak menggunakan cara yang mekanik, seperti memberikan aturan
secara
langsung untuk dihafal, diingat, dan diterapkan. Untuk itu di
dalam makalah ini
akan dibahas mengenai cara mengajarkan konsep bilangan dan
operasinya
khususnya bilangan bulat.
1.2 Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam makalah ini yakni
sebagai
berikut:
a. Bagaimana konsep bilangan bulat?
-
b. Bagaimanakah operasi pada bilangan bulat dan bagaimana
cara
mengajarkannya?
1.3 Tujuan Penulisan
a. Untuk mengetahui konsep bilangan bulat.
b. Untuk mengetahui operasi pada bilangan bulat dan cara
mengajarkannya.
-
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Konsep Bilangan Bulat
Munculnya konsep bilangan bulat adalah sebagai akibat dari
keterbatasan bilangan asli yang dikenal terlebih dahulu.
Terdapat dua konsep
dasar bilangan bulat yaitu konsep tanda bilangan dan kuantitas
atau harga mutlak.
Ada dua macam Tanda bilangan yaitu tanda positif yang diberi +
dan tanda
negatif yang diberi simbol -. Dengan adanya bilangan bulat
negatif akhirnya
diperoleh suatu sistem bilangan yang terdiri atas bilangan cacah
dan bilangan
bulat negatf. Dengan demikian, bilangan bulat dapat dibagi
menjadi tiga
kelompok sebagi berikut.
Bilangan bulat Positif terdiri atas: 1,2,3,4,5,dst
Bilangan nol
Bilangan bulat negatif yang terdiri atas : -1,-2,-3,-4 dst.
Adapun definisi dari bilangan bulat adalah sebagai berikut:
Himpunan Bilangan Bulat adalah
Bilangan-bilangan dst disebut bilangan bulat positif,
bilangan
dstnya disebut bilangan bulat negatif, dan 0 disebut
bilangan bulat yang tidak positif dan juga tidak negatif.
Setiap bilangan bulat memiliki dua ciri penting yaitu yang
disebut Tanda Bilangan
dan Kuantitas atau Harga Mutlak. Misalnya bilangan positif 6 dan
bilangan
negatif enam ditulis dengan -6, kedua bilangan itu memiliki
tanda yang berbeda,
tetapi dia memiliki kuatitas atau harga mutlak yang sama. Dengan
demikian
dapatlah disimpulkan sebagai berikut.
Bilangan 7 memiliki tanda positif dan harga mutlak atau
kuantitas = 7
Bilangan -7 memiliki tanda negatif dan harga mutlak atau
kuantitas = 7
Bilangan 4 memiliki tanda positif dan harga mutlak atau
kuantitas = 4
Bilangan -4 memiliki tanda negatif dan harga mutlak atau
kuantitas = 4
dsbnya
-
Invers Jumlah atau Lawan dari Sebuah Bilangan
Bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif dapat diatur
berpasangan.
Tiap anggota dari pasangan bilangan tersebut disebut lawan atau
invers dari
anggota yang lain pada pasangan bilangan tersebut.
4 lawan dari 4 atau lawan dari 4 adalah 4
3 lawan dari 3 atau lawan dari 3 adalah 3
2 lawan dari 2 atau lawan dari 2 adalah 2
1 lawan dari 1 atau lawan dari 1 adalah 1
Sehingga secara umum dapat disimpulkan bahwa jika terdapat
bilangan bulat
Lawan (invers jumlah) dari adalah
Lawan (invers jumlah) dari adalah
Untuk membelajarkan konsep bilangan bulat kita dapat
memberikan
contoh kegiatan sebagai berikut. Jika posisi awal dinyatakan
oleh bilangan nol (0),
posisi satu langkah (satusatuan) di sebelah kanan dinyatakan
oleh bilangan +1
dan posisi satusatuan di sebelah kiri dinyatakan oleh bilangan 1
(negatif satu).
Dengan demikian, posisi dua satuan di sebelah kanan dinyatakan
oleh bilangan +2
dan dua posisi dua satuan di sebelah kiri dinyatakan oleh
bilangan 2 (negatif
dua). Hal serupa dapat dilakukan untuk menyatakan tiga satuan di
sebelah kanan,
tiga satuan di sebelah kiri, empat satuan di sebelah kanan,
empat satuan di sebelah
kiri, dan seterusnya. Bilanganbilangan seperti itu disebut
bilangan bulat.
Bilangan bulat adalah bilangan yang merupakan gabungan dari
bilangan bulat
negatif (,3, 2, 1), bilangan nol, dan bilangan bulat positif (1,
2, 3, 4,).
Bilangan bulat dapat dinyatakan dengan menggunakan garis
bilangan. Contoh dari
bilangan bulat adalah {, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 ,4, }. Misalkan
diberikan
garis bilangan seperti gambar di bawah ini.
Dari garis bilangan tersebut diperoleh bahwa makin ke kanan
nilai
bilangannya makin besar. Sebaliknya, makin ke kiri nilai
bilangannya makin
kecil. Pada garis bilangan, 5 terletak di sebelah kanan 4, maka
5 > 4. Dan, jika
6 0 1 2 3 5 4 1 2 6 7 3 4 5 8
-
suatu bilangan kurang dari bilangan yang lain, maka pada garis
bilangan, bilangan
itu terletak di sebelah kiri. Dengan demikian, jika 3 terletak
di sebelah kiri 2,
maka 3 < 2. Pada garis bilangan dengan arah mendatar,
berlaku:
1. Jika terletak di sebelah kanan , maka , dan
menghasilkan bilangan bulat positif.
2. Jika terletak di sebelah kiri , maka , dan menghasilkan
bilangan bulat negatif.
Semua bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri 0. Jadi,
jika
berarti bilangan negatif. Sebaliknya semua bilangan bulat
positif terletak di
sebelah kanan 0. Jadi, jika berarti a bilangan positif.
2.2 Operasi Pada Bilangan Bulat dan Cara Mengajarkannya
2.2.1 Penjumlahan
Penjumlahan menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (2002)
adalah
proses, cara, perbuatan penjumlahan. Penjumlahan adalah cara
memperoleh
bilangan baru berdasarkan bilangan yang telah diketahui.
Penjumlahan pada
bilangan bulat berorientasi pada karakteristik dari bilangan
bulat itu sendiri yaitu
yang memiliki tanda bilangan dan kuantitas. Kedua karakteristik
ini mesti
tercermin dalam pembahasan mengenai operasi penjumlahan bilangan
bulat
tersebut.
Sifat-sifat Penjumlahan pada Bilangan Bulat
Operasi penjumlahan memiliki tiga sifat yaitu sifat pertukaran
dan sifat
pengelompokan.
Sifat pertukaran (komutatif), dapat diartikan bahwa pertukaran
tempat dari
kedua bilangan yang dijumlahkan tidak berpengaruh terhadap
hasil
operasi. Sebagai contoh misalnya: , dimana .
Sifat pengelompokan (asosiatif) berarti bahwa dalam penjumlahan,
cara
pengelompokan tidak mempengaruhi hasil terakhir. Perlu disadari
bahwa
penjumlahan itu merupakan operasi biner yang artinya hanya
didefinisikan
-
untuk jumlah dua bilangan saja. Ketika ingin mencari jumlah
lebih dari
dua bilangan, maka harus dilakukan pengelompokkan dua-dua.
Cara
mengelompokkan inilah tidak berpengaruh terhadap hasil akhir.
Sebagai
contoh misalnya , berlaku .
Sifat penjumlahan dengan nol, yaitu bahwa semua bilangan asli
jika
ditambah dengan nol hasilnya tetap sama dengan bilangan itu
sendiri. Jadi
suatu bilangan asli a jika ditambah dengan nol akan tetap sama
dengan a.
Sehingga dapat dirumuskan sifat penjumlahan dengan nol ini daam
bentuk
, dimana .
Setiap bilangan bulat mempunyai invers aditif. Invers dari
bilangan bulat
adalah dan berlaku .
Pembelajaran Penjumlahan pada Bilangan Bulat
a. Penjumlahan dengan Peragaan Gerakan Model
Penjumlahan pada bilangan bulat dapat dilakukan peragaan
gerakan
suatu model, yaitu dengan gerakan maju atau gerakan naik
dengan
ketentuan sebagai berikut.
1) Arah menghadap model.
a) Positif : Model menghadap ke kanan atau ke atas.
b) Negatif : Model menghadap ke kiri atau ke bawah.
2) Titik permulaan selalu dimulai dari titik yang mewakili
bilangan 0.
Contoh:
Hitunglah jumlah dari 6 + (-4) dengan peragaan gerakan!
Penyelesaian:
Tetapkan posisi awal model sebagai titik nol, lalu hadapkan
model ke
kanan (dilihat dari posisi siswa). Kemudian gerakkan/langkahkan
model
ke kanan sebanyak 6 langkah. Setelah itu, balikkan arah model
(hadapkan
ke kiri) kemudian gerakkan/langkahkan model maju sebanyak 4
langkah.
Siswa diminta untuk memperhatikan posisi terakhir model berada,
yaitu di
titik 2. Jadi, 6 + (-4) = 2.
-
b. Penjumlahan dengan Menggunakan Garis Bilangan
Kita dapat memikirkan penjumlahan bilangan bulat sebagai
suatu
gerakan atau perpindahan sepanjang suatu garis bilangan. Suatu
bilangan
bulat positif menggambarkan gerakan ke arah kanan, sedangkan
bilangan
bulat negatif menggambarkan gerakan ke arah kiri. Titik
permulaan selalu
dimulai dari titik yang mewakili bilangan 0.
Contoh:
Hitunglah jumlah dari 6 + (-2) dengan menggunakan garis bilangan
!
Penyelesaian:
6 + (-2) berarti suatu gerakan yang di mulai dari 0, bergerak 6
satuan ke
kanan dan dilanjutkan dengan bergerak 2 satuan lagi ke kiri.
Gerakan ini
berakhir di titik yang mewakili bilangan 4. Gerakan tersebut
apabila dibuat
diagramnya sebagai berikut.
Jadi, 6 + (-2) = 4.
Agar siswa lebih tertarik, garis bilangan dapat diilustrasikan
dengan
menggunakan wayang, mobil, binatang dan lain-lain sebagai
berikut.
Gambar ini merupakan suatu bentuk alat peraga yang dapat
digunakan
mengilustrasikan suatu garis bilangan secara kongkrit. Dalam hal
ini posisi
-
wayang dimulai dari titik nol. Untuk menggunakan alat peraga
ini
disepakati beberapa aturan yaitu:
Untuk menunjukkan bilangan positif berarti wayang
menghadap ke kanan
Untuk menunjukkan bilangan negatif berarti wayang
menghadap ke kiri
Untuk penjumlahan berarti melangkah maju
Contoh 1 :
Tentukan hasil dari 4 + 3 !
Penyelesaian:
Langkah-langkah dalam menggunakan alat peraga tersebut
adalah
sebagai berikut:
i. Letakkan posisi wayang pada titik nol. Seperti berikut,
ii. Bilangan pertama pada soal adalah 4, maka wayang
menghadap
ke kanan dan melangkah ke kanan sebanyak 4 langkah
iii. Langkah berikutnya adalah tambah 3, jadi wayang tetap
menghadap ke kanan dan maju ke kanan sebanyak 3 langkah,
maju 4
satuan
-
Kedudukan terakhir model adalah 7. Jadi, 4 + 3 = 7
Contoh 2 :
Menentukan hasil dari (-2) + 5 !
Penyelesaian:
i. Letakkan posisi wayang pada titik nol sebagai berikut,
ii. Bilangan pertama pada soal adalah (-2), maka wayang
menghadap ke kiri dan melangkah ke kiri sebanyak 2 langkah,
iii. Langkah berikutnya adalah tambah 5, maka wayang
menghadap
ke kanan dan maju ke kanan sebanyak 5 langkah,
maju 3 satuan
maju 2
satuan
-
Posisi terakhir adalah 3. Jadi, (-2) + 5 = 3.
Contoh 3:
Menentukan hasil dari 4 + (-5) !
Penyelesaian:
i. Letakkan posisi wayang pada titik nol seperti berikut,
ii. Bilangan pertama pada soal adalah 4, maka wayang
menghadap
ke kanan dan melangkah maju sebanyak 4 langkah,
iii. Langkah selanjutnya adalah tambah (-5), maka wayang
menghadap ke kiri dan melangkah maju sebanyak 5 langkah,
maju 5
satuan
maju 4
satuan
-
Posisi terakhir adalah (-1). Jadi, 4 + (-5) = (-1).
Contoh 4:
Menentukan hasil dari (-2) + (-4) !
Penyelesaian:
i. Letakkan posisi wayang pada titik nol seperti berikut,
ii. Bilangan pertama pada soal adalah (-2), maka wayang
menghadap ke kiri dan melangkah sebanyak 2 langkah,
iii. Langkah selanjutnya adalah tambah (-4), maka wayang
menghadap tetap ke kiri dan melangkah sebanyak 4 langkah ke
kiri,
maju 5
satuan
maju 2
satuan
-
Posisi terakhir adalah (-6). Jadi, (-2) + (-4) = (-6).
Pembelajaran Pengurangan pada Bilangan Bulat
Prinsip pengurangan adalah proses pengambilan sejumlah objek
dari objek yang ada. Sifat yang berlaku pada pengurangan
bilangan bulat
hanyalah sifat ketertutupan yang artinya setiap diambil dua
bilangan bulat
sebarang pasti ditemukan bilangan bulat lainnya yang merupakan
hasil
pengurangan kedua bilangan bulat tersebut. Selain sifat
ketertutupan ini
tidak ada sifat yang berlaku.
Seperti pada penjumlahan, untuk mengajarkan operasi
pengurangan pada bilangan bulat juga dapat menggunakan
pendekatan
garis bilangan. Dalam hal ini, digunakan alat peraga wayang
bilangan.
Untuk mengajarkan operasi pengurangan dengan menggunakan alat
peraga
wayang bilangan diperlukan kesepakatan beberapa aturan
berikut:
1. Wayang selalu dimulai di titik nol dan menghadap ke kanan
atau positif
2. Bilangan positif berarti wayang menghadap ke kanan atau
positif dan
bilangan negatif berarti wayang menghadap ke kiri atau
negatif
3. Tanda kurang berarti wayang melangkah mundur
maju 4
satuan
-
Untuk dapat memahaminya, perhatikan contoh-contoh berikut.
a. Operasi Pengurangan Bilangan Bulat Positif dengan Bilangan
Bulat
Positif
Contoh 1. Tentukan hasil dari 5 3
Langkah-langkahnya:
i. Tempatkan posisi wayang pada titik nol
ii. Bilangan pertama pada soal adalah 5, maka wayang tetap
menghadap
ke kanan dan melangkah ke kanan sejauh 5 langkah
iii. Langkah selanjutnya adalah dikurangi 3, maka wayang
tetap
menghadap ke kanan dan melangkah mundur sejauh 3 langkah
iv. Kedudukan akhir wayang adalah 2. Jadi 5 - 3 = 2.
-
b. Operasi Pengurangan Bilangan Bulat Negatif dengan Bilangan
Bulat
Positif
Contoh 2. Tentukan hasil dari -7 3
i. Tempatkan posisi wayang pada titik nol.
ii. Karena bilangan pertama -7, maka wayang menghadap ke kiri
dan
melangkah ke kiri sejauh 7 langkah
iii. Langkah selanjutnya dikurangi 3, berarti wayang menghadap
ke kanan
dan melangkah mundur sejauh 3 langkah
iv. Posisi akhir adalah - 10. Jadi -7 3 = -10
-
c. Operasi Pengurangan Bilangan Bulat Positif dengan Bilangan
Bulat
Negatif
Contoh 3. Tentukan hasil dari 5 (-3)
i. Tempatkan wayang pada posisi nol
ii. Bilangan pertama adalah 5, maka wayang tetap mengahdap ke
kanan
dan melangkah ke kanan sejauh 5 langkah
iii. Langkah selanjutnya adalah dikurangi (-3), maka wayang
menghadap
ke kiri (arah negatif) kemudian melangkah mundur 3 langkah
iv. Posisi terakhir model adalah 7. Jadi 4 (-3) = 7.
-
d. Operasi Pengurangan Bilangan Bulat Negatif dengan Bilangan
Bulat
Negatif
Contoh 4. Tentukan hasil dari (- 7) (-3)
i. Tempatkan wayang pada posisi nol
ii. Bilangan pertama adalah (-7), maka wayang menghadap ke kiri
dan
melangkah ke kiri sejauh 7 langkah
iii. Langkah selanjutnya adalah dikurangi (-3), maka wayang
tetap
menghadap ke kiri (arah negatif) kemudian melangkah mundur 3
langkah
iv. Posisi terakhir model adalah -4. Jadi .
-
Pembelajaran Perkalian pada Bilangan Bulat
Sebagai suatu operasi, perkalian berhubungan dengan penjumlahan
berulang.
Oleh karena itu, operasi perkalian dapat dikaitkan dengan proses
penggabungan
beberapa himpunan objek yang masing-masing memiliki banyak
anggota yang
sama. Untuk lebih jelasnya dapat diilustrasikan sebagai
berikut:
Dari gambar di atas, nampak bahwa penggabungan 3 himpunan yang
masing-
masing banyak anggotanya sama yaitu 2 menghasilkan suatu
himpunan yang
banyak anggotanya 6. Dari sini dapat dituliskan suatu bentuk
perkalian yaitu
. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa .
Dari kondisi tersebut didapatlah suatu definisi konsep perkalian
:
Dalam perkalian, bilangan yang terletak di depan disebut pengali
sedangkan
bilangan yang terletak di belakang disebut bilangan yang
dikalikan. Adapun
beberapa sifat yang ada pada operasi perkalian adalah sebagai
berikut:
1. Sifat pertukaran, yang berarti bahwa pertukaran tempat dari
pengali dan yang
dikalikan tidak berpengaruh terhadap hasil akhir, yaitu
2. Sifat pengelompokan, yang berarti bahwa jika dalam kalimat
perkalian ada
tiga atau lebih, maka untuk menentukan hasil kalinya perlu
dilakukan
Misalkan a dan b adalah suatu bilangan cacah, dan a 0
maka
a b = b + b + ... + b
Sebanyak a
-
pengelompokan dua-dua, karena perkalian termasuk pada operasi
biner
yaitu operasi yang hanya didefiisikan untuk dua bilangan saja,
yaitu
3. Sifat adanya unsur satuan, artinya ada bilangan 1 yang
berlaku bahwa
4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, dalam hal
ini berlaku bahwa
5. Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, dalam hal
ini berlaku bahwa
Untuk membelajarkan konsep perkalian, guru dapat mengajak siswa
untuk
menterjemahkan kalimat seharihari dalam bentuk perkalian.
Contoh:
Nana membeli 2 kantong tomat. Dimana setiap kantong Nana berisi
5 buah tomat.
Jika Nana membeli 2 kantong tomat, berapakah jumlah buah tomat
yang ibu
dapatkan?
Jawab:
1 kantong tomat mendapat 5 buah tomat. Dapat diilustrasikan
sebagai berikut.
1 kantong tomat =
Jika 2 kantong tomat maka:
Jika Nana membeli 2 kantong tomat berarti Nana mendapatkan tomat
sebanyak
.
Dapat ditulis
5 + 5
-
Cara mengajarkan operasi perkalian bilangan bulat.
Pada makalah ini, akan dibahas cara mengajarkan perkalian
bilangan bulat
dengan menggunakan alat peraga wayang bilangan. Adapun aturan
penggunaan
alat peraga wayang bilangan dalam perkalian adalah sebagai
berikut.
1. Posisi awal wayang selalu pada posisi 0.
2. Tanda pada pengali menentukan kemana wayang harus menghadap.
Jika tanda
pada pengali positif maka wayang mengadap ke bilangan postif.
Sedangkan
jika tanda pada pengali negatif maka wayang menghadap ke
bilangan negatif.
3. Tanda bilangan yang dikalikan menunjukkan arah gerakan
wayang, apabila
tandanya positif maka wayang bergerak maju sedangkan jika
tandanya negatif
maka wayang bergerak mundur.
4. Bilangan pengali mewakili berapa kali wayang melompat
sedangkan bilangan
yang dikalikan mewakili berapa satuan wayang bergerak dalam satu
lompatan.
5. Hasil dari operasi perkalian adalah posisi akhir wayang
berdiri.
Dalam mengajarkan perkalian dengan menggunakan wayang bilangan,
akan
dibagi menjadi empat yaitu perkalian bilangan bulat positif
dengan bilangan bulat
positif, perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat
negatif, perkalian
bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif, serta
perkalian bilangan bulat
negatif dan bilangan bulat negatif.
a. Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat
positif
Langkah-langkah pembelajaran operasi perkalian bilangan bulat
positif dengan
bilangan bulat positif dengan menggunakan alat peraga wayang
bilangan dapat
diilustrasikan pada contoh berikut.
Contoh:
Langkah mengerjakan:
i. Pasang wayang pada skala 0 kemudian perhatikan tanda dari
faktor
pengali. Karena faktor pengali bertanda positif maka wayang
menghadap ke
bilangan positif.
-
ii. Perhatikan tanda pada bilangan yang dikalikan.
Karena bilangan yang dikalikan bertanda positif maka wayang
meloncat maju
sebanyak faktor pengali yaitu 2 kali dan sebesar bilangan yang
dikali yaitu 3
satuan dalam sekali lompatan.
iii. Perhatikan kedudukan akhir wayang yang menunjukkan hasil
perkalian.
Karena kedudukan akhir wayang berada pada angka 6 maka hasil
perkalian
adalah 6
Jadi
Dari hal di atas , maka dapat disimpulkan bahwa perkalian
bilangan bulat positif
dengan bilangan bulat positif akan menghasilkan bilangan
positif.
b. Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat
negatif
Langkah-langkah pembelajaran operasi perkalian bilangan bulat
positif dengan
bilangan bulat negatif dengan menggunakan alat peraga wayang
bilangan dapat
diilustrasikan dengan contoh berikut.
Contoh:
Langkah mengerjakan:
-
i. Pasang wayang pada skala 0 kemudian perhatikan tanda dari
faktor
pengali.
Karena faktor pengali bertanda positif maka wayang menghadap ke
bilangan
positif.
ii. Perhatikan tanda pada bilangan yang dikalikan.
Karena bilangan yang dikalikan bertanda negatif maka wayang
meloncat
mundur sebanyak faktor pengali yaitu 3 kali dan sebesar bilangan
yang
dikalikan yaitu 2 satuan dalam sekali lompatan.
iii. Perhatikan kedudukan akhir wayang yang menunjukkan hasil
perkalian.
Karena kedudukan akhir wayang berada pada angka 6 maka hasil
perkalian
adalah 6
Jadi hasil dari 3 ( 2) = 6
Dari hal di atas, dapat disimpulkan bahwa perkalian bilangan
bulat positif
dengan bilangan bulat negatif hasilnya adalah negatif.
c. Perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat
positif
Langkah-langkah pembelajaran operasi perkalian bilangan bulat
negatif dengan
bilangan bulat positif dengan menggunakan alat peraga wayang
bilangan dapat
diilustrasikan pada contoh berikut.
-
Contoh:
Langkah mengerjakan:
i. Pasang wayang pada skala 0 kemudian perhatikan tanda dari
faktor
pengali.
Karena faktor pengali bertanda negatif maka wayang menghadap ke
bilangan
negatif.
Perhatikan tanda pada bilangan yang dikalikan.
ii. Karena bilangan yang dikalikan bertanda positif maka wayang
meloncat
maju sebanyak faktor pengali yaitu 2 kali dan sebesar bilangan
yang dikalikan
yaitu 4 satuan dalam sekali lompatan.
iii. Perhatikan kedudukan akhir wayang yang menunjukkan hasil
perkalian.
Karena kedudukan akhir wayang berada pada angka 4 maka hasil
perkalian
adalah ( 8)
Jadi,
Dari hal di atas dapat disimpulkan perkalian bilangan bulat
negatif dengan
bilangan bulat positif hasilnya adalah bilangan negatif.
-
d. Perkalian bilangan bulat negatif dan bilangan bulat
negatif
Langkah-langkah pembelajaran operasi perkalian bilangan bulat
negatif dengan
bilangan bulat negatif dengan menggunakan alat peraga wayang
bilangan dapat
diilustrasikan pada contoh berikut.
Contoh:
Langkah mengerjakan:
i. Pasang wayang pada skala 0 kemudian perhatikan tanda dari
faktor
pengali.
Karena faktor pengali bertanda negatif maka wayang menghadap ke
bilangan
negatif.
ii. Perhatikan tanda pada bilangan yang dikalikan.
Karena bilangan yang dikalikan bertanda negatif maka wayang
meloncat
mundur sebanyak faktor pengali yaitu 2 kali dan sebesar bilangan
yang
dikalikan yaitu 4.
iii. Perhatikan kedudukan akhir wayang yang menunjukkan hasil
perkalian.
Karena kedudukan akhir wayang berada pada angka 6 maka hasil
perkalian
adalah 8
Jadi, (2) ( 4) = 8
-
Dari hal di atas maka dapat disimpulkan bahwa perkalian
bilangan
bulat negatif dan bilangan bulat negatif hasilnya adalah
bilangan positif.
Pembelajaran Pembagian pada Bilangan Bulat
Adapun definisi dari konsep pembagian adalah :
Misalkan a dan b adalah sembarang bilangan cacah dengan maka
jika dan hanya jika . Dalam hal ini disebut bilangan
yang dibagi, disebut pembagi, dan c disebut hasil bagi.
Sebagai contoh misalnya suatu bilangan 10 jika dikurangi dengan
2 secara
berulang maka diperoleh kenyataan bahwa bilangan 10 itu akan
habis jika
dikurangi dua-dua sebanyak 5 kali. Sehingga diperoleh kesimpulan
bahwa
10 : 2 = 5.
Untuk membelajarkan konsep pembagian, guru dapat mengajak
siswa
untuk menterjemahkan kalimat seharihari dalam bentuk pembagian.
Adapun
contohnya adalah sebagai berikut. Misalkan saja, Ayah memiliki
10 kelereng
yang akan dibagikan sama banyak kepada kedua anaknya. Berapa
kelereng
yang diterima masing-masing anak?
Misalkan kelereng merupakan bilangan positif maka disediakan 10
buah
kelereng, kemudian langkah yang dapat dilakukan adalah
mengambil
sepuluh kelereng, dan meminta siswa untuk membilangnya. Kemudian
dari
10 kelereng itu diambil 2 (dua) kelereng dan dimasukkan ke dalam
wadah,
dan diulangi terus sampai kesepuluh kelereng tersebut habis.
Jika hal ini telah
selesai, maka hitunglah jumlah ruangan dari wadah yang terisi 5
(lima)
kelereng tersebut, yaitu sebanyak 2 (dua) ruangan. Sehingga
siswa dijelaskan
bahwa jumlah ruangan yang terisi kelereng tersebut adalah
jawaban dari soal
pembagian 10 : 2 yang sama dengan 5.
-
Ilustrasi gambar :
5 5
Dari pengelompokkan tersebut, terlihat ada 2 kelompok telur
dan
masing-masing kelompok berisi 5 buah telur. Cara pengelompokkan
seperti
itu sebenarnya sama halnya dengan memperlihatkan bentuk
pembagian.
Sifat Operasi Pembagian Bilangan Bulat
I. Sifat Operasi Pembagian Bilangan Bulat
a. Pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat komutatif
Untuk sembarang bilangan bulat dimana dengan
maka:
Contoh:
b. Pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat asosiatif
Untuk sembarang bilangan bulat dengan maka:
Contoh:
c. Pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat tertutup,
karena
pembagian dua bilangan bulat tidak selalu menghasilkan
bilangan
bulat.
Terdapat sehingga dengan himpunan
bilangan bulat.
10
-
Contoh: dan bilangan bulat.
Sedangkan bilangan bulat
d. Hasil bagi bilangan bulat dengan 0, hasilnya adalah tidak
terdefinisi
Jika a adalah bilangan bulat, maka:
Contoh:
1. 5 : 0 = tidak terdefinisi ( ~)
2. 0 : 2 = 0
Cara Mengajarkan Operasi Pembagian Bilangan Bulat dengan
Menggunakan Wayang Bilangan
Dalam mengajarkan pembagian dapat digunakan alat peraga
wayang
bilangan. Adapun aturan penggunaan alat peraga wayang bilangan
adalah
sebagai berikut.
o Tanda pada bilangan yang dibagi menentukan kemana wayang
harus
menghadap. Jika tanda bilangan yang dibagi adalah postif maka
wayang
bilangan menghadap ke bilangan positif. Sedangkan jika tanda
bilangan
yang dibagi adalah negatif maka wayang bilangan menghadap ke
bilangan
negatif.
o Tanda pada pembagi menentukan arah kepala wayang. Apabila
tanda pada
pembagi adalah pisitif maka arah kepala wayang tidak berubah.
Tetapi,
jika tandanya negatif maka kepala wayang berbalik arah dari arah
yang
semula.
o Wayang bergerak maju sejumlah bilangan yang dibagi.
o Bilangan pembagi mewakili berapa satuan wayang bergerak dalam
satu
lompatan.
-
o Hasil dari operasi pembagian adalah banyaknya lompatan wayang
menuju
0 dan tandanya sesuai dengan arah kepala wayang yang
terakhir.
a. Pembagian Bilangan Bulat Positif
Langkah-langkah pembelajaran operasi pembagian bilangan bulat
positif
dengan bilangan bulat positif dengan menggunakan alat peraga
wayang bilangan
dapat diilustrasikan pada contoh berikut.
Contoh:
Langkah mengerjakan:
1. Pasang wayang pada skala 0 kemudian perhatikan tanda dari
bilangan yang
dibagi. Karena tanda bilangan yang dibagi adalah positif maka
wayang
menghadap ke bilangan positif. Selanjutnya wayang melangkah
maju
sebanyak bilangan yang dibagi yaitu sebanyak 8 satuan.
2. Perhatikan tanda pada pembagi.
Karena tanda pembagi adalah positif (yaitu 4) maka wayang tetap
menghadap
ke bilangan positif. Selanjutnya, wayang loncat sebesar
pembaginya yaitu 4
satuan sampai menuju 0.
maju 8
satuan
Loncatan
1
Loncatan
2
-
3. Hitunglah banyaknya loncatan yang dilakukan oleh wayang
sampai menuju 0
dan perhatikan arah kepala wayang yang terakhir.
Karena banyaknya loncatan yang dilakukan oleh wayang sampai
menuju 0
adalah sebanyak 2 kali kepala wayang mengarah ke bilangan
positif maka
hasil dari
Jadi,
Dari hal di atas, maka dapat disimpulkan bahwa pembagian dua
bilangan
bulat yang tandanya sama akan menghasilkan bilangan positif.
b. Pembagian Bilangan Bulat Negatif
Langkah-langkah operasi pembagian bilangan bulat negatif dengan
bilangan
bulat negatif dengan menggunakan wayang bilangan dapat
diilustrasikan pada
contoh berikut.
Contoh:
Langkah Mengerjakan:
1. Pasang wayang pada skala 0 kemudian perhatikan tanda dari
bilangan yang
dibagi. Karena tanda bilangan yang dibagi adalah adalah negatif
maka
wayang menghadap ke bilangan negatif. Selanjutnya wayang
melangkah
maju sebanyak bilangan yang dibagi yaitu sebanyak 10 satuan.
maju 10 satuan
-
2. Perhatikan tanda pada pembagi.
Karena tanda pembagi adalah negatif (yaitu 2) maka wayang
berbalik arah
menghadap bilangan positif. Selanjutnya, wayang loncat sebesar
pembaginya
yaitu 2 satuan sampai menuju 0.
3. Hitunglah banyaknya loncatan yang dilakukan oleh wayang
sampai menuju 0
dan perhatikan arah kepala wayang yang terakhir.
Karena banyaknya loncatan yang dilakukan oleh wayang sampai
menuju 0
adalah sebanyak 2 kali kepala wayang mengarah ke bilangan
negatif maka
hasil dari
.
Dari hal di atas, maka dapat disimpulkan bahwa pembagian
bilangan bulat
yang tandanya sama hasilnya adalah bilangan positif.
c. Pembagian Bilangan Bulat Positif dengan Bilangan Bulat
Negatif
Langkah-langkah pembelajaran operasi pembagian bilangan bulat
positif
dengan bilangan bulat negatif dengan menggunakan alat peraga
wayang bilangan
diuraikan secara jelas pada contoh berikut ini.
Contoh:
Langkah mengerjakan:
1. Pasang wayang pada skala 0 kemudian perhatikan tanda dari
bilangan yang
dibagi. Karena tanda bilangan yang dibagi adalah positif maka
wayang
maju 10 satuan
-
menghadap ke bilangan positif. Selanjutnya wayang melangkah
maju
sebanyak bilangan yang dibagi yaitu sebanyak 9 satuan.
2. Perhatikan tanda pada pembagi.
Karena tanda pembagi adalah negatif (yaitu 3) maka wayang
berbalik arah
menghadap bilangan negatif. Selanjutnya, wayang loncat sebesar
pembaginya
yaitu 3 satuan sampai menuju 0.
3. Hitunglah banyaknya loncatan yang dilakukan oleh wayang
sampai menuju 0
dan perhatikan arah kepala wayang yang terakhir.
Karena banyaknya loncatan yang dilakukan oleh wayang sampai
menuju 0
adalah sebanyak 3 kali kepala wayang mengarah ke bilangan
negatif maka
hasil dari
Jadi,
Dari hal di atas, maka dapat disimpulkan bahwa Pembagian dua
bilangan
bulat berbeda tanda hasilnya adalah bilangan negatif.
maju 9 satuan
maju 9 satuan
-
d. Pembagian Bilangan Bulat Negatif dengan Bilangan Bulat
Positif
Langkah-langkah pembelajaran operasi pembagian bilangan
bulat
negative dengan bilangan bulat negatif dengan menggunakan alat
peraga
wayang bilangan dapat dijelaskan oleh contoh di bawah ini.
Contoh :
Langkah mengerjakan:
1. Pasang wayang pada skala 0 kemudian perhatikan tanda dari
bilangan
yang dibagi. Karena tanda bilangan yang dibagi adalah adalah
negatif
maka wayang menghadap ke bilangan negatif. Selanjutnya
wayang
melangkah maju sebanyak bilangan yang dibagi yaitu sebanyak 4
satuan.
2. Perhatikan tanda pada pembagi.
Karena tanda pembagi adalah positif (yaitu 2) maka wayang tetap
ke
menghadap bilangan negatif. Selanjutnya, wayang loncat sebesar
pembaginya
yaitu 2 satuan sampai menuju 0.
maju 4 satuan
maju 4 satuan
-
3. Hitunglah banyaknya loncatan yang dilakukan oleh wayang
sampai menuju 0
dan perhatikan arah kepala wayang yang terakhir.
Karena banyaknya loncatan yang dilakukan oleh wayang sampai
menuju 0
adalah sebanyak 2 kali kepala wayang mengarah ke bilangan
negatif maka
hasil dari
Jadi,
Dari hal di atas, maka dapat disimpulkan bahwa Pembagian dua
bilangan
bulat berbeda tanda hasilnya adalah bilangan negatif.
-
BAB III
PENUTUP
3.1. Simpulan
1. Konsep bilangan cacah
Terdapat dua konsep dasar bilangan bulat yaitu konsep tanda
bilangan dan kuantitas atau harga mutlak. Ada dua macam
Tanda
bilangan yaitu tanda positif yang diberi + dan tanda negatif
yang diberi
simbol -. Dengan adanya bilangan bulat negatif akhirnya
diperoleh
suatu sistem bilangan yang terdiri atas bilangan cacah dan
bilangan bulat
negatif. Pada garis bilangan diperoleh bahwa makin ke kanan
nilainya
semakin besar. Sebaliknya, makin ke kiri nilainya semakin
kecil.
Bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif dapat
diatur
berpasangan. Tiap anggota dari pasangan bilangan tersebut
disebut lawan
atau invers dari anggota yang lain pada pasangan bilangan
tersebut,
secara umum dapat simpulkan jika terdapat bilangan bulat
Lawan (invers jumlah) dari adalah
Lawan (invers jumlah) dari adalah
2. Operasi hitung pada bilangan bulat dan cara
mengajarkannya.
Operasi bilangan bulat terdiri dari penjumlahan,
pengurangan,
perkalian dan pembagian. Untuk hasil dari operasi tergantung
pada nilai
bilangan bulat yang dioperasikan. Cara untuk mengajarkan
operasi
bilangan bulat dapat dilakukan dengan menggunakan garis
bilangan,
wayang bilangan.
3.2. Saran
Diharapkan para guru memberikan pembelajaran operasi
bilangan
yang berorientasi pada pembelajaran bermakna dan menggunakan
teknik
dan media pembelajaran yang lebih beragam.