This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Załóżmy:1 rz(X) = k + 1 ≤ n2 Zmienne xi są nielosowe, a zatem są niezależne od składnika losowego3 E(ε) = 04 D2(ε) = E(εεT) = Iσ5 εi ∼ N (0, σ2)
Twierdzenie Gaussa - Markowa
Estymator β uzyskany Klasyczną Metodą Najmniejszych Kwadratów jest estyma-torem BLUE [best linear unbiased estimator], tj. zgodnym, nieobciążonym inajefektywniejszy w klasie liniowych estymatorów wektora β.
nieobciążoność, czyli E(β) = β
najefektywniejszy, czyli posiadający najmniejszą wariancję w swojej klasie
zgodny, czyli limn→∞ P(|βn − β|) < δ
Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 4 / 31
Następnie korzystając z założenie o sferyczności macierzy wariancji-kowariancjiskładnika losowego, tj. D2(ε) = E(εεT ) = σ2I , można uprościć wzór na estyma-tor wariancji kowariancji oszacowań do:
D2(βOLS) = σ2(XTX
)−1(2)
Autokorelacja oraz heteroskedastyczność implikują obciążoność macierzywariancji-kowariancji wektora oszacowań, a zatem spadek efektywnośćioszacowań wektora βOLS .
Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 5 / 31
Autokorelacja składnika losowego jest problemem najczęściej występującym wprzypadku szeregów czasowych i polega na zależności(skorelowaniu) bieżącychwartości składnika losowego od wartości przeszłych.Indeks t będzie oznaczać czas obserwacji.Zgodnie z założenia MNK:
D2(ε) =
σ2 0 . . . . . . 0
0. . .
. . .. . .
......
. . . σ2. . .
......
. . .. . .
. . . 00 . . . . . . 0 σ2
co jest równoznaczne:
∀t 6=scov(εt , εs) = 0
Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 7 / 31
Konsekwencje autokorelacji składnika losowego:Spadek efektywności estymatora parametrów βOLS . Obciążenie macierzy wariancji-kowariancji wektora βOLS , a więc obciążenie błędów szacunku. Ponadto, obciążonesą wyniki testów statystycznych opartych na błędach szacunku, jak np. test istot-notności zmiennych t-studenta.Problem autokorelacji może sygnalizować bardzo poważne problem, jak np. problempominiętych zmiennych (omitted variables bias).Przyczyny autokorelacji składnika losowego:Problem pominięcia ważnej zmiennej.Niepoprawna postać funkcyjna; wadliwa struktura dynamiczna, brak uwzględnienieczynników cyklicznych/sezonowych.Wysoka inercja zjawisk gospodarczych; psychologia podejmowanych zjawisk.Przekształcenia statystyczne.Rozwiązania problemu autokorelacji składnika losowego:Zmiana postaci funkcyjnej/ dynamicznej modelu ekonometrycznego.Uwzględnienie brakujących zmiennych objaśniających.UMNK - ugólniona metoda najmniejszych kwadratów (GLS -Generalized Least Squ-ares oraz FGLS Feasible GLS). Metody Cohrane’a-Orcutta oraz Praisa-Wintensa.Odporne błędu standardowe; w przypadku szeregów czasowych stosuje się proceduręNeweya-Westa (1987).
Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 9 / 31
Test Durbina-Watsona umożliwia sprawdzenie jedynie autokorelacji pierwszego rzędu.Statystyka testu DW opiera się na oszacowaniu współczynnika korelacji pomiędzy et aet−1:
d =
n∑t=2
(et − et−1)2
n∑t=1
e2t−1
(3)
Łatwo zauważyć, że d ≈ 2(1− ρ). Hipotezą zerową jest brak autokorelacji, tj.:H0 : ρ = 0 (4)
Natomiast hipoteza alternatywna testu DW zależy od wartości statystyki testo-wej:, tj.
H1 : ρ > 0 gdy d ∈ (0, 2) (5)H1 : ρ < 0 gdy d ∈ (2, 4) (6)
Wartości krytyczne dU i dL są stablicowane.
H1 : ρ > 0 H1 : ρ < 0Statystyka d Decyzja Statystyka d Decyzja(0, dL) są podstawy do odrzucenia
H0 na rzecz H1 o dodatniejautokorelacji
(4− dL, 4) są podstawy do odrzuceniaH0 na rzecz H1 o ujemnejautokorelacji
(dL, dU ) brak decyzji (4− dL, 4− dU ) brak decyzji(dU , 2) nie ma podstaw do odrzu-
cenia H0
(4− dU , 2) nie ma podstaw do odrzu-cenia H0
Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 10 / 31
Test DW posiada obszary niekonkluzywności.Test Durbina-Watsona umożliwia weryfikację autokorelacji jedynie pierw-szego rzędu.W specyfikacji modelu ekonometrycznego nie może zostać uwzględniona częśćautoregresyjna zmiennej objaśnianej, tj. opóźnione wartości zmiennej obja-śnianej.Test Durbina-Watsona można stostować w przypadku modeli z wyrazem wol-nym.
Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 11 / 31
Test mnożnika Lagrange’a (LM) zaproponowany przez Breuscha i Godfreya pozwalana testowanie autokorelacji zarówno pierwszego jak i wyższych rzędów.W pierwszym kroku szacowane są parametry modelu:
yt = β0 + β1x1,t + . . .+ βkxk,t + εt (7)
W drugim kroku szacowane są parametry modelu, w którym wyjąśniany jest skład-nik resztowy z modelu (7). Dodatkowo, uwzględniane są opóźnienia do rzędu Qwłącznie:
et = β0 + β1x1,t + β2x2,t + . . .+ βkxk,t︸ ︷︷ ︸zmienne objaśniające z modelu (7)
+βk+1et−1 + . . .+ βk+Q,tet−Q︸ ︷︷ ︸opóżnione reszty z modelu (7)
+ηt (8)
Hipoteza zerowa testu LM jest równoznaczna braku autokorelacji do rzędu Q włącz-nie:
posiada rozkład χ2 z Q stopniami swobody (rząd weryfikowanej autokorelacji skład-nika losowego). Są podstawy do odrzucenia H0, jeżeli LM jest większa od wartościkrytycznej χ2.
Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 12 / 31
Heteroskedastyczność składnika losowegojest drugą formą niespełnienia zało-żenia o sferyczności macierzy wariancji-kowariancji składnika losowego. Zja-wisko heteroskedastyczności składnika losowego charakteryzuje przede wszyst-kim modele oparte o dane przekrojowe.Ogólny zapis hetereoskedastyczności składnika losowego:
D2(ε) =
σ2
1 0 . . . 0
0 σ22
. . ....
.... . .
. . ....
0 . . . 0 σ2n
gdzie
σ21 6= σ2
2 6= . . . σ2k
Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 21 / 31
Konsekwencje heteroskedastyczności składnika losowego:Spadek efektywności estymatora parametrów βOLS . Obciążenie macierzy wariancji-kowariancji wektora βOLS , a więc obciążenie błędów szacunku. Ponadto, obciążonesą wyniki testów statystycznych opartych na błędach szacunku, jak np. test istot-notności zmiennych t-studenta.Problem hetereoskedastyczności może sygnalizować poważne problem, jak np. pro-blem pominiętych zmiennych (omitted variables bias).Przyczyny heteroskedsatyczności składnika losowego:Znaczne różnice heterogeniczności jednostek w próbie.Rozwiązania problemu heteroskedastyczności składnika losowego:Ważona MNK.Transformacja zmiennych do postaci logarytmicznej.Odporne błędy standardowe; dla danych przekrojowych – procedura zaproponowanaprzez White’a.Identyfikacja:Wykresy.Test White’a.
Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 22 / 31
Test White’a jest bardzo zbliżony do testu mnożnika LM zaproponowanego przezBreuscha Godfreya. W pierwszym kroku szacowane są parametry modelu:
yi = β0 + β1x1,i + . . .+ βkxk,i + εi (16)
W drugim kroku, zmienną objaśnianą są kwadraty reszt z oszacowanego modelu(16). Ponadto uwzględniane są kwadraty oraz interacje zmiennych objaśniającychz modelu (16), tj.:
e2i = β0 + β1x1,i + . . .+ βkxk,i + βk+1x2
1,i + . . .+ βk+kx2k,i +
+βk+k+1x1,ix2,i + . . .+ βk+k+Sxk−1,ixk,i + ηi
Hipotezą zerową jest homoskedastyczność składnika losowego:
H0 : σ2i = σ2 H1 : σ2
i 6= σ2 (17)
Statystyka testowa:LM = nR2 (18)
posiada rozkład χ2 z M stopniami swobody (liczba wszystkich wszystkich zmien-nych objaśniających w regresji testowej, tj. M = 2k+s). Są podstawy do odrzuceniaH0, jeżeli LM jest większa od wartości krytycznej χ2.
Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 23 / 31
Oszacowania regresji pomocnicznej (błędy standardowe w nawiasach):
u2i = −11.59283
(5.933339)+ 1.827862
(0.461246)educi , (21)
gdzie u2i to kwadrat składnika resztowego z podstawowego modelu.
W regresji pomocniczej, wartość statystyki t dla zmiennej educ wynosi 3.96.O czym to świadczy?R2 regresji pomocnicznej wynosi 0.0291Liczba obserwacji: 526.Statystyka testu White’a wynosi 15.31. Empiryczny poziom isoto-ności: 0.0001.
Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 28 / 31
Oszacowania regresji pomocnicznej (błędy standardowe w nawiasach):
u2i = −11.59283
(5.933339)+ 1.827862
(0.461246)educi , (21)
gdzie u2i to kwadrat składnika resztowego z podstawowego modelu.
W regresji pomocniczej, wartość statystyki t dla zmiennej educ wynosi 3.96.O czym to świadczy?R2 regresji pomocnicznej wynosi 0.0291Liczba obserwacji: 526.Statystyka testu White’a wynosi 15.31. Empiryczny poziom isoto-ności: 0.0001.
Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 28 / 31
Statystyka testu White’a (dla modelu z transformacją logarytmiczną): 0.74(p-value:0.389).Dlaczego oszacowania γ1 i β1 się różnią? Jaka jest różnica w ich interpretacji?
Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 29 / 31
Statystyka testu White’a (dla modelu z transformacją logarytmiczną): 0.74(p-value:0.389).Dlaczego oszacowania γ1 i β1 się różnią? Jaka jest różnica w ich interpretacji?
Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 29 / 31
Statystyka testu White’a (dla modelu z transformacją logarytmiczną): 0.74(p-value:0.389).Dlaczego oszacowania γ1 i β1 się różnią? Jaka jest różnica w ich interpretacji?
Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 29 / 31
Normalność rozkładu składnika losowego nie jest wymaganą właśnością skład-nika losowego, ale umożliwia korzystanie z testów statystycznych weryfikującychpozostałe własności składnika losowego.Test Jarque’a-Berry jest najpopularniejszą metodą w weryfikacji normalnościskładnika losowego. Statystyka teo testu opiera się na kurtozie i skośności reszt:
JB =n6
(S2 +14
(K − 3)2) (24)
gdzie S i K to odpowiednio estymatory skośności oraz kurtozy składnika losowego:
S =
1n
n∑i=1
(ei − e)3
(1n
n∑i=1
(ei − e)2)32
oraz K =
1n
n∑i=1
(ei − e)4
(1n
n∑i=1
(ei − e)2
)2− 3 (25)
Hipotezą zerową jest normalność składnika losowego:H0 : ε ∼ N (0, σ)
Wartość statystyki testowej ma rozkład χ2 z dwoma stopniami swobody. Jeżeliwartość JB jest większa od wartości krytycznej z rozkładu χ2 to są podstawy doodrzucenia H0.Odrzucenie hipotezy zerowej uniemożliwia korzystanie z testów statystycznych. Alew przypadku dużej próby, własności asymptotyczne testów nadal są pożadane.
Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 31 / 31