1 KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat, karunia dan hidayahNya, bahan ajar modul mata kuliah Statistik Probabilitas ini dapat terselesaikan. Modul yang di susun ini diharapkan digunakan sebagai sebagai sumber belajar pokok mahasiswa. Dalam Modul ini akan dipelajari tentang bagaimana cara menyelesaikan Masalah probabilitas sebagai alat pengambil keputusan, alat-alat statistik yang dibutuhkan untuk melakukan pengkajian terhadap masalah yang dihadapi. Serta senagaoi dasar berpikir selanjutnya dalam mencari terobosan baru (policy) guna memecahkan masalah yang dihadapi. Adapun isi dari mata kuliah Statistik Probabilitas ini adalah sebagai berikut : Teori probabilitas, Distribusi Probabilitas Diskret, Teori Keputusan, Metode dan Distribusi Sampling, Hipotesa, Uji Chi Kuadrat Modul yang merupakan sumber bahan belajar ini untuk membekali kompetensi mahasiswa, namun demikian, karena dinamika perubahan sain dan teknologi di industri begitu cepat terjadi, maka modul ini masih akan selalu dimintakan masukan untuk bahan perbaikan atau direvisi agar selalu relevan dengan kondisi lapangan. Dengan adanya modul ini di harapkan kepada mahasiswa agar lebih mudah dan mengerti didalam pemahaman materi - materi yang ada, karena di susun menggunakan bahasa yang sederhana, dan mudah – mudahan dapat mengaplikasikan dalam kehidupan sehari – hari. Demikian, semoga modul dapat bermanfaat bagi kita semua, khususnya para mahasiswa STMIK TRIGUNA DHARMA. Adapun saran dan kritik dari para praktisi sangat diharapkan dalam meningkatkan kualitas modul ini Medan, April 2010 Nana Kartika, ST
61
Embed
KATA PENGANTAR · Perkenalan Dengan Statistika Probabilitas A. DESKRIPSI Membahas berbagai macam konsep (teori) maupun metode statistika, yang selanjutnya dapat digunakan untuk melakukan
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat, karunia dan hidayahNya, bahan ajar modul mata kuliah Statistik Probabilitas ini dapat terselesaikan. Modul yang di susun ini diharapkan digunakan sebagai sebagai sumber belajar pokok mahasiswa.
Dalam Modul ini akan dipelajari tentang bagaimana cara menyelesaikan Masalah probabilitas sebagai alat pengambil keputusan, alat-alat statistik yang dibutuhkan untuk melakukan pengkajian terhadap masalah yang dihadapi. Serta senagaoi dasar berpikir selanjutnya dalam mencari terobosan baru (policy) guna memecahkan masalah yang dihadapi.
Adapun isi dari mata kuliah Statistik Probabilitas ini adalah sebagai berikut : Teori probabilitas, Distribusi Probabilitas Diskret, Teori Keputusan, Metode dan Distribusi Sampling, Hipotesa, Uji Chi Kuadrat
Modul yang merupakan sumber bahan belajar ini untuk membekali kompetensi mahasiswa, namun demikian, karena dinamika perubahan sain dan teknologi di industri begitu cepat terjadi, maka modul ini masih akan selalu dimintakan masukan untuk bahan perbaikan atau direvisi agar selalu relevan dengan kondisi lapangan.
Dengan adanya modul ini di harapkan kepada mahasiswa agar lebih mudah dan mengerti didalam pemahaman materi - materi yang ada, karena di susun menggunakan bahasa yang sederhana, dan mudah – mudahan dapat mengaplikasikan dalam kehidupan sehari – hari.
Demikian, semoga modul dapat bermanfaat bagi kita semua, khususnya para mahasiswa STMIK TRIGUNA DHARMA. Adapun saran dan kritik dari para praktisi sangat diharapkan dalam meningkatkan kualitas modul ini
Medan, April 2010 Nana Kartika, ST
2
CHAPTER 1 Pertemuan 1
Perkenalan Dengan Statistika Probabilitas A. DESKRIPSI
Membahas berbagai macam konsep (teori) maupun metode statistika, yang selanjutnya dapat digunakan untuk melakukan interpretasi terhadap berbagai macam data penelitian dan sekaligus mengetahui alat-alat analisa apa saja yang dibutuhkan sesuai dengan masalah yang dihadapi.
Tujuan mata kuliah ini adalah memberi pengetahuan kepada mahasiswa tentang:
a. Masalah probabilitas sebagai alat pengambil keputusan. b. Alat-alat statistik yang dibutuhkan untuk melakukan pengkajian terhadap masalah
yang dihadapi. c. Dasar berpikir selanjutnya dalam mencari terobosan baru (policy) guna
memecahkan masalah yang dihadapi. B. PRASYARAT : STATISTIKA I C. MATERI 1. Teori probabilitas
1.1. Pengertian dan manfaat probabilitas 1.2. Pendekatan probabilitas 1.3. Konsep Dasar dan Hukum Probabilitas 1.4. Teorema Bayes 1.5. Beberapa prinsip menghitung dalam probabilitas
3.1. Pengertian dan karakteristik Distribusi Probabilitas Normal 3.2. Distribusi Probabilitas Normal 3.3. Penerapan Distribusi Probabilitas Normal Standar 3.4. Pendekatan Normal terhadap Binomial 3.5. Faktor koreksi kontinuitas
4. Teori Keputusan
4.1. Elemen-elemen Keputusan 4.2. Keputusan dalam keadaan berisiko 4.3. Keputusan dalam kondisi ketidak pastian
3
5. Metode dan Distribusi Sampling 5.1. Pengertian populasi dan sample 5.2. Metode penarikan sample 5.3. Distribusi Sampel rata-rata dan proporsi 5.4. Distribusi Sampel Selisih rata-rata dan proporsi 5.5. Factor Koreksi untuk populasi terbatas
6. Hipotesa
6.1. Pengertian dan Pengujian Hipotesa 6.2. Prosedur pengujian hipotesa 6.3. Menguji hipotesa Rata-rata dan Proporsi Sampel Besar 6.4. Menguji hipotesa Selisih Rata-rata dan Proporsi Sampel Besar 6.5. Jenis Kesalahan I dan I
7. Uji Chi Kuadrat
7.1. Pendahuluan 7.2. Uji Chi-Kuadrat untuk Keselarasan 7.3. Uji Chi-Kuadrat untuk Kenormalan 7.4. Uji Chi-Kuadrat untuk independensi
D. Materi Dalam Petemuan
1 Pendahuluan, Perkenalan dengan Statistika Probabilitas 2 Konsep Dasar Probabilitas
10 Metode dan Distribusi Sampling 11 Hipotesa 12 Menguji Hipotesa Rata – Rata Sampel Besar 13 Quiz 14 Pengujian Hipotesa Sampel Kecil 15 Uji Chi-Kuadrat 16 UAS
E. Textbook :
1. Bambang Yuwono, 2006, Bahan Kuliah Statistika, UPN “Veteran” Yogyakarta 2. J. Supranto, 2000, Statistik Teori dan Aplikasi, Erlangga, Jakarta 3. Sudjana, 1992, Metode statistika, Tarsita Bandung 4. Zanzawi soeyuti, 1990, Metode statistika, UT, Jakarta
4
F. Acuan/Referensi : 1. Ronald E Walpole, 1992, Pengantar Statistika, Gramedia, Jakarta 2. Murray R Spiegel, 1994, Statistika, Erlangga, Jakarta 3. Richard Lungan, 2006, Aplikasi Statistika dan Hitung Peluang,Graha Ilmu,
Yogyakarta 4. Samsubar Saleh, 1988, Statistik Induktif, AMP YKPN Yogyakarta 5. Samsubar Saleh, 1986, Statistik Deskriptif, AMP YKPN, Yogyakarta 6. Suharyadi dan Purwanto, 2003, Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern,
Salemba, Jakarta
G. Penilaian : 1. Absen 10% 2. Quiz & Tugas 20 % 3. UTS 30% 4. UAS 40%
5
CHAPTER 2
Pertemuan 2
KONSEP DASAR PROBABILITAS
A. PENDAHULUAN
Secara sederhana probabilitas dapat diartikan sebagai sebuah peluang untuk
suatu kejadian.
1. Manfaat mempelajari probabilitas
sangat berguna untuk pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia
tidak ada kepastian, sehingga diperlukan untuk mengetahui berapa besar probabilitas
suatu peristiwa akan terjadi. Probabilitas dinyatakan dalam angka pecahan antara 0
sampai 1 atau dalam persentase.
Contoh:
Seluruh mahasiswa Panca Budi harus memiliki sertifikat computer untuk program
microsoft exel. Di kota Medan sendiri banyak terdapat tempat kursus computer
diantaranya LP3I, Medicom, Tricom dll. Maka akan muncul kebingungan dalam memilih
tempat kursus. Untuk menentukan pilihan biasanya mahasiswa akan bertanya kepada
teman-teman, mereka kursus dimana? Dari ratusan mahasiswa mungkin anda bertanya
hanya pada 20 orang mahasiswa. Yang paling banyak diminati anda akan memilih
tempat tersebut untuk kursus.
Dari contoh tersebut dapat dilihat bahwa keputusan diambil hanya dari beberapa contoh
atau sampel dari populasi keseluruhan.
2. Pengertian probabilitas
Lind (2002) dalam mendefenisikan probabilitas sebagai:
“Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi dimasa
mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase”
Tiga hal penting dalam membicarakan probabilitas:
a. Percobaan (experiment)
6
Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan
timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperthatikan peristiwa mana
yang akan terjadi
b. Hasil (outcome)
suatu hasil dari sebuah percobaan. Dalam hasil ini semua kejadian akan dicatat
atau dalam artian seluruh peristiwa yang akan terjadi dalam sebuah percobaan.
Misalnya dalam mengikuti ujian semester maka hasil yang akan diperoleh ada
mahasiswa yang lulus dan ada yang tidak lulus. Ada yang lulus memuaskan ada
yang tidak memuaskan
c. Peristiwa (event)
kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau
kegiatan
Contoh:
Percobaan Pertandingan sepak bola antara Fakultas
Ekonomi UNPAB dan Fakultas Pertanian
UNPAB
Hasil Fakultas Ekonomi menang,
Fakultas Ekonomi kalah
Seri, tidak ada yang kalah dan tidak ada
yang menang
Peristiwa Fakultas Ekonomi Menang
Probabilitas dinyatakan dalam bentuk pecahan dari 0 sampai 1. probabilitas 0
menunjukkan sesuatu yang tidak mungkin terjadi, sedangkan probabilitas 1
mununjukkan peristiwa pasti terjadi.
Contoh penulisan probabilitas dalam desimal atau persentase:
1. Pada hari Jumat adalah penutupan bursa saham, maka kebanyakan investor
berusaha meraih keuntungan melalui penjualan saham atau yang biasanya
diistilahkan profit taking, sehingga probabilitas menjual mencapai 0,7 sedangkan
membeli 0,3.
2. melihat kondisi kesiapan mahasiswa yang mengikuti ujian Statistika II, maka
mahasiswa yang mempunyai probabilitas untuk lulus 70% dan kalah 30%
7
Probabilitas kejadian dengan nilai 0 berarti peristiwa yang tidak mungkin terjadi,
seperti seorang anak balita melahirkan seorang bayi. Sedangkan probabilitas dengan
nilai 1 adalah peristiwa yang pasti terjadi, seperti semua manusia pasti akan meninggal.
B. PENDEKATAN PROBABILITAS
Untuk menentukan tingkat probabilitas suatu kejadian, maka ada tiga pendekatan
yaitu pendekatan klasik, pendekatan relatif dan pendekatan subjektif.
1. Pendekatan klasik
Diasumsikan bahwa semua peristiwa mempunyai kesempatan yang sama untuk
terjadi (equally likely)
Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai rasio antara jumlah
kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil (rasio peristiwa terhadap hasil)
hasilnkemungkinatotaljumlah
)(peristiwa hasil nkemungkina jumlah asProbabilit
Contoh:
Pada kegiatan mahasiswa belajar semua hasil ada yang sangat memuaskan,
memuaskan dan terpuji. Jumlah hasil ada 3 dan hanya 1 peristiwa yang terjadi, maka
probabilitas setiap peristiwa adalah 1/3.
Pada suatu percobaan hanya 1 peristiwa yang terjadi, dan peristiwa lain tidak
mungkin terjadi pada waktu yang bersamaan maka dikenal sebagai peristiwa saling
lepas.
”Peristiwa saling lepas (mutually exclusive) adalah terjadinya suatu peristiwa
sehingga peristiwa yang lain tidak terjadi pada waktu yang bersamaan”
Pada suatu percobaan atau kegiatan semua hasil mempunyai probabilitas yang
sama, dan hanya satu peristiwa yang terjadi maka peristiwa ini dikenal dengan lengkap
terbatas kolektif (collection exhaustive).
8
”lengkap terbatas kolektif (collection exhaustive) adalah sedikitnya satu dari
seluruh hasil yang ada pasti terjadi pada setiap percobaan atau kegiatan yang
dilakukan”
2. Pendekatan Relatif
Probabilitas suatu kejadian tidak dianggap sama, tergantung dari berapa banyak suatu
kejadian terjadi, yang dinyatakan sebagai berikut:
• Suatu percobaan dengan percobaan bersifat bebas.
• Data yang dihasilkan adalah data perhitungan.
Pembentukan Distribusí Binomial
Hal yang diperlukan dalam membentuk distribusí binomial:
a. banyaknya atau jumlah dari percobaan atau kegiatan
b. Probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal
Dapat dinyatakan sebagai berikut:
rnq.rp!rnr!
n!rP
Dimana:
P (r) : Nilai probabilitas binomial
P : Probabilitas sukses suatu kejadian dalam setiap percobaan
r : Banyaknya peristiwa sukses suatu kejadian untuk keseluruhan percobaan
n : Jumlah total percobaan
q : Probabilitas gagal suatu kejadian yang diperoleh dari q = 1 – p
29
! : Lambang faktorial
Contoh:
PT Sari Buah Lestari mengirim buah-buah segar setiap harinya kepada sebuah swalaya
terkenal di kota Medan. Dengan jaminan kualitas buah yang segar, 80% buah yang
dikirim lolos seleksi oleh swalayan tersebut. PT Sari Buah Lestari mengirim 10 buah
Melon setiap harinya
Permintaan:
a. Berapa probabilitas 10 buah diterima
b. Berapa probabilitas 8 buah diterima
c. Berapa probabilitas 7 buah diterima
Penyelesaian:
a. probabilitas 100 buah diterima semua
n = 10 p = 0,8
r = 10 q = 0,2
0,021475
0,2 .0,107374.1
12,8,0
002,8,00
rP
rP
0.0!10!
10!rP
110.0!1110!
10!rP
rnq.rp!rnr!
n!rP
10
10
Distribusi probabilitas Hipergeometrik
• Dalam distribusi binomial diasumsikan bahwa peluang suatu kejadian tetap atau
konstan atau antar-kejadian saling lepas.
• Dalam dunia nyata, jarang terjadi hal demikian. Suatu kejadian sering terjadi
tanpa pemulihan dan nilai setiap kejadian adalah berbeda atau tidak konstan.
30
• Distribusi dengan tanpa pemulihan dan probabilitas berbeda adalah Distribusi
Hipergeometrik.
Pada kasus dimana terjadi percobaan tanpa pengembalian pada populasi yang
terbatas, dan jumlah sampel terhadap polpulasinya lebih 5%, distribusi hipergeometrik
lebih tepat digunakan. Distribusi hipergeometrik dinyatakan sebagai berikut:
nCN
rnC
sNrC
srP
Dimana:
P (r) : Nilai probabilitas hipergeometrik dengan kejadian r sukses
N : Jumlah populasi
s : Jumlah suskses dalam populasi
r : Jumlah suskses yang menjadi perhatian
n : Jumlah sampel dari populasi
C : Simbol kombinasi
Distribusi Probabilitas Poisson
• Dikembangkan oleh Simon Poisson
• Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat bermanfaat dan dapat
menjelaskan dengan baik, namun untuk n di atas 50 dan nilai P(p) sangat kecil
akan sulit mendapatkan nilai binomialnya.
• Rumus:
Χ!
μexμΧP
dimana P(X) : Nilai probabilitas distribusi poisson
31
: Rata-rata hitung dari jumlah nilai sukses; dimana = n.p e : Bilangan konstsan = 2,71828 X : Jumlah nilai sukses P : probabilitas sukses suatu kejadian ! : Lambang faktorial
32
CHAPTER 7 Pertemuan 9
TEORI KEPUTUSAN Setiap hari kita harus mengambil keputusan, baik keputusan yang sederhana
maupun keputusan jangka panjang. Untuk membantu dalam pengambilan keputusan, ilmu statistika telah mengembangkan cabang statistika baru yaitu teori keputusan statistika. Ilmu ini berkembang sejak tahun 1950-an yang sebenarnya telah dipelopori sejak abad ke-18 oleh pendeta Thomas Bayes. Contoh: Keputusan yang diambil suatu perusahaan:
• Barang dan jasa apa yang akan diproduksi, • Metode apa yang dipakai untuk memproduksi, • Untuk siapa barang dan jasa di produksi, • Bagaimana strategi pemasaran dan promosinya, • Apakah perusahaan membutuhkan tenaga pemasaran, • dan lain-lain.
1. Elemen-elemen Keputusan
• Kepastian (certainty): informasi untuk pengambilan keputusan tersedia dan valid.
• Risiko (risk): informasi untuk pengambilan keputusan tidak sempurna, dan ada probabilitas atas suatu kejadian.
• Ketidakpastian (uncertainty): suatu keputusan dengan kondisi informasi tidak
sempurna dan probabilitas suatu kejadian tidak ada.
• Konflik (conflict): keputusan di mana terdapat lebih dari dua kepentingan. Setiap keputusan dalam atatistika mempunyai tiga elemen atau komponen penting 1. Pilihan atau alternatif yang terjadi bagi setiap keputusan. 2. States of nature yaitu peristiwa atau kejadian yang tidak dapat dihindari atau
dikendalikan oleh pengambil keputusan. 3. Hasil atau payoff dari setiap keputusan. Hubungan elemen keputusan menurut Lind (2002)
33
2. Keputusan dalam Keadaan Beresiko
Pengambilan keputusan dalam keadaan berisiko berarti bahwa terdapat informasi Namur tidak sempurna, dan ada probabilitas terhadap statu kejadian. Ada beberapa langkah yang diperlukan dalam pengambilan keputusan berisiko yaitu:
1. Mengidentifikasi berbagai macam alternatif yang ada dan layak bagi suatu keputusan.
2. Menduga probabilitas terhadap setiap alternatif yang ada. 3. Menyusun hasil/payoff untuk semua alternatif yang ada 4. Mengambil keputusan berdasarkan hasil yang baik
Contoh: H. Ibrahim merupakan petani modern, dan menginvestasi sebagain keuntungan untuk membeli saham. Pada tahun 2007 ia berinvestasi sebesar Rp. 10.000.000,-. Ada tiga saham perusahaan yang sedang dipelajari yaitu saham LPBN, saham Mega dan Saham BBCA. Berikut hasil atau payoff dari ketiga saham tersebut:
Kode Perusa
haan
Harga saham
Jumlah
saham
Kondisi baik Kondisi Buruk Devid
en/ lbr
Total deviden
Deviden/ lbr
Total deviden
LPBN
9.000 1.111 400 444.444
250 277.778
MEGA
18.500 541 2.000 1.081.081
300 162.162
BBCA
30.000 333 4.463 1.487.667
185 61.667
Beberapa metode dalam statistika yang digunakan untuk pengambilan keputusan dalam keadaan berisiko: A. Nilai yang diharapkan (Expected Value)
Peristiwa
Tindakan
Hasil/ Payoff
Ketidakpastian berkenaan dengan kondisi mendatang. Pengambil keputusan tidak mempunyai kendali terhadap kondisi mendatang.
Dua atau lebih alternatif dihadapi pengambil keputusan. Pengambil keputusan harus mengevaluasi alternatif dan memilih alternatif dengan kriteria tertentu.
Laba, impas (break even), rugi
EV = Payoff x Probabilitas Suatu Kejadian
34
SAHAM BAIK P=
0,5 BURUK P = 0,5
Perhitungan EV Nilai EV
LPBN 444.444 277.778 (444.444 x 0,5) + (277.778 x 0,5)
361.111
MEGA 1.081.081 162.162 BBCA 1.487.667 61.667
Nilai EV yang terbesar merupakan keputusan yang terbaik. Dari EV tersebut, maka keputusan investasi H. Ibrahim adalah membeli saham BBCA B. Expected Opportunity Loss
• Metode lain dalam mengambil keputusan selain EV • EOL mempunyai prinsip meminimumkan kerugian karena pemilihan bukan
keputusan terbaik. • Hasil yang terbaik dari setiap kejadian diberikan nilai 0, sedangkan untuk hasil
yang lain adalah selisih antara nilai terbaik dengan nilai hasil pada peristiwa tersebut.
SAHAM OL BAIK
P= 0,5 OL BURUK P = 0,5
Perhitungan EV Nilai EV
LPBN 1.043.223 0 (1.043.223 x 0,5) + (0 x 0,5)
521.612
MEGA 406.586 115.616 BBCA 0 216.111
Nilai OL untuk alternatif terbaik adalah nol, maka kondisi baik adalah BBCA = 0 dan kondisi terburuk LPBN = 0. nilai OL terendah adalah untuk BBCA maka dapat direkomendasikan untuk dibeli oleh investor. C. Ecpected value of Perfect Information Hasil yang diharapkan dalam informasi sempurna merupakan perbedaan antara hasil maksimum dalam kondisi kepastian dan hasil maksimum dalam kondisi ketidak pastian
• Setiap keputusan tidak harus tetap setiap saat. Keputusan dapat berubah untuk mengambil kesempatan yang terbaik.
• Pada kasus harga saham, pada kondisi baik, saham BBCA adalah pilihan terbaik, namun pada kondisi buruk, maka saham MEGA lebih baik.
• Apabila hanya membeli saham BBCA maka EV = 1.487.667 x 0,5 + 61.667 x 0,5 = 774.667 • Apabila keputusan berubah dengan adanya informasi yang sempurna dengan
membeli harga saham BBCA dan MEGA EVif = 1.487.667 x 0,5 + 277.778 x 0,5 = 822.723
EOL = Opportunity Loss x Probabilitas Suatu Peristiwa
35
• Nilai EVif lebih tinggi dari EV dengan selisih: = 822.723 -774.667 = 108.056. Nilai ini mencerminkan harga dari sebuah informasi. • Nilai informasi ini menunjukkan bahwa informasi yang tepat itu berharga -- dan
menjadi peluang pekerjaan -- seperti pialang, analis pasar modal, dan lain-lain.
D. Pengambilan Keputusan dalam Kondisi Ketidakpastian Keputusan dalam ketidakpastian menunjukkan tidak adanya informasi yang sempurna, juga tidak adanya probabilitas atau informasi tentang probabilitas suatu kejadian. Ada beberapa kriteria yang telah dikembangkan dalam pengambilan keputusan untuk kondisi ketidakpastian: 1. Kriteria Laplace
Probabilitas semua kejadian diasumsikan sama, dan hasil perkalian antara hasil dengan probabilitas yang tertinggi tertinggi adalah keputusan terbaik.
2. Kriteria Maximin Keputusan didasarkan pada kondisi pesimis atau mencari Nilai maksimum pada kondisi pesimis (lakukan yang terbaik dalam situasi terburuk)
3. Kriteria Maximax Keputusan didasarkan pada kondisi optimis dan mencari nilai maksimumnya.
4. Kriteria Hurwicz Keputusan didasarkan pada perkalian hasil dan koefisien optimisme. Koefisien ini
nilainya antara 0 sampai 1. nilai 0 untuk kondisi yang sangat pesimis dan nilai 1 untuk kondisi yang sangat optimis. Koefisien ini merupakan perpaduan antara optimis dan pesimis. Alternatif yang terbaik adalah nilai yang tertinggi dari hasil perkalian antara hasil atau payoff dengan koefisien optimisme.
5. Kriteria (Minimax) Regret Keputusan didasarkan pada nilai regret minimum. Nilai regret diperoleh dari nilai OL
(opportunity Loss) pada setiap kondisi dan dipilih yang maksimum. Alternatif keputusan yang diambil adalah nilai regret yang minimum.
Contoh
Berikut adalah deviden yang dibagikan oleh tiga perusahaan yang ada di BEJ yaitu LPBN, MEGA dan BBCA. Deviden dibedakan dalam krisis, normal dan Boom.
Perusahaan Kondisi Perekonomian
Boom Normal Krisis LPBN 1.180 488 250 MEGA 2.000 1.356 300 BBCA 4.463 1.666 185
a. Kriteria Laplace 1. EV (LPBN) = 1/3 X 1.180 + 1/3 X 488 + 1/3 X 250 = 639 2. EV (MEGA) = 1/3 X 2.000 + 1/3 X 1.356 + 1/3 X 300 = 1.219 3. EV (BBCA) = 1/3 X 4.463 + 1/3 x 1.666 + 1/3 x 185 = 2.015
Berdasarkan kriteria Laplace, keputusan terbaik adalah membeli saham BBCA.
36
b. Kriteria Maximim Berdasarkan kriteria Maximin, alternatif yang memberikan nilai maksimum pada kondisi terburuk adalah MEGA. Maka keputusan terbaik adalah membeli saham MEGA.
c. Kriteria maximax Berdasarkan kriteria Maximax, alternatif yang memberikan nilai maksimum pada kondisi terbaik adalah BBCA. Maka keputusan terbaik adalah membeli saham BBCA.
d. Kriteria Hurwicz
• Menggunakan koefisien optimisme (a) dan koefisien pesimisme (1- a).
• Koefisien ini anda dapat diperoleh melalui hasil penelitian atau pendekatan relatif dari data tertentu.
Contoh: Koefisien optimisme didasarkan pada probabilitas terjadinya kondisi boom dibandingkan dengan kondisi krisis. Berdasarkan data diperoleh koefisien optimisme sebesar 0,63 sehingga koefisien pesimisme adalah 1 – 0,63 = 0,37.
Berdasarkan nilai EV, maka keputusan yang terbaik adalah membeli saham BBCA yaitu yang memiliki nilai EV tertinggi. e. Kriteria minimax regret • Langkah pertama adalah mencari nilai OL. • Langkah kedua adalah memilih nilai maksimum dari nilai OL setiap keadaan. • Nilai OL yang minimum adalah keputusan yang terbaik.
Perusahaan
Kondisi Perekonomian Boom Normal Krisis
LPBN 3.283 1.178 50 MEGA 2.463 310 0 BBCA 0 0 115
Perusahaan Nilai Regret Maksimum
LPBN 3.283 MEGA 2.463
Emiten
Boom
Krisis
Perhitungan
EV
LPBN
1.180
250
(1.180x0.63) + (250x0.37)
836
MEGA
2.000
300
(2.000x0.63) + (300x0.37)
1.371
BBCA
4.463
185
(4.463x0.63) + (185x0.37)
2.880
37
BBCA 115
Berdasarkan kriteria minimax regret, keputusan yang terbaik adalah membeli saham BBCA yaitu yang memiliki nilai regret terendah.
E. Analisis Pohon Keputusan Pohon keputusan berguna untuk menyusun bebrapa alternatif dengan hasil bersyarat (conditional payoff), keputusan yang terbaik adalah dengan nilai EV yang tertinggi.
2.880
836 (1)
1.371 (2)
2.880 (3)
1.180
250
2.000
300
4.463
185
Probabilitas Ekonomi Boom (0,63)
Probabilitas Ekonomi Krisis (0,37)
Probabilitas Ekonomi Boom (0,63)
Probabilitas Ekonomi Krisis (0,37)
Probabilitas Ekonomi Boom (0,63)
Probabilitas Ekonomi Krisis (0,37)
Membeli Saham MEGA
Membeli Saham LPBN
Membeli Saham BBCA
Keputusan EV Probabilitas payoff
38
CHAPTER 8 Pertemuan 10
METODE DAN DISTRIBUSI SAMPLING
Populasi dan sampel merupakan aspek penting dalam mempelajari statistika
induktif.
Populasi adalah kumpulan dari semua kemungkinan orang-orang, benda-benda
dan ukuran lain yang menjadi objek perhatian atau kumpulan seluruh objek yang
menjadi perhatian.
Sampel adalah suatu bagian dari populasi tertentu yang menjadi perhatian.
Hubungan populasi dan sample dapat digambarkan sebagai berikut:
Populasi dapat dikelompokkan menjadi dua, yaitu:
a. Populasi terbatas (finite) yaitu populasi yang ukurannya terbatas berukuran N. contoh: semua bank yang ada misalnya 138 Bank.
b. Polpulasi tidak terbatas (infinite) yaitu populasi yang mengalami proses secara terus menerus sehinga usuran N menjadi tidak terbatas perubahan nilainya. Contohnya Pelanggan jamu Sidomuncul.
Sampel dapat dibedakan menjadi dua yaitu:
Sampel probabilitas Merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari populasi sehingga
masing-masing anggota populasi memiliki probabilitas atau peluang yang sama untuk dijadikan sampel.
Sampel nonprobabilitas Merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari populasi sehingga
setiap anggota tidak memiliki probabilitas atau peluang yang sama untuk dijadikan sampel.
Populasi Sampel
39
A. Metode penarikan sample
1. Penarikan Sampel Acak Sederhana
Merupakan pengambilan sampel dari populasi secara acak tanpa memperhatikan strata yang ada dalam populasi dan setiap anggota populasi memiliki kesempatan yang sama untuk dijadikan sampel. Ada dua cara pengambilan sampel acak sederhana:
1. Sistem Kocokan Sistem sampel acak sederhana dengan cara sama sistem arisan. 2. Menggunakan tabel acak Memilih sampel dengan menggunakan suatu tabel. Dalam penggunaannya ditentukan terlebih dahulu titik awal (starting point).
2. Penarikan sampel acak terstruktur:
Penarikan sampel acak terstruktur dilakukan dengan membagi anggota populasi dalam beberapa sub kelompok yang disebut strata, lalu suatu sampel dipilih dari masing-masing stratum.
Contoh menentukan jumlah stratum setiap kelompok
Metode Penarikan Sampel
Sampel Probabilitas (Probability Sampling)
Sampel Nonprobabilitas (Nonprobability Sampling)
1.Penarikan sampel acak sederhana (simple random sampling)
2. Penarikan sampel acak terstruktur (stratified random sampling)
3. Penarikan sampel cluster (cluster sampling)
1.Penarikan sampel sistematis (systematic sampling)
2. Penarikan sampel kuota (kuota sampling) 3. Penarikan sampel purposive (purposive
sampling)
Populasi tidak berstrata Populasi terstrata
Jumlah Persentase Jumlah sampel anggota dari total per stratum
1 Bulat 1 4 0 (0,04 x 10)
2 Kotak 3 13 1 (0,13 x 10)
KelompokStratum
40
Dari table diatas terlihat bahwa jumlah sample setiap stratumnya didasarkan pada jumlah proporsi persentsae setiap stratum terhadap jumlah totalnya. 3. Penarikan sample Cluster (cluster sampling)
Penarikan cluster adalah teknik memilih sampel dari kelompok unit-unit kecil (cluster) dari sebuah populasi yang relatif besar dan tersebar luas. Anggota dalam setiap cluster bersifat tidak homogen berbeda dengan penarikan sampel terstruktur.
Pemilihan sampel pada metode ini adalah dengan metode acak sederhana, dengan harapan akan mengurangi biaya penarikan sampel populasi yang tersebar pada area geografis yang terlalu besar.
4. Penarikan sampel secara sistematis (systematic Random Sampling)
Penarikan dikatakan sampel sistematis apabila setiap unsur atau anggota dalam populasi disusun dengan cara tertentu-Secara alfabetis, dari besar kecil atau sebaliknya-kemudian dipilih titik awal secara acak lalu setiap anggota ke K dari populasi dipilih sebagai sampel.
Sampel Terstruktur Sampel Terstruktur Sampel Cluster
41
Sebagai contoh apabila akan dipilih 5 perusahaan reksadana, maka perusahaan mana yang akan menjadi sampel dengan menggunakan metode sistematis, beberapa langkah yang harus dilakukan adalah:
a. memberikan nomor urutan misalnya dari aset terbesar sampai terkecil atau sebaliknya
b. jumlah populasi misalnya 59, dan jumlah sampel 5, maka jarak antara sampel adalah 12
c. nomor sampel adalah 1, 13, 25, 37, dan 49 (setiap sampel berjarak secara sistematis yaitu 12)
5. penarikan sampel Kuota (Kuota sampling)
Penarikan sampel kuota adalah pengambilan sampel dari populasi yang mempunyai ciri-ciri tertentu sampai jumlah atau kuota yang diinginkan. Tujuan penarikan sampel kuota adalah untuk memperbaiki keterwakilan seluruh komponen dalam populasi. Sebagai contoh apabila akan dilakukan penelitian terhadap tingkat kehadiran mahasiswa yang mengambil matakuliah statistika dari populasi 150 orang ditentukan kuota 20 orang. Kalau pengumpulan data belum mencapai 20 orang maka penelitian belum dianggap selesai.
6. penarikan sampel purposive (purposive sampling)
Penarikan sampel purposive adalah penarikan sampel dengan pertimbangan tertentu. Pertimbangan tersebut berdasarkan pada kepentingan atau tujuan penelitian. Penarikan sampel dengan purposive ada dua cara: a. convenience sampling yaitu penarikan sampel berdasarkan keinginan peneliti
sesuai dengan tujuan penelitian. b. Judment sampling yaitu penarikan sampel berdasarkan penilaian terhadap
karakteristik anggota sampel yang disesuaikan dengan tujuan penelitian. B. Kesalahan penarikan sampel (sampling error) Merupakan perbedaan antara nilai statistik sampel dengan nilai parameter dari populasi. Dalam pemilihan sampel, dimana jumlah sampel adalah sebagian dari populasi, mungkin akan terdapat perbedaan antara rata-rata hitung dan standar deviasi sampel terhadap rata-rata hitung dan standar deviasi populasi. Perbedaan nilai statistik ini yang dikenal dengan kesalahan penarikan sampel (sampling error). Dengan menggunakan sampel bisa ditemukan kesalahan penarikan sampel pada saat hasil sampel tersebut digunakan untuk menduga parameter suatu populasi. Untuk menentukan tingkat keyakinan akan hasil menggunakan sampel untuk menduga parameter dapat dipahami dengan mentusun distribusi sampel (sampling distribution) dan rata-rata hitung sampel (sampel means). C. Distribusi Sampel rata-rata dan proporsi
42
Distribusi sampel dari rata-rata hitung sampel dan populasi adalah suatu distribusi probabilitas yang terdiri dari seluruh kemungkinan rata-rata hitung sampel dari suatu ukuran sampel tertentu yang dipilih dari populasi, dan probabilitas terjadinya dihubungkan dengan setiap rata-rata hitung sampel.
a. Distribusi sampel rata-rata dan porposi menpunyai nilai hitung rat-rata:
xC
1Nn
pC
1Nn
p
b. Distribusi sampel rata-rata dan porposi mempunyai standar deviasi
2
xNn
x XC
1S
Nn
2
p
pC
pS
c. Hubungan antara standar deviasi sampel x dan porposi pada kondisi sampel
terbatas
1N
nN
nSx
1N
nNx
n
P1PSp
d. Hubungan standar deviasi sampel x dan porposi pada kondisi sampel tidak
terbatas
nSx
n
P1PSp
d. Distribusi sampel rata-rata dan porposi merupakan distribusi normal, sehingga
dapat diketahui nilai Znya yaitu
s
xZ
ps
PpZ
D. Distribusi Sampel Selisih rata-rata dan proporsi Distribusi sampel selisih apabila terdapat dua atau lebih populasi yang diambil sebagai sampel
a. Distribusi sampel selisih rata-rata 1. Nilai rata-rata
21212x1x xxX
2. Nilai standar deviasi
2n
S
n
SSSS
22x
1
21x2
2x2
1x2x1x
3. Nilai Z
2x1x
2121
S
xxZ
43
b. Distribusi sampel selisih proporsi 1. Nilai rata-rata
21212p1p PPPPP
2. Nilai standar deviasi
2
22
1
1122p
21p2p1p
n
P1P
n
P1PSSS
3. Nilai Z
2p1p
2121
S
PPppZ
. E. Faktor Koreksi untuk populasi terbatas Faktor koreksi adalah usaha untuk memperbaiki hasil dugaan parameter dan diterapkan jika rasio n/N lebih besar dari 0,05. faktor koreksi terhadap standar deviasi dirumuskan sebagai berikut
1N
nN
nSx
sedang untuk standar deviasi proporsi
1N
nN
n
)p1(pSp
44
CHAPTER 9 Pertemuan 11
HIPOTESA A. Hipotesa
Hipotesa adalah suatu pernyataan mengenai nilai suatu parameter populasi yang dimaksudkan untuk pengujian dan berguna untuk pengambilan keputusan.
Hipotesa sebenarnya disusun berdasarkan data, akan tetapi karena data tersebut dihasilkan dari sample yang mempunyai probabilitas, sehingga hasilnya bisa saja benar dan mungkin saja salah. Oleh sebab itu sebuah hipotesa sebelum menjadi keputusan haruslah diuji terlebih dahulu dengan menggunakan data observasi. Menurut Nasir (1988) hipotesa yang baik mempunyai cirri-ciri:
a. menyatakan hubungan b. sesuai dengan fakta c. sederhana dan dapat diuji d. dapat menerangkan fakta dengan baik
B. Pengujian Hipotesa Pengujian hipotesa adalah prosedur yang didasarkan pada bukti sampel yang dipakai untuk menentukan apakah hipotesa merupakan suatu pernyataan yang wajar dan oleh karenanya tidak ditolak, atau hipotesa tersebut tidak wajar dan oleh karena itu harus ditolak. C. Prosedur Pengujian Hipotesa
Langkah 1. Merumuskan Hipotesa (Hipotesa nol (H0) dan Hipotesa Alternatif (H1))
Langkah 2. Menentukan Taraf Nyata (Probabilitas menolak hipotesa)
Langkah 3. Menentukan Uji statistik (Alat uji statistik, uji Z, t, F, X2 dan lain-lain)
Langkah 4. Menentukan Daerah Keputusan (Daerah di mana hipotesa nol diterima atau ditolak))
Langkah 5. Mengambil Keputusan
Menolak H0 Menerima H1 Menolak H0
45
Langkah 1 Merumuskan Hipotesa Perumusan hipotesa dikembangkan oleh Fisher yang dikenal sebagai Bapak Ststistik, yang membedakan hipotesa menjadi nol dan hipotesa alternative.
Hipotesa nol (Ho) Satu pernyataan mengenai nilai parameter populasi
Hipotesa alternative (H1) Suatu pernyataan yang diterima jika data sampel memberikan cukup bukti bahwa hipotesa nol adalah salah
Contoh: 1. Rata-rata hasil investasi reksadana sama dengan 13,17%, maka
Ho : = 13,17% H1 : 13,17%
2. rata-rata IPK mahasiswa diatas 3
Ho : IPK > 3 H1 : IPK < 3
Langkah 2. menentukan taraf nyata
Taraf nyata adalah Probabilitas menolak hipotesa nol apabila hipotesa nol tersebut adalah benar. Taraf nyata adalah nilai kritis yang digunakan sebagai dasar untuk menerima atau menolak hipotesa nol. Taraf nyata dilambangkan dengan α, dimana α = 1 – C. C adalah tingakat keyakinan, apabila C = 0,95 maka taraf nyata 0,05. semakain tinggi tingkat keyakinan maka semakin kecil taraf nyata. Kebiasaan yang sering digunakan untuk pertanian dan ekonomi adalah taraf nyata 5% atau tingkat keyakinan 95%.
Langkah 3. menentukan Uji Statistik
Suatu nilai yang diperoleh dari sampel dan digunakan untuk memutuskan apakah akan menerima atau menolak hipotesa. Pada bagain ini akan dibahas uji Z, yang diperoleh dari rumus berikut:
Χσ
μΧΖ
n/SsampelerrordartansS
populasihitungrataRata
sampelhitungrataRataX
ZNilai
:anadim
xx
Langkah 4. Menentukan daerah Keputusan
46
Pengujian satu arah Adalah daerah penolakan Ho hanya satu yaitu terletak di ekor sebelah kanan saja atau ekor sebelah kiri saja. Karena hanya satu daerah penolakan berarti luas daerah penolakan tersebut sebesar taraf nyata yaitu a, dan untuk nilai kritisnya biasa ditulis dengan Za.
Sedangkan pengujian dua arah Adalah daerah penolakan Ho ada dua daerah yaitu terletak di ekor sebelah kanan dan kiri. Karena mempunyai dua daerah, maka masing-masing daerah mempunyai luas ½ dari taraf nyata yang dilambangkan dengan ½a, dan nilai kritisnya biasa dilambangkan dengan Z ½a.
Langkah 5. mengambil Keputusan
Keputusan ditentukan dengan melihat nilai Z, apabila terletak pada daerah yang menerima Ho maka hipotesa dapat diterima atau sebaliknya apabila nilai Z tidak terletak pada daerah yang meneriam Ho maka hipotesa ditolak
CONTOH MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA SAMPEL BESAR Perusahaan reksadana menyatakan bahwa hasil investasinya rata-rata mencapai 13,17%. Untuk menguji apakah pernyataan tersebut benar, maka lembaga konsultan CESS mengadakan penelitian pada 36 perusahaan reksadana dan didapatkan hasil
Daerah tidak menolak Ho
Daerah penolakan Ho
Skala z 1,65
Probabilitas 0,95 Probabilitas 0,5
Daerah Keputusan Uji Satu Arah
Daerah Keputusan Uji Dua Arah
Daerah tidak menolak Ho
Daerah penolakan Ho
Daerah penolakan Ho
0,025 0,025 0,95
0 -1,95 1,95
47
bahwa rata-rata hasil investasi adalah 11,39% dan standar deviasinya 2,09%. Ujilah apakah pernyataan perusahaan reksadana tersebut benar dengan taraf nyata 5%.
Langkah 1
Merumuskan hipotesa. Hipotesa yang menyatakan bahwa rata-rata hasil investasi sama dengan 13,17%. Ini merupakan hipotesa nol, dan hipotesa alternatifnya adalah rata-rata hasil investasi tidak sama dengan 13,17%. Hipotesa tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:
H0 : m = 13,17%.
H1 : m ¹ 13,17%.
Langkah 2
Menentukan taraf nyata. Taraf nyata sudah ditentukan sebesar 5%, apabila tidak ada ketentuan dapat digunakan taraf nyata lain. Taraf nyata 5% menunjukkan probabilitas menolak hipotesa yang benar 5%, sedang probabilitas menerima hipotesa yang benar 95%.
Nilai kritis Z dapat diperoleh dengan cara mengetahui probabilitas daerah keputusan H0 yaitu Z/2 = /2 – 0,5/2 = 0,025 dan nilai kritis Z dari tabel normal adalah 1,96.
Langkah 3
Melakukan uji statistik dengan menggunakan rumus Z. Dari soal diketahui bahwa rata-rata populasi = 13,17%, rata-rata sampel 11,39% dan standar deviasi 2,09%. Mengingat bahwa standar deviasi populasi tidak diketahui maka diduga dengan standar deviasi sampel, dan standar error sampel adalah sx = s/n sehingga nilai Z adalah
Langkah 4
Menentukan daerah keputusan dengan nilai kritis Z=1,96
48
CONTOH UJI SIGNIFIKANSI MENGGUNAKAN TANDA LEBIH BESAR DAN LEBIH KECIL (Satu Arah) 1. Ujilah beda rata-rata populasi, misalkan hipotesanya adalah rata-rata hasil investasi
lebih kecil dari 13,17%. Maka perumusan hipotesanya menjadi: H0 : m £ 13,17 H1 : m > 13,17 Untuk tanda £ pada H0 menunjukkan daerah penerimaan H0, sedang tanda >
pada H1 menunjukkan daerah penolakan di sebelah ekor kanan seperti Gambar A. 2. Ujilah beda selisih dua rata-rata populasi, misalkan hipotesanya adalah selisih dua
rata-rata populasi lebih besar sama dengan 0. H0 : mpa– mpl ³ 0 H1 : mpa– mpl < 0 Untuk tanda ³ pada H0 menunjukkan daerah penerimaan H0, sedang tanda < pada
H1 menunjukkan daerah penolakan di sebelah ekor kiri seperti Gambar B.
Daerah penolakan H0
Tidak menolak
0,95
Daerah penolakan H0
0,025 0,025
-1,96 Z=-5,11 1,96
Langkah 5
Mengambil Keputusan. Nilai uji Z ternyata terletak pada daerah menolak H0. Nilai uji Z = –5,11 terletak disebelah kiri –1,96. Oleh sebab itu dapat disimpulkan bahwa menolak H0, dan menerima H1, sehingga pernyataan bahwa hasil rata-rata investasi sama dengan 13,17% tidak memiliki bukti yang cukup kuat.
49
Daerah penolakan H0 Daerah penolakan H0
Tidak menolak H0 Tidak menolak H0
1,65 1,65
Gambar A Gambar B H0 : x 13,17 H0 : pa– pl 0 H1 : x > 13,17 H1 : pa– pl < 0
50
CHAPTER 10 Pertemuan 12
MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA SAMPEL BESAR CONTOH PENGUJIAN DUA ARAH 1. Ujilah nilai rata-rata sama dengan 13,17%. Maka hipotesanya dirumuskan sebagai berikut: H0 : m = 13,17%. H1 : m ¹ 13,17%. 2. Ujilah nilai koefisien untuk b sama dengan 0. Maka hipotesanya dirumuskan sebagai berikut: H0 : b = 0 H1 : b ¹ 0. MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA DAN PROPORSI SAMPLE BESAR Ada Tiga hal yang terkait dengan pengujian hipotesa rata-rata dan porposi sample besar yaitu:
a. Proses pengujian hipotesa, dimana pengujiannya tetap mengikuti 5 langkah b. Yang diuji dalam hal ini adalah rata-rata populasi dan proporsi dari populasi c. Sample besar. Sample besar adalh sample yang berjumlah 30 atau lebih.
Dengan menggunakan sample besar diharapkan akan mendekati distribusi normal sehingga dapat digunakan nilai dan uji Z.
CONTOH MENGUJI HIPOTESA RATA-RATA SAMPEL BESAR
Perusahaan reksadana menyatakan bahwa hasil investasinya rata-rata mencapai 13,17%. Untuk menguji apakah pernyataan tersebut benar, maka lembaga konsultan
Daerah penolakan H0
Tidak menolak H0
Daerah penolakan H0
0,5
0,4750 0,
1,96 0,95 -1,96 0,
51
CESS mengadakan penelitian pada 36 perusahaan reksadana dan didapatkan hasil bahwa rata-rata hasil investasi adalah 11,39% dan standar deviasinya 2,09%. Ujilah apakah pernyataan perusahaan reksadana tersebut benar dengan taraf nyata 5%.
Langkah 1 Merumuskan hipotesa. Hipotesa yang menyatakan bahwa rata-rata hasil investasi sama dengan 13,17%. Ini merupakan hipotesa nol, dan hipotesa alternatifnya adalah rata-rata hasil investasi tidak sama dengan 13,17%. Hipotesa tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut: H0 : m = 13,17%. H1 : m ¹ 13,17%. Langkah 2 Menentukan taraf nyata. Taraf nyata sudah ditentukan sebesar 5%, apabila tidak ada ketentuan dapat digunakan taraf nyata lain. Taraf nyata 5% menunjukkan probabilitas menolak hipotesa yang benar 5%, sedang probabilitas menerima hipotesa yang benar 95%. Nilai kritis Z dapat diperoleh dengan cara mengetahui probabilitas daerah keputusan H0 yaitu Za/2 = a/2 – 0,5/2 = 0,025 dan nilai kritis Z dari tabel normal adalah 1,96. Langkah 3 Melakukan uji statistik dengan menggunakan rumus Z. Dari soal diketahui bahwa rata-rata populasi = 13,17%, rata-rata sampel 11,39% dan standar deviasi 2,09%. Mengingat bahwa standar deviasi populasi tidak diketahui maka diduga dengan standar deviasi sampel, dan standar error sampel adalah sx = s/Ön sehingga nilai Z adalah
11,536/09,2
17,1339,11
n/S
X
S
X
x
Langkah 4 Menentukan daerah keputusan dengan nilai kritis Z=1,96
Daerah penolakan H0
Tidak menolak H0
0,95
Daerah penolakan H0
0,025 0,025
-1,96 Z=-5,11 1,96
52
Langkah 5 Mengambil Keputusan. Nilai uji Z ternyata terletak pada daerah menolak H0. Nilai uji Z = –5,11 terletak disebelah kiri –1,96. Oleh sebab itu dapat disimpulkan bahwa menolak H0, dan menerima H1, sehingga pernyataan bahwa hasil rata-rata investasi sama dengan 13,17% tidak memiliki bukti yang cukup kuat. MENGUJI HIPOTESA PROPORSI SAMPEL BESAR Rumus uji Z untuk proporsi adalah
n
)P1(P
Pp
dimana: Z = Nilai uji Z p = Proporsi sampel P = Proporsi populasi N = jumlah sampel MENGUJI HIPOTESA SELISIH RATA-RATA SAMPEL BESAR Distribusi sampling dari selisih rata-rata proporsi memiliki distribusi normal dan mempunyai standar deviasi sebagai berikut:
2
22
1
21
2X1Xnn
Di mana: x1-x2 : Standar deviasi selisih dua populasi 1 : Standar deviasi populasi 1 2 : Standar deviasi populasi 2 n1 : Jumlah sampel pada populasi 1 n2 :Jumlah sampel pada populasi 2
sedangkan untuk rumus Z adalah sebagai berikut:
2x1x
2121
S
xxZ
Z : Nilai uji statistik
53
x1 -x 2 : Selisih dua rata-rata hitung sampel 1 dan sampel 2 1 - 2 : Selisih dua rata-rata hitung populasi 1 dan populasi 2 S x1-x2 : Standar deviasi selisih dua populasi
standar deviasi selisih dua sampel adalah:
2
22
1
21
2X1Xn
s
n
sS
Di mana:
S x1-x2 : Standar deviasi selisih dua populasi s1 : Standar deviasi populasi 1 s2 : Standar deviasi populasi 2 n1 : Jumlah sampel pada populasi 1 n2 :Jumlah sampel pada populasi 2
MENGUJI HIPOTESA SELISIH PROPORSI SAMPEL BESAR Untuk standar deviasi proporsi populasi dirumuskan sebagai berikut:
2
22
1
112p1p
n
)p1(p
n
)p1(pS
sedangkan nilai uji Z dirumuskan sebagai berikut:
2p1p
2121
S
PPppZ
standar deviasi selisih dua sampel
12n
)p1(p
1n
)p1(pS
1
2p1p
54
CHAPTER 11 Pertemuan 1
PENGUJIAN HIPOTESA SAMPEL KECIL
Pada sampel kecil yaitu kasus dimana jumlah sampel kurang dari 30, maka nilai standar deviasi (s) berfluktuasi relatif besar, sehingga nilai uji Z tidak bersifat normal. Oleh karena itu, untuk sebaran distribusi sampel kecil dikembangkan suatu distribusi khusus yang dikenal sebagai distribusi t atau t-student. Nilai distribusi t dinyatakan sebagai berikut
n/s
Xt
dimana: t = Nilai distribusi t = nilai rata-rata populasi x = nilai rata-rata sampel s = standar deviasi sampel n = jumlah sampel
CIRI-CIRI DISTRIBUSI t-STUDENT
a. Distribusi t-student seperti distribusi Z merupakan sebuah distribusi kontinu, di mana nilainya dapat menempati semua titik pengamatan.
b. Distribusi t-student seperti distribusi Z berbentuk genta atau lonceng dan simetris
dengan nilai rata-rata sama dengan 0. c. Distribusi t-student bukan merupakan satu kurva seperti kurva Z, tetapi keluarga
dari distribusi t. Setiap distribusi t mempunyai rata-rata hitung sama dengan nol, tetapi dengan standar deviasi yang berbeda-beda, sesuai dengan besarnya sampel (n). Ada distribusi t untuk sampel berukuran 2, yang berbeda dengan distribusi untuk sampel sebanyak 15, 25 dan sebagainya. Apabila sampel semakin besar maka distribusi t akan mendekati normal.
Tahap menguji rata-rata hitung populasi dalam sampel kecil:
(a) Merumuskan hipotesa nol dan hipotesa alternatif (H0 dan H1), (b) Menentukan taraf nyata apakah 1%, 5% atau pada taraf lainnya serta mengetahui
titik kritis berdasarkan pada tabel t-student, (c) Menentukan uji statistik dengan menggunakan rumus uji-t,
55
(d) menentukan daerah keputusan yaitu daerah tidak menolak H0 dan daerah menolak H0, dan
(e) Mengambil keputusan untuk menolak dan menerima dengan membandingkan nilai kritis taraf nyata dengan nilai uji-t.
CIRI DISTRIBUSI F 1. Distribusi F lebih mirip dengan distribusi t, yaitu mempunyai “keluarga” distribusi F.
Pada gambar di atas terlihat bahwa distribusi dengan derajat bebas pembilang 5 dan penyebut 5 yang ditulis df(5,5) mempunyai distribusi F yang berbeda dengan distribusi df(20,7) dan df(29,28).
2. Distribusi F tidak pernah mempunyai nilai negatif sebagaimana pada distribusi Z.
Distribusi Z mempunyai nilai positif di sisi kanan dan negatif sisi kiri nilai tengahnya. Distribusi F seluruhnya adalah positif atau menjulur ke positif (positively skewed) dan merupakan distribusi kontinu yang menempati seluruh titik di kurva distribusinya.
3. Nilai distribusi F mempunyai rentang dari tidak terhingga sampai 0. Apabila nilai F
meningkat, maka distribusi F mendekati sumbu X, namun tidak pernah menyentuh sumbu X tersebut.
4. Distribusi F juga memerlukan syarat yaitu: (a) populasi yang diteliti mempunyai
distribusi yang normal, (b) populasi mempunyai standar deviasi yang sama, dan (c) sampel yang ditarik dari populasi bersifat bebas serta diambil secara acak.
df(5,5)
df(29,28)
df(20,7)
56
CHAPTER 12 Pertemuan 15
UJI CHI-KUADRAT
A. Statistika nonparametrik: Statistik yang tidak memerlukan pembuatan asumsi tentang bentuk distribusi atau bebas distribusi, sehingga tidak memerlukan asumsi terhadap populasi yang akan diuji Kapan kita dapat menggunakan statistik nonparametrik?
1. Apabila ukuran sampel sedemikian kecil sehingga distribusi sampel atau populasi tidak mendekati normal, dan tidak ada asumsi yang dapat dibuat tentang bentuk distribusi populasi yang menjadi sumber populasi.
2. Apabila hasil pengukuran menggunakan data ordinal atau data berperingkat. Data ordinal hanya menyatakan lebih baik, lebih buruk atau sedang atau bentuk ukuran lainnya. Data ini sama sekali tidak menyatakan ukuran perbedaan.
3. Apabila hasil pengukuran menggunakan data nominal. Data nominal hanya merupakan “kode” dan tidak mempunyai implikasi atau konsekuensi apa-apa. Jenis kelamin diberikan kode “laki-laki” dan “perempuan”, pengkodean tersebut tidak berimplikasi lebih rendah atau lebih tinggi, hanya sekadar kode.
B. Chi Kuadrat untuk Uji Goodness of Fit Uji goodness of fit dikembangkan oleh Karl Pearson pada tahun 1900 dan ada yang menyebutnya dengan uji keselarasan. Rumus yang dikembangkan oleh Pearson adalah:
fe
)fefo( 22
dimana: X2 = nilai chi-Kuadrat fo = Frekuensi yang diperoleh fe = frekuensi yang diharapkan
distribusi Chi-kuadrat berbeda dengan distribusi t dan F. Distribusi t dan F mempunyai distribusi probabilitas tunggal. Distribusi Chi-kuadrat merupakan suatu keluarga dari kurva bermacam distribusi yang bentuknya ditentukan oleh derajat bebasnya (df), dimana df tergantung dari jumlah sampel (n) dan jumlah variabel (k), df = n-k. Semakin besar nilai n maka distribusi chi-kuadrat akan mendekati kurva normal. Pada gambar dapat dilihat semakin banyak jumlah sampel maka kurva semakin mendekati normal.
57
C. Uji Keselarasan (Goodness of Fit) Uji keselarasan adalah untuk menguji seberapa tepatkah frekuensi yang teramati (observed frequencies, fo) cocok atau sesuai dengan frekuensi yang diharapkan (expected frequencies, fe). Uji keselarasan dimaksudkan apakah ada kecocokan atau kesesuaian antara harapan dengan kenyataan.pada uji ini ada dua hal penting a) frekuensi yang diharapkan sama, apabila setiap data pengamatan nilai frekuensi
yang diharapkan sama b) frekuensi yang diharapkan tidak sama D. Uji keselarasan dengan Frekuensi Harapan sama Hasil perdagangan saham pada minggu pertama 2004 adalah sebagai berikut:
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Nilai Chi-Kuadrat
Pro
ba
bil
ita
s
df=3 df=5 df=10 df=38
No Perusahaan Prosentase Perubahan Harga
1 Aneka Tambang 4
2 Asahimas Flat Glass 10
3 Astra Agro Lestari 56
4 Astra Otoparts -3
5 Bank Danamon 3
6 Berlian Laju Tangker 29
7 Berlina -3
8 Bimantara 9
9 Dankos 10
10 Darya Varia 7
58
Untuk melakukan pengujian memerlukan beberapa tahapan atau langkah yaitu: 1. Menentukan hipotesa Hipotesa yang disusun adalah hipotesa nol (H0) dan hipotesa alternatif (H1). Hipotesa nol, H0, menyatakan bahwa tidak ada perbedaan antara nilai atau frekuensi observasi atau teramati dengan nilai atau frekuensi harapan. Sedangkan hipotesa alternatif, H1, menyatakan bahwa ada perbedaan antara nilai atau frekuensi teramati dengan nilai atau frekuensi yang diharapkan. Hipotesa selanjutnya dinyatakan sebagai berikut: H0 : fo = fe H1 : fo fe 2. Menentukan Taraf Nyata dan Nilai Kritis Untuk kasus ini, nilai n adalah kategori atau sampel yaitu 10, sedang k adalah variabel, dimana k= 1, jadi derajat bebasnya adalah df= 10 - 1= 9. Setelah menemukan nilai df dan taraf nyata, maka dapat dicari nilai kritis chi-kuadrat dengan menggunakan tabel chi-kuadrat sebagai berikut: 3. Uji Statistik Chi-kuadrat
fo fe (fo – fe) (fo-fe)2 (fo-fe)2/fe
4 13 -9 83.8 6.4
10 13 -3 9.8 0.8
56 13 43 1820.7 140.1
-3 13 -16 261.6 20.1
3 13 -10 106.8 8.2
29 13 16 242.5 18.7
-3 13 -16 258.5 19.9
Df 0,1 0,05 0.02 0.01
1 2.706 3.841 5.412 6.635
2 4.605 5.991 7.824 9.210
3 6.251 7.815 9.837 11.345
…
7 12.017 14.067 16.622 18.475
8 13.362 15.507 18.168 20.090
9 14.684 16.919 19.679 21.666
….
29 39.087 42.557 46.693 49.588
30 40.256 43.773 47.962 50.892
Taraf Nyata
dera
jat b
ebba
s
fe
)fe0f()x(
2
2
59
9 13 -4 19.8 1.5
10 13 -3 10.5 0.8
7 13 -6 40.1 3.1
X2= X (fo-fe)2/fe 219.5 4. Menentukan Daerah Keputusan
5. Menentukan Keputusan Langkah kelima adalah menentukan keputusan. Berdasarkan aturan pada langkah ke-4, diketahui nilai chi-kuadrat hitung adalah 219,5 dan nilai chi-kuadrat kritis 16,919 berarti nilai chi-kuadrat hitung > dari chi kuadrat kritis. Dengan demikian Ho ditolak dan H1 diterima. Jadi terdapat cukup bukti untuk menolak Ho, sehingga antara kenyataan yang terjadi dengan harapan dari analisis adalah tidak sama. E. Uji Chi-Kuadrat untuk uji Kenormalan Beberapa tahapan untuk uji kenormalitasan: 1. Membuat distribusi frekuensi, sebagaimana dikemukakan dalam bab 2, buku jilid 1. 2. Menentukan nilai rata-rata hitung dan standar deviasi dengan menggunakan
data berkelompok, sebagaimana dikemukakan pada bab 3 dan 4, buku jilid 1. 3. Menentukan nilai Z dari setiap kelas, dimana Z = (X - )/ 4. Menentukan probabilitas setiap kelas dengan menggunakan nilai Z. 5. Menentukan nilai harapan dengan mengalikan nilai probabilitas dengan jumlah data. 6. Menentukan pengujian chi-kuadrat untuk menentukan apakah suatu distribusi
bersifat normal atau tidak.
F. Uji chi-kuadrat untuk uji Independensi Langkah-langkah yang harus dilakukan: 1. Menyusun hipotesa. Hipotesa Ho biasanya menyatakan tidak ada hubungan antara
dua variabel, sedangkan H1 menyatakan ada hubungan antara dua variabel.
Terima Ho Tolak Ho
X2 kritis= 16,919 Skala X2 X2 hitung=219,5
60
2. Mengetahui nilai 2 kritis dengan taraf nyata dan derajat bebas df=(r - 1) x (c - 1) 3. Menentukan frekuensi harapan (fe) dimana fe untuk setiap sel dirumuskan 4. Menentukan nilai X2 dengan rumus 5. Menentukan daerah kritis yaitu daerah penerimaan Ho dan penolakan Ho 6. Menentukan keputusan apakah menerima Ho atau menolak Ho.
Contoh Soal: Ada keyakinan bahwa apabila IPK tinggi. maka akan mendapatkan penghasilan tinggi. Berdasarkan keyakinan tersebut. Nani dari CESS tahun 2003 melakukan penelitian terhadap 751 sarjana dari berbagai PT yang bekerja disektor perbankan di Jakarta. Berikut adalah hasilnya:
<2.75 124 161 122 15 422 213 272 226 40 751 Dari data tersebut. apakah keyakinan adanya hubungan antara IPK dengan tingkat penghasilan dapat dibenarkan?
fo fe (fo-fe)2/fe 22 26 0,64 67 67 0,00
127 120 0,45 31 33 0,16 80 86 0,40
161 153 0,44 31 28 0,40 73 71 0,04
122 127 0,20 8 5 1,96
17 13 1,52 15 22 2,49
2= (fo - fe)2/fe 8,68
1. Hipotesa. Ho: tidak ada hubungan antara acara tingkat penghasilan dengan IPK. H1 ada hubungan antara tingkat penghasilan dengan IPK.
2. Menentukan nilai kritis. df= (c - 1)(r - 1)= (3 - 1)(4 - 1) = 6 dengan taraf nyata 5% adalah 12.596
alJumlah tot
kolommenurut Jumlah x barismenurut Jumlah Fe
fe
)fefo()X(
2
2
61
3. Nilai chi-kuadrat hitung = 8.68 < dari chi-kuadrat tabel 12.596, dengan demikian Ho diterima dan H1 ditolak. Jadi tidak ada hubungan antara tingkat penghasilan dengan IPK