KATA PENGANTAR Materi Kuliah Analisis Vektor yang meliputi Vektor Konstan, Fungsi Vektor, Diferensial Vektor dan Integral Vektor mempunyai peranan yang sangat penting bagi para fisikawan dan rekayasawan untuk membantu menyelesaikan permasalahannya. Oleh sebab itu mahasiswa teknik perlu mendapat pengetahuan tentang materi ini, sebagai salah satu bagian dasar untuk melatih kemampuan rekayasa mereka. Buku ajar yang berjudul Analisis Vektor ini disusun untuk membantu mahasiswa dalam memahami pokok bahasan di atas, sehingga proses belajar mengajar mata kuliah yang dimaksud bisa berjalan dengan lebih baik. Penyajian dan pembahasan materi dalam Buku Ajar ini diharapkan dapat dengan mudah diikuti dan dipahami oleh semua mahasiswa. Untuk itu, dalam setiap pokok bahasan, penyusun berusaha memberikan beberapa contoh soal yang dapat diselesaikan mahasiswa sebagai latihan. Di bagian akhir dari diktat ini diberikan daftar pustaka untuk membantu bagi yang ingin mempelajari lebih lanjut, agar mendapatkan pemahaman yang lebih mendalam. Buku Ajar ini tentu saja memiliki banyak kekurangan, untuk itu penyusun sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pemakai Buku Ajar ini untuk lebih menyempurnakan penyajian selanjutnya. Akhirnya, penyusun berharap agar Buku Ajar ini dapat benar- benar bermanfaat. Malang, Agustus 2003 Penyusun
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
KKAATTAA PPEENNGGAANNTTAARRMateri Kuliah Analisis Vektor yang meliputi Vektor Konstan, Fungsi
Vektor, Diferensial Vektor dan Integral Vektor mempunyai peranan yang
sangat penting bagi para fisikawan dan rekayasawan untuk membantu
menyelesaikan permasalahannya. Oleh sebab itu mahasiswa teknik perlu
mendapat pengetahuan tentang materi ini, sebagai salah satu bagian
dasar untuk melatih kemampuan rekayasa mereka.
Buku ajar yang berjudul Analisis Vektor ini disusun untuk membantu
mahasiswa dalam memahami pokok bahasan di atas, sehingga proses
belajar mengajar mata kuliah yang dimaksud bisa berjalan dengan lebih
baik.
Penyajian dan pembahasan materi dalam Buku Ajar ini diharapkan
dapat dengan mudah diikuti dan dipahami oleh semua mahasiswa.
Untuk itu, dalam setiap pokok bahasan, penyusun berusaha memberikan
beberapa contoh soal yang dapat diselesaikan mahasiswa sebagai
latihan. Di bagian akhir dari diktat ini diberikan daftar pustaka untuk
membantu bagi yang ingin mempelajari lebih lanjut, agar mendapatkan
pemahaman yang lebih mendalam.
Buku Ajar ini tentu saja memiliki banyak kekurangan, untuk itu
penyusun sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari
pemakai Buku Ajar ini untuk lebih menyempurnakan penyajian
selanjutnya. Akhirnya, penyusun berharap agar Buku Ajar ini dapat benar-
benar bermanfaat.
Malang, Agustus 2003
Penyusun
DDAAFFTTAARR IISSIIKKAATTAA PPEENNGGAANNTTAARR ii
DDAAFFTTAARR IISSII iiii
BBAABB II :: VVEEKKTTOORR KKOONNSSTTAANN 111.1 Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor 1
1.2 Aljabar Vektor 2
1.3 Vektor Posisi Dalam Bidang dan Ruang 4
1.4 Perkalian Antar Vektor 10
1.5 Penggunaan Vektor Dalam Geometri 20
BBAABB IIII :: FFUUNNGGSSII VVEEKKTTOORR 22882.1 Fungsi Vektor 28
2.2 Kurva Vektor 29
BBAABB IIIIII :: DDIIFFEERREENNSSIIAALL VVEEKKTTOORR 33443.1 Derivatif atau Turunan dari Fungsi Vektor 34
3.2 Interpretasi Dari Derivatif Vektor 35
3.3 Gradien, Difergensi dan Curl 38
3.4 Penggunaan Gradien, Difergensi dan Curl 41
BBAABB IIVV :: IINNTTEEGGRRAALL VVEEKKTTOORR 55664.1 Integral Garis 56
4.2 Teorema Green 69
4.3 Medan Gaya Konservatif 76
4.4 Integral Luasan 84
4.5 Teorema Divergensi Gauss 100
4.6 Teorema Stokes 106
DDAAFFTTAARR PPUUSSTTAAKKAA 111111
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 1Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
BAB I
VVEEKKTTOORR KKOONNSSTTAANN
1.1. Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor
Beberapa besaran (quantities) dalam fisika mempunyai besar
(magnitude) dan arah (direction), sebagai contoh misalnya lintasan dan
kecepatan sebuah obyek yang bergerak, gaya yang bekerja pada suatu
benda, medan listrik maupun medan magnet suatu titik dan lain
sebagainya. Besaran yang mempunyai besar dan arah disebut dengan
vektor (vector). Sementara besaran yang hanya mempunyai besar
(magnitude) saja seperti massa, waktu maupun temperatur disebut dengan
skalar (scalar). Notasi vektor dan teknik-teknik dengan menggunakan
analisis vektor sangat berguna untuk menjelaskan hukum-hukum fisika dan
aplikasinya baik dalam bidang (dimensi dua = R2) maupun ruang (dimensi
tiga = R3).Dalam penyajiannya sebuah vektor biasa digambarkan sebagai
segmen atau ruas garis yang berarah sebagai berikut :
v = ABABAB ==
A = titik pangkal (initial point)
B = titik ujung (terminal point)
Panjang vektor v = v = BA : menyatakan besarnya vektor atau
panjangnya vektor vdan tanda panah dalam AB menyatakan arah vektor.
A
B v
POKOK BAHASAN :! Pengertian tentang vektor dan notasi vektor! Aljabar vektor! Vektor posisi dalam bidang dan ruang! Perkalian antar vektor! Penggunaan vektor dalam geometri
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
Ada 3 jenis vektor :
a. Vektor Bebas (free vector) : vektor yang boleh digeser sejajar dirinya
dengan panjang dan arah tetap.
b. Vektor meluncur (sliding vector) : vektor yang boleh digeser sepanjang
garis kerjanya, misalnya gaya yang
bekerja sepanjang garis lurus.
c. Vektor terikat (binding vector) : vektor yang terikat pada sistem koordinat
yang menunjukkan posisi tertentu.
Kecuali bila digunakan untuk menyatakan letak atau posisi, pada umumnya
orang bekerja dengan vektor bebas.
1.2. Aljabar Vektor
Vektor nol (null vector)
Ditulis 0 adalah vektor yang panjangnya nol sehingga arahnya tak
tentu (karena ujung dan pangkalnya berimpit)
Kesamaan 2 vektor
Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai panjang dan arah yang
sama.
Kesejajaran 2 vektor
Dua vektor dikatakan sejajar atau paralel jika garis-garisnya sejajar,
arahnya bisa sama atau berlawanan.
Vektor-vektor yang segaris merupakan vektor-vektor yang paralel.
Penjumlahan vektor
Penjumlahan vektor bisa dilakukan dengan mengikuti aturan jajaran
genjang atau aturan segi banyak (poligon)
Misalnya:
a.
CBA =+
atau
A
B
A
C
AC
B
B
2
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 3Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
b. ⇒ DCBAE +++=
c. 0EDCBA =++++
Jumlah dari vektor-vektor yang merupakan sisi-sisi dari sebuah segi banyak
tertutup selalu nol jika arah sisi-sisi tersebut berurutan.
Penggandaan vektor dengan skalar
Jika m = besaran skalar
dan A = vektor yang panjangnya | A |
maka :
m A = vektor yang panjangnya m kali panjangnya A dan arahnya
sama dengan vektor A jika m positif, atau berlawanan
dengan arah vektor A jika m negatif
Pengurangan vektor
Pengurangan vektor dilakukan dengan menambahkan lawan dari
vektor yang mengurangi
D
A
C
B
A
CB
D
E
E
A B
C
D
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 4Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
Jadi: )B(ABA −+=−
⇒
⇒ BAC −=
Jika A = B maka 0BA =−
Hukum-hukum yang berlaku dalam Aljabar Vektor
Jika C ,B ,A adalah vektor dan m, n adalah skalar maka
1. BA + = AB + (komutatif terhadap jumlahan)
2. )C B(A ++ = C )BA( ++ (asosiatif terhadap jumlahan)
b. Hasil Kali vektor (Cross Product / Vector Product
Ditulis: CBA =× hasilnya berupa vektor
Dengan θ sinBABA =×
Arah dari BA× ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau
sekrup putar kanan.
Sifat hasil kali vektor:
" A × B ≠ B × A
A × B = –(B × A) anti komutatif
" (kA) × B = k(A × B) = A (kB)
" A × (B + C) = (A × B) + (A × C)
(A + B) × C = (A × C) + (B × C)
Dalam R3
θ siniiii =×
dengan cara yang sama
i × i = j × j = k × k = 0
190 sinjiji =°=×
C
A
θC
A
B
θB
B
A
BA×
AB×
z
k
ij
y
x
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 14Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
sehingga: i × j = k ; j × k = i; k × i = j
j × i = -k ; k × j = -i ; i × k = -j
Jika : A = Ax i + Ay j + Az k
B = Bx i + By j + Bz k
BA× = (Ax i + Ay j + Azk) × (Bx i + By j + Bzk)
= (AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx) j + (AxBy – AyBx) k
atau:
BA× =
zyx
zyx
BBBAAAkji
dan
( )( ) ( )2BABBAAθ sinBAB !!! −==×A
Contoh :
A = 2i – j + k
B = i – 3j + 4k
AA ! = 22 + 32 + 42 = 6
BB! = 2 + 3 + 4 = 9
k5j7 i)16(k)1j(83)4( i
43-111-2kji
BA −−=+−+−−+−=
=×
7525491571BA 222 =++=++=×
Aplikasi dari Hasil Kali Vektor
" Menghitung Torsi/Momen
Dalam mekanika momen/torsi dari gaya F terhadap titik Q didefinisikan
sebagai:
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 15Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
dFm = F
dengan
d = jarak (dalam arah ⊥ )
antara titik Q ke garis gaya F
Jika: r = adalah vektor yang menghubungkan titik Q ke titik
sembarang pada garis gaya F
Maka d = θsin r ; θ = sudut antara r dengan F
dan
rF θsin rFm ×==
Jika Mm = , maka
M = rF× = vektor momen dari gaya F terhadap titik Q
Contoh :
Tentukan vektor momen dari gaya F
terhadap titik O
Jawab:
F = (4 – 2) i + (–2 –1) j + 0k = 2i – 3j + 0k
r = (2 – 0) i + (1 – 0) j + 0k = 2i + j + 0k
'
y
r
F' ' ' x0
(2,1)
(4,-2)
d
Qd
Q
F
Lr
θ θ
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 16Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
8k6)k(2j(0)i(0)01203-2kji
M =++−==
864M ==
c. Hasil Kali Skalar Tripel (Triple Scalar Product)
Jika:
A = Ax i + Ay j + Az k
B = Bx i + By j + Bz k
C = Cx i + Cy j + Cz k
k
BBAAj
BBAAi
BBAACA
yx
yx
zx
zx
zy
zy +−=×
z
yx
yxy
zx
zxx
zy
zy CBBAAC
BBAAC
BBAACBA +−=× !
=
zyx
zyx
zyx
CCCBBBAAA
→ disebut hasil kali skalar triple, karena hasilnya merupakan skalar.
Dalam hasil kali skalar tripel berlaku sifat:
1. ( ) ( ) BACACBCBA !!! ×=×=×
sehingga:
( ) ( )CBACBA ×=× !!
Nilai hasil kali ini hanya bergantung pada urutan siklus dari vektornya
letak tanda × dan ! nya tidak mempengaruhi hasilnya.
Jika urutan vektornya ditukar maka tandanya akan berubah.
Sehingga:
CABCABCBA ×−=×−=× !!!
2. Hasil kali skalar tripel: 0CBA =× ! bila dan hanya bila Cdan B,A
sebidang.
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 17Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
Bukti:
a. 0CBA =× ! ⇒ Cdan B,A sebidang
Jika 0CBA =× ! maka C BA ⊥× atau
salah satu dari Catau B,A vektor nol
Berarti:
i. Apabila salah satu dari Catau B,A vektor nol, maka pasti
Cdan B,A sebidang
ii. Apabila C BA ⊥× maka C bisa diletakkan sebidang dengan
Bdan A sehingga Cdan B,A sebidang
b. Jika Cdan B,A sebidang ⇒ 0C B A =× !
Jika Cdan B,A sebidang, maka C BA ⊥× sehingga 0C B A =× !
• Arti Geometris Dari C B A !×
Diberikan vektor Cdan B,A
A = OA
B = OB
C = OC
C
B
O A
BAP ×=
BA× = luas jajaran genjang OADB
C B A !× = C P ! = θ cosC P
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 18Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
θ cosC = tinggi C di atas bidang OADB
Jadi CBA !× = volume bidang 6 (paralel epipedum) OADB – CEFG
yang disusun oleh Cdan B,A
Catatan:
Luas jajaran genjang OABC =
'AA OB = θ sinOA OB
= OA OB×
Contoh :
Buktikan bahwa ( ) ( ) ( ) 0BACABA =+×++ !
Bukti:
Misalkan uBA =+
vCA =+
Maka : uvu ×! = volume paralel epipedum dengan sisi-sisi u, v, u
Karena kedua sisinya merupakan vektor yang sama maka ketiga
vektor tersebut sebidang sehingga : uvu ×! = 0
d. Hasil Kali Vektor Tripel (Triple Vector Product)
Hasil kali vektor tripel adalah :
( ) CBA ××
( )CBA ××
Tanda kurung diperlukan di sini karena nilai akan berubah jika letak
kurangnya ditukar.
Misalkan :
(i × i) × j = 0 × j = 0
i × (i × j) = i × k = –j
A'B
CA
0 θ )
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 19Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
Sifat Hasil Kali Vektor Triple :
1. ( )CBA ×× ≠ ( ) CBA ××
2. ( )CBA ×× = ( )BCA ! – ( )CBA !
( ) CBA ×× = ( ) ( )ACBBCA !! −
Contoh :
1. Jika: A = 2i + 2j – k
B = i + j + k
C = 3i + j – 2k
Hitung : ( ) CBA ×× ; ( )CBA ××
Jawab:
a. kji
kjikjiBxA
43
)22()12()12(
111222
−−=
−−++−−=
−=
kji
kjikjiCxBxA
101010
)91()122()46(
213431)(
+−=
+++−−+=
−−−=
b. kji
kjikji
CB45
)31()32()12(
213111
++=++−−−−=
−−=×
kjikji
kjiCBA
8913)210()18()58(
451122
+−=−++−+=
−=×!
2. Buktikan : )AB)(AA()]BA(A[A ×=××× !
Bukti : Misalkan CBA =×
Maka ( )CBA ×× = ( ) ( )CAAACA !! −
= ( ) ( )( )BAAAABCA ×−× !!
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 20Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
= ( ) ( )( )BAAAA0 ×− !
= ( )( )BAAA ×− !
= ( )( )ABAA ×!
1.5. Penggunaan Vektor Dalam Geometri
a. Persamaan Garis
Dalam R3:
Andaikan l sebuah garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1) dan sejajar dengan
sebuah vektor v = Ai + Bj + Ck. Maka l merupakan tempat kedudukan
semua titik P(x,y,z) sedemikian hingga PP1 sejajar dengan v
Jadi titik P (x,y,z) terletak pada garis l bila dan hanya bila PP1 = vt
dengan t adalah suatu skalar.
Atau:
(x – x1)i + (y – y1) j + (z – z1) k = t (Ai + Bj + Ck)
= t Ai + tBj + tCk
Ini berarti :
=−=−=−
tCzztByytAxx
1
1
1
Persamaan parameter garis yang melalui titik (x1,y1,z1) dan paralel
dengan vektor v .
tCzztByytAxx
+=+=+=
1
1
1
"
),,( zyxP
),,( 111 zyxP
CkBjAiV ++=
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 21Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
Atau:
Persamaan standard garis yang
melalui titik (x1, y1, z1) dan paralel
dengan CkBjAiv ++=
Dalam hal ini v = Ai + Bj + Ck disebut vektor arah garis l dan A, B, C
merupakan bilangan arah garis.
Jika salah satu dari A, B dan C nol
Mis. A = 0 maka x – x1 = 0
x = x1
Persamaan standardnya ditulis : C
zzB
yy 11 −=− ; dan x = x1
Contoh :
Tentukan persamaan garis melalui A ( 5,4,1) dan B (3, 1, 6)
⇒
Vektor arah garis v = AB = –2i – 3j + 5k
Misalkan titik sembarang pada garis adalah P(x1,y1,z1) dan titik tertentu
yang terletak pada garis diambil titik A(5,4,1) maka
Persamaan standard garis:
51z
34y
25x −=
−−=
−−
Atau:
34y
25x
−−=
−−
⇒ 3x – 2y – 7 = 0 ∴ Persamaan standard garis:
51z
34y −=
−−
⇒ 5y – 3z – 17 = 0 017350723
=−−=−−
zyyx
Persamaan parameter garis:
tztytx
513425
+=−=−=
t = C
xxB
xxA
xx 321 −=−=−
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi QFakultas TeknikUniversitas Braw
Dalam R2 :
Jika suatu garis mempunyai gradien (bilangan/tangen arah) = m maka
vektor arah garis : l = i + mj
b. Persamaan Bidang
Vektor N ⊥ bidang W sehingga N
disebut Vektor Normal dari bidang w
Jika N = Ai + Bj + Ck
PQ = (x – x1) i + (y – y1) j + (z – z1) k → PQ terletak pada bidang W
Sehingga PQ ⊥ N ⇒ 0PQN =!
Atau:
→ Persama
Ai + Bj +
Contoh :
1. Tentukan
R(2,4,3).
⇒iPR
iPQ
+−=
−=
PQN ×=
∴ Pe
A(x –
–10 (
–10x
),,( 111 zyxP
),,( zyxQ
N
W )
A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0
ue 22 Jurusan Mesinijaya
an bidang melalui titik (x1, y1, z1) dengan normal bidang N =
Ck
persamaan bidang yang melalui titik-titik P(3,2,1) ; Q(4,1,5) ;
bidang pada terletak PRdan PQvektor k2j2
k4j
+
+
kj6i10221411kji
PR ++−=−
−=
rsamaan bidang:
x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0
x – 3) – 6 (y – 2) + 1( z – 1) = 0
– 6y + z + 41 = 0
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 23Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
" Persamaan bidang dapat juga ditulis sebagai:
dengan N = Ai + Bj + Ck
2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik T (4,1,-2);
tegak lurus pada bidang u = 2x + 3y + z = 8 dan
tegak lurus pada bidang v = x – y + 3z = 0
⇒ u = 2x + 3y + z = 8 → UN = 2i + 3 j + k
v = x – y + 3z = 0 → VN = i – j + 3k
Dicari bidang w yang ⊥ bidang u dan v , berarti wN ⊥ uN dan VN
Atau
k5j5i10311132kji
vNNN uw ++=−
=×=
Persamaan bidang w:
10(x – 4) – 5(y – 1) – 5(z + 2) = 0
10x – 5y – 5z – 45 = 0
2x – y – z = 9
c. Menentukan jarak titik terhadap suatu bidang
Diberikan sebuah titik P(r,s,t) yang berada di luar bidang V dengan
V = Ax + By + Cz + D = 0
→ Normal bidang vN = Ai + Bj + Ck
Jika A ≠ 0 ⇒ Titik
− 0,0;
ADQ terletak pada bidang tersebut.
tksjiADrQPk ++
+==
Ax + By + Cz + D = 0
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
ProgramFakultaUnivers
P(r,s,t)
N θ k d
Q(-D/A,0,0)
θ = sudut antara N dan k
sehingga θcoskd =
NkNddNkNkN !
! =⇒== θcos
sehingga:
222 CBA
CtBsADrA
d++
++
+
=
atau
Jarak titik P(r,s,t) ke bidang
Con
Ten
⇒ AC
AB
Nor
4i
−
=
∴ P
Semi Que 24s Teknik Jurusan Mesinitas Brawijaya
Ax + By + Cz + D = 0
toh :
tukan jarak P(5,5,4) ke bidang ABC jika A = (2,4,2)
B = (6,4,3)
C = (0,5,1)
= -2i + j + k
= 4i + k
mal bidang ACABN ×=
k4j21
11210kj ++−=
−
ersamaan bidang ABC
222 CBA
DCtBsArd
++
+++=
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 25Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
–(x – 0) + 2 (y – 5) + 4 (z – 1) = 0
–x + 2y + 4z – 14 = 0
Jarak titik P(5,5,4) ke bidang –x + 2y + 4z – 14 = 0
21146!105
164114)4(4)5(2)5(1
dd−++−
=++
−++−== =
217
d. Persamaan Garis sebagai Perpotongan Dua Bidang
Diberikan bidang v dengan normal vN
Diberikan bidang w dengan normal wN
(w
v) vN
"
wN
Jika bidang v dan w berpotongan pada satu garis maka vektor arah
garis tersebut akan ⊥ dengan vN maupun wN
Sehingga jika vektor arah garis tersebut "maka wNvN ×="
Contoh :
Tentukan persamaan garis yang merupakan perpotongan bidang
2x + y – 2z = 5 dan 3x – 6y – 2z = 7
⇒
v = 2x + y – 2z =5 →Nv = 2i + j – k
w = 3x + 6y – 2z =5 →Nw = 3i + 6j – 2k
Vektor arah garis:
k15j2i14
263212
kjiwNvNL −−−=
−−−
=×=
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 26Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
Ditentukan salah satu titik yang terletak pada perpotongan bidang.
(i) 2x + y + 2z = 5
(ii) 3x – 6y – 2z =7–––––––––––– ––x + 7y = –2
Misalkan diambil : y = 0 → –x = –2
x = 2
(i). 2(2) + 0 – 2z = 5
–2z = 5 – 4
z = – ½
Titik (2,0,-½ ) terletak pada garispotong 2 bidang.
Sehingga persamaan garis perpotongan kedua bidang :
15z
z0y
142x 2
1
−−=
−−=
−−
e. Sudut Antara Garis dan Bidang
Jika:
"" garisarah vektorckbjai →++=
0DCkByAx vbidang normalCkBjAiN =+++=→++=
"
N
v) θ
φ
)cba)(CBA(CcBbAa
NN θ cos
222222 ++++++==
"
"!
sin φ = sin (90 – θ)
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 27Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
= )cba)(CBA(
CcBbAa θ cos222222 ++++
++=
Sehingga sudut antara garis " dengan vektor arah ckbjai ++=" dengan
bidang v dengan normal bidang CkBjAiNv ++= adalah
)cba)(CBA(CcBbAaarcsin
222222 ++++++=φ
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 28Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
BAB II
FFUUNNGGSSII VVEEKKTTOORR
2.1 Fungsi Vektor
Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A
bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau A(t), yaitu suatu vektor
yang komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar t.
Dalam R2, fungsi vektor A (t) biasa ditulis dengan,
A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j
Dalam R3, fungsi vektor A(t) ditulis dengan,
A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j + A3 (t) k
Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik (x,y,z) di R3
dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A bisa dinyatakan dalam bentuk
fungsi vektor sebagai berikut:
A(x,y,z) = A1(x,y,z) i + A2 (x,y,z) j + A3 (x,y,z) k
Contoh fungsi vektor, misalnya persamaan dari gerakan bebas suatu
partikel dalam ruang.
Jika setiap titik dalam suatu ruang (R3) dikaitkan dengan suatu vektor,
maka ruang tersebut disebut medan vektor. Contoh medan vektor,
misalnya aliran fluida (gas, panas, air dan sebagainya) dalam suatu
ruangan.
Sembarang fungsi yang tidak dikaitkan dengan vektor disebut fungsi
skalar, dan suatu ruang yang setiap titiknya tidak dikaitkan dengan suatu
vektor disebut medan skalar.
Contoh medan skalar, misalnya temperatur sembarang titik dalam suatu
ruang atau batang besi, pada suatu saat.
POKOK BAHASAN :! Fungsi Vektor! Kurva Vektor
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 29Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
2.2 Kurva Vektor
Sebuah kurva berarah C dalam sistem koordinat kartesius, bisa
disajikan dalam bentuk fungsi vektor:
r(t) = [x(t), y(t), z(t)]
= x(t)i + y(t)j + z(t)k
Pengambilan nilai t = to akan menunjuk suatu titik pada kurva yang
posisinya ditentukan oleh vektor r(to), dengan koordinat x(to), y(to) dan
z(to).
Bentuk penyajian kurva vektor seperti di atas disebut dengan penyajian
parametric dari kurva C, dengan t sebagai parameternya. Dalam
mekanika, parameter t ini biasanya menyatakan waktu dalam satuan
detik.
CONTOH: – Penyajian kurva berarah sebagai fungsi vektor
a. Persamaan Kurva Vektor yang berupa Garis Lurus
Dengan persamaan parameter garis lurus
Sembarang garis lurus l yang melalui titik A(a1, a2, a3) dalam ruang bisa
disajikan dalam bentuk fungsi vektor:
" r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k ; untuk t = 0 → t = t
dan
33
22
11
tba)t(ytba)t(ytba)t(x
+=+=+=
dengan
a = a1 i + a2 j + a3k → vektor posisi titik A(a1, a2, a3)
yang terletak pada garis l.
b = b1 i + b2 j + b3k → vektor arah garis l
Jadi, persamaan di atas menyatakan persamaan suatu garis yang
melalui titik A dengan vektor posisi r = a dan arahnya sesuai
dengan arah vektor b. Jika vektor b adalah vektor satuan, maka
komponen-komponennya akan merupakan cosinus arah dari arah
l. Dalam hal ini, | t | merupakan jarak setiap titik pada garis l
terhadap titik A.
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 30Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
Contoh:
1. Kurva vektor yang berupa suatu garis lurus dalam bidang, yang
melalui titik A(3,2) dengan gradien 1,
⇒
a = 3i + 2j
b = i + j (garidien 1)
sehingga: x(t) = 3 + t
y(t) = 2 + t dan
r(t) = x(t) I + y (t)j = (3+t)i + (2 + t)j
Atau bisa juga ditentukan sebagai berikut:
Persamaan garis yang melalui titik (3,2) dengan gradien 1
adalah :
y – 2 = 1(x – 3) → y = x – 1
Jika, x(t) = t
untuk t = 2 → t = t
y(t) = t – 1
Maka r(t) = x(t)I + y(t)j = ti + (t – 1)j
2. Kurva yang berupa garis lurus melalui titik A(1,0,2) menuju titik
B(3,-4,1)
⇒
Titik awal (1,0,3) ––→ a = i + 0j + 2j
Vektor arah garis b = (3 – 1)I + (– 4 – 0)j + (1 – 2)k
= 2i – 4j – k
x(t) = 1 + 2t
y(t) = 0 – 4t
z(t) = z – t
r(t) = (1 + 2t) i – 4tj + (2 – t)k
t = 0 → t = 1
b. Parabola
(1). Parabola y = x2 ; -2 ≤ x ≤ 2
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 31Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
-2 2
y
x
2xy =
x(t) = t (x = t)
y(t) = t2 (karena y = x2)
Sehingga :
r(t) = ti + t2j , dengan t = -2 → t = 2
(2). Parabola : y = x2 , z = 2 ; 0 ≤ x ≤ 2 ; di R3
x(t) = t ; t = 0 → t = 2
y(t) = t2
z(t) = 2
r(t) = ti + t2j + 2k
c. Ellips/LingkaranPersamaan umum Ellips dalam koordinat kartesius:
c z ,1by
ax
2
2
2
2
==+ di R3
2
z
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 32Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
z
y
x
1
1
dibawa ke bentuk parameter, dengan :x (t) = a cos ty (t) = b sin t
z (t) = csehingga bentuk fungsi vektornya menjadi:
r(t) = a cos t i + b sin j + c kJika a = b = r, persamaan ellips diatas menjadi persamaan lingkaran:
1ry
rx
2
2
2
2
=+ atau x2 + y2 = r2 ; z=c di R3
dan persamaan fungsi vektornya :
r(t) = r cos t i + r sin t j + c k
d. Helix PutarHelix putar adalah suatu kurva yang berbentuk seperti spiral yang
terletak pada silinder. Persamaan helix putar yang terletak padasilinder x2 + y2 = a2, dalam bentuk fungsi vektor adalah:
r(t) = cos i + a sin t j + ct k (c ≠0)Jika c > 0 → bentuk helix mengikuti sekrup putar kananJika c < 0 → bentuk helix mengikuti sekrup putar kiri
Misalnya:Persamaan helix r(t) = cos t i + sin t j + t k adalah persamaan dari
helix putar kanan yang terletak pada silinder x2 + y2 = 1 dan berjarakvertikal 2π, artinya jika dihubungkan dengan garis vertikal (sejajar
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 33Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
dengan sumbu z) maka jarak dua titik pada helix akan merupakankelipatan 2π.
Z
Y
X
a. Helix putar kanan b. Helix putar kiri
Z
Y
X
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 34Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
Bab III
DDIIFFEERREENNSSIIAALL VVEEKKTTOORR
3.1 Derivatif Atau Turunan Aljabar Dari Fungsi Vektor
Fungsi vektor A(t) dikatakan diferensiabel di titik t jika nilai limit berikut:
(t)A'dtd
ΔtA(t)Δt)A(t0Δt
lim==−+→ ada
Dalam hal ini, vektor A’(t) disebut derivatif (turunan) dari vektor A(t)Jadi, jika A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j + A3(t)k,
Maka
kji
kji
(t)A'(t)A'(t)A' dt
dAdt
dAdt
dA (t)A'
321
321
++=
++=
Rumus-rumus untuk derivatif Fungsi Vektor:skalaratau konstanta(ccA'(cA)' == )
B'A' B)'(A +=+
B'ABA' B)'(A !!! +=
B'ABA' B)'(A ×+×=×
)C' B(A C) B'A (C) B(A' C)' B(A ++=
Derivatif Parsial Fungsi VektorUntuk fungsi vektor yang komponen-komponennya terdiri dari duavariabel atau lebih, misalnya:
A(x,y,z) = A1(x,y,z)i + A2 (x,y,z) j + A3(x,y,z)kmaka, bisa ditentukan derivatif parsial dari A(x,y,z) terhadap x, y atau zsebagai berikut:
kjix
Ax
Ax
AxA 321
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂
kjiy
Ay
Ay
AyA 321
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂
POKOK BAHASAN :! Derivatif atau turunan dari fungsi vektor! Interpretasi dari derifatif vektor! Gradien, divergendi dan curl! Penggunaan gradien, divergendi dan curl
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 35Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
kjiz
Az
Az
AzA 321
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂
CONTOH:
Diberikan fungsi vektor:φ (x,y) = a cos x i + a sin x j + y k
⇒ x∂∂φ
= a sin x i + a cos x j
y∂∂φ
= k
• Jika φ = fungsi skalar
A, B = fungsi vektor ; maka:
a. Adtd
dtdA)A(
dtd φ+φ=φ (A dan φ merupakan fungsi t)
b. BxA
xBA)BA(
t!!!
∂∂+
∂∂=
∂∂
(A dan B merupakan fungsi x,
y dan z)
c. BxA
xBA)BA(
x×
∂∂+
∂∂×=×
∂∂
(A dan B merupakan fungsi x,
y, dan z)3.2 Interpretasi Dari Derivatif Vektora. Interpretasi geometris
Jika C adalah kurva yang dinyatakan dalam bentuk fungsi vektorr(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, maka:1. Derivatif dari kurva C di P, atau
kjidtz(t)d
dty(t) d
dt x(t)d
dtr(t) d(t)r' +===
merupakan vektor singgung (tangent vector) dari kurva C di P.
2. u = r'r'
…………………..→ vektor singgung satuan (unit tangent)
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 36Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
)(' 0tr)(: trC
P0tt ====
3. ∫=b
adtr'r'!i → panjang kurva C, ≤ t ≤ b (length of a
curve)
4. ∫=t
adtr'r's(t) ! → panjang busur a ≤ t (arc length of a
curve)
CONTOH:
Diberikan fungsi vektor dari kurva yang berbentuk lingkaran sebagai
berikut: r(t) = 2 cos t i + 2 sin t j 0 ≤ t 2, maka:
a) vektor singgung dari kurva di t = 2π
adalah
2πt t cos 2 sin t -2(t)r' =+= ji
= -2i
b) iiii −==
−=
22-
22-u
c) Panjang busur lingkaran (keliling lingkaran):
∫∫ +=2π
o
22π
o
dt 4costtsindtr'r'!
= ∫∫ =2π
o
2π
o
dt 4dt4
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 37Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
= 4π2t 2πo =
b. Interpretasi dalam mekanika
Jika C adalah lintasan suatu benda yang dinyatakan dalam bentuk
fungsi vektor
maka:
" dt
tdrrv )('== → merupakan vektor kecepatan di suatu
titik t.
" dtdsr'r'v == ! → laju (speed) atau besarnya kecepatan
di sautu titik t.
" a(t) = v'(t) = r''(t) → vektor percepatan
CONTOH :
1. Gerak Rotasi
Jika C : r(t) = R cos ωt i + R sin ωt j
⇒ persamaan gerak sebuah partikel P yang bergerak melingkar
berlawanan dengan arah jarum jam.
• Vektor kecepatan di sembarang titik pada lintasan tersebut.
v(t) = r'(t) = Rω sin ωt i + Rω cos ωt j
• Kecepatan sudut (kecepatan angular)
ωR
RωωtcosωRωtsinωRRv 222222 ==++=
• Vektor percepatan
= a = v' = –R ω2t i – R ω2 sin ωt j
= -2 r(t)
Jadi,
| a | = | -ω r(t)| = ω2 R → percepatan centripetal (dengan arah
menuju pusat lingkaran)
2. Tentukan persamaan lintasan partikel yang bergerak dengan
vektor percepatan a = 2 i – 2 k, jika posisi awalnya dititik (-1,1,2) dan
vektor kecepatan awalnya v(0) = j
DIKTAT ANALISIS VEKTOROleh : Tim Matematika Teknik Mesin Unibraw
Program Semi Que 38Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya