Kapittel 2 S P E N N I N G Kapittel 2 Spenning NASA
Jan 11, 2016
Kapittel 2
SPENNING
Kapittel 2Spenning
NASA
Kapittel 2
SPENNING
Spenning på et plan (”traction”)
vσ = lim
ΔA→0(ΔF / ΔA)
Spenning på et punkt på en flate:
SI-enheten for kraft (F) er 1 kp = 9.81N (kgm/s2). 1 N (Newton) er ved jordens overflate den kraften som utøves av vekten av 102 g.
Ofte brukes likevel enheten dyne, der 1 dyne (g.cm/s2) = 10-5 N.
Kapittel 2
SPENNING
Spenning på et plan
Krefter og spenninger er forskjellige begreper. Kraftvektorer kan adderes ved vanlig vektoraddisjon, ikke spenningsvektorer, som avhenger av arealet de virker på.
Normal-komponenter
Planets orienteringF normalt på planet
F i planet
Kapittel 2
SPENNING
Spenning på et plan
Skjærkomponenter
Planets orienteringF normalt på planet
F i planet
(arealet = 0, => ingen spenning)
Kapittel 2
SPENNING
Positive og negative spenninger
Kompresjon er positiv i geologi (ikke i ingeniørgeologi)
Kapittel 2
SPENNING
Spenningstilstanden i et punkt
Spenningsellipsen: Viser spenningen over plan med forskjellige orienteringer gjennom punktet i 2D
Kapittel 2
SPENNING
Spenningstilstanden i et punkt
Spenningsellipsoiden: Viser spenningen over plan med forskjellige orienteringer gjennom punktet i 3D.Aksene representerer hovedspenningene σ1, σ2 and σ3
Kapittel 2
SPENNING
Spenningstilstanden i et punkt
Spenningene på flatene til en kube som er “uendelig” liten: 9 komponenter, 6 uavhengige
Kapittel 2
SPENNING
Spenningstilstanden i et punkt:Spenningstensoren (matrisen)
Spenningene på flatene til en kube som er “uendelig” liten: 9 komponenter, 6 uavhengige
σ11 σ 12 σ 13
σ 21 σ 22 σ 23
σ 31 σ 32 σ 33
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
Dersom kuben ligger i ro er σ12=σ21, σ31=σ13 og σ23=σ32,
σ11 σ 12 σ 13
σ 12 σ 22 σ 23
σ 13 σ 23 σ 33
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
9 komponenter
6 uavhengige komponenter
Kapittel 2
SPENNING
Spenningstilstanden i et punkt:Spenningstensoren (matrisen)
Dersom vi orienterer koordinatsystemet slik at skjærspenningene blir null langs kubens flater:
3 diagonale komponenter som er hovedspenningene.
Kolonnene er tre vektorer som er hovedspenningsvektorene (aksene til spenningsellipsoiden)
σ11 0 0
0 σ 22 0
0 0 σ 33
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
=
σ 1 0 0
0 σ 2 0
0 0 σ 3
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
Kapittel 2
SPENNING
Deviatorisk spenning og middelspenning
Deviatorisk spenning er forskjellen mellom middelspenningen og den totale spenningen: σdev=σtot-σm
Middelspenningen σm (”mean stress”) er middelverdien av de tre hovedspenningene: σm=(σ1+σ2+σ3)/3
Kapittel 2
SPENNING
På matriseform:
Total spenning
σ11 σ 12 σ 13
σ 12 σ 22 σ 23
σ 13 σ 23 σ 33
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
=
σm 0 0
0 σ m 0
0 0 σ m
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
+
σ 11 − σ m σ 12 σ 13
σ 12 σ 22 − σ m σ 23
σ 13 σ 23 σ 33 − σ m
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
Middelsp.(isotrop del)
Deviatorisk spenning(anisotrop del)
Deviatorisk spenning og middelspenning
Kapittel 2
SPENNING
•Normal- og skjærspenningsrom, forskjellig fra det fysiske rommet vi vanligvis tenker på.•Bruker doble vinkler. Derfor plotter begge (alle) hovedspenningsverdier langs horisontalaksen
Mohrs sirkel
Kapittel 2
SPENNING
•Sirkelen har differensiell spenning (σ1-σ3) som
diameter.•Ethvert punkt på sirkelen representerer et plan.•Diagrammet har informasjon om skjær- og normalspenningen på planet (leses av på aksene)
Mohrs sirkel
Kapittel 2
SPENNING
Mohrs sirkel for 3D og noen viktige spenningstilstander