Kapitel 5 Quantisierung des elektromagnetischen Feldesgros/Vorlesungen/QM_2/elMag.pdf · Kapitel 5 Quantisierung des elektromagnetischen Feldes 5.1 Quantisierung des freien elektromagnetischen

Kapitel 5

Quantisierung des elektromagnetischenFeldes

5.1 Quantisierung des freien elektromagnetischen Feldes

In diesem Kapitel wird die Quantisierung verschiedener Feldgleichungen behandelt, manspricht auch vonquantisierten Feldtheorien.

Die Basis einer Feldtheorie bildet immer eine Gleichung (oder ein Satz von Gleichun-gen), die das Verhalten einer Große beschreibt, die ein physikalisches System charakterisiert.Diese Große nennt mandas Feld.Die Hydrodynamik z. B. ist eine Feldtheorie fur das Ge-schwindigkeitsfeld~v(~r, t), die Elektrodynamik hat Feldgleichungen fur~E- und~B-Felder (bzw.die Potentiale), namlich die Maxwell-Gleichungen. Die Feldgleichung fur die nichtrelativisti-sche Quantenmechanik ist die Schrodinger-Gleichung, undin der relativistischen QM hat manKlein-Gordon- und Dirac-Gleichung. Die Allgemeine Relativitatstheorie erklart die Gravita-tion mit Hilfe der Einsteinschen Feldgleichungen fur die Metrik gµν.

Wenn es sich um klassische Feldgleichungen handelt, so steht man vor der Aufgabe, klas-sische Felder in quantenmechanische Operatoren uberfuhren zu mussen. Hier fuhren wir dieQuantisierung der Maxwell-Gleichungen durch.

5.1.1 Maxwell-Gleichungen und Korrespondenzprinzip

Bevor wir uns der eigentlichen Quantisierung des Lichtfeldes zuwenden wollen wir einigeVorarbeiten aus der Mechanik, der Elektrodynamik und der QM-I wiederholen.

KorrespondenzprinzipDas Korrespondenzprinzip hat uns schon in der QM-I geholfeneine formale Herleitung1 derSchrodingergleichung fur ein Teilchen vorzunehmen. Mangeht dabei von den Hamilton’schenBewegungsgleichungen aus, wir werden es bei der Quantisierung des elektromagnetischenFeldes ebenso manchen.

Fur die kanonisch konjungierten Variablenqi und pi gelten folgendeAquivalenzen:

1Die elementaren Naturgesetze kann man streng genommen nicht herleiten sondern nur postulieren und ex-perimentell uberprufen. In der Physik sieht man es als denbesseren Weg an allg. Prinzipien und Symmetriefor-derungen zu postulieren und deren Konsequenz zu testen.

55

56 Quantisierung des elektromagnetischen Feldes

Mechanik Quantenmechanik(1) Phasenraum Hilbertraum(2) FunktionA(qi , pi) Operator A(4) HamiltonfunktionH HamiltonoperatorH(5) qi , pi Operatoren ˆqi , pi

(6) Poisson Klammer{A,B} Kommutator [A, B] = AB− BA(7) {qi , p j} = 0 [qi , p j ] = ihδi j

(8) dAdt = ∂A

∂t +{A,H} ih ddt A = ih∂A

∂t +[A, H]

Diese Tabelle beschreibt das Korrespondenzprinzip. Insbesondere sieht man aus Punkt (7) und(8), dass der klassische Grenzfall ¯h→ 0 erfullt ist.

Poisson KlammerWir rufen uns die Definition

{qn, pm

}=

f

∑i=1

(∂qn

∂qi

∂pm

∂pi− ∂qn

∂pi

∂pm

∂qi

)

=f

∑i=1

δniδmi = δnm ,

der Poisson Klammer fur die kannonischen Variablen in Errinnerung, es gilt demmach

{A,B

}= −

{B,A

}.

Hamilton’sche BewegungsgleichungenEin klassisches Feld ist nichts anderes als eine FunktionF(q1, . . . ,qf , p1, . . . , pf , t) auf demPhasenraum{~q,~p}. Es gelten die Hamilton’schen Bewegungsgleichung

dFdt

=∂F∂t

+f

∑i=1

(∂F∂qi

qi +∂F∂pi

pi

)

=∂F∂t

+f

∑i=1

(∂F∂qi

∂H∂pi

− ∂F∂pi

∂H∂qi

)

︸︷︷︸

≡{F,H}

, (5.1)

wobei{F,H} eine Poisson Klammer ist.

FeldoperatorWir suchen nun eine FeldoperatorFop, welcher im klassischen Grenzfall (5.1) erfullt. Da wirzwischen dem Schrodinger-Bild (Operator mit Superscript‘S’) und dem Heiseberg-BildFop

unterscheiden suchen wir eine FeldoperatorFop welcher nach erfolgreicher Quantisierung

dFop

dt=

(

∂FSop

∂t

)

H

+1i h

[Fop,Hop

], (5.2)

erfullt, also nach dem Korrespondenzprinzip die klassischen Bewegungsgleichungen (5.1)quantenmechanisch erweitert.

5.1 Quantisierung des freien elektromagnetischen Feldes 57

Freie elektromagnetische Felder

In Coulomb-Eichung (~∇ ·~A = 0) reduzieren sich die Maxwellgleichungen fur das Vektorpo-tential~A(~x, t) und dem Skalarpotentialϕ(~x, t) im Vakuum (ohne Quellen) auf

∆ϕ = 0, ∆ = ∂2

∂2x + ∂2

∂2y + ∂2

∂2z ,

�~A = 0, � = 1c2

∂2

∂2t − ∆ .(5.3)

Die Felder erhalt man dann mittels

~B = ~∇×~A und ~E = −1c

∂~A∂t

− ~∇ϕ . (5.4)

Die Losungen der freien Maxwellgleichungen (5.3) konnenzu ϕ = 0 gewahlt werden, da imUnendlichen das Potential verschwindt

Transversale elektromagnetische FelderDie Felder~E und~B sind wie~A transversale Felder,denn fur eine ebene Welle

~A = ~A0ei(~k·~x−ωt)

fuhrt ~∇ ·~A = 0 auf~k ·~A = 0. Deswegen heißt die Coulomb-Eichung auchtransversale Ei-chung. Es hat sich als gunstig erwiesen, die Coulomb-Eichung auchfur die Quantisierungbeizubehalten.

FeldenergieKeine Quantisierung ohne Hamiltonoperator, und dazu brauchen wir den Ausdruck fur dieGesamtenergie

Ekl =18π

Z (

~E2 +~B2)

d3r (5.5)

des Strahlungsfeldes. Wir suchen nun eine Operator~Aop fur das Vektorpotential so dass

i hddt

~Aop =[~Aop,H

]⇐⇒ �~A = 0 (5.6)

mit H=Ekl gilt.

Periodische RandbedingungenDie Quantisierung ist einfacher wenn man es mit abzahlbar vielen Freiheitsgraden zu tun hat.Das ist Vektorfeld kontinuierlich und hat uberabzahlbarviele Freiheitsgrade. Wir verwendendaher periodische Randbedingungen

~A(x+L,y,z, t) = ~A(x,y,z, t) usw.

fur ein endliches VolumenV = L3, welches wir erst am Ende der Rechungen unendlich grosswerden lassen.

Fourier-ReihenFelder, welche auf einem endlichen Hyperkubus leben lassensich in Fourier-Reihe ent-wickeln. Die allgemeine Losung fur (5.3) lautet dann

~A(~r, t) = ∑~k

∑λ

√

2π hck

(

Aλ(~k, t)ei~k·~r√

V+A∗

λ(~k, t)

e−i~k·~r√

V

)

~uλ(~k) . (5.7)


Die~k-Summe erstreckt sich uber alle erlaubten~k-Vektoren. Fur sie gilt wegen der periodischenRandbedingungen

~k =2πL

(n1,n2,n3) , ni ∈ Z .

Der Indexλ geht von 1 bis 2 und gibt die Polarisation an. Der Faktor unterder Wurzel wirdsich spater als gunstig erweisen und ist ansonsten bedeutungslos. Die Vektoren~u1 und~u2 sindzwei aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren, die mit~k ein orthogonales Dreibeinbilden (transversale Eichung):

~k ·~uλ(~k) = 0, ~uλ(~k) ·~uµ(~k) = δµλ .

Außerdem wahlt man noch o.B.d.A.~uλ(~k) =~uλ(−~k).

Harmonische OszillatorenWichtig ist nun, daß wegen (5.3) fur jeden Fourier-KoeffizientenAλ(~k, t) die Gleichung

∂2

∂t2Aλ(~k, t) = −c2~k2Aλ(~k, t) (5.8)

gilt, also eine Differentialgleichung fur einenharmonischen Oszillator.Man sagt, die Nor-malmoden des Strahlungsfeldes verhalten sich wie harmonische Oszillatoren. Diese Tatsachewird spater den Ausgangspunkt fur die Lichtfeldquantisierung bilden.

Allgemeine Losung der WellengleichungUm (5.8) zu erfullen, setzen wir

Aλ(~k, t) = Aλ(~k)e−iω~kt , ω~k = c|~k| .

Die allgemeine Losung der Wellengleichung (5.3) ist damit

~A(~r, t) = ∑~k

∑λ

√

2π hc2

ω~k

(

Aλ(~k)ei(~k·~r−ω~kt)

√V

+A∗λ(~k)

e−i(~k·~r−ω~kt)

√V

)

~uλ(~k) . (5.9)

Die zeitunabhangigen FeldamplitudenAλ(~k) werden bei der Quantisierung dann zu Operato-ren im Schrodinger-Bild werden.

Energie des LichtfeldesUnter Verwendung von (5.9) wollen wir die Gesamtenergie desStrahlungsfeldes nur durchdie Fourier-KoeffizientenAλ(~k) ausdrucken. Es ist mit (5.4) undϕ = 0

Ekl =1

8π

Z (

~E2 +~B2)

d3r =18π

Z

1c

c

(

∂~A∂t

)2

+(~∇×~A

)2

d3r .

Wir berechnen die beiden Teile des Integrals getrennt.


Der ∂~A/∂t-Term zur FeldenergieEs ist

18πc2

Z

(

∂~A∂t

)2

d3r =1

8πc2

2π hc2

V

Z

∑~k,~k′

∑λ,λ′

[(

−ω~kω~k′√ω~kω~k′

)

~uλ(~k) ·~uλ′(~k′)×

×(

Aλ(~k, t)ei~k·~r −A∗λ(~k, t)e−i~k·~r

)

×

×(

Aλ′(~k′, t)ei~k′~r −A∗λ′(~k′, t)e−i~k′~r

)]

d3r (5.10)

Hier kann man die Beziehungen

1V

Z

ei(~k−~k′)~r d3r = δ~k,~k′ und1V

Z

ei(~k+~k′)~r d3r = δ~k,−~k′ (5.11)

ausnutzen. Außerdem ist

∑λ,λ′

~uλ(~k)~uλ′(~k) = ∑λ

wegen~uλ(~k)~uλ′(~k) = δλ,λ′ . Damit wird (5.10) zu

14∑

~k,λ

hω~k

(

Aλ(~k, t)A∗λ(~k, t)+A∗

λ(~k, t)Aλ(~k, t)−

(

Aλ(~k, t)Aλ(−~k, t)+A∗λ(−~k, t)A∗

λ(~k, t)

))

.

Der ~∇×~A-Term zur FeldenergieEr liefert bis auf ein Vorzeichen das gleiche Ergebnis wie der andere Term:

18π

Z (~∇×~A

)2d3r =

14∑

~k,λ

hω~k

(

Aλ(~k, t)A∗λ(~k, t)+A∗

λ(~k, t)Aλ(~k, t)+

+(

Aλ(~k, t)Aλ(−~k, t)+A∗λ(−~k, t)A∗

λ(~k, t)

))

Die letzten beiden Terme heben sich also jeweils weg und es wird schließlich

Ekl =12∑

~k

∑λ

hω~k

(

Aλ(~k)A∗λ(~k)+A∗

λ(~k)Aλ(~k)

)

ω~k = c|~k| . (5.12)

Die Zeitabhangigkeit wurde hier schon weggelassen, da siesowieso herausfallt. Naturlichsind Aλ und A∗

λ Zahlen, also konnte man die Klammer zusammenfassen. Allerdings wollenwir ja auf eine Quantisierung hinaus, also sollte auf die Reihenfolge der Großen, die spaterOperatoren werden sollen, genau geachtet werden. Um einen geeigneten Formalismus paratzu haben, wiederholen wir nun kurz die Theorie des harmonischen Oszillators.


5.1.2 Quantisierung des harmonischen Oszillators

Der harmonische Oszillator

H =p2

2m+

mω2

2x2

wird mittels derKletter-Operatoren aunda†

a =mωx+ ip√

2hmωa† =

mωx− ip√2hmω

diagonalisiert. Sie genugen den Vertauschungsrelationen

[a,a†] = 1

[a,a]

=[a†,a†] = 0 , (5.13)

und der Hamiltonian fur den harmonischen Oszillator lautet dann

H = hω(

a†a+12

)

= hω(

N+12

)

, (5.14)

mit N = a†a. Fur denBesetzungszahloperator Ngelten die Vertauschungsrelationen

[N,a

]= −a

[N,a†] = a† . (5.15)

Erzeugungs- und VernichtungsoperatorenDie Relationen (5.15) erlauben eine rein algebraische Herleitung des Eigenwertspektrums desharmonischen Oszillators. Der TeilchenzahloperatorN habe das Eigenwertspektrum{β},

N |β〉 = β |β〉 .

Dann gilt

Na†|β〉 (5.15)=

(

a† +a†N)

|β〉 = a†(1+N)|β〉 = (1+β)a†|β〉Na|β〉 = (−a+aN)|β〉 = (β−1)a|β〉 .

Das heiß t, der Zustanda†|β〉 ist Eigenzustand zuN mit Eigenwert(1+ β), unda|β〉 ist Ei-genzustand zuN mit Eigenwert(β−1). Das rechtfertigt die BezeichnungKletter-Operatoren.Man nennta† unda auchErzeugerbzw.Vernichter.

Fur einen beliebigen Zustand|ψ〉 gilt

〈ψ|N|ψ〉 = 〈ψ|a†a|ψ〉 = 〈aψ|aψ〉 ≥ 0 ,

daher muss der niedrigste Eigenwertβ0 von N großer oder gleich 0 sein. Damit folgt soforta|β0〉 = 0 und β0 = 0 . Der OperatorN hat also als Spektrum die naturlichen Zahlen ein-schließlich der 0, deswegen werden seine Eigenzustande abjetzt mit |n〉 bezeichnet.


Normierung und MatrixelementeWegen〈n|N|n〉= n haben die Kletter-Operatoren auf die Zustande|n〉 die folgende Wirkung:

a|n〉 =√

n|n−1〉 a†|n〉 =√

n+1|n+1〉 (5.16)

Einen beliebigen Eigenzustand zum Besetzungszahloperator generiert man also mittels

|n〉 =(a†)n√

n!|0〉 .

Schreibt man die Bewegungsgleichung fur den Vernichter imHeisenberg-Bild, so wird dieAnalogie zur klassischen Beschreibung des Lichtfeldes schon deutlich:

i hddt

aH(t) =[aH(t),H

]

Setzt man hier den Hamiltonian (5.14) ein, so bekommt man

ddt

aH(t) = −iωaH(t) , (5.17)

und das ist nach nochmaliger Ableitung nacht genau von der Form (5.8). Die letzten beidenGleichungen bilden die eigentliche Motivation fur die folgenden Schritte.

5.1.3 Quantisierung des Lichtfeldes

Der klassische Ausdruck (5.12) fur die elektromagnetischen Feldenergie stellt sich als Summeuber harmonische Osziallatoren dar. Wir konnen also die entsprechende Quantisierungsvor-schrift ubernehmen.

Photonen sind BosonenNun folgt der entscheidende Schritt zur Quantisierung. Wirnehmen in der klassischen Ge-samtenergie (5.12) die Ersetzungen

Aλ(~k) −→ aλ(~k)

A∗λ(~)k −→ a†

λ~k

(5.18)

vor, wobei die Kletter-Operatoren den bosonischen Vertauschungsrelationen[aλ(~k),a

†λ′(~k

′)]

= δ~k,~k′δλ,λ′ (5.19)

genugen. Das Vektorpotential wird nun also zu einemOperator.Zur Vereinfachung packen wir den Polarisationsindexλ ab jetzt stets mit in~k hinein, so

daß (5.19) nun lautet:[a~k,a

†~k′

]= δ~k,~k′


HamiltonianDer Hamilton-Operator fur das elektromagnetische Feld schreibt sich dann mit (5.18) aus derklassischen Feldenergie (5.12) zu

Hem = ∑~k

hω~k

(

a†~ka~k +

12

)

= ∑~k

hω~k

(

N~k +12

)

. (5.20)

Nun ist die Analogie des elektromagnetischen Feldes zum harmonischen Oszillator komplett:Das Feld kann beschrieben werden als eine unendliche Zahl harmonischer Oszillatoren, diedurch den Wellenvektor~k unterschieden werden.

Operator fur das Vektor-PotentialDas Vektorpotential wird mit den kanonischen Ersetzungen (5.18) zu einem hermiteschenOperator, der aus einer Linearkombination von Kletter-Operatoren besteht,

~Aop(~r, t) = ∑~k

√

2π hc2

Vω~k

(

a~kei(~k·~r−ω~kt) +a†

~ke−i(~k·~r−ω~kt)

)

~u~k ω~k = c|~k| .

(5.21)Samtliche Eigenschaften des quantisierten Lichtfeldes lassen sich nun direkt aus dieser Dar-stellunga ableiten.

Heisenbergsche BewegungsgleichungDie Heisenberg-Gleichung

i hd~Aop

dt=[~Aop,H

], i h

d~Aop

dt−[~Aop,H

]= 0 (5.22)

fur diesen Operator ist aquivalent zur Wellengleichung (5.3), d.h. mit

�~Aop(~r, t) = 0, �e±i(~k·~r−ω~kt = 0 ,

welche ja fur jede einzelnen Welle schon erfullt ist. Wir betrachten nun die einzelnen Termevon Aop und verwenden die Vertauschungrelation[N,a] = −a, siehe (5.15),

ih(−iω~k)a~k − hω[a~k,N~k

]= hω~ka~k− hω~ka~k = 0 .

Damit ist auch die Bewegungsgleichung erfullt.

ZeitabhangigkeitDie Kletter-Operatoren in (5.21) sind vollkommen zeitunabhangig, d.h. im Schrodinger-Bild.Man kann die Zeitabhangigkeit auch wieder auf sie ubertragen, via

a~k(t) = eiHt/ ha~ke−iHt/ h .


Nun ist

ddt

a~k(t) =1i h

eiHt/ h[a~k,H]e−iHt/ h (5.19)

=1i h

eiHt/ h( hω~ka~k)

e−iHt/ h = −iω~ka~k(t) .

Daraus folgt

a~k(t) = e−iω~kta~k und a†~k(t) = eiω~kta†

~k.

was naturlich mit (5.21) konsistent ist.

FeldoperatorenDie Operatoren fur das elektrische und magnetische Feld sind dann laut (5.4) in der Coulom-

beichung~B = ~∇×~A und~E = −1c

∂~A∂t , gleich

~Eop(~r, t) = i ∑~k

√

2π hω~k

V

(

a~kei(~k·~r−ω~kt)−h.c.

)

~u~k (5.23)

~Bop(~r, t) = i ∑~k

~k×√

2π hc2

Vω~k

(


)

~u~k (5.24)

Die Buchstaben “h.c.” stehen fur das hermitesch Konjugierte des ersten Ausdruckes in der

Klammer, also in diesem Fall fura†~k

exp(

−i(~k ·~r −ω~kt))

.

ImpulsEs sei noch der Ausdruck fur den Impuls des quantisierten Lichtfeldes erwahnt. Klassisch istdie Impulsdichte des elektromagnetischen Feldes durch

~P =1

4πc

Z

V

(

~E×~B)

d3r (5.25)

gegeben. Verwendet man die Formeln (5.23) und (5.24), so ergibt das in Abhangigkeit vonden Kletter-Operatoren

~Pop = ∑~k

h~ka†~ka~k = ∑

~k

h~kN~k .

Der Impuls eines einzelnen Photons ist also ¯h~k.

ZusammenfassungEs lassen sich jetzt folgende Regeln fur die quantenmechanische Beschreibung des Lichtfeldesangeben:


• VakuumEs existiert ein Vakuum-Zustand|0〉 mit

a~k|0〉 = 0 ∀~k und 〈0|0〉 = 1 .

• PhotonenEin Photon in einem Zustand mit festem Impuls ¯h~k wird beschrieben durch

a†~k|0〉 .

• Allg. Zustand

Ein allgemeiner Photonenzustand mitn~kiPhotonen pro Impuls ¯h~ki (man sagt auch “in

der Mode~ki”) wird beschrieben durch

(a†~k1

)n~k1

√

n~k1!

(a†~k2

)n~k2

√

n~k2!· · · |0〉 =

∞

∏i=0

(a†~ki

)n~ki

√

n~ki!|0〉 . (5.26)

Dafur schreibt man auch kurz

|n~k1,n~k2

, . . .〉 oder |{n~k}〉 . (5.27)

Der Vakuum-Zustand lautet folglich korrekterweise|0,0, . . .〉. Die Darstellung (5.27)heißt auchBesetzungszahldarstellung.

• BesetzungszahloperatorDer BesetzungszahloperatorN~ki

hat die Eigenschaft

N~ki| . . . ,n~ki

, . . .〉 = n~ki| . . . ,n~ki

, . . .〉 .

Der Hamiltonian (5.20) separiert in Einzelbeitrage zu denverschiedenen Moden. Des-wegen kann der allgemeine Zustand (5.27) auch als direktes Produkt

|n~k1〉⊗ |n~k2

〉⊗ · · · = |n~k1〉|n~k2

〉 · · ·

geschrieben werden. Fur jeweils eine Mode~k bilden dann die{|n~k〉} ∀n ein VONS. Fallseinmal nur eine einzige Mode interessiert, schreibt man fur den betrachteten Zustand oftauch nur|n~k〉.

• Photonen sind BosonenDa die Besetzungszahlenn~k beliebige Zahlen ausN0 sein durfen, hat man es mitBo-

sonenzu tun: Ein Energieniveau (hier eine Mode) kann beliebig stark bevolkert sein.Daher gibt es koharente Zustande und Laserlicht, was wir im Abschnitt 5.2.1 bespre-chen werden.

Fock-RaumMan beachte, daß man hier mit der Besetzungszahldarstellung (5.27) auf einen Hilbertaum

5.2 Eigenschaften des Strahlungsfeldes 65

umgeschaltet hat, der zur Darstellungvariabler Teilchenzahlengeeignet ist. So ein Raum heißtFock-Raum, wie er auch bei der zweiten Quantisierung von Fermionen auftritt.

NullpunktsenergieBildet man den Erwartungswert des Hamiltonian (5.20) mit dem Vakuum-Zustand, so zeigtsich ein uberraschendes Ergebnis:

〈0|Hem|0〉 =12∑

~k

hω~k → ∞ . (5.28)

Die Energie des Vakuums ist offenbar divergent!

• I.A. betrachten wir lediglich Energie-Differenzen und eine unendlich grosse Energie desVakuums spielt daher keine Rolle.

• Die Vakuumsenergie hangt von den Randbedingungen ab und verandert sich in be-schrankten Geometerien, wie z.B. zwischen zwei Leiterplatten, was man experimentellmittels desKasimir-Effektesnachweisen kann.

5.2 Eigenschaften des Strahlungsfeldes

5.2.1 Koharente Zustande

Die Zustande|n~k1,n~k2

, . . .〉 mit festen Photonenzahlen entsprechen keinem klassischenelektro-magnetischem Feld. Die Fragestellungen welche in diesem Zusammenhang auftauchen wollenwir nun untersuchen.

Verschwindende FelderNach (5.23) hat der Operator des elektrischen Feldes die vollstandige Dartstellung

~Eop(~r, t) = −1c

∂~Aop

∂t= i ∑

~k

√

2π hω~k

V

(


)

~u~k . (5.29)

Im folgenden sind wir nur an einer bestimmte Mode~k des Feldes interessiert. Fur diese Modelautet (5.29) einfach

~Eop~k = i

√

2π hω~k

V

(


)

~u~k . (5.30)

Der Erwartungswert dieses Operators in einem Zustand|n~k〉mit fester Anzahln~k von Photonenist dann

〈n~k|~Eop~k|n~k〉 = 0 ,

da~Eop~k linear in Erzeugern und Vernichtern ist und die{|n~k〉} ∀n ein VONS bilden.

Nicht-klassische FelderDer Erwartungswert des elektromagnetischen Feldes inZustanden mit fester Photonenzahl verschwindet.


Zustande mit festen Photonenzahlen sind daher nicht klassich.

Endliche EnergiedichteAndererseits gilt fur die Energiedichte im selben Zustand

〈n~k|18π

(

~E2op+~B2

op

)

|n~k〉 = 〈n~k|14π

~E2op|n~k〉 =

1V

hω~k

(

n~k +12

)

,

wie wir es erwartet hatten. Das Ganze laßt vermuten, daß esmit der Photonenzahl etwasBesonderes auf sich hat.

Wir werden nun zeigen, daß der Besetzungszahloperator nicht mit demPhasen-Operatorkommutiert. In einem Eigenzustand vonN~k ist die Phase des Feldes vollkommen unbestimmtund damit verschwinden die klassischen Erwartungswerte. Um denUbergang zur klassischenFeldtheorie korrekt zu beschreiben muss man daher koharenteUberlagerungen von Zustandenmit unterschiedlichen Photonenzahlen betrachten.

Phasen-OperatorFur den Rest dieses Abschnittes behandeln wir eine einzigeMode des Strahlungsfeldes, alsowerden wir die~k-Abhangigkeit aller Operatoren weglassen.

Zunachst definieren den Phasen-Operatorenφ mittels

a =√

N+1eiφ, a† = e−iφ†√N+1, N = a†a , (5.31)

wir zerlegen also die Erzeuger und Vernichter formal in Amplitude und Phase. Diese Vorge-hensweise lasst sich allg. bei Bosonen durchfuhren. Wie wir sehen werden ist der Phasen-Operatoren “fast selbstadjungiert”,φ ≃ φ†, nur beim Vakuumzustand|0〉 wird man aufpassenmussen.

Wir mussen nun zunachst zeigen, dass die Darstellung (5.31) unitar ist. Die Aufgabe istalso die, diejenigen Vertauschungrelationen vonN = a†a undφ zu finden, so dass

[N,φ] = ? ⇐⇒ [a,a†] = 1 .

Eigenschaften des Phasen-OperatorsMan kann Gl. (5.31), unter Beachtung der Reihenfolge, invertieren:

(√N+1

)−1a = eiφ a†

(√N+1

)−1= e−iφ†

. (5.32)

Wir errinnern uns an die Matrixelmente (5.32) und (5.16),

a|n〉 =√

n|n−1〉 a†|n〉 =√

n+1|n+1〉 ,

und finden

eiφ|n〉 =(√

N+1)−1

a|n〉

= (1−δn,0)(√

N+1)−1√

n|n−1〉 =

{|n−1〉 ; n > 00 ; n = 0

(5.33)


sowie

e−iφ†|n〉 = a†(√

N+1)−1

|n〉 = (n+1)−1/2a†|n〉= |n+1〉 . (5.34)

Aus diesen beiden Beziehungen folgt die Matrixdarstellungder Phasen-Operatoren:

〈n|eiφ|m〉 = δn,m−1

〈n|e−iφ†|m〉 = δn−1,m

und somit

〈m|eiφe−iφ†|n〉 = δm,n, 〈m|e−iφ†eiφ|n〉 = (1−δn,0)δm,n . (5.35)

Wennφ selbstadjungiert ware, dann wurdene±iφ vertauschen. Gleichung (5.35) zeigt das die-ses fast der Fall ist, bis aufn = 0, also insbesondere fur grosse Teilchenzahlen.

Observable PhasenDie Operatoren sind daher nicht hermitesch, denn

(eiφ)† = e−iφ†

aufgrund der obrigen Be-ziehungen, und daher in dieser Form keine physikalischen Observablen. Man kann jedochhermitesche Operatoren aus den Phasen-Operatoren kombinieren:

sinφ ≡ eiφ −e−iφ†

2i, cosφ ≡ eiφ +e−iφ†

2. (5.36)

Falls φ selbstadjungiert ware, entsprache diese Definition jeweils dem Imaginar- sowie demRealteil. Fur einen allgemeinen Operatorφ definiert man durch (5.36) neue Operatoren sinφund cosφ.

KommutationsrelationenIm folgenden machen wir die Approximationφ ≃ φ†, welche bis auf das Vakuum exakt ist.Dann folgt aus

1 = aa† − a†a =√

N+1eiφ e−iφ√N+1 − e−iφ(N+1)eiφ

= N−e−iφ N eiφ = .N−e−iφ(

eiφN+[N,eiφ])

= N−(

[e−iφ,N]+N e−iφ)

eiφ

die Kommutationsrelationen[

N,eiφ]

= −eiφ ,[

N,e−iφ]

= e−iφ . (5.37)

Es gelten daher die Vertauschungsrelationen

[N,cosφ

]= i sinφ

[N,sinφ

]= i cosφ [

N,φ]

= i , (5.38)

die ausdrucken, daß es prinzipiell nicht moglich ist, Phase und Teilchenzahl gleichzeitig scharfzu bestimmen, die beiden Messungen sind also nicht vertraglich.


UnscharferelationDie Phaseφ und der TeilchenzahloperatorN = a†a sindfur Bosonen kanonische konjungierte Variabeln.

Man errinere sich dabei an die Heisenbergsche Unscharfrelation

(∆A)(∆B) ≥ 12| < [A,B] > | =

12,

[A,B

]= i ,

wobei letztere Beziehung fur kanonisch konjugierte OperatorenA undB gilt.

Exkurs: SupraleitungDieses Ergebnis ist fur die Supraleitung essentiell. Supraleitung kommt durch Singulett-Paarung von Elektronen zustande und in einer sehr groben Naherung kann man diese Singulett-Paare als Bosonen betrachten, denn nach dem Spin-Statistik-Theorem sind Teilchen mit gan-zahligen internem Spin Bosonen.

Das supraleitenden Kondensat ist durch eine feste Phase charakterisiert, man spricht auchvon einer spontanen Brechung der globalen Eichinvarianz.

Wenn die Phase fest ist, dann kann es nach (5.38) die Teilchenzahl nicht sein. Daher istdie BCS-Wellenfunktion

|ψBCS〉 = ∏~k

(u~k +v~k c†

~k,↑c†−~k,↓

︸︷︷︸

Elektronenpaar

)|0〉

eine koharenteUberlagerung von Zustanden mit verschiedenen Anzahl von Singulett-Paaren!

SchwankungsquadrateIn einem reinen Zustand|n〉 mit fester Photonenzahl verschwindet naturlich die Schwankungdes Besetzungszahloperators:

∆N =√

〈n|N2|n〉−〈n|N|n〉2 = 0

Dagegen hat cosφ eine endliche Schwankungsbreite. Es gilt〈cosφ〉 = 0 und

〈cos2φ〉 =14

⟨

eiφe−iφ†+e−iφ†

eiφ⟩

=2−δn,o

4

in einem reinen Zustand|n〉, und somit fur∆cosφ = ∆sinφ

∆cosφ =√

〈cos2φ〉−〈cosφ〉2 =

{1/

√2 ; n > 0

12 ; n = 0

.

Koharente ZustandeUm einenUbergang zur makroskopischen Elektrodynamik zu erreichen, kann man Zustande


mit verschiedenen Teilchenzahlen linear kombinieren. Mandefiniert einen koharenten Zu-stand|c〉 (auch Glauber-Zustande genannt, Nobelpreis 2005) via

|c〉 ≡ e−|c|2/2∞

∑n=0

cn√

n!|n〉 mit c ∈ C , c = |c|eiθ . (5.39)

Wenn man fur den Zustand|n〉 die Darstellung (5.26) benutzt, kann man das auch kompakterschreiben:

|c〉 = e−|c|2/2∞

∑n=0

cn√

n!

(a†)n√

n!|0〉 = exp

(

−|c|2/2+ca†)

|0〉

Ein Glauber-Zustand|c〉 enthalt nur die{|n〉} einer einzigen Mode, also ist~k immer nochscharf festgelegt.

Eigenschaften des GlauberzustandesEs gilt zunachst allgemein

a(

a†)n

|0〉 =(

aa†−a†a+a†a)(

a†)n−1

|0〉

=(

a†)n−1

|0〉 + a†a(

a†)n−1

|0〉 = . . .

= n(

a†)n−1

|0〉 ,

woraus ubrigens auchN(a†)n|0〉 = n(a†)n|0〉 folgt. Damit gilt

a|c〉 = ce−|c|2/2∞

∑n=1

cn−1√

(n−1)!

(a†)n−1√

(n−1)!|0〉 = c|c〉 .

Der Glauberzustand ist also ein Eigenzustand des Vernichters. Wir fassen die Beziehungen

a|c〉 = c|c〉〈c|a|c〉 = c, 〈c|a†|c〉 = c∗, 〈c|c〉 = 1 . (5.40)

zusammmen. Wir bemerken, dass die koharenten Zustande keine orthogonale Basis bilden,denn i.A.〈c|c′〉 6= 0.

Elektrisches Feld eines koharenten ZustandesDer Erwartungswert

〈c|~Eop|c〉 = i

√

2π hωV

(

cei(~k·~r−ωt)−c.c.)

~u = i

√

2π hωV

|c|(

ei(~k·~r−ωt+θ)−c.c.)

~u =

= −2

√

2π hωV

|c|sin(

~k ·~r −ω t +θ)

~u . (5.41)

des elektrischen Feldes in einem koharenten Zustand entspricht der klassischen Erwartung.


Es besteht also eine Eins-zu-Eins Beziehung zwischen den ebenen Wellen der klassischenElektrodynamik und koharenten Zustanden|c〉, da mittelsc= |c|eiθ sowohl die Amplitude wieauch die Phase der ebenen Welle mittels (5.41) bestimmt werden konnen.

Photonen-Anzahl-FluktuationenAs den Beziehungen (5.40) undN2 = a†aa†a = a†a+a†a†aa folgt

〈c|N|c〉 = |c|2 und 〈c|N2|c〉 = |c|4+ |c|2 ,

so daß

∆N =√

〈N2〉−〈N〉2 = |c| . (5.42)

Die relative Schwankung der Photonenzahl ist damit

∆N〈N〉 =

1|c| =

1√

〈N〉. (5.43)

Je großer also die Teilchenzahl, desto geringer ist ihre relative Schwankung. Die Wahrschein-lichkeit, bei einer Messung genaum Photonen zu finden, ist

|〈m|c〉|2 =

∣∣∣∣

cm√

m!e−|c|2/2

∣∣∣∣

2

= e−|c|2 |c|2m

m!,

sie gehorcht also einer Poisson-Verteilung.

Schwankungen der PhaseWir gehen von der Unscharferelation

∆A∆B ≥ 12

∣∣∣〈 [A,B]〉

∣∣∣

fur zwei allgemeine hermitesche OperatorenA undB aus. Mit (5.38) fur die Vertauschungsre-lation

[N,sinφ

]= i cosφ erhalten wir fur die Schwankungen∆sinφ von sinφ

∆N∆sinφ ≥ 12

∣∣∣〈cosφ〉

∣∣∣

und mit (5.42) fur∆N = |c| und∆sinφ = ∆cosφ finden wir

∆cosφ| 〈cosφ〉 | ≥ 1

2|c| . (5.44)

Die Abschatzung ergibt streng genommen nur eine untere Schranke fur die relative Schankun-gen der Phase, erspart uns aber eine aufwendige Rechnung. ImAllgemeinen werden sind diewirklichen Schwankungen von zwei Operatoren von der gleichen Grossenordnung wie durchdie jeweiligen Unscharferelation angegeben.

Die relative Phasenschwanken verschwinden also im Grenzfall grosser Photonenzahlen〈N〉 = |c|2, genau wie die relativen Schwankungen der Photonenzahlen selber, Gleichung(5.43).


Klassischer GrenzfallDas Lichtfeld ist in Phase und Teilchenzahl um so bes-ser definiert ist, je mehr Photonen es enthalt. Im Grenz-fall großer Photonenzahlen entspricht der klassichenBeschreibung.

Das ist auch intuitiv klar. Bei wenigen Photonen treten deren quantenmechanischen Eigen-schaften deutlich zu Tage, und mitteln sich im Grenzfall hoher Phononenzahlen weg.

5.2.2 Wechselwirkung von Strahlung mit Materie

In diesem Abschnitt soll nur die Emission und Absorption vonPhotonen durch Materie (hiergebundene Elektronen) untersucht werden.

MinimalsubstitutionDer gesamte Hamiltonian fur Materie und Strahlung lautet

H = Hem+ Hmat + HI , (5.45)

wobei Hem das Lichtfeld alleine,Hmat die Materie alleine undHI die Wechselwirkung zwi-schen beiden beschreibt,

Hem = ∑~k

hω~k

(

N~k +12

)

, Hmat = ∑i

~p2i

2mi+V(~r1,~r2, . . .) .

Wir vernachlassigen hier Spin-Effekte. Der Indexi zahlt die beteiligten Teilchen durch. DieWechselwirkungHI ergibt sich mit der Einfuhrung elektromagnetischer Felder durch Mini-malsubstitution in Coulomb-Eichung:

~pi → ~pi −ec~Aop(~r i, t) ,

wobeiedie Elementarladung inst. Dabei ist zu beachten, daß fur das Vektorpotential der Ope-rator (5.21) einzusetzen ist, er beschreibt das Vektorpotential an der Stelle~r i desi-ten Teil-chens.

Licht-Materie-WechselwirkungFur die WechselwirkungHI von Licht und Materie kommt dann mit~Ai

op = ~Aop(~r i, t)

HI = ∑i

(

− e2mic

(

~pi ·~Aiop+~Ai

op ·~pi

)

+e2

2mic2

(

~Aiop

)2)

= −∑i

emic

~Aiop ·~pi

︸︷︷︸

paramagnetisch

+ ∑i

e2

2mic2

(

~Aiop

)2

︸︷︷︸

diamagnetisch

≡ H ′I + HI (5.46)


heraus, wobei wegen der Coulomb-Eichung,~∇ ·~A = 0,

~p ·~A =hi~∇ ·~A + ~A·~p = ~A·~p

gesetzt wurde. Die beiden Terme in (5.46) bezeichnet man alsparamagnetische und diamagne-tische Anteile. Der diamagnetische Term∼ (~A)2 koppelt an die Materie auschliesslich durchden Ortsoperator~r i im Argument des Vektorpotentials~Ai

op = ~Aiop(~r i , t).

ZustandsraumDer gesamte Hamiltonian (5.45) wirkt auf einen Zustand, dersowohl das Lichtfeld als auchdie Materie enthalt:

|Materiezustand〉⊗ |Lichtfeldzustand〉

Storoperator fur ein einzelnes ElektronIm folgenden betrachten wir einen Spezialfall: Wir fragen nach denUbergangsraten, die eineinzelnes gebundenes Elektron in einem Atom (z. B. dem Wasserstoff-Atom) durch die An-wesenheit eines Strahlungsfeldes erfahrt. Der Hamiltonian der Wechselwirkung lautet jetzt

H ′I = − e

mc∑~k

√

2π hc2

Vω~k

(

a~kei~k·~r +h.c.

)

~u~k ·~p . (5.47)

Zwei Vereinfachungen wurden hier gemacht. Erstens wurde der ~A2-Term vernachlassigt undzweitens istH ′

I zeitunabhangig, da jedereiωt-Faktor in der folgenden Rechnung sowieso weg-fallen wurde.2

Fermi’s goldene RegelWir betrachten nunH ′

I als Storung. Die Goldene Regel fur dieUbergangsrate von einem An-fangszustand|i〉 in einen Endzustand| f 〉 lautet dann

Γi→ f =2πh

δ(Ei −Ef )∣∣〈 f |H ′

I |i〉∣∣2 . (5.48)

GesamtenergienDie EnergienEi undEf sind die Gesamtenergien von Strahlungsfeld und Materie vorund nachdemUbergang, genau wie|i〉 und | f 〉 die Zustande inbeidenHilbert-Raumen angeben. Wirnehmen an, der Anfangs- und Endzustand sei jeweils ein Eigenzustand vonH0 = Hem+Hmat:

Hmat|εi〉 = εi|εi〉Hmat|ε f 〉 = ε f |ε f 〉

2Man kann auch den zeitabhangigen Operator~Aop(~r,t) ins Schrodinger-Bild transformieren und wurde dasgleiche Ergebnis erhalten. Die Zustande, die in der folgenden Rechnung auftreten, waren dann zeitabhangig, wasallerdings nicht ins Gewicht fiele.


Hem|{ni~k}〉 = ∑

~k

hω~k

(

ni~k+

12

)

|{ni~k}〉

Hem|{nf~k}〉 = ∑

~k

hω~k

(

nf~k

+12

)

|{nf~k}〉

Die Zustande lauten dann

|i〉 = |εi〉⊗ |{ni~k}〉, | f 〉 = |ε f 〉⊗ |{nf

~k}〉 .

Wir betrachten nun nacheinander die Emission und die Absorbtion eines Photons.

Emission eines Photonsh~kDie Energien von Anfangs- und Endzustand sind

Ei = εi +∑~k′

hω~k′

(

n~k′ +12

)

Ef = ε f +∑~k′

hω~k′

(

n~k′ +12

)

+ hω~k ,

denn es soll genau ein Photon der Energie ¯hω~k emittiert werden. Die Zustandsvektoren sind

|i〉 = |εi〉⊗ | . . . ,n~k, . . .〉| f 〉 = |ε f 〉⊗ | . . . ,n~k +1, . . .〉 .

Die Goldene Regel sagt nun aus, daß bei einem entsprechendenUbergang

Ei −Ef = εi − (ε f + hω~k) = 0

gelten muß. Das ist die Energie-Erhaltung. Es gilt weiter

〈 f |H ′I |i〉 = − e

mc∑~k′

√

2π hc2

Vω~k′〈ε f |~u~k′e

−i~k′·~r~pεi〉〈. . . ,n~k +1, . . .|a†~k′|. . . ,n~k, . . .〉 .

Die Vernichter kommen nicht mehr vor, da die zugehorigen Matrixelemente sowieso ver-schwinden (links stehen mehr Photonen als rechts). Von der Summe bleibt nur ein Summandubrig, namlich der fur~k =~k′. Nur in diesem Fall wird durch den Erzeuger in der richtigenMode ein Photon erzeugt, und das Skalarprodukt verschwindet nicht. Der zweite Faktor in derKlammer ergibt also

〈. . . ,n~k +1, . . .|a†~k′|. . . ,n~k, . . .〉 =

√

n~k +1δ~k,~k′ ,

und dieUbergangsrate fur die Emission ist somit

Γei→ f =

4π2e2

m2Vω~k

δ(εi − (ε f + hω~k))(n~k +1

)∣∣∣〈ε f |~u~ke

−i~k·~r~p|εi〉∣∣∣

2. (5.49)


Eine Diskussion dieser Formel folgt spater.

Absorption eines Photonsh~kDie Energien von Anfangs- und Endzustand sind

Ei = εi +∑~k′

hω~k′

(

n~k′ +12

)

Ef = ε f +∑~k′

hω~k′

(

n~k′ +12

)

− hω~k ,

denn nun wird das Photon dem Lichtfeld “entzogen”. Die Zustandsvektoren sind

|i〉 = |εi〉⊗ | . . . ,n~k, . . .〉| f 〉 = |ε f 〉⊗ | . . . ,n~k−1, . . .〉 .

Bei der Berechnung des Matrixelementes〈 f |H ′I |i〉 tragen in diesem Fall die Erzeuger nichts

bei, und es bleibt nur der Vernichter mit~k =~k′ ubrig. Auf analoge Weise wie bei der Emissionergibt sich

Γai→ f =

4π2e2

m2Vω~k

δ(εi − (ε f − hω~k))n~k

∣∣∣〈ε f |~u~ke

i~k·~r~p|εi〉∣∣∣

2. (5.50)

Diskussion: Absobtion vs. EmissionDie beiden Ausdrucke (5.49) und (5.50) fur Emissions- undAbsorbtionsprozesse sind iden-tisch, bis auf die Besetzungszahlfaktoren

• Spontanen EmissionVon spontaner Emission spricht man wenn ein Photon in Abwesenheit andere Photo-

nen emittiert wird. Sponate Emission ist moglich da der Faktor (n~k + 1) in (5.49) inAbwesenheit eines ausseren Photonenfelds (n~k = 0) nicht verschwindet.

• Stimulierte EmissionDer Faktor(n~k + 1) in (5.49) besagt, dass in Anwesenheit eines ausseren Feldes mit

der gleichen Quantenzahl die Emissionswahrscheinlichkeit erhoht ist, proportional zurIntensitat des ausseren Lichtfeldes.

Man spricht von stimulierter Emission, essentiell fur denLaser, da eine Mode ¯h~k nurPhotonen mit exakt der gleichen Wellenlangeλ = 2π/|~k| zur Emission bringt. Manerhalt also koharente Strahlung.

• AbsorbtionDie Interpretation des Besetzungszahlfaktorsn~k in (5.50) fur Absorbtionsprozesse istvergleichsweise trivial. Es konnen nur Photonen absorbiert werden welche vorhandensind.


Elektrische Dipol-Ubergang

Wir betrachten denelektrische Dipol-Ubergang, welcher dann stattfindent, wenn man dieExponentialfunktionei~k·~r im Matrixelement als konstant gleich 1 annehmen kann. Dieses istmoglich, wenn

~k ·~r ≈ 2πa0

λ≪ 1 , (5.51)

also wenn die Wellenlangeλ der beteiligten Strahlung groß gegen typische AbmessungendesSystems ist (hier der Bohrsche Radius). Warum (5.51)elektrische Dipol-Naherungheißt, wirdklar, wenn man das Matrixelement weiter umformt. Wir verwenden

h2

2m

[∂2

∂x2 ,x

]

=h2

2m

(∂2

∂x2x−x∂2

∂x2

)

=h2

m∂∂x

=ihm

px

und erhalten

〈ε f |~p|εi〉 = 〈ε f |imh

[Hmat,~r

]|εi〉 =

imh〈ε f |Hmat~r −~rHmat|εi〉

=imh〈ε f |~r|εi〉

(ε f − εi

). (5.52)

Das ist aber genau das Dipol-Matrixelement, das sich auch ergibt, wenn man als Wechselwir-kung gleich die elektrische Dipol-Energie im Feld

Edip = −e~r ·~Eop

einsetzt.

AuswahlregelnDie Matrixelemente in (5.49) und (5.50) legen fest, mit welcher Wahrscheinlichkeit oder obuberhaupt der betrachteteUbergang stattfindet. Sie sind fur dieAuswahlregelnzustandig.

Fur den elektrischen Dipol-Ubergang besagt das Matrixelement (5.52) daß Anfangs- undEndzustand auf jeden Fall unterschiedliche Paritat habenmussen, wenn derUbergang erlaubtsein soll, denn~r ist ungerade unter Raumspiegelung.

Im Atom sind daher elektrischen Dipol-Ubergange vom s-Niveau in die p- oder die f-Schale erlaubt, nicht aber in die d-Schale.

Ubergange hoherer OrdnungUbergange, die in nullter Ordnung verboten sind, konnen dennoch stattfinden, wenn hohereOrdnungen zuschlagen, also die Exponentialfunktion weiter entwickelt wird:

e±i~k·~r ≈ 1± i~k ·~r + · · ·

Die nachste Ordnung (linear in~k ·~r) beschreibt dabei magnetische Dipol- und elektrischeQuadrupolubergange.

5.2.3 Lebensdauer eines angeregten Zustandes

Es erscheint seltsam, das in (5.49) und (5.50) noch das PeriodisierungsvolumenV steht.Eigentlich solltenUbergangsraten von dieser Hilfsgroße unabhangig sein. In der folgenden


Rechnung wird schließlichV → ∞ gehen, um aber sinnvolle Ergebnisse zu bekommen, mußman nochUbergange in eine Gruppe von Endzustanden betrachten unduber diese und zusatz-lich alle moglichen~k-Vektoren des Photons summieren. Dieδ-Funktionen sorgen dann furdie Energie-Erhaltung. Als erstes Beispiel betrachten wirdie spontane Emission aus einembeliebigen Zustand in eine Menge von Endzustanden.

Lebensdauer eines angregten ZustandesWir definieren die Lebensdauerτ eines angeregten Zustandes uber dieUbergangsrate durch

spontane Emission in Zielniveaus|ε f 〉:

1τ

≡ ∑f ,~k

Γi→ f

= ∑f

∑~k

∑λ

4π2e2

h2Vω~k

∣∣∣〈ε f |~uλ(~k) ·~r|εi〉

∣∣∣

2δ(ε f − εi + hω~k

)(εi − ε f

)2, (5.53)

wobei wir den Ausdruck (5.52) fur das Dipol-Matrixelment verwendet haben.

• Der Ausdruck (5.2.3) besteht aus dem Anteil der spontanen Emission in (5.49), sum-miert uber alle Zielniveausf des Atoms und alle Wellenvektoren~k des Photons.

• Die δ-Funktion sorgt dafur, das von den Summen nur die Glieder ¨ubrig bleiben, beidenen die freigewordene Energie auch ins Strahlungsfeld geht.

• Der Polarisationsindexλ ist in (5.2.3) wieder explizit, mit dem Einheits-Polarizationsvektor~uλ(~k) des Lichtfeldes.

Thermodynamischer LimesNun sollV gegen unendlich gehen. Durch die Ersetzung

1V ∑

~k

→ 1(2π)3

Z

d3k

wird das bewerkstelligt, denn das Volumen einer Mode im~k-Raum ist bei periodischen Rand-bedingungen gleich(2π)3/V, bei kontinuierlichem~k aber gleichd3k.

Summation uber PolarisationszustandeZuerst kummern wir uns um dieλ-Summation. Es ist

2

∑λ=1

∣∣∣∣~uλ(~k) · 〈ε f |~r|εi〉

︸︷︷︸

≡ ~d

∣∣∣∣

2

(5.54)

zu berechnen.Da die~uλ mit ~k ein orthogonales Dreibein bilden mussen (siehe Abb. 5.1),sonst aber freiwahlbar sind, kann man z. B.~u2 so wahlen, daß es auf das Dipol-Matrixelement~d senkrechtsteht, so daß die Summe nur noch das Glied mit~u1 enthalt. Bezeichnetξ den Winkel zwischen~d und~u1, so ist der Winkel zwischen~d und~k gleich ϑ = (π/2− ξ). Damit wird die obigeSumme einfach zu

∣∣〈ε f |~r|εi〉

∣∣2sin2 ϑ .


-

6

?

HHHHHHHHHj

~u2

~u1 ~d

~k

ξϑ

Abbildung 5.1:Das orthogonale Dreibein aus den beiden Polarisationsvektoren~u1, ~u2 unddem Wellenvektor des Photons~k kann so gelegt werden, dass das Dipol-Matrixelemnt~d in der~u1-~k Ebene zu liegen kommt.

Integration uber Photonen-Impulse

Gunstigerweise legt man das Koordinatensystem fur die~k-Integration so, daß~d in kz-Richtungzeigt, dann kommt der sin2ϑ fur eine Integration in Kugelkoordinaten recht gelegen:

1τ

= ∑f

4π2e2

h2

∣∣〈ε f |~r|εi〉

∣∣2(ε f − εi

)2 1(2π)3

Z

k2sinϑsin2ϑδ(ε f − εi + hω~k

)

ω~k

dkdϑdφ

= ∑f

e2

2π h4c3

∣∣〈ε f |~r|εi〉

∣∣2(ε f − εi

)2(

Z

sin3 ϑdϑdφ)

︸︷︷︸

8π/3

Z

εδ(ε f − εi + ε

)dε

︸︷︷︸

εi−ε f

Im letzten Schritt wurde diek-Integration auf die Variableε = hω~k umgeschrieben. Das Win-kelintegral ergibt 8π/3, und damit lautet das endgultige Ergebnis

1τ

=4e2

3hc3 ∑f

(εi − ε f

h

)3 ∣∣〈ε f |~r|εi〉

∣∣2 . (5.55)

Wie man sieht, sind spontane Emission und Auswahlregeln “Gegenspieler”:

• Wenn ein System sich in einem Zustand befindet, von dem aus nurverboteneUbergangenach unten fuhren, so ist dieser angeregte Zustand sehr langlebig.

• Wenn man es fertigbringt, “von oben herab” ein solches Niveau zu bevolkern, dann kannman eine Besetzungsinversion erreichen.

Anwendung findet dieses Prinzip in jedem Laser.


Kapitel 5 Quantisierung des elektromagnetischen Feldesgros/Vorlesungen/QM_2/elMag.pdf · Kapitel 5 Quantisierung des elektromagnetischen Feldes 5.1 Quantisierung des freien elektromagnetischen

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