Kapitel 4: Gemischte Strategien Literatur: Tadelis Chapter 6
Idee
In vielen Spielen gibt es kein Nash Gleichgewicht in reinenStrategien (und auch kein Gleichgewicht in dominanten Strategien)
Daruber hinaus sind bei vielen Spielen alle Strategieprofilerationalisierbare Gleichgewichte und iterative-EliminierungsGleichgewichte
Unsere bisherigen Gleichgewichtskonzepte sind dann wenig hilfreich
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Beispiel: “Matching Pennies”
Die Spieler legen ihre Munze verdeckt auf den Tisch
Jeder Spieler entscheidet, ob Kopf (K) oder Zahl (Z) bei seinerMunze oben liegt
Bei gleichen Aktionen gewinnt Spieler 1, sonst Spieler 2
Anmerkung: Das Spiel kann auch als Elfmeterschießen zwischeneinem Torwart und einem Schutzen interpretiert werden (gleichesEck=Torwart gewinnt, unterschiedliche Ecken=Schutze gewinnt)
Spieler 1
Spieler 2K Z
K 1,−1 −1, 1Z −1, 1 1,−1
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Gemischte Strategien
Wenn man gemischte Strategien zulasst gibt es in den meistenSpielen ein Nash Gleichgewicht
Bei gemischten Strategien randomisiert ein Spieler zwischen reinenStrategien
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Weiteres Beispiel
Betrachten Sie das Spiel “Schere-Stein-Papier”
Spieler 1
Spieler 2Schere Stein Papier
Schere 0, 0 −1, 1 1,−1Stein 1,−1 0, 0 −1, 1Papier −1, 1 1,−1 0, 0
Gibt es hier ein Nash Gleichgewicht in reinen Strategien?
Ein Gleichgewicht in dominanten Strategien?
Sind alle Strategieprofile rationalisierbare Gleichgewichte unditerative-Eliminierungs Gleichgewichte?
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Definition Gemischte Strategie
D e f i n i t i o n 1
Die endliche Menge reiner Strategien von Spieler i wird mit
Si = {si1, si2, ..., sim} bezeichnet. Wir definieren ∆Si als den Simplex
von Si , welcher der Menge aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen uber Si
entspricht. Eine gemischte Strategie fur Spieler i ist ein Element
σi ∈ ∆Si , so dass σi = {σi(si1), σi(si2), ..., σi(sim)} eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung uber Si ist, wobei σi(si) dieWahrscheinlichkeit ist, dass Spieler i die Strategie si spielt.
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Anmerkungen
Eine gemischte Strategie ist also einfach eineWahrscheinlichkeitsverteilung uber die Menge reiner Strategien
Da σi(·) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist,
◮ sind die Wahrscheinlichkeiten σi (si ) fur alle Strategien si ∈ Sinicht negativ, σi (si ) ≥ 0, und
◮ die Wahrscheinlichkeiten summieren sich auf eins,∑
si∈Siσi (si ) = 1
Eine reine Strategie kann als gemischte Strategie mit degenerierterWahrscheinlichkeitsverteilung (die gesamte Wahrscheinlichkeits-masse liegt nur auf einer Strategie) interpretiert werden
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Simplex “Matching Pennies”
Beim Spiel “Matching Pennies” ist die Menge reiner StrategienSi = {K ,Z}
Der Simplex ist dann
∆Si = {σi(K ), σi(Z ) : σi(K ), σi(Z ) ≥ 0, σi(K ) + σi(Z ) = 1}
Grafisch sieht der Simplex wie folgt aus:
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Simplex “Schere-Stein-Papier”
Beim Spiel “Schere-Stein-Papier” ist die Menge reiner StrategienSi = {Schere, Stein,Papier}
Der Simplex ist dann
∆Si = {σi(Schere), σi(Stein), σi(Papier) :
σi(Schere), σi(Stein), σi(Papier) ≥ 0,
σi(Schere) + σi(Stein) + σi(Papier) = 1}
Grafisch sieht der Simplex wie folgt aus:
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Definition Support
Bei einer gemischten Strategie muss der Spieler nicht zwangslaufigalle reinen Strategien mit positiven Wahrscheinlichkeit wahlen
Extremfall reine Strategie: nur eine reine Strategie wird mitpositiver Wahrscheinlichkeit gewahlt
D e f i n i t i o n 2
Gegeben eine gemischte Strategie σi(·) von Spieler i , eine reine
Strategie si ∈ Si ist im Support von σi(·) wenn diese mit positiver
Wahrscheinlichkeit von Spieler i gespielt wird, d.h. σi(si) > 0 ist.
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Beispiel
Im Spiel “Schere-Stein-Papier” verfolgt Spieler 2 folgendeStrategie: Stein und Papier mit gleicher Wahrscheinlichkeit, aberniemals Schere
Dann ist σ2(Schere) = 0, σ2(Stein) = σ2(Papier) = 0, 5
Im Support von σ2(·) ist daher Stein und Papier, aber nicht Schere
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Kontinuierliche Strategien
Bei einigen interessanten Spielen ist die Menge der reinenStrategien nicht endlich
Wir wollen auch fur solche Spiele definieren, was eine gemischteStrategie ist
D e f i n i t i o n 3
Gegeben die Menge der reinen Strategien Si ist ein Intervall. Eine
gemischte Strategie fur Spieler i ist eine kumulierte Wahrscheinlich-
keitsverteilung Fi : Si → [0, 1], wobei Fi(x) = Prob(si ≤ x) ist. FallsFi(·) differenzierbar mit Dichte fi(·) ist, dann ist die Strategie si ∈ Si im
Support von Fi(·) falls fi(si) > 0 ist.
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Beispiel Mengenwettbewerb
Spieler 1 kann eine Produktionsmenge zwischen 0 und 100 wahlen,S1 = [0, 100]
Er hat folgende Strategie: niemals weniger als 30 oder mehr als 50produzieren; die Produktionsmenge zwischen 30 und 50 wird durcheine Gleichverteilung ausgewahlt
Dann ist die Verteilungsfunktion
F1(s1) =
0 fur s1 < 30,s1−3020
fur s1 ∈ [30, 50],1 fur s1 > 50
Und die Dichte
f1(s1) =
0 fur s1 < 30,120
fur s1 ∈ [30, 50],0 fur s1 > 50
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Erwartete Auszahlung
Die erwartete Auszahlung von Spieler i wenn er die reineStrategie si ∈ Si wahlt und die anderen Spieler die gemischteStrategie σ−i ∈ ∆S−i ist
vi(si , σ−i) =∑
s−i∈S−i
σ−i(s−i)vi(si , s−i)
Wenn Spieler i die gemischte Strategie σi ∈ ∆Si wahlt ist seineerwartete Auszahlung
vi(σi , σ−i) =∑
si∈Si
σi(si)vi(si , σ−i)
=∑
si∈Si
∑
s−i∈S−i
σi(si)σ−i(s−i)vi(si , s−i)
Anmerkung: bei kontinuierlichen Strategien konnen mit Hilfe vonIntegralen erwartete Auszahlungen berechnet werden
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Beispiel
Im Spiel “Schere-Stein-Papier” spielt Spieler 2 die gemischteStrategie σ2(Schere) = 0, σ2(Stein) = σ2(Papier) = 0, 5
Wir konnen dann die erwarteten Auszahlungen von Spieler 1 beiseinen reinen Strategien ausrechnen:
v1(Schere, σ2) = 0 · 0 + 0, 5 · (−1) + 0, 5 · 1 = 0
v1(Stein, σ2) = 0 · 1 + 0, 5 · 0 + 0, 5 · (−1) = −0, 5
v1(Papier , σ2) = 0 · (−1) + 0, 5 · 1 + 0, 5 · 0 = 0, 5
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Allgemeine Definition Nash Gleichgewicht
Wir konnen nun das Konzept des Nash Gleichgewichtsverallgemeinern
D e f i n i t i o n 4
Das gemischte Strategienprofil σ∗ = (σ∗
1, σ∗
2, ..., σ∗
n) ist ein Nash
Gleichgewicht, falls fur jeden Spieler i ∈ N die Strategie σ∗
i eine beste
Antwort auf σ∗
−i ist:
vi(σ∗
i , σ∗
−i) ≥ vi(σi , σ∗
−i) fur alle σi ∈ ∆Si .
Es wird also wieder verlangt, dass in einem Nash Gleichgewicht dieStrategien der Spieler gegenseitig beste Antworten sind
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Interpretation
Wie auch im Falle reiner Strategien konnen wir das Konzept des NashGleichgewichts auch mit Hilfe von beliefs interpretieren:
Rationalitat verlangt, dass jeder Spieler eine beste Antwort wahlt,gegeben seine beliefs
Im Nash Gleichgewicht mussen die beliefs korrekt sein
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Definition Beliefs bei Gemischten Strategien
D e f i n i t i o n 5
Ein belief von Spieler i ist gegeben durch eine Wahrscheinlichkeits-
verteilung πi ∈ ∆S−i uber die Strategien der anderen Spieler. Wir
bezeichnen mit πi(s−i) die Wahrscheinlichkeit welche Spieler i dem
Strategieprofil der anderen Spieler s−i ∈ S−i zuweist.
Beispiel: Wenn Spieler 1 glaubt, dass Spieler 2 mit Wahrscheinlich-keit 0, 5 Schere spielen wird, dann ist π1(s2 = Schere) = 0, 5
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Ergebnis
Wir betrachten einen Spieler i , welcher eine echt gemischteStrategie σ∗
i im Nash Gleichgewicht wahlt
Alle reinen Strategien, welche er mit positiven Wahrscheinlichkeitwahlt, mussen die gleiche erwartete Auszahlung liefern
Grund:
◮ Falls das nicht der Fall ist, kann Spieler i seine erwarteteAuszahlung steigern, indem er reine Strategien mit hohenAuszahlungen haufiger spielt und reine Strategien mit niedrigenAuszahlungen seltener
◮ Dies widerspricht aber der Voraussetzung, dass im NashGleichgewicht vi (σ
∗
i , σ∗
−i ) ≥ vi (σi , σ∗
−i ) fur alle σi ∈ ∆Si gilt
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Ergebnis Formal
P r o p o s i t i o n 1
σ∗ sei ein Nash Gleichgewicht. Dann gilt fur jeden Spieler i ∈ N, dass
alle seine reinen Strategien im Support von σ∗
i die gleiche erwartete
Auszahlung liefern:
vi(si , σ∗
−i) = vi(σ∗
i , σ∗
−i) fur alle si ∈ Support(σ∗
i ).
Ein Spieler, welcher eine gemischte Strategie spielt, muss im NashGleichgewicht also indifferent zwischen allen reinen Strategien sein,welche er mit positiver Wahrscheinlichkeit auswahlt
Dieses Ergebnis ist sehr nutzlich, um gemischte Gleichgewichte zubestimmen
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Matching Pennies
Wir betrachten das Spiel “Matching Pennies”
Spieler 1
Spieler 2K Z
K 1,−1 −1, 1Z −1, 1 1,−1
Wir wissen bereits, dass es kein Nash Gleichgewicht in reinenStrategien gibt
Gibt es ein Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien?
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Analyse
Wir bezeichnen die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 Kopf spielt,mit p
Dann spielt Spieler 1 mit Wahrscheinlichkeit 1− p Zahl
Wir bezeichnen die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 2 Kopf spielt,mit q
Dann spielt Spieler 2 mit Wahrscheinlichkeit 1− q Zahl
Man kann das auch formaler ausdrucken: p := σ1(K ), q := σ2(K ),weshalb σ1(Z ) = 1− p, σ2(Z ) = 1− q ist
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Die erwarteten Auszahlungen fur Spieler 1 sind:
v1(K , σ2) = q · 1 + (1− q) · (−1) = 2q − 1
v1(Z , σ2) = q · (−1) + (1− q) · 1 = 1− 2q
Fur q > 1/2 ist v1(K , σ2) > v1(Z , σ2)
Dann ist die beste Antwort von Spieler 1 die reine Strategie K
Fur q < 1/2 ist v1(K , σ2) < v1(Z , σ2)
Dann ist die beste Antwort von Spieler 1 die reine Strategie Z
Nur fur q = 1/2 ist v1(K , σ2) = v1(Z , σ2)
Nur dann ist Spieler 1 indifferent zwischen seinen beiden reinenStrategien
Und damit bereit eine gemischte Strategie zu spielen (vgl.Proposition 1)
Analog erhalten wir die erwarteten Auszahlungen fur Spieler 2:
v2(K , σ1) = p · (−1) + (1− p) · 1) = 1− 2p
v2(Z , σ1) = p · 1 + (1− p) · (−1) = 2p − 1
Fur p > 1/2 ist v2(K , σ2) < v2(Z , σ2)
Dann ist die beste Antwort von Spieler 1 die reine Strategie Z
Fur p < 1/2 ist v2(K , σ2) > v2(Z , σ2)
Dann ist die beste Antwort von Spieler 1 die reine Strategie K
Nur fur p = 1/2 ist v2(K , σ2) = v2(Z , σ2)
Nur dann ist Spieler 2 indifferent zwischen seinen beiden reinenStrategien
Und damit bereit eine gemischte Strategie zu spielen (vgl.Proposition 1)
Nash Gleichgewicht
Das Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien ist alsop = q = 1/2
Oder etwas formaler ausgedruckt σ∗
1(K ) = σ∗
1(Z ) = σ∗
2(K )= σ∗
2(Z ) = 1/2
Dann kann keiner der Spieler seine erwartete Auszahlung steigern,indem er eine andere Strategie wahlt, gegeben das der andereSpieler die Gleichgewichtsstrategie spielt
Die Strategien der Spieler sind gegenseitig beste Antworten
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Interpretation
Damit Spieler 1 indifferent ist zwischen seinen reinen Strategien(und damit bereit zu mischen), muss Spieler 2 eine bestimmteStrategie verfolgen
Die Indifferenzbedingung von Spieler 1 legt also dieGleichgewichtsstrategie von Spieler 2 fest!
Gleiches gilt fur die Indifferenz von Spieler 2 und dieGleichgewichtsstrategie von Spieler 1
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Frage 4.1
Bestimmen Sie das Nash Gleichgewicht im Spiel “Kampf derGeschlechter”
Alex
ChrisO F
O 2, 1 0, 0F 0, 0 1, 2
Antwort:
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Erweitertes Elfmeterspiel
Der Schutze kann links oder rechts auf das Tor zielen
Wenn der Schutze links zielt schießt er mit einer Wahrscheinlichkeitvon 0,2 daneben, wenn er rechts zielt mit Wahrscheinlichkeit 0
Wenn der Schutze nicht daneben zielt macht er
◮ mit Sicherheit ein Tor wenn der Torhuter die andere Richtungwahlt
◮ mit Wahrscheinlichkeit 0,5 ein Tor wenn der Torhuter die gleicheRichtung wahlt
Die Auszahlung des Schutzen ist 1 wenn er ein Tor erzielt und -1wenn er keines erzielt
Fur den Torhuter sind die Auszahlungen umgekehrt
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Fragen 4.2
Stellen Sie das Spiel in Matrixform dar
Hinweis: In den Zellen der Matrix sollten die erwartetenAuszahlungen der Spieler stehen
In welche Richtung sollte der Schutze zielen, wenn der Torhuterjede Richtung mit Wahrscheinlichkeit 0,5 wahlt?
Bestimmen Sie außerdem das Nash Gleichgewicht
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Losung
Wenn der Schutze nach links zielt und der Torhuter auch linkswahlt, dann gibt es ein Tor mit Wahrscheinlichkeit 0, 8 · 0, 5 = 0, 4
◮ Die erwartete Auszahlung des Schutzen ist dann0, 4 · 1 + 0, 6 · (−1) = −0, 2
◮ Die erwartete Auszahlung des Torhuters ist dann0, 6 · 1 + 0, 4 · (−1) = 0, 2
Wenn der Schutze nach links zielt und der Torhuter rechts wahlt,dann gibt es ein Tor mit Wahrscheinlichkeit 0, 8 · 1 = 0, 8
◮ Die erwartete Auszahlung des Schutzen ist dann0, 8 · 1 + 0, 2 · (−1) = 0, 6
◮ Die erwartete Auszahlung des Torhuters ist dann0, 2 · 1 + 0, 8 · (−1) = −0, 6
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Wenn der Schutze nach rechts zielt und der Torhuter links wahlt,dann gibt es ein Tor mit Wahrscheinlichkeit 1
◮ Die erwartete Auszahlung des Schutzen ist dann1 · 1 + 0 · (−1) = 1
◮ Die erwartete Auszahlung des Torhuters ist dann0 · 1 + 1 · (−1) = −1
Wenn der Schutze nach rechts zielt und der Torhuter auch rechtswahlt, dann gibt es ein Tor mit Wahrscheinlichkeit 1 · 0, 5 = 0, 5
◮ Die erwartete Auszahlung des Schutzen ist dann0, 5 · 1 + 0, 5 · (−1) = 0
◮ Die erwartete Auszahlung des Torhuters ist dann0, 5 · 1 + 0, 5 · (−1) = 0
Erwartete Auszahlungen
Wir bezeichnen die Wahrscheinlichkeit, mit welcher der Schutzelinks wahlt, mit p
Wir bezeichnen die Wahrscheinlichkeit, mit welcher der Torhuterlinks wahlt, mit q
Formal: p := σS(L), q := σT (L), weshalb σS(R) = 1− p,σT (R) = 1− q ist
Die erwartete Auszahlungen sind dann
vS(L, σT ) = q · (−0, 2) + (1− q) · 0, 6 = 0, 6− 0, 8q
vS(R , σT ) = q · 1 + (1− q) · 0 = q
vT (L, σS) = p · 0, 2 + (1− p) · (−1) = −1 + 1, 2p
vT (R , σS) = p · (−0, 6) + (1− p) · 0 = −0, 6p
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Beste Antwort
Wenn der Torhuter die Strategie σT (L) = σT (R) = 0, 5 wahlt, d.h.q = 0, 5 ist, dann sind die erwarteten Auszahlungen des Schutzen
vS(L, σT ) = q · (−0, 2) + (1− q) · 0, 6 = 0, 2
vS(R , σT ) = q · 1 + (1− q) · 0 = 0, 5
Die beste Antwort des Schutzen ist daher die Strategie rechts
Interpretation: Da der Torwart beide Richtungen mit gleicherWahrscheinlichkeit wahlt, ist es fur den Schutzen besser, dieRichtung zu wahlen, bei der er seltener daneben schießt, d.h. rechts
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Nash Gleichgewicht
Aus der Matrix erkennen wir direkt, dass es kein NashGleichgewicht in reinen Strategien gibt
Wir suchen daher nach einem Nash Gleichgewicht in gemischtenStrategien
Wir setzenvS(L, σT ) = vS(R , σT ) ⇐⇒ 0, 6− 0, 8q = q ⇐⇒ q = 1/3
Wir setzenvT (L, σS) = vT (R , σS) ⇐⇒ −1 + 1, 2p = −0, 6p ⇐⇒ p = 5/9
Das Nash Gleichgewicht ist also σ∗
S(L) = 5/9, σ∗
S(R) = 4/9,σ∗
T (L) = 1/3, σT (R) = 2/3
Interpretation: Damit der Schutze indifferent ist, muss derTorhuter ofter rechts als links wahlen; damit der Torhuterindifferent ist, muss der Schutze seltener links als rechts wahlen 37 / 1
Schere-Stein-Papier
Wir betrachten das Spiel “Schere-Stein-Papier”
Spieler 1
Spieler 2Schere Stein Papier
Schere 0, 0 −1, 1 1,−1Stein 1,−1 0, 0 −1, 1Papier −1, 1 1,−1 0, 0
Wir wissen bereits, dass es kein Nash Gleichgewicht in reinenStrategien gibt
Gibt es ein Nash Gleichgewicht in (echt) gemischten Strategien?
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Analyse
Beobachtung 1: Es gibt kein Nash Gleichgewicht bei dem einSpieler eine reine Strategie im Nash Gleichgewicht hat und derandere Spieler mischt
Grund:
◮ Wenn Spieler i eine reine Strategie spielt, dann ist die besteAntwort von Spieler j 6= i eine reine Strategie
◮ Wir wissen aber, dass es kein Nash Gleichgewicht in reinenStrategien gibt
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Beobachtung 2: Es gibt kein Nash Gleichgewicht bei demmindestens ein Spieler nur zwischen zwei Strategie im NashGleichgewicht mischt
Grund:◮ Nehmen wir der Konkretheit halber an, dass Spieler i niemals
Schere spielt und nur zwischen Stein und Papier mischt
◮ Dann erzielt Spieler j 6= i eine hohere Auszahlung wenn er Papierstatt Stein spielt (egal ob Spieler i Stein oder Papier spielt)
◮ Spieler j wird also niemals Stein im Nash Gleichgewicht spielen
◮ Wenn aber Spieler j niemals Stein spielt, dann erzielt Spieler i einehohere Auszahlung wenn er Schere statt Papier spielt (egal obSpieler j Schere oder Papier spielt)
◮ Spieler i wird also niemals Papier im Nash Gleichgewicht spielen
◮ Wir haben einen Widerspruch
◮ Analog fur andere Strategiepaare
Wir wissen also nun, dass es nur ein Nash Gleichgewicht gebenkann bei dem beide Spieler zwischen allen drei reinen Strategienmischen
Dann konnen wir die erwarteten Auszahlungen von Spieler jberechnen:
vj(Schere, σi) = σi(Schere) · 0 + σi(Stein) · (−1) + σi(Papier) · 1
vj(Stein, σi) = σi(Schere) · 1 + σi(Stein) · 0 + σi(Papier) · (−1)
vj(Papier , σi) = σi(Schere) · (−1) + σi(Stein) · 1 + σi(Papier) · 0
Aus Proposition 1 folgt
vj(Schere, σi) = vj(Stein, σi) = vj(Papier , σi)
Zusatzlich muss gelten:
σi(Schere) + σi(Stein) + σi(Papier) = 1
Daraus erhalt man die Losung:σi(Schere) = σi(Stein) = σi(Papier) = 1/3 fur i ∈ N
Da dies die einzige Losung des Gleichungssystems ist, ist dies daseinzige Nash Gleichgewicht
Frage 4.3
Bestimmen Sie alle Nash Gleichgewichte fur das folgende Spiel
Spieler 1
Spieler 2C R
M 0, 0 3, 5D 4, 4 0, 3
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Bemerkungen
Gleichgewichte in gemischten Strategien konnen auch bei denanderen Losungskonzepten berucksichtigt werden
Wir konzentrieren uns aber in dieser Vorlesung auf NashGleichgewichte in gemischten Strategien
In einer großen Klasse von Spielen existiert stets (mindestens ein)Nash Gleichgewicht
T h e o r e m 1
Jedes n-Spieler Spiel in Normalform mit endlichen Mengen reiner
Strategien Si fur alle Spieler i ∈ N hat ein Nash Gleichgewicht in
gemischten Strategien.
Gemischte Strategien konnen echt gemischte Strategien oder reineStrategien sein
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Transformation der Auszahlungen
Bei Gleichgewichtskonzepten mit reinen Strategien kann man dieAuszahlungen von jedem Spieler i mittels einer beliebigensteigenden Funktion fi(vi(·)) transformieren, ohne dass sich etwasan den Gleichgewichten andert
Idee: Es kommt nur auf den Vergleich der Auszahlungen (großer,gleich oder kleiner) an, nicht auf die Abstande oder Absolutwerte
Bei Gleichgewichtskonzepten mit gemischten Strategien spielenerwartete Auszahlungen eine Rolle, weshalb “nur” lineareTransformation moglich sind: fi(vi(·)) = αi + βivi(·), wobei βi > 0ist
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Frage 4.4
Nehmen Sie das Spiel von Frag 4.3 und fuhren sie folgendeTranformationen durch: f1(v1(·)) = 2 + 2vi(·) undf2(v2(·)) = 3 + 3vi(·)
Stellen Sie das transformierte Spiel in Tabellenform dar undbestimmen Sie wieder alle Nash Gleichgewichte
Antworten:
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Zusammenfassung
Durch gemischte Strategien erweitern sich die Handlungs-moglichkeiten der Spieler
Dadurch vergroßert sich auch die Menge der beliefs
In Spielen, bei denen die Spieler gegensatzliche Interessen haben(z.B. “Matching Pennies”), gibt es keine Nash Gleichgewicht inreinen Strategien, aber ein Nash Gleichgewicht in gemischtenStrategien
In einer großen Klasse von Spielen existiert stets (mindestens ein)Nash Gleichgewicht
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