KAM S FMFI 1.predn a ska · 2009. 3. 1. · Udalosˇt A nast´ava, ak vysledk´ om exper-imentu je element´arna udalosˇt! tak´a, ˇze! 2 A. Pretoˇze udalosti sme stotoˇznili

POZNÁMKY K PREDNÁŠKAM

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180

KAMŠ FMFI

Kataŕına Janková

1.prednáška

Teória pravdepodobnosti sa zaoberá modelovańım experimentov náhodnej po-vahy. V mnohých situáciách opakovanie experimentu pri zachovańı rovnakých pod-mienok vedie k odlǐsným výsledkom. Typickým pŕıkladom takýchto experimentovsú hazardné hry a s nimi je história pravdepodobnosti úzko zviazaná. Siaha do 13.storočia (Richard de Fournival:De Vetula), ale známeǰsia je korešpondencia medziPascalom a Fermatom zo storočia sedemnásteho a neskoršie výsledkyBernoulliho, de Moivrea a Laplacea.

Pojmy ako pravdepodobnosť, náhodnosť sa použ́ıvajú aj v bežnej reči. My sapokúsime ich matematicky formalizovať.

Pre začiatok budeme predpokladať, že experiment je jednoduchý , a teda(1) všetky jeho možné výsledky sa dajú poṕısať konečnou množinou,(2) všetky možné výsledky sú z ȟladiska toho, ako často nastávajú rovnocenné

Množinu všetkých možných výsledkov experimentu budeme nazývať množinou ele-mentárnych udalost́ı a značǐt Ω. S experimentom môžu byť spojené aj iné udalosti.

1.1 Pŕıklad. Pri hode kockou zrejme Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Prirodzene môžeme pritomto experimente uvažovať aj tvrdenia o jeho výsledku, napr.A padlo párne č́ısloB padlo č́ıslo vačšie ako 3C padlo č́ıslo delitělné tromiktoré sú pravdivé alebo nepravdivé. Tieto výroky možeme reprezentovaťpodmnožinami Ω, napr. A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6}, C = {3, 6} a budeme ichnazývať udalosťami.

V pŕıpade, že Ω je konečná, udalosťou budeme rozumieť ľubovǒlnú podmnožinuΩ a systém všetkých udalost́ı označ́ıme S. Udalosť A nastáva, ak výsledkom exper-imentu je elementárna udalosť ω taká, že ω ∈ A. Pretože udalosti sme stotožnilis množinami, fungujú medzi nimi relácie a operácie, na ktoré sme zvyknut́ı akozjednotenie, prienik, komplement, atď. Konkrétne pre A,B ∈ S udalosť A ∪ Bnastáva, ak nastáva aspoň jedna z udalost́ı A,B. Podobne vieme vyjadrǐt A ∩ B,A−B, Ac.

Typeset by AMS-TEX1

2 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK

V pravdepodobnostnom žargóne sa špeciálne pomenúvajú ∅ ako nemožná uda-losť a Ω ako istá udalosť. Zatiǎl sme sa zaoberali len štruktúrou systému udalost́ı.Naš́ım najbližš́ım ciělom bude priradǐt každej udalosti č́ıslo , (napr. ku ktorémuby konvergovala relat́ıvna početnosť výskytu tejto udalosti pri n opakovaniachpokusu , n → ∞). Na predpokladoch (1) a (2) je založená defińıcia pravdepodob-nosti, s ktorou ste sa stretli na stredných školách a označuje sa ako klasická aleboLaplaceova defińıcia.

1.2 Defińıcia. Za predpokladu (1) a (2) je pravdepodobnosť ľubovoľnej udalostiA ⊂ Ω daná vzťahom

P (A) =|A||Ω|

kde |.| označuje počet prvkov množiny. Trojicu (Ω,S, P ) budeme nazýva klasickýmpravdepodobnostným priestorom.

S takouto defińıciou vystač́ıme pri celej rade úloh. Môžu sa však vyskytnúť ajproblémy, ktoré súvisia s platnosťou predpokladov (1) resp. (2).

1.3 Pŕıklad. Hádžeme trikrát mincou. Aká je pravdepodobnosť, že dvakrát padneznak? Jednoduché riešenie typu : znak padne ani raz, jedenkrát, dvakrát alebotrikrát, teda pravdepodobnosť je 14 je nesprávne . (Prečo?) Správne riešeniepoužit́ım klasickej defińıcie dostaneme, ak situáciu modelujeme pomocou množinytroj́ıc Ω0×Ω0×Ω0, kde Ω0 = {Z, H}. Potom A = {(H,Z, Z), (Z, H, Z), (Z, Z,H)}a teda P (A) = 38 .

1.4 Pŕıklad. Dvaja hráči A a B hrajú sériu partíı . V každej hodia mincou a akpadne hlava, vyhráva hráč A, ak znak, tak partiu vyhráva hráč B. Hráči hrajú o istúsumu a vyhráva ju ten, kto prvý vyhrá 6 partíı. Hru museli prerušǐt, keď A mal 5vyhraných partíı a B 3. Ako treba spravodlivo (t.j. úmerne k pravdepodobnostiamvýhier jednotlivých hráčov) rozdelǐt výhru? Ak označ́ıme ako A výhru hráča A apodobne B, tak hra sa bude vyv́ıjať jedným z nasledujúcich spôsobov:

A,BA, BBA, BBB

Tieto výsledky však nemožno brať za elementárne udalosti v zmysle defińıcie 1.2 ,lebo nesṕlňajú (2). Ak ju chceme použǐt, muśıme uvažovať všetky možné výsledkytroch partíı, po ktorých určite bude rozhodnuté, teda

Ω = {AAA,AAB, ABA,ABB,BAA,BAB,BBA,BBB}

a dostaneme spravodlivé delenie v pomere 7:1 pre hráča A. Pretože všetky tietosérie sa v realite nedohrajú do konca celkom prirodzene sa tu núka použǐt modelΩ0 = {A, BA,BBA,BBB}, v ktorom elementárne udalosti nebudú rovnocenné,ale P (A) = 12 , P (BA) =

14 , P (BBA) = P (BBB) =

18 . Toto už nie je klasický

model, ale cesta k jeho zovšeobecneniu.

Aj predpoklad (1) sa stane problematickým v celkom jednoduchých situáciách,ako uvid́ıme v nasledujúcom pŕıklade.

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 3

1.5 Pŕıklad. Hádžeme mincou, kým prvýkrát nepadne hlava a zauj́ıma nás početuskutočnených hodov. Pretože muśıme pripustǐt postupnosť (Z,Z, Z, . . . ) akovhodný priestor elementárnych udalost́ı sa zdá Ω = N ∪ {∞}, čo už sa vymykáklasickej defińıcii.

Ďaľsou situáciou, v ktorej si neporad́ıme s klasickou defińıciou pravdepodob-nosti bude, ak Ω je napŕıklad celý interval jedno alebo viacrozmerný . Predtýmnež zavedieme všeobecnú defińıciu pravdepodobnosti, ukázeme si, ako sa dá v niek-torých pŕıpadoch problém jednoducho riešǐt. Pri poč́ıtańı pravdepodobnosti, žepadajúci meteorit dopadne na pevninu je prirodzené použǐt podiel plochy pevninya celého zemského povrchu. Podobne budeme postupovať, ak Ω je časťou roviny avieme merať jeho plochu.

1.6 Defińıcia. Nech Ω ⊂ R2 a A ⊂ Ω, pričom poznáme plochy S(A) < ∞, S(Ω) <∞. Geometrickou pravdepodobnosťou udalosti A budeme rozumieť č́ıslo

P (A) =S(A)S(Ω)

1.7 Poznámka. Defińıcia predpokladá, že máme na nejakom systéme podmnož́ınmnožiny Ω definovanú plochu S, čo by chcelo podrobneǰśı rozbor. Zrejme to neb-ude systém všetkých podmnož́ın, ale bude mať rozumné vlastnosti(uzavretosť naisté operácie a pod). Tomuto sa budeme venovať neskôr, teraz si ukážeme, žegeometrická defińıcia je použitělná vo viacerých zauj́ımavých pŕıkladoch.

1.8 Pŕıklad. Janko a Marienka si dohovorili stretnutie na dobu medzi 13. a 14.hodinou , pričom prvý čaká dvadsať minút a ak sa nedočká druhého, tak od́ıde .Aká je pravdepodobnosť, že sa stretnú?

1.9 Pŕıklad. Palica d́lžky 1m je dvomi deliacimi bodmi náhodne rozlomená na 3časti tak, že každý deliaci bod má rovnakú šancu padnúť do intervalu pevnej d́lžky.Aká je pravdepodobnosť, že z takýchto čast́ı poskladáme trojuholńık?

1.10 Pŕıklad. V kružnici s polomerom r náhodne vedieme tetivu. Aká je pravde-podobnosť, že jej d́lžka je vačšia ako strana rovnostranného trojuholńıka vṕısanéhodo kružnice? Uvažujte rôzne možnosti vǒlby tetivy a porovnajte výsledky.

1.11 Poznámka. V pŕıkladoch takéhoto typu treba dávať pozor na presnú for-muláciu, náhodné volenie bodu z nejakej podmnožiny treba presne poṕısať, inaksa dá dospieť k nejednoznačným výsledkom ako napr. v Pŕıklade 1.9 (Bertrandovparadox). Tento presný popis je zatiǎl pre nás ťažkopádny, neskôr naň použijemevǒlbu vhodného pravdepodobnostného rozdelenia.

Klasická i geometrická defińıcia sa dajú použǐt v mnohých úlohách, ale zďalekanepokryjú všetky situácie. Majú však spoločné viaceré vlastnosti (ktoré?) a vďaľsom ich použijeme pri vytvoreńı axiomatickej defińıcie pravdepodobnosti.

4 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK

2. prednáška

Na minulej prednáške sme urobili 2 pravdepodobnostné modely (klasický modela model geometrickej pravdepodobnosti v rovine). V oboch pŕıpadoch sme vytvorilitrojice (Ω,S, P ), kde S bol systém udalost́ı a P : S → R funkcia. Ako sme videli,systém udalost́ı S nemuśı obsahovať všetky podmnožiny množiny Ω, ale budemeod neho vyžadovať, aby bol uzavretý na isté operácie.

2.1 Defińıcia. Nech Ω 6= ∅. Neprázdny systém S podmnož́ın množiny Ω budemenazývať σ algebrou , ak plat́ı

(1) Ak A ∈ S, tak Ac ∈ S(2) Ak Ai ∈ S, i = 1, 2, . . . , tak

⋃∞i=1 Ai ∈ S.

2.2 Pŕıklad. Najmenšou σ algebrou obsahujúcou neprázdnu množinu A ⊂ Ω jesystém {A, Ac, ∅, Ω}.

σ algebra bude uzavretá aj na iné rozumné operácie.

2.3 Veta. Ak Ω 6= ∅ a S je nejaká σ algebra podmnož́ın množiny Ω, tak(1) Ak A1, . . . An ∈ S, tak

⋃ni=1 ∈ S

(2) Ak Ai ∈ S, i = 1, 2, . . . , tak⋂∞

i=1 Ai ∈ S.(3) Ak A,B ∈ S, tak A \B ∈ S.

2.4 Lema. Pre ľubovoľný systém Z podmnož́ın množiny Ω existuje najmenšia σalgebra obsahujúca Z.2.5 Defińıcia. Najmenšiu σ algebru nad systémom podmnož́ın Z množiny Ωbudeme označovať σ(Z) a volať σ algebrou generovanou systémom Z.2.6 Defińıcia. Najmenšiu σ algebru nad systémom

G = {G ⊂ R; G je otvorená v R}

podmnož́ın množiny R budeme nazývať systémom borelovských množ́ın v R a značǐtB.2.7 Veta. Ktorékoľvek z nasledujúcich podmnož́ın R sú borelovské

(1) jednobodové množiny(2) spočitateľné množiny(3) intervaly akéhokoľvek typu

V zmysle nasledujúceho pŕıkladu systém B možno chápať aj ako najmenšiu σalgebru obsahujúcu intervaly v R.

2.8 Úloha. Uvažujte nasledujúce systémy podmnož́ın množiny R(1) T1 = {(−∞, b); b ∈ R}(2) T2 = {〈a, b); a, b ∈ R}(3) T3 = {(−∞, b〉; b ∈ R}(4) T4 = {(a, b〉; a, b ∈ R}Ukážte, že σ(T1) = σ(T2) = · · · = σ(T4) = B

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 5

2.9 Poznámka. Podobne sa definuje systém Bn všetkých borelovských množ́ın vRn.

Teraz môžeme zaviesť pravdepodobnosť axiomaticky poďla A. N. Kolmogorova.

2.10 Defińıcia. Nech Ω je naprázdna a S je σ algebra podmnož́ın Ω. Ľubovǒlnúreálnu funkciu P : S → R+, pre ktorú plat́ı

(1) P (Ω) = 1(2) Ak Ai ∈ S, i = 1, 2, . . . pričom Ai ∩Aj = ∅ pre i 6= j, tak

P (∞⋃

i=1

Ai) =∞∑

i=1

P (Ai)

budeme nazývať pravdepodobnosť a trojicu (Ω,S, P ) pravdepodobnostný priestor.V nasledujúcej vete zhrnieme základné vlastnosti pravdepodobnosti, ktoré možno

odvodǐt z axióm.

2.11 Veta. Nech (Ω,S, P ) je pravdepodobnostný priestor. Potom(1) P (∅) = 0(2) (konečná aditivita) P (

⋃ni=0 Ai) =

∑ni=0 P (Ai) ak Ai ∩Aj = ∅ for i 6= j

(3) Pre každé A ∈ S : 0 ≤ P (A) ≤ 1(4) P (Ac) = 1− P (A)(5) (monotónnosť) Ak A,B ∈ S a A ⊂ B, tak P (A) ≤ P (B)(6) (subtrakt́ıvnosť) Ak A,B ∈ S a A ⊂ B, tak P (B \A) = P (B)− P (A)(7) Ak A,B ∈ S, tak P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)(8) Pre Ai ∈ S, i = 1, 2 . . . plat́ı

P (n⋃

i=1

Ai) =n∑

i=1

P (Ai)−n∑

i

6 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK

3.prednáška

Výsledky náhodného experimentu vieme modelovať pomocoupravdepodobnostného priestoru (Ω,S, P ). Teraz sa budeme zaoberať otázkou, akosa zmeńı pravdepodobnosť udalosti A ∈ S, ak vieme, že udalosť B ∈ S nastala.3.1 Defińıcia. Podmienenou pravdepodobnosťou udalosti A ∈ S za podmienky,že nastala udalosť B ∈ S taká, že P (B) > 0 budeme rozumieť č́ıslo

P (A|B) = P (A ∩B)P (B)

Označme ΩB = B, SB = {B ∩ S, S ∈ S} a pre ľubovǒlné A ∈ SB nechPB(A) = P (A|B). Miesto pôvodného modelu budeme použ́ıvať model daný troji-cou (ΩB ,SB , PB), o ktorej ukážeme, že tvoŕı pravdepodobnostný priestor.3.2 Veta. Nech A,B ∈ S, P (B) > 0. Potom SB je σ algebra podmnož́ın množinyB a PB je pravdepodobnostná miera na nej.

Z defińıcie podmienenej pravdepodobnosti vidno, že ju možno použǐt pri poč́ıtańıpravdepodobnost́ı prienikov udalost́ı .

3.3 Veta. Nech A1, . . . , An ∈ S sú také, že P (A1 ∩ · · · ∩An−1) > 0. Potom

P (∩ni=1Ai) = P (A1)P (A2|A1) . . . P (An|A1 ∩ · · · ∩An−1)

Znalosti podmienených pravdepodobnost́ı danej udalosti vzȟladom k udalostiamrozkladu množiny Ω umožňujú jednoducho poskladať pravdepodobnosť udalostipoďla nasledujúcej vety.

3.4 Veta o úplnej pravdepodobnosti. Nech Aj ∈ S, P (Aj) > 0, j = 1, 2 . . .pričom

⋃∞j=1 Aj = Ω a Ai ∩Aj = ∅ pre i 6= j. Potom pre ľubovoľné B ∈ S

P (B) =∞∑

j=1

P (B|Aj)P (Aj)

3.5 Pŕıklad. Skúška obsahuje otázky z pravdepodobnosti(60) a zo štatistiky(40).Študent sa naučil 80 percent otázok z pravdepodobnosti a 50 percent otázok zoštatistiky. Aká je pravdepodobnosť, že na náhodne vytiahnutú otázku odpoviesprávne? Ak odpovedal správne, aká je pravdepodobnosť, že bola zo štatistiky?

Pri riešeńı druhej časti pŕıkladu sme dospeli ku vzťahu známemu pod názvomBayesova veta.

3.6 Veta. Nech Aj ∈ S, P (Aj) > 0, j = 1, 2 . . . pričom⋃∞

j=1 Aj = Ω a Ai∩Aj = ∅pre i 6= j. Potom pre ľubovoľné B ∈ S, P (B) > 0 plat́ı

P (Aj |B) = P (B|Aj)P (Aj)∑∞j=1 P (B|Aj)P (Aj)

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 7

Bayesova veta má mnohé aplikácie v rôznych oblastiach, ukážeme si jeden pŕıkladz medićıny. V lekárskej diagnostike udalosti A1, . . . An predstavujú možné chorobypacienta. Pravdepodobnosti ich výskytu sú známe a berieme ich ako tzv apriórnepravdepodobnosti. Udalosť B predstavuje nejaký symptóm alebo výsledok testu,ktorý sa s pravdepodobnosťami P (B|Aj) vyskytuje pri chorobe Aj . Na základeBayesovej vety potom vieme určǐt aposteriórne pravdepodobnosti chorôb P (Aj |B).3.7 Úloha. U pacienta je podozrenie na chorobu, ktorá sa vyskytuje u 0.5 percentapopulácie. Diagnostický test je pozit́ıvny s pravdepodobnosťou 0.95, ak osoba mátúto chorobu (senzitivita testu) a je negat́ıvny s pravdepodobnosťou 0.9 (špecificitatestu) , ak osoba túto chorobu nemá. Ak výsledok testu bol pozit́ıvny, aká jepravdepodobnosť, že pacient naozaj trṕı touto chorobou?

V niektorých situáciách sa môže stať, že P (A|B) = P (A). Toto možno inter-pretovať tak, že nastatie udalosti B neovplyvnilo pravdepodobnosť udalosti A , čovedie k nasledujúcemu dôležitému pojmu.

3.8 Defińıcia. Nech (Ω,S, P ) je pravdepodobnostný priestor, A,B ∈ S. UdalostiA,B sú nezávislé, ak P (A ∩B) = P (A)P (B).3.9 Poznámka.. Nezávislosť udalost́ı sa často mýli s tým, že udalosti majú prázdnyprienik (vylučujú sa). Treba si uvedomǐt, že vylučujúce sa udalosti sú nezávislévtedy a len vtedy ak jedna z nich má nulovú pravdepodobnosť.

3.10 Pŕıklad. Pri n-násobnom hode kockou uvažujme nasledujúce udalosti:

Ai = {pri i-tom hode padne šestka}, 1 ≤ i ≤ nUdalosti Ai, Aj sú pre i 6= j nezávislé. (Overte na základe modelu).3.11 Pŕıklad. Skúšajúci skúša vždy skupinu n študentov, pre ktorých má sadun otázok. Na prvom termı́ne nikto neuspel, preto celá skupina prǐsla na opravnýa každý dostal jednu z tej istej sady . Označme Ai udalosť, že i ty študent sina opravnom termı́ne vytiahol tú istú otázku ako na riadnom. Zrejme Ai a Ajpre i 6= j nie sú nezávislé. Vypoč́ıtajte pravdepodobnosť, že aspoň jeden študentdostane tú istú otázku ako mal.

V predošlých pŕıkladoch sme overovali na základe defińıcie vždy nezávislosť dvo-jice udalost́ı. V nasledujúcej defińıcii rozš́ırime tento pojem pre skupinu udalost́ı.

3.12 Defińıcia. Nech (Ω,S, P ) je pravdepodobnostný priestor. UdalostiA1, . . . , An ∈ S sú skupinovo nezávislé, ak pre každé k a pre každé i1 . . . ik ∈{1 . . . n} plat́ı

P (Ai1 ∩ · · · ∩Aik) = P (Ai1) . . . P (Aik)

Udalosti A1, . . . , An z pŕıkladu sú po dvoch nezávislé a aj skupinovo nezávislé.Nie vždy to muśı byť tak.

3.13 Úloha. Ukážte, že existujú udalosti A,B, C nezávislé po dvoch, ale nieskupinovo.Takisto ukážte, že existujú udalosti A,B, C tak, že P (A ∩ B ∩ C) =P (A)P (B)P (C), ale A,B, C nie sú skupinovo nezávislé.

8 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK

3.14 Veta. Nech (Ω,S, P ) je pravdepodobnostný priestor a udalosti A1 . . . An ∈ Ssú združene nezávislé. Nech B1 . . . Bn sú také, že Bi = Ai alebo Bi = Aci . PotomB1 . . . Bn sú nezávislé.

3.15 Úloha. Nech (Ω,S, P ) je pravdepodobnostný priestor a udalosti A1 . . . An ∈ Ssú združene nezávislé. Ukážte, že

P (n⋃

j=1

Aj) = 1− P (Ac1) . . . P (Acn)

3.16 Pŕıklad. 5x hádžeme kockou.Aká je pravdepodobnosť, že šestka padne právena 1., 2. a 4. mieste? Aká je pravdepodobnosť, že práve trikrát padne šestka? Akpoužijeme označenie pŕıkladu v prvej otázke ide o pravdepodobnosť

udalosti B = (A1 ∩A2 ∩Ac3 ∩A4 ∩Ac5) .Využit́ım združenej nezávislosti udalost́ıA1 . . . An a Vety 3.14 dostávame

P (B) = P (A1)P (A2)(1− P (A3))P (A4)(1− P (A5)) = (16)3(

56)2

V druhom pŕıpade ide o pravdepodobnosť udalosti

C = (A1 ∩A2 ∩A3 ∩Ac4 ∩Ac5) ∪ · · · ∪ (Ac1 ∩Ac2 ∩A3 ∩A4 ∩A5)

kde zjednocujeme(52

)disjunktných udalost́ı, z ktorćh každá má pravdepodobnosť

( 16 )3(56 )

2, čo dáva

P (C) =(

52

)(16)3(

56)2

Zovšeobecneńım úvah z predošlého pŕıkladu dostaneme model nezávislého opako-vania pokusu známy tiež pod názvom Bernolliho schéma. Predpokladajme , že nxnezávisle opakujeme pokus, v ktorom nastáva istá sledovaná udalosť s pravdepodob-nosťou p ∈ (0, 1). Potom pravdepodobnosť, že pri n-násobnom opakovańı nastanetáto udalosť práve k-krát, kde 0 ≤ k ≤ n je

(n

k

)pk(1− p)n−k

3.17 Pŕıklad. Použit́ım Bernoulliho schémy ukážte, že plat́ı rovnosť

n∑

k=0

(n

k

)pk(1− p)n−k = 1

3.18 Úloha. Test obsahuje 10 otázok, na každú sú štyri možnosti odpovede, zktorých iba jedna je správna. Na to, aby študent urobil test muśı správne odpovedaťaspoň na 6 otázok. Aká je pravdepodobnosť, že tipujúci študent urob́ı test?

3.19 Úloha. Z urny obsahujúcej 3 biele a 4 modré guličky vyberáme 4 guličky,pričom vytiahnutú vždy vrátime. Modelujte situáciu poďla Bernoulliho schémy.Možno použǐt tento model, ak vytiahnutú guličku nevraciame? Aký model fungujev tomto pŕıpade?

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 9

4.prednáška

Na pravdepodobnostnom priestore (Ω,S, P ) každá elementárna udalosť môžebyť č́ıselne ohodnotená . Toto sa dá poṕısať funkciou z Ω do R.

4.1 Pŕıklad. Hrám s protihráčom jednoduchú hru: hod́ım kockou a vyhrávam1Sk, ak padne 1, 2 alebo 3, vyhrávam 2Sk, ak padne 4, 5 a prehrávam 6Sk, akpadne 6. Ak ma zauj́ıma výška výhry, môžem ju chápať ako funkciu V : Ω → Rdefinovanú nasledovne V (1) = V (2) = V (3) = 1, V (4) = V (5) = 2, V (6) = −6.4.2 Defińıcia. Náhodná veličina je ľubovǒlná funkcia X : Ω → R taká, že prekaždé x ∈ R :{ω ∈ Ω : X(ω) < x} ∈ S.4.3 Poznámka. Podmienka z defińıcie v terminológii teórie miery hovoŕı , že funkciaX je meratělná vzȟladom k σ algebre S a zabezpeč́ı nám, aby sme mohli uvažovaťpravdepodobnosti udalost́ı typu P{ω ∈ Ω : X(ω) < x} a aj komplikovaneǰśıch, akouvid́ıme z nasledujúceho tvrdenia.

4.4 Veta. Funkcia X : Ω → R je náhodná veličina vtedy a len vtedy, ak plat́ıktorákoľvek z nasledujúcich podmienok:

(1) pre každé x ∈ R : {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x} ∈ S(2) pre každé x ∈ R : {ω ∈ Ω : X(ω) > x} ∈ S(3) pre každé x ∈ R : {ω ∈ Ω : X(ω) ≥ x} ∈ S(4) pre každé a, b ∈ R : {ω ∈ Ω : a ≤ X(ω) < b} ∈ S(5) pre každú otvorenú množinu G v R: {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ G} ∈ S(6) pre každú borelovskú množinu B ∈ B: {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} ∈ S

4.5 Poznámka. Množiny vystupujúce v predošlom tvrdeńı sú vzory intervalov resp.iných pekných množ́ın pri zobrazeńı X−1. Napŕıklad {ω ∈ Ω : X(ω) < x} =X−1(−∞, x).4.6 Úloha. Dokážte, že operácia X−1 zachováva množinové operácie, t.j.

X−1(∞⋃

i=1

Ai) =∞⋃

i=1

X−1(Ai)

podobne pre prienik a rozdiel.

Dôkaz vety 4.4 vyplynie z nasledujúcej lemy.

4.7 Lema. Nech Z je ľubovoľný systém podmnož́ın množiny R taký, že σ(Z) = B.Nech X : Ω → R je taká, že pre každé Z ∈ Z plat́ı X−1(Z) ∈ S. Potom X−1(B) ∈S pre každé B ∈ B.

Dôkaz. Uvažujme systém H = {B ∈ B : X−1(B) ∈ S}. Zrejme

(1) Z ⊂ H ⊂ B

Použit́ım Úlohy 4.6 sa ľahko ukáže, žeH je σ algebra podmnož́ın množiny R. Potomale z (1) vyplýva, že H = B ¤.

10 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK

Pretože s udalosťami typu {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x} budeme často narábať, budemepouž́ıvať skrátené označenie {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x} = (X ≤ x), podobne chápemeudalosti (X < x), (X > x), (X ≥ x), (a ≤ x < b) a tak ďalej.4.8 Defińıcia. Distribučná funkcia náhodnej veličiny X : Ω → R je funkcia F :R → R definovaná predpisom F (x) = P (X < x).4.9 Pŕıklad. Distribučná funkcia náhodnej veličiny z pŕıkladu bude mať tvar

F (x) =

0, ak x ≤ −616 , ak −6 < x ≤ 123 ak 1 < x ≤ 21, ak x > 2

Vo všeobecnosti vlastnosti distribučnej funkcie zhrnieme do nasledujúcej vety.

4.10 Veta. Nech F je distribučná funkcia náhodnej veličiny X : Ω → R. Potom(1) F je neklesajúca(2) pre každé a, b ∈ R : P (a ≤ X < b) = F (b)− F (a)(3) F je zľava spojitá(4) limx→∞ F (x) = 1(5) limx→−∞ F (x) = 0(6) pre každé a ∈ R: P (X = a) = limx→a+ F (x)− F (a)

Náhodná veličina definuje pravdepodobnostnú mieru na B v nasledujúcomzmysle.

4.11 Veta. Nech X : Ω → R je náhodná veličina. Potom funkcia µ : B → 〈0, 1〉definovaná predpisom µ(B) = P (X ∈ B) je pravdepodobnostná miera a trojica(R,B, µ) je pravdepodobnostný priestor. Túto mieru budeme nazývať rozdeleńımpravdepodobnosti náhodnej veličiny X.

4.12 Úloha. Ako vyzerá rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny Vz Pŕıkladu 4.9?

4.13 Poznámka. Zrejme rozdelenie pravdepodobnosti jednoznačne určujedistribučnú funkciu. Dá sa ukázať, že to plat́ı aj obrátene.

4.14 Defińıcia. Náhodná veličina je diskrétna, ak nadobúda konečne alebospočitatělne věla hodnôt.

Ak hodnoty diskrétnej náhodnej veličiny zorad́ıme do postupnosti {xi} , i =1, 2, . . . (konečnej alebo nekonečnej) a pre každú hodnotu nájdeme pravdepodob-nosť P (X = xi) = pi,tak

∑∞i=1 pi = 1 a dvojice (xi, pi), i = 1, 2, . . . jednoznačne

určujú distribučnú funkciu a teda aj rozdelenie diskrétnej náhodnej veličiny.

4.15 Úloha. Ukážte, že distribučná funkcia diskrétnej náhodnej veličiny má tvar

F (x) =∑

{i:xi

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 11

5.prednáška

Pokúsime sa čo najlepšie charakterizovať náhodnú premennú pomocou jednéhoč́ısla. V pŕıklade 6.1 je rozumné si položǐt otázku, či je definovaná hra fairová, alebozjavne zvýhodňuje jedného z hráčov. Predpokladajme, že by sa odohrala séria paríıtejto hry, povedzme n. Ak n je dosť vělké, možno očakávať, že asi v polovici partíıvyhrám 1Sk, v tretine vyhrám 2Sk a v šestine prehrám 6Sk. To znamená, že môžemčakať výhru asi n 12 + 2n

13 − 6n 16 . Teda priemerná výhra na jednu partiu by činila

( 12 +213−1) = 16Sk. To znamená , že hra nie je fairová (z mojej poźıcie je výhodná).

Defińıcia 5.1. Nech X je diskrétna náhodná veličina , ktorá nadobúda hodnotyxi, i = 1, 2. . . . s pravdepodobnosťami pi = P (X = xi). Strednou hodnotounáhodnej veličiny X nazveme č́ıslo E(X) =

∑∞i=1 xipi, ak tento rad konverguje

absolútne. Ak rad nekonverguje absolútne budeme hovorǐt, že náhodná veličinanemá strednú hodnotu.

V pravdepodobnosti sa obyčajne neštudujú náhodné veličiny ako reálnefunkcie, ale zaoberáme sa ich rozdeleńım pravdepodobnosti. Uvedieme niektorénajčasteǰsie použ́ıvané diskrétne rozdelenia. Rozdelenie diskrétnej náhodnej veličinyje dané, ako vieme, množinou dvoj́ıc (xi, pi), i = 1, 2, . . . ,

∑∞i=0 pi = 1

5.2 Pŕıklad. Alternat́ıvne rozdelenie. V modeli hádzania mincou Ω = {H,Z},S = 2Ω, P (h) = P (Z) = 12 budeme uvažovať náhodnú premennú X : Ω → {0, 1}definovanú predpisom X(H) = 0, X(Z) = 1. Táto náhodnáveličina nadobúdahodnoty 0 a 1, každú s pravdepodobnosťou 12 .

5.3 Defińıcia. Náhodná veličina má alternat́ıvne rozdelenie s parametrom p ∈(0, 1), ak P (X = 1) = p a P (X = 0) = 1− p5.4 Pŕıklad. Binomické rozdelenie. Pri n- násobnom hode kockou (Ω ={1, 2, 3, 4, 5, 6}6),S = 2Ωa P klasická definujeme náhodnú premennú X ako početpadnutých šestiek. Z Bernoulliho schémy vieme, že

P (X = k) =(

n

k

)(16)k(

56)n−k

pre k = 0, 1, . . . n.

5.5 Defińıcia. Náhodná veličina má binomické rozdelenie s parametrami n ∈ Na p ∈ (0, 1), ak nadobúda hodnoty k = 0, 1, . . . n s pravdepodobnosťami

P (X = k) =(

n

k

)pk(1− p)n−k

Toto rozdelenie môžeme použǐt na modelovanie náhodného výberu s návratom.Ak máme v urne N guličiek, z toho M bielych a zvyšok čiernych a z takejto urnyťaháme n guličiek s vráteńım, tak počet bielych z vytiahnutých je náhodná veličinas binomickým rozdeleńım s parametrami n a MN . Ak experiment zmeńıme tak, žeťaháme bez návratu pre počet bielych bude správne nasledujúce rozdelenie.

5.6 Defińıcia. Hypergeometrické rozdelenie. Náhodná veličina X má hyper-geometrické rozdelenie s parametrami N, M,n ak

P (X = k) =

(Mk

)(N−Mn−k

)(Nn

)

12 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK

pre max{0, n + M −N} ≤ k ≤ min{M, N}5.7 Úloha. overte, že defińıcie 6.4 a 6.5 sú korektné, t.j.

∑nk=0 P (X = k) = 1.

5.8 Pŕıklad. Hádžeme kockou, kým prvýkrát nepadne šestka. Náhodná veličina Xpredstavuje počet neúspešných hodov. Zrejme P (X = k) = ( 56 )

k 16 pre k = 0, 1, . . . .

Vo všeobecnosti podobné rozdelenie dostaneme, ak v postupnostinezávislých (Bernoulliho) pokusov sledujeme počet neúspechov pred prvýmúspechom. Pravdepodobnosť úspechu označujeme p, neúspechu 1− p.5.9 Defińıcia. Náhodná veličina má geometrické rozdelenie s parametrom p ∈(0, 1), ak P (X = k) = p(1− p)k pre k = 0, 1, . . . .5.10 Veta. Nech (Ω,S, P ) je pravdepodobnostný priestor a Xn sú pre n = 1, 2, . . .náhodné veličiny na (Ω,S) s binomickým rozdeleńım s parametrami n a pn, pričomlimn→∞ npn = λ, λ > 0. Potom

limn→∞

P (Xn = k) = e−λλk

k!

5.11 Defińıcia. Náhodná veličina má Poissonovo rozdelenie s parametrom λ > 0,ak

P (X = k) = e−λλk

k!pre k = 0, 1, . . . .

5.12 Pŕıklad. Overte, že defińıcie 6.8 a 6.10 sú korektné.

5.13 Úloha. Vypoč́ıtajte strednú hodnotu binomického rozdelenia s parametramin ap (E(X) = np).

5.14 Úloha. Vypoč́ıtajte strednú hodnotu geometrického rozdelenia s parametromp (E(X) = 1−pp ).

5.15 Úloha. Vypoč́ıtajte strednú hodnotu Poissonovho rozdelenia s parametromλ (E(X) = λ).

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 13

6.prednáška

Pre náhodnú premennú X v mnohých pŕıpadoch treba uvažovať zloženú funkciug(X), kde g : R → R je reálna funkcia. Uvedieme si podmienku na g, ktorá námzaruč́ı , že Y = g(X) je náhodná veličina.

6.1 Defińıcia. Funkcia g : R → R je borelovská, ak pre každú borelovskú množinuB plat́ı g−1(B) ∈ B.6.2 Veta. Ak X je náhodná veličina a g : R → R je borelovská, tak g(X) jenáhodná veličina.

6.3 Veta. Spojitá funkcia je borelovská.

6.4 Poznámka. Ak X je diskrétna náhodná veličina a g : R → R ľubovǒlná funkcia,tak g(X) je náhodná veličina.

6.5 Veta. Nech X je diskrétna náhodná veličina nadobúdajúca hodnoty xi , i =0, 1, 2, . . . a g : R → R je ľubovoľná reálna funkcia. Potom

E(g(X)) =∞∑

i=0

g(xi)P (X = xi)

ak g(X) má strednú hodnotu.

Dôkaz. Označme Y = g(X) a predpokladajme, že Y nadobúda rôzne hodnotyyj , j = 1, 2, . . . Potom P (Y = yj) =

∑i:g(xi)=yj

P (X = xi) a teda ak E(Y ) existuje,tak

E(Y ) =∞∑

j=0

yjP (Y = yj) =∞∑

j=0

yj∑

i:g(xi)=yj

P (X = xi) =∞∑

i=0

g(xi)P (X = xi)

kde sme v poslednej rovnosti využili, že

∞⋃

j=0

⋃

{i:g(xi)=yj}(X = xi ∧ Y = yj) =

∞⋃

i=0

(X = xi) ¤

6.6 Veta. Ak X, Y sú náhodné veličiny, tak aj X + Y ,X − Y , XY , XY , ak Y 6= 0sú náhodné veličiny.

6.7 Pŕıklad. Predošlú vetu použijeme na vypoč́ıtanie strednej hodnoty hyperge-ometrického rozdelenia. Náhodná veličina Z s hypergeometrickým rozdeleńım sparametrami N, M, n sa dá vyjadrǐt ako súčet Z = X1 + · · · + Xn kde Xi majúalternat́ıvne rozdelenie s parametrom MN . Teda E(Z) = E(X1)+· · ·+E(Xn) = nMN .

V nasledujúcej vete zhrnieme niektoré vlastnosti strednej hodnoty.

6.8 Veta. Ak X a Y sú diskrétne náhodné veličiny definované na tom istompravdepodobnostnom priestore a c ∈ R je ľ ubovoľné reálne č́ıslo, tak

(1) E(c) = c(2) E(cX) = cE(X)(3) E(X + Y ) = E(X) + E(Y )

14 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK

Strednú hodnotu sme definovali ako č́ıslo, ktoré istým spôsobom charakterizujenáhodnú premennú. O tom, nakoǩo je takáto charakterizácia ”dobrá” nám budehovorǐt rozptyl alebo disperzia náhodnej veličiny.

6.9 Defińıcia. Nech X je náhodná veličina so strednou hodnotou E(X).Rozptyl (disperzia) náhodnej veličiny X je č́ıslo

D(X) = E(X − E(X))2

ak táto stredná hodnota existuje.

6.10 Pŕıklad. Vypoč́ıtajme strednú hodnotu pre alternat́ıvnerozdelenie s parametrom p. Zrejme E(X) = p. Potom poďla Vety 7.2

E((X − E(X))2 = E(X − p)2 = (0− p)2(1− p) + (1− p)2p = p(1− p)

Niekedy sa stredná hodnota dápoč́ıtať jednoduchšie využit́ım nasledujúceho tvr-denia.

6.11 Veta. Nech X je náhodná veličina s disperziou D(X) a c ∈ R ľubovoľné .Potom

(1) D(X) ≥ 0(2) D(cX) = c2D(X)(3) D(X) = E((X − c)2)− (E(X − c))2, špeciálne D(X) = E(X2)− (E(X))2(4) D(X) ≤ E(X − c)2

6.12 Dôsledok. Disperzia je invariantná vzhľadom k posunutiu, t.j. D(X + c) =D(X) pre každé c ∈ R.6.13 Pŕıklad. Vypoč́ıtajme disperziu Poissonovho rozdelenia s parametrom λ.Poďla Vety 6.5

E(X2) =∞∑

j=0

j2e−λλj

j!=

∞∑

j=1

(j − 1)e−λ λj

(j − 1)! +∞∑

j=1

e−λλj

(j − 1)! = λ2 + λ

teda s využit́ım 6.11 dostaneme

D(X) = E(X2)− E(X)2 = λ

6.14 Pŕıklad. Vypoč́ıtajte disperziu binomického rozdelenia (D(X) = np(1− p)).6.15 Veta (Čebyševova nerovnosť). Nech náhodná veličina X má strednú hod-notu E(X) a disperziu D(X). Potom pre každé ε > 0

P (|X − E(X)| ≥ ε) ≤ D(X)ε2

Dôkaz. Budeme predpokladať,že X je diskrétna a nadobúda hodnoty xi, i =1, 2 . . . s pravdepodobnosťami P (X = xi) = pi. Označme S = {i : |xi−E(X)| ≥ ε}.Dostaneme

D(X) =∞∑

i=1

(xi − E(X))2pi =∑

i∈S(xi − E(X))2pi +

∑

i∈Sc(xi − E(X))2pi ≥

≥∑

i∈S(xi − E(X))2pi ≥

∑

i∈Sε2pi = ε2P (|X − E(X)| ≥ ε)

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 15

7. a 8. prednáška

Pojem nezávislosti sme v 3.prednáške definovali pre náhodné udalosti. Terazho rozš́ırime na náhodné veličiny definované na tom istom pravdepodobnostnompriestore.

7.1 Defińıcia. Nech (Ω,S, P ) je pravdepodobnostný priestor a X,Y sú diskrétnenáhodné veličiny na ňom, pričom X nadobúda hodnoty xi, i = 1, 2 . . . a Y nadobúdahodnoty yj , j = 1, 2, . . . Potom X a Y sú nezávislé, ak pre každé i, j plat́ı

P (X = xi ∧ Y = yj) = P (X = xi)P (Y = yj)

7.2 Pŕıklad. Hádžeme dvomi kockami. Nech X je počet bodiek na 1.kocke, Y jepočet bodiek na 2.kocke a Z je maximum z padnutých bodiek. Ľahko sa oveŕı , žeX a Y sú nezávislé, ale napr. X a Z nezávislé nie sú.

Ak sú X a Y nezávislé, mnohé situácie sa nám zjednodušia.

7.3 Veta. Nech X, Y sú nezávislé náhodné veličiny na (Ω,S, P ) so strednýmihodnotami E(X), E(Y ). Potom náhodná veličina XY má strednú hodnotu

E(XY ) = E(X)E(Y )

7.4 Veta. Nech X, Y sú náhodné veličiny na (Ω,S, P ) so strednými hodnotamiE(X), E(Y ) a disperziami D(X), D(Y ). Potom

D(X + Y ) = D(X) + D(Y ) + 2E((X − EX)(Y − EY ))

Ak sú X a Y nezávislé, tak

D(X + Y ) = D(X) + D(Y )

Ukážeme si aplikáciu źıskaných výsledkov.

7.5 Pŕıklad. Náhodné veličiny X1, . . . , Xn sú nezávislé a všetky majú alternat́ıvnerozdelenie s parametrom p. Nájdite rozdelenie náhodnej veličiny Z = X1 + . . . Xn,jej strednú hodnotu a disperziu.Náhodná veličina Z bude nadobúdať hodnoty k = 0, 1, . . . n s pravdepodobnosťamiP (Z = k) =

∑ni=0

(ni

)pi(1 − p)n−i, to znamená, že Z má binomické rozdelenie s

parametrami n a p. Strednú hodnotu ľahko spoč́ıtame využit́ım Vety 6.6

E(Z) = E(X1 + . . . Xn) = E(X1) + . . . E(Xn) = np

Podobne disperziu binomického rozdelenia ľahko spoč́ıtame využit́ım Vety 7.4 aPŕıkladu 6.9

D(Z) = D(X1 + . . . Xn) = D(X1) + . . . D(Xn) = np(1− p)

16 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK

V predošlom pŕıklade sme našli rozdelenie súčtu náhodných velič́ın zo znalostirozdeleńı jednotlivých sč́ıtancov. Toto môžeme sformulovať aj vovšeobecnosti.

7.6 Veta. Nech X, Y sú nezávislé diskrétne náhodné veličiny na (Ω,S, P ) s rozde-leniami P (X = i) = pi, i = 0, 1, 2, . . . , P (Y = j) = qj , j = 0, 1, 2, . . . . OznačmeZ = X + Y . Potom

P (Z = k) =k∑

i=0

piqk−i

pre k = 0, 1, 2, . . . .

7.7 Úloha. X a Y sú nezávislé náhodné velič́ınveličiny s Poissonovým rozdeleńıms parametrom λ . Nájdite rozdelenie ich súčtu.

Ak sú náhodné veličiny X a Y závislé , niekedy je rozumné poč́ıtať nasledujúcuveličinu, ktorá sa už nepriamo vyskytla vo Vete 8.4.

7.8 Defińıcia. Nech X a Y sú náhodné veličiny so strednými hodnotami a dis-perziami. Potom stredná hodnota E((X − EX)(Y − EY )) existuje a budeme junazývať kovarianciou X a Y (ozn. cov(X,Y )).

7.9 Veta. Nech X a Y sú náhodné veličiny s kovarianciou cov(X,Y ) , kdea, b, c, d ∈ R , ac > 0. Potom

(1) cov(X, X) = D(X)(2) cov(X, Y ) = cov(Y, X)(3) cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y )(4) cov(aX + b, cY + d) = accov(X, Y )

7.10 Dôsledok. Ak X a Y sú nezávislé, tak cov(X, Y ) = 0

Kovariancia sa dá použǐt na vytvorenie miery lineárnej nezávislosti náhodnýchvelič́ın. Aby sme ich mohli porovnávať, muśıme ich znormovať.

7.11 Lema. Nech X má strednú hodnotu E(X) a disperziu D(X). Označme Y =X−EX√

D(X). Potom E(Y ) = 0 a D(Y ) = 1

7.12 Poznámka. Náhodnej veličiny s nulovou strednou hodnotou a jednotkovoudisperziou budeme hovorǐt normovaná.

Koeficient korelácie budeme definovať ako kovarianciu normovaných náhodnýchvelič́ın.

7.13 Defińıcia. Nech X a Y sú náhodné veličiny so strednými hodnotamiE(X), E(Y ) a nenulovými disperziami D(X), D(Y ). Koeficient korelácie medziX a Y je č́ıslo

ρX,Y = cov(X − EX√

D(X),Y − EY√

D(Y ))

7.14 Veta. Nech ρX,Y je koeficient korelácie náhodných velič́ın X a Y . Potom(1) −1 ≤ ρX,Y ≤ 1(2) |ρX,Y | = 1 práve vtedy, keď Y = aX + b, a 6= 0 s pravdepodobnosťou 1(3) ρaX+b,cY +d = sign(ac)ρX,Y pre a, b, c, d ∈ R, ac 6= 0(4) Ak X,Y sú nezávislé, tak ρX,Y = 0

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 17

7.15 Úloha. Vypoč́ıtajte koeficient korelácie X a Y z pŕıkladu 7.2 .

7.16 Pŕıklad. Nájdite pŕıklad náhodných velič́ın X, Y , ktoré nadobúdajú tri hod-noty, sú nekorelované, ale nie nezávislé.

9.prednáška

Rozdelenie ľubovǒlnej náhodnej veličiny vieme určovať pomocou jejdistribučnej funkcie. Bližšie budeme pracovať s takými náhodnými premennými,ktorých rozdelenie alebo distribučná funkcia sa dajú vyjadrǐt pomocou tzv. hustoty.

9.1 Defińıcia. Náhodná veličina je spojitá, ak existuje nezáporná integrovatělnáfunkcia f tak, že pre každé x ∈ R plat́ı

F (x) =∫ x−∞

f(t)dt

Funkcia f sa nazýva hustota.

9.2 Poznámka. Hustota nie je daná jednoznačne, ak ju zmeńıme na konečnej alebospočitatělnej množine , zrejme dostaneme inú hustotu toho istého rozdelenia. Tak-isto je dobré si uvedomǐt, že sú náhodné veličiny, ktoré nie sú ani diskrétne, anispojité (nájdite pŕıklad).

9.3 Úloha. Ukážte, že pre ľubovǒlnú nezápornú integrovatělnú funkciu f : R → Rtakú, že

∫∞−∞ f(t)dt = 1 existuje náhodná veličina tak, že pre jej distribučnú funkciu

plat́ı

F (x) =∫ x−∞

f(t)dt

9.4 Veta. Nech X je náhodná veličina s hustotou f . Potom

(1)∫∞−∞ f(t)dt = 1

(2) F je spojitá funkcia(3) P (a ≤ X < b) = ∫ b

af(t)dt

(4) P (X = a) = 0 pre každé a ∈ R

9.5 Pŕıklad. Náhodná veličina má rovnomerné rozdelenie v intervale (a, b), ak máhustotu

f(t) =

0, pre t < a1

b−a , pre b ≤ t ≤ a,0 pre t > b

Nájdite jej distribučnú funkciu.

9.6 Pŕıklad. Nájdite distribučnú funkciu náhodnej veličiny s hustotou

f(t) =

0, pre t < −1x + 1, pre −1 ≤ t ≤ 0,1− x pre 0 ≤ t ≤ 1,0 pre t > 1

18 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK

V ďaľsom budeme ȟladať vhodný pravdepodobnostný model pre nasledujúcusituáciu. Sledujeme výskyt udalost́ı v čase (napŕıklad pŕıchod SMS na náš mo-bil), pričom výskyty v neprekrývajúcich sa časových intervaloch sú nezávislé. Akoznač́ıme Q(t) pravdepodobnosť, že sledovaná udalosť sa nevyskytne počas inter-valu d́lžky t, tak pre dva nadvazujúce intervaly d́lžok t1 a t2 predpoklad nezávislostidáva

Q(t1 + t2) = Q(t1)Q(t2)

Pre danú situáciu je prirodzené ȟladať funkciu Q, aby bola klesajúca, diferencov-atělná, kladná pre t ≥ 0 a Q(0) = 1. Potom pre t > 0, h > 0 dostaneme

limh→0+

lnQ(t + h)− lnQ(t)h

= limh→0+

lnQ(h)h

čo je hodnota derivácie funkcie Q v bode 0. Označme ju −λ, kde zrejme λ > 0.Potom pre Q dostávame diferenciálnu rovnicu

d

dtlnQ(t) = −λ

ktorej riešeńım splňujúcim Q(0) = 0 je Q(t) = e−λ(t) . Ak nás zauj́ıma náhodnáveličina X -doba prvého výskytu udalosti, tak pre jej distribučnú funkciu plat́ı

F (t) = 1−Q(t) ={

1− e−λt, for t > 00, for t ≤ 0

teda jej hustota bude

f(t) ={

λe−λt, pret > 00, pre t ≤ 0

9.7 Defińıcia. Náhodná veličina má exponenciálne rozdelenie s parametrom λ, akmá hustotu f(t) = 0 pre t ≤ 0, f(t) = λe−λt pre t > 0.9.8 Úloha. Overte, že predošlá defińıcia je korektná.

Podobne ako v pŕıpade diskrétnej náhodnej veličiny pokúsime sa charakterizovaťspojitú náhodnú premennú jediným č́ıslom.

9.9 Defińıcia. Nech X je spojitá náhodná veličina s hustotou f . Ak integrál∫∞−∞ tf(t)dt absolútne konverguje, túto hodnotu budeme nazývať strednou hod-

notou náhodnej veličiny X. V opačnom pŕıpade hovoŕıme, že X nemá strednúhodnotu.

9.10 Pŕıklad. Nájdite strednú hodnotu rovnomerného rozdelenia.(E(X) = a+b2 )

9.11 Pŕıklad. Nájdite strednú hodnotu exponenciálneho rozdelenia. (E(X) = 1λ )

Ďaľsou dôležitou charakteristikou náhodnej veličiny je jej disperzia. Aby smeju mohli poč́ıtať, potrebujeme vedieť nájsť rozdelenie transformovanej náhodnejveličiny.

9.12 Pŕıklad. Nech X je náhodná veličina s rovnomerným rozdeleńım v intervale(1, 2) a Y = 1X . Nájdite hustotu Y a E(Y ).

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 19

Postup z predošlého pŕıkladu možno za istých predpokladov zovšeobecnǐt.

9.13 Veta. Nech X je spojitá náhodná veličina s hustotou f a g jerýdzomonotónna funkcia, ktorá má všade nenulovú deriváciu. Potom náhodnáveličina Y = g(X) má hustotu

h(y) = f(g−1)(y))|dg−1(y)dy

|

kde g−1 je inverzná funkcia ku g.

Na poč́ıtanie strednej hodnoty spojitej náhodnej veličiny možno použǐt analógiuVety 6.5 v spojitom pŕıpade , ktorá bude dokázaná neskôr.

9.14 Veta. Ak X je spojitá náhodná veličina s hustotou f , g : R → R borelovská,tak

E(g(X)) =∫ ∞−∞

g(t)f(t)dt

ak g(X) má strednú hodnotu.

9.15 Úloha. Overte, že E(Y ) z Pŕıkladu 9.12 vyjde rovnako použit́ım tejto vety.

Defińıcia disperzie z 6.9 je všeobecná takisto aj vety 6.6, 6.8, 6.10, 7.3 a 7.4(vlastnosti strednej hodnoty a disperzie) platia v nezmenenej forme aj v spojitompŕıpade. Použit́ım týchto tvrdeńı a Vety 9.14 dostaneme pre disperziu spojitejnáhodnej veličiny s hustotou f nasledujúce možné vyjadrenia

D(X) =∫ ∞−∞

(x− E(X))2f(x)dx =∫ ∞−∞

(x−∫ ∞−∞

xf(x)dx)2f(x)dx

alebo nasledujúci výpočtovo výhodneǰśı vzorec

D(X) =∫ ∞−∞

x2f(x)dx− (∫ ∞−∞

xf(x)dx)2

9.16 Pŕıklad. Vypoč́ıtajte disperziu rovnomerného rozdelenia v intervale (a, b)(D(X) = (b−a)

2

12 ).

9.17 Pŕıklad. Vypoč́ıtajte disperziu exponenciálneho rozdelenia s parametrom λ(D(X) = 1λ2 ).

20 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK

10.prednáška

Nový a najdôležiteǰśı typ spojitého rozdelenia sa dá dostať pomocou známeho bi-nomického rozdelenia z nasledujúcej vety, ktorej dôkaz vyplynie neskôr zovšeobecneǰśıch tvrdeńı.

10.1 Veta(Moivreova Laplaceova). Nech Xn sú náhodné veličiny s rozdeleńımbin(n,p), x ∈ R. Potom

limn→∞P (Xn − np√np(1− p) < x) =

∫ x−∞

1√2π

e−t22 dt

Funkciaf(t) =

1√2π

e−t22

je hustotou rozdelenia pravdepodobnosti a pŕıslušné rozdelenie budeme volať nor-mované normálne rozdelenie a značǐt N(0,1). Distribučnú funkciu

Φ(x) =∫ x−∞

1√2π

e−t22 dt

nemožno vyjadrǐt pomocou elementárnych funkcíı , preto pri práci s ňou budemepouž́ıvať tabǔlky. Rozdelenie, ktoré bude mať ľubovǒlná lineárna funkcia náhodnejveličiny s N(0,1) budeme volať normálne. Zo symetrie hustoty vidno, že E(X) = 0,Φ(−x) = 1− Φ(x)10.2 Pŕıklad. Nájdeme hustotu náhodnej veličiny Y = aX + b, a > 0, kde X ∼N(0, 1). Zrejme

FY (y) = P (Y < y) = P (aX + b < y) = P (X <y − b

a) = Φ(

y − ba

)

Hľadaná hustota teda bude

f(y) =1√

2πa2e−

(y−b)22a2

10.3 Defińıcia. Náhodná veličina má normálne rozdelenie s parametrami µ a σ2,ak má hustotu

f(y) =1√

2πσ2e−

(y−µ)22σ2

10.4 Pŕıklad. Vypoč́ıtajte strednú hodnotu a disperziu náhodnej veličinys rozdeleńım N(0, 1) (E(X) = 0, D(X) = 1).

10.5 Pŕıklad. Využite známe vlastnosti strednej hodnoty a disperzie, výsledokpredǒlého pŕıkladu a nájdite strednú hodnotu a disperziu náhodnej veličiny s rozde-leńım N(µ, σ2) (E(X) = µ, D(X) = σ2).

PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK 21

10.6 Veta. Ak X ∼ N(µ, σ2), tak Y = X−µσ ∼ N(0, 1)10.7 Dôsledok. Ak X ∼ N(µ, σ2), tak pre ľubovoľné a, b ∈ R

P (a < X < b) = Φ(b− µ

σ)− Φ(a− µ

σ)

10.8 Pŕıklad. Náhodná veličina X má N(1,4). Nájdite pravdepodobnosťP (0.5 < X < 2). Použite tabelované hodnoty distribučnej funkcie N(0,1).

Význam normálneho rozdelenia sa dá vidieť z tzv. centrálnych limitných viet,ktoré hovoria, že za istých podmienok postupnosti súčtov náhodných velič́ın kon-vergujú k normálnemu rozdeleniu. Jednou z takýchto viet je aj Veta 10.1. Sformu-lujeme bez dôkazu ešte jednu všeobecneǰsiu limitnú vetu.Bude hovorǐt o rozdeleńıpostupnosti súčtov nezávislých náhodných velič́ın.

Nezávislosť v spojitom pŕıpade definujeme zdanlivo trochu odlǐsne, pretožedefińıcia nezávislosti ako sme ju mali pre diskrétne náhodné veličiny je v tomtopŕıpade nevhodná (prečo?)

10.9 Defińıcia. Náhodné veličiny X a Y sú nezávislé, ak pre ľubovǒlné x, y ∈ R :P (X < x ∧ Y < y) = P (X < x)P (Y < y)10.10 Poznámka. Dá sa ukázať, že v pŕıpade diskrétnych náhodných velič́ın je tátodefińıcia ekvivalentná s defińıciou 7.1 .

10.11 Defińıcia. Náhodné veličiny X1, X2, . . . sú nezávislé, ak pre každéx1, x2, · · · ∈ R sú nezávislé udalosti (X1 < x1), (X2 < x2), . . . .10.12 Veta. Nech Xi je postupnosť nezávislých rovnako rozdelených náhodnýchvelič́ın so strednou hodnotou A a disperziou D. Potom

P (∑n

i=1 Xi − nA√nD

< x) =∫ x−∞

1√2π

e−t22 dt

10.13 Pŕıklad. Použit́ım Vety 10.12 dokážte Vetu 10.1.

10.14 Pŕıklad. Za istého kandidáta hlasuje vo vǒlbách 100p percent voličov.Kǒlko volebných ĺıstkov treba vyhodnotǐt, aby sa relat́ıvna početnosť hlasujúcichza tohto kandidáta ĺı̌sila od p o menej ako 0.04 s pravdepodobnosťou 0.99?

Pri riešeńı predošlého pŕıkladu sme potrebovali nájsť v tabǔlkách distribučnejfunkcie N(0, 1) takú hodnotu, ktorú náhodná veličinanná s týmto rozdeleńımprekroč́ı s pravdepodobnosťou α ∈ (0, 1).10.15 Defińıcia. Nech X je náhodná veličina s distribučnou funkciou F .Funkciu F−1 definovanú predpisom

F−1(u) = inf{x ∈ R : F (x) ≥ u} pre u ∈ (0, 1)

budeme nazývať kvantilová funkcia náhodnej veličiny F a hodnota F−1(α) preα ∈ (0, 1) je α kvantil (ozn. u(α)).

22 PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 1-MAT-180 FMFI UK

Tieto kvantily sú tabelované v štatistických tabǔlkách pre rôzne typy rozdeleńı.V pŕıpade spojitého rozdelenia je kvantilová funkcia totožná s obyčajnou inverznoufunkciou k distribučnej funkciiF .

10.16 Pŕıklad. Nájdite kvantilovú funkciu k distribučnej funkcii exponenciálnehorozdelenia.

Okrem kvantilov sa často použ́ıvajú tzv. kritické hodnoty.

10.17 Defińıcia. Ak z(α) je také č́ıslo, že

P (Z > z(α)) = α

tak z(α) budeme nazývať kritickou hodnotou náhodnej veličiny Z na hladine α.

Zrejme ak náhodná veličina má spojité rozdelenie, tak

z(α) = Φ−1(1− α)

Kritické hodnoty jednotlivých rozdeleńı bývajú tiež tabelované.