kALKULUS_2_-_MATRIK

MATRIK

19/04/2023 Kalkulus 2 2

Pengertian

• Matrik adalah himpunan skalar yang disusun

secara empat persegi panjang (menurut baris

dan kolom)

• Skalar – skalar itu disebut elemen matrik.

• Untuk batasnya biasanya digunakan: ( ), [ ],

|| ||

19/04/2023 Kalkulus 2 3

Notasi

• Matrik diberi nama dengan huruf besar. Secara lengkap ditulis matrik artinya suatu matrik A yang elemen – elemennya adalah aij dimana index i menunjukkan baris ke-i dan indeks ke–j menunjukkan kolom ke–j .

• Sehingga bila matrik disusun secara ,

• mxn disebut ordo (ukuran) dari matrik A.

19/04/2023 Kalkulus 2 4

Operasi Matrik

Penjumlahan

• Syarat : ukuran matrik harus sama.

• Jika A = () dan B = (), matrik berukuran sama,

maka

A + B adalah suatu matrik C = () dimana

untuk setiap i dan j +

19/04/2023 Kalkulus 2 5

Perkalian skalar terhadap matrik

• Kalau suatu skalar (bilangan) dan A = (), maka matrik A = dengan kata lain, matrik A diperoleh dengan mengalikan semua elemen matrik A dengan .

•

19/04/2023 Kalkulus 2 6

Hukum pada penjumlahan dan perkalian scalar :

Jika A, B, C adalah matrik berukuran sama, dan adalah skalar maka :

1. A + B = B + A (komutatif)

2. (A + B) + C = A + (B+C)(asosiatif)

3. (A + B) = A + B (distributif)4. Selalu ada matrik D sedemikian hingga A + D =

B

19/04/2023 Kalkulus 2 7

Sifat-sifat Matriks

JIKA A, B, C adalah Matriks; k,l adalah skalar1. A+B = B+A2. A-B = A+(-B)3. A+(B+C) = (A+B)+C4. (k+l)A = kA + La5. k(A + B) = kA + kB6. AB ≠ BA7. A(B+C) = AB + AC8. Jika AB = AC belum tentu B = C9. Jika AB = 0 maka A= 0 dan B = 0 atau

A= 0 dan B ≠ 0 atau A ≠ 0 dan B = 0 atau

A ≠ 0 dan B ≠ 0

19/04/2023 Kalkulus 2 8

Perkalian matrik

• Pada umumnya matrik tidak komutatif terhadap operasi perkalian : AB BA.

• Pada perkalian matrik AB, matrik A disebut matrik pertama dan B matrik kedua.

• Syarat :

Jumlah kolom matrik pertama = jumlah baris matrik kedua

19/04/2023 Kalkulus 2 9

Definisi

• Pandang A = () berukuran (p x q) dan B = () berukuran (q x r).

• Maka perkalian AB adalah suatu matrik C = () berukuran (p x r) dimana :

• untuk setiap i = 1,2,…,p dan j = 1,2,.. r

19/04/2023 Kalkulus 2 10

Contoh

dan

Maka C = A x B

19/04/2023 Kalkulus 2 11

Hukum pada perkalian matrik

1. A(B + C) = AB + AC, dan 2. (B + C) A = BA + CA, memenuhi hukum

distributif3. A(BC) = (AB)C , memenuhi hukum

asosiatif4. Perkalian tidak komutatif, AB BA5. Jika AB = 0 (matrik 0 ) , yaitu matrik yang

semua elemennya adalah = 0, kemungkinannya adalah :

(i). A = 0 dan B = 0 (ii) A = 0 atau B = 0

(iii) A 0 dan B 06. Bila AB = AC belum tentu B = C

19/04/2023 Kalkulus 2 12

Beberapa matriks khusus

1. Matriks Diagonal.adalah matriks bujur sangkar yang semua elemennya sama dengan nol, kecuali elemen pada diagonal utamanya.

Contoh :

200

030

001

19/04/2023 Kalkulus 2 13

BEBERAPA MATRIKS KHUSUS

19/04/2023 Kalkulus 2 14

Matriks Diagonal.

adalah matriks bujur sangkar yang semua elemennya sama dengan nol, kecuali elemen pada diagonal utamanya.

Contoh :

200

030

001

19/04/2023 Kalkulus 2 15

Matriks Identitas

Matriks identitas, dilambangkan dengan I, adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal = 1

Contoh :

19/04/2023 Kalkulus 2 16

Matriks segitiga atas / bawah

• Contoh matriks segitiga atas:

• Contoh matriks segitiga bawah :

500

430

141

412

046

002

19/04/2023 Kalkulus 2 17

Matriks simetri

• A adalah matriks simetri jika AT = A.

• Contoh :

6242

2306

4075

2651

19/04/2023 Kalkulus 2 18

Matriks 0 / 1 (zero-one)

• Matriks 0 / 1 adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1.

• Contoh :

100

011

110

19/04/2023 Kalkulus 2 19

Transpose dari suatu matrik

• Pandang suatu matrik A = () berukuran (m x n)

maka transpose dari A adalah matrik berukuran

(n x m) yang didapatkan dari A dengan

menuliskan baris ke – i dari A, i = 1,2,…,m

sebagai kolom ke –i dari AT.

• Dengan kata lain : AT = () ( baris jadi kolom,

kolom jadi baris )

19/04/2023 Kalkulus 2 20

Contoh

• maka

19/04/2023 Kalkulus 2 21

Sifat – sifat matrik transpose