8/22/2019 KALKULUS TPB
1/183
B U N D E L S O A L T P BU N D E L S O A L T P BBUNDEL SOAL TPB
S O A L - S O A L T P B 2 0 0 2 - 2 0 0 9O A L - S O A L T P B 2 0 0 2 - 2 0 0 9SOAL-SOAL TPB 2002-2009
SEMERU COLLECTION
UCALC
LUSUCAL
C LUS
8/22/2019 KALKULUS TPB
2/183
DAFTAR ISI
UJIAN TENGAH SEMESTER 1 KALKULUS 1 ......................................................................... - 5 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2003/2004 .............................................................................. - 6 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2003/2004 ................................................................... - 7 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2004/2005 ............................................................................ - 10 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2004/2005 ................................................................. - 11 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2005/2006 ............................................................................ - 13 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2005/2006 ................................................................. - 14 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2006/2007 ............................................................................ - 17 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2006/2007 ................................................................. - 18 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2007/2008 ............................................................................ - 21 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2007/2008 ................................................................. - 22 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2008/2009 ............................................................................ - 25 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2008/2009 ................................................................. - 26 -
UJIAN TENGAH SEMESTER 2 KALKULUS 1 ....................................................................... - 29 -
Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2002/2003 ............................................................................ - 30 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2002/2003 ................................................................. - 31 -
Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2004/2005 ............................................................................ - 34 -
Solusi Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2004/2005 ................................................................. - 35 -
Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2005/2006 ............................................................................ - 40 -
Solusi Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2005/2006 ................................................................. - 41 -
Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2006/2007 ............................................................................ - 45 -
Solusi Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2006/2007 ................................................................. - 46 -
Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2007/2008 ............................................................................ - 49 -
Solusi Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2007/2008 ................................................................. - 50 -
Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2008/2009 ............................................................................ - 53 -
Solusi Ujian Tengah Semester 2 Tahun 2008/2009 ................................................................. - 54 -
UJIAN AKHIR SEMESTER KALKULUS 1 .............................................................................. - 58 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2003/2004 .................................................................................. - 59 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2003/2004 ....................................................................... - 60 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2004/2005 .................................................................................. - 64 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2004/2005 ....................................................................... - 65 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2005/2006 .................................................................................. - 70 -
8/22/2019 KALKULUS TPB
3/183
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2005/2006 ....................................................................... - 71 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2006/2007 .................................................................................. - 75 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2006/2007 ....................................................................... - 76 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2007/2008 .................................................................................. - 79 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2007/2008 ....................................................................... - 81 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2008/2009 .................................................................................. - 85 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2008/2009 ....................................................................... - 86 -
UJIAN TENGAH SEMESTER 1 KALKULUS 2 ....................................................................... - 89 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2003/2004 ............................................................................ - 90 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2004/2005 ............................................................................ - 94 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2004/2005 ................................................................. - 95 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2005/2006 ............................................................................ - 97 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2006/2007 .......................................................................... - 102 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2006/2007 ............................................................... - 103 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2007/2008 .......................................................................... - 107 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2007/2008 ............................................................... - 108 -
Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2008/2009 .......................................................................... - 112 -
Solusi Ujian Tengah Semester 1 Tahun 2008/2009 ............................................................... - 113 -
Ujian Tengah Semester 2 KALKULUS 2 .................................................................................. - 116 -
Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2004/2005 ........................................................ - 117 -
Solusi Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2004/2005 ............................................. - 118 -
Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2005/2006 ........................................................ - 125 -
Solusi Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2005/2006 ............................................. - 126 -
Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2006/2007 ........................................................ - 125 -
Solusi Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2006/2007 ............................................. - 132 -
Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2007/2008 ........................................................ - 136 -
Solusi Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2007/2008 ............................................. - 137 -
Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2008/2009 ........................................................ - 141 -
Solusi Ujian Tengah Semester 2 Kalkulus 2 Tahun 2008/2009 ............................................. - 142 -
UJIAN AKHIR SEMESTER KALKULUS 2 ............................................................................ - 144 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2003/2004 ................................................................................ - 145 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2003/2004 ..................................................................... - 146 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2004/2005 ................................................................................ - 150 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2004/2005 ..................................................................... - 151 -
8/22/2019 KALKULUS TPB
4/183
Ujian Akhir Semester Tahun 2005/2006 ................................................................................ - 159 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2005/2006 ..................................................................... - 160 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2006/2007 ................................................................................ - 166 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2006/2007 ..................................................................... - 167 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2007/2008 ................................................................................ - 172 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2007/2008 ..................................................................... - 173 -
Ujian Akhir Semester Tahun 2008/2009 ................................................................................ - 178 -
Solusi Ujian Akhir Semester Tahun 2008/2009 ..................................................................... - 178 -
8/22/2019 KALKULUS TPB
5/183
UJIAN TENGAH SEMESTER 1
KALKULUS 1
8/22/2019 KALKULUS TPB
6/183
Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2003/2004
1. Tentukan semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan: ||2. Hitung 3. Tentukan persamaan garis singgung dari kurva 7pada titik1,24. Diberikan persamaan 1 dan . Tentukan :
a. Daerah asalb. 5. Diketahui sebuah bangun bujursangkar yang titik sudutnya berada pada lingkaran
dengan jari-jari r. Jika jari-jari lingkaran bertambah dengan laju 2 cm/detik, tentukan
laju pertambahan luas bujur sangkar pada saat jari-jari lingkaran
5cm.
8/22/2019 KALKULUS TPB
7/183
Solusi Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2003/2004
1. Untuk menyelesaikan persamaan perlu Anda ketahui definisi tanda mutlak yaitu:| | , , Syaratnya adalah 1. Lalu dengan definisi harga mutlak seperti di atas diperoleh| 1| 1 , 1 1, 1Maka pertidaksamaan tersebut dibagi menjadi 2 daerah yaitu:
i. Untuk daerah 1 maka pertidaksamaan dan penyelesaiannya menjadi: 2
1
21 01 21 0 21 0 2 1 0 2 1 1 0Penyelesaiannya adalah:
1, 1 2, , tetapi diminta untuk daerah
1
maka penyelesaiannya adalah 1,1-1 1 2ii. Untuk daerah 1 maka pertidaksamaan dan penyelesaiannya menjadi: 2 1 2 1 0 1 2 1 0
2 1 0Karena 2 definit positif maka penyelesaiannya adalah1, . Makahimpunan penyelesaian dari || adalah 1,1 1, .
2. Dengan teorema apit yaitu andaikan f, g dan h adalah fungsi yang memenuhi untuk semua x yang dekat dengan c, kecuali di c, jika lim lim maka lim .Diketahui bahwa nilai 1 sin 1, untuk , maka berlaku juga untuk
1 sin
1, untuk
0. Lalu kalikan pertidaksamaan ini dengan maka
diperoleh sin . Maka untuk menghitung lim sin pilih
8/22/2019 KALKULUS TPB
8/183
dan yang memenuhi . Karenalim lim 0dan lim lim 0, maka berdasarkanteorema apit lim sin 0.
3. Untuk menentukan persamaan garis singgung titik1,2
maka tentukan terlebih dahulu
gradien (diperoleh dari turunan pertama terhadap x) garis singgung pada titik 1,2.Diketahui kurva 7 maka akan dicari turunan pertama dari kurvatersebut titik1,2, dengan menggunakan diferensial implisit diperoleh:2 2 0
2 2 Gradien titik1,2
, 45
Maka persamaan garis singgungnya adalah , , 1,2Sehingga persamaan garis singgungnya adalah: 2 45 1
4. Diketahui 1dan , maka:a. 1 memiliki daerah asal 1, dan daerah hasil 0, .
sedangkan memiliki daerah asal dan daerah hasil 0, .Untuk menentukan daerah asal lihat terlebih dahulu gambar di bawah ini:
Maka daerah asalah untuk adalah yaitu 0, 1, =1, b. Karena
1, , maka fungsi adalah
15. Diketahui 2 / . Berapa pertambahan luas bujur sangkar?
8/22/2019 KALKULUS TPB
9/183
MisalL adalah luas bujur sangkar, lihat gambar
Hubungan antara bujur sangkar dengan lingkaran yaitu: 2 4,sehingga 2 4 atau dapar ditulis 2. Sehingga laju pertumbuhan luasbujur sangkar saat 5adalah
4 4 2 8 8 5 40 /
r
s
s
8/22/2019 KALKULUS TPB
10/183
Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2004/2005
1. Tentukan daerah penyelesaian dari 2. Perhatikan gambar berikut ini (gambar)
a. Tentukan semua titik di manaf tidak kontinub. Tentukan semua titik di manaf tidak terdifferensialkanc. Tentukan semua titik di manaf kontinud. Tentukan semua titik di manaf terdifferensialkan
3. Tentukan persamaan garis singgung dari kurva di titik1, 4. a. Hitung
lim
tanpa menggunakan teorema LHopital
b. Diketahui segiempat Q dengan titik-titik sudut , 0, , 0, 0,1 0,1.Jika diberikan suatu segiempat lain: R dengan titik-titik sudutnya terletak padatitik tengah sisi-sisi segiempat Q, hitunglah lim
5. Sebuah lintasan lari yang panjangnya 1 km terdiri dari dua sisi yang sejajar yangdihubungkan dengan dua buh setengah lingkaran pada ujung-ujungnya. Cari luas
daerah fungsi yang dibatasi oleh lintasan lari tersebut sebagai fungsi dari diameter
tersebut tentukan pula domainnya.
4
3
2
1
01 2 3 4 5
x
F(x)
8/22/2019 KALKULUS TPB
11/183
Solusi Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2004/2005
1. Daerah penyelesaiannya adalah dengan syarat 23 2 3 2 03 2 2 03 2
2 0
2 3 2 0 3 1 2 0-1 2 3
Jadi himpunan penyelesaian adalah 1, 2 3, .
2. Jawab:a. Dari gambar dapat diketahui bahwa 2 2, sedangkan
lim lim 3, jadi karena
lim 2maka
disimpulkan bahwaftidak kontinu di 2. Lalu 4 2, kita lihat juga bahwalim 1 sedangkan lim 2. Karena lim lim 4 maka tidak kontinu di 4. Oleh karena itu tidak kontinu di 2dan 4.
b. Karena tidak kontinu di 2dan 4, maka f tidak terdiferensialkan dititik 2 dan 4. Lalu tidak terdiferensialkan di 1 karenamembentuk sudut yang tajam, jadi tidak tunggal garis singgungnya di titik 1.
c. Fungsi kontinu jika lim terpenuhi di titik-titik pada selang0,1 1,2 2,4 4, 5. Pada titik batas 0cukup kontinu kanan danpada
5cukup kontinu kiri.
d.
Fungsi terdiferensialkan jika turunan kiri sama dengan turunan kanan, danterpenuhi di titik-titik pada selang0, 1 1,2 2,4 4, 5.3. Persamaan garis singgung kurva di titik , adalah .Dimana . Kita cari turunan dari dengan aturan mencari turunanfungsi yaitu diperoleh Nilai di titik , 1, adalah 1 . Maka gradient garissinggung di titik
1,
adalah
, maka persaman garis singgungnya adalah
1 .
8/22/2019 KALKULUS TPB
12/183
4. a. lim lim lim lim 0b. Lihat gambar berikut
Panjang 1Panjang 1Dari gambar dapat dilihat perbandingan
1 1dan 1 Dari hasil in diperoleh keliling segiempat Q yaitu segiempat yaitu
4 1
dan keliling R yang merupakan segiempat yaitu 2 2 ,sehinggalim lim . 5. Lihat gambar berikut
Maka panjang lintasan 1Andaikan lingkaran berjari-jari d maka panjang dua
setengah lingkaran adalah adalah 2 . Lalu panjang lintasan adalah .Sehingga luas daerah di dalam (dibatasi) lintasan lari
tersebut adalah 2 Untuk domainnya, kita lihat bahwa:
a. Agar terbentuk lintasan berupa lingakaran(setengah lingkaran) maka diameter harus lebih besar
dari nol atau 0b. Panjang lintasan yang bukan setengah lingkaran atau lintasan KL danMNharus leih
besar dari nol, yaitu 0, sehingga diperoleh
c. Luas daerah harus lebih besar dari nol yaitu
0, sehingga
diperoleh 0 .Dari ketiga syarat diatas diperoleh domain fungsinya yaitu: 0 0 0 .
K N
L M
d
d
8/22/2019 KALKULUS TPB
13/183
Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2005/2006
1. Tentukan nilaix yang memenuhi kesamaan | 3| 3.2. Periksa apakah lim || ada.3. Diberikan fungsi . Tentukan semua nilaix sehingga 2.4. Sepeda motor A dan B melaju menuju persimpangan I yang tegak lurus (lihat
gambar), A menuju dari arah barat dengan kecepatan 25, sedangkan B menuju dari
arah selatan dengan kecepatan 22,5. Jika merupakan sudut antara IAB, berapa
besar perubahan pada saat berjarak 0,4 dan 0,3 dari persimpangan I (jangan lupa
gambar)
5. Persamaan 2 8menyatakan fungsi secara implicita. Tentukan persamaan garis singgung kurva yang melalui titik1,3b. Misalkan , merupakan titik yang terletak pada kurva. Taksir nilai b di
sekitar 3 dan jika 1,1
utara
IA
B
x
y
8/22/2019 KALKULUS TPB
14/183
Solusi Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2005/2006
1. Dari definisi harga mutlak diketahui bahwa | 3| 3, 3 3, 3 makai. Untuk daerah 3, 3 32 6 3
Karena persamaan di atas berlaku untuk daerah 3 maka tidak ada nilai xyang memenuhi persamaan di atas.
ii. Untuk daerah 3, 3 3
Maka persamaan ini akan terpenuhi untuk semuax pada daerah 3Jadi nilaix yang memenuhi | 3| 3adalah selang 3, 2. Syarat agar lim || ada adalahlim | 2| 3 2 lim | 2| 3 2
Diketahui dari definisi harga mutlak| 2| 2, 2 2, 2 maka
lim| 2|
3 2 lim 2 3 2 lim
2 1 2 lim
1 1 1
Dan
lim | 2| 3 2 lim 2 3 2 lim 2 1 2 lim 1 1 1Karena
lim | 2| 3 2 lim | 2| 3 2Maka lim || tidak ada
3. Diketahui
maka
tidak terdefinisi di
1, penyelesaiannya adalah
2 2 0 0 0 0t
-2 -1 0 1
8/22/2019 KALKULUS TPB
15/183
Lihat penyelesaiannya melalui grafik berikut
-1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
,1 ,
4. Perhatikan gambar di bawah ini, misalkan pengendara motor yang berjalan dari arahbarat, adalah sepanjang sumbu-x dan dari arah selatan adalah sepanjang sumbu-y.
Diketahu bahwa 25dan 22,5
Gambar tersebut menunjukkan bahwa t a n , lalu kedua ruas diturunkanmenghasilkan: tan tan
,,,,, 65. a. Persamaan garis singgung kurva di titik , adalah .Dimana . Maka gradient garis singgung di titik 1,3 daripersamaan 2 8dapat di lakukan dengan pendiferensialan secaraimplisit yaitu:
2 84 2 0
2 4
utara
x
A
I
y
B
8/22/2019 KALKULUS TPB
16/183
, gradient garis singgung di titik 1,3 adalah , . Maka persamaan garis singgungnya adalah 3 1 b. Aproksimasi dapat dilakukan dengan persamaan .Karena 1,1 1 0,1maka 0,1dengan 1 3dan 1 , makapenyelesaiannya adalah:
1,1 1 0,1 1 10,1 1,1 3 0,1 3 0,02 2,98
8/22/2019 KALKULUS TPB
17/183
Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2006/2007
1. (a) (Nilai 16) Cari himpunan terbesar dari : 1 1 2(b) (Nilai 16) Tunjukan bahwa himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan:
|| adalah semua bilangan real.2. (Nilai 16) Diketahui fungsi
6 3 3
3 3
(a)Hitung lim (b)Akan dibentuk fungsi g sehingga kecuali di 3. Berapakah 3
harus didefinisikan agar fungsi g kontinu di titik 3?3. (Nilai 16) Diberikan titik 0,0, 1,0, 0,2. Jika , adalah titik pada grafik 1, hitung
lim
4. (Nilai 16) Tentukan persamaan garis singgung pada kurva di titik1,1.5. (Nilai 16) Tentukan pesawat terbang ke arah barat dengan laju 500km/jam dan
melintasi tepat di atas menara kontrol pada pukul 12.00 tengah hari. Pesawat lainnya
terbang kea rah utara pada ketinggian yang sama dengan laju 600 km/jam melintasi
tepat di atas menar kontrol yang sama pada pukul 13.00. Seberapa cepat jarak antara
kedua pesawat tersebut berubah pada pukul 14.00?
8/22/2019 KALKULUS TPB
18/183
Solusi Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2006/2007
1. (a) Pertama penyelesaian untuk selang 1 11 11 1 0Maka himpunan penyelesaiannya adalah 0 0Lalu penyelesaian untuk selang 1 2 1 2 1 4 33 3
Maka himpunan penyelesaian untuk untuk pertidaksamaan 1 1 2adalah 0 0 3 3 3 3, 0(b) Dengan definisi harga mutlak diperoleh | | , 0 , 0Maka penyelesaian untuk
|| dibagi menjadi dua bagian yaitu:i. Untuk 0 maka || menjadi
0
0 0 karena 2 1 definit positif maka penyelesaian hanya
2 1 0 atau 2 1 0 1 0. Artinya untuk nilai 0 berlaku persamaan 1 0
ii. Untuk
0maka
||
menjadi
0 0 0 karena 2 1 definit positif maka penyelesaian hanya2 1 0 atau 2 1 0 1 0. Artinya untuk nilai 0 berlaku persamaan 1 0
8/22/2019 KALKULUS TPB
19/183
Oleh karena itu terbukti bahwa himpunan penyelesaian untuk|| adalah
bilangan real.
2. a.lim lim lim
Untuk limit dari kiri berlaku:lim lim lim 2 3 0Untuk limit dari kanan berlaku:lim sin 3 0Jadi lim 0
b. Agar fungsi g kontinu di 3maka melalui definisi kekontinuan yaitu:lim . Sehingga berlaku 3 lim
lim
sin
3 0. Maka 3 0.3. Lihat gambar berikut ini
Maka luas lim adalahlim lim lim lim 0
4. Persamaan garis singgung kurva di titik , adalah .Dimana . Maka gradient garis singgung di titik 1,1 dari persamaan dapat di lakukan dengan pendiferensialan secara implisit yaitu: 2 3 3
2 3
1 3
y
P(x,y
)B(0,2)
x
A(1,0)O(0,0)
8/22/2019 KALKULUS TPB
20/183
, gradient garis singgung di titik 1,1 adalah , .... . Maka persamaan garis singgungnya adalah 1 1 5. Misal menara control adalah titik asal 0,0 pesawat yang kea rah barat pesawat J danpesawat yang kea rah utara adalah pesawat K dan jarak antara keduanya adalah R.Dengan
500 dan 600
Dari gambar diperoleh hubungan . Kecepatan perubahan posisi keduapesawat adalah.
2 2 2
Pada pukul 14.00 jarak pesawat J dari menara control adalah 500 2 1000 , sedangkan pada pukul 14.00 jarak pesawat K dari menara control adalah 600 1 600 , maka kedua pesawat berubah secepat: ....
x
utara
menara
barat
y
K
R
J
8/22/2019 KALKULUS TPB
21/183
Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2007/2008
1. (a) Gambarkan grafik dari 2dan dalam saru sistem koordinat?(b) Carilah semua bilangan realx yang memenuhi 2
2. Hitunglah(a) lim (b) lim
3. Diketahui
dan
dengan demikian
1
(a)Tentukan fungsi g sehingga (b)Hitunglah 04. Diberikan dua fungsi yang dapat diturunkan dua kali, memenuhi 1dan 2, tentukan(a) (b)
5. Sebuah perusahaan penyewaan mobil mengenakan tarif sebesar Rp. 200 ribu per hariuntuk 200 km pertama. Untuk setiap kelebihan 100 km atau bagiannya dikenakan
tambahan Rp. 180 ribu. Sebagai contoh jika seseorangsejauh 388 km, maka orang
tersebut harus membayar Rp. 200 ribu + 2 x Rp. 180 ribu.Gambarkan grafik fungsi harga sewa mobil untuk satu hari sebagai fungsi dari jarak.
Apakah fungsi tersebut kontinu pada daerah definisinya? Jika tidak, tentukan titik-titik
dimana fungsi tersebut tidak kontinu.
6. Sebuah palung sepanjang 12 meter dengan penampang berbentuk segitiga samakakiterbalik mempunyai kedalaman 4 meter dan lebar 6 meter. Jika air mengalir ke dalam
palung dengan laju 9 /jam, berapa cepat permukaan air naik pada saat kedalaman air2 meter?
8/22/2019 KALKULUS TPB
22/183
Solusi Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2007/2008
1. (a) Gambar kurvanya:
(b) 2 2 0 2 0
1 2 0sehingga berlaku 1 2 karena 0, maka nilai yang memenuhi
adalah 0 2 menyebabkan 0 4.2. (a) lim lim 1 lim lim sin
Diketahui bahwa 1 sin 1, lalu kalikan pertidaksamaan ini dengan makadiperoleh sin . Karena lim lim 0, makalim sin 0 (Teorema Apit). Sehinggadiperolehlim sin 0 0 0.
1 2
-1
-2
8/22/2019 KALKULUS TPB
23/183
lim lim (dibagi pangkat tertinggi yaitu )sehingga
menjadi: lim lim 1 13. (a)
Diketahui maka 1(b) Diketahui bahwa 1 1 (karena 1)maka
0 0 1 1 4. Diketahui 1dan 2maka yang dapat ditulis dan yang memenuhi 2adalah sin .a. ? Untuk menjawabnya kita harus turunkan fungsi sin . sin cos ; sehingga
sin
cos
8
b. ? Untuk menjawabnya kita harus turunkan fungsi sin cos . sin cos sin sin . sin cos sin sin cos sin 32 2 2 2 2
5. Gambar berikut
8/22/2019 KALKULUS TPB
24/183
Tidak kontinu pada daerah definisinya, dan tidak kontinu pada titik 200 km, 300 km,
400 km.
6. Diketahui volume air mengalir lajunya 9 /jam dan panjang palung 12 meter,selanjutnya perhatikan gambar berikut:
Volume palungnya . . . Dengan kesebangunan segitiga diperoleh sehingga , jadi volumenya . . .12. . .Oleh karena ituvolume saat ini adalah fungsi dari tinggi, yaitu
. Lakukan diferensialterhadap waktu sehingga diperoleh 9 . Diketahui bahwa 9 /jam
Pertanyaan berapa cepat permukaan air naik pada
saat kedalaman air 2 meter?
9 9.2 9 18 /
6
4
12
20 30 40 50
20
38
560
74
Rp
km
6
l
h
4
8/22/2019 KALKULUS TPB
25/183
Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2008/2009
1. Carilah himpunan penyelesaian dari pertaksamaan | | |2 | 3 0.2. (a) Jika diketahui | 4| 2 3 hitunglah lim .(b) Hitunglah lim .
3. Sketsalah suatu grafik fungsi yang memenuhi semua syarat berikut:(a)Daerah asal (definisi) adalah 0, .(b) 0 1 2 0.(c) lim .(d)lim 1.(e)f kontinu kanan di
1dan
2.
(f)f tak kontinu kiri di 1.4. Jika diketahui 3 dan 3 1, tentukan 1, bila .5. Tinggi sebuah tangki berbentuk kerucut tegak terbalik adalah 16 dm dan jari-jari
atasnya 4 dm. Tangki tersebut diisi air dengan laju 2 per menit. Tentukan lajupertambahan jari-jari permukaan air dalam tangki pada saat tinggi air tersebut 10 dm.
16
4
8/22/2019 KALKULUS TPB
26/183
Solusi Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2008/2009
1. Diketahui | | |2 | 3 0Dari definisi harga mutlak diketahui bahwa | | , 0 , 0 dan |2 | 2 , 2 02 , 2 0 2 , 2 2, 2Untuk selang 0 penyelesaiannya: 2 3 02 1 0
2 1
Untuk selang 0 2 penyelesaiannya: 2 3 0 1 0Untuk selang 2 penyelesaiannya:
2 3 02 5 02 5
Maka himpunan penyelesaiannya adalah: 2. (a) Diketahui | 4| 2 3, penyelesaiannya dari lim ?.
Bentuk| 4| 2 3 dapat ditulis dengan2 3 4 2 3 lalu beri limit pada ketiga ruaslim2 3 lim 4 lim2 30 lim 4 0, berdasarkan teorema apit, diperoleh
lim 4 0, sehingga
lim 4.
(b) lim ?.Untuk menyelesaikan permasalahan maka bagi dengan pangkat tertinggi, yaitu
pangkat satu.
lim
lim
8/22/2019 KALKULUS TPB
27/183
lim
lim 3. Sketsanya:
4. Diketahui 3 dan 3 1serta , maka 1?Untuk menyelesaiakan masalah ini harus diturunkan terlebih dahulu fungsi , yaitu: ... 1 ...
1 ... 1 .. 3 35. Lihat gambar berikut:
Dari gambar disamping dapat diketahui bahwa:
maka .
f(x)
x10 2
8/22/2019 KALKULUS TPB
28/183
Volume kerucut: karena maka:
Karena
2 sehingga:2 (maka laju pertambahan jari-jari saat 10) .. .. . , maka laju pertambahan jari-jari . .
8/22/2019 KALKULUS TPB
29/183
UJIAN TENGAH SEMESTER 2
(MA1122) KALKULUS 1
8/22/2019 KALKULUS TPB
30/183
Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2002/2003
1. Sebuah pagar dengan tinggi 2 meter berdiri sejajar dengan dinding sebuah gedungsejauh 1 4 meter dari gedung tersebut (lihat gambar). Berapa panjang tangga yangdapat melintasi pagar dari permukaan tanah untuk mencapai dinding tersebut?
2. Cari persamaan kurva yang melalui 2,1, jika kemiringan garis singgungnya di setiaptitik adalah 2 kali kemiringan garis singgung pada kurva 2di titik dengan absisyang sama.
3. Diketahui : 1 a. Tunjukkan bahwafmempunyai invers
b. Hitunglah 04. Diketahui D suatu daerah tertutup yang dibatasi oleh 1 , 0 , 3.
Hitunglah volume benda putar yang terbentuk apabila daerah D diputar mengelilingi
sumbu-x . Buatlah terlebih dahulu sketsa daerah D
5. Tentukan :
a. Turunan dari b. Tentukan dari persamaan implisit 2
gedung
pagar
tangga
8/22/2019 KALKULUS TPB
31/183
Solusi Ujian Tengah Semester 1
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2002/2003
1. Lihat gambar terlebih dahulu
Panjang tangga adalah maka dari gambar diperoleh s i n dan c o s . Sehingga .Yang ingin dicari adalah panjang tangga terpendek, oleh karena itu harus
meminimumkan fungsi
, yaitu turunan pertamanya sama dengan nol
0.
Diperoleh 2sin 4cos 0 08 0 8 8t an 2Sehingga diperoleh juga s i n dan c o s , oleh karena itu panjang tangganyaadalah 5.
2. Misal persamaan kurva yang dimaksud adalah , kemiringan garis singgung yangmenyinggung kurva tersebut adalah
. Diketahui kurva 2ekivalen dengan . Lalu kemiringannya adalah .
gedung
pagar tangga
A
BC
2m
1
25
8/22/2019 KALKULUS TPB
32/183
Diketahui bahwa kemiringan kurva dua kali kemiringan garis yang menyinggungkurva 2, maka 2 . Dari informasi kita dapatmemperoleh
.
Diketahui kurva tersebut melalui 2,1, sehingga 2 1, makadiperoleh 1.Sehingga diperoleh kurva yang dimaksud yaitu 1
3. a. Untuk menunjukkan bahwa f mempunyai invers maka harus dibuktikan bahwa fmonoton murni pada daerah asalnya. Sebuah fungsi dikatakan monoton pada selang I
apabila fungsi tersebut naik pada selang I atau turun pada selang I. Kemonotonan
fungsi ada:
i. 0 makaf monoton naikii.
0makaf monoton turun
Lalu untuk melihat kemonotonan selanjutnya kita turunkan 1 .Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus yang pertama, diketahui bahwa , sehingga
1 1 Karena 1 0 maka 0 artinyaf monoton naik (monoton murni). Maka 1 mempunyai invers.b. Diketahui bahwa jika dengan syarat 0 maka .Untuk mencari 0, informasi yang sudah didapat adalah 1 dan 0yaitu 1 0 maka x yang memenuhi adalah 1. Sehingga 0 .
4.
(3,2)
(-1,0)
X=
y = 0
Y = 1
daerah D
8/22/2019 KALKULUS TPB
33/183
Untuk menghitung volumenya dengan metode cincin 1 1 1
.
3
1 8
5. a. Untuk mencari turunan dari ln , perhatikan terlebih dahulu jika ln maka
. Dari persamaan , misal maka Maka
b. Diketahui 2, maka
dapat diperoleh dari
2 0 1 0
1
x
y
x
8/22/2019 KALKULUS TPB
34/183
Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2004/2005
1. Tentukan persamaan garis singgung pada lengkungan 2 3 0di titik1,2.2. Sebuah kolam panjangnya 40 meter, lebarnya 20 meter, kedalaman berubah dari 0
meter sampai 5 meter dengan alas berupa persegi panjang (lihat gambar). Jika air
dipompakan ke dalam kolam dengan laju 40 / menit, seberapa cepat permukaan airnaik pada saat kedalaman air pada ujung yang dalam 3 meter.
3. Tentukan n1ilai maksimum dan nilai minimum dari 3 3 , padaselang
1
.
4.
Diketahui daerah tertutupR yang dibatasi oleh grafik 3, sumbux, garis 1,dan garis 5a. Gambarkan daerahR.b.Nyatakan luas daerahR dalam integral tertentu dan hitunglah integralnya.
5. Suatu benda bergerak pada sumbux dengan kecepatan pada saat tadalah 2 1 4 5 m/detik, dengan posisi awal di 1000meter.a. Tentukan posisi benda saat 3.b.Pada saat 3, tentukan apakah benda sedang menjauhi atau mendekati titik 0. Jelaskan alasannya.
6. Diketahui daerahR dibatasi grafik , sumbuy, sumbux, dan garis 1a. Gambarkan daerahR.b.Jika daerahR diputar terhadap garis 1, tentukan volumebenda putarnya.7. Diketahui fungsi 1 , dengan 0, a. Hitunglah b.Berikan alasan mengapafmempunyai inversc. Hitung 0
5 m
20 m
40 m
8/22/2019 KALKULUS TPB
35/183
Solusi Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2004/2005
1. Persamaan garis singgung kurva di titik , adalah .Dimana adalah gradient garis singgungnya. Selanjutnya mencariterlebih dahulu gradient lengkungan, yaitu 2 3 03 2 4 2 03 2 4 2 02 4 2 3 Selanjutnya substitusi 1,2 ke , sehingga diperoleh , ..... .
Sehingga persamaan garis singgung dari lengkungan 2 3 0 di mana , 1,2 adalah 2 1 2. Perhatikan gambar berikut
5 m
20 m
h
x
40 m
8/22/2019 KALKULUS TPB
36/183
dari gambar akan diperoleh
8
Volume kolam: . . 20 10 80 dan diketahui bahwa air dipompakandengan laju 40 / menit, artinya 40.Dari volume kolam yang merupakan fungsi dari tingginya diperoleh
160 ,oleh karena itu:40 160 Pertanyaannya adalah seberapa cepat permukaan air naik pada saat kedalaman air pada
ujung yang dalam 3 meter, maka:
.
3. Diketahui fungsi 3 3 , dicari nilai maksimum dan nilai minimumpada selang 1 . Nilai maksimum dan minimum terjadi pada titik kritis. Titik
kritis yaitu:
i. Titik ujung pada selang. Pada soal ini titik ujung selang terjadi pada 1 dan , maka 1 31 31 6 dan 3 3 .
ii. Titik stasioner, yaitu titik yang mana 0. Dari soal diperoleh 2
5 dimana
0. Sehingga diperoleh
2
5
0 . Tetapi tidak memenuhi karena berada di luar selang yang diminta.iii. Titik singular, yaitu titik dimana tidak terdefinisi, karena tidakterdefinisi di 0 dan titik 0 merupakan titik singular. Maka 0 30 30 0.
Sehingga disimpulkan bahwa fungsi 3 3 mencapai maksimum dititik 1 di mana 1 6 dan mencapai titik minimum di 0 di mana0 0.
h
5
x
40
8/22/2019 KALKULUS TPB
37/183
4. Daerah dibatasi oleh grafik 3, sumbux, garis 1, dan garis 5a.b. 3
3
3
(pada selang
1 3fungsi bernilai
negatif karena berada dibawah sumbu-x. 3 3 3 3 3.3 . 3 3 . 1 . 1 . 5 3. 5 . 3 3.3 45. Diketahui bahwa benda bergerak dengan kecepatan 3 1 4 5 m/detik,
dengan posisi awal di 100 meter.a. Posisi benda dapat dihitung dari nilai . 3 1 4 5
7 5 (subtitusi
0)
0 0 7 . 0 5. 0 100 diperoleh 100. Maka posisi bendasetiap saat tadalah 7 5 1 0 0. Maka posisi benda pada saat 3 adalah 3 3 7 . 3 5.3 100 49 meter.b.Kecepatan pada saat 3 adalah 3 3. 3 14.3 5 20,
kecepatannya bernilai negative atau gradiennya juga negative atau monoton
turun. Artinya mendekati 06. a.
2
31 5
y = x - 3
8/22/2019 KALKULUS TPB
38/183
1
1 +
Y = -1
1
-3
x = 1
DaerahD
y =
8/22/2019 KALKULUS TPB
39/183
b. 1 1 , maka volumenya: 1 1 1 1 1
7. Diketahui 1 dengan 0, a. Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus I yaitu:
maka
1 1 b. Untuk menunjukkan bahwa f mempunyai invers maka harus dibuktikan bahwa f
monoton murni pada daerah asalnya. Sebuah fungsi dikatakan monoton pada selang
Iapabila fungsi tersebut naik pada selangIatau turun pada selang I. Kemonotonan
fungsi ada:
i. 0 makaf monoton naikii. 0 makaf monoton turun
Dari hasil a. diketahui bahwa 1 0 untuk selang 0, yangartinya f monoton naik (juga monoton murni) maka f mempunyai invers pada
selang 0, .c. Bahwa jika dengan syarat 0 maka . Untuk
mencari 0, informasi yang sudah didapat adalah 1 dan 0yaitu 1 0 maka x yang memenuhi adalah 1. Sehingga 0 .
8/22/2019 KALKULUS TPB
40/183
Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2005/2006
1. Misalkan | 3|, 0 3.a. Tentukan semua titik kritis darif.b. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum darif.
2. Diketahui lim adalah suatu limit jumlah Riemann untuk fungsif. Dengan memisalkan dan
a. Tuliskan limit jumlah Riemann di atas sebagai suatu integral tentub. Hitung integral tentu yang Anda dapatkan di bagian 2a
3. Hitunglah 2
| 1
|
4.
DiketahuiD adalah yang dibatasi oleh grafik dan 2a. Tentukan titik potong kedua grafik di atas.b. Gambarkan daerahD
c. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika diputar mengelilingi garis 4.5. a. Tentukan dari
b. Tentukan
8/22/2019 KALKULUS TPB
41/183
Solusi Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2005/2006
1. Untuk menyelesaikan masalah ini sebelumnya harus dipahami dahulu mengenaidefinisi harga mutlak, yaitu| | , , ,Dari definisi diperoleh bahwa fungsi | 3| dapat ditulis 3 3 untuk0 3 3 3 untuk3 3a. Titik kritis
i.Titik ujung selang, yaitu: 0dan 3ii.Titik stasoiner, yaitu
0
Untuk 0 3 , 3 3 0, diperoleh 1dan 1,karena 1berada di luar selang, maka 1titik stasionernya.Untuk 3 3, 3 3 0, diperoleh 1dan 1,tetapi 1dan 1kedua-duanya berada di luar selang.Jadi titik stasionernya adalah 1
iii.Titik singular, yaitu titik dimana , yaitu di titik 3 karena turunandari kanan tidak sama dengan turunan dari kiri.
Turunan dari kanan:lim lim lim lim lim 3 6
Turunan dari kirilim lim
lim lim lim 3 6b. Cek dari titik kritisnya untuk menentukan nilai maksimum dan minimum.
i.Untuk 0, 0 0ii.Untuk 3, 3 3 3.3 18
iii.Untuk 1, 1 3.1 1 2iv.Untuk 3, 3 0
Jadi titik maksimum adalah 18 dan minimumnya adalah 0.
8/22/2019 KALKULUS TPB
42/183
2. Untuk menentukan integral tentu dari jumlah Riemann, kita lihat definisi dari integraltentu terlebih dahulu yaitu: lim di mana .
a.lim
lim
lim lim lim Diketahui sehingga . Karena maka untuk 0diperoleh 0dan untuk diperoleh
3
. Sehingga dari definisi integral tentu diperoleh
lim .b. Hitung . Dengan memakai permisalan 4 dan
pada saat 0 4dan 3 7, maka 3. Untuk menyelesaikan masalah ini sebelumnya harus dipahami dahulu mengenai
definisi harga mutlak, yaitu| | , , ,untuk soal ini yaitu 2 | 1| , maka| 1| 1 1 1 , 1 1 1 Sehingga2 | 1| 2 1 2 1 1 3 1
1 1 . 9 3 1 2 12 2 124. a. Titik potong kedua grafik: 2 2 0 2 1 0 2 atau 1
saat 2 maka 4 , diperoleh 4,2saat
1maka
1, diperoleh
1,1
8/22/2019 KALKULUS TPB
43/183
b.
c. Disini 4 dan 4 2 4 4 2 , maka volumenya adalah
RL
RD
2
-1
f(x)
xx=
4
2
-1
(4,2)
x = y + 2
x = y2
8/22/2019 KALKULUS TPB
44/183
4 4 2
9
4 1 2
3 2 12 5. Diketahui dan hitung
a. dari ln ln ln sin ln ln
sin ln
cos l n sin c o s l n sin c o s l n sin b. misal 5 maka ln ln 5
8/22/2019 KALKULUS TPB
45/183
Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2006/2007
1. (Nilai 16) Sebuah bak air yang alasnya persegi (bujursangkar) akan dibangun untukmenampung 12.000 air. Penutup bidang atas bak terbuat dari logam A, sementarasisi bidang bak yang lainnya terbuat dari logam B. Jika harga logamA per dua kalilipat harga logam B per , tentukan ukuran bak air agar biaya pembuatannyaminimum.
2. (Nilai 16) Misalkanffungsi kontinu dengan daerah asal bilangan real dan daerah hasilinterval 0, . Diketahui grafik sebagai berikut:
a. Tentukan selang kemonotonan dari grafikf.b. Tentukan titik-titik ekstrim lokal darif.c. Tentukan selang kecekungan dari grafikfdan titik di mana terjadi perubahan
kecekungan.
d. Bila diketahui 0 1, 1 0, 3 2sketsalah grafikf.3. (Nilai 16) Dengan menggunakan definisi integral tentu (limit jumlah Riemann), hitung
2
. Petunjuk: Gunakan
2
dan diketahui
4. (Nilai 20) Diketahui cos . Tentukan fungsi fdan suatu konstanta a agaruntuk setiapx berlaku 5. (Nilai 16) Misalkan R adalah daerah di kuadran I yang dibatasi oleh , 2 dan sumbu-x.
a. Gambarkan daerahR.b. Hitung luas daerahR.
6. (Nilai 16) Alas sebuah benda pejal adalah R yang dibatasi oleh dan .Tiap penampang yang tegak lurus sumbu-y berupa setengah lingkaran dengan garis
tengah yang melintasi daerahR. Tentukan volume benda tersebut.
f'(x)
x
1
-1
1 2 3 4
8/22/2019 KALKULUS TPB
46/183
Solusi Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2006/2007
1. Misal panjang sisi bak tersebut adalah s dan tingginya adalah t, Maka volume baktersebut adalah dan luas bahan adalah 2 4 . Misal harga untukbahan bak tersebut dimisalkan dengan H, maka harga bahan total adalah
4 . Diketahui 12000 dan 2 sehingga 2 4 3 artinya adalahfungsi dari s atau dapat ditulis 3 3 48000 .Untuk mencari ukuran supaya harga pembuatannya minimum maka harus dicari
0. 6 48000 0 6 48000 , 0
6 48000 8000 20 sehingga 30Sehingga supaya pembuatan bak minimum maka panjang sisinya 20 dantingginya 30
2. Yang diketahui adalah grafik a. Untuk melihat selang kemonotonan dari fungsi, terlihat bahwa 0 pada
selang ,0 dan selang 1,3artinya f monoton naik. Lalu terlihat bahwa 0 pada selang 1,1 dan selang 3, artinyafmonoton turun.b. Titik ekstrim terjadi saat titik stasioner
0pada
1dan
3.Juga
terjadi pada titik singular yaitu tidak ada, yaitu saat 0c. Cekung atas: ,0, 0,2 dan 4, . Cekung bawah: 2,4. Terjadi perubahankecekungan atau titik belok yaitu pada 2 dan 4.
d.f(x)
43210
1
x
8/22/2019 KALKULUS TPB
47/183
3. Untuk menentukan integral tentu dari jumlah Riemann, kita lihat definisi dari integraltentu terlebih dahulu yaitu: lim di mana .Panjang selang adalah
dimana
2;
2
;
2 2. ; , 2 ; , 2 1. Sehingga2 lim lim 22 lim 4 lim lim
lim
lim 12 3 lim 129 3 lim 1 2 9 9 3 12 9 0 3 3 3 4. Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus yang pertama, diketahui bahwa , oleh karena itu . Selain itu didapat
cos sin . Oleh karena itu berlaku cos sin cos | cos cos .Maka diperoleh c o s
5. Diketahui daerahR adalah daerah di kuadran I yang dibatasi oleh , 2dan sumbu-x
a)
y = y = -x + 2
y
8/22/2019 KALKULUS TPB
48/183
a) Sebelum mencari luas kita harus tahu titik perpotongannya terlebih dahuluyaitu: 2
2 0
2 1 0 1 0 1 1dan 1 2 2 2 0 6. Diketahui Alas sebuah benda pejal adalahR yang dibatasi oleh dan
Partisinya memiliki diameter yaitu , maka volume partisinya (berbentuk tabungtapi setengah lingkaran) adalah , maka volumenya adalah: 2
x x2 y = x
y = x2
z
x
y1
1
R
partis
8/22/2019 KALKULUS TPB
49/183
Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2007/2008
1. Sebuah fungsi kontinufdengan periode mempunyai sifat-sifat: 0 0, 2, dan 0 2 0 untuk0 dan 0 untuk 0 untuk0
a. Tentukan selang kemonotonan darif pada interval , 2 b. Tentukan selang kecekungan darif pada interval , 2 c. Gambarkan grafikf pada interval , 2
2. Tentukan solusi dari persamaan differensial 32 1; 13. Tentukan fungsi kontinu jika diketahui .4. Diberikan fungsi ganjil dan fungsi genap dengan | | 3dan| | 2. Tentukan:
a. | | b. | |
5. Sebuah partikel bergerak pada sumbux. Posisi mula-mula berada di titik nol dan grafikkecepatannya,
adalah fungsi yang terdefinisikan dan grafiknya diberikan oleh
gambar di samping. Gunakan informasi yang diberikan untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut dan beri penjelasan:
a. Tenttukan posisi partikel pada saat 3.b.Selama 9 detik pertama, tentukan saat partikel paling jauh dari titik asal.c. Kapan percepatan partikel bernilai 0?d.Tentukan selang waktu di mana partikel bergerak mendekati titik asal.
6. Alas sebuah benda pejal adalah lingkaran 4. Irisan penampang bendatersebut dangan bidang yang tegak lurus sumbu-x berbentuk segitiga sama sisi.
Tentukan volume benda tersebut.
(3,3)
(1,1)
(5,2)
(6,0) (9,0)
v
t
8/22/2019 KALKULUS TPB
50/183
Solusi Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2007/2008
1. Dari informasi yang diberikana. Karena merupakan fungsi kontinu dengan periode , maka pada interval , 2 ,f monoton naik pada selang 0, dan , . Sedangkanf monoton
turun pada selang , 0, , dan , 2 b.Fungsifcekung bawah pada selang , 0, 0, dan , 2 c. Sketsa kurva
2. Diketahui 32 1; 1. Untuk mencari solusinya misalkan 2 1 2 1 2 2 . Sehingga: 32 1 (diintegralkan kedua ruas) 32 1 3 2 1 3 . 3
2 1 dimana 1 maka 2. 1 10 1 1, sehingga solusinya adalah 2 1 1.3. Untuk menyelesaikan soal ini, perlu diketahui mengenai aturan rantai, yaitu untuk
menentukan turunan fungsi komposit yaitu: Misalkan
2maka
0
2
3/2/2 2-/2
8/22/2019 KALKULUS TPB
51/183
. 2 . 2 2 . Jadi fungsi kontinu yang dimaksud.
4. Diberikan fungsi ganjil dan fungsi genap dengan | | 3 dan| | 2.a. | | | | (karena harga mutlak fungsi ganjil adalah fungsi
genap)
2 | | 2 2.3 2.2 6 4 2b. | | , karena fungsi ganjil dan fungsi genap, maka hasilkali fungsi ganjil dan fungsi genap adalah fungsi ganjil juga, oleh karena itu| | 0
5. Diketahui:
a. Posisi partikel pada saat 3?Persamaan garis yang melewati 1,1 dan 3,3 adalah , maka pososibenda adalah:
, diberitahu bahwa 0 0, maka0 0 0 0Sehingga
b. Pada detik ke-6 karena kecapatan selama 6 detik pertama adalah positif, sehinggapartikel bergerak menjauhi titik asal. Tetapi setelah detik ke-6 kecepatan partikel
negative, artinya partikel bergerak mendekati titik asal.
c. Percepatan nol terjadi saat titik balik kurva kecepatan, yaitu di sekitar 4 dan 7.d. Setelah detik ke-6 kecepatan partikel negative, artinya partikel bergerak mendekati
titik asal.
6. Lihat gambar berikut ini
(3,3)
(1,1)
(5,2)
(6,0) (9,0)
v
t
8/22/2019 KALKULUS TPB
52/183
Partisi mempunyai sisi 24 dan tingginya adalah 123 , maka volume daripartisi tersebut adalah:
24 . 1 2 3 4 . 1 2 3 34 , makavolume benda adalah:34
3 4 3 4 34.2 2 42 2 3
x
1 2 3
24
8/22/2019 KALKULUS TPB
53/183
Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2008/2009
1. Diketahui ||. Tentukan fungsi turunan pertama dan turunan kedua fungsi f,kemudian gambarkan grafik fungsif.
2. Diketahui segitiga sama kaki ABC (lihat gambar) dengan panjang 12dan 3. TitikP terletak pada garis CD. Tentukan panjangDP sehingga jumlah kuadratjarak dari titik-titik sudut segitiga ABC ke titik P maksimum. (Petunjuk: misalkan
panjang .)
3. (a) Hitunglah .(b) Hitunglah 2 jika diketahui cos .
4. Misalkan D daerah di kuadran I dan II yang dibatasi oleh kurva-kurva 1, 1, dan sumbuxa) Gambarkan daerahD dan tentukan luasDb) Hitunglah isi benda putar yang terjadi bila derah D diputar mengelilingi garis 1
5. Di sebuah SPBU, terdapat tangki bahan bakar berbentuk tabung (lihat gambar) yangdipendam 3 satuan panjang dari permukaan tanah. Panjang tangki tersebut 6 satuan
panjang dan jari-jarinya1 satuan panjang. Pada awalnya, tangki tersebut penuh berisi
pertamax dengan berat jenis . Misalkan W menyatakan kerja yang dilakukan
berdasarkan gaya berat untuk mengeluarkan setengah isi tangki bagian atas ke
permukaan tanah. Rumuskan Wdalam bentuk integral tentu tanpa dihitung.
3
1
6
3
D
P
B
C
A12
8/22/2019 KALKULUS TPB
54/183
Solusi Ujian Tengah Semester 2
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2008/2009
1. Diketahui: ||, dimana | | , 0 , 0, sehingga ||
, 0 1 , 0 , 0 1 , 0
, 0 1. , 0
Gambar kurva diketahui bahwa || tidak terdefinisi di 1, maka 1adalah asimptot tegaknya. Lalu untuk 0lim || 1 dan lim || 1,maka 1 dan 1 adalah asimptot datarnya. Untuk 0 turunan pertamanyanegative, maka fungsi turun, Untuk 0 turunan pertamanya positif, maka fungsi naik. Untuk0 1 turunan keduanya negative, maka cekung bawah,untuk 1 turunan keduanya positif, maka cekung atas, untuk 0, selalupositif, maka cekung atas.
2. Lihat kembali gambarnya
0
-1
1
1 x
f(x)
8/22/2019 KALKULUS TPB
55/183
Inginnya maksimum, maka karena diketahui segitiga sama kaki, maka 6, 6dan diketahui , sehingga:6 6 3 72 2 9 6 3 6 8 1Misalkan 3 6 8 1 Supaya maksimum maka turunan pertama harussama dengan nol. l 6 6 0 6 6 1Maka panjang
1
3. (a) Hitunglah Misal 1 1 1 sehingga d 2 1
saat 1maka 0dan saat 4maka 1, Jadil
2 1 2 0 (b) Hitunglah 2 jika diketahui cos . Misalkan
maka 2, oleh karena itu cos cos . cos 2 2 2 c o s . 2 2.2 5.4 45
4. Gambar:
3D
P
B
C
A12
8/22/2019 KALKULUS TPB
56/183
Cari titik perpotongannya terlebih dahulu yaitu: 1 1 2 0 2 1 0maka 2atau 1Luas
1 1
2
2
Menghitung Volume: 1 1 1 1 2 4 4 2 4 5. Perhatikan gambar berikut 1
-1
2-1
f(x)
x0
D
D adalah daerahnya
8/22/2019 KALKULUS TPB
57/183
Maka usaha yang diperlukan adalah . 2 . 1 . 6 . 4
12 4 1
1
4 4 1
1
4
3
1
8/22/2019 KALKULUS TPB
58/183
UJIAN AKHIR SEMESTER
(MA1122) KALKULUS 1
8/22/2019 KALKULUS TPB
59/183
Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2003/2004
1. Diketahui , tentukan:a. Daerah di mana grafikf naik atau turun dan titik ekstrimnya beserta jenisnya (bila
ada).
b. Daerah di mana grafikf cekung ke atas atau cekung ke bawa dan titik baliknya(bila ada).
c. Garis-garis asimtotd. Sketsa grafikf
2. Diketahui , tentukan 23. DaerahD dibatasi oleh kurva-kurva
dan
4
a. Gambar daerahD dan hitung luas daerah tersebutb. Hitung volume benda putar yang terjadi apabila daerah D diputar terhadap garis 14. Diberikan 1 . Tentukan 5. Hitung integral-integral berikut
a. 9 dengan menggunakan substitusi 9 b. .
8/22/2019 KALKULUS TPB
60/183
Solusi Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2003/2004
1. Diketahui a. Untuk memeriksaf naik atau turun perlu diketahui bahwa f naik untuk daerah 0,f turun untuk daerah 0 dan titik ekstrim terjadi pada titik
stasioner yaitu 0. Untuk soal ini dimana dengan 1maka .. , lalu dicek 0 dan 0. Tetapi kita juga harus lebih kreatif karena 1 selalu negatif dan
1 selalu bernilai positif maka
selalu bernilai negatif untuk semua
kecuali di
1. Titik ekstrim untuk soal ini dicek melalui
0,
tetapi karena selalu bernilai negatif atau 0 maka nilai ekstrimtidak pernah terjadi.b.Untuk memeriksa f cekung atas atau cekung bawah, perlu diketahui bahwa f
cekung atas untuk daerah 0, cekung bawah untuk daerah 0dan titik balik jika 0 atau jika terjadi perubahan kecekungan .Diketahui maka
. . Lalu dicek untuk
0dan
0maka melalui garis bilangan
++++++++++ ++++++++++
-1 0 1
Diperoleh : 0 atau cekung atas pada selang ,1 0,1 dan 0 atau cekung bawah pada selang 1,0 1, . Lalu titik
baliknya 0 yaitu 0 (untuk 1) diperoleh 0 sebagai titik baliknya. Atau pada saat 0 terjadi perubahankecekungan.
c. Garis asimtot:i. Untuk asimtot tegak diperoleh dengan mencari nilai x yang menyebabkan
nilaiy menjadi tak hingga yaitu, penyebut akanbernilai nol saat 1 1, maka diperoleh 1 1sebagai asimtot tegaknya.
ii. Untuk asimtot datarnya diperoleh dengan mencari nilaiy saat nilai dan . lim 0 dan lim 0, maka 0adalah asimtot datarnya.
d.Grafiknya
8/22/2019 KALKULUS TPB
61/183
2. Diketahui maka dapat ditulis sebagai berikut karena x bukan fungsi dari t. Sebelumnya kita harus tahu terlebihdahulu Teorema Dasar Kalkulus I diketahui bahwa
dapat ditulis
juga dimana . . Misal 4 dan 2 , Sehingga .Dengan aturan , diperoleh . misal terdapat a yaitu dengan sifat
, maka
Maka
2
. 2
.
.
-1 10
y
x
8/22/2019 KALKULUS TPB
62/183
2 2 2. 3. (a)
(b) Dengan metode cincin, diketahui bahwa 1 dan 1 4 5(perhatikan gambarnya), maka patisi volume kecilnya adalah:
5 1 2 4 2
maka volumenya adalah
2 4 2 24
y=4
y=-1
y=-6
y=x2
RD
RL
-1
-2
D
x
y
4
0 2
8/22/2019 KALKULUS TPB
63/183
4. Diketahui 1 maka ?ln ln 1 ln ln . ln 1 ln l n . l n 1
ln 1 l n . . 2 ln 1 ln 1 ln 1 ln 5. a. 9
Untuk menghitung integral perlu dilakukan substitusi 9 9 maka 2 karena 9 9 maka 2 9 , maka
9 . 2 2 1 2 2 2 18 2 18 2 3 3 2 3 ln 3 3 l n 3 = 2 3 l n 29 3 l n
b. , diketahui bahwa c o s 2 1 c o s 2 1 c o s 2 1
cos 2 memakai pengintegralan parsial yaitu dan cos 2 maka dan sin2
sin2
sin2
sin2 cos2 | 0 0
8/22/2019 KALKULUS TPB
64/183
Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2004/2005
1. Sebuah silinder lingkaran tegak berjari-jari r terletak di dalam bola berjari-jari 2rsehingga lingkaran alas dan atasnya terletak pada permukaan bola. Tentukan volume
silinder sebagai fungsi dari r
2. Tentukan konstanta a dan b agar fungsi 1 ; 1 ; 1 23 ; 2
Kontinu pada (himpunan bilangan real)3. Terdapat dua buah garis yang sejajar dengan garis dan menyinggung kurva
3
8. Jika titik singgungnya adalah A danB, tentukan koordinat titikA
danB beserta garis singgungnya di titik tersebut.4. Diketahui daerah tertutupD yang dibatasi oleh kurva dan 2.a. Gambarkan daerahD dan hitunglah luasnya
b. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jikaD diputar terhadap sumbu-y5. Laju perubahan suhu suatu benda sebanding dengan selisih suhu benda dengan suhu di
sekitarnya 30. Suatu benda yang suhunya 150 kemudian setelah 1 jam suhunyamenjadi 120 . Tentukan suhu benda setelah tjam sebagai fungsi dari tdan suhunyasetelah 2 jam.
6. Uraikan fungsi menjadi pecahan bagian kemudian hitunglah
7. Dengan menggunakan penggantian 1 dan integral parsial, hitunglah
8/22/2019 KALKULUS TPB
65/183
Solusi Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2004/2005
1. Diketahui jari-jari silinder rdan jari-jari bola 2r. Lalu perhatikan gambar berikut.Dari gambar diperoleh 2, dan 2 . Dengan teorema Phytagorasdiperoleh
2 4 3
12 23Maka volume silinder sebagai fungsi dari adalah . 2 3 2 3.
2. Agar suatu fungsi kontinu pada suatu titik fungsi tersebut harus mempunyai limit kanandan limit kiri yang sama. Untuk soal ini, kita harus memeriksa kekontinuan fungsi ini
di titik 1 dan di titik 2. Memeriksa kekontinuan fungsi di titik
1
lim lim lim 1 lim 2 (i) Memeriksa kekontinuan fungsi di titik 2lim lim lim lim 3 2 6 (ii)
Dari (i) dan (ii) lakukan eliminasi dan subtitusi diperoleh 4 dan 2.3. Misal kedua garis adalah garis g dan garis h, yang masing-masing mempunyai
persamaan garisyg
= mg
x + a danyh
= mh
x + b. kedua garis tersebut sejajar dengan
garis y = x dan menyinggung kurvay = x3 + 3x2 8x masing-masing di titik A dan B.
2r
rO
Q
P
h
8/22/2019 KALKULUS TPB
66/183
a. karena garis g dan daris h sejajar dengan garisy = x, maka gradient kedua garistersebut haruslah sama dengan gradienty = x. jadi di peroleh mg =mh = 1.
b. Karena garis g dan garis h menyinggung kurvay = x3 + 3x2 8x, maka gradientkedua garis tersebut haruslah memenuhi persamaan mg = mh =
dx
dy= 3x
2+ 6x
8 = 1
Kita dapat mencari titik singgung kedua garis tersebut dengan memecahkan
persamaany = x3
+ 3x2
8x = 1
0)1)(3(3
0963
1863
2
2
=+
=+
=+
xx
xx
xx
Sehingga diperoleh dua titik, yaitux = -3 danx = 1
Jika kita kembali substitusi masing-masing titik ke persamaan y = x3
+ 3x2
8x,
maka akan didapatkan dua titik, yaitu (-3 , 24) dan (1, -4)
Sekarang anggaplah bahwa garis g merupakan garis yang melewati titik (-3 , 24),
maka kita dapatkan garis g adalahy = x + 27
begitu pula untuk garis h yang melewati titik (1 , -4), maka kita dapatkan garis h
adalahy = x 5
4. a. DaerahD merupakan daerah yang dibatasi oleh kurvay = x2 dany = 2x.Daerah tersebut dapat di gambarkan sebagai
Luas: 2
x
y
D
2
8/22/2019 KALKULUS TPB
67/183
b. Volume benda putar yang terjadi apabila daerahD diputar mengelilingi sumbu y
dapat dihitung dengan menggunakan metode kulit tabung. Tabung yang dibentuk dari
hasil memutar partisi pada daerah D, diputus dan diperoleh balok/kulit tabung dengan
ukuran :
Panjang = keliling tabung = 2 Lebar = jari-jari luar jari-jari dalam = Tinggi = 2x - x
2, dimana volume partisi kecilnya adalah:
2 2 2 Maka,
3
8
043
162
4
1
3
22
)2(2
)2(2
2
0
43
2
0
32
2
0
2
=
=
=
=
=
xx
dxxx
dxxxxVD
5. Misal : S: suhu bendat: waktu
L : suhu sekitar ( 300C, dalam soal)
Maka )( LSKdt
dS= (
dt
dSadalah perubahan suhu terhadap waktu, Ksuatu konstanta
real)
cKteS
CKtS
KdtS
dS
SKdt
dS
+=
+=
=
30
30ln
)30(
)30(
Karena suhu benda tidak akan lebih rendah dari suhu sekitar, maka
KtCCKt eeeS .3030 +=+= +
Saat t = 0, S = 150 , maka 150 = 30 + e0+C
KteS 12030 +=
8/22/2019 KALKULUS TPB
68/183
Saat t = 1, S =120 maka 120 = 30 +120.eK
Ke=
4
3, jadi suhu setelah tjam = C
t
+
4
312030
Sehingga S = 30 +120(ek), setelah 2 jam, didapat S= C
+
2
4
312030
S = C
t
+
4
312030 S = 97.5
0C
Jadi suhu benda setelah dua jam adalah 97.50C
6. Penyelesaiannya adalah
)4)(1(
)4()()(
)4)(1(
4
)4()1()4)(1(
6)(
2
2
2
22
22
+
+++
+
+++
+
++
=
+
=
xx
CAxBCxBA
xx
CBxCxBxAAx
x
CBx
x
A
xx
xxf
Sehingga A + B = 0
C B = 1
4A C = -6
Dengan menyelesaikan persamaan di atas, kita akan mendapatkan
A = -1, B = 1, C = 2
Jadi,
+
++
+=
+
+
=
+
+=
+
+=
)1(1
1
21
2
1)4(
4
1
2
1
1
1
4
2)2(2
1
1
1
4
2)(
1
1
4
2)(
2
2
2
2
2
2
xdx
xd
xxd
x
dxx
dxx
x
dxxx
xdxxf
xx
xxf
8/22/2019 KALKULUS TPB
69/183
(Gunakan pemisalan u = x2
+ 4 untuk integral yang pertama, v = x/2 untuk integral
yang kedua, dan w = x 1 untuk integral ketiga)
Cx
x
x
Cxx
x
+
+
+
+
++
2tan
1
4ln
1ln
2
tan4ln
2
1
12
12
7. Misal 1+= xt
( )tdtdx
txdx
dt
2
2
1
12
1
=
=+
=
sehingga =+
tdtedxetx
21
lalu gunakan integral parsial dengan u = tdan dv = et
Jadi Cetetdtedxetttx +==
+ 2221
( )
( )2
22
2
1
2
1
3
0
1
2
2224
22
2
e
eeee
ete
tdtedxe
tt
tx
==
=
= +
8/22/2019 KALKULUS TPB
70/183
Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2005/2006
1. Diketahui : , 03 2 , 0
Tentukan 0 agar kontinu di 02. Tentukan di titik , 0, jika c o s 3. Sketsalah grafik fungsi dengan terlebih dahulu menentukan selang
kemonotonan, titik ekstrem, selang kecekungan, titik belok dan asimtot asimtotnya
kalau ada.
4.
Tentukan pusat massa dari suatu lamina homogen yang dibatasi oleh , 6 dan sumbu-x5. Diketahui 1 a. Tunjukkan bahwa mempunyai invers.b. Hitunglah 0
6. Hitunglah ln 2 7. Hitunglah
8/22/2019 KALKULUS TPB
71/183
Solusi Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2005/2006
1. Syarat agarf(x) kontinu dix = 0 adalah )0()(lim)(lim00
fxfxfxx
==+
>>
2
1
2
223limtan
lim
2
22
00
=
=
=+=+
>>
k
kk
kkxx
kx
xx
Sehingga agarf(x) kontinu dix = 0, maka nilai kyang memenuhi adalah
.
2. Tentukanxd
yd2
2
di titik
2,0
jika xyy =cos
aturan rantai, )(cos)(cos ydy
d
dx
dyy
dx
d=
dengan aturan perkalian uvvuuv '')'( += makadx
dyxyxy
dx
d+=)(
pertama akan di cari
dx
dydengan mendiferensialkan kedua sisi persamaan
xyy =cos
)(sin
))sin((
)(cos
xy
y
dx
dy
yxydx
dy
dx
dyxyy
dy
d
dx
dy
+=
=
+=
Nilaidx
dydi titik
2,0
adalah
2
Untuk mencarixd
yd2
2
dapat dilakukan dengan mendiferensialkan kedua ruas persamaan
dx
dyxyy
dy
d
dx
dy+=)(cos . Dengan menyelesaikan pendiferensialan di samping, dan
8/22/2019 KALKULUS TPB
72/183
kemudian mensubstitusikan titik
2,0
ke hasil pendiferensialan, akan didapatkan
=
xd
yd2
2
3. Gambar sketsa grafik fungsi1
)(2
2
+=
x
xxf .
Agar mudah menggambarnya, carilah terlebih dahulu titik kritis dari f(x), yaitu titik
maksimum-minimum, titik potong dsb.
32
2
22
)1(
26)("
)1(
2)('
+
+=
+=
x
xxf
x
xxf
a. Kemonotonan, terjadi saatf(x) > 0 atauf(x) < 0. Darif(x) di atas, dapat diketahuibahwa f monoton naik padax > 0 dan monoton turun padax < 0.
b. Titik stasioner adalah saatf(x) = 0, dan dapat dilihat pula akan terjadi saatx = 0.c. Kecekungan akan terjadi saat f(x) > 0 atau f(x) < 0 . Sehingga dapat diketahui
bahwa grafikfcekung atas pada selang 33
13
3
1 x
xxfy
xx. jadi garis y = 1 merupakan asimtot datar dari f(x).
Sketsanya
8/22/2019 KALKULUS TPB
73/183
4. Dengan mengambil partisi yang sejajar dengan sumbu x, kita akan memperoleh2
)6(
2
221 yyxxx
++=
+=
dm = dyyydyxx )6()( 2
12
+=
dMx = y dm = dyyyy )6( 32 +
dMy = x dm = dyyyydyxyxxy )3612(2
)6( 422 ++=+
massa = +2
0
)26( dyyy =
2
27
Momen massa thd sb x
Mx = dMx
Mx = 4
63
Momen massa thd sb y
My = dMy
My = 5
306
Titik pusat massa ( )yx,
135
612
227
5306
===
m
Myx
54
63
227
463
==
y
5. a. Akan ditunjukkan f mempunyai invers, maka harus dibuktikan bahwa f monotonmurni pada daerah asalnya. Dengan TDK, adak didapatkan f(x) =
41 x+ . Karena
f(x) > 0 di suma nilai x, makafpasti monoton naik pada R. Maka dapat disimpulkan
bahwaf(x) mempunyai invers.
b. Apabilay = f(x), denganf(x) 0, maka)('
1)()'( 1
xfyf =
untuk fungsi tersebut,y = 0 akan diperoleh jika , sehingga)1('
1)0()'( 1
ff =
jadi 22
1
11
1
)1('
1)0()'(
4
1=
+==
ff
8/22/2019 KALKULUS TPB
74/183
6. Tulis ==1
0
1
0
43
2/
2/1
3
16
1
28
12ln duuedu
euexdxx u
uu
e
Penyelesaian
1
0
4
16
1duue u dapat dilakukan dengan menggunakan integral parsial
dengan memisalkanp = u dan dq = ue4
Sehingga 1
0
4
16
1duue u
Menjadi )13(256
1
4
1
16
1
4
1
16
1 41
0
4
1
0
4+=
edueue
uu
7.
Dengan memisalkan u = e
x
+ 5 maka e
x
= u 5 sehingga du = e
x
dx.Maka kita akan memperoleh
=+ )5(5 uu
du
e
dxx
. Dengan mengubah)5(
1
uu
menjadi pecahan parsial yaitu:
Diperoleh dan Sehingga mengintegralkan
Ce
e
Cu
u
Cuu
duu
du
x
x
+
+=
+
=
++=
+
5ln
5
1
5ln
5
1
)5ln(5
1ln
5
1
255
1
5
1
8/22/2019 KALKULUS TPB
75/183
Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2006/2007
1. (Nilai 13) Dengan menggunakan Teorema Nilai Antara, tunjukkan bahwa ada bilanganreal yang memenuhi persamaan: cos .
2. (Nilai 12) Karena dipanaskan secara merata, jari-jari sebuah bola bertambah panjangdari 10 cm menjadi 10,05 cm. Dengan menggunakan diferensial, taksirlah pertambahan
volume bola. (Volume bola : )3. (Nilai 12) Tentukan persamaan kurva yang melalui titik1,2 dengan gradien di setiap
titik , sama dengan .4. Diketahui daerahR adalah sebagai berikut:
Hitung volume benda putar yang terjadi apabilaR diputar mengelilingi sumbu-y
5. (Nilai 13) Diberikan fungsi ln , 0.a. Tunjukkan bahwa fungsifmempunyai invers.b.Hitung ln 2.c. Hitung ln 2.
6. (Nilai 12) Tentukan turunan dari fungsi cosh .7. (Nilai 12) Hitung .8.
(Nilai 13) Hitung
R
6
8/22/2019 KALKULUS TPB
76/183
Solusi Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2006/2007
1. Akan ditunjukkan bahwa terdapat bilangan realx yang memenuhix2 = cos x. darix2 =cos x diperolehx
2 cos x = 0
Teorema Nilai Antara
Jikaf kontinu pada [a,b] dan jika Wsebuah bilangan antaraf(a) danf(b), maka
terdapat sebuah bilangan c di antara a dan b sedemikian hinggaf(c) = W.
Kita ambil selang [0,1]. Sekarang akan kita uji selang yang di pilih:
f(0) = (0)2
cos (0) = 0 1 = -1 (negatif)
f(1) = (1)2
cos (1) = 1 cos (1) (positif)
dari pengujian di atas, kita peroleh bahwaf(0) < 0 danf(1) > 0, karena cos (1) < 1.
Yang memenuhif(x) = x2
cos x = 0 dimanax2 cos x = 0 jika dan hanya jikax
2=
cos x. Maka telah ditunjukkan bahwa terdapat bilangan realx yang memenuhix2
cos
x.
2. Permasalahan yang dihadapi adalah menaksir pertambahan volume bola yangdipanaskan secara merata.
* ( ) xxfxfxxf ++ )(')(
Volume bola, hanya dipengaruhi oleh satu variabel yaitu r(jari-jari), maka
2
3
.4)('
.3
4)(
rrV
rrV
=
=
Dengan begitu, maka
3
1135320
3
11333)(
)05,0()10.(4)10.(
3
4)(
)(')()(
23
++
++
++
rrV
rrV
rrVrVrrV
3. Karena gradien kurva di setiap titik adalahy
x
dx
dy= , maka xdxydy = dan persamaan
kurvanya adalah = xdxydy
8/22/2019 KALKULUS TPB
77/183
Cxy += 22
2
1
2
1, kemudian kita substitusi titik(1,2) untuk mencari nilai C,
sehingga diperoleh nilai C = 3/2 . Jadi persamaan kurvanya adalah2
3
2
1
2
1 22 += xy
4.
Partisikan benda pejal yang di hasilkan dari memutar R terhadap sumbu . volume
partisi tersebut adalah
6 di integralkan dari 0 4Sehingga volumenya adalah
3
184
32
1336
])6[(
4
0
32
4
0
2
=
+=
=
V
yyyV
dyyyV
5. a. Fungsi 0),ln()( 24 >+= xxxxf akan monoton naik jika )( 24 xx + monoton naik.Dan telah diketahui bersama bahwa untukx > 0 fungsix
4danx
2monoton naik,
maka fungsi )( 24 xx + monoton naik. Maka, 0),ln()( 24 >+= xxxxf monoton
naik, sehinggaf(x) mempunyai invers.
b. )()(1 xfyxyf ==
( ) ( )( )( )( ) 0211
2ln2ln)(2ln)()2ln(
2
24241
=++
=++====
xxx
xxxxxfxfyxf
Karenax > 0, maka solusinya adalahx = 1. sehingga ( ) 12ln1 =f
4
0
R
6
R
8/22/2019 KALKULUS TPB
78/183
c.)('
1)('1
xfxf = dari point b didapat bahwa untukx = 1 dany = ln2
( ) )1('1
)2(ln'1
ff =
Untuk mencari nilai 24
3 24
)(':)1(' xx
xx
xff +
+
=
Substitusix = 1 sehingga didapat 311
1.21.4)1(':)1('
24
3
=+
+=ff
Maka di dapat3
1
)1('
1)2(ln'1 ==
ff
6. Untuk lebih memudahkan perhitungan, maka kedua ruas diberi operator logaritmanatural sehingga fungsiy = (cosh x)
2x-3menjadi xxy ln(cosh))32(ln =
Dengan menurunkan kedua persamaan diperoleh
32))(coshcosh
sinh)32)ln(cosh2(
)cosh
sinh)32)ln(cosh2(
cosh
sinh)32()ln(cosh2
1
+
+=
+=
xxx
xxx
yx
xxx
dx
dy
x
xxx
dx
dy
y
Sehingga turunan dari fungsiy = (cosh x)2x-3
adalah
32))(coshcosh
sinh)32)ln(cosh2( + xx
x
xxx
7. Misal xu = maka dxx
du2
1= sehingga 2udu = dx. Karena itu,
Ceex
Ceue
Cdueue
duuedxe
xx
uu
uu
ux
+
+
+
=
22
22
22
2
8. Dengan menggunakan pecahan3
22
23
2 )1(
1
1
xx
CxBxxA
x
CBx
x
A
xx
xx
+
+++=+
++=+
+
Berdasarkan kesamaan di atas, dapat disimpulkan bahwa
A = 1 B = 0 C = -1
Jadi,23
2
1
111
xxxx
xx
+=
+
+sehingga
++
dxxx
xx3
21
= +
2
1 x
dx
x
dx ln
8/22/2019 KALKULUS TPB
79/183
Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2007/2008
1. Gunakan konsep diferensial untuk mengaproksimasi nilai ,.2. Tentukan persamaan garis singgung terhadap kurva l n 3 1 0di titik
dengan absis 0.
3. Diberikan fungsi dengan k jika 0 24. Diketahui fungsi 1 . Tentukan interval I yang terbesar yang
memuat titik -1 sehingga fungsi mempunyai invers.
5. Diberikan sebuah segitiga siku-siku KLM yang panjang sisi-sisinya 3, 4 dan 5 cm. Didalam segitiga tersebut dibuat persegi panjang ABCD seperti gambar di samping.
Misalkan panjang
,
a. Tunjukkan luas persegi panjang tersebut .b. Tentukan nilaix agar luas persegipanjang tersebut maksimal.
6. Diberikan sebuah daerah tertutup yang dibatasi oleh , grafik sumbux, dan garislurus yang melalui titik
4,2dan
6,0, seperti pada gambar di samping. Tentukan
volume benda yang terbentuk bila daerah tersebut diputar terhadap garis 1
4
IIIII
D C
BA M
L
K
I
3
5
x
8/22/2019 KALKULUS TPB
80/183
7. Hukum pendinginan Newton menyatakan laju perubahan temperatur sebuah objekberbanding lurus terhadap perbadaan antara temperatur objek tersebut dengan
temperatur lingkungannya. Sepotong besi yang temperaturnya 0 100diletakkan pada sebuah ruangan yang temperaturnya konstan P (keberadaan besi tidak
mengubah temperatur ruangan). Sesudah 5 menit 5 40, dan sesudah 10 menit10 16. Tentukan temperature ruangan tersebut.
R
4,2
6,0
8/22/2019 KALKULUS TPB
81/183
Solusi Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2007/2008
1. Diketahui bahwa konsep diferensial yaitu . Misalkanfungsi , di mana nilai . Lalu diminta untuk mengaproksimasikan, maka terdapat perubahan nilai x dari 0 ke 0,1 yang merupakan 0,1,yang mana dan sehingga 0 1begitu juga dengan 0 1, sehingga hampiran untuk , adalah0,1 , 0 0,1 0 00,1 1 10,1 1 0,1 0,9
2. Persamaan garis singgung kurva di titik , adalah .Dimana
. Maka gradien garis singgung dengan absis 0 dari persamaan
l n 3 1 0dapat di lakukan dengan pendiferensialan secara implisit yaitu l n 3 1 0ln 3 l n 3 3 0 3 3 l n 3 l n , diketahui absis 0 atau 0maka harus dicari terlebih dahulu yyaitu: 0 l n 3 1 0maka diperoleh 1. Sehingga gradient garis singgungdi titik 0,1adalah
,
ln 3Maka persamaan garis
singgungnya adalah 1 ln 3sehingga persamaan garis singgungnya adalah 1 ln 3.3. Untuk menyelesaikan soal ini, perlu diketahui mengenai aturan rantai, yaitu untukmenentukan turunan fungsi komposit yaitu: Selanjutnya
dan (melalui aturan rantai),sehingga diperoleh , lalu substitusi 0diperoleh
2
2 0dimana 0Sehingga diperoleh 1 2 0 2 1 0 1 0 1.Maka nilai kyang diperoleh adalah 1
4. Menurut TDK I (Teorema Dasar Kalkulus), diketahui bahwa
8/22/2019 KALKULUS TPB
82/183
3 2
0
3 2
)1(
)1()(
xx
dtttdx
d
dx
xdfx
+
+=
karena 1 + x2
definit positif, maka pembuat nol adalahx = 0, sehingga interval terbesar
Iyang memuat 1 agar fungsi tersebut memiliki invers adalah 0
8/22/2019 KALKULUS TPB
83/183
)5(25
16
516
25
516
9
5
xKA
xKA
xKA
KA
BMxKA
=
=
=
=
Sehingga diperoleh nilai BC yaitu
xBC
xBC
KABC
25
12
5
12
)5(25
16
4
3
4
3
=
=
=
Jadi luas persegi panjang tersebut adalah
L =BC.CD
= xx
25
12
5
12= 2
25
12
5
12xx
b. agar luasnya maksimum makaL(x) = 0
L(x) = 2
25
12
5
12xX
L(x) = x25
24
5
12 = 0
2
5
5
12
25
24
=
=
x
x
6. Pertama geser kurva sejauh satu satuan, searah sumbu-x positif. Kemudian gunakanmetode kulit tabung biasa untuk mencari volume benda putar yang diputar terhadap
sumbuy (x = 0).
dengan metode kulit tabung,
1 7
1
1
442/15
8/22/2019 KALKULUS TPB
84/183
jadi volume benda putar tersebut adalah 442/15 satuan volum.7. Persamaan diferensialnya adalah
PeQCktPQ
dtkPQ
dQ
dtkPQ
dQ
PQkdt
dQ
Ckt+=+=
=
=
=
+
ln
.
.
)(
Maka untuk :
Q(0) = eC
+P =100 (1)
Q(5) = e5k+C
+P =40 (2)
Q(10) = e10k+C
+P =16 (3)
Dari (1) dan (2) didapat eC(1-e
5k) = 60 (4)
Dari (1) dan (3) didapat eC(1-e
10k) = 84 (5)
Dari (4) dan (5) didapat
)1(
84
)1(
60105 kk
c
eee
==
Dimana 1 0 dan 1 0, sehingga 05 7 2 05 2 1 0 1 0tidak berlaku karena 0sehingga yang berlaku adalah
5
2 0
maka Lalu subtitusikan ke persamaan 2 sehingga diperolah 2 5 40 (6) dan daripersamaan (1) dan (6) diperoleh 3 5 60didapat 100Sehingga dari persamaan (1) diperoleh 100 100 0
8/22/2019 KALKULUS TPB
85/183
Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2008/2009
1. Pada tengah hari, pesawat A mulai terbang kea rah utara dengan kecepatan 400 /. Sejam kemudian pesawat B bergerak ke arah timur dengan kecepatan 300 /. Dengan mengabaikan kelengkungan bumi dan mengasumsikan bahwa kedua
pesawat tersebut terbang pada ketinggian yang sama, tentukan fungsi yang menyatakan
jarak anatara kedua pesawat tersebut pada saat tjam setelah tengah hari.
2. Diketahui fungsi 2 1.(a)Tunjukkanf mempunyai fungsi invers(b)Hitunglah 2
3. Diketahui ln2 . Gunakan diferensial untuk menentukan nilai hampiran0,9
.
4. Sebuah benda dimasukkan ke dalam lemari pendingin. Perubahan temperature (T,dalam satuan ) benda tersebut pada saat t (dalam satuan detik) memenuhipersyaratan
0,01 0,3. Jika temperatur awal benda 0 30, kapantemperature benda menjadi 0 ?
5. Selesaikan 6. Diketahui , 3, 3 . Tentukan a agar f kontinu di 3.7. Jika titik , adalah titik pusat massa daerahD di bawah ini, tentukan .
8. Diketahui persamaan 2 1. Hitunglah di 0
y
0
2
x
D
8/22/2019 KALKULUS TPB
86/183
Solusi Ujian Akhir Semester
(MA1122) Kalkulus 1 Tahun 2008/2009
1. Perhatikan gambar berikut ini:
Untuk pesawat yang ke arah utara menghitung jaraknya (dihitung dari tengah hari
12.00) adalah: . 400 . Sedangkan untuk pesawat yang bergerak ke arah timurmenghitung jaraknya (dihitung dari tengah hari 12.00) adalah . 3 0 0 1(ini karena pesawat ke arah timur berangkat pukul 13.00). Maka fungsi jaraknya
adalah:
400 300 12. (a) Tunjukkan 2 1 mempunyai fungsi invers
Untuk menunjukkan bahwa f mempunyai invers maka harus dibuktikan bahwa f
monoton murni pada daerah asalnya. Sebuah fungsi dikatakan monoton pada selang
Iapabila fungsi tersebut naik pada selang Iatau turun pada selang I. Kemonotonan
fungsi ada:
iii. 0 makaf monoton naikiv. 0 makaf monoton turun
3
2 0, untuk setiapx, makafmonoton naik (juga monoton murni),
makaf punya invers.
(b) Hitunglah 2Diketahui bahwa jika dengan syarat 0 maka .Dari soal diketahui bahwa 2 sehingga 2 2 1, maka diperolehakarnya yaitu: 1 (pakai skema Horner). Sehingga 2 .
R
800
400
300
Utara (y)
timur (x)
8/22/2019 KALKULUS TPB
87/183
3. Hampiran: . Sehingga untuk soal 0,9 10,1 1 1 1. 0,1 dan ln2 . Selanjutnyakita cari , yaitu:
, sehingga
0,9 1 0 , 1 1 1 1. 0,1 ln2 1 0,1 0 1. 0,1 0,14. Diketahui perubahan temperature 0,01 0,4. Jika temperatur awal benda0 30. Kapan temperature benda menjadi 0 ?
Penyelesaian: 0,01 0,4,,
,, 100ln0,01 0,4 0,01 0,4 40 100 , diketahui 0 30.0 30 40 100 , oleh karena itu 40 70 Kapan temperature benda menjadi 0 ?
0 40 70
ln 100 ln 55.965. Selesaikan .
Misal sehingga Karena L
6. Dicek untuk limit kanan yaitu
lim .
Dimana lim memiliki bentuk , maka dapat di-lHopitalkanlim lim .Begitu juga untuk yang limit kiri lim Maka nilai a agar kontinu di 3 adalah
7. Pusat massa untuk adalah
8/22/2019 KALKULUS TPB
88/183
Maka hal ini terjadi karena terdapat dua fungsi yangberbeda, sehingga:
| 8. Diketahui 2 1, maka2 ln 2 2 22 l n 2 2 2 , saat 0, maka 2 0 0 1 2 1 0, sehingga
l
, .
.. 0
8/22/2019 KALKULUS TPB
89/183
UJIAN TENGAH SEMESTER 1
(MA1222) KALKULUS 2
8/22/2019 KALKULUS TPB
90/183
Ujian Tengah Semester 1
(MA1222) Kalkulus 2 Tahun 2003/2004
1. Hitunglaha. lim b. lim1
2. Selidiki kekonvergenan integral tak wajar dan . Dengan mengamatijawaban soal ini, untuk fungsif yang kontinu pada selang 1, dan 0 pada1,, jelaskan mengapa jika konvergen, maka lim 0, tetapikebalikan sifat ini tidak benar.
3. Tentukan suku banyak Mac Laurin berderajat 4 dari fungsi ln1 .Kemudian tentukan suatu batas untuk suku sisa
1dengan menggunakan konstanta
ksehingga | 1| 4. Selidiki kekonvergenan deret berikut:a) b)
5. Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat
8/22/2019 KALKULUS TPB
91/183
Solusi Ujian Tengah Semester 1
(MA1222) Kalkulus 2 Tahun 2003/2004
1. a. Untuk limit yang memiliki bentuk , maka penyelesaiannya denganmenggunakan lHopital. Untuk lim memiliki bentuk makapenyelesaiannya dengan menggunakan aturab lHopital
lim lim lim masih memiliki bentuk lim
b. Karena lim 0maka lim1 1 0 12. Pertama lakukan pengintegralan terhadap . lim lim ln | liml n l n 1 . Maka divergen.
Selanjutnya2
1
dx
x
kita lakukan :
2
1
dx
x
Akibatnya, dapat kita simputkan bahwa2
1
dx
x
konvergen.
Mengapa jika1
f(x)dx konvergen maka ( ) 0limx
f x
= ? Tapi kebalikan dari sifat ini
tidak benar?
Pandang1
( )limb
b
f x dx
sebagat suatu jumlah Riemann1
( )limn
i ix i
f x x =
,karena
1
( )limb
b
f x dx
konvergen maka ( ) 0limx
f x dx
=
Untuk menunjukkan kebalikan dari sifat ini tidak benar, asumsikan: jika ( ) 0limx
f x
=
maka1
( )f x dx
konvergen. Lalu kita berikan contoh penyanggah sehingga didapatkan
2
1
1 1 1
1
lim
lim lim
b
b
b
b bb
dxx
x b
=
= = +
8/22/2019 KALKULUS TPB
92/183
pernyataan ini tidak benar.
Contoh penyanggah: pilih1
( )f xx
= , sehingga ( ) 0limx
f x
= tetapi1
( )f x dx
divergen.
3.
Suku banyak Maclaurin berderajat empat dari suatu fungsif(x) dapat dituliskansebagai:
0 0 0 2! 0 3! 0 4! untuk ln 1 kita akan cari turunan dart fungsi f(x) sampai turunan ke limasebagai berikut:
ln1 sehingga 0 ln1 0 0 sehingga 0 1 sehingga 0 1 sehngga 0 2 sehingga 0 6 sehingga 0 24
Sehingga diperoleh suku banyak Maclaurin derajat empat dari ln1 , yakni 0 1 1 2! 2 3! 6 4! Suku sisa dari deret ini diberikan oleh:
! ! dengan 0 < c < xAkan ditentuka nilai k yang merupakan batas dari | 1| sehingga | 1| yakni:
1
.Agar
maksimum maka haruslah
(1+c)5 minimum. Karena 0 < c < 1 maka min({(1+c)5=1 sehingga kita peroleh : k > . Jadi, telah didapat suatu batas ksehingga R4I terpenuhi, yaitu .4. Menyelidiki kekonvergenan deret
a. Bentuk menjadi bentuk : =1 0 0 0 1
.
8/22/2019 KALKULUS TPB
93/183
Deret rnerupakan deret ganti tanda. Akan diujikekonvergenan dari deret sebagai berikut :Ambil suatu suku dari deret ,misalkan maka | | Gunakan uji banding untuk melihat konvergensi dari deret
. Karena| | , maka dengan menggunakan uji banding dapat disimpulkanbahwa deret | | konvergen sehingga konvergenDapat disimpulkan bahwa deret merupakan deret yang konvergenmutlak sehingga deret konvergenb. Untuk menyelidiki konvergensi dari deret . Ambil suatu suku di derettersebut dan suku setelahnya, misalkan Sehingga akan diuji :
lim lim 1 13 13
13 lim 1 1 1 13Karena
1
konvergen.
5. Berdasarkan uji rasio, suatu deret konvergen jika 1. Maka : lim : lim lim |2x 1| lim |2x 1| , untuk mencari selangkekonvergenan maka: |2x 1| 1, sehingga
1 2 2 1
Lalu cek dan dan substitusi ke . Untuk diperolehhasil , tetapi deret tersebut divergen (karena merupakan ekivalen denganderet harmonic atau pakai uji integral). Untuk diperoleh hasil danderet tersebut konvergen (kerena ekivalen dengan deret harmonic ganti tanda, dan
konvergen bersyarat). Jadi selang kekonvergenannya adalah
8/22/2019 KALKULUS TPB
94/183
Ujian Tengah Semester 1
(MA1222) Kalkulus 2 Tahun 2004/2005
1. Hitunglah lim 2. Jelaskan mengapa , disebut integral tak wajar, kemudian periksa apakah
integral tersebut konvergen atau divergen.
3. Selidiki kekonvergenan deret 4. Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat
a. 1 5. Gunakan