KLASIFIKASI BILANGAN RIIL
KLASIFIKASI BILANGAN RIILBilangan yang paling sederhana adalah
bilangan asli :
1, 2, 3, 4, 5,.
Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan
bilangan yang lebih besar yang disebut himpunan bilangan bulat
:
, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,
Himpunan bilangan bulat masih merupakan himpunan bagian dari
klas himpunan yang lebih besar yang disebut bilangan rasional.
Bilangan rasional dibentuk oleh pembagian bilangan bulat. Sebagai
contoh adalah :
2 , 7 , 6 , 0 , 5 (= -5 = 5 )
3 5 1 9 2 2 -2Bilangan irrasional adalah bilangan-bilangan yang
tidak dapat dinyatakan sebagai perbandingan bilangan bulat. Contoh
bilangan irasional :
3, 5, 1 + 2, 37, , cos 19
Bilangan rasional dan irasional bersama-sama membangun suatu
klas bilangan yang lebih besar yang disebut bilangan riil atau
kadang disebut system bilangan riil.PEMBAGIAN DENGAN NOL Pada
perhitungan dengan bilangan riil, pembagian dengan nol tidak pernah
diperkenankan karena hubungan dalam bentuk y = p/0 akan
mengakibatkan
0 . y = pBILANGAN KOMPLEKS Karena kuadrat suatu bilangan riil
tidak negatif, persamaan :
x2 = -1
i = -1 didefinisikan memiliki sifat i2 = -1.
Bilangan kompleks adalah bilangan-bilangan yang berbentuk :
a + bi
dengan a dan b bilangan riil. Beberapa contohnya adalah :
2 + 3i [a = 2, b = 3]
3 4i [a = 3, b = -4]
6i [a = 0, b = 6]
2 [a = 2 , b = 0]REPRESENTASI DESIMAL DARI BILANGAN RIIL
Bilangan rasional dan bilangan irrasional dapat dibedakan
berdasarkan bentuk penyajian desimalnya.
4 = 1.333, [3 berulang]
3
3 = .272727, [27 berulang]
11
5 = .714285714285, [714285 berulang]
7
Desimal berulang yang memuat nol setelah beberapa titik disebut
desimal terakhir.
1 = .50000, 12 = 3.0000, 8 = .320000GARIS KOORDINAT Geometri
analitik adalah suatu cara untuk menjelaskan rumus aljabar dengan
kurva geometrik dan sebaliknya, kurva geometri dengan rumus
aljabar.
Dalam geometri analitik, langkah kuncinya adalah menentukan
hubungan bilangan real dengan titik pada garis, hal ini dilakukan
dengan menandai salah satu dari dua arah sepanjang garis sebagai
arah positif dan yang lain sebagai arah negatif.-+Titik Asal
Bilangan riil yang bersesuaian dengan titik pada garis disebut
koordinat dari titik tersebut. Pada gambar diberi tanda tempat
titik-titik dengan koordinat 4, -3, -2,75, -1/2, 2, , dan 4. Tempat
dari 2 merupakan hampiran yang diperoleh dari hampiran desimalnya
yaitu 3.14 dan 2 1.41
-4 -3 -1.75 -1/2 2
-4 -3 -2 -1 0 1 2
SIFAT-SIFAT URUTANKETIDAKSAMAAN :
1. a < b atau b > a
Interpretasi geometri : a sebelah kiri b
Ilustrasi :
a b
2. a b atau b a
Interpretasi geometri : a sebelah kiri b atauberimpit dengan
b
Ilustrasi : a b
a b
3. 0 < a atau a > 0
Interpretasi geometri : a sebelah kanan titik asal
Ilustrasi : 0 a
Interpretasi geometri : a sebelah kiri titik asal4. a < 0
atau 0 > a
Interpretasi geometri : a sebelah kiri titik asal
Ilustrasi : a 0
5. a < b < c Interpretasi geometri : a sebelah kiri b
dan
b sebelah kiri c
Ilustrasi : a b c
Simbol a < b c artinya a < b dan b c. Silahkan
menyimpulkan arti symbol-simbol seperti :
a b < c, a b c dan a < b < c < d
Ketidaksamaan berikut adalah benar :
3 < 8, -7 < 1.5, -12 , 5 5, 0 2 4.
8 3, 1.5 > -7, - > -12, 5 5, 3 > 0 > -1.TEOREMA
1.1Misal a, b, c, dan d bilangan riil :
a) Jika a < b dan b < c, maka a < c
b) Jika a < b, maka a + c < b + c dan a c < b c
c) Jika a < b, maka ac < bc untuk c positif dan ac > bc
untuk c negatif
d) Jika a < b dan c < d, maka a + c < b + d
e) Jika a dan b keduanya positif atau keduanya
negatif dan a < b, maka 1/a > 1/bJika arah suatu
ketidaksamaan menyatakan maknanya, maka bagian (b)-(e) teorema di
atas dapat diuraikan secara informal sebagai berikut :
b) Ketidaksamaan tidak berubah jika kedua sisinya
ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang
sama.
c) Ketidaksamaan tidak berubah jika kedua sisinya
digandakan dengan bilangan positif yang sama,
tetapi ketidaksamaan berbalik arah jika kedua
sisinya digandakan dengan bilangan negatif yang
sama.
d) Ketidaksamaan dengan tanda yang sama dapat
dijumlahkan.
e) Jika kedua sisi ketidaksamaan mempunyai tanda
yang sama, maka tanda ketidaksamaannya akan
berbalik arahnya dengan meletakkan tanda yang
berlawanan pada setiap sisinya.Pernyataan dlm teorema 1.1
diIlustrasikan :1. Ketidaksamaan awal : -2 < 6
Operasi : kedua sisi ditambah dengan 7
Ketidaksamaan hasil : 5 < 13
2. Ketidaksamaan awal : -2 < 6
Operasi : kedua sisi dikurangi dengan 8
Ketidaksamaan hasil : -10 < -2
3. Ketidaksamaan awal : -2 < 6
Operasi : kedua sisi digandakan 3
Ketidaksamaan hasil : -6 < 18
4. Ketidaksamaan awal : 3 < 7
Operasi : kedua sisi digandakan 4
Ketidaksamaan hasil : 12 28
5. Ketidaksamaan awal : 3 < 7
Operasi : kedua sisi digandakan 4
Ketidaksamaan hasil : -12 > -28PENYELESAIAN KETIDAKSAMAAN
Penyelesaian ketidaksamaan dalam x yang tidak diketahui
merupakan nilai untuk x yang membuat ketidaksamaan itu sebagai
pernyataan yang benar. Sebagai contoh x = 1 merupakan penyelesaian
dari ketidaksamaan x < 5, tetapi x = 7 bukan merupakan
penyelesaian.
Proses mendapatkan himpunan penyelesaian suatu ketidaksamaan
disebut menyelesaikanketidaksamaan.
Contoh : Selesaikan 3 + 7x 2x 9
Penyelesaian : akan digunakan operasi dalam teorema 1.1 dengan
mengumpulkan x pada satu sisi ketidaksamaan
3 + 7x 2x 9 [diberikan]
7x 2x 12 [kurangkan 3 dari kedua sisi]
5x -12 [kurangkan 2x dari kedua sisi]
x - 12 [gandakan kedua sisi dengan 1/5]
5
krn sudah tidak dapat digandakan dgn yang mengandung x,
ketidaksamaan (1)=(4). Jadi himpunannya berupa selang (-, -
12/5)
-12
5
NILAI MUTLAKNilai mutlak atau magnitude suatu bilangan riil a
dinotasikan dengan |a| dan didefinisikan dengan :
|a| = a jika a 0
-a jika a < 0
Contoh :
|5| = 5[karena 5 > 0]
|-4/7| = -(-4/7) = 4/7[karena 4/7 < 0]
|0| = 0[karena 0 0]Pengambilan nilai mutlak pada sebuah bilangan
berakibat pada hilangnya tanda minus jika bilangan negatif dan
tidak berubah jika bilangan itu tak-negatif. Jadi |a| merupakan
bilangan tak-negatif untuk semua nilai a dan
-|a| a |a| HUBUNGAN ANTARA AKAR KUADRAT DAN NILAI MUTLAK
Bilangan yang kuadratnya adalah a disebut akar kuadrat dari a.
Setiap bilangan riil positif a mempunyai dua akar kuadrat riil,
satu positif dan satu negatif. Akar kuadrat positif dinotasikan
dengan a.
Sebagai contoh, bilangan 9 mempunyai dua akar kuadrat 3 dan 3.
Karena 3 merupakan akar kuadrat positif, diperoleh 9 = 3. Sebagai
tambahan didefinisikan 0 = 0. Terdapat kesalahan yang umumnya pada
penulisan a2 = a. Meskipun persamaan ini benar apabila a tak
negatif, tetapi salah untuk a negatif. Sebagai contoh jika a = -4,
maka :
a2 = (-4)2 = 16 = 4 a Teorema : Untuk setiap bilangan riil a
a2 = |a|
Bukti : Karena a2 = (+a)2 = (-a)2, maka bilangan +a dan a
merupakan akar-akar kuadrat dari a2. Jika a 0, maka +a merupakan
akar kuadrat tak-negatif dari a2, dan jika a < 0, maka a akar
kuadrat tak-negatif dari a2, sehingga diperoleh
a2 = +a jika a 0
a2 = - a jika a < 0
Jadi a2 = |a|.SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK Teorema : Jika a dan b
bilangan riil, maka
(a) |-a| = |a|Suatu bilangan dan negatifnya mempunyai nilai
mutlak sama (b) |ab| = |a||b| Nilai mutlak dari perkalian merupakan
perkalian nilai mutlak
(c) |a/b| = |a|/|b| Nilai mutlak dari perbagian merupakan
pembagian nilai mutlak Bukti (a) : |-a| = (-a)2 = a2 = |a| Bukti
(b) : |ab| = (ab)2 = a2b2 = a2 b2
= |a||b|KETIDAKSAMAAN SEGITIGA Secara umum tidak selalu benar
bahwa |a + b| =
|a| + |b|.
Sebagai contoh, jika a = 2 dan b = -3, maka a + b = -1,
sehingga|a + b| = |-1| = 1
Sedangkan ;|a| + |b| = |2| + |-3| = 2 + 3 = 5 Jadi |a + b| |a| +
|b|.
Akan tetapi, benar bahwa nilai mutlak suatu jumlahan selalu
lebih kecil atau sama dengan jumlah nilai mutlak. Hal ini merupakan
isi teorema yang sangat penting, yang dikenal dengan ketidaksamaan
segitiga.Teorema (Ketidaksamaan Segitiga) : Jika a dan b sebarang
bilangan riil, maka
|a + b| |a| + |b|
Bukti :-|a| a |a| dan -|b| |b| |b| Dengan menambahkan kedua
ketidaksamaan tersebut didapat
-(|a| + |b|) a + b (|a| + |b|)INTERPRETASI GEOMETRIK DARI NILAI
MUTLAK
Notasi nilai Mutlak muncul secara alamiah dalam masalah jarak.
Karena jarak tak negatif, maka jarak d antara A dan B adalah :
b a jika a < b
d = a b jika a > b
0 jika a = b
A B B A
a b b a
b-a a-b
(1) b-a = positif, jadi b-a = |b-a|
(2) b-a = negatif, jadi a-b = -(b-a) = |b-a| TEOREMA 1.5 Rumus
Jarak ;
Jika A dan B titik titik pada suatu garis koordinat yang
masing-masing mempunyai koordinat a dan b, maka jarak d antara A
dan B adalah ;
d = | b - a|
Rumus diatas memberikan interpretasi geometrik yang berguna
untuk beberapa ekspresi matematika yang umum dan dapat dituliskan
sbb ;TABEL RUMUS JARAKEKSPRESI INTERPRE GEOMETRIK PADA GRS
KOORDINAT
|x - a| Jarak antara x dan a
|x + a| Jarak antara x dan a (krn |x+a|=|x-(-a)|)
|x| Jarak antara x dan titik asal (karena |x|=|x-0|)
Ketidaksamaan dalam bentuk |x-a| < k dan |x-a| > k, sering
digunakan, sehingga dijabarkan lagi dlm tabel berikut ;
Ketidak Interpretasi Gambar Bentuk Alternatif Himpunan
Samaan geometrik ketidaksamaan penyelesain
(k>0)
|x-a|3
2x, x
3 dapatkan ;
(a) f(-4) b) f(4) f(t2 + 5)
2. Misalkan f(x) = 3/x dapatkan ;
a). f
b.). f(x2) + f2(x)
3. Dapatkan : f o g dan g o f dari pers.berikut ini ;
a. f(x) = sin2x , g(x) = cos x
b. f(x) =
, g(x) =
4. Buat sketsa grafik fungsinya dari ;
_1252045368.unknown
_1252046193.unknown
_1252046235.unknown
_1252045879.unknown
_1250960189.unknown
_1313473999.unknown
_1313474220.doc Dapatkan limit-limit berikut ini ;
5. a. lim
b. lim
x 5 x 3
6. a.lim
b. lim
x 2 x 4
7. a. lim
b. lim
x x
8. a. Lim
b. lim
x - x +
9. lim
b. lim
s + s +
_1252047427.unknown
_1252047731.unknown
_1252048015.unknown
_1252048141.unknown
_1252049046.unknown
_1252047885.unknown
_1252047620.unknown
_1252047230.unknown
_1252047333.unknown
_1252046917.unknown
_1313473975.unknown
_1313473120.doc 5. a. lim
b. lim
x 5 x 3
6. a.lim
b. lim
x 2 x 4
7. a. lim
b. lim
x x
8. a. Lim
b. lim
x - x +
9. lim
b. lim
s + s +
_1252047427.unknown
_1252047731.unknown
_1252048015.unknown
_1252048141.unknown
_1252049046.unknown
_1252047885.unknown
_1252047620.unknown
_1252047230.unknown
_1252047333.unknown
_1252046917.unknown
_1313473027.unknown
_1313472929.unknown
_1313472945.unknown
_1313472906.unknown
_1313472835.unknown
_1313472851.unknown
_1313472815.unknown
_1313472290.doc
y=1/x y=1/x
x x
Lim 1/x = +, lim 1/x =-
x o+ xo-
lim 1/x =0, lim 1/x = 0
x+ x -
_1313472617.doc Lim xn = +, untuk n = 1,2,3,4..........
x +
lim xn = +, untuk n = 2,4,6........
x - = - , untuk n = 1,3,5.......
untuk perkalian xn bilangan real negatip menghasilkan tanda
berlawan. Tapi untuk perkalian xn bilangan real positip
menghasilkan tanda sama.
Contoh ; lim 2x5 = + lim 2x5 = -
x + x -
lim -7x6 = - lim -7x6 = -
x + x -
lim
= (lim
)n = 0,
x + x +
_1251531575.unknown
_1251531633.unknown
_1313472683.unknown
_1313472588.doc y y
8 8
y=x y=x2
x x
-4 4 -4 +4
Lim x = + , lim x2 = + ,
x + x +
Lim x = - , lim x2 = + ,
x - x -
y y
8 8
y=x3 y=x4
x x
-4 +4 -4 +4
_1313472021.doc
NILAI
KESIMPULAN
x
1/x
1 10 100 1000 10.000 .
1 0,1 0,01 0,001 0,0001 .
Untuk x nilai dari 1/x turun menuju nol
x
1/x
-1 -10 -100 -1000 -10.000 .
-1 -0,1 -,001 -,001 -0,0001 ..
Untuk x - nilai dari 1/x bertambah/naik menuju nol
x
1/x
1 0,1 0,01 0,001 0,0001 .
1 10 100 1000 10.000 .
Untuk x o+ nilai dari 1/x naik menuju tanpa batas
x
1/x
-1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001
-1 -10 -100 -1000 -10.000
Untuk xo- nilai dari 1/x turun menuju tanpa batas
_1313472041.doc Lim 1/x = +, lim 1/x = -, lim 1/x =0, lim 1/x =
0
x o+ xo- x+ x -
_1313471988.doc Lim x2 4 = lim (x 2)(x + 2) = lim (x + 2) =
4
x 2 x 2 x 2 x - 2 x 2
_1313471304.doc
Garis singgung di P
y
y = f (x)
x
P(x0, y0)
_1313471582.docLimit
Contoh
lim k = k
x ( a
lim 3 = 3 lim 3 = 3
x ( 2 x ( -2
lim k = k
x ( +
lim 3 = 3 lim 0 = 0
x ( + x ( +
lim k = k
x ( -
lim 3 = 3 lim 0 = 0
x ( - x ( -
lim x = a
x ( a
lim x = 5 lim x = 0 lim x = -2
x ( 5 x ( 0 x ( -2
lim x = +
x ( +
lim x = -
x ( -
_1313471659.docL1 = lim f(x) dan L2 = lim g(x) keduanya ada,
maka
(a) lim [ f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) = L1 + L2
(b) lim [ f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) = L1 L2
(c) lim [ f(x)g(x)] = lim f(x) lim g(x) = L1 L2
(d) lim f(x) = lim f(x) = L1 jika L2 0
g(x) lim g(x) L2
(e) lim n f(x) = nlim f(x) = nL1 , untuk L1 0 jika n genap.
_1313471773.doclim [ f1(x) + f2(x) ++ fn(x)] = lim f1(x) + lim
f2(x) +
+ lim fn(x)
lim [f1(x) f2(x) fn(x)] = lim f1(x) lim f2(x) lim fn(x)
lim [ f(x)]n = [lim f(x)]n
lim xn = [ lim x]n = an
x ( a x ( a
Contoh :
lim x4 = 34 = 81
x ( 3
_1313471622.docTeorema : Dimisalkan lim di sini berarti satu
dari limit-limit lim , lim , lim , lim atau lim . Jika
x ( a x ( a- x ( a+ x ( + x ( -
_1313471446.doc
y = f (x)
a b
x
y
_1313471528.docContoh ; f(x) = sin x/x, dibuat tabel sbb ;
x f(x) = sin x/x x f(x) = sinx/x
1,0 0,84147 -1,0 0,84147
0,9 0,87036 -0.9 0,87036
0,8 0,89670 -0,8 0,89670
0,7 0,92031 -0,7 0,92031
0,6 0,94107 -0,6 0,94107
0,5 0,95885 -0,5 0,95885
0,4 0,97355 -0,4 0,97355
0,3 0,98507 -0,3 0,98507
0,2 0,99335 -0,2 0,99335
0,1 0,99833 -0,1 0,99833
0 0,99998 0 0,99998
_1313471380.doc1. Diberikan f(x) = {
x>3
2x, x
3 dapatkan ;
(a) f(-4) b) f(4) f(t2 + 5)
2. Misalkan f(x) = 3/x dapatkan ;
a). f
b.). f(x2) + f2(x)
3. Dapatkan : f o g dan g o f dari pers.berikut ini ;
a. f(x) = sin2x , g(x) = cos x
b. f(x) =
, g(x) =
4. Buat sketsa grafik fungsinya dari ;
a). f(x) = 2 sin x b). g(x) = {x2, x 4
0 , x = 4
_1252045368.unknown
_1252046193.unknown
_1252046235.unknown
_1252045879.unknown
_1250960189.unknown
_1313470920.doc A0 + a1x + ax2 + + anxn
F(x) = b0 + b1x +b2x2 + + bnxn
_1313471159.doc y
x
_1313471245.docContoh : gambarkan grafik fungsi berikut ini
;
y = x2 + 2
y = x2 2
y = (x+2)2
y = ( x 2)2
_1313470956.docContoh : f(x) = x2/3 = ( x)2 dan g(x) =
_1251482762.unknown
_1313470831.docDESKRIPSI
RUMUS UMUM
Polinomial linier
Polinomial kuadratik
Polinomial kubik
a0 + a1 x (a1 0)
a0 + a1 x + a2 x2 (a2 0)
a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 (a3 0)
_1313470886.docAdalah suatu fungsi yang dapat dinyatakan sebagai
rasio dua polinomial.
Contoh :
X5 2x2 + 1 x
X2 - 4 x + 1
_1313470698.docRumus untuk polinomial dalam x adalah
f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 ++ an xn
atau
f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 ++a0
_1313427067.doc
y
8
x
-2 2
-8
_1313469774.doc
y
P2 (x2, y2)
y2 y1
(rise)
P1 (x1, y1)
x2 x1
x
(run)
_1313470007.doc
y
(0, 3)
x
(-4, 0)
3x 4y + 12 = 0
_1313470590.docx3 + 4x + 7, 3 2x3 + x17, 9, 17 2 x, x5
3
_1313469873.doc
P2 (x2, y2)
y
P2 (x2, y2)
y2 y1
y2 y1
Q
P1 (x1, y1)
x2 x1
P1 (x1, y1)
Q
x2 x1
x
_1313469210.doc
y = -x2
y
x
x
y = x2
y
x = y2
y
x
y
x
x = -y2
y
y
x
x
y = -x
y = x
_1313469694.doc
y
y = 3x
x
y
x
y = x3
y
x
y = 1/x
x
y
y = -1/x
y
x
y
x
y = -1/x2
y = 1/x2
_1313428831.doc
140
x
-2 2
y
-140
_1313426713.doc
x
y
8
-8
-2 2
_1313426803.docx
y = x2
(x, y)
0
1
2
3
-1
-2
-3
0
1
4
9
1
4
9
(0, 0)
(1, 1)
(2, 4)
(3, 9)
(-1, 1)
(-2, 4)
(-3, 9)
_1313426928.doc
perpotongan-y
perpotongan-x
(a, 0)
x
(0, b)
3
2
3x + 2y = 6
_1313426759.docx
y = x3
(x, y)
0
1
2
-1
-2
0
1
8
-1
-8
(0, 0)
(1, 1)
(2, 8)
(-1, -1)
(-1, 1)
_1313426363.doc
Kuadran Kuadran
II I
Kuadran Kuadran
III IV
( - , + ) ( + , + )
( - , - ) ( + , - )
_1313426558.doc
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 1 2 3
_1313426265.doc
titik asal
sumbu-y
0
-1
-2
-3
-4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
sumbu-x