BAB II FUNGSI DAN GRAFIK Pada awalnya fungsi muncul karena adanya ketergantungan suatu kuantitas (besaran) tertentu pada kuantitas (besaran) lainnya. Fungsi dapat dinyatakan dalam 4 cara yaitu secara verbal (kata-kata), numerik (tabel nilai), visual (grafik) dan aljabar (rumus eksplisit). TIK : Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa dapat menggambarkan grafik fungsi yang diberikan 2.1. Pengertian dan Penyajian Fungsi Sebuah fungsi f adalah aturan yang memasangkan setiap elemen x dalam satu himpunan, misalkan A, dengan tepat satu elemen f(x) dalam himpunan kedua, misalkan B. Himpunan B boleh sama dengan himpunan A. Apabila f merupakan fungsi yang memasangkan setiap anggota A pada tepat satu anggota B, maka f ditulis sebagai f : A B. Himpunan A disebut domain (daerah asal, daerah definisi) fungsi f dan himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dari fungsi f. Empat situasi berikut menggambarkan cara penyajian fungsi, yaitu : 6
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB II
FUNGSI DAN GRAFIK
Pada awalnya fungsi muncul karena adanya ketergantungan suatu kuantitas
(besaran) tertentu pada kuantitas (besaran) lainnya. Fungsi dapat dinyatakan dalam 4 cara
yaitu secara verbal (kata-kata), numerik (tabel nilai), visual (grafik) dan aljabar (rumus
eksplisit).
TIK : Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa dapat menggambarkan grafik
fungsi yang diberikan
2.1. Pengertian dan Penyajian Fungsi
Sebuah fungsi f adalah aturan yang memasangkan setiap elemen x dalam satu
himpunan, misalkan A, dengan tepat satu elemen f(x) dalam himpunan kedua, misalkan
B. Himpunan B boleh sama dengan himpunan A.
Apabila f merupakan fungsi yang memasangkan setiap anggota A pada tepat satu
anggota B, maka f ditulis sebagai f : A B. Himpunan A disebut domain (daerah asal,
daerah definisi) fungsi f dan himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dari fungsi f.
Empat situasi berikut menggambarkan cara penyajian fungsi, yaitu :
a. Luas daerah A dari suatu lingkaran tergantung pada jari–jari r lingkaran tersebut.
Aturan yang mengaitkan r dan A diberikan oleh persamaan A = r2.
Setiap nilai r berhubungan dengan nilai A, maka dikatakan bahwa A adalah fungsi
dari r. Fungsi tersebut disajikan melalui suatu rumus eksplisit.
b. Populasi manusia P di dunia tergantung pada waktu t. Tabel berikut memberikan
taksiran populasi dunia P(t) pada waktu t, untuk tahun tertentu.
6
Tabel taksiran populasi penduduk dunia (dalam jutaan)
Tahun (t) Populasi (P)1900 1650
1910 1750
1920 1860
1930 2070
1940 2300
1950 2520
1960 3020
1970 3700
1980 4450
1990 5300
1996 5770
Untuk setiap nilai t terdapat nilai padanannya P, sehingga kita katakan bahwa P
merupakan fungsi dari t. Fungsi tersebut disajikan dalam bentuk tabel.
c. Biaya pengiriman surat tercatat C tergantung pada beratnya w. Walaupun tidak
terdapat rumus sederhana yang mengaitkan C dan w, kantor pos mempunyai aturan
tertentu (dapat disajikan dengan uraian kata – kata) untuk menentukan C bila w
diketahui. Aturan yang digunakan Perusahaan Pos Amerika Serikat tahun 1998
sebagai berikut : Biayanya adalah 32 sen untuk berat sampai dengan satu ons,
ditambah 23 sen untuk setiap ons tambahan sampai dengan 11 ons.
d. Kecepatan tegak tanah a yang diukur oleh seismograf selama gempa adalah fungsi
dari waktu terlewat t. Biasanya digunakan grafik yang menyatakan hubungan antara a
dan t.
7
t (detik)
a (cm/det2)
2.2. Domain dan Kodomain Fungsi
Domain fungsi f yaitu himpunan elemen-elemen di mana fungsi f mendapat nilai
(suatu bilangan real). Himpunan bagian dari B yang anggota-anggotanya merupakan
nilai-nilai yang diperoleh dari fungsi f disebut range (daerah hasil) dari fungsi f.
Pembicaraan tentang domain dan range memegang peranan penting dalam fungsi
karena hal ini terkait dengan nilai-nilai dimana fungsi mempunyai makna.
f
Domain Range
Keterkaitan antar variabel
Lambang yang menyatakan suatu bilangan sebarang pada domain f disebut
variabel bebas. Sedangkan lambang yang menyatakan bilangan pada range f disebut
variabel terikat. Misalnya dalam empat penyajian fungsi di atas, apabila fungsi disajikan
dalam bentuk rumus eksplisit berikut A = r2 maka r merupakan variabel bebas,
sedangkan A adalah variabel terikat.
Fungsi bentuk eksplisit adalah fungsi yang variabel bebas dan variabel terikatnya
terpisah. Jika x variabel bebas dan y variabel terikat maka notasi fungsi bentuk eksplisit
ditulis y = f(x).
Contoh :
a. y = 3 sin x + cos x
b. y = x2 - 8 x + 10
Fungsi bentuk implisit adalah fungsi yang variabel bebas dan variabel terikat
letaknya tidak terpisah. Jika x variabel bebas dan y variabel terikat maka notasi fungsi
bentuk implisit ditulis f(x, y) = 0.
Contoh :
a. (x-3) y + 5 x -3 y = 0
b. x2 – x y2 + 6 x y – 7 x = 0
8
x
a
f(x)
f(a)
Fungsi parametrik adalah fungsi yang relasi antara variabel bebas dan variabel
terikatnya disajikan dalam persamaan yang menggunakan parameter. Jika x variabel
bebas, y variabel terikat dan, t parameter maka notasi bentuk fungsi implisit dapat di tulis
sebagai berikut : , t sebagai parameter
Contoh :
a. , a sebagai parameter
b. , t sebagai parameter
Fungsi y = f(x) merupakan fungsi yang dibentuk dari satu variabel yakni x,
sedangkan fungsi z = f(x, y) adalah fungsi yang dibentuk dari dua varibel yaitu x dan y.
Contoh :
a. Fungsi satu variabel
1. y = 3 x – 2
2. z = sin y + cos y
b. Fungsi dua variabel
1. z = x3 + 4 x2 y - 8
2. c = a2 b2 + a b4
Apabila sebuah fungsi domainnya tidak dirinci, maka dapat dianggap bahwa
domainnya adalah himpunan bilangan real yang terbesar sehingga fungsi tersebut bernilai
bilangan real. Domain tersebut disebut daerah asal alamiah.
Contoh :
a. Tentukan domain dan range f(x) =
b. Tentukan domain dan range g(x) =
Penyelesaian :
9
a. Domain fungsi f(x) = adalah nilai-nilai x sehingga f(x) bernilai
bilangan real, yaitu himpunan penyelesaian dari 25 - x2 0. Jadi
D(f) = {x R : 25 - x2 0}
= {x R : x2 25 }
= {x R : -5 x 5}.
Range fungsi f adalah nilai y yang diperoleh apabila x berada dalam D(f). Jadi
R(f) = {y R : y = , -5 x 5} = {y R : 0 y 5}∎
b. Domain fungsi g(x) = adalah nilai-nilai x sehingga g(x) bernilai real. Fungsi
g(x) bernilai real apabila x – 5 0, jadi D(g) = {x R : x 5}.
Range fungsi g(x) adalah R(g) = {y R : y = , x 5}
R(g) = {y R : y 10}∎
Latihan :
Carilah domain dan range dari fungsi f
1. f(x) = 6. f(x) =
2. f(x) = 7. f(x) =
3. f(x) = 8. f(x) = |x| + x
4. f(x) = 9. f(x) = |2 x + 3|
2.3. Operasi, Komposisi dan Invers Fungsi
2.3.1. Operasi Fungsi
10
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal A dan B. Maka fungsi
penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian antara kedua fungsi itu
didefinisikan sebagai berikut :
1. (f + g) (x) = f(x) + g(x) ,daerah asal f + g adalah A B
2. (f – g) (x) = f(x) – g(x) daerah asal f – g adalah A B
3. (f g) (x) = f(x) g(x) daerah asal f g adalah A B
4. ( daerah asal adalah { x A B ; g(x) 0 }
Contoh :
Jika f(x) = dan g(x) = , tentukan f + g, f – g, fg, dan daerah asalnya
Penyelesaian :
Daerah asal f(x) adalah [0, + ) 0 ≤ x dan daerah asal g(x) adalah [-2, 2] -2 ≤ x ≤ 2
sehingga
irisan daerah asal f(x) dan g(x) adalah [0, + ) [-2, 2] = [0, 2].
Jadi menurut definisi diperoleh
(f + g)(x) = f(x)+g(x)= + , dan daerah asal : [0, 2].
(f – g)(x) = - , dan daerah asal : [0, 2].
(f g)(x) = = , dan daerah asal : [0, 2].
( = = , dan daerah asal : [0, 2) ∎
Latihan :
Tentukan f + g, f – g , f g , dan daerah asalnya.
1. f(x) = x3 + 2 x2, g(x) = 3 x2 – 1
2. f(x) = , g(x) =
11
3. f(x) = , g(x) =
4. f(x) = x2 + x , g(x) =
5. f(x) = x – , g(x) = x2 + 1
6. Jika f(x) = x2 + x , g(x) = , carilah (f – g)(2), ( )(1), g2(3)
7. Jika f(x) = , g(x) = , carilah f 4(x) + g 4(x)
8. f(x) = x – , g(x) = x2 + 1 , carilah f 3(-1), f 2(2) + g 2(2)
2.3.2. Komposisi Fungsi
Diberikan fungsi f dan g, fungsi komposit f g (disebut juga komposisi dari f dan
g), didefinisikan oleh
(f g)(x) = f(g(x))
Daerah asal f g adalah himpunan dari semua x di dalam daerah asal g sedemikian
hingga g(x) berada di dalam daerah asal f. Dengan kata lain, (f g)(x) akan terdefinisi jika
g(x) dan f(g(x)) keduanya terdefinisi. Penjelasan f g dapat dilakukan dengan gambaran
diagram mesin berikut :
x g(x) f(g(x))
(masukan) (keluaran)
Variabel x sebagai masukan, akan diproses mesin g dan akan diperoleh hasil g(x),
selanjutnya g(x) akan menjadi masukan bagi mesin f, hasilnya adalah f(g(x))
Contoh :
Jika f(x) = dan g(x) = , tentukan komposisi fungsi berikut
a. f g c. f f
b. g f d. g g
Penyelesaian :
12
g f
a. (f g)(x) = f(g(x)) = f( ) = = .
b. (g f)(x) = g(f(x)) = g( ) = .
c. (f f)(x) = f(f(x)) = f( ) = =
d. (g g)(x) = g(g(x)) = g(2 - ) = .
Melakukan komposisi tiga fungsi atau lebih , misalnya f g h, adalah dengan
memproses masukan pada h terlebih dahulu, selanjutnya hasilnya diproses pada g, dan
terakhir hasil dari proses g diproses pada f, rumusannya adalah sebagai berikut
(f g h)(x) = f(g(h(x)))
Contoh :
Carilah f g h jika f(x) = , g(x) = x5 dan h(x) = x + 3