DOSEN : ERNIATI, ST., MT / NURINSANA, ST KALKULUS I Dosen : ERNIATI, ST., MT / NURINSANA, ST Jurusan : Teknik Sipil, Arsitek, Kimia, Elektro SKS : 3 SKS I. BILANGAN (2 TTM) BILANGAN ASLI dan BILANGAN BULAT FAKTOR DAN BILANGAN PRIMA PECAHAN BILANGAN DESIMAL PANGKAT II. BILANGAN KOMPLEKS (2 TTM) PENGENALAN BILANGAN KOMPLEKS PENAMBAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN KOMPLEKS PERKALIAN BILANGAN KOMPLEKS III. DETERMINAN (2 TTM) SIFAT-SIFAT DETERMINAN DETERMINAN ORDE KEDUA DETERMINAN ORDE KETIGA IV. METRIKS (3 TTM) DEFENISI PENAMBAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS PERKALIAN MATRIKS TRANSPOS SUATU MATRIKS DETERMINAN SUATU MATRIKS BUJUR SANGKAR NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN V. VEKTOR (3 TTM) DEFENISI VEKTOR PENGGAMBARAN VEKTOR JENIS-JENIS VEKTOR PENJUMLAHAN VEKTOR VEKTOR DALAM RUANG HASIL KALI SKALAR DARI DUA VEKTOR HASIL KALI VEKTOR DARI DUA VEKTOR SUDUT ANTARA DUA VEKTOR VI. DERET (2 TTM) FAKTORIAL KOMBINASI KALKULUS I
Materi Kalkulus pertemuan ke 4 - Teknik Sipil UNIFA 2008
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
DOSEN : ERNIATI, ST., MT / NURINSANA, ST
KALKULUS IDosen : ERNIATI, ST., MT / NURINSANA, STJurusan : Teknik Sipil, Arsitek, Kimia, ElektroSKS : 3 SKS
I. BILANGAN (2 TTM) BILANGAN ASLI dan BILANGAN BULAT FAKTOR DAN BILANGAN PRIMA PECAHAN BILANGAN DESIMAL PANGKAT
II. BILANGAN KOMPLEKS (2 TTM) PENGENALAN BILANGAN KOMPLEKS PENAMBAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN KOMPLEKS PERKALIAN BILANGAN KOMPLEKS
III. DETERMINAN (2 TTM) SIFAT-SIFAT DETERMINAN DETERMINAN ORDE KEDUA DETERMINAN ORDE KETIGA
IV. METRIKS (3 TTM) DEFENISI PENAMBAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS PERKALIAN MATRIKS TRANSPOS SUATU MATRIKS DETERMINAN SUATU MATRIKS BUJUR SANGKAR NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
V. VEKTOR (3 TTM) DEFENISI VEKTOR PENGGAMBARAN VEKTOR JENIS-JENIS VEKTOR PENJUMLAHAN VEKTOR VEKTOR DALAM RUANG HASIL KALI SKALAR DARI DUA VEKTOR HASIL KALI VEKTOR DARI DUA VEKTOR SUDUT ANTARA DUA VEKTOR
VI. DERET (2 TTM) FAKTORIAL KOMBINASI DERET BINOMIAL EKSPANSI BINOMIAL BILANGAN EKSPONENSIAL e
II BILANGAN KOMPLEKS (2 TTM)
KALKULUS I
DOSEN : ERNIATI, ST., MT / NURINSANA, ST
1. PENGENALAN BILANGAN KOMPLEKS
Simbol j
Penyelesaian dari suatu persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0, dapat diperoleh dengan
menggunakan rumus ,
Sebagai contoh, jika 2x2 + 9x + 7 = 0, maka kita memperoleh
Contoh diatas penyelesaiannya sangat mudah, tetapi Persamaan 5x2 – 6x +5 = 0 jika
diselesaikan dengan cara yang sama diatas, kita akan dapatkan :
x =
tahap berikutnya ialah menentukan akar kuadrat dari -64, apakah akarnya 8 atau -
8 ??????
Tentu saja tidak satupun yang benar, karena +8 dan -8 adalah akar kuadrat dari 64 dan
bukan -64.
Sebenarnya tidak dapat dinyatakan dengan bilangan biasa, karena tidak ada
bilangan riil yang kuadratnya negatif. Akan tetapi, -64 = -1 x 64 dan oleh sebab itu kita
dapat menulis
Artinya,
Tentu saja kita masih dihadapkan dengan , yang tidak dapat dihitung seperti
bilangan riil, karena alasan yang sama seperti diatas, tetapi jika kita menulis huruf j
sebagai pengganti , maka j8. Jadi walaupun kita tidak dapat
menghitung , kita dapat menggantinya dengan j dan ini membuat pekerjaan kita
lebih rapi.
KALKULUS I
DOSEN : ERNIATI, ST., MT / NURINSANA, ST
j8
Serupa halnya , j6
j2,646
Jadi dapat ditulis sebagai j5
Latihan :
Carilah nilai x dari persamaan 5x2 – 6x + 5 ????
Penyelesaian :
= =
x = x =
x = x =
Pangkat dari j
Dengan mengingat bahwa J menyatakan , marilah kita perhatikan beberapa pangkat
dari j berikut ini :
Khususnya perhatikan hasil terakhir j 4 = 1 , Jadi setiap kali muncul faktor j4 dapat
digantikan dengan faktor 1, sehingga pangkat dari j berkurang menjadi salah satu diantara
keempat hasil diatas.
Contoh :
Latihan :
a). j42 = ....................
b). j12 = ……………
c). j11 = ……………
d). jika x2 – 6x + 34 = 0, x = …………..
KALKULUS I
DOSEN : ERNIATI, ST., MT / NURINSANA, ST
Penyelesaian :
a). j42 =
b). j12 = = 1
c). j11 =
d). jika x2 – 6x + 34 = 0, x = …………..
Artinya atau
INGAT :
untuk menyederhanakan pangkat dari j, kita keluarkan dari j4 yang paling
besar, dan hasilnya harus disederhanakan menjadi salah satu dari
keempat hasil berikut : j, -1, -j, 1
Hasil yang kita peroleh terdiri atas dua suku yang terpisah, yaitu 3 dan j5.
Suku-suku ini tidak dapat digabungkan lagi karena suku kedua bukanlah suatu bilangan
riil (karena memiliki faktor j).
Dalam pernyataan seperti , 3 disebut bagian riil dari x, 5 disebut bagian
imajiner dari x, dan gabungan keduanya membentuk apa yang disebut bilangan
kompleks.
Jadi suatu Bilangan Kompleks = (bagian riil) + j (bagian imajineer).
2. PENAMBAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN KOMPLEKS
Dalam penambahan dan pengurangan bilangan kompleks, meskipun bagian riil dan
bagian imajinernya tidak dapat digabungkan,akan tetapi kita dapat menghilangkan tanda
kurungnya dan kemudian menjumlahkan/mengurangkan suku-suku yang jenisnya sama.