Page 1
ft'II
I
r?it-
. , ',i
.<
BAB IITURUNAN
A. Pem*,::r'rbigsn Tttum.I.l
run&n fungsi y : f (x} terhadap x,Jititilc x : x r, didefinisikan sebagai :
linr Af : Iinnit flx-t A +J-:.lt*Ax.:) i) Ax A>r-)Cl Ax
r\ndaikan limitnya ada dan dirnlis sebagrii f 1 (:l) atau dfdx.
Con{a'.lt: }litung tururtari clari f (x) : 5x 2 + {t
.luwai, : i{ 1x; : lim ffa:J-U-:-fldAx *0 Ax
- lim {l;g;r A x} 2 + 6)-:--:iliX_-i-61
Ax ?0 Ax
:lim il.x3.+ Z xAX.+$1x) r'6 - 5.r:-*6
Ax*O A,',r
= lirn :: ' . f Ot X-:3t' ,
A:< l0 Ax
: lim lOx + ,5{p : 10x
Ax )()
B. Rrnrrus"rumw" ENShr Tunman
l. y == xn, rnakay' : ilxo-I.
2. 'j '= .suahr
fungsi konstanta, maka y I : 0'
3. v firrrgsi trigonometri :
i
tlro llq il
#; lr-'
l
aj,rr :t1.. ,,i!1.,.-"r;"i{Hr*:1,, ,1 -a::"'
eL__,
Page 2
7?' '4'-a
lIr-iD'r'a
€
'ii "rFffi?l!1:!j,1':.f, ari:iJ!1,11::-.:.1:
1
a) :r'- sisx * )' : soslL
bl y - 65x -* Yl: -sinx.
c) i,,'= @x -* Yl: sgs')L
d) y: Sgx t Y':-co6€G2xl
e):r: $Gsx * Yt: secxtgx
0';,: cos36x t yl : 'cosscxctglt
4., y'fiu gsii logrritma :
e)i,=thgx t;rr- -1..xln g
b) 1r = Inx * Y'- J-=
x.
5. y f.rrigsi oksPomnsisl :
a) y : a"
b) y - ot* :y' : u'lna.
* Y t : e*'
6. y fiur:tr*i siklsmsri :
.t'a) y : arc sisx { Y' = Vfl]i3
b) f + att oo$x * Y'i
,l-c) y = sr? tgx -) y''= 1 + xx
_l..._
d) f = are otgx ) Y' : I 't- x2
c)y:are$ooxlY':x,
-l_
1
Page 3
7"
v
*1
n CwUc,*: 1.y-3r* )Y'='12x3',7
2.y:tg'* )Y':Ztgxsec-x'
C. Aturri,lr Renfrl Fungsi Tens'usr:m
lJrrtuk fungsi-fungsi yang benhknya rumiL r!funilts y a'Jaletrr f;:ngsi dari
u (atnu v), u dan y merupakan fungsi dari x, hrrunannya clik*mbatrilcan
ker.lnrus dasar.
C*wrye:
t.r"= hu + vr : f,(u'), hou*u*n
2.5,,= g * v ) Y' : u'* vl
3.), ,= ut t Yl : ulv + u'r'I
4. y,= g + Yt: u'v- uv'
S'a,r I : lenttlkanY' &t i,
l. :/ : ln V3-I72. r '= sin'3x.
o2v
Contah:y : &\'sin x
T.v' : slnx -iia!-Esin
2 x.
li,rlain dari keeinpat bentuk di atas, suatu fi*ngsi mentpak'tn fungsi
tersuluu clari fungsi prda rumlls dasar. tlntuk men*;ari turunannya gunakan
r.:+-ri :;tFi-lEE.ri+iq7-5ili .:' : t
runlu:i 1,Bng disebut duran ru*tai. Bila y : f (x) mtlrupakan fungsi tersusun
Page 4
,E-#*Fq':k? I. ii,l
= h {x), mak* & * dy .dEY:E(u)danu' dx du d1
Corrta,*:Y = $mqudirxsnsu: x'-1Y':&:dY'du
&du&- -5 sinu' 2x
' : -10 x sin.u. 7 1\
= -10 x sitt(x'- i)Terntukan turunan P*rt*ma d*ri :
t.y = q+u +I
u'= !G-
2.y= Vl +U u=VN
\I + x I4. Y '=' tlz$ x sin 2x
5. y = xViffi = sz arg sin x/a
6. y ''' xhx - x.
D, Tunuun I-+Hr T.fug$
Mtsslryay:f(x)fungsixyangdapatdideferinshdsnturunannyat',triik.turuna'Epertlmadepatdidiferensif'
disetrut ' lanaaa Y'* fr*fusu dari firngsi erslinya' Ditulis dY-' ' Y
u
atau :. " (x)..:--- , ;;;;r* runuran dari ruruilan kedun disebut nt*nanun kdwf
dinyt,t iksa oleh ry Y * atau f* tx)'
dx3
v
v
: 5cosul: -5 sin u
i
Page 5
#. . .'ir{<f+1sf3:
i i#t i*S.t?,:ij:Bryi:r+: ":: :E:aBi. -;l
9
Su*r*: Y'
*v
s'*ffi
v'
;r *x3* lSxE* 24r
-24
E MmryB*nffinl.ary
y - f(xletr)
lny = taflxltlrt :S(xllnf(x)
Id:r E 3I(xltuf(x)+g(x) {lnf(x)}1
y d:r
tr ytsf(*)uf{x)+s{xi}[tgf{x} ]'}dx
Caldoh :
t. y = x*
d:t t' x'''
k' f : lnx": xlnxj. fu : ltrx *' x.-!- : lnx + I
t&r x
dX = y {bx * t} = x" {hx + I}
dx ,-
2.y =(lnx)'' ob
Irry : l$ [0nx)"tJ : *' tnla(x)
.:_l =Zxln(lnx)+x,. [ .1.
,.r lnx x
ii
i:
:
Page 6
*:,&*'
r*
1f\I 1,,
vl
:: ?E fu&x* +*S"
kxt: y*,ge & kx) + .x. ) * : {1s4"
trsx
{2xln(lnx) + x }
lnx€,
F;.TumnruWSIffid3
Page 7
*+A**
t1
lQ" x ';= ;ffi B {x + Y}
'tt.xffiry: tb {x + Yi
l3.Ter*uk*P ,ffi\l + *i5, bile eY = x + Y
'*r- -,1 dx 2
C.' G*,*k lf#ry,ffi dan garis n*1mal .
E ila m : q ruks gsris singgrmg sciei&r deugan x pr'rsamaan
Gar*s sntEgES ffitlt*xrayar psrsamaan : y - y o: iI: (x - x ')'
r{ CI y€ilg
) dengan
Y:Ye'
' *l+ ryel titik $a& grafik) adalah g**3. . 'iiryis ffiIllal dui.Sg$k @
y*rrg teg,aklunrs gmis siag6ung @"ti* tslEsbut
Page 8
t?.
Par.*aiwwgarisnormaldi(,u", Yo):y - yo: - 1*(r- x.-') s*rt* bile:
f '(*)- #a.iis *irygung il sumbu y, rnaka Seffis xi*rlrxi} l/ silmbu'x
- Ge"ds siagrrng /i sumbu x, maka g*ris **ry // sumbu y'
Cw{,*it: TEntukan persrmaan garis eiffitffig dcn geris normel pade x 2 - 3 x
Y + Y2:5@sritik{l'l}'fmrnl,' x' - 3xY + Y2 : 5'
2x-3Y-3x1'I r}YYr:O'yr (-3y + 2Y): '2x + 3Y
)'I ': [x-!--L Y
3x + ?,v
,-?'+3: l:-l-3+2 -l
pcrsi*issnsariss.inggung ,; - I _ l,:;
,,
x+Y-?:0Pe#lu+Hengarisnortral : y - tr = {x -'1) i
y-x:0Y-"L
Paninng garis si*ggung, p*$&e'x*& 5e*r '*mxseg" eerfry gwts #Md,zn pw$wtg sub garis nontwl
PanjangSfr',issiLnggu*adalahpnnj*nepotongansarissinggrrag
dihir n:ng dari titik singg,ung sampai titik potong -"f'1* Paaia'ng s3*& gstb
singrytng (panjang sub tangen) *g[ulut penjang ;rroyeksi prtcrigan gar'is
terse btrt'Pada sumbu x.
Page 9
l3
.*'iE *srwsladalah panjang potong*n g*ris *ormaI dihitlg
dan rrtik po$oog dengan garis singgung sarnpai titik pt<x'g clcngan t"\'I'
Paz$u;xgsfl& g4{if nornffil (psoj*ng sub norm+!} adal*l,, p*r'jang proysksi
garis'rrsebut Pada rutH
rs '' tg y - koefislen esah garis sisgs,lw
Penjlnl,; subtangar :TS : lY"/ml
'r.-Fltl'w?
Fcnjlr:p garis singgpng : TF : V TS' + ffitrPanjrrnl;; garis normal :f,fP : V S
C&fdrni: : Panjang garis, singgung; Psqis"g Srys xrrms'l' prfiaqs sub gryrs
singgung panjang sub garis normal &lri xy + 2x - y:5 p*d" (2' l),-lorrxtt :xY + 2x- Y:5
y +:(yt + 2 - Yl '= 0
yl (x - 1) : -y - ?'
7 a -^l^ (rl t\ ty,: l-2 pada(2, 1)
x-1: J--:J. := L: '3
2 - 1 t
Fanjr:rrigsubtangcn : ly"/ml:' ll/-3 I : Lf3
Panj,irrgsubnorntal : ln,yol : l-3'11:3
Page 10
' iii'
14
Faqpr*s ssi$ s*w*w = V?TEF] .- V@-f? : V;SP : 1,i3 Vm"
,Sesd, : i:Ke*ry ffitre ff,ri* si*wl*sg, *gris nornral, sub garis siaggung' sub '
:ffid;r*ri:E,) x' * y' - 4x - ?,t: sdits,4)
h) 4x2 + xY:4$di {-1,?}"
H" Ber* hrk ts*. *@ *m n&sem {}i'Hmpital >
I,imil dwgan brntuk taktentrl s,*alah limit dengan im$'*h-ber:n'r.k' : o/o,
-f^., r-, i-,6-w, - o clas l-'. Unh:k renghitung iimi? terseb'ut dripmi eSigunakan
*.nrra* €"HoaPital).
I.Ji&slirrf{x}-odanlimg(x):-,m*eIi*f{x}g(x}_G.-r**ahb'cntr*:
:
1. t.e (x) f (x)
:
Cot*tx: lim (1 - x) ls (l - x): (S, * )'
x) I
tim !n (1 - -x ): ' (berfiik : )'
x*l 1.
I -x
lim -1 . :
*!-F. : lim -{1 -x):O.
xll- l . {+}, (1 - x),
Page 11
{iFtl?, - fi'
i
15
g &l*wf{x}-*fu k * (x}- -, n*sks tiss {f{x} - g{x} }: *. - - (bsoh}k.
tak tellft)*:*r x*e x*e ta'K rentrt)
lim ,t''*Lx'* c [lx]--JIx} isteh b*nhrk o/o
f(o! s (x)-\ i" ry \ '
Csiah:lb lx I \:x*1 \*-r r"*/
x*1 (x-l) kxiu-l :it - l) I
titu h*,t-Jr,-1fi-- I {tu-l :x*l lnx + g'.-11 : x x
:
x .",
tim . !8. l&xill-+.[* E fJ,t
ittx2iIb lf,2- t = **: l"
llx+ I x x* I 2
III. *ka ' r) lis f (x) : O d.a llp g (x) = O
x* a xl e
b) Iim f (x) * o dss littt s (x) 5* *
x* a x) a
c) lim f {x} = - dan lim s {x} : (}
x?a x)a
Page 12
,\
16
ft@ trtm f (x) s (x) **;u6i hma* tak tnntu. Limit-limit tsrsebut dapat
"ry#d*d*e kia nrenpmffi tagrylry*anya,
C,ffi*:1.[imx*": ials& bentuk : Oo
xtSt*@a:t
IftL
xlO-kl*& x*" :'x*S
:fu rinx lnx'x*O
* lim. ' ,18 x.
r* O l/sin x
' . :"-:TT**::T*x*O . jw ffiip2x
:lim _ &txx* O xecpx
lirn ln x &"
x*O{o *)
=Em" x*O
:OII -IBL =flL :eo:l
r'.' lim x =* *- I
x*O,[x : i
-^_ 4m x cffix
00s,x-xfl$x,r -.;, r ,o:
Soa;t:1 Iim
x.-* O
tr
Page 13
at#
l7
:1. lim l'1-J-\i.x*o \* sinx )
:i.iim 2arcts4-x:!
x*S ?x-*r.e sinx\ .\
rr. lim l--4-- 1'\--.ll ri
x)2 \t'-+ x-2
L Mex.wntnSm fi'e Kr#e $*e' ekstr*m),F
I'rx) dapat didifrrensir dslam selang a ( x'<' b dan jtka t (x) memurt<t
aila.i :.elatif mak*imum (r*inirnum) di titit 1 : x'o' Iliinena a (' x * < b'
''' ;og**ak* titik kritis Itvl i
Cer* l:
2. 1*,trikaa nil*i-nilai lritis pada s1$tu,Fkql* bilengan' rnaka tsrbenftk
txrb';raP+ internal'
i (x) bernilai arak*imal : f (x J jiku f 1 (x) berulnh da{r + ke -' ,
! l-^ L
f (x) be,rnilai rninimal ': f (x "]
jik& f ' 0t] be*beh dari - l* '" .
i (x) tidak bernilai, maksimum atau mi*imal dari r= x o bil* f t (*)
:idak berubah tanda.
Caro t'I'.
' 1. $elesaikan f ' (*) : O untuk harga'harga lcritis-
. 2. Ftrngsi di diferensial sekali llgi,gernperoleh f
1(:'") Untr'tk harga kritis x: xo
Page 14
Id* I
- f (r) mempuuyal nilai maksimum f (x o) bile :t' '*
o) < O'
- 1 (x) mernpunyai nilai minimum f (* J bila f t' t" o) > O'
- !-,tnyelidikan geg&l bila f t't* o) : O atau menjauli tak hinggn'
-t,
Cmt*tl. 1. Y:16x3 * 'Ax2 -6x + 8
Tentuknn :
a) Untuk titili-titik kritis'
b) Interual dimana y naik dan y turutr'
c) Niki nleksimuul daa miairnum deri y'
2'Y=x'-3x3, y : x'+ 2x2 - 4x - I
.4
tgrrgli: l.Y : lBi' * t/,t'':'2 ' 6x + 8
&)Yt ="o ' ''
Yl == x' + x' - 6: o
(x -r-3)(x-2):O
Titik kritis : -3 dan -2'
'b) Intertral dimario y @dst, tnrur..
c) Nilai maksimum dan minimum dari -/ :
x : -3 * y : lB (-3)' + Yz(a)' - 6(-3) + I
= 8.+ 9/2-+ 18 + 8: 17 I 9f2:4312
x:2 >'y: IRQ)3 + tAQ)'' 6{2} +g
* S/3 +2 - 12 + 8 : '2+ 8/3 - {,13 + 8l3:23
18
Page 15
19
Tirir Q i?, ?/3)
P t-3, 43/2),
rt 1l?\\tu1 at t
.1