Kajian Sejumlah Metode Tertutup Untuk Mencari Akar-Akar ...

Prosiding Seminar Nasional Teknik Elektro Volume 5 Tahun 2020

228

Kajian Sejumlah Metode Tertutup Untuk Mencari Akar-Akar Persamaan Non Linier Secara Iteratif

Mulyono1

1Program Studi Ilmu Komputer FMIPA Universitas Negeri Jakarta

Email : [email protected]

Abstrak Penelitian ini bertujuan untuk membandingkan sejumlah metode tertutup untuk mencari penyelesaian atau akar-akar dari persamaan non-linier secara iterative. Pada penelitian ini dibandingkan 3 metode untuk mencari penyelesaian atau akar-akar dari persamaan non-linier, yaitu : metode Bagi Dua (Bisection) dan metode Posisi Palsu(Regula Falsi). Dua faktor utama yang paling penting untuk dipertimbangkan dalam membandingkan metode-metode tersebut adalah akurasi penyelesaian numerik dan waktu komputasinya. Dalam penelitian ini digunakan Microsoft Excel untuk membandingkan kinerja dari kedua metode tersebut. Hasil dari penelitian ini adalah bahwa dari kedua persamaan non linier yang diberikan, dengan menggunakan interval yang sama, metode posisi palsu selalu lebih cepat dalam mendapatkan akar-akarnya dibanding metode bagi dua.

Kata Kunci: Metode Bagi Dua, Metode Posisi Palsu, Metode Tertutup 1. Pendahuluan

Di dalam bidang sains dan teknik, sering

dijumpai suatu persoalan untuk mencari solusi persamaan atau disebut akar-akar persamaan atau nilai-nilai nol yang berbentuk f(x) = 0. Umumnya persamaan yang akan dipecahkan muncul dalam bentuk persamaan non linier yang melibatkan bentuk sinus, cosinus, eksponensial, logaritma dan fungsi transenden lainnya.

Pada penelitian ini akan dibahas sejumlah metode untuk mencari akar-akar persamaan non linier dengan menggunakan metode numerik. Dalam Metode Numerik, pencarian akar-akar dari f(x) = 0 dilakukan secara iteratif.

Metode iteratif dimulai dengan aproksimasi atau tebakan awal untuk penyelesaian-penyelesaian atau akar-akar yang sebenarnya, dan bila konvergen, hasil aproksimasi terdekat dari barisan tersebut adalah siklus dari perhitungan-perhitungan yang diulang-ulang, sampai diperoleh penyelesaiannya atau akarnya. Di dalam metode analitik, banyaknya perhitungan adalah tetap atau tertentu, tetapi pada metode iteratif, banyaknya perhitungan tergantung pada ketelitian yang diinginkan.

Pada penelitian ini, ada dua faktor utama yang paling penting untuk dipertimbangkan dalam membandingkan metode-metode tersebut yaitu

akurasi penyelesaian numerik dan waktu komputasinya atau banyaknya iterasi yang diperlukan sehingga mendapatkan penyelesaiannya.

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah melakukan kajian terhadap sejumlah metode tertutup untuk mencari penyelesaian atau akar-akar dari persamaan non linier secara numerik yaitu Metode Bagi Dua dan Metode Regula Falsi dengan melihat akurasi penyelesaian numerik dan waktu komputasinya, sehingga bisa mengetahui metode mana yang paling baik.

Pada penelitian ini diberikan beberapa batasan sebagai berikut: a. Persamaan yang dicari penyelesaiannya atau

akar-akarnya adalah persamaan non linier. b. Perangkat keras yang digunakan adalah Laptop

merk Acer, Intel Core i3, 2 GB DDR 3 Memory. c. Software yang digunakan adalah Microsoft

Excel. Pada kelompok metode tertutup, metodenya mencari akar di dalam suatu interval [a, b], dimana pada interval tersebut dipastikan ada minimal satu akar, sehingga pada metode tertutup dipastikan bisa menemukan akar. Dengan metode iteratif, tebakan awal tersebut digunakan untuk menghitung tebakan awal yang baru, demikian


229

seterusnya secara iteratif, sehingga hampiran akar yang baru akan semakin mendekati akar sejati (konvergen) atau mungkin malah menjauhi akar sejati (divergen). Berikut ini adalah dua metode tertutup yang akan digunakan untuk mencari akar-akar dari sejumlah persamaan non linier yang diberikan. a. Metode Bagi Dua (metode Biseksi) Misalkan sudah ditemukan interval yang cukup kecil [a, b] sehingga f(a)f(b)<0, yang berarti pada interval tersebut memuat akar . Pada setiap iterasi, interval [a, b] dibagi menjadi 2 pada 𝐱 =

𝐜 =𝒂 𝒃

𝟐, sehingga terdapat 2 interval baru yang

berukuran sama : [a, c] dan [c, b]. Interval yang diambil untuk iterasi berikutnya adalah interval yang memuat akar. Interval yang baru yang dipilih pada ierasi berikutnya dibagi dua lagi dengan cara yang sama. Begitu seterusnya, sampai ukuran interval yang baru dan yang mengandung akar sudah sangat kecil. Kondisi berhenti dari iterasi dipilih satu dari tiga kriteria berikut ini : a. Lebar interval baru = |b-a| < ϵ , dengan ϵ adalah

nilai toleransi lebar interval yang memuat akar. b. Nilai fungsi di hampiran akar : f(c) < ϵ, dengan

ϵ bilangan yang sangat kecil. c. Kesalahan relatif hampiran akar =

< 𝛿, dengan 𝛿 adalah kesalahan

relatif kesalahan yang diinginkan.

b. Metode Posisi Palsu (metode Regula Falsi) Pada interval [a, b] yang memuat akar, bila f(a) lebih dekat ke nol daripada f(b), maka akar lebih dekat ke x=a daripada ke x=b. Dengan menggunakan metode Regula-Falsi, titik (a, f(a)) dan (b, f(b)) ditarik suatu garis lurus, dan memotong sumbu-x di titik x = c , yang merupakan taksiran akar yang diperbaiki. Dari garis lurus yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan titik (b, f(b)) yang memotong sumbu-x di titik x = c, didapat

persamaan : ( ) ( )

= ( ) ( )

= ( )

,

sehingga didapat : c = b −( )( )

( ) ( ) . Iterasi pada

metode Regula-Falsi dihentikan jika nilai f(c) sangat kecil dan mendekati nol. Untuk mengatasi titik ujung interval yang tidak pernah berubah atau titik mandek, maka caranya sebagai berikut : a. Pada akhir iterasi ke-1, kita sudah

mendapatkan interval baru untuk iterasi ke-2. b. Berdasarkan interval baru tersebut, tentukan

ujung interval yang merupakan titik mandek, misalkan titik b.

c. Nilai f titik mandek pada iterasi ke-2 ( f(b) pada iterasi ke-2) diganti dengan setengah kali nilai f titik mandek pada iterasi ke-1( f(b) pada iterasi ke-1) .

d. Demikian seterusnya, nilai f(b) pada iterasi ke-i diganti dengan setengah kali nilai f(b) pada iterasi ke-(i-1), sampai diperoleh nilai nilai f(ci) yang mendekati nol.

2. Metode Penelitian

Pelaksanaan penelitian ini dilakukan dengan tahapan-tahapan sebagai berikut : a. Menyiapkan sejumlah persamaan tidak linier,

yang akan digunakan pada penelitian ini, yaitu yang akan dicari penyelesaiannya dengan menggunakan 2 metode yang akan diteliti yaitu : metode Bagi Dua dan metode Posisi Palsu.

b. Mengimplementasi 2 metode yang akan dikaji, yaitu metode Bagi Dua dan metode Posisi Palsu.

c. Melakukan eksperimen terhadap 2 metode yang sudah dibuat programnya dengan menggunakan persamaan tidak linier yang

sama dan tebakan awal yang juga sama, sehingga bisa dibandingkan kecepatan dari 2 metode tersebut dalam mendapatkan penyelesaiannya.

d. Melakukan evaluasi terhadap hasil-hasil uji coba yang dilakukan. Parameter yang digunakan untuk melakukan evaluasi kinerja dari kedua metode tersebut adalah akurasi penyelesaian numerik dan waktu komputasinya dalam hal ini adalah banyaknya iterasi yang diperlukan sampai memperoleh penyelesaiannya.

3. Hasil Dan Pembahasan

Adapun persamaan non linier yang dipakai penelitian di sini adalah : 1. Carilah akar-akar dari persamaan : 𝑒 − 5𝑥 =

0 dengan ϵ = 0,00000001. 2. Carilah akar-akar dari persamaan : 𝑒 = 4𝑥 −

𝑥 dengan ϵ = 0,00000001.

Untuk mencari akar-akar dari 𝑒 − 5𝑥 =0, berarti f(x) = 𝑒 − 5𝑥, maka langkah-langkahnya adalah : 1. Mencari interval yang mengandung akar

Kita coba-coba hitung nilai f(x), yaitu misalkan f(0) =e0-5(0)= 1 , f(0,5) = e0,5-5(0,5) = -0,8513, sehingga akar pertama ada pada interval (0, 0,5).


230

Coba dihitung f(2,5) = e2,5-5(2,5)= -0,3175 dan f(2,8)= 2,4446, sehingga akar kedua ada pada interval (2,5 , 2,8).

2. Mencari akar yang ada di interval yang sudah didapatkan di langkah 1 dengan menggunakan metode Bagi Dua maupun metode Posisi Palsu.

Dengan metode Bagi Dua

Mencari akar dari persamaan 𝑒 − 5𝑥 = 0 yang ada pada interval (0; 0,5).

Tabel 1. Perhitungan mencari akar dengan Metode Bagi Dua yang ada pada interval (0 ; 0,5)

a c=(a+b)/2 b f(a) f( c ) f(b) selang baru |b-a|

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

0.00000000 0.25000000 0.25000000 0.25000000 0.25000000 0.25000000 0.25781250 0.25781250 0.25781250 0.25878906 0.25878906 0.25903320 0.25915527 0.25915527 0.25915527 0.25917053 0.25917053 0.25917053 0.25917053 0.25917053 0.25917101 0.25917101 0.25917101 0.25917107 0.25917110 0.25917110 0.25917110 0.25917110

0.25000000 0.37500000 0.31250000 0.28125000 0.26562500 0.25781250 0.26171875 0.25976563 0.25878906 0.25927734 0.25903320 0.25915527 0.25921631 0.25918579 0.25917053 0.25917816 0.25917435 0.25917244 0.25917149 0.25917101 0.25917125 0.25917113 0.25917107 0.25917110 0.25917111 0.25917111 0.25917110 0.25917110

0.50000000 0.50000000 0.37500000 0.31250000 0.28125000 0.26562500 0.26562500 0.26171875 0.25976563 0.25976563 0.25927734 0.25927734 0.25927734 0.25921631 0.25918579 0.25918579 0.25917816 0.25917435 0.25917244 0.25917149 0.25917149 0.25917125 0.25917113 0.25917113 0.25917113 0.25917111 0.25917111 0.25917110

1.00000000 0.03402542 0.03402542 0.03402542 0.03402542 0.03402542 0.00503365 0.00503365 0.00503365 0.00141522 0.00141522 0.00051081 0.00005863 0.00005863 0.00005863 0.00000211 0.00000211 0.00000211 0.00000211 0.00000211 0.00000034 0.00000034 0.00000034 0.00000012 0.00000001 0.00000001 0.00000001 0.00000001

0.03402542 -0.42000859 -0.19566206 -0.08146524 -0.02387913 0.00503365

-0.00943265 -0.00220197 0.00141522

-0.00039353 0.00051081 0.00005863

-0.00016745 -0.00005441 0.00000211

-0.00002615 -0.00001202 -0.00000496 -0.00000142 0.00000034

-0.00000054 -0.00000010 0.00000012 0.00000001

-0.00000004 -0.00000002 0.00000000 0.00000001

-0.85127873 -0.85127873 -0.42000859 -0.19566206 -0.08146524 -0.02387913 -0.02387913 -0.00943265 -0.00220197 -0.00220197 -0.00039353 -0.00039353 -0.00039353 -0.00016745 -0.00005441 -0.00005441 -0.00002615 -0.00001202 -0.00000496 -0.00000142 -0.00000142 -0.00000054 -0.00000010 -0.00000010 -0.00000010 -0.00000004 -0.00000002 0.00000000

(c, b) (a, c) (a, c) (a, c) (a, c) (c, b) (a, c) (a,c) (c, b) (a, c) (c, b) (c, b) (a, c) (a, c) (c, b) (a, c) (a, c) (a, c) (a, c) (c, b) (a, c) (a, c) (c, b) (c, b) (a, c) (a, c) (a,c) (c, b)

0.50000000 0.25000000 0.12500000 0.06250000 0.03125000 0.01562500 0.00781250 0.00390625 0.00195313 0.00097656 0.00048828 0.00024414 0.00012207 0.00006104 0.00003052 0.00001526 0.00000763 0.00000381 0.00000191 0.00000095 0.00000048 0.00000024 0.00000012 0.00000006 0.00000003 0.00000001 0.00000001 0.00000000

Jadi akar pertama dari 𝑒 − 5𝑥 = 0 adalah x = 0.25917110, didapat pada iterasi ke-28. Mencari akar dari 𝑒 − 5𝑥 = 0 yang ada pada interval (2,5 ; 2,8).

Tabel 2. Perhitungan mencari akar dengan Metode Bagi Dua yang ada pada interval (2,5 ; 2,8)


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2.50000000 2.50000000 2.50000000 2.53750000 2.53750000 2.53750000 2.54218750 2.54218750 2.54218750 2.54218750 2.54248047

2.65000000 2.57500000 2.53750000 2.55625000 2.54687500 2.54218750 2.54453125 2.54335938 2.54277344 2.54248047 2.54262695

2.80000000 2.65000000 2.57500000 2.57500000 2.55625000 2.54687500 2.54687500 2.54453125 2.54335938 2.54277344 2.54277344

-0.31750604 -0.31750604 -0.31750604 -0.03948862 -0.03948862 -0.03948862 -0.00349939 -0.00349939 -0.00349939 -0.00349939 -0.00124081

0.90403865 0.25631716

-0.03948862 0.10614884 0.03276905

-0.00349939 0.01459985 0.00554149 0.00101887

-0.00124081 -0.00011110

2.44464677 0.90403865 0.25631716 0.25631716 0.10614884 0.03276905 0.03276905 0.01459985 0.00554149 0.00101887 0.00101887

(a, c) (a, c) (c,b) (a, c) (a, c) (c, b) (a, c) (a, c) (a, c) (c, b) (c, b)

0.30000000 0.15000000 0.07500000 0.03750000 0.01875000 0.00937500 0.00468750 0.00234375 0.00117187 0.00058594 0.00029297


231

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

2.54262695 2.54262695 2.54262695 2.54262695 2.54263611 2.54264069 2.54264069 2.54264069 2.54264126 2.54264126 2.54264126 2.54264133 2.54264133 2.54264135 2.54264136 2.54264136

2.54270020 2.54266357 2.54264526 2.54263611 2.54264069 2.54264297 2.54264183 2.54264126 2.54264154 2.54264140 2.54264133 2.54264137 2.54264135 2.54264136 2.54264136 2.54264136

2.54277344 2.54270020 2.54266357 2.54264526 2.54264526 2.54264526 2.54264297 2.54264183 2.54264183 2.54264154 2.54264140 2.54264140 2.54264137 2.54264137 2.54264137 2.54264136

-0.00011110 -0.00011110 -0.00011110 -0.00011110 -0.00004049 -0.00000518 -0.00000518 -0.00000518 -0.00000077 -0.00000077 -0.00000077 -0.00000022 -0.00000022 -0.00000008 -0.00000001 -0.00000001

0.00045385 0.00017136 0.00003013

-0.00004049 -0.00000518 0.00001247 0.00000365

-0.00000077 0.00000144 0.00000034

-0.00000022 0.00000006

-0.00000008 -0.00000001 0.00000003 0.00000001

0.00101887 0.00045385 0.00017136 0.00003013 0.00003013 0.00003013 0.00001247 0.00000365 0.00000365 0.00000144 0.00000034 0.00000034 0.00000006 0.00000006 0.00000006 0.00000003

(a, c) (a, c) (a, c) (c, b) (c, b) (a, c) (a, c) (c, b) (a, c) (a,c) (c, b) (a,c) (c,b) (c,b) (a,c) (a,c)

0.00014648 0.00007324 0.00003662 0.00001831 0.00000916 0.00000458 0.00000229 0.00000114 0.00000057 0.00000029 0.00000014 0.00000007 0.00000004 0.00000002 0.00000001 0.00000000

Jadi akar kedua dari 𝑒 − 5𝑥 = 0 adalah x =2.54264136, didapat pada iterasi ke-27

Dengan metode Posisi Palsu Mencari akar dari 𝑒 − 5𝑥 = 0 yang ada pada interval (0 , 0,5).

Dengan 𝑐 = 𝑏 − 𝑓(𝑏)( ) ( )

.

Tabel 3. Perhitungan mencari akar dengan Metode Posisi Palsu yang ada pada interval (0 ; 0,5)

k a c b f(a) f( c ) f(b) selang baru

|b-a|

1 2 3 4 5 6

0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000

0.27008359 0.25960989 0.25918865 0.25917180 0.25917113 0.25917110

0.50000000 0.27008359 0.25960989 0.25918865 0.25917180 0.25917113

1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000

-0.04034398 -0.00162521 -0.00006502 -0.00000260 -0.00000010 0.00000000

-0.85127873 -0.04034398 -0.00162521 -0.00006502 -0.00000260 -0.00000010

(a,c) (a,c) (a,c) (a,c) (a,c) (c,b)

0.50000000 0.27008359 0.25960989 0.25918865 0.25917180 0.25917113

Jadi akar pertama dari 𝑒 − 5𝑥 = 0 adalah x = 0.25917110, didapat pada iterasi ke-6, dimana pada iterasi ke-6,

f(c) =0,00000000 < ϵ.

Mencari akar dari 𝑒 − 5𝑥 = 0 yang ada pada interval (2,5 ; 2,8)

Tabel 4. Perhitungan mencari akar dengan Metode Posisi Palsu yang ada pada interval (2,5 ; 2,8)

a c b f(a) f( c ) f(b) selang baru |b-a|

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2.50000000 2.53448463 2.54110284 2.54235194 2.54258694 2.54263113 2.54263943 2.54264100 2.54264129 2.54264134 2.54264136

2.53448463 2.54110284 2.54235194 2.54258694 2.54263113 2.54263943 2.54264100 2.54264129 2.54264134 2.54264136 2.54264136

2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8

-0.31750604 -0.06249277 -0.01185183 -0.00223179 -0.00041970 -0.00007891 -0.00001483 -0.00000279 -0.00000052 -0.00000010 -0.00000002

-0.06249277 -0.01185183 -0.00223179 -0.00041970 -0.00007891 -0.00001483 -0.00000279 -0.00000052 -0.00000010 -0.00000002 0.00000000

2.44464677 2.44464677 2.44464677 2.44464677 2.44464677 2.44464677 2.44464677 2.44464677 2.44464677 2.44464677 2.44464677

(c,b) (c,b) (c,b) (c,b) (c,b) (c,b) (c,b) (c,b) (c,b) (c,b) (a,c)

0.30000000 0.26551537 0.25889716 0.25764806 0.25741306 0.25736887 0.25736057 0.25735900 0.25735871 0.25735866 0.25735864


232

Jadi akar kedua dari 𝑒 − 5𝑥 = 0 adalah x =2.54264136, didapat pada iterasi ke-11, dimana nilai f( c ) =

0,00000000 < ϵ.

Untuk mencari akar-akar dari 𝑒 = 4𝑥 −𝑥 atau 𝑒 − 4𝑥 + 𝑥 = 0, berarti f(x) = 𝑒 −4𝑥 + 𝑥, maka langkah-langkahnya adalah : 1. Mencari interval yang mengandung akar

Kita coba-coba hitung nilai f(x), dan kita dapatkan 2 interval yang memuat akar, yaitu interval (-0,5;0) dan (0,5 ; 1).

2. Mencari akar yang ada di interval yang sudah didapatkan di langkah 1 dengan menggunakan metode Bagi Dua maupun metode Posisi Palsu.

Dengan metode Bagi Dua

Mencari akar dari 𝑒 − 4𝑥 + 𝑥 = 0 yang ada pada interval (-0,5 ; 0)

Tabel 5. Perhitungan mencari akar dengan Metode Bagi Dua yang ada pada interval (-0,5 ; 0)


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

-0.50000000 -0.50000000 -0.37500000 -0.37500000 -0.34375000 -0.32812500 -0.32031250 -0.32031250 -0.32031250 -0.31933594 -0.31933594 -0.31933594 -0.31921387 -0.31921387 -0.31921387 -0.31919861 -0.31919861 -0.31919479 -0.31919479 -0.31919479 -0.31919432 -0.31919432 -0.31919432 -0.31919432 -0.31919432 -0.31919432 -0.31919431 -0.31919431

-0.25000000 -0.37500000 -0.31250000 -0.34375000 -0.32812500 -0.32031250 -0.31640625 -0.31835938 -0.31933594 -0.31884766 -0.31909180 -0.31921387 -0.31915283 -0.31918335 -0.31919861 -0.31919098 -0.31919479 -0.31919289 -0.31919384 -0.31919432 -0.31919408 -0.31919420 -0.31919426 -0.31919429 -0.31919430 -0.31919431 -0.31919431 -0.31919431

0.00000000 -0.25000000 -0.25000000 -0.31250000 -0.31250000 -0.31250000 -0.31250000 -0.31640625 -0.31835938 -0.31835938 -0.31884766 -0.31909180 -0.31909180 -0.31915283 -0.31918335 -0.31918335 -0.31919098 -0.31919098 -0.31919289 -0.31919384 -0.31919384 -0.31919408 -0.31919420 -0.31919426 -0.31919429 -0.31919430 -0.31919430 -0.31919431

-0.89346934 -0.89346934 -0.25021072 -0.25021072 -0.10730007 -0.03851608 -0.00479074 -0.00479074 -0.00479074 -0.00060630 -0.00060630 -0.00060630 -0.00008373 -0.00008373 -0.00008373 -0.00001841 -0.00001841 -0.00000209 -0.00000209 -0.00000209 -0.00000005 -0.00000005 -0.00000005 -0.00000005 -0.00000005 -0.00000005 -0.00000001 -0.00000001

0.27880078 -0.25021072 0.02849063

-0.10730007 -0.03851608 -0.00479074 0.01190542 0.00357121

-0.00060630 0.00148332 0.00043873

-0.00008373 0.00017752 0.00004690

-0.00001841 0.00001424

-0.00000209 0.00000608 0.00000200

-0.00000005 0.00000097 0.00000046 0.00000021 0.00000008 0.00000002

-0.00000001 0.00000000

-0.00000001

1.00000000 0.27880078 0.27880078 0.02849063 0.02849063 0.02849063 0.02849063 0.01190542 0.00357121 0.00357121 0.00148332 0.00043873 0.00043873 0.00017752 0.00004690 0.00004690 0.00001424 0.00001424 0.00000608 0.00000200 0.00000200 0.00000097 0.00000046 0.00000021 0.00000008 0.00000002 0.00000002 0.00000000

(a,c) (c,b) (a, c) (c,b) (c,b) (c, b) (a, c) (a,c) (c, b) (a, c) (a,c) (c, b) (a, c) (a, c) (c, b) (a, c) (c,b) (a, c) (a, c) (c, b) (a, c) (a, c) (a,c) (a,c) (a, c) (c,b) (a,c) (c, b)

0.50000000 0.25000000 0.12500000 0.06250000 0.03125000 0.01562500 0.00781250 0.00390625 0.00195313 0.00097656 0.00048828 0.00024414 0.00012207 0.00006104 0.00003052 0.00001526 0.00000763 0.00000381 0.00000191 0.00000095 0.00000048 0.00000024 0.00000012 0.00000006 0.00000003 0.00000001 0.00000001 0.00000000

Jadi akar pertama dari 𝑒 − 4𝑥 + 𝑥 = 0 adalah x = -0.31919431, didapat pada iterasi ke-28,

dimana |b-a| < ϵ.

Mencari akar dari 𝑒 − 4𝑥 + 𝑥 = 0 yang ada pada interval (0,5 ; 1).


233

Tabel 6. Perhitungan mencari akar dengan Metode Bagi Dua yang ada pada interval (0,5 ; 1)


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

0.50000000 0.75000000 0.87500000 0.87500000 0.90625000 0.92187500 0.92968750 0.92968750 0.92968750 0.93066406 0.93115234 0.93115234 0.93115234 0.93121338 0.93124390 0.93124390 0.93125153 0.93125534 0.93125534 0.93125534 0.93125582 0.93125582 0.93125582 0.93125588 0.93125588 0.93125588 0.93125588 0.93125589

0.75000000 0.87500000 0.93750000 0.90625000 0.92187500 0.92968750 0.93359375 0.93164063 0.93066406 0.93115234 0.93139648 0.93127441 0.93121338 0.93124390 0.93125916 0.93125153 0.93125534 0.93125725 0.93125629 0.93125582 0.93125606 0.93125594 0.93125588 0.93125591 0.93125589 0.93125588 0.93125589 0.93125589

1.00000000 1.00000000 1.00000000 0.93750000 0.93750000 0.93750000 0.93750000 0.93359375 0.93164063 0.93164063 0.93164063 0.93139648 0.93127441 0.93127441 0.93127441 0.93125916 0.93125916 0.93125916 0.93125725 0.93125629 0.93125629 0.93125606 0.93125594 0.93125594 0.93125591 0.93125589 0.93125589 0.93125589

1.14872127 0.61700002 0.21137529 0.21137529 0.09611752 0.03646066 0.00612938 0.00612938 0.00612938 0.00231448 0.00040508 0.00040508 0.00040508 0.00016631 0.00004692 0.00004692 0.00001708 0.00000215 0.00000215 0.00000215 0.00000029 0.00000029 0.00000029 0.00000005 0.00000005 0.00000005 0.00000002 0.00000001

0.61700002 0.21137529

-0.02453554 0.09611752 0.03646066 0.00612938

-0.00916145 -0.00150562 0.00231448 0.00040508

-0.00055011 -0.00007247 0.00016631 0.00004692

-0.00001277 0.00001708 0.00000215

-0.00000531 -0.00000158 0.00000029

-0.00000065 -0.00000018 0.00000005

-0.00000006 -0.00000001 0.00000002 0.00000001 0.00000000

-0.28171817 -0.28171817 -0.28171817 -0.02453554 -0.02453554 -0.02453554 -0.02453554 -0.00916145 -0.00150562 -0.00150562 -0.00150562 -0.00055011 -0.00007247 -0.00007247 -0.00007247 -0.00001277 -0.00001277 -0.00001277 -0.00000531 -0.00000158 -0.00000158 -0.00000065 -0.00000018 -0.00000018 -0.00000006 -0.00000001 -0.00000001 -0.00000001

(c,b) (c,b) (a,c) (c,b) (c,b) (c, b) (a, c) (a, c) (c,b) (c, b) (a,c) (a, c) (c,b) (c,b) (a,c) (c, b) (c,b) (a, c) (a,c) (c,b) (a,c) (a,c) (c,b) (a,c) (a,c) (c,b) (c,b) (c,b)

0.50000000 0.25000000 0.12500000 0.06250000 0.03125000 0.01562500 0.00781250 0.00390625 0.00195313 0.00097656 0.00048828 0.00024414 0.00012207 0.00006104 0.00003052 0.00001526 0.00000763 0.00000381 0.00000191 0.00000095 0.00000048 0.00000024 0.00000012 0.00000006 0.00000003 0.00000001 0.00000001 0.00000000

Jadi akar kedua dari 𝑒 − 4𝑥 + 𝑥 = 0 adalah x =0,93125589, didapat pada iterasi ke-28, dimana |b-a| <ϵ.

Dengan metode Posisi Palsu Mencari akar dari 𝑒 − 4𝑥 + 𝑥 = 0 yang ada pada interval (-0,5 ; 0).

Tabel 7. Perhitungan mencari akar dengan Metode Posisi Palsu yang ada pada interval (-0,5 ; 0)


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.50000000 -0.50000000 -0.50000000 -0.50000000 -0.50000000 -0.50000000 -0.50000000 -0.50000000 -0.50000000 -0.50000000

-0.26406554 -0.31151704 -0.31816128 -0.31905596 -0.31917579 -0.31919183 -0.31919397 -0.31919426 -0.31919430 -0.31919431

0.00000000 -0.26406554 -0.31151704 -0.31816128 -0.31905596 -0.31917579 -0.31919183 -0.31919397 -0.31919426 -0.31919430

-0.89346934 -0.89346934 -0.89346934 -0.89346934 -0.89346934 -0.89346934 -0.89346934 -0.89346934 -0.89346934 -0.89346934

0.22493524 0.03264664 0.00441779 0.00059209 0.00007925 0.00001061 0.00000142 0.00000019 0.00000003 0.00000000

1.00000000 0.22493524 0.03264664 0.00441779 0.00059209 0.00007925 0.00001061 0.00000142 0.00000019 0.00000003

(a,c) (a,c) (a,c) (a,c) (a,c) (a,c) (a,c) (a,c) (a,c) (a,c)

0.50000000 0.23593446 0.18848296 0.18183872 0.18094404 0.18082421 0.18080817 0.18080603 0.18080574 0.18080570

Jadi akar pertama dari 𝑒 − 4𝑥 + 𝑥 = 0 adalah x =-0,31919431, didapat pada iterasi ke-10, dimana f(c)=0,00000000 < ϵ. Mencari akar dari 𝑒 − 4𝑥 + 𝑥 = 0 yang ada pada interval (0,5 ; 1).


234

Tabel 8. Perhitungan mencari akar dengan Metode Posisi Palsu yang ada pada interval (0,5 ;10)


1 2 3 4 5 6 7

0.50000000 0.90152740 0.92987513 0.93119325 0.93125305 0.93125576 0.93125588

0.90152740 0.92987513 0.93119325 0.93125305 0.93125576 0.93125588 0.93125589

1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000

1.14872127 0.11388355 0.00539682 0.00024508 0.00001111 0.00000050 0.00000002

0.11388355 0.00539682 0.00024508 0.00001111 0.00000050 0.00000002 0.00000000

-0.28171817 -0.28171817 -0.28171817 -0.28171817 -0.28171817 -0.28171817 -0.28171817

(c,b) (c,b) (c,b) (c,b) (c,b) (c,b) (c,b)

0.50000000 0.09847260 0.07012487 0.06880675 0.06874695 0.06874424 0.06874412

Jadi akar kedua dari 𝑒 − 4𝑥 + 𝑥 = 0 adalah x = 0,93125589, didapat pada iterasi ke-7, dimana f( c ) =0,00000000 <ϵ. 4. Kesimpulan

1. Dari 2 persamaan non-linier yang diberikan,

maka pada persamaan : a. 𝑒 − 5𝑥 = 0, akar-akarnya ada di interval (0

; 0,5) dan (2,5 ; 2,8). Pada interval (0;0,5), maka diperoleh akar pertama x = 0,25917110 yang pada metode Bagi Dua diperoleh pada iterasi ke-28 dan pada metode Posisi Palsu diperoleh pada iterasi ke-6, sementara untuk akar kedua yang ada di interval (2,5 ; 2,8) adalah x=2,54264136, pada metode Bagi Dua diperoleh pada iterasi ke-27 dan pada metode Posisi Palsu diperoleh pada iterasi ke-11.

b. 𝑒 − 4𝑥 + 𝑥 = 0, akar-akarnya ada di interval (-0,5 ; 0) dan (0,5 ; 1). Pada

interval (-0,5 ; 0), maka diperoleh akar pertama x = -0,31919431 yang pada metode Bagi Dua diperoleh pada iterasi ke-28 dan pada metode Posisi Palsu diperoleh pada iterasi ke-10, sementara untuk akar kedua yang ada di interval (0,5 ; 1) adalah x=0,93125589, pada metode Bagi Dua diperoleh pada iterasi ke-28 dan pada metode Posisi Palsu diperoleh pada iterasi ke-7.

2. Dari 2 metode yang dibandingkan kinerjanya, yaitu antara metode Bagi Dua dan metode Posisi Palsu, maka metode Posisi Palsu adalah metode yang lebih cepat untuk menemukan akar-akarnya dibanding metode Bagi Dua.

5. Daftar Pustaka

[1] Jaan Klusalaas, “Numerical methods in engineering with MATLAB’, Cambridge Univ. Press, 2005.

[2] R.H. Sianipar, “ Pemrograman MATLAB dalam contoh dan penerapan”, Penerbit INFORMATIKA Bandung, 2013.

[3] S.R. Otto dan J.P. Denier, “An introduction to programming and numerical methods in MATLAB’, Springer – Verlag, 2005.

[4] Steven T.Karris, “ Numerical analysis using MATLAB and Excel”, Orchard Publications, California, 2007.

[5] Won Y.Yang, dkk, “Applied numerical

methods using MATLAB”, Wiley-Interscience, Canada, 2005.

[6] Samuel D.Conte & Carl de Boor, “ Dasar-Dasar Analisis Numerik, Suatu Pendekatan Algoritma”, Penerbit Erlangga, 1992.

[7] Rinaldi Munir, “ Metode Numerik “, Informatika Bandung, 2013.

Kajian Sejumlah Metode Tertutup Untuk Mencari Akar-Akar ...

Documents