Mét sè kinh nghiÖm gi¶i bμi to¸n bÊt ®¼ng thøc §inh ThÞ L-u – Tr-êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh 1 A. PHẦN MỞ ĐẦU Bất đẳng thức là một trong những dạng toán hay và khó đối với học sinh trong quá trình học tập cũng như trong các kỳ thi, trước hết là kỳ thi đại học mà hầu hết học sinh THPT đều phải vượt qua. Ngoài ra bất đẳng thức cũng là một dạng thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán ở các cấp: Tỉnh, Quốc gia, Olympic khu vực và Olympic quốc tế. Để giúp các em có thêm một số kinh nghiệm trong quá trình học tập nhằm nắm vững các phương pháp chứng minh bất đẳng thức đồng thời sử dụng linh hoạt hơn trong việc giải các bài toán về bất đẳng thức, tôi quyết định viết đề tài này nhằm chia sẽ cùng đồng nghiệp, học sinh và độc giả một số phương pháp, kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức. Đề tài gồm 2 phần cơ bản: Phần I: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Phần II: Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác. Do khuôn khổ của đề tài, ở mỗi phần tôi xin miễn nhắc lại các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức vì những kiến thức này được trình bày chi tiết trong sách giáo khoa trung học phổ thông, mà chỉ tập trung vào các phương pháp biến đổi đồng thời nêu một số ví dụ minh họa.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Mét sè kinh nghiÖm gi¶i bµi to¸n bÊt ®¼ng
thøc
§inh ThÞ Lu – Trêng THPT Chuyªn
Qu¶ng B×nh
1
A. PHẦN MỞ ĐẦU
Bất đẳng thức là một trong những dạng toán hay và khó đối với học sinh
trong quá trình học tập cũng như trong các kỳ thi, trước hết là kỳ thi đại học mà
hầu hết học sinh THPT đều phải vượt qua. Ngoài ra bất đẳng thức cũng là một
dạng thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán ở các cấp: Tỉnh, Quốc gia,
Olympic khu vực và Olympic quốc tế.
Để giúp các em có thêm một số kinh nghiệm trong quá trình học tập nhằm
nắm vững các phương pháp chứng minh bất đẳng thức đồng thời sử dụng linh
hoạt hơn trong việc giải các bài toán về bất đẳng thức, tôi quyết định viết đề tài
này nhằm chia sẽ cùng đồng nghiệp, học sinh và độc giả một số phương pháp,
kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức.
Đề tài gồm 2 phần cơ bản:
Phần I: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
Phần II: Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác.
Do khuôn khổ của đề tài, ở mỗi phần tôi xin miễn nhắc lại các kiến thức
cơ bản về bất đẳng thức vì những kiến thức này được trình bày chi tiết trong
sách giáo khoa trung học phổ thông, mà chỉ tập trung vào các phương pháp biến
đổi đồng thời nêu một số ví dụ minh họa.
Mét sè kinh nghiÖm gi¶i bµi to¸n bÊt ®¼ng
thøc
§inh ThÞ Lu – Trêng THPT Chuyªn
Qu¶ng B×nh
2
B. NỘI DUNG
Phần I: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
1) Dùng các phép biến đổi thích hợp
2) Tam thức bậc 2
3) Phương pháp đạo hàm, cực trị hàm số
4) Quy nạp
5) Lượng giác hóa
6) Phương pháp hình học
7) Các BĐT thông dụng
8) Một số phương pháp khác
I. Sử dụng các phép biến đổi.
Ví dụ 1: CM với a,b,c là 3 số dương thì
21
ac
c
cb
b
ba
a
Giải: Vì a,b,c là 3 số dương nên ta có
cba
c
ac
c
cba
b
cb
b
cba
a
ba
a
Cộng vế theo vế ta được ac
c
cb
b
ba
a
1
Mặt khác ta có
cba
cb
ac
c
cba
ba
cb
b
cba
ca
ba
a
Cộng vế theo vế ta được 2
ac
c
cb
b
ba
a
Ví dụ 2: CM Rx ta luôn có
3
2258 xxxx
Giải:
Mét sè kinh nghiÖm gi¶i bµi to¸n bÊt ®¼ng
thøc
§inh ThÞ Lu – Trêng THPT Chuyªn
Qu¶ng B×nh
3
Rxxx
x
xxxx
xxxxxx
03
1
3
1
3
1
2
3
2
3
1
3
1
3
1.
2
3.2
4
3
42.2
3
2
22
4
2248258
Do đó 3
2258 xxxx (đpcm)
Ví dụ 3: CMR
Nnnn
1)1(
1......
3.2
1
2.1
1
Giải: Ta có
)(1
11
)1(
1*Nk
kkkk
Cho k=1, 2, .....n rồi cộng các đẳng thức theo vế ta có
11
11
1
11......
3
1
2
1
2
11
)1(
1......
3.2
1
2.1
1
nnnnn
Vậy ta có đpcm.
II. Phương pháp Tam thức bậc 2.
Ví dụ 1: CMR
11
5913
423
25
11
59132
2
xx
x
Giải: TXĐ: Rx
Gọi 423
252
2
xx
xP thì
0242)53( 2 PPxxP (*)
Để (*) có nghiệm x thì
11
5913
11
5913
0102611
0)53)(24(0
2
2'
P
PP
PPP
Mét sè kinh nghiÖm gi¶i bµi to¸n bÊt ®¼ng
thøc
§inh ThÞ Lu – Trêng THPT Chuyªn
Qu¶ng B×nh
4
Vậy 11
5913
423
25
11
59132
2
xx
x
Dấu đt bên trái xảy ra
121
)5913(13 x
Dấu đt bên phải xảy ra
121
)5913(13 x
III. Phương pháp hàm số, dùng đạo hàm.
Ví dụ 1 : CMR 0x thì xx sin
Giải : Xét hàm số
( ) sin
'( ) 1 cos 0
f x x x
f x x
)(xf đồng biến
Mặt khác f(0)=0. Vậy f(x)>0 với mọi x>0 hay với mọi x>0 thì xx sin
Ví dụ 2: CMR nếu 0<b<a thì
b
ba
b
a
a
ba
ln
Giải: Xét hàm số f(x)=lnx liên tục và có đạo hàm trên ,0
x
xf1
)(' . Theo định lí Lagrange tồn tại x0 với b<x0<a sao cho
ab
afbfxf
)()()(' 0
b
a
x
ba
ba
ba
xln
lnln1
00
Vì b<x0<a nên bxa
111
0
suy ra đpcm.
Ví dụ 3: Cho a,b,c,d là 4 số dương bất kì. CM
643
cdbdbcadacabbcdacdabdabc
Mét sè kinh nghiÖm gi¶i bµi to¸n bÊt ®¼ng
thøc
§inh ThÞ Lu – Trêng THPT Chuyªn
Qu¶ng B×nh
5
Giải: Không mất tính TQ giả sử dcba
Xét hàm số ))()()(()( dxcxbxaxxfy
f(x) là một hàm số liên tục và có đạo hàm trên R
Vì f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=0 và f’(x) là một hàm bậc 3 nên tồn tại 321 ,, yyy sao cho
dycybya 321 sao cho 0)(')(')(' 321 yfyfyf
Vậy ))()((4)(' 321 yxyxyxxf
Trong khai triển ta có
)(2)(4
)(4
133221
321
cdbdbcadacabyyyyyy
bcdabdacdabcyyy
Theo BĐT Cauchy
3 2
321133221 )(
3yyy
yyyyyy
643
cdbdbcadacabbcdacdabdabc
IV. Phương pháp quy nạp.
Phương pháp này được áp dụng khi BĐT phụ thuộc 1 tham số Nn , với
các bước chứng minh như sau:
+ Bước 1. C/m BĐT đúng với n=n0
+ Bước 2. Giả sử BĐT đúng với n=k )( 0nk ta cần chứng minh BĐT
đúng với n = k+1.
+ Bước 3. Kết luận BĐT đúng với mọi Nn .
Ví dụ 1 : C/m *,2 Nnn ta có :
(*)13
1
2
12...........
6
5.
4
3.
2
1
nn
n
Giải: + Khi n=2 ta có 7
1
8
3(*) đúng.
+ Giả sử BĐT đúng với n=k tức là
13
1
2
12...........
6
5.
4
3.
2
1
kk
k
Mét sè kinh nghiÖm gi¶i bµi to¸n bÊt ®¼ng
thøc
§inh ThÞ Lu – Trêng THPT Chuyªn
Qu¶ng B×nh
6
Ta cần chứng minh (*) cũng đúng với n=k+1 )2( k . Thật vậy