統計的推測 Statistical Inference 推定と検定 母集団と標本 点推定 区間推定 2007.07.04 母平均のまとめ追加 2007.05.25 情報統計学 R より編集 2008.06.20 一部編集 2012.07.06 不偏分散 20120713 信頼区間
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統計的推測 Statistical Inference
推定と検定母集団と標本点推定区間推定
2007.07.04 母平均のまとめ追加2007.05.25 情報統計学 Rより編集
2008.06.20 一部編集2012.07.06 不偏分散
20120713 信頼区間
母集団と標本• 母集団 population
調査したい全体 θ1θ2...θN
母集団の特性値• 母平均 μ• 母分散 σ2
全数調査• 時間がかかる• 費用がかかる• もともと不可能な場合
標本調査 sample survey
• 標本 sample 母集団よりランダムに標本を抽出し、観測してデータ x1,x2,...,xn
が得られる データの値は標本により異なる 確率変数 X1,X2,...,Xn
の実現値
母集団
標本
可能な標本の組数
• 有限母集団の場合母集団の構成要素（岡山大学の全学生数） N （ N=13,000 ）
標本数 ｎ （ ｎ＝１０ ）
• 可能な標本の組数 M ＝ NCn
• どの組を標本に選ぶか？！
無作為抽出 random sampling
• 独立性の保証 乱数
• 乱数表• 乱数賽（サイコロ）
• 非復元無作為抽出 without replacement• 復元無作為抽出 with replacement• 層別抽出法 stratified sampling
乱数賽
乱数表
乱数表
• 通常６頁• さいころで利用する頁• 鉛筆を落として最初に使用する値
• 必要な桁数で• 通常下に読んでいく
47都道府県
• 1 北海道• 2 青森• 3 岩手• 4 秋田• 5 宮城• 6 山形• 7 福島• 8 茨城• 9 栃木• 10 群馬• 11 埼玉• 12 千葉• 13 東京• 14 神奈川• 15 新潟• 16 富山• 17 石川• 18 福井• 19 山梨• 20 長野• 21 岐阜• 22 静岡• 23 愛知
• 24 三重• 25 滋賀• 26 京都• 27 大阪• 28 兵庫• 29 奈良• 30 和歌• 31 鳥取• 32 島根• 33 岡山• 34 広島• 35 山口• 36 徳島• 37 香川• 38 愛媛• 39 高知• 40 福岡• 41 佐賀• 42 長崎• 43 熊本• 44 大分• 45 宮崎• 46 鹿児島• 47 沖縄
層別無作為抽出法• 市区町村、町丁字別、性別、学年別のように、できるだけ均一な集団（層）に分け
• 各層から無作為抽出
• 各層からどんな割合で標本をとるか 各層の大きさに比例して 各層のばらつきに比例して
推定と検定
• 推定 estimation 母集団の特性値に何の情報もない 特性値の値はどんな値か知りたい
• 点推定 point estimation• 区間推定 interval estimation/ confidence interval
• 検定 testing 母集団の特性値についてある情報を持っている その情報が正しいか否かを知りたい
• 帰無仮説と対立仮説null hypothesis/ alternative hypothesis
点推定• 仮想的な母集団
i 名前 θi1 A 1482 B 1603 C 1594 D 1535 E 1516 F 140
> p1 <- c(148, 160, 159, 153, 151, 140) > p1 [1] 148 160 159 153 151 140> mean(p1) [1] 151.8333 母平均> var(p1) [1] 54.96667 母分散
標本の取り出し方
標本 x1 x2 x3 x4 標本平均
1 A B C D 148 160 159 153 155.00
2 A B C E 148 160 159 151 154.50
3 A B C F 148 160 159 140 151.75
4 A B D E 148 160 153 151 153.00
5 A B D F 148 160 153 140 150.25
6 A B E F 148 160 151 140 149.75
7 A C D E 148 159 153 151 152.75
8 A C D F 148 159 153 140 150.00
9 A C E F 148 159 151 140 149.50
10 A D E F 148 153 151 140 148.00
11 B C D E 160 159 153 151 155.75
12 B C D F 160 159 153 140 153.00
13 B C E F 160 159 151 140 152.75
14 B D E F 160 153 151 140 151.00
15 C D E F 159 153 151 140 150.75総平均 151.833
> mean(c(159, 153, 151, 140)) [1] 150.75途中省略
> mean(c(159, 153, 151, 140)) [1] 150.75> mean(c(155.00, 154.50, 151.75, 153.00, 150.25, + 149.75, 152.75, 150.00, 149.50, 148.00, + 155.75, 153.00, 152.50, 151.00, 150.75)) [1] 151.8333
1512
5646 =
⋅⋅=== CCM nN
14
情報統計学
点推定
15点推定と区間推定
• 未知母数 ( パラメータ )θを推定するには 2つの方法がある 区間推定
• 区間で当てる 点推定
• 点で当てる たった一組のデータで求めた値が，母平均の値などに一致する可能性は少ない
• 区間推定 θ1 θ θ≦ ≦ 2のようにある幅をつけて母数 θを推定する方法
• パラメータ θが入るであろう範囲を一定の信頼度（確率）で指定• 点推定
θ=θ0として，幅をつけずに一個の推定値で推定 一点で当てる
16点推定に望まれる性質
• 不偏性 標本に基づいて推定した値が，偏っていない
• 何回も推定を繰り返すと，平均的には，推定したい値 θにあっている
• 一致性 nを Nに近づけたとき，全数調査の値，母集団のパラメータ θに一致してほしい
• 有効性 一致性，不偏性を満たすものは多数 推定量の分散が小さいほうが望ましい
• 最尤法 あとで説明。
17不偏性
何回も推定を繰り返すと，平均的に は推定したい値 θ に合っている
不偏性 unbiasedness
.
.
.
標本 1 推定値
標本 2 推定値
標本 L 推定値Lθ
θ
θ
ˆ
ˆ
ˆ
2
1
母集団
不偏性• 推定値の期待値が推定したい値
• 平均的にはうまい値を求めている大きめの値、小さめの値に偏っていない
LL
E
θθθ
θθˆˆˆ
ˆ
...21
)(
+++=
=
20不偏性
21
22一致性
23有効性
24
• 推定量の分散は小さいほうが望ましい。
が小さい推定量ほど，「有効」 (effective)な推定量
25最尤法
• P103 教科書 図 7.1 図 7.2
26
27
28
尤度関数 L(θ) を最大にする θ
29正規分布の平均の点推定
30正規分布の母分散の点推定
正規分布の平均の点推定
• 標本平均が不偏性一致性有効性 (BLUE)最尤性
• のすべての意味で、一番良い推定量である。
∑=i
iXn
1µ̂
正規分布の分散の点推定
• 平均 μが既知の場合
• 平均 μが未知の場合 最尤推定 不偏推定
∑
∑
∑
=
=
=
−−
=
−=
−=
n
ii
n
ii
n
ii
XXn
XXn
Xn
1
22
1
22
1
22
)(1
1
)(1
)(1
σ
σ
µσ
不偏分散
2
22
22
1
22
1
2
1
1
22
)1(
])[(])([
])()([
])}(){([
])([][
σ
σσ
µµ
µµ
µµ
−=
−=
−−−=
−−−=
−−−=
−=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
n
nnn
XnEXE
XnXE
XXE
XXESE
i
n
i
i
n
i
i
n
i
n
ii
2222
2
1
22
)1(1
1][
1
1][
)(1
1
1
1
σσ =−−
=−
=
−−
=−
= ∑=
nn
SEn
UE
XXn
Sn
U i
n
i
34レポート
35
36
情報統計学
区間推定
37区間推定
• たった一組のデータで求めた値が，母平均の値に一致する可能性は少ない。
• 区間を求める「区間推定」を考える求める区間の幅はできるだけ狭く定めた区間内にパラメータが入っている確率はできるだけ大きくなるように
• 同時に満たすことは難しい確率に条件を付ける
• 信頼度 1-αを定める。• 求めた推定区間の中にパラメータが入っている確率が
1-α 以上になる区間のなかで，幅をできるだけ狭くする
38信頼区間
39母平均 μの区間推定（母分散 σ2が既知の場合）
信頼区間の幅 40
> xseq<-seq(0.001, 0.049, 0.0001)> cL<-qnorm(xseq)> cU<-qnorm(1-0.05+xseq)> Ran<-cU-cL> plot(Ran)> which.min(Ran)[1] 241> points(241,Ran[241],col="red")> xseq[241][1] 0.025> cbind(cL,cU,Ran) cL cU Ran [1,] -3.090232 1.654628 4.744860 [2,] -3.061814 1.655614 4.717428 [3,] -3.035672 1.656602 4.692274省略[239,] -1.963398 1.956553 3.919951[240,] -1.961678 1.958256 3.919934[241,] -1.959964 1.959964 3.919928[242,] -1.958256 1.961678 3.919934[243,] -1.956553 1.963398 3.919951以下省略 0 100 200 300 400 500
4.0
4.2
4.4
4.6
Index
Ra
n
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
dn
orm
(x)
確率 95%の区間 41
42母平均 μの区間推定（母分散 σ2が既知の場合）
43シミュレーション
• R の関数 rnorm は N(0, 1)に従う乱数を生成 これを母集団と考えて， 10個の乱数（標本）をとり，
母平均の信頼度 1-α=0.95 の信頼区間を作る
44シミュレーション
45
乱数によっては，母平均 μ=0を含む場合と，含まない場合がある
46
• 区間推定を 100回繰り返して，確かめてみる。 区間を 100個作る。> for(i in 1:100){
print(conf.interval(rnorm(10), 0.95, 1))
}
• 関数 sim.conf.interval シミュレーションの回数，標本数，信頼度 標本数 n=10 ・信頼度 1-α=0.95・シミュレーション回数 5回 sim.conf.interval(5, 10, 0.95)
47
• シミュレーション回数を 100回にして， 100組の信頼区間• 真の母平均の値 μ=0 を含まない信頼区間だけを表示
48
• グラフにして表示• r <- sim.conf.interval(100, 10, 0.95)
• plot.conf.interval(r)
-2 -1 0 1 2
020
40
60
80
100
gx
gy
49母平均 μの信頼区間（母分散 σ2が未知のとき）
• 母分散 σ2が未知のときは，先ほどの方法は使えない• ここで次の性質を使う。（ σ2は未知なため， σは使えない）
50母平均 μの信頼区間（母分散 σ2が未知のとき）
• P69
51母平均 μの信頼区間（母分散 σ2が未知のとき）
52信頼区間の計算
53シミュレーション
54
-2 -1 0 1 2
020
40
60
80
100
gx
gy
55信頼区間の幅
母分散が未知の場合は母分散のかわりに，不偏推定値の標本不偏分散を用いているため
・信頼区間の幅がすべて同じ・信頼区間の幅が変わっている
56演習
• N(0,1)に従う乱数を 999個作成し，小さいほうから 25番目，975番目の値を求め， qnorm関数より， α=0.025の値， α＝0.975の値と比較せよ。 並べ替えは sort関数で行うことができる
• sort(x)で xを小さい順に並べ替える– その 1番目の値を見るためには， sort(x)[1]
57レポート
• N(0,1)に従う乱数を 16個発生させ，その平均を求めることを999回繰り返す。 999個の平均の，平均を求めよ。 小さいほうから 25番目の値と、 975番目の値を求めよ。
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