K. Tabri Beam Vibrations in Case of Non-Analytical Excitation Force

TALLINNA TEHNIKALIKOOL Mehaanikateaduskond Masinaehituse instituut

Tootmistehnika ppetool

Kristjan Tabri TALA VNKUMINE MITTEANALTILISE HIRIVA JU KORRAL

Bakalaureuset

Juhendaja: prof. Jaan Metsaveer

Tallinn 2001

1

Autorilt

Autor soovib tnada koost eest Tallinna Tehnikalikooli mehaanikateaduskonda ja

Helsingi Tehnikalikooli laevalaboratooriumi. Koost tulemusena sai vimalikuks ppida

Helsingi Tehnikalikoolis laevaehituse erialal ja kirjutada kesolev bakalaureuset.

Suurimad tnusnad sooviks elda juhandaja prof. Jaan Metsaveerule ja Helsingi

Tehnikalikooli laevalaboratooriumi juhatajale prof. Petri Varstale, kelle juhendamisel sai

vimalikuks t probleemideta sujumine. Samuti soovin tnada Hendrik Naari kannatliku

suhtumise ja asjalike npunidete eest. Palju tnu ka paljudele teistele siin ja sealpool lahte,

kes nu ja juga abiks olid.

Tallinn, 07.12.2001

Kristjan Tabri

2

SISUKORD Autorilt.......................................................................................................................1 SISUKORD ...............................................................................................................2 SMBOLITE LOETELU..........................................................................................4 EESSNA .................................................................................................................6

1. TALA VNKUMINE NIHKEMEETODIL ...................................................................8 1.1. PROBLEEMI PSTITUS .....................................................................................................8 1.2. LHILEVAADE TALA VNKUMISTE UURIMISE AJALOOST..............................................9 1.3. NIHKEMEETODI IDEE ....................................................................................................13 1.4. HE VABADUSEGA SSTEEMI VNKUMINE...................................................................13

1.4.1. Vaba sumbuv vnkumine ......................................................................................14 1.4.2. Sumbuvad vnkumised mitteanaltilise hiriva ju korral ................................16 1.4.3. Nihke arvutamine htlase hiriva ju korral .......................................................19 1.4.4. Nihke arvutamine lineaarselt kasvava hiriva ju korral ....................................20 1.4.5. Kogunihke arvutamine..........................................................................................21 1.4.6. Konstantne nihkemeetod.......................................................................................22 1.4.7. Lineaarne nihkemeetod.........................................................................................23 1.4.8. Konstantse ja lineaarse nihkemeetodi vrdlus .....................................................26 1.4.9. Tala massi taandamine punktmassiks...................................................................28

1.5. MITME VABADUSEGA VNKUMISED .............................................................................29 1.5.1. Sumbumatud vnkumised ja omavnkevormid.....................................................29 1.5.2. Kahemtmelised sumbumatud vnkumised maatrikskujul .................................32 1.5.3. Omavnkevormide superpositsioon......................................................................33

1.6. PIDEV SSTEEM ............................................................................................................36 1.6.1. Liikumisvrrandite tuletamine talale....................................................................36 1.6.2. Liikumisvrrandid liigenditega tala jaoks............................................................40

2. TALA VNKUMINE KUULI SISSETUNGIMISEL TALASSE ..............................43 2.1. KONTAKTJU ARVUTAMINE HERTZ'I KONTAKTTEOORIA JRGI ....................................43 2.2. KUULI TALASSE SISSETUNGI ARVUTAMINE...................................................................44

2.3. VNKUMISTE ARVUTAMINE LPLIKE ELEMENTIDE MEETODIL.....................................45

3

2.4. TALA VNKUMISE NITED............................................................................................46

3. TULEMUSTE ANALS JA JRELDUSED ............................................................52 4. SOOVITUSED EDASISEKS TKS...........................................................................55

KOKKUVTE ........................................................................................................57 KASUTATUD KIRJANDUS..................................................................................58

Jooniste loetelu Joonis 1. Lihtsustatud ssteem..................................................................................................9 Joonis 2. he vabadusega ssteem .........................................................................................14 Joonis 3. Ju q sltuvus ajast ..................................................................................................17 Joonis 4. Vnkumise graafik...................................................................................................19 Joonis 5. htlaselt hiriv jud.................................................................................................20 Joonis 6. Lineaarselt kasvav hiriv jud .................................................................................21 Joonis 7. Jukvera aproksimeerimine konstantse nihkemeetodi korral ................................22 Joonis 8. Jukvera aproksimeerimine lineaarse nihkemeetodi korral...................................25 Joonis 9. Kahe vabadusega ssteem .......................................................................................30 Joonis 10. Palli langemine talale............................................................................................44

Tabelite loetelu Tabel 1. . Teoreetilised uuringud ...........................................................................................11 Tabel 2. Ssteemi parameetrid...............................................................................................26 Tabel 3. Judude vrtused....................................................................................................26 Tabel 4. Nihete vrtused ......................................................................................................27 Tabel 5. Ssteemi parameetrid katsele nr 1 ...........................................................................46 Tabel 6. Ssteemi parameetrid katsele nr 2 ...........................................................................50

Graafikute loetelu Graafik 1. he vabadusega ssteem (katse) ..........................................................................48 Graafik 2. Pidev ssteem (katse nr 1) ....................................................................................48 Graafik 3. Arvutustulemused (katse nr 1)..............................................................................49 Graafik 4. Arvutustulemused (katse nr 2)..............................................................................51

4

SMBOLITE LOETELU

A, B - vnkumiste amplituudid Ar - tala ristlikepindala C - konstant

E - elastsusmoodul L - Lagrang

Q - jud T - kineetiline energia

V - potensiaalne energia

X - amplituudide vektor

- omavnkevormide maatriks

c - sumbuvustegur f(x) - kujufunktsioon g - raskuskiirendus k - vedru jikus k2 - vrdetegur Hertzi kontaktteoorias m - mass

mB - tala mass

mM - kuuli mass

m

cn

2

p - vnkumise nurksagedus pd - sumbuva vnkumise nurksagedus q - jud massihiku kohta qk - konstant Hertzi kontaktteoorias

5

q - ldistatud koordinaat r - konstant

t - aeg

t - ju mjumise aeg v - kiirus

w - tala lbipaine wM - kuuli nihe

wB - tala nihe

x - massi nihe

- kuuli sissetung talasse

- konstant Hertzi kontaktteoorias

- dnaamiline lbipaine

- Poissoni konstant

- omavnkevorm

- tihedus

- vnkeperiood

- faasinihe

6

EESSNA

Kesoleva t eesmrgiks on lhemalt tutvuda vnkuvate ssteemidega ja ssteemi liikumisvrrandite lahendamisega. Teema osutus valituks pidades silmas plaanitavat magistritd, mis hakkab ksitlema laeva liikumisi karilesidu korral. Laeva puhul on tegemist vga komplitseeritud probleemiga, mida mjutavad laeva kiirus, jikus, tugevus, laeva ja kari kuju, kari kaugus veepinnast, mbritsev vesi j.n.e. Kuna suur mjurite hulk teeks raskeks kogu probleemi tieliku mistmise, siis tundus sobiva valikuna alustada tunduvalt lihtsustatud ssteemist heites krvale enamus spetsiifilisi mjutegureid nagu niteks mbritsev vesi ja laeva geomeetria. Jrgi jb lihtsustatud ssteem, kus laeva asendab lihttugedega toestatud tala ja karina on kujutatud talale langevat kuuli. Kirjeldatud lihtsustatud ssteemi liikumistele otsimegi antud ts lahendust.

Tala ja kuuli probleemi lahendamiseks on kasutatud erinevaid meetodeid ja tehtud mitmeid uurimustid ning eksperimentaalseid katseid. Teoreetiline taust tala liikumiste kirjeldamiseks on esitatud S. Timoshenko poolt juba eelmise sajandi algusaastatel. Veidi hilisemast ajast prinavad ka esimesed uuringud sarnaste (tala ja kuul) ssteemide kohta. Tnapeval on lisaks analtilistele meetoditele tekkinud rida uusi vimalusi kirjeldatud probleemi lahendamiseks. Antud ts on vaadeldud kahte analtilist meetodit, mis erinevad teineteisest selle poolest, et ks neist taandab tala he vabadusega ssteemiks,teine aga ksitleb tala pideva kehana. Kuna tnapevased arvutid ja programmid vimaldavad kogu probleemi simuleerida ja numbriliselt lahendada, siis on analtiliste meetodite tulemuste vrdlemiseks lahendatud sama probleem kasutades lplike elementide meetodit ja programmi LS-DYNA. Arvutuste igsuse kontrolliks on kasutatud eksperimentaalse katse tulemusi.

Peamiseks probleemiks on mista ssteemis asetleidvaid liikumisi ja nende matemaatilist kirjeldamist. Liikumisi on arvutatud nii ht kui ka mitut omavnkevormi kasutades. On vrreldud ka arvesse vetavate vnkevormide hulga mju ssteemi

7

lahendusele. Teise peamise probleemina on vaadeldud mitteanaltiliselt kirjeldatud ju tekkimist ja kasutamist ssteemis. T eesmrgiks on nende kahe probleemi hildamine ja tala lbipainde ning mjuvate judude arvutamine. Vaatleme erinevaid meetodeid kirjeldatud probleemi lahendamiseks ja krvutame erinevate meetoditega saadud tulemusi. Arvutuste suurt mahtu silmas pidades on arvutused tehtud FORTRAN programmi abil. Kuna talale mjuv jud on mitteanaltiline, siis ei ole vimalik ssteeme lahendada integreerimise teel, vaid on kasutatud nihkemeetodit. Eeldatud on, et he ajasammu jooksul jud on konstantne vi lineaarselt muutuv. Samuti on eeldatud, et kuuli ja tala vahelisest kontaktist tekkiv jud on arvutatav Hertz' i kontaktiseaduse abil. Kasutatava kirjandusena olid kasutuses peamiselt kahte tpi publikatsioonid. hed kuulusid peamiselt laeva probleemistikku ja ksitlesid laeva liikumisi lainetes ja karilesidul. Teise tpi kuulusid vnkumisi ksitlevad raamatud. Samuti on kasutatud erinevaid artikleid asjakohaste meetodite ja probleemide kohta.

8

1. TALA VNKUMINE NIHKEMEETODIL

1.1. Probleemi pstitus

Nagu juba eessnas mainitud on kesolevas ts kasutatud lihtsustatud laeva karilesidu mudelit. Lihtsustatud ssteemi kuuluvad liigenditega toestatud tala ja sellele langev kuul. Ssteem koos koordinaatteljestikuga on kujutatud joonisel 1. Pikisuunas on nullpunktiks valitud tala vasakpoolne otspunkt. x-telje asukohast sltub omavnkevormide arvutamine ja ssteemi taandamine, sest ssteemi jikus sltub punktist, kuhu pall kukub. Antud ts on kasutatud eeldust, et kuul langeb tala keskpunkti. Pstsuunas on nullpunktiks valitud tala lemine klg. Sellest tulenevalt antakse hiljem arvutustes ka tala lemise kihi lbipaine. Peamine kasu lemise klje valimisest ilmneb siis, kui hakkame arvutama kuuli talasse tungimist. y-telg on suunatud allapoole, nagu ka palli esialgne kiirus. Jrelikult kui kuul liigub tala poole vi sisse on ta kiirus positiivne ja vastavalt negatiivne kiirus thendab, et kuul eemaldub talast. Sarnaselt toimib ka tala. Tala keskpunkti positiivse kiiruse korral lbipaine suureneb ja negatiivse korral vheneb.

Vliste mjudeta tala ei liigu ja tema lbipaine on null. Et anda talale mingi vline jud, lastakse talale langeda kuulil, millel on hetkel t=0 algkiirus v0. Kuul tungib talasse ja phjustab sissetungist sltuva ju, mida on raske analtiliselt kirjeldada. Sellest tulenevalt ei ole meil vimalik lahendada ssteemi integreerimise teel, vaid tuleb kasutada nihkemeetodit. Arvutustes keskendume ainult kuuli esimesest prkest phjustatud efektile. See thendab, et vaatleme ssteemi senikaua, kuni tala on saavutanud maksimaalse lbipainde ja hakkab liikuma tagasi tasakaaluasendi poole. Vltimaks kuuli tagasilangemist talale peale esimest prget on gravitatsioonkiirendus vetud nulliks. Gravitatsioonijudude mittearvestamine ei phjusta viga meid huvitavatesse tulemustesse, kuna me ei uuri kuuli, vaid tala liikumisi.

9

V0

Y

X

Joonis 1. Lihtsustatud ssteem

1.2. Lhilevaade tala vnkumiste uurimise ajaloost

Kokkuprgete kirjeldamisele on oma tdes pannud aluse Wallis(1668), Wren(1676), Hygens(1669) ja Newton(1687). Nad tuletasid valemid elastsetele ja mitteelastsetele kokkuprgetele tuginedes liikumishulga muutumisele kokkuprkavate kehade vahel. Nendes teooriates ei arvestatud kontaktist tekkivaid jude. Riccati (1754) ja Bernoulli (1770) selgitasid kokkuprkavate kehade vnkumisi energiate abil.

Cox (1849), Saint-Venant (1854) ja veel mningad eeldasid, et talale langev mass kinnitub talale ja tuletasid kokkuprketeooriaid elastsetele vnkumistele transversaalselt ja pikisuunas toimuvate kokkuprgete korral. Teooriates ei ksitletud kontaktist tulenevaid deformatsioone ja jude.

Deformatsioonist tuleneva ju arvutamisele pani oma teooriaga aluse Hertz(1881). Ta tuletas teoreetilised avaldised, milledega kontaktist phjustatud jud arvutati massi sissetungist talasse kehade materjale arvestades. Esmalt uuris Hertz staatilist juhtu ja rakendas seda teooriat ennustamaks kontaktiks kuluvat aega. Ta eeldas, et kehad kituvad tiesti elastselt ja kontaktiks kuluv aeg on pikk vrrelduna madalaima omavnkeperioodiga. Kontaktiks kuluva aja pikk kestvus oli vajalik tasakaalutingimuste loomiseks, millel staatiline teooria phines.

Kuna Hertzi teooria rakendamine andis St.-Venanti meetodist erinevad tulemused, siis tehti mitmeid eksperimentaalseid ja teoreetilisi uurimusi testamaks vi mber lkkamaks hte vi teist meetodit. Uurijate hulgas olid ka Boltzman, Plank, Voight ja Berger. Probleemi

10

keerukusest, arvutustesse kaasatud termide ebaigest mramisest ja primitiivsetest katsevahenditest tulenevalt saadi tihti valesti tlgendatud ja vrad tulemused. Siiski kaldusid tulemused toetama enam Hertzi teooriat. Peamiselt tnu oletustele, mida eksperimentaalselt oli raske saavutada, tunnistati St.-Venant'i teooriat vaid osaliselt. Timoshenko (1913) oli esimene, kes kasutas Hertzi teooriat palli ja tala kokkuprkes. Teooria tuletamisel on eeldatud, et kokkuprkes osalevad kehad kituvad elastselt. Tulemuseks saadud integraalvrrandi puuduseks on isegi lihtsaimatel juhtudel arvutuste suur maht. Tnapeval on viimane probleem letatav kasutades elektronarvuteid. Peale Timoshenko teooriat tehti mitmeid uurimusi, millede eesmrgiks oli lhendada arvutuste hulka. Arvutuste lihtsustamiseks kasutati vikest arvu omavnkevorme ning aja ja ju vahekord asendati lihtsate avaldistega. Zener ja Feshbach (1939) tuletasid teooria arvutamaks erinevatest parameetritest phjustatud efekti, hinnates kineetilise energia jaotust omavnkevormides ja kasutades aja ning ju vahekorrana siinuskverat. Lennertz (1937) tuletas aproksimatsioonid lbipainde arvutamiseks ignoreerides kiki omavnkevorme peale esimese. Lee (1940) laiendas seda teooriat arvestades vnkevormide vahelist energia jaotust. Hoppman lisas Lee teooriasse ka sumbuvuse mju. Salvadori (1947) tuletas nende teooriate phjal avaldised paindest tekkivate pingete arvutamiseks. Erinevatele retingimustele nii talade kui plaatide korral tuletas valemid Eringen (1953). Teoreetilistele uurimustele lisaks on tehtud ka mitmeid eksperimentaalseid uurimusi. Varasemad neist on tehtud Arnoldi (1937) poolt, kelle saadud tulemused hilduvad Timoshenko teooriaga nii lbipainde kui ka kontaktju osalt, ja Tuzi ning Nisida (1936) poolt. Kokkuvtlikult on uurimused esitatud tabelis 1. Esitatud on peamiselt kesoleva tga seotud uurimused. Vlja on jetud plaate ja muid kehi ksitlevad kokkuprgete uurimused.

11

Tabel 1. . Teoreetilised uuringud

NR UURIJA SSTEEM OLETUSED SAADUD SEOSED TULEMUSED 1 Hertz kaks staatiliselt

kokkusurutud keha elastsed tingimused Kirjeldatud punktis 2.1 numbrilised nited tuletatud

suhete phjal kaks elastset keha Hertzi kontaktjud, elastsed

tingimused, liikumishulga jvuse seadus

numbrilised nited kahe sfri kohta

2 Timoshenko kuul langeb liigenditega toestatud talale

elastsed tingimused, Hertzi kontaktjud

integraalvrrand tala paindele

numbrilised nited paindele ja jule aja funktsioonina

3 Zener ja Feshbach

kuul langeb liigenditega toestatud talale

elastsed tingimused, normaliseeritud Hertzi kontaktjud

energia jaotus vnkevormide vahel ja energia kadu kokkuprkes

numbrilised nited paindele ja jule aja funktsioonina

4 Lennertz kuul langeb liigenditega toestatud talale

he vabadusastmega funktsioon

paine ja kontaktiks kulunud aeg

ei hildu Timoshenkoga

5 Lee kuul langeb liigenditega toestatud talale

elastsed tingimused, Hertzi kontaktjud, arvestatud vaid esimest omavnkesagedust

paine ja kontaktiks kulunud aeg, energia jaotus omavnkevormide vahel

hildub osaliselt Timoshenko tulemustega

6 Hoppmann kuul langeb elastsel alusel olevale talale

elastsed tingimused, Hertzi kontaktjud, arvestatud vaid esimest omavnkesagedust, sisene ja vline sumbumine

paine ja deformatsioon aja funksioonina

nidete tulemused hilduvad Timoshenkoga

7 Salvadori kuul langeb elastselt toestatud talale

elastsed tingimused, Hertzi kontaktjud, arvestatud vaid esimest omavnkesagedust

energia jaotus -

8 Eringer kuul langeb talale elastsed tingimused, Hertzi kontaktjud, smmeetriline jukver

paine aja funktsioonina painde kverad hilduvad Lee tulemustega

12

9 Christopherson pall langeb lpmatult pikale talale

elastsed tingimused, Hertzi kontaktjud, arvestab likejude

jud ja deformatsioon aja funktsioonina

hilduvad ligikaudselt Arnoldiga

10 Dengler ja Goland

pikkadele taladele rakendatud jud

elastsed tingimused, Timoshenko valemid

pinge aja funktsioonina paindemoment aja funktsioonina

11 Anderson sundvibratsioonid liigendtoestega talale

elastsed tingimused, Timoshenko valemid

vnkevormikohane vastus impulsiivsele jule

-

12 Thompson zarniirsetele ja konsoolsetele taladele rakendatud jud

elastne-plastne tala paine aja funktsioonina moment, jud ja nihe aja funktsioonina

13 Thompson ja Rogers

elastsed tingimused - -

14 Miklowitz lpmatult pikale talale rakendatud kontsentreeritud jud

elastsed tingimused, Timoshenko valemid

painde ja like nihked, moment ja likejud aja funktsioonina

hildub Dengleri ja Golandiga

15 Symond vabale talale rakendatud jud

elastseid deformatsioone ei ole arvestatud

liikumised ju mjumise ajal ja peale ju mjumist

ju impulsi kuju mju plastsetele deformatsioonidele

13

1.3. Nihkemeetodi idee

Selles punktis teeme lhemalt tutvust nihkemeetodiga ja tuletame vastavad arvutusmeetodid. Nagu eldud, ei ole meil tegemist analtiliselt kirjeldatava juga. Nihkemeetodi idee seisneb kokkuprkeks kuluva aja lhikesteks ajasammudeks jaotamises. Ajasammu jooksul on kik muutujad nagu nihked, kiirused ja jud konstantsed ning nad on ssteemile algparameetriteks. Konstantset judu kasutades arvutatakse ssteemile uued vrtused- kuuli uus sissetung ja sellest phjustatud jud. Asja selgitamiseks kirjeldame, mis toimub ajasammude 1 ja 2 jooksul. Sammu 1 algul on kuuli asend selline, et ta on talaga kontaktis, aga talasse sissetung on veel null. Sammu 1 jooksul saab kuul nihke wM. Kuna ssteemis veel jude ei ole, on tala nihe wB, mis sltub algtingimustest (wB=0, 0Bw , kui t=0) vrdne nulliga. Kuul tungib talasse nihke wM1 vrra ja vastavalt sellele sissetungile arvutatakse sammu 1 lppjud Q1. Sellisena saadud jud on funktsioon sissetungist ja ju leidmiseks kasutatakse Hertzi teooriat, mida on tpsemalt selgitatud punktis 2.1. Jrgmisel sammul mjub ka talale kuuli poolt phjustatud jud Q1 ja sellest tulenevalt saab tala nihke wB2. Jrelikult on kuuli sissetunge talasse sammul i arvutatav valemist

i=wMi-wBi (1)

Kuuli kiiruse arvutamisel tuleb arvestada ajasammu jooksul mjuvat judu ja algkiirust. Kuigi ajasammu jooksul kuuli kiirus muutub, vetakse ta lihtsuse mttes siiski konstantseks. Tekkiv viga tuleb elimineerida piisavalt lhikesi ajasamme kasutades.

1.4. he vabadusega ssteemi vnkumine

Uurime vnkuvat tala taandades tala he vabadusega ssteemiks, kuhu kuuluvad mass, vedru ja summuti.

Uurime, mida kujutab endast sumbuv vnkumine ja millised parameetrid sellist vnkumist iseloomustavad. Tuletame valemid vabale sumbuvale vnkumisele ning juhule, kui tegemist on sundvnkumisega ja jud ei ole analtiliselt kirjeldatav, vaid on tundmatu funktsioon ajast. Uuritud on kahte meetodit, millede abil saab aproksimeerida tundmatuid jukveraid.

14

1.4.1. Vaba sumbuv vnkumine

Esmalt uurime lihtsaimat vnkuvat ssteemi, kus ssteemi olekut suvalisel ajahetkel saab kirjeldada he koordinaadi abil. Sellist ssteemi nimetatakse hemtmeliseks ssteemiks. Kirjeldatud ssteem on kujutatud joonisel 2. Ssteemi kuuluvad mass m, vedru jikusega k ja summuti konstandiga c. Massi m liikumist takistavad vedru ja summuti poolt phjustatud jud. Vedrust phjustatud jud on vrdeline massi nihkega ja summuti mjutab massi juga, mis on vrdeline massi kiiruse esimese astmega.

x

c

W

k

Joonis 2. he vabadusega ssteem

Newtoni teist seadust kasutades saame kirjutada vrrandi

xckxmmxm )( (2)

Miinus c ees thendab, et summutusjud on alati suunatud kiirusele vastusuunas. Lihtsustades vrrandit ja jagades selle lbi m-ga saame

02

,2,0

:0

2

2

xpxnx

saamem

cnja

m

kpasendadesxm

kx

m

cx

mkxxcxm

(3)

15

Vrrandile (3) otsime lahendust kujul rtCex

kus t on aeg ja r on konstant, mis tuleb leida tingimusel, et lahend rahuldaks vrrandit (3). Saame

0202

22

22

pnrr

CepnCreeCr rtrtrt

Viimase vrrandi lahend on avaldatav kujul

22

222,1

npp

kusipnpnnr

d

d

Antud juhul on diferentsiaalvrrandi ldlahend ja kiirus avaldatav kujul tpCptpCpetpCtpCnex

tpCtpCex

ddddnt

ddnt

ddnt

cossinsincossincos

2121

21

(4)

Vrrandisse (4) on nha, et kuna aja t kasvadest e-nt kahaneb, siis algselt tekkivad vnkumised sumbuvad aja kulgedes.

Konstantide C1 ja C2 leidmiseks oletame, et esialgsel ajahetkel t=0 vnkuv keha on liikunud oma tasakaaluasendist nihke x0 vrra ja omab kiirust 0x . Asendades need vrtused vrrandisse (4) ja selle esimesse tuletisse aja suhtes, saame

C1=x0 ja dpnxxC 002

Viies nd konstandid C1 ja C2 tagasi vrrandisse (4), saame vlja kirjutada lahendi massi nihke kohta

tp

pnxx

tpxex dd

dnt sincos 000

(5)

16

Valem (5) kirjeldab ssteemi vnkumist mistahes ajahetkel t. Vnkumine toimub summutatud vnkumise nurksagedusega pd.

Valemite tuletamisel eeldasime, et np, siis mlemad juured on reaalarvulised ja negatiivsed. Sellisel juhul omab ldlahend kuju

trtr eCeCx 21 21

Konstandid C1 ja C2 leidakse vastavalt algtingimustele sarnaselt valemi (5) tuletamisele. ldlahendiks tuleb

trtre

rr

xxre

rr

xrxx 21

21

001

21

020

Kesoleval juhul lahendus ei ole perioodiline ja ei esita vnkuvat liikumist. Sumbumine on nii suur, et massi nihutamisel tasakaaluasendist ei hakka mass vnkuma, vaid nihkub tagasi lhteasendisse esimese poolperioodi jooksul. Kuna kesoleva t eesmrgiks on uurida ssteeme, kus toimuvad vnkuvad liikumised, siis uurime ainult juhtu kui n

17

Jud q on meile tundmatu funktsioon ajast t'. Ajaga t' thistame ju mjumise aega. Igal ajahetkel t' saame arvutada juurde kasvanud impulsi qdt', mis on joonisel 3 kujutatud viirutatud pindalana. Selle impulsi mjul saab massihik kiiruse juurdekasvu, mis on vrdne qdtxd

q=f(t)

t

t0

dt

q

t

Joonis 3. Ju q sltuvus ajast

Ksitledes seda kiiruse juurdekasvu esialgse kiirusena (ajahetkel t x0=0 ja qdtxd ) ja kasutades vrrandit (5) saame jreldada, et ssteemi nihke juurdekasv hilisemal ajahetkel t on

)(sin)( ttp

pqdt

edx dd

ttn (6)

Vrrand (6) nitab ssteemi nihet dx ajahetkel t, kui ajahetkel t on mjunud juimpulss qdt. Samuti peab arvestama, et t-t ei ole vrdne dt. Peale ju mjumise lppu ssteem liigub inertsist ja on sumbuv. Kuna iga juurdeantav impulss qdt ajahetkede t=0 ja t=t vahel omab eelpoolkirjeldatud efekti, saame psivalt mjuva ju q korral kirjutada kogunihke jrgmiselt:

tdttpqep

ex d

ttn

d

nt

)(sin0

(7)

18

Sellist matemaatilist vormi kutsutakse Duhameli integraaliks. Vrrand (7) esitab kogunihke, mis on phjustatud mjuvast just aja 0...t jooksul.

Vrrand esitab nii psivat kui ka lhiajalist seisundit. Psiv seisund esitleb ainult liikumist, mis on phjustatud mjuvast just. Tegelikult

phjustab kehale mjuv jud ka ssteemi vabavnkumise. Tegelik liikumine on keha psiva liikumise ja vabavnkumise summa. Teatud aja mdumisel vabavnkumine sumbub ja jrgi jb ainult otseselt just phjustatud liikumine. Seda viimast faasi nimetatakse psivaks seisundiks. Seisundit, mille jooksul mjuvad mlemat tpi liikumised ja mis teatud aja prast lheb le psivaks seisundiks nimetatakse lhiajaliseks seisundiks. Asja selgitab joonis 4, kus katkendjoonega on ra toodud psiv seisund ja pideva joonega on esitatud summaarne vnkumine.

Vrrand (7) on kasutatav ka mitteanaltilise ju korral. Kui funtsiooni q=f(t) ei saa esitada analtiliselt, siis integreerimine vrrandis (7) tuleb teha graafilisi aproksimatsioone kasutades vi numbriliselt.

Vrrandit (7) tuletades oletasime, et ajahetkel t=0 x0=0 ja 00 x . Soovides anda nihkele ja kiirusele teatud vrtused ajahetkel t=0, tuleb algtingimused lisada vrrandisse (7). Seega ldlahend omab kuju

tdttpqeptpp

nxxtpxex d

ttn

dd

dd

nt)(sin1sincos

0

000

(8)

Edaspidistes arvutustes kasutame nihkemeetodit, kus jukver aproksimeeritakse sirglikudena. Tuletamaks neid valemeid leiame esmalt arvutusvalemid konstantse ja hiljem lineaarselt kasvava jukvera jaoks.

19

Psiv seisundLhiajaline seisund

Tegelik vnkuv liikumine

0

x

Psiv vnkumine

t

Joonis 4. Vnkumise graafik

1.4.3. Nihke arvutamine htlase hiriva ju korral

Konstantne jukver kujutab endast lihtsaimat funktsiooni, mille abil saab judu kirjeldada. Jud on ajasammu jooksul konstantne ja omab joonisel 5 nidatud kuju. Kuna valemis (7) on ju Q asemel kasutatud judu massihiku kohta, siis kasutame ju jaoks avaldist q=Q/m. Asendades selle vrrandisse (7), saame

tdttpempQe

x d

ttn

d

nt

)(sin0

Ositi integreerides saame tulemuseks

2222

sincosd

dddnt

d

d

d

nt

pntpntpp

epn

pmpQe

x

Tuues sulgude ette ntd

d epn

p22

ja tehes vajalikud lihtsustused (arvestades, et m

kp ja

22nppd ), saame

20

tp

pn

tpek

Qx d

dd

nt sincos11 (9)

Antud avaldisega saame arvutada nihke x vrtuse, kui aja t jooksul mjub ssteemis konstantne jud Q.

t0

Q

t

Q1

Joonis 5. htlaselt hiriv jud

1.4.4. Nihke arvutamine lineaarselt kasvava hiriva ju korral

Eelnevalt vaadeldud aproksimeerimismeetod annab hid tulemusi vaid siis, kui jud on konstantne vi muutub ajasammu jooksul vhe. Tihti, isegi lhikesi ajasamme kasutades, muutub jud ajasammu jooksul mrgatavalt ja seega ei piisa enam konstantse aproksimatsiooni pakutav tpsus. Selle probleemi letamiseks kasutatakse jukvera lineaarset aproksimeerimist.

Tuletame valemid nihke arvutamiseks, kui jud omab joonisel 6 kujutatud kuju. Jud Q on avaldatav graafiku tusu (Q=Q/t) ja aja t kaudu jrgnevalt:

Q=Qt.

Jrelikult jud massihiku kohta on

tm

Qq

Asendades ju avaldise valemisse (7), saame

21

t

dtn

d

nt

t

dtn

d

ntt

dtn

d

nt

dtttptem

Qp

e

dtttptm

Qe

pedtttpqe

pe

x

0

00

)(sin

)(sin)(sin

Integreerides taas ositi, saame x-i vrtuseks

222

22

222

22

sinsincos2

2

d

ddddd

d

nt

ddd

nt

pn

tpptpntpnp

pn

entptnp

m

Qp

ex

Peale mningaid lihtsustusi ja asendusi saame avaldise kujul

tp

ppnp

tppn

epn

tkQ

x dd

dd

nt sincos22 222

22

(10)

Q

t0

1

Q

t

Joonis 6. Lineaarselt kasvav hiriv jud

1.4.5. Kogunihke arvutamine

Eelnevates punktides koostasime valemid nihke arvutamiseks he ajasammu jooksul. Valemites oli eeldatud, et aja alghetkel ssteemil ei olnud algnihet ega -kiirust. Hakates arvutama kogunihet jagame kogu protsessi lplikuks hulgaks ajasammudeks ja jrelikult on ilmne, et igal ajasammul on ssteemil olemas algnihe ja -kiirus. Seetttu on

22

vajalik tuletada uued valemid, mis arvestavad lisaks just phjustatud nihkele ka ssteemi algtingimusi.

1.4.6. Konstantne nihkemeetod

Konstantse nihkemeetodi (KNM) korral aproksimeeritakse ju efekti ristklikukujuliste impulssidega, milledel on erinev kestvus ja amplituud. Asja selgitab joonis 7. Igal ajaintervallil ti-1 t ti toimuv nihe arvutatakse esialgsete tingimuste (ajahetkel ti-1) ja impulsi efekti (ajaintervalli t-ti-1 jooksul) summana jrgnevalt:

11

111

11)(

sincos1

sincos

1

1

idd

idttni

idd

iiidi

ttni

ttppn

ttpekQ

ttpp

nxxttpxex

i

i

(11a)

t4

Q1

t20 t1t1

t3t2t3

Q2

Q3

Q

ti/2

ti-1ti

t4 ti

Qi

t

Joonis 7. Jukvera aproksimeerimine konstantse nihkemeetodi korral

Valemi (11a) esimesed kaks liiget vtavad arvesse ssteemi algtingimusi ja kujutavad endast phimtteliselt valemit (5). Viimane liige esitab ju Qi poolt phjustatud nihet ja on sarnane valemiga (9). Kasutades nd aegade vahe asemel konkreetse suurusega ajasammu ti, vime valemit (11a) kirjutada jrgnevalt:

23

idd

idtni

idd

iiidi

tni

tppn

tpek

Q

tpp

nxxtpxex

i

i

sincos1

sincos 111

(11b)

Nagu nha on nihke arvutamiseks vajalik ka ssteemi kiirus alghetkel. Kiiruse leidmiseks tuleb diferentseerida valemit (11b) ajaintervalli ti jrgi:

iddd

tn

idtn

d

i

iddtn

idtni

iddtn

idtn

d

ii

idditn

iditn

i

tppp

netpe

pn

kQ

tppetpnek

Q

tppetpnep

nxx

tppxetpxnex

ii

ii

ii

ii

sinsin

sincos

cossin

sincos

2

11

11

Peale lihtsustamist on valemil kuju

idd

dtni

idd

iiidi

d

idd

iiidid

tni

tppnpe

kQ

tpp

nxxtpx

pn

tpp

nxxtpxpex

i

i

sin1

sincos

cossin

2

2

111

111

(12)

1.4.7. Lineaarne nihkemeetod

Lineaarse nihkemeetodi (LNM) eelised konstantse nihkemeetodi ees on sarnased lineaarse jukvera aproksimeerimise eelistega konstantse aproksimatsiooni ees. Kogunihke arvutamisel tuleks KNM arvutamisel piisava tpsuse saamiseks protsess jaotada suureks

24

hulgaks sammudeks ja see nuaks loomulikult rohkem aega arvutuste tegemiseks. Otstarbekam on taas kasutada lineaarset aproksimatsiooni.

Lineaarne nihkemeetod kujutabki endast summat KNM-ga arvutatud osast, millele liidetakse kaldfunktsiooniga aproksimeeritav osa. KNM ja KLM erinevused toovad esile joonised 7 ja 8.

Valemis (13a) esimesed kaks liiget kujutavad endast valemit (12) ja viimane, kolmas rida, on vetud kaldfunktsiooni valemist (10)

12

22

1221

111

111

11)(

sincos22

sincos1

sincos

1

1

1

idd

did

ttni

i

i

idd

idttni

idd

iiidi

ttn

ttppp

npttp

pn

epn

tttk

Q

ttppn

ttpek

Q

ttpp

nxxttpxex

i

i

i

(13a)

Kasutades taas htlast ajaintervalli t1, siis saab valem (13a) kuju

idd

did

tni

i

i

idd

idtni

idd

iiidi

tn

tppp

nptp

pn

epn

ttk

Q

tppn

tpek

Q

tpp

nxxtpxex

i

i

i

sincos22

sincos1

sincos

2

22

22

1

111

(13b)

Kiiruse leidmiseks diferentseerime ainult vrrandi viimast osa, kuna kaks esimest liiget on identsed vrrandiga (11b) ja vastavalt ka tuletis hildub avaldisega (12). Lineaarse osa tuletis on

!"

!#$

!%

!&'

iddidd

d

iddidtn

i

tn

i

i

tpptpntpp

np

tpptpntp

ne

tpn

etk

Qx ii

cossin1

sincos122

12

22

122

25

Kogukiirus arvutatuna LNM-ga on jrelikult

!"

!#$

!%

!&'

iddidd

d

iddidtn

i

tn

i

i

idd

tni

idd

iiidi

d

idd

iiidid

tni

tpptpntpp

np

tpptpntp

ne

tpn

etk

Q

tppn

ek

Q

tpp

nxxtpx

pn

tpp

nxxtpxpex

ii

i

i

cossin1

sincos122

sin1

sincos

cossin

12

22

122

2

2

111

111

(14)

Qi

t3t1

t10 t2

t2

Q0Qi

t4t3t4

titi-1ti

Qi-1

Q1

Q2Q3 q=f(t)

t

Q

Joonis 8. Jukvera aproksimeerimine lineaarse nihkemeetodi korral

26

1.4.8. Konstantse ja lineaarse nihkemeetodi vrdlus

Vrdleme punktides 1.4.6 ja 1.4.7 tuletatud valemitega arvutatud nihete erinevusi. Rakendame ssteemile analtiliselt avaldatava ju ja arvutame tekkiva nihke.

Arvutamiseks kasutame massist ja vedrust koosnevat ssteemi, millele mjub jud Q=10sin(t). Ajasamm on valitud suhteliselt suur, 0.4 sek, et paremini esile tuua aproksimeerimismeetodist tulenevat erinevust. Ssteemi iseloomustavad parameetrid on esitatud tabelis 2. Tabel 2. Ssteemi parameetrid Vedru konstant: k=10 N/m Omavnkeperiood: =1.2 sek Ajasamm: t=0.4 sek Sumbumistegur: c=0 Algnihe: x_0=0 m Algkiirus: v_0=0 m/sek

Kuna konstantne nihkemeetod kasutab ju keskvrtust ajasammu keskel ja lineaarne meetod kasutab ju vrtust ajasammu alg- ja lpphetkel, siis tuleb ka sisendsuurustena anda kummalegi meetodile ju vrtused erinevatel ajahetkedel. Ju suurused konkreetsetel ajahetkedel on antud tabelis 3.

Tabel 3. Judude vrtused

Konstantne meetodt F [N] t F [N]

1 0 0.00 0.2 1.992 0.4 3.89 0.6 5.653 0.8 7.17 1 8.414 1.2 9.32 1.4 9.855 1.6 10.00 1.8 9.746 2 9.09 2.2 8.087 2.4 6.75 2.6 5.168 2.8 3.35 3 1.419 3.2 -0.58 3.4 -2.56

10 3.6 -4.43 3.8 -6.1211 4 -7.57 4.2 -8.7212 4.4 -9.52 4.6 -9.9413 4.8 -9.96 5 -9.5914 5.2 -8.83 5.4 -7.7315 5.6 -6.31 5.8 -4.6516 6 -2.79 6.2 -0.8317 6.4 1.17 6.6 3.1218 6.8 4.94

Lineaarne meetod

Erinevaid nihkemeetodeid kasutades olid tulemused jrgmised:

27

Tabel 4. Nihete vrtused Lineaarne meetod Konstantne meetod

Nr. Nihe [m] Kiirus/p_d Nihe [m] Kiirus/p_d 1 0.2281 0.279 0.2985 0.172 2 0.9031 0.235 0.8475 0.145 3 0.9535 -0.125 0.963 -0.078 4 0.8532 0.092 0.9285 0.058 5 1.1000 0.016 1.047 0.01 6 0.6899 -0.341 0.6975 -0.212 7 0.1729 -0.086 0.2415 -0.051 8 0.1111 -0.098 0.0465 -0.061 9 -0.4533 -0.373 -0.4605 -0.231

10 -0.9451 -0.029 -0.888 -0.016 11 -0.8027 0.038 -0.8775 0.022 12 -1.0196 -0.180 -1.0335 -0.112 13 -1.0736 0.191 -1.0185 0.12 14 -0.4743 0.250 -0.546 0.152 15 -0.2864 -0.009 -0.2925 -0.006 16 -0.0505 0.294 0.0165 0.184 17 0.6768 0.268 0.6195 0.164

Analtiliselt arvutatud nihke vrtuseks saime

( ) ( )mdttt

dttptdtttptqekp

pex d

t

dnt

d

dnt

684.08.6236.5sinsin236.5

8.6sinsin1010236.5

sin

8.6

0

0

8.6

0

2

*

***

Kuna ajasamm oli valitud suhteliselt suureks, siis ka arvutustulemused erinevad teineteisest mrgatavalt. Tegeliku nihke vrtus on 0.684 [m], mis on saadud analtiliselt. Lineaarset meetodit kasutades saime tulemuseks 0.6768 [m], mis on mrgatavalt tpsem tulemus kui konstantse meetodiga arvutatud 0.6195 [m]. Ajasammu lhendamisel lhenevad ka aproksimeeritud tulemused tpsele tulemusele ja ka vahe lineaarse ja konstantse meetodi vahel vheneb. Edaspidistes arvutustes kasutame lineaarset aproksimeerimist, kuna hoolimata ajasammu pikkusest on saadavad tulemused tpsemad kui konstantset aproksimatsiooni kasutades.

28

1.4.9. Tala massi taandamine punktmassiks2

Tala vnkumiste arvutamisel omab thtsust ka vnkuva tala mass. he vabadusega ssteemis taandame tala massi punktmassiks ja seetttu tuleb uurida, kui suur osa tala massist taandub punktmassiks. Taandamisel arvestame, et kuul langeb tala keskpunkti. Kuuli langemisel talale hakkab koos palliga vnkuma vaid teatud kujutletav osa tala massist ehk tala redutseeritud mass. Knealust massi otsime tingimusest, et redutseeritud mass omandab vahetult peale kokkuprget kuuliga sama kiiruse. Thistame tala massi mB ja kuuli massi mM. Vaatleme tielikult mitteelastset kokkuprget. Kuuli kiirus vahetult enne kokkuprget on vM,0.

Koheselt peale kuuli kokkuprget talaga omandavad kuul ja teatud osa tala massist +mB hesuguse kiiruse v. Liikumishulga jvuse seadust kasutades saame kirjutada mMvM,0=(mM++mB)v

Nd eeldame, et dnaamilisel lbipaindel on sama kuju kui staatilisel lbipaindel. Seda vib kirjeldada w=(t)f(x), kus (t) thistab dnaamilist lbipainet kokkuprkepunktis x=c ja f(x) on lbipainet kirjeldav kujufunktsioon, mis omab jrgmisi retingimusi f(0)=f(L)=0 ja f(L/2)=1. Kasutades joonisel 1 kujutatud ssteemi saame lbipainde kirjutada

LxLkuiL

LxLLxxtwja

LxkuiL

xxLtw

21

,

9124)(

210,43)(

3

3223

3

32

Arvestades tala smmeetrilisust saame vlja kirjutada tala kineetilise energia

22

0

752346

2

2

0

2

0

2

7017

716

5243

21

B

L

LL

mxxLxLL

A

dxt

wAdxt

wAT

,,

,,

Viimasest vrrandist saame leida selle efektiivse osa tala massist, mis omandab peale kokkuprget kuuliga hesuguse kiiruse

3517

7017

21 22

+

+ BB mmT

2 Phjalikumalt on Hertzi kontaktteooriast kirjanduses (3)

29

Jrelikult tuleb arvutusi tehes kasutada redutseeritud tala massi ehk 17/35 tala tegelikust massist.

1.5. Mitme vabadusega vnkumised

Siiani oleme uurinud vaid hte vnkevormi ja -sagedust. Mitme vabadusega ssteemi vnkumine koosneb tegelikult mitme omavnkevormiga vnkumiste summast. Suhteliselt aeglase koormuse puhul avaldab vnkevormidest suurimat mju kige madalama omavnkesagedusega vnkevorm. Vnkevormide arv on vrdne ssteemi vabadusastmega. Kuigi taandatud ssteemi kasutamisel on meil tegelikult ainult ks omavnkevorm, lisame arvutustesse siiski ka krgrmaid tala omavnkevorme ja vaatame, kuidas need tulemusi mjutavad.

Omavnkevormide ja -sageduste leidmist selgitame lihtsuse mttes kahemtmelise ssteemi abil. Samuti lihtsust silmas pidades ei ole arvestatud sumbuvuse mju, seega arvutustes kasutame mittesumbuvaid ssteeme.

1.5.1. Sumbumatud vnkumised ja omavnkevormid

Kahe vabadusega ssteem on kujutatud joonisel 9. Ssteemi kuuluvad kaks massi, m1 ja m2, mis on omavahel hendatud vedrudega, mille jikused on vastavalt k1 ja k2. Massid saavad liikuda ainult x- suunas. Massidele mjuvad jud funktsioonidega Q1=F1(t) ja Q2=F2(t). Newtoni teist seadust kasutades saame kirjutada ssteemile liikumisvrrandid

212222

11221111

QxxkxmQxxkxkxm

Viime valemid kujule

2221222

12212111

QxkxkxmQxkxkkxm

(15)

Uurime esmalt ssteemi vabavnkumist vttes ju vrdseks nulliga. Tulemuseks saame homogeensed valemid

30

0

0

221222

2212111

xkxkxmxkxkkxm

(16)

Sarnaselt hemtmelisele ssteemile otsime lahendust kujul

ptBxptAx

sinsin

1

1 (17)

kus

p- nurksagedus

faasinihe

A,B- amplituudid

Asendades valemid (17) vrrandissteemi (16), saame

00

12

22

212

21

BmpkAkBkAmpkk

(18)

x1 x2

m1k1

m2k2

x

Joonis 9. Kahe vabadusega ssteem

heks ssteemi rahuldavaks lahendiks on A=B=0, mis vastab tasakaaluseisundile ja jrelikult ei anna mingit informatsiooni vnkumiste kohta. Vrranditel on nullist erinev lahend vaid siis, kui koeffitsentide A ja B determinant on vrdne nulliga

01222

212

21

mpkkkmpkk

(19)

Lahtikirjutatuna tuleb

31

( ) 0

0

212

212214

21

221

221

221

kkpkkmkmpmmehk

kmpkmpkk (20)

Vrrandi (k) lahendus on arvutatav kujul

( ) 212122121

2

2,1

:

24

kkckkmkmbmmakus

a

acbbp

(21)

Antud vrrandi lahendid p1 ja p2 on reaalarvulised lahendid. Samuti kehtib lahendite vahel seos p1

32

1.5.2. Kahemtmelised sumbumatud vnkumised maatrikskujul

Kui eelmises punktis uurisime joonisel 9 kujutatud ssteemi, siis nd tuletame valemid ldisele juhule, mis on rakendatav kigi kahe vabadusastmega ssteemide puhul. Kirjutame liikumisvrrandi maatrikskujul

( )- . ( )- . - .

"#$

%&'

"#$

%&'

"#$

%&'

00

00

tatunalahtikirjuja

)0

2

1

2221

1211

2

1

22

11

x

x

kkkk

x

x

m

m

xkxm

(26)

Viimases vrrandis on oletatud, et massimaatriks on diagonaalne. Ssteemil, mis on kujutatud joonisel 9 on diagonaalne massimaatriks. Seekord otsime lahendit kujul

- . - . ptXtx cos)( (27)

{X} on vnkumiste amplituudvektor Viies valemi (27) vrrandisse (26), siis

-p2[m]{X}cos(pt-)+[k]{X}cos(pt-)={0} (28)

Kuna ldiselt cos(pt-)/0, saame [k]{X}=p2[m]{X} (29)

Vrrandi (29) nol on tegemist omavnkevormide lesandega. Omanurksagedused saadakse determinandi lahendamisel

( ) ( ) 02 mpk (30)

Asendadest vrrandist (30) leitud juured vrrandisse (29) saame omavektorite {} mramiseks uue vrrandi

[k]{}i=p2i[m]{}i (31)

33

Omavektorite komponendid on tundmatute amplituudide suhted erinevates omavnkemormides. Vnkumiste kuju konkreetsel nurksagedusel on nd kll teada, aga amplituudide absoluutvrtused mitte. Lahendus on nd esitatav kujul [k]{}i=[m][]{p2i}i (32)

Omavnkevormide maatriksi [] veergudeks on omavektorid ja {pi}i on maatriks, mille peadiagonaali moodustavad omanurksagedused.

1.5.3. Omavnkevormide superpositsioon

Tala vnkumine koosneb suure hulga erinevate vnkevormidega vnkumiste

summast. Sageli suurimat mju avaldab madalaima sagedusega omavnkevorm. Praktilistes arvutustes arvestatakse vaid teatud hulga madalamate vnkevormidega, sest krgemate

vnkevormide mju on esimese vnkevormiga vrreldes thine. Antud ts huvitab meid tala lbipaine. Selle leidmiseks peamegi summeerima erinevate vnkevormide lbipainded. Hilisemates arvutustes kasutame tala 99 alumist omavnkevormi. Enne, kui lheme otseselt omavnkevormide superpositsiooni juurde, seletame lahti misted omavnkevormide ortogonaalsus ja vormimass. Olles vastavalt eelmisele punktile leidnud sagedused pi ja pj ning neile vastavad omavektorid {.i ja {.j , siis vime kirjutada vrrandid

( )- . ( )- .( )- . ( )- .jij

iii

mpkmpk

2

2

Korrutades esimest valemit {.jT ja teist {.iT - ga ning seejrel lahutame teise valemi transponeeritult esimesest ja tulemuseks saame

- . ( )- . - .022 iTjji mpp

Kuna ldiselt pi/pj, siis saame

- . ( )- . - .0iTj m , kui i/j

34

Kui aga i=j, siis

- . ( )- . iiTi Mm

Antud valemis esinevat suurust Mi kutsutakse vormi- ehk ldistatud massiks. Sarnane tuletuskik on vimalik teha ka jikusmaatriksi [k] suhtes. Jrelikult on omavnkevormide vektorid {}i ortogonaalsed massi- ja jikusmaatriksi suhtes, mida thistame jrgnevalt

- . ( )- .

- . ( )- .%&'

/

%&'

/

ijkuiMpijkui

k

ijkuiMijkui

m

iii

Ti

ii

Ti

,

,0,

,0

2

Sarnaselt Mi-le kutsutakse piMi vormi- ehk ldistatud jikuseks. Mlemad Mi ja piMi on diagonaalmaatriksid. Hilisemates arvutustes neme, et maatriksite diagonaalsus teeb

liikumisvrrandite lahendamise vga lihtsaks. Ortogonaalsustingimused esitame kujul

- . ( )- . ( )- . ( )- . ( )Mm

MpkT

T

2

Teine meetod lahendamise lihtsustamiseks on normeerida massimaatriks jrgnevalt:

- . ( )- . 1iTi m

Selliselt normeerides saame ortonormeeritud ssteemi. Antud viisil leitud omavnkevormide

vektorit kutsutakse normaalvormide vektoriks ja vastavat maatrikist normaalvormide maatrikiks. Kokkuvtlikult tuleb

- . ( )- . ( )- . ( )- . ( )2pk

ImT

T

Lahendamist lihtsustab asjaolu, et esimese korrutise tulemuseks on hikmaatriks ja teine korrutis annab otse meile vajaliku diagonaalse omavnkesageduste maatriksi. Olles nd tutvunud kasutatavate terminite ja seostega, vime minna vnkevormide superpositsiooni juurde. Eelnevate arvutuste tulemusena on meil olemas omavnkevormide

35

maatriks []. Nd vtame kasutusele uued koordinaadid, kus ssteemi lahendit saab kirjeldada jrgmiselt:

%

&'

2221212

2121111

qtqtxqtqtx

Teisiti eldes otsime liikumist kujul - . ( ) - .tqtx

Asendades selle lahendi liikumisvrrandisse saame

( )( )- . ( )( )- . - .0 qkqm

Korrutades viimast valemit transponeeritud omavnkevormide maatriksiga []T,saame tulemuseks

( ) ( )( )- . ( ) ( )( )- . - .0 qkqm TT

Meile juba tuttavaid seoseid kasutades vime kirjutada ( )- . ( )- . - .02 qMpqM

Kuna nii ldistatu massi kui ka ldistatud jikusmaatriks on diagonaalmaatriksid, siis lahendina saame ksteisest sltumatude valemite rhma, kus iga valem esindab hte

omavnkevormi. Kahemtmelises ssteemis oleks lahend kujul

00

2222

1211

qpq

qpq

Koordinaate qi kutsutakse oma- ehk peakoordinaatideks. Sltumatude liikumisvrrandite lahendamine toimub sarnaselt hemtmeliste

ssteemide lahendamisele

%

&'

2222

2111

cos

cos

tpCtqtpCtq

Tagasi esialgsetesse koordinaatidesse siirdudes saame

36

%

&'

22222112112

22122111111

coscos

coscos

tpCtpCtxtpCtpCtx

Viimast avaldist vima avaldada veel kujul - . - . - . 22222111 coscos tpCtpCx

Konstandid C1, C2 ja faasinihked 1 ja 2 mratakse algtingimustest. Jrelikult vime elda, et mitme vabadusastmega ssteemide vnkumised on mistahes ajahetkel esitatavad oma- ehk peakoordinaatidega korrutatud omavnkevormide summana. Seda silmas pidades kirjutame superpositsiooni valemi

- . ( ) - . - . 0

n

iii tqtqtx

1

Antud valemiga arvutatud ssteemi liikumine hlmab n vnkevormi liikumiste summat.

1.6. Pidev ssteem

Eelmises punktis tuletasime vrrandid vnkumise arvutamiseks ssteemile, mis koosnes

massist, vedrust ja summutist. Hiljem kasutame neid vrrandeid liigenditega tala keskpunkti lbipainde arvutamiseks taandades tala kirjeldatud lihtsustatud ssteemiks.

Teise meetodina tuletame lbipainde arvutamiseks valemid vaadeldes tala pideva kehana. Esmalt tuletame liikumisvrrandid ldisele juhule ja hiljem ka liigendtoestusega talale.

1.6.1. Liikumisvrrandite tuletamine talale3

Liikumisvrrandite tuletamisel kasutame Lagrangei valemeid. Lagrangei

liikumisvrrandid leiavad kasutust ssteemide korral, milledel on rohkem kui ks vabadus. Valemites kasutatakse ldistatud koordinaate. Ssteemi kineetiline ja potensiaalne energia tulevad samuti avaldada ldistatud koordinaate kasutades.

3 Lagrange'i liikumisvrrandit on phjalikumalt vaadeldud kirjandustes (3) ja (13)

37

Lagrangi liikumisvrrand on kirjutatud kujul

VTLkus

QqL

qL

dtd

iii

,,

,,

,

(33)

T- kineetiline energia

V- potensiaalne energia

q- ldistatud koordinaat

Lahtikirjutatuna ja arvestades, et 0,,

iqV

, saame

iiii

QqV

qT

qT

dtd

,,

,,

,,

(34)

Kuna analsime hedimensionaalset kuuli kokkuprget talaga, siis lahendust tuleb otsida sundvnkumiste valemi kaudu

tcFt

wAx

wEIr

,2

2

4

4

,

,

,

,

Tala kineetilise ja potensiaalse energia saab kirjutada

,

,

,,

L

L

r

dxx

wEIV

dxt

wAT

0

2

2

2

0

2

21

21

hedimensionaalse juhu korral vib tala lbipainet kirjeldada omavnkevormide nihete summana

01

*1i

ii tqxw (35)

, kus i2x3- tala omavnkevorm.

ldistatud jud4Qi on Q2t3i2c3, kus Q2t3 on tegelik kontaktjud. Nd saame talale kirjutada uued energia vrrandid (arvestades, et tugedes energiat ei kulu)

38

00

0 0

5

,

*,

,

*,

1

1

1

1

L

iri

i

Li

ii

r

i

L

iri

Li

ii

r

dxEAqdxx

tqxEAV

dxAqdxt

tqxAT

0

2

1

2

0

2

21

2

1 0

22

0

2

1

21

21

21

21

(36)

Asetades need valemid nd Lagrangei vrrandisse (34), saame

ctQqdxEAqdxA iiL

iri

L

ir

5

0

2

0

2

Kasutades mrgistust

5

L

i

L

i

i

dx

dxEp

0

2

0

2

, vime lhendatult kirjutada

L

i

iiii

dxA

ctQqpq

0

2

2

(37)

Antud ssteemile lahenduse otsimist alustame vabavnkumistest

02 iii qpq

Lahendust otsime kujul q=C1cospit+C2sinpit

Lahenduse tuletis aja jrgi on tppCtppCq iiii cossin 21

Arvestades, et aja alghetkel (t=0) on ssteemil algnihe q0 ja algkiirust 0q , saame leida konstandid C1 ja C2, ning kirjutada vlja valem vabavnkumistele

39

tppq

tpqq

pqC

qC

ii

i

sincos 00

02

01

(38)

Leidmaks talale mjuva ju poolt phjustatud nihet, kasutame seost kiiruse muutuse ja ju impulsi vahel

dtdxA

ctQqd L

ir

i

0

2

(39)

Asendades seose (39) vrrandisse (38) ja vttes algnihke vrdseks nulliga (q0=0), saame aja dt jooksul toimunud nihke dq suuruseks

ptdtdxAp

ctQdq L

ir

isin

0

2

Valides impulsi kestvuseks , saame aja t jooksul toimunud nihke pikkuseks

dtptQ

dxpA

cq i

t

L

iir

i

sin0

0

2 (40)

Valem (40) arvutab ainult nihet, mis on phjustatud mjuvast just. Kui aga ssteemil oli olemas algnihe q0 ja algkiirus 0q , siis peale nende lisamist saame kogunihkele jrgmise avaldise

dtptQ

dxpA

ctp

pq

tpqq it

L

iir

iii

sinsincos

0

0

2

00

(41)

Avaldisega (40) leiame tala nihke ldistatud koordinaatides. Saamaks nihet geomeetrilistes koordinaatides teostame teisenduse vastavalt valemile (35) ja saame vrrandi

40

01

dtptQdxpA

c

tpp

qtpqtxw

i

t

L

iir

i

iiii

sin

sincos,

0

0

2

1

00

(42)

Valemi (42) abil saab arvutada lbipainet erinevate retingimuste korral. Lihtsalt

tuleb konkreetsetele retingimustele vastavad i, pi ja L

i dx0

2 vrtused asendada valemisse

(42) ja teha vajalikud arvutused. Jrgmises punktis tuletame valemid liigenditega toestatud tala jaoks.

1.6.2. Liikumisvrrandid liigenditega tala jaoks

Oma arvutustes kasutatava liigendtoestatud tala valemite tuletamiseks asendame retingimustele vastavad tala ortogonaalsed omavnkevormid ja -sagedused valemisse (42). Vnkevormid ja sagedused on jrgmised:

4

222

2220

2

,

2

2sin

2sinsin

AEI

akus

aL

aip

Ldx

iLLi

Lxi

ii

L

i

i

67

777

(43)

pidades silmas ortogonaalsustingimust siis i=1,3,5 Valemeid tuletades on arvestatud, et koordinaatide alguspunkt asub tala otspunktis. Algtingimusi arvestavad liikmed jvad muutumatuks. Omavnkesagedused ja -vormid asendame viimasesse, just phjustatud nihet arvestavasse liikmesse. Samuti korrutame selle liikme lbi sulgude ees oleva omavnkevormiga:

41

0

0

1

1

*

...5,3,1 0

2

...5,3,1

00

sin2

sincos,

ii

t

ir

i

iiii

dtptQLpA

c

tpq

tpqtxw

8

(44)

Kuna ortogonaalsete omafunktsioonide korral i vrtus on alati paaritu arv ja antud juhtumi korral toimub kokkuprge punktis x=c=L/2, siis i2 vrtus on alati vrdne hega. Viies asendused, mis on antud valemitega (43), valemisse (44), saame

)45(sin12

sincos,

sin2sin

2

sincos,

...5,3,1 0222

...5,3,1

00

...5,3,12

222

02

2

22

2

...5,3,1

00

0

0

0

0

1

1

1

1

ii

t

r

iiii

i

t

r

iiii

dtptQiaA

L

tpq

tpqtcw

dtL

aitQ

i

i

aLAL

tpq

tpqtcw

7

8

7

7

7

8

Nagu korduvalt eldud, kasutame arvutustes nihkemeetodit, kus valime ajasammu pikkuseks t sekundit. Pidades silmas, et ajasammu jooksul on ju suurus konstantne teeme integreerimise valemis (45) ja saame tulemuseks

*

0

1

i

i

ir

iiii

ptp

piaAQL

tpq

tpqtcw

)cos(12

sincos,

222

...5,3,1

00

7

8

(46)

Valemist (46) saab sulgude ette tuua nurksageduse 2222

Laipi

7

42

*

0

0

1

1

44

3

...5,3,1

00

444

3

...5,3,1

00

)cos(12

sincos

)cos(12

sincos,

itp

EIAAQL

tpq

tpq

tpiaA

QL

tpq

tpqtcw

i

r

iiii

ir

iiii

7

8

7

8

)47()cos(12

sincos,

44

3

...5,3,1

00

0

1

itp

EIQL

tpq

tpqtcw

i

iiii

7

8

Vrrand (47) esitab nd liigenditega toestatud tala vnkumiste arvutamiseks lplikku kuju. Vrreldes seda valemit valemiga (11b) s.t. konstantse nihkemeetodi nihke arvutusvalemiga, kus sumbumine on vetud nulliks, siis veendume, et sisuliselt on tegemist samade valemitega.

Valemit (47) differentseerides arvutame ka tala keskpunkti kiiruse. Tulemuseks saame

(

01

44

3

...5,3,100

)sin(2

sincos,

itp

EIQpL

tppqtpqtcw

ii

iiiii

7

(48)

43

2. TALA VNKUMINE KUULI SISSETUNGIMISEL TALASSE

Oleme tuletanud valemid kahele meetodile, milledega lahendada punktis 1.1 pstitatud probleemi. Selles peatkis teeme vastavad arvutused ja vrdleme saadud tulemusi.

Enne otseselt arvutuste juurde asumist peame selgitama veel mningaid protsesse, mida tuleb arvutustes arvesse vtta. Lhidalt kirjeldame teooriat, mille abil arvutame kuulist phjustatud judu ja samuti selgitame palli ning tala omavahelist liikumist.

2.1. Kontaktju arvutamine Hertz'i kontaktteooria jrgi

Selgitame lhidalt teooriat, millele toetudes arvutame tekkivat judu. Arvutustes kasutame judu, mis tekkib palli tungimisel talasse. Ju suuruse arvutamine phineb Hertzi kontaktteoorial (1881), kus jud on funktsioon sissetungist, kokkuprkavate kehade kujust ning materjalist. Ju ja sissetungi vaheline seos on jrgmine:

BAq

kkus

kQk

212

23

2

34

,

(49)

Q- jud - kuuli sissetung talasse

k2- kirjeldab kontaktpunkti geomeetriat ja kokkuprkavate kehade materjale. qk vrtus on valitakse tabeli phjal vastavalt suhtele A/B. Termid A ja B on arvutatavad vastavalt kokkuprkes osalevate kehade geomeetriale. Valemid A ja B arvutamiseks on antud tabelina kirjanduses (3). Vaadeldavas lesandes on heks kokkuprkavaks kehaks sfr raadiusega R1 ja teiseks kehaks on tasapind. Sel juhul A=B=1/2R1 ja qk=0.3180. 1 ja2 kirjeldavad kokkuprkes osalevate materjalide omadusi ja on arvutatav valemist

7

E

21 (50)

kus, - Poissoni tegur

E- elastsuskonstant

44

2.2. Kuuli talasse sissetungi arvutamine

Selgitamaks liikumisi, milledega arvutuste kigus kokku puutume, uurime ssteemi, mis on kujutatud joonisel 10. Esmalt uurime, kuidas arvutada palli poolt lbitud teepikkust. Alghetkel prkab talale elastne kuul algkiirusega v0. Kui kuul ei oleks talaga kontaktis, siis aja t jooksul lbiks kuul vahemaa v0t. Tegelikkuses pall tungib talasse ja sellega seoses hakkab pallile mjuma tala poolt phjustatud jud. Ju mjust tingituna palli liikumiskiirus ja seega ka lbitud teepikkus vheneb. Avestades, et jud on muutuv ajas, saame kogu kuuli poolt lbitud teepikkuse aja t jooksul kirjutada valemiga

dtQdtm

tvwtt

00

021

(51)

Palli sissetung talasse avaldub palli ja tala nihete vahena =w2-w1 (52)

wM wB(c,t)

v0t

x=c

V0m

Q

Q

Joonis 10. Palli langemine talale.

45

Valemid tala nihke arvutamiseks on tuletatud peatkis 1. hitades nd tala ja kuuli liikumiste valemid, saame lplikud valemid sissetungi arvutamiseks. Valemid kirjutame vaid he ajasammu dt kohta, kus eeldame ju konstantseks vi lineaarselt muutuvaks. Kasutatav jud on arvutatud eelmise ajasammu lpul mratud sissetungi phjal. Pidevale ssteemile saame sissetungi ja selle abil ka ju arvutamiseks valemi

1

0

4)cos(12

sincos2

41

3

...5,3,1

11,01

2

1

32

2

i

tpEIQL

tpq

tpqQm

ttv

kQ

ii

ii

iiiiii

ii

7

8

(53)

Summeerimine le i thendab erinevate omavnkevormide kaasamist arvutustesse. Samuti tuleb mrkida, et pideva ssteemi korral kasutame arvutustes konstantset nihkemeetodit. Sarnaselt pidevale ssteemile saame kirjutada ka valemi he vabadusastmega ssteemile. Valem tuleb mnevrra keerukam, kuna kasutame lineaarset nihkemeetodit

tppp

nptp

pn

epn

ttk

Q

tppn

tpek

Q

tpp

nxxtpxe

Qm

ttv

kQ

dd

dd

tni

dd

dtni

dd

iidi

tn

iii

i

sincos22

sincos1

sincos

2

2

22

221

1

111

1

2

1

32

2

(54)

Vnkevormide superpositsioon teostatakse siin vastavalt punktis 1.5.3 kirjeldatule. Valemis (54) on kik nihked antud tavalistes koordinaatides. Saamaks ldistatud koordinaate tuleb kasutada ldistatud masse ja jikusi.

2.3. Vnkumiste arvutamine lplike elementide meetodil

Arvutustulemuste vrdlemiseks on antud ts kasutatud ilmutatud arvutusskeemil ttavat lplike elementide programmi LS-DYNA 950d. Ilmutatud arvutusskeemi idee seisneb selles, et tasakaaluvrrand on alati rahuldatud. Ajahetke algul on igale elemendile

46

antud algkoordinaat, -kiirus ja ssteemile mjuv jud. Ssteemi tasakaaluvrrandi abil leitakse iga slme kiirendus. Kinemaatika abil arvutatakse ajasammu lpuks slmede kiirused ja nihked. Nihetest arvutatakse omakorda tasakaalujud.

Kontaktju arvutamisel kasutatakse nn. karistusmeetodit (penalty method).Ju arvutamisel vaadeldakse kontaktpindade elementide slmede omavahelisi liikumisi. he pinna tungimisel teise arvutatakse kontaktjud, mis on vrdeline pindade jikuse ja slmpunktide siirete erinevusega.

Vastavalt teooriale on arvutusskeem tasakaalus, kui ajasamm on lhem kui aeg, mis materjali lainel kuluks vikseima elemendi lbimiseks.

2.4. Tala vnkumise nited

Nd on meil olemas kik tarvilikud arvutusvalemid ja vime asuda arvutuste juurde. Arvutame erinevatel meetoditel kaks erinevat juhtu. Katse nr 1 kujutab endast suhteliselt lhikest tala, millele langeb vikesel kiirusel kuul. Arvutustesse kaasame 99 madalamat omavnkevormi.

he vabadusega ja samuti diskreetse ssteemi arvutused on tehtud kasutades FORTRAN 90 programmi. Tehtud on ka arvutatud kasutades lplike elementide programmi LS-DYNA. Arvutatud ssteem on kujutatud joonisel 1 ja selle parameetrid on

Tabel 5. Ssteemi parameetrid katsele nr 1 TALA Pikkus 15.35 [cm] Ristlige 1.0x1.0 [cm2] Elastsusmoodul 210 [GPa] Possonii konstant 0.3

KUUL Raadius 1.0 [cm] Elastsusmoodul 210 [GPa] Possonii konstant 0.3 Algkiirus 1.0 [cm/s]

Tala omavnkesagedus on arvutatud valemist

4

2

222

,

AEI

akus

Laipi

7

47

Katse nr 1 arvutustulemused on kujutatud graafikutel 1-3. Graafikul 1 on kujutatud arvutustulemused kasutades he vabadusastmega ssteemi ja

valemit (54). Graafikul on kujutatud nii hte kui ka 99 omavnkevormi arvestades saadud tulemused. Ruutudega jooned thistavad 99 omavnkevormiga saadud tulemusi.

Graafikul 2 on pidevat ssteemi ja valemit (53) kasutades saadud tulemused. Kolmandal graafikul on kahele esimesele meetodile lisaks veel LEM-ga saadud arvutustulemused. Nihkemeetodiga arvutatud tulemustest on graafikule 3 kantud vaid 99 omavnkevormi kasutades saadud tulemused.

48

Graafik 1. he vabadusega ssteem (katse)

0

2

4

6

8

10

12

0.0E+00 5.0E-05 1.0E-04 1.5E-04 2.0E-04 2.5E-04 3.0E-04 3.5E-04Aeg t

(Ju

d N,

n

ihe

m x

E+

7)

JudKuuli niheTala niheKuuli nihe 99Tala nihe 99Jud 99

Graafik 2. Pidev ssteem (katse nr 1)

0

2

4

6

8

10

12

0.0E+00 5.0E-05 1.0E-04 1.5E-04 2.0E-04 2.5E-04 3.0E-04Aeg t

(Ju

d N

, n

ihe

m

x

E+7)

JudKuuli niheTala niheKuuli nihe 99Tala nihe 99Jud 99

49

Graafik 3. Arvutustulemused (katse nr 1)

50

Teise nitena vrdleme oma arvutustulemusi eksperimentaalse katsega. Arvutused teostame vaid taandatud ssteemi ja LS-DYNAt kasutades. Ssteem on sama nagu eelmiseski katses, aga tala pikkus on tunduvalt suurem ning kuuli algkiirus on samuti suur vrreldes eelmise katsega. Kuna suurest algkiirusest tingituna tuli ka arvutustes kasutatav ajasamm vtta tunduvalt lhemaks, siis arvutusaja lhendamiseks kaasasime arvutustesse 33 madalamat omavnkevormi. Ssteemi parameetrid on esitatud tabelis 6.

Tabel 6. Ssteemi parameetrid katsele nr 2 TALA Pikkus 76,2 [cm] Ristlige 0.635x0.635 [cm2] Elastsusmoodul 210 [GPa] Possonii konstant 0.3

KUUL Raadius 0.635 [cm] Elastsusmoodul 210 [GPa] Possonii konstant 0.3 Algkiirus 45.72 [m/s]

Tala omavnkesagedus on arvutatud valemist

4

2

222

,

AEI

akus

Laipi

7

Tulemused on esitatud graafikul 4.

51

Graafik 4. Arvutustulemused (katse nr 2)

52

3. TULEMUSTE ANALS JA JRELDUSED

Enne kui asume omavahel vrdlema erinevate meetoditega saadud tulemusi vaatame, kuidas on arvutustulemusi mjutanud arvesse vetavate omavnkevormide arv. Graafikutel 1 ja 2 on kujutatud kverad he omavnkevormiga ja 99 omavnkevormiga tehtud arvutuste kohta. Tala liikumist vaadeldes hakkab silma, et sltumata omavnkevormide arvust on tala lbipaine sama suurusega. Kver, mis kujutab lbipainet 99 omavnkevormi korral vngub vikese amplituudiga esimese omavnkevormi kvera mber. Krgemate omavnkevormide amplituudid on vrreldes esimese omavnkevormi amplituudiga vikesed ning sagedused on loomulikult krgemad. Sellest tingituna ei suurenda vnkevormide lisamine mitte lihtsalt lbipainde suurust, vaid tpsustab lbipainde kuju. Piltlikult thendab see seda, et tala ei saavuta lbipainet htlaselt liikudes, vaid tala lheneb maksimaalsele lbipaindele vnkuvat liikumist teostades.

Veel hakkab silma see, et kasutades 99 vnkevormi saame tekkiva ju vrtuse viksema kui hte omavnkevormi kasutades. See on phjustatud palli sissetungi vhenemisest. Sissetungi vheneb, kuna kokkuprke algul on suure hulga omavnkevormidega arvutatud tala jikus viksem kui ainult esimest omavnkevormi arvestava tala jikus ning sama ju korral on nihkub tala 99 enam kui he vormiga tala. Viksemast jikusest tingituna on ka protsessi kestvus pikem. Graafikul ilmneb see selliselt, et jukverad saavutavad nullvrtused erinevatel ajahetkedel. Jukverate pindalad, mis thistavad protsessis osalevat energiat, jvad muutumatuks sltumata meetodist.

Vrreldes omavahel he vabadusega ssteemi ja pidevat ssteemi neme, et mlemad meetodid annavad praktiliselt samad tulemused. Suurim erinevus tekkib protsessi lpus, kus kuuli lppnihe sltuvalt meetodist annab veidi erineva tulemuse. See erinevus aga ei oma antud ts praktilist thtsust, kuna meid huvitab kuuli nihe ainult siis, kui see on kontaktis talaga. Kontakti jooksul on mlemad nihked praktiliselt samad. Erinevused kahe meetodi vahel tulenevalt peamiselt sellest, et diskreetses ssteemis kasutati lineaarset ja pidevas konstantset nihkemeetodit ja seega ei aproksimeerita pidevas ssteemis jukverat piisava tpsusega.

Vrreldes nende kahe meetodiga arvutatud tulemusi veel LEM-ga arvutatud tulemustega, neme peamise erinevusena palli nihke ja sellega seoses ka sissetungi vhenemist nihkemeetoditega vrreldes. Veidi on vhenenud ka ju suurus ja tala lbipaine. Kuna ju

53

suuruse vhenemine vrreldes palli nihke vhenemisega on mrgatavalt viksem, siis on ilmne, et tekkinud effekt on tingitud kontaktjudude arvutamise eriprast. LS-DYNA-ga on kontaktpiirkond jaotatud suureks hulgaks vikesteks elementideks, millede slmed kontakti jooksul nihkuvad ja vastavalt saavutatud nihkele ning elemendi jikusele arvutatakse nihkest pjustatud jud. Piisavalt tihedat elemendivrku kasutades saab luua reaalsusele piisavalt lhedase olukorra. Nihkemeetodites seevastu on kasutatud Hertzi teooriat, mis on ligikaudne meetod ju arvutamiseks ja loomulikult ei vimalda selline meetod vga tpset reaalse situatsiooni kirjedamist. Tala nihked kigi kolme meetodi korral on suhteliselt samad, mis on ka loogiline, kuna vnkumisi phjustavate jukverate amplituudid ja kujud on vga lhedased. Tala lbipaindekverate kujusid vrreldes neme, et ka LS-DYNA-l arvutatud lbipaindekver liigub rmisse asendisse vnkudes. Seega oleme saanud kinnitust eeldusele, et pideva ssteemi vnkumine koosneb suuurest hulgast erinevate omavnkevormide vnkumistest.

Vaadeldes katse nr 2 tulemusi neme, et seekord on tulemused kasutades nihkemeetodit ja LEMi praktiliselt samad. Tala maksimaalse lbipainde suurus on sama mlema meetodi korral. Samuti hilduvad saadud tulemused suhteliselt hsti eksperimentaalse katse tulemustega. Kui eksperimentaalselt on tala maksimaalne lbipaine ligikaudu 2,54 [cm], siis nihkemeetodi ja LEM-iga arvutatud nihe on 2,8 [cm]. Osaliselt vib nihkemeetodi korral tekkiv vahe olla phjustatud sellest, et arvutustes kasutatud mudel ei arvesta likejudude ja prdliikumisest tekkiva inertsi mju. Kuna aga palli esialgne kiirus oli suur, siis on mainitud komponentide mju tunduvalt suurem kui niteks katse nr 1 korral. LEM-iga saadud tulemust viks tpsustada elemendivrgu tihendamisega.

Eelnevat arutelu silmas pidades vime vlja tuua jrgmised jreldused: 9 Kasutades pideva ssteemi lahendamisel taandatud ssteemi ja nihkemeetodit

hilduvad saadud tulemused pidevat ssteemi kasutades tehtud arvutuste tulemustega. Taandatud ssteemis tuleb prata thelepanu redutseeritud tala massile, tala jikusele sltuvalt ju mjumise punktist ja omavnkesagedustele.

9 Omavnkevormide arvu suurendamine arvutustes vhendab tala jikust ja suurendab protsessi kestvust.

9 Kasutades he vabadusega ssteemis ka tala teisi vnkevorme, saame sellise ssteemi abil kirjeldada pideva ssteemi vnkumisi.

9 Ajasammul konstantse ju kasutamine ei vhenda arvutuste tpsust, kui ajasamm on piisavalt lhike.

54

9 Hertzi kontaktteoorias phjustab sama sissetung suurema ju kui elemendimeetodit kasutades.

9 Sama jukverat kasutades annavad kik meetodid ligikaudu samad tulemused tala lbipaindele.

9 Nii nihkemeetod kui ka LEM vimaldavad kirjeldada vaadeldavat protsessi ligikaudu 90 protsendilise tpsusega.

9 Elemendimeetodit kasutades tuleb prata thelepanu vrgu tihedusele, kuna sel on suur mju tulemustele.

9 Prdliikumisest tekkiva inertsi ja likejudude mittearvestamine phjustab mningaid ebatpsusi, kui kokkuprge phjustab talas mrkimisvrse ja suurel kiirusel tekkiva lbipainde.

55

4. SOOVITUSED EDASISEKS TKS

Edasist td silmas pidades tuleb vaadelda peamiselt kahte asja. Esmalt vaatleme, kuidas saada tpsemaid tulemusi antud ts ksitletud probleemile. Nimelt vaatleme ligikaudseid meetodeid, millede abil on vimalik vnkumisi ligikaudselt lahendada. Teiseks peame silmas sellele tle jrgnevat td, mis ksitleb laeva karilesittu. Proovime selgitada, millist mudelit ja milliseid oletusi peame kasutama karilesidu probleemi piisava tpsusega lahendamiseks. Suurendamaks nihkemeetodiga saadavate tulemuste tpsust peaks konstantse nihkemeetodi asemel kasutama lineaarset nihkemeetodit. Valemite tuletamine ei oleks vga keeruline ja sarnaneb punktidele 1.4 ja 1.6. Sellisel juhul peaks samu vnkevorme ja sagedusi kasutades saama taandatud ja pideva ssteemiga praktiliselt identsed tulemused. Ainuke erinevus tuleks massi redutseerimisest, aga juhul, kui kuul kukkub tala keskpunkti, oleks ka see erinevus praktiliselt olematu.

Kuna LS_DYNA-ga arvutatult saime sama sissetungiga erinevad kontaktju vrtused, siis viks Hertz'i kontaktteooria krval uurida ka teisi kontaktjudude arvutamise meetodeid.

Kasutatud nihkemeetodi valemid ei vta arvesse tekkivaid likejude ja tala prdliikumisest tekkivat inertsi. Valemeid tuleks tiendada vtmaks arvesse mainitud mjureid.

Lisaks kasutatud meetoditele on veel hulk ligikaudseid meetodeid, milledest hte, lplike elementide meetodit, arvutustes juba kasutasime. Vaatleme vga lhidalt veel paari meetodit, millega oleks vimalik vnkuvat ssteemi lahendada. Esimese meetodina vaatleme kontsentreeritud masside ja mjukonstantide meetodit. Meetodi idee seisneb pideva massi jaotamises lplikuks arvuks punktmassideks. Massipunke mjutatakse hikjuga ja mratakse siirded aij igas massipunktis. Iga punkti kogusiire on seejrel kirjeldatav mjukonstantide aij abil. Antud meetodiga arvutades tuleb vnkesageduste leidmiseks kasutada Stodolani meetodit. Rayleigh-Ritz meetodis esitatakse siirded retingimusi rahuldavate funktsioonide summana. Summalause vib olla esitatud niteks Fourieri sarjana. Summeeritavates funktsioonides kasutatavad konstandid on tundmatud. Summa iga liige peab sltumata

56

konstantide arvust rahuldama retingimusi. Tingimata tuleb kirjutada maksimaalse potensiaalse energia avaldist, millele vastab maksimaalne kujumuutus ja samuti maksimaalse kineetilise energia lause. Otsides nende vahe miinimumi, saame sarnaste valemite rhma. Vnkesagedused saame selle valemi rhma konstantide maatriksi determinandi lahendamisel pannes selle vrduma nulliga. Teiseks vaatleme laeva karilesidu probleemi, mida silmas pidades saigi kesolev t kirjutatud. Loomulikult on laeva probleem palju komplitseeritum, kuna mjurite hulk on suurem. Esimese katsena tuleks modelleerita laev jiga kehana, kuhu mjub sissetungi sgavusest sltuv jud. Erinevalt kesolevast probleemist ju mjupunkt muutub ka pikisuunas. Lihtsuse mttes viks arvesse vtta vaid kolm kuuest vimalikust liikumissuunast. Simuleerimaks laeva britseva vee mju, tuleks tala asetada elastsele alusele. Aluse elastsuse mramisel peaks pidama silmas vee poolt laevale mjuvat judu. Jrelikult on meil tegemist ssteemiga, millel on kolm vabadusastet ja seega ka kolm omavnkevormi. Arvutuslike tulemuste vrdluseks tuleks teostada simulatsioon ka LEM-i kasutades, kuna sarnaste eksperimentaalsete tulemuste leidmine oleks ilmselt vimatu.

57

KOKKUVTE

Kokkuvtteks vib elda, et kesolev t titis oma eesmrgi st. veendusime selles, et nihkemeetodiga on vimalik piisava tpsusega kirjeldada ssteemis asetleidvaid liikumisi. Samuti sai selgeks, et ssteemi taandamine ei vhenda oluliselt arvutustulemuste tpsust. Keerlisemate probleemide puhul lihtsustaks ssteemi taandamine tunduvalt arvutuste kiku. Kinnitust leidis ka meie oletus, et kontaktju vib lugeda lineaarselt muutuvaks he, piisavalt lhikese, ajasammu jooksul. Ka Hertzi teooria andis hid tulemusi, kuigi teatav erinevus tekkis LS-DYNA-ga arvutatud kontaktjududega.

Mistes nd nihkemeetodi eeliseid ja lahendusvtteid vaadeldud probleemide lahendamisel on seda lihtsam kasutada keerulisemate probleemide korral. Korduvalt mainitud laeva karilesidul asetleidvate liikumiste arvutamisel vajaks lahendamist suhteliselt sarnane ssteem. Erinevused tekiksid kontaktju arvutamisel ja keerukust lisaks veel see, et laeva liikumise kirjeldamiseks ei piisa enam hest koordinaadist. Loomulikult on probleemide hulk, millede lahendamisel on abi nihkemeetodis, vga lai.

Loodan, et kesolev t oli piisav antud probleemide selgitamiseks ja aitas mista nihkemeetodi rakendamist probleemide korral, milledega mehaanikas vgagi tihti kokku puutuda tuleb.

58

KASUTATUD KIRJANDUS

1. Barnhart K.E. Transverse Impact on Elastically Supported Beams. Dissertation. University of California, 1955, 131 p.

2. Glough R. W. ja Penzien J., Dynamics of Structures. McGraw-Hill Book Company, 1975, 634 p.

3. Goldsmith W. Impact. The Theory and Physical Behaviour of Colliding Solids. London, Edward Arnold Ltd 1960, 379 p.

4. Haataja J., Rahola J. ja Ruokolainen J. Fortran 90/95. 2. Kide, Helsinki,Yliopistopaino 1998, 348 s.

5. Lax R., Karille ajavan aluksen aluksen liiketilan simulointi. Espoo, Picaset Oy, 2001, 129 s.

6. Lee E. H. The Impact of a Mass Striking a Beam.- Trans. Amer. Soc. Mec. Engrs, 1940, A-129 A-138 p.

7. Lepik . ja Roots L. Teoreetiline mehaanika. Tln., Valgus, 1971, 484 lk. 8. Pedersen P. T. Ship Grounding and Hull-Girder Strength.- Marine Structues. 1994, nr. 7,

1-29 p. 9. Pennala E. Koneiden ja rakenteiden vrhtelyt. Otatieto Oy, 1999, 314 s. 10. Salonen E. Dynamiikka I. 7. Kide, Otatieto Oy, 1998, 277 s.

11. Timoshenko S.P. Zur Frage nach der Wirkung eines Sto:es anf einen Balken.- Zeits.

Math. Phys., 1913, 198-209 p. 12. Timoshenko S.P. Vibrations Problems in Engineering. 2. Kide, New York, D. Van

Nostrand Company Inc., 1937. LK? 13. Thomsen J. J. Vibrations and Stability. The McGraw-Hill Companies, 1997, 323 p.