Juros Compostos Disciplina de Matemática Financeira– 2012/1 Curso de Administração em Gestão Pública Profª. Me. Valéria Espíndola Lessa E-mail: [email protected] [email protected] 1
Juros Compostos
Disciplina de Matemática Financeira– 2012/1Curso de Administração em Gestão Pública
Profª. Me. Valéria Espíndola LessaE-mail:
[email protected]@uergs.edu.br
1
Definição
• Juro Composto é o regime de capitalização na quala taxa de juros é aplicada não apenas no Capital(como no Juros Simples) mas a cada Montante doperíodo anterior.
• Exemplo:
C = 100,00
i = 3% a.m.
n= 4 meses
Meses Juros Montante
0 ----- 100,00
1 100 x 0,03 = 3,00 103,00
2 103 x 0,03 = 3,09 106,09
3 106,09 x 0,03 = 3,18 109,18
4 109,18 x 0,03 = 3,28 112,46
Fórmula
Tempo Juros Montante
0 --- C = M0
1 C . i C + Ci = C (1+i) = M1
2 M1 . i M1 + M1 . i = M1 (1+i) = C (1+i)(1+i) = C (1+i)2 = M2
3 M2 . i M2 + M2 . i = M2 (1+i) = C (1+i)2(1+i) = C (1+i)3 = M3
... ... ...
n Mn-1 . i C (1+i)n
M = C (1+i)n
Exemplo
• Página 119 -> 1
Determinação do Fator de Capitalização
• Como calcular potências com expoentesgrandes em (1+i)n quando n=16, porexemplo: (1+0,03)16 ?
Usar uma calculadora científica:
Digitar 1,03 -> clicar xy -> digitar 16 = 1,604706 ≈ 1,6
Exemplos e Exercícios
• Páginas 122, 123 e 124 -> exemplos 1, 2 e 3
• Página 125 -> Exercício “Resolva” 1, 2 e 3
Cálculo do Capital
• Página 126 -> Exemplo 1
• Página 127 -> Exercício “Resolva” 1
Cálculo da Taxa(i) e do prazo(n)
• Taxa (i) – página 127, exercícios resolvido 1.
• Prazo (n) – páginas 127 e 128, exercício resolvido 2.
Uso das Propriedades do
Logaritmos
Revisão de Logaritmos
• Definição:
• Exemplos:
xb baxalog
4x22216)a x4x x16log2
8x3336561)b x8x x6561log3
32x2x5)c 5 xlog2
8xx642)d 2 64logx
4x
1010100001,0x)e x4x
0,0001log10
Logaritmo Decimal
• São os logaritmos de base 10
• Exemplos
alogalog10
2x10100x100log x 100log
Propriedades dos Logaritmos
1) log a . b = log a + log b
2) log a/b = log a – log b
3) log ak = k . Log a
4) Mudança de base:
b
aab
log
loglog
É a que mais iremos usar.
Aplicação de Logaritmos nos cálculos de Juros Compostos
• Como encontrar o valor de n?
• Aplicar logaritmo nos dois lados da equação:
021,32,1 n
44,0n
...444,008,1
48,0n
2,1log
021,3logn
021,3log2,1logn021,3log2,1log n
Exercício
• Página 128 -> 1 e 2
Taxas Proporcionais
360
ii
12
ii
6
ii;
4
ii;
2
ii a
da
ma
ba
ta
s
Em Juros Simples, temos:
326;
3;
30
sb
st
sm
tm
md
ii
ii
ii
ii
ii
Taxas Equivalentes
• Em Juros Simples, quando um certo Capital era aplicado a taxas proporcionais, por exemplo:
– Durante 1 ano a taxa de 24% a. a.
– Durante 12 meses à taxa de 2% a.m.
• Gerava o mesmo Montante, pois estas são taxas também taxas equivalentes.
• Em Juros Compostos isso não ocorre.
• Ver exemplo página 129.
Cálculo da Taxa equivalente
• Montante da aplicação de 1 ano (M1)temque ser igual ao Montante da aplicação em12 meses (M12), respeitadas as taxas.
12
ma
12
m
1
a
121
i1i1
i1Ci1C
MM
a
2
s
4
t
12
b
12
m
360
d i1i1i1i1i1i1
Exemplos e Exercícios
• Página 130 -> exemplos 1 e 2
• Página 131 -> exercícios 1 e 2
Montante para Períodos não Inteiros
• Transformar os períodos não inteiros em períodos inteiros.
• Ex: 1 ano e 4 meses:
– 12 meses + 4 meses = 16 meses
– 1 ano + 1/3 ano = 4/3 ano
• Ex: 2 meses e 15 dias:
– 60 dias + 15 dias = 75 dias
– 2 meses + 0,5 mês = 2,5 meses
Exemplo e Exercício
• Página 132
– Exemplo 1
– Exercício 1
Taxa Nominal
• Quando a taxa do problema não coincide com operíodo de capitalização.
• A taxa nominal é, em geral, uma taxa anual.
• Ex: Aplicação de um Capital por 2 anos, à juros de24% ao ano capitalizados semestralmente.
i = 24% a.a = 0,24 a.a = 0,24/2 a.s = 0,12 a.s
n = 2 anos = 4 semestres
Transformação igual as
taxas de Juros Simples
Exemplo
• Página 133 -> Exercício Resolvido
Taxa Efetiva
• Quando oferecemos 6% ao ano e capitalizamossemestralmente a 3%, a taxa de 6% é a taxanominal (não é usada nos cálculos). A taxa efetiva éa taxa anual equivalente a 3% semestrais.
2semestreperíodok
3%çãocapitalizade
períodoportaxai
?efetivataxai
6%nominaltaxai
k
f
..%09,6
06090,0
06090,11
03,011
11
1i1
2
f
aai
i
i
i
ii
i
f
f
f
f
s
sf
k
k
Exemplo e Exercício
• Página 135
-> exercício resolvido 1
-> Exercício para resolver 1
Referências
• CRESPO, A.A. Matemática Financeira Fácil. 14.ed. atual. São Paulo: Saraiva, 2009.
• GOTARDELO, D. R. Apostila de Matemática Financeira. UFRRJ. 2010.