Jumlah sudut trigonometri

Trigonometri

Oleh : Petrus Fendiyanto

Hasil-Hasil Trigonometri:

)(tan)360(tan)180(tan)180(tantan

))(cos)360(cos)180(cos)180(coscos

)sin()360(sin)180(sin)180(sinsin

)90(sincos

)90(cossin 0

oo

ooo

ooo

o

Tanda Fungsi Trigonometri Dalam Berbagai

Kuadran:

Kuadran I II III IV

Tanda Positif semua sin tan cos

Sudut-sudut Istimewa

10Tan

01Cos

10Sin

o0 o30 o45 o60 o90

2

12

2

13

2

1

32

12

2

12

1

33

13

Rumus Trigonometri Jumlah dan

Selisih Sudut

Lingkaran dengan

pusat O dan r = 1

satuan

xA (1,0)

CB

b

a

y

-1

-1

O

Koordinat B (cos a, sin a)

Koordinat C (cos b, sin b)

Jarak dari B ke C adalah sebagai berikut:

)(....)sinsincos(cos22

)sinsincos(cos211

)sinsin2coscos2

)sin(cos)sin(cos

)sinsinsin2(sin

)coscoscos2(cos

)sin(sin)cos(cos

2222

22

22

222

ibaba

baba

baba

bbaa

bbaa

bbaa

babaBC

Lingkaran kita putar sehingga titik C tepat

di dititik A:y

xC (1,0)

A

B

b

a

-1

-1

O

Koordinat B sekarang

menjadi (cos (a-b), sin (a-b))

Koordinat C (1,0)

)(....)(cos22

)(cos211

)(cos2

1)(cos2))(sin)(cos(

)(sin

)(cos21)(cos2)(cos

)0)((sin)1)((cos

22

2

2

222

iiba

ba

ba

bababa

ba

bababa

babaBC

Dari (i) dan (ii), maka:

2 – 2 (cos a cos b + sin a sin b) = 2 – 2 cos (a-b)

Cos (a – b) = cos a cos b – sin a sin b

Sehingga Rumus Cos (a + b) adalah:

Cos (a + b) = Cos (a – (-b))

= Cos a Cos (-b) + Sin a Sin (-b)

= Cos a Cos b – Sin a Sin b

Contoh:

1. Hitunglah nilai cos ! o15

2. Diketahui sin a = dan cos b = , dengan

a dan b merupakan sudut lancip. Tentukan

nilai cos (a + b) !

13

5

5

3

Jawab:

1.

oooo

ooo

30sin45sin30cos45cos

)3045(cos15cos

2. Untuk mendapatkan cos (a + b) kita membu-

tuhkan cos a dan sin b.

24

16

4

1

2

12

2

13

2

12

2

115cos

o

5

4sin

25

16

)5

3(1

sin1sin

2

22

b

bb

13

12cos

169

144

)13

5(1

sin1cos

2

22

a

aa

65

16

65

20

65

36

5

4

13

5

5

3

13

12

sinsincoscos)(cos

bababa

Jadi nilai cos (a + b ) adalah 65

16

Rumus Sinus Jumlah dan Selisih

Dua Sudut

Ingat !!!!

Sin (a + b) = Cos ( - (a + b))

= Cos (( - a) – b)

= Cos ( - a) Cos b + Sin ( - a) Sin b

2

2

2

2

Sin ( - a) = Cos a

Cos ( - a) = Sin a

2

2

Jadi

Sin (a + b) = Sin a Cos b + Cos a Sin b

Dengan cara demikian akan diperoleh:

Sin (a – b) = Sin a Cos b – Cos a Sin b

Rumus Sin (a - b) dapat dicari dengan mengubah

Sin (a – b) menjadi Sin (a + (-b)).

Contoh:

Hitunglah nilai Sin ! o75

Jawab:

24

16

4

1

2

12

2

13

2

12

2

1

30sin45cos30cos45sin

)3045(sin75sin

oooo

ooo

Rumus Tangen Jumlah dan Selisih

Dua Sudut

b

b

a

a

b

b

a

a

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

baba

baba

ba

baba

cos

sin

cos

sin1

cos

sin

cos

sin

coscos

sinsin

coscos

coscos

coscos

coscos

coscos

cossin

sinsincoscos

sincoscossin

)(cos

)(sin)(tan

Dengan menggunakan cara yang sama, tan (a –b)

diperoleh sebagai berikut :

Jadi

ba

baba

tantan1

tantan)(tan

ba

baba

tantan1

tantan)(tan

Contoh:

33

33

33

111

33

11

30tan45tan1

30tan45tan

)3045(tan15tan

oo

oo

ooo

Latihan

Dengan menggunakan rumus trigonometri

jumlah dan selisih sudut, tentukan:

1.

Diketahui a dan b adalah dua sudut dikuadran

III dan II dengan sin a = dan cos b =

tentukan:

a. Cos (a – b) c. Tan (a – b)

b. Sin ( a + b)

o75

a. Cos d. Sin

b. Sin e. Tan

c. Tan f. Cos

o165

o195 12

5

12

11

12

17

2.

5

4

17

8

Sin 2a = Sin (a + a)

= Sin a Cos a + Cos a Sin a

= 2 Sin a Cos a

Jawab:

Rumus Sinus Sudut Rangkap

Contoh:

Jika sin a = 3/5 dan a sudut dikuadran I, tentukan

nilai sin 2a !

Sin a = 3/5, maka y = 5 dan r = 5

Sehingga cos a = 4/55

3

4

aSin 2a = 2 sin a cos a

= 2 (3/5) (4/5)

= 24/25

Cos 2a = Cos (a + a)

= Cos a Cos a - Sin a Sin a

= Cos2a – Sin2a

Cos 2a = 2Cos2 a – 1 atau Cos 2a = 1 – 2sin2 a

Rumus Kosinus Sudut Rangkap

Dengan menggunakan identitas cos2 + sin2 a = 1

diperoleh:

Jawab:

Contoh:

Cos 2a = 1- 2sin2a

= 1 - 2 (0,8)2

= 1 – 2(0,64)

= 1 – 1,28

= -0,28

Diketahui sin a = 0,8, tentukan nilai cos 2a

Rumus Tangen Sudut Rangkap

Jawab:

Contoh:

Tentukan tan 50o jika diketahui tan 25o = p!

tan 2a = tan (a + a)

tan a + tan a =

1 – tan a tan a2 tan a

=1 – tan2a

Tan 50o = 2 tan 25o

1 – tan2 25o

2 tan 25o

1 – tan2 25o

=2p

1 – p2

=

Rumus Sudut Tengahan

Cos 2a = 2 cos2 a – 1 Cos2 a = 1 + cos 2a

2

Cos 2a = 1 – sin2 a Sin2 a = 1 - cos 2a

2

Misalkan 2a = b, maka a = . Bila disubstitusikan

ke persamaan diatas diperoleh:

b

2

Cos2 1 + cos b

2

b

2)( =

2

cos1 b=

Sin2 1 - cos b

2

b

2)( =

2

cos1 b=

Jawab:

Contoh:

Tan = sin

cos

=b

2( )

b

2( )

b

2( )

b

b

cos1

cos1

Tentukan nilai sin .8

24

cos1

8sin

22

21

222

1

Latihan

Diketahui sin a = 5/13, dan a terletak dikua-

dran II

tentukan:

a. Cos (a /2) c. Tan (a/2)

b. Sin (a/2)

2.

Dengan menggunakan perbandingan trigono-

metri sudut 30o hitunglah:

1.

a. Cos

b. Sin

c. Tan

o15

o15

o15