Jürgen Roth Grundlagen der Algebra und elem. Zahlentheorie...Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2. 8. Deckabbildungen und Symmetrie. Bemerkungen. Die Identität 𝑖𝑖𝑖𝑖ist

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.1Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Grundlagen der Algebra und elem. ZahlentheorieModul 4b: Grundlagen der Mathematik C

Jürgen Roth

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.2Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie

0 Was ist Algebra bzw. Zahlentheorie?

1 Muster und Strukturen

2 Strukturen geometrischer Symmetrien

3 Arithmetische Strukturen in kleinen Welten

4 Permutationen (Vertauschungen)

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.3Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Kapitel 2: Strukturen geometrischer SymmetrienGrundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie

Jürgen Roth

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.4Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Kapitel 2: Strukturen geom. Symmetrien

2.1 Deckabbildungen von Figuren – Gruppen

2.2 Symmetrien sortieren – Untergruppen

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.5Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien

2.1 Deckabbildungen von Figuren –Gruppen

(1) (2) (3)

(4) (5)

(6)Abbildungen aus Leuders, T. (2016). Erlebnis Algebra – zum aktiven Entdecken und selbständigen Erarbeiten. Berlin: Springer Spektrum, S. 18.

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.6Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Symmetrische Figuren und ihre Deckabbildungen

https://www.geogebra.org/m/hfnvvn7z

Drehwinkel360° ∶ 6 = 60°bzw. 𝑘𝑘 ⋅ 60°mit 0 ≤ 𝑘𝑘 < 6

Drehwinkel360° ∶ 16 = 22,5°bzw. 𝑘𝑘 ⋅ 22,5°mit 0 ≤ 𝑘𝑘 < 16

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.7Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Deckabbildungen und Symmetrie

Definition 2.1.1Eine geometrische Figur 𝐹𝐹 ist eine Menge von Punkten der Ebene ℝ2 = 𝑥𝑥,𝑦𝑦 𝑥𝑥,𝑦𝑦 ∈ ℝ}. Eine Figur 𝐹𝐹 ist demnach eine Teilmenge der Ebene: 𝐹𝐹 ⊆ ℝ2

Kongruenzabbildungen (Isometrien) der Ebene ℝ2 auf sich, sind die Abbildungen 𝜑𝜑, die die Abstände zwischen Punkten der Ebene und damit die Form aller Figuren nicht verändern.𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 ℝ2 ≔ |𝜑𝜑:ℝ2 → ℝ2 ∀𝐴𝐴,𝐵𝐵∈ℝ2 𝜑𝜑 𝐵𝐵 − 𝜑𝜑 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 − 𝐴𝐴

Eine Kongruenzabbildung 𝜑𝜑, die eine Figur 𝐹𝐹 mit sich selbst zur Deckung bringt, für die also gilt 𝜑𝜑 𝐹𝐹 = 𝐹𝐹, heißt Deckabbildung oder Symmetrieabbildung von 𝐹𝐹.

Eine Figur heißt genau dann symmetrisch, wenn sie mindestens eine von der Identität verschiedene Deckabbildung besitzt.

Die Menge 𝑮𝑮𝑭𝑭 = |𝜑𝜑 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 ℝ2 𝜑𝜑 𝐹𝐹 = 𝐹𝐹 aller Deckabbildungeneiner Figur 𝐹𝐹 wird als Symmetrie der Figur 𝑭𝑭 bezeichnet.

𝐴𝐴 = 𝑥𝑥𝐴𝐴,𝑦𝑦𝐴𝐴

𝐵𝐵 = 𝑥𝑥𝐵𝐵,𝑦𝑦𝐵𝐵

𝐵𝐵 − 𝐴𝐴 =𝑥𝑥𝐵𝐵 − 𝑥𝑥𝐴𝐴 2 + 𝑦𝑦𝐵𝐵 − 𝑦𝑦𝐴𝐴 2

𝑩𝑩 − 𝑨𝑨Abstand 𝐵𝐵 − 𝐴𝐴

der Punkte 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵:

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.8Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Deckabbildungen und Symmetrie

BemerkungenDie Identität 𝑖𝑖𝑖𝑖 ist eine Deckabbildung, dies reicht aber nicht, um von Symmetrie sprechen zu können, weil sonst jedeFigur symmetrisch wäre.Verschiedene Arten von Symmetrien können bei einer Figur mehrfach und in Kombination miteinander auftreten. Ein Rechteck besitzt z. B. immer zwei Sym-metrieachsen. Man nennt es deshalb zweifachachsensymmetrisch. Es ist zusätzlich noch punktsymmetrisch.

Bei Dreh- und Verschiebungssymmetrie ist jeweils die Besonderheit zu beachten, dass die Identität eine

spezielle Drehung, die Nulldrehung, spezielle Verschiebung, die Nullverschiebung, ist.

Ist eine Figur drehsymmetrisch, gibt es also außer der Identität noch mindestens eine weitere Drehung als Deckabbildung, dann wird die Identität bei der Zahl der Deckabbildungen der Figur mitgezählt.

Ein Rechteck ist z. B. zweifach drehsymmetrisch, auch wenn eine der als Deckabbildungen vorkommen-den Drehungen die Identität ist.

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.9Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Deckabbildungen des Quadrats

Spiegelung an 𝒂𝒂

𝐼𝐼𝑎𝑎 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶

Drehung um 𝑴𝑴 um 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗

𝒅𝒅 ≔ 𝑖𝑖𝑀𝑀,90𝟗 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴

Drehung um 𝑴𝑴 um 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗𝟗𝑖𝑖𝑀𝑀,180𝟗 = 𝑖𝑖𝑀𝑀,90𝟗 ∘ 𝑖𝑖𝑀𝑀,90𝟗 = 𝑖𝑖 ∘ 𝑖𝑖 = 𝒅𝒅𝟐𝟐

= 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴 ∘ 𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴

= 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐷𝐷

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐴𝐴 𝐵𝐵 = 𝑝𝑝𝑀𝑀

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.10Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Deckabbildungen des Quadrats

Drehung um 𝑴𝑴 um 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟗𝟗𝟗𝑖𝑖𝑀𝑀,270𝟗 = 𝑖𝑖𝑀𝑀,90𝟗 ∘ 𝑖𝑖𝑀𝑀,90𝟗 ∘ 𝑖𝑖𝑀𝑀,90𝟗 = 𝑖𝑖 ∘ 𝑖𝑖 ∘ 𝑖𝑖 = 𝒅𝒅𝟑𝟑

= 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴 ∘ 𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴

∘ 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴

Drehung um 𝑴𝑴 um 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟗𝟗𝟗𝑖𝑖𝑀𝑀,360𝟗 = 𝑖𝑖𝑀𝑀,90𝟗 ∘ 𝑖𝑖𝑀𝑀,90𝟗 ∘ 𝑖𝑖𝑀𝑀,90𝟗 ∘ 𝑖𝑖𝑀𝑀,90𝟗

= 𝑖𝑖 ∘ 𝑖𝑖 ∘ 𝑖𝑖 ∘ 𝑖𝑖 = 𝒅𝒅𝟒𝟒

= 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴 ∘ 𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴

∘ 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴 ∘ 𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴

= 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐶𝐶 𝐷𝐷 = 𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝑖𝑖𝑀𝑀,0𝟗

= 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐴𝐴

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐵𝐵 𝐶𝐶

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.11Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Deckabbildungen des Quadrats

Spiegelung an 𝒂𝒂

𝐼𝐼𝑎𝑎 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶

Spiegelung an 𝒃𝒃

𝐼𝐼𝑏𝑏 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐵𝐵

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐴𝐴 𝐷𝐷

Spiegelung an 𝒂𝒂 und 𝒃𝒃𝐼𝐼𝑏𝑏 ∘ 𝐼𝐼𝑎𝑎 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐴𝐴 𝐷𝐷 ∘ 𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶

= 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴

Spiegelung an 𝒂𝒂 und 𝒂𝒂𝐼𝐼𝑎𝑎 ∘ 𝐼𝐼𝑎𝑎 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶 ∘ 𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶

= 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐶𝐶 𝐷𝐷

Spiegelung an 𝒄𝒄

𝐼𝐼𝑐𝑐 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐶𝐶

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐵𝐵 𝐴𝐴

Spiegelung an 𝒅𝒅

𝐼𝐼𝑑𝑑 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐷𝐷

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐶𝐶 𝐵𝐵

= 𝑖𝑖𝑀𝑀,90𝟗 = 𝒅𝒅

= 𝒊𝒊𝒅𝒅

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.12Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Deckabbildungen des Quadrats

Spiegelung an 𝒂𝒂

𝐼𝐼𝑎𝑎 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶

Spiegelung an 𝒃𝒃

𝐼𝐼𝑏𝑏 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐵𝐵

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐴𝐴 𝐷𝐷

Spiegelung an 𝒂𝒂 und 𝒄𝒄𝐼𝐼𝑐𝑐 ∘ 𝐼𝐼𝑎𝑎 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐵𝐵 𝐴𝐴 ∘ 𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶

= 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐷𝐷

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐴𝐴 𝐵𝐵

Spiegelung an 𝒄𝒄 und 𝒂𝒂𝐼𝐼𝑎𝑎 ∘ 𝐼𝐼𝑐𝑐 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶 ∘ 𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐵𝐵 𝐴𝐴

= 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐷𝐷

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐴𝐴 𝐵𝐵

Spiegelung an 𝒄𝒄

𝐼𝐼𝑐𝑐 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐶𝐶

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐵𝐵 𝐴𝐴

Spiegelung an 𝒅𝒅

𝐼𝐼𝑑𝑑 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐷𝐷

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐶𝐶 𝐵𝐵

= 𝑖𝑖𝑀𝑀,180𝟗 = 𝑖𝑖 ∘ 𝑖𝑖 = 𝒅𝒅𝟐𝟐

= 𝑖𝑖𝑀𝑀,180𝟗 = 𝑖𝑖 ∘ 𝑖𝑖 = 𝒅𝒅𝟐𝟐

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.13Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Deckabbildungen des Quadrats

Spiegelung an 𝒂𝒂

𝐼𝐼𝑎𝑎 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶

Spiegelung an 𝒃𝒃

𝐼𝐼𝑏𝑏 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐵𝐵

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐴𝐴 𝐷𝐷

Spiegelung an 𝒂𝒂 und 𝒅𝒅𝐼𝐼𝑑𝑑 ∘ 𝐼𝐼𝑎𝑎 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐴𝐴 𝐷𝐷𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐶𝐶 𝐵𝐵 ∘ 𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶

= 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐴𝐴

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐵𝐵 𝐶𝐶

Spiegelung an 𝒅𝒅 und 𝒂𝒂𝐼𝐼𝑎𝑎 ∘ 𝐼𝐼𝑑𝑑 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐶𝐶 ∘ 𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐴𝐴 𝐷𝐷𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐶𝐶 𝐵𝐵

= 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴

Spiegelung an 𝒄𝒄

𝐼𝐼𝑐𝑐 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐶𝐶

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐵𝐵 𝐴𝐴

Spiegelung an 𝒅𝒅

𝐼𝐼𝑑𝑑 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐷𝐷

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐶𝐶 𝐵𝐵

= 𝑖𝑖𝑀𝑀,270𝟗 = 𝒅𝒅𝟑𝟑

= 𝑖𝑖𝑀𝑀,90𝟗 = 𝒅𝒅

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.14Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Deckabbildungen des Quadrats

Analog ergibt sich𝐼𝐼𝑎𝑎 ∘ 𝐼𝐼𝑎𝑎 = 𝑖𝑖𝑖𝑖𝐼𝐼𝑏𝑏 ∘ 𝐼𝐼𝑎𝑎 = 𝑖𝑖𝐼𝐼𝑐𝑐 ∘ 𝐼𝐼𝑎𝑎 = 𝑖𝑖2

𝐼𝐼𝑑𝑑 ∘ 𝐼𝐼𝑎𝑎 = 𝑖𝑖3

𝐼𝐼𝑎𝑎 ∘ 𝐼𝐼𝑏𝑏 = 𝑖𝑖3

𝐼𝐼𝑏𝑏 ∘ 𝐼𝐼𝑏𝑏 = 𝑖𝑖𝑖𝑖𝐼𝐼𝑐𝑐 ∘ 𝐼𝐼𝑏𝑏 = 𝑖𝑖𝐼𝐼𝑑𝑑 ∘ 𝐼𝐼𝑏𝑏 = 𝑖𝑖2

VerknüpfungstabelleOffensichtlich führt dieVerknüpfung zweierSpiegelungen immer zu einer Drehung.

𝐼𝐼𝑎𝑎 ∘ 𝐼𝐼𝑐𝑐 = 𝑖𝑖2

𝐼𝐼𝑏𝑏 ∘ 𝐼𝐼𝑐𝑐 = 𝑖𝑖3

𝐼𝐼𝑐𝑐 ∘ 𝐼𝐼𝑐𝑐 = 𝑖𝑖𝑖𝑖𝐼𝐼𝑑𝑑 ∘ 𝐼𝐼𝑐𝑐 = 𝑖𝑖

𝐼𝐼𝑎𝑎 ∘ 𝐼𝐼𝑑𝑑 = 𝑖𝑖𝐼𝐼𝑏𝑏 ∘ 𝐼𝐼𝑑𝑑 = 𝑖𝑖2

𝐼𝐼𝑐𝑐 ∘ 𝐼𝐼𝑑𝑑 = 𝑖𝑖3

𝐼𝐼𝑑𝑑 ∘ 𝐼𝐼𝑑𝑑 = 𝑖𝑖𝑖𝑖∘ 𝒔𝒔𝒂𝒂 𝒔𝒔𝒃𝒃 𝒔𝒔𝒄𝒄 𝒔𝒔𝒅𝒅𝒔𝒔𝒂𝒂 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3

𝒔𝒔𝒃𝒃 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖2

𝒔𝒔𝒄𝒄 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖

𝒔𝒔𝒅𝒅 𝑖𝑖 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.15Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Deckabbildungen des QuadratsVerknüpfungstabelle

Lesen: Spaltenkopf nach Zeilenkopf, also z. B. 𝐼𝐼𝑏𝑏 ∘ 𝐼𝐼𝑎𝑎 = 𝑖𝑖

∘ 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑑 𝒅𝒅𝟑𝟑 𝒔𝒔𝒂𝒂 𝒔𝒔𝒃𝒃 𝒔𝒔𝒄𝒄 𝒔𝒔𝒅𝒅

𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3 𝐼𝐼𝑎𝑎 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝐼𝐼𝑐𝑐 𝐼𝐼𝑑𝑑

𝒅𝒅 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐼𝐼𝑑𝑑 𝐼𝐼𝑎𝑎 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝐼𝐼𝑐𝑐

𝒅𝒅𝑑 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝐼𝐼𝑐𝑐 𝐼𝐼𝑑𝑑 𝐼𝐼𝑎𝑎 𝐼𝐼𝑏𝑏

𝒅𝒅𝟑𝟑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝐼𝐼𝑐𝑐 𝐼𝐼𝑑𝑑 𝐼𝐼𝑎𝑎

𝒔𝒔𝒂𝒂 𝐼𝐼𝑎𝑎 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝐼𝐼𝑐𝑐 𝐼𝐼𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3

𝐬𝐬𝒃𝒃 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝐼𝐼𝑐𝑐 𝐼𝐼𝑑𝑑 𝐼𝐼𝑎𝑎 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖2

𝒔𝒔𝒄𝒄 𝐼𝐼𝑐𝑐 𝐼𝐼𝑑𝑑 𝐼𝐼𝑎𝑎 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖

𝒔𝒔𝒅𝒅 𝐼𝐼𝑑𝑑 𝐼𝐼𝑎𝑎 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝐼𝐼𝑐𝑐 𝑖𝑖 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.16Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Deckabbildungen des QuadratsVerknüpfungstabelle

Lesen: Spaltenkopf nach Zeilenkopf, also z. B. 𝐼𝐼𝑏𝑏 ∘ 𝐼𝐼𝑎𝑎 = 𝑖𝑖

∘ 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑑 𝒅𝒅𝟑𝟑 𝒔𝒔𝒂𝒂 𝒔𝒔𝒃𝒃 𝒔𝒔𝒄𝒄 𝒔𝒔𝒅𝒅

𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3 𝐼𝐼𝑎𝑎 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝐼𝐼𝑐𝑐 𝐼𝐼𝑑𝑑

𝒅𝒅 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐼𝐼𝑑𝑑 𝐼𝐼𝑎𝑎 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝐼𝐼𝑐𝑐

𝒅𝒅𝑑 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝐼𝐼𝑐𝑐 𝐼𝐼𝑑𝑑 𝐼𝐼𝑎𝑎 𝐼𝐼𝑏𝑏

𝒅𝒅𝟑𝟑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝐼𝐼𝑐𝑐 𝐼𝐼𝑑𝑑 𝐼𝐼𝑎𝑎

𝒔𝒔𝒂𝒂 𝐼𝐼𝑎𝑎 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝐼𝐼𝑐𝑐 𝐼𝐼𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3

𝐬𝐬𝒃𝒃 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝐼𝐼𝑐𝑐 𝐼𝐼𝑑𝑑 𝐼𝐼𝑎𝑎 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖2

𝒔𝒔𝒄𝒄 𝐼𝐼𝑐𝑐 𝐼𝐼𝑑𝑑 𝐼𝐼𝑎𝑎 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖

𝒔𝒔𝒅𝒅 𝐼𝐼𝑑𝑑 𝐼𝐼𝑎𝑎 𝐼𝐼𝑏𝑏 𝐼𝐼𝑐𝑐 𝑖𝑖 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖

𝒅𝒅 𝒔𝒔

𝒔𝒔

𝒅𝒅

∘

𝒅𝒅

𝒅𝒅

𝒔𝒔

𝒔𝒔

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.17Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Definition Gruppe

Definition 2.1.2: GruppeEine Menge 𝐺𝐺 zusammen mit einer binären Operation ∘ heißt Gruppe 𝑮𝑮,∘ , wenn die binäre Operation folgende Eigenschaften aufweist:(G0) ∀𝑎𝑎,𝑏𝑏∈𝐺𝐺 𝑎𝑎 ∘ 𝑏𝑏 ∈ 𝐺𝐺 (Abgeschlossenheit)

(G1) ∀𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐∈𝐺𝐺 𝑎𝑎 ∘ 𝑏𝑏 ∘ 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 ∘ 𝑏𝑏 ∘ 𝑐𝑐 (Assoziativität)

(G2) ∃𝑒𝑒∈𝐺𝐺 ∀𝑎𝑎∈𝐺𝐺 𝑎𝑎 ∘ 𝑒𝑒 = 𝑒𝑒 ∘ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 (Existenz eines neutralen Elements)

(G3) ∀𝑎𝑎∈𝐺𝐺 ∃𝑎𝑎−1∈𝐺𝐺 𝑎𝑎 ∘ 𝑎𝑎−1 = 𝑎𝑎−1 ∘ 𝑎𝑎 = 𝑒𝑒 (Existenz inverser Elemente)

BezeichnungIn der Menge 𝐺𝐺𝐹𝐹 aller Deckabbildungen einer Figur 𝐹𝐹 ist die Verknüpfung von Abbildungen ∘eine binäre Operation: Zu den Deckabbildungen 𝜑𝜑,𝜓𝜓 ∈ 𝐺𝐺𝐹𝐹 wird die Abbildung 𝜓𝜓 ∘ 𝜑𝜑 ∈ 𝐺𝐺𝐹𝐹definiert durch 𝜓𝜓 ∘ 𝜑𝜑 𝐴𝐴 ∶= 𝜓𝜓 𝜑𝜑 𝐴𝐴 .Die Menge 𝐺𝐺𝐹𝐹 heißt zusammen mit der Operation ∘ die Symmetriegruppe 𝑮𝑮𝑭𝑭,∘ der Figur 𝐹𝐹.

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.18Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Deckabbildungen regulärer 𝑛𝑛-Ecke

Bemerkung: Bei regulären 𝑛𝑛-Ecken mit geradzahligem 𝑛𝑛 treten zwei Arten von Symmetrieachsen auf:

𝑛𝑛2

Symmetrieachsen durch gegenüberliegende Eckpunkte,𝑛𝑛2

Symmetrieachsen durch gegenüberliegende Seitenmitten.

ungeradzahligem 𝑛𝑛 gibt es nur eine Art von Symmetrieachsen:Alle 𝑛𝑛 Symmetrieachsen verlaufen durch einen Eckpunkt und die gegenüberliegende Seitenmitte.

Satz 2.1.1: Deckabbildungen des regulären 𝑛𝑛-Ecks mit Mittelpunkt 𝑀𝑀Jedes reguläre 𝑛𝑛-Eck ist 𝑛𝑛-fach drehsymmetrisch und 𝑛𝑛-fach achsensymmetrisch. Es gibt genau 𝑛𝑛 Deckdrehungen um 𝑀𝑀 mit den Drehwinkeln 𝑘𝑘 ⋅ 𝛼𝛼 = 𝑘𝑘

𝑛𝑛⋅ 360°, wobei 0 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑛𝑛 ist und

genau 𝑛𝑛 Deckspiegelungen, wobei der Schnittwinkel zwischen zwei Symmetrieachsen ein Vielfaches von 1

𝑛𝑛⋅ 180° ist.

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.19Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Verkettung von speziellen Abbildungen

Satz 2.1.2: Verkettung von Drehungen um dasselbe ZentrumDie Verkettung zweier Drehungen 𝑖𝑖𝑍𝑍,𝛼𝛼 und 𝑖𝑖𝑍𝑍,𝛽𝛽 um dasselbe Zentrum 𝑍𝑍 ist eine Drehung um 𝑍𝑍 mit dem Drehwinkel 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽.Kurz: 𝑖𝑖𝑍𝑍,𝛽𝛽 ∘ 𝑖𝑖𝑍𝑍,𝛼𝛼 = 𝑖𝑖𝑍𝑍,𝛼𝛼+𝛽𝛽

Satz 2.1.3: Gruppe der Drehungen um ein festes ZentrumDie Menge der Drehungen um ein festes Zentrum 𝑍𝑍 bildet bezüglich der Verkettung eine kommutative Gruppe.

Satz 2.1.4: Gruppe der Drehungen und SpiegelungenDie Menge der Drehungen um ein festes Zentrum 𝑍𝑍 und aller Spiegelungen an Geraden durch 𝑍𝑍 bildet bezüglich der Verkettung eine nicht-kommutative Gruppe.

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.20Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Bierdeckelgruppen

Abbildungen aus Leuders, T. (2016). Erlebnis Algebra – zum aktiven Entdecken und selbständigen Erarbeiten. Berlin: Springer Spektrum, S. 31.

Orthogonale Gruppe 𝑂𝑂 ℝ2

𝐺𝐺𝐹𝐹 = 𝑖𝑖𝑖𝑖𝐷𝐷3 = 𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖𝑀𝑀,120𝟗,𝑖𝑖𝑀𝑀,240𝟗, 𝐼𝐼𝑎𝑎 , 𝐼𝐼𝑏𝑏, 𝐼𝐼𝑐𝑐

𝐺𝐺Ellipse = 𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖𝑀𝑀,180𝟗, 𝐼𝐼𝑎𝑎 , 𝐼𝐼𝑏𝑏

𝐺𝐺Rechteck = 𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖𝑀𝑀,180𝟗, 𝐼𝐼𝑎𝑎 , 𝐼𝐼𝑏𝑏

𝐺𝐺Ei = 𝑖𝑖𝑖𝑖, 𝐼𝐼 𝐺𝐺𝐹𝐹 = 𝑖𝑖𝑖𝑖, 𝐼𝐼 𝐺𝐺gleichschenkliges Dreieck = 𝑖𝑖𝑖𝑖, 𝐼𝐼

𝐷𝐷4 = 𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖𝑀𝑀,90𝟗,𝑖𝑖𝑀𝑀,180𝟗,𝑖𝑖𝑀𝑀,270𝟗, 𝐼𝐼𝑎𝑎 ,𝐼𝐼𝑏𝑏 , 𝐼𝐼𝑐𝑐 , 𝐼𝐼𝑑𝑑

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.21Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Definition 2.1.3Die Gruppe der Deckabbildungen eines regulären 𝑛𝑛-Ecks heißt Diedergruppe 𝑫𝑫𝒏𝒏.Die zyklische Gruppe der Deckdrehungen eines regulären 𝑛𝑛-Ecks heißt zyklische Drehgruppe 𝒁𝒁𝒏𝒏.

Diedergruppe 𝑫𝑫𝒏𝒏 und zyklische Gruppe 𝒁𝒁𝒏𝒏Bierdeckelgruppen

Abbildungen aus Leuders, T. (2016). Erlebnis Algebra – zum aktiven Entdecken und selbständigen Erarbeiten. Berlin: Springer Spektrum, S. 33

1 ≔ 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖180 ≔ 𝑖𝑖𝑀𝑀,180𝟗

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.22Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Diedergruppe 𝑫𝑫𝒏𝒏 und zyklische Gruppe 𝒁𝒁𝒏𝒏

Satz 2.1.5Die Diedergruppe 𝐷𝐷𝑛𝑛 enthält 2𝑛𝑛 Elemente:

𝑛𝑛 Drehungen um Vielfache von 360𝟗𝑛𝑛

um den Mittelpunkt 𝑀𝑀 des regulären 𝑛𝑛-Ecks, die man als 𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖,𝑖𝑖2, … ,𝑖𝑖𝑛𝑛−1 schreiben kann.𝑛𝑛 Spiegelungen 𝐼𝐼1, … , 𝐼𝐼𝑛𝑛.

Für Drehungen gilt: 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝑖𝑖𝑘𝑘 = 𝑖𝑖𝑖𝑖+𝑘𝑘 (bzw. 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝑖𝑖𝑘𝑘 = 𝑖𝑖𝑖𝑖+𝑘𝑘−𝑛𝑛, falls 𝑖𝑖 + 𝑘𝑘 ≥ 𝑛𝑛)Für Spiegelungen gilt: 𝐼𝐼𝑖𝑖 2 = 𝐼𝐼𝑖𝑖 ∘ 𝐼𝐼𝑖𝑖 = 𝑖𝑖𝑖𝑖Die Diedergruppe 𝐷𝐷𝑛𝑛 ist für 𝑛𝑛 ≥ 3 nicht kommutativ, denn 𝐼𝐼𝑖𝑖 ∘ 𝑖𝑖 ≠ 𝑖𝑖 ∘ 𝐼𝐼𝑖𝑖.

Satz 2.1.6: Symmetrische FigurenJede Figur mit endlichen vielen Symmetrien hat als Symmetriegruppe entweder eine zyklische Drehgruppe 𝑍𝑍𝑛𝑛 oder eine Diedergruppe 𝐷𝐷𝑛𝑛.

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.23Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Verknüpfungstafel Diedergruppe 𝑫𝑫𝟒𝟒

∘ 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑑 𝒅𝒅𝟑𝟑 𝒔𝒔 𝒅𝒅𝒔𝒔 𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔 𝒅𝒅𝟑𝟑𝒔𝒔

𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼

𝒅𝒅 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼

𝒅𝒅𝑑 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼

𝒅𝒅𝟑𝟑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝐼𝐼

𝒔𝒔 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3

𝒅𝒅𝒔𝒔 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖2

𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖

𝒅𝒅𝟑𝟑𝒔𝒔 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐶𝐶 𝐷𝐷 = 𝑖𝑖𝑀𝑀,0𝟗

𝒅𝒅 = 𝑨𝑨 𝑩𝑩𝑩𝑩 𝑪𝑪

𝑪𝑪 𝑫𝑫𝑫𝑫 𝑨𝑨 = 𝒅𝒅𝑴𝑴,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗

𝑖𝑖2 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐷𝐷

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐴𝐴 𝐵𝐵 = 𝑖𝑖𝑀𝑀,180𝟗

𝑖𝑖3 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐴𝐴

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐵𝐵 𝐶𝐶 = 𝑖𝑖𝑀𝑀,270𝟗

𝒔𝒔 = 𝑨𝑨 𝑩𝑩𝑩𝑩 𝑨𝑨

𝑪𝑪 𝑫𝑫𝑫𝑫 𝑪𝑪 = 𝒔𝒔𝒂𝒂

𝑖𝑖𝐼𝐼 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐵𝐵

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐴𝐴 𝐷𝐷 = 𝐼𝐼𝑏𝑏

𝑖𝑖2𝐼𝐼 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐶𝐶

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐵𝐵 𝐴𝐴 = 𝐼𝐼𝑐𝑐

𝑖𝑖3𝐼𝐼 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐷𝐷

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐶𝐶 𝐵𝐵 = 𝐼𝐼𝑑𝑑

𝒁𝒁𝟒𝟒

𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑐𝑐

𝑖𝑖 𝑨𝑨 𝑩𝑩

𝑪𝑪𝑫𝑫

𝒅𝒅

𝒔𝒔

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.24Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Deckabbildungen des regulären Sechsecks 𝑭𝑭𝟑𝟑

Deckdrehungen des regulären Sechsecks:𝑖𝑖𝑖𝑖 ,𝑖𝑖𝑀𝑀,60𝟗,𝑖𝑖𝑀𝑀,120𝟗,𝑖𝑖𝑀𝑀,180𝟗,𝑖𝑖𝑀𝑀,240𝟗,𝑖𝑖𝑀𝑀,300𝟗

Mit 𝑖𝑖 ≔ 𝑖𝑖𝑀𝑀,60𝟗

und 𝑖𝑖2 ≔ 𝑖𝑖 ∘ 𝑖𝑖 = 𝑖𝑖𝑀𝑀,60𝟗 ∘ 𝑖𝑖𝑀𝑀,60𝟗 = 𝑖𝑖𝑀𝑀,120𝟗

ergibt sich: 𝑖𝑖 = 𝑖𝑖𝑀𝑀,60𝟗,𝑖𝑖2 = 𝑖𝑖𝑀𝑀,120𝟗,𝑖𝑖3 = 𝑖𝑖𝑀𝑀,180𝟗,𝑖𝑖4 = 𝑖𝑖𝑀𝑀,240𝟗,𝑖𝑖5 = 𝑖𝑖𝑀𝑀,300𝟗,𝑖𝑖6 = 𝑖𝑖𝑀𝑀,0𝟗 = 𝑖𝑖𝑖𝑖

Deckspiegelungen des regulären SechsecksAus 𝐼𝐼 ≔ 𝐼𝐼𝑎𝑎 mit 𝐼𝐼𝑎𝑎 𝐹𝐹6 = 𝐹𝐹6 und 𝑖𝑖 ∘ 𝐼𝐼 ≔ 𝑖𝑖𝐼𝐼 folgt:

𝐼𝐼,𝑖𝑖𝐼𝐼,𝑖𝑖2𝐼𝐼,𝑖𝑖3𝐼𝐼,𝑖𝑖4𝐼𝐼,𝑖𝑖5𝐼𝐼

Alle Deckabbildungen des regulären Sechsecks 𝐹𝐹6:𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖,𝑖𝑖 2,𝑖𝑖 3,𝑖𝑖 4,𝑖𝑖 5, 𝐼𝐼,𝑖𝑖𝐼𝐼,𝑖𝑖 2𝐼𝐼,𝑖𝑖 3𝐼𝐼,𝑖𝑖 4𝐼𝐼,𝑖𝑖 5𝐼𝐼 Diedergruppe 𝑫𝑫𝟑𝟑

Zyklische Drehgruppe 𝒁𝒁𝟑𝟑

𝒁𝒁𝟑𝟑 = ,∘

𝑫𝑫𝟑𝟑 = ,∘

𝒔𝒔

𝒅𝒅

𝑨𝑨 𝑩𝑩

𝑪𝑪

𝑫𝑫𝑬𝑬

𝑭𝑭

𝒅𝒅𝒔𝒔

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.25Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Verknüpfungstafel Diedergruppe 𝑫𝑫𝟑𝟑

∘ 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟑𝟑 𝒅𝒅𝟒𝟒 𝒅𝒅𝟓𝟓 𝒔𝒔 𝒅𝒅𝒔𝒔 𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔 𝒅𝒅𝟑𝟑𝒔𝒔 𝒅𝒅𝟒𝟒𝒔𝒔 𝒅𝒅𝟓𝟓𝒔𝒔

𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖4 𝑖𝑖5 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖4𝐼𝐼 𝑖𝑖5𝐼𝐼

𝒅𝒅 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖4 𝑖𝑖5 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖5𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖4𝐼𝐼

𝒅𝒅𝟐𝟐 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖4 𝑖𝑖5 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖4𝐼𝐼 𝑖𝑖5𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼

𝒅𝒅𝟑𝟑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖4 𝑖𝑖5 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖4𝐼𝐼 𝑖𝑖5𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼

𝒅𝒅𝟒𝟒 𝑖𝑖4 𝑖𝑖5 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖4𝐼𝐼 𝑖𝑖5𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼

𝒅𝒅𝟓𝟓 𝑖𝑖5 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖4 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖4𝐼𝐼 𝑖𝑖5𝐼𝐼 𝐼𝐼

𝒔𝒔 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖4𝐼𝐼 𝑖𝑖5𝐼𝐼 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3 𝑖𝑖4 𝑖𝑖5

𝒅𝒅𝒔𝒔 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖4𝐼𝐼 𝑖𝑖5𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖5 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3 𝑖𝑖4

𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖4𝐼𝐼 𝑖𝑖5𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖4 𝑖𝑖5 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3

𝒅𝒅𝟑𝟑𝒔𝒔 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖4𝐼𝐼 𝑖𝑖5𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3 𝑖𝑖4 𝑖𝑖5 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖2

𝒅𝒅𝟒𝟒𝒔𝒔 𝑖𝑖4𝐼𝐼 𝑖𝑖5𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3 𝑖𝑖4 𝑖𝑖5 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖

𝒅𝒅𝟓𝟓𝒔𝒔 𝑖𝑖5𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖4𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3 𝑖𝑖4 𝑖𝑖5 𝑖𝑖𝑖𝑖

BemerkungEs gilt:

𝑖𝑖𝑘𝑘𝐼𝐼 = 𝐼𝐼𝑖𝑖𝑛𝑛−𝑘𝑘

Beweis𝑖𝑖𝑘𝑘𝐼𝐼 ist eine Achsenspie-gelung (ungleichsinnig):𝑖𝑖𝑘𝑘𝐼𝐼 −1 = 𝑖𝑖𝑘𝑘𝐼𝐼

Mit 𝑖𝑖𝑘𝑘 −1 = 𝑖𝑖𝑛𝑛−𝑘𝑘 gilt aber auch:𝑖𝑖𝑘𝑘𝐼𝐼 −1

= 𝐼𝐼−1 𝑖𝑖𝑘𝑘 −1

= 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝑘𝑘 −1

= 𝐼𝐼𝑖𝑖𝑛𝑛−𝑘𝑘#

𝒁𝒁𝟑𝟑

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.26Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Verknüpfungstafel Diedergruppe 𝑫𝑫𝟓𝟓

∘ 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑑 𝒅𝒅𝟑𝟑 𝒅𝒅𝟒𝟒 𝒔𝒔 𝒅𝒅𝒔𝒔 𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔 𝒅𝒅𝟑𝟑𝒔𝒔 𝒅𝒅𝟒𝟒𝒔𝒔

𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖4 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖4𝐼𝐼

𝒅𝒅 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖4 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖4𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼

𝒅𝒅𝟐𝟐 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖4 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖4𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼

𝒅𝒅𝟑𝟑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖4 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖4𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼

𝒅𝒅𝟒𝟒 𝑖𝑖4 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖4𝐼𝐼 𝐼𝐼

𝒔𝒔 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖4𝐼𝐼 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3 𝑖𝑖4

𝒅𝒅𝒔𝒔 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖4𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖4 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3

𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖4𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖3 𝑖𝑖4 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖2

𝒅𝒅𝟑𝟑𝒔𝒔 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖4𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3 𝑖𝑖4 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖

𝒅𝒅𝟒𝟒𝒔𝒔 𝑖𝑖4𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3 𝑖𝑖4 𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑖𝑖 ≔ 𝑖𝑖𝑀𝑀,72𝟗

𝐼𝐼 ≔ 𝐼𝐼𝑎𝑎 mit 𝐼𝐼𝑎𝑎 𝐹𝐹5 = 𝐹𝐹5

Deckabbildungen von 𝑭𝑭𝟓𝟓:𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖,𝑖𝑖2,𝑖𝑖3,𝑖𝑖4, 𝐼𝐼,𝑖𝑖𝐼𝐼,𝑖𝑖2𝐼𝐼,𝑖𝑖3𝐼𝐼,𝑖𝑖4𝐼𝐼

𝒁𝒁𝟓𝟓

𝑫𝑫𝟓𝟓 = 𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖,𝑖𝑖2, 𝑖𝑖3, 𝑖𝑖4, 𝐼𝐼,𝑖𝑖𝐼𝐼,𝑖𝑖2𝐼𝐼,𝑖𝑖3𝐼𝐼,𝑖𝑖4𝐼𝐼 ,∘ Diedergruppe 𝑫𝑫𝟓𝟓

𝑨𝑨 𝑩𝑩

𝑪𝑪

𝑫𝑫

𝑬𝑬

𝒅𝒅

𝒔𝒔

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.27Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien

2.2 Symmetrien sortieren –Untergruppen

(1)

(2)

(3)

(4) (5)

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.28Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

𝑖𝑖 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐶𝐶 𝐴𝐴 = 𝑖𝑖𝑀𝑀,120𝟗

𝑖𝑖2 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴 𝐵𝐵 = 𝑖𝑖𝑀𝑀,240𝟗

𝑖𝑖3 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐶𝐶 = 𝑖𝑖𝑖𝑖

𝐼𝐼 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐴𝐴 𝐶𝐶 𝐵𝐵 = 𝐼𝐼𝑎𝑎

𝑖𝑖𝐼𝐼 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐴𝐴 𝐶𝐶 = 𝐼𝐼𝑐𝑐

𝑖𝑖2𝐼𝐼 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵 𝐴𝐴 = 𝐼𝐼𝑏𝑏

Symmetrie von ist 𝑫𝑫𝟑𝟑

∘ 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑑 𝒔𝒔 𝒅𝒅𝒔𝒔 𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔

𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼

𝒅𝒅 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼

𝒅𝒅𝑑 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝐼𝐼

𝒔𝒔 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑

𝒅𝒅𝒔𝒔 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖

𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖

𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶

𝐼𝐼𝑎𝑎𝐼𝐼𝑏𝑏

𝐼𝐼𝑐𝑐

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.29Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Die Schneeflocke im Schild „Schneeglätte“ hat eine𝑫𝑫𝟑𝟑-Symmetrie, also die eines regelmäßigen Sechs-ecks mit 6 Drehsymmetrien und 6 Spiegelachsen.

Die Deckabbildungen des Dreiecks (gelbe Spiegel-achsen und grüne Drehungen) sind alle in denen des Sechsecks enthalten.

𝑫𝑫𝟑𝟑 ist damit eine Teilmenge von 𝑫𝑫𝟑𝟑.𝑫𝑫𝟑𝟑 = 𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖,𝑖𝑖2, 𝐼𝐼,𝑖𝑖𝐼𝐼,𝑖𝑖2𝐼𝐼⊂ 𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖,𝑖𝑖2,𝑖𝑖3, 𝑖𝑖4, 𝑖𝑖5, 𝐼𝐼,𝑖𝑖𝐼𝐼,𝑖𝑖2𝐼𝐼,𝑖𝑖3𝐼𝐼,𝑖𝑖4𝐼𝐼, 𝑖𝑖5𝐼𝐼 = 𝑫𝑫𝟑𝟑

𝑫𝑫𝟑𝟑 ist zusammen mit der Verkettung ∘ von Abbil-dungen gleichzeitig auch eine Gruppe.

Man bezeichnet 𝑫𝑫𝟑𝟑,∘ deshalb auch als Unter-gruppe von 𝑫𝑫𝟑𝟑,∘ .

Symmetrie von ist 𝑫𝑫𝟑𝟑

𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶

𝐼𝐼𝑎𝑎𝐼𝐼𝑏𝑏

𝐼𝐼𝑐𝑐

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.30Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

im Schild „Kreisver-kehr“ hat eine 𝒁𝒁𝟑𝟑-Symmetrie.

Die Deckabbildungen dieser drei Pfeile (grüne Drehungen) sind alle in denen des gleich-seitigen Dreiecks enthalten.

𝒁𝒁𝟑𝟑 ist also eine Teilmenge von 𝑫𝑫𝟑𝟑 und zusammen mit derVerkettung ∘ von Abbildungen gleichzeitig auch eine Gruppe.

𝒁𝒁𝟑𝟑,∘ ist also eine Untergruppe von (𝑫𝑫𝟑𝟑,∘).𝒁𝒁𝟑𝟑 = 𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖,𝑖𝑖2 ⊂ 𝑖𝑖𝑖𝑖, 𝑖𝑖,𝑖𝑖2, 𝐼𝐼,𝑖𝑖𝐼𝐼,𝑖𝑖2𝐼𝐼 = 𝑫𝑫𝟑𝟑

Symmetrie von ist 𝒁𝒁𝟑𝟑

𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶

𝐼𝐼𝑎𝑎𝐼𝐼𝑏𝑏

𝐼𝐼𝑐𝑐

∘ 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑑 𝒔𝒔 𝒅𝒅𝒔𝒔 𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔

𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼

𝒅𝒅 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼

𝒅𝒅𝑑 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝐼𝐼

𝒔𝒔 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑

𝒅𝒅𝒔𝒔 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖

𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖

𝒁𝒁𝟑𝟑

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.31Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

im Schild „Fahrbahnver-engung“ hat eine {𝒊𝒊𝒅𝒅,𝒅𝒅𝒔𝒔}-Symmetrie.

Die Deckabbildungen von sind alle in denen des gleich-seitigen Dreiecks enthalten.

𝒊𝒊𝒅𝒅,𝒅𝒅𝒔𝒔 ⊂ 𝑫𝑫𝟑𝟑 und zusammen mit der Verkettung ∘ von Abbil-dungen gleichzeitig auch eine Gruppe.

𝐢𝐢𝐢𝐢,𝐢𝐢𝐬𝐬 ,∘ ist also eine Untergruppevon 𝑫𝑫𝟑𝟑,∘ .𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖𝐼𝐼 ⊂ 𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖,𝑖𝑖2, 𝐼𝐼,𝑖𝑖𝐼𝐼,𝑖𝑖2𝐼𝐼 = 𝑫𝑫𝟑𝟑

Symmetrie von ist {𝒊𝒊𝒅𝒅,𝒅𝒅𝒔𝒔}

𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶

𝐼𝐼𝑎𝑎𝐼𝐼𝑏𝑏

𝐼𝐼𝑐𝑐

∘ 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑑 𝒔𝒔 𝒅𝒅𝒔𝒔 𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔

𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼

𝒅𝒅 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼

𝒅𝒅𝑑 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝐼𝐼

𝒔𝒔 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑

𝒅𝒅𝒔𝒔 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖

𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖

∘ 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒔𝒔

𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝐼𝐼

𝒅𝒅𝒔𝒔 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖𝑖𝑖

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.32Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Das im Schild „Gefährliche Kreuzung“ hat eine 𝑆𝑆 -Sym-metrie (𝐷𝐷4-Symmetrie).

Vergleicht man diese mit 𝑫𝑫𝟑𝟑 = {𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖,𝑖𝑖2, 𝐼𝐼,𝑖𝑖𝐼𝐼, 𝑖𝑖2𝐼𝐼}, der Symmetrie von , so stellt man fest, dass die beiden Symmetrien genau zwei Deckabbildungen gemeinsam haben, nämlich:

𝒊𝒊𝒅𝒅,𝒅𝒅𝒔𝒔 = 𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖𝑀𝑀,90𝟗,𝑖𝑖𝑀𝑀,180𝟗,𝑖𝑖𝑀𝑀,270𝟗,𝑖𝑖𝐼𝐼, 𝐼𝐼1, 𝐼𝐼2, 𝐼𝐼3∩ 𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖,𝑖𝑖2, 𝐼𝐼,𝑖𝑖𝐼𝐼,𝑖𝑖2𝐼𝐼 = 𝑺𝑺 ∩ 𝑫𝑫𝟑𝟑

( 𝒊𝒊𝒅𝒅,𝒅𝒅𝒔𝒔 ,∘} ist eine Untergruppe von 𝑫𝑫𝟑𝟑,∘ und von 𝑺𝑺 ,∘ .

Symmetrie von ist 𝑺𝑺 ∶= 𝒊𝒊𝒅𝒅,𝒅𝒅𝑴𝑴,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗,𝒅𝒅𝑴𝑴,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗𝟗,𝒅𝒅𝑴𝑴,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟗𝟗𝟗,𝒅𝒅𝒔𝒔, 𝒔𝒔𝟏𝟏, 𝒔𝒔𝟐𝟐, 𝒔𝒔𝟑𝟑 = 𝑫𝑫𝟒𝟒

𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶

𝐼𝐼𝑎𝑎𝐼𝐼𝑏𝑏

𝐼𝐼𝑐𝑐 = 𝑖𝑖𝐼𝐼

∘ 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑑 𝒔𝒔 𝒅𝒅𝒔𝒔 𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔

𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼

𝒅𝒅 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼

𝒅𝒅𝑑 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝐼𝐼

𝒔𝒔 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑

𝒅𝒅𝒔𝒔 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖

𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖

∘ 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒔𝒔

𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝐼𝐼

𝒅𝒅𝒔𝒔 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖𝑖𝑖

𝐼𝐼1

𝐼𝐼2

𝐼𝐼3

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.33Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Die im Schild „Vorsicht Gegenverkehr“ hat eine𝑆𝑆 ∶= {𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖𝑀𝑀,180𝟗}-Symmetrie.

Vergleicht man diese mit 𝑫𝑫𝟑𝟑 = {𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖,𝑖𝑖2, 𝐼𝐼,𝑖𝑖𝐼𝐼, 𝑖𝑖2𝐼𝐼}, der Symmetrie von , so stellt man fest, dass die beiden Symmetrien nur dieIdentität als gemeinsameDeckabbildungen haben:

𝑺𝑺 ∩ 𝑫𝑫𝟑𝟑 = 𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖𝑀𝑀,180𝟗 ∩ 𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖,𝑖𝑖2, 𝐼𝐼,𝑖𝑖𝐼𝐼,𝑖𝑖2𝐼𝐼 = 𝑖𝑖𝑖𝑖 =∶ 𝑬𝑬

𝑬𝑬,∘ ist eine Untergruppe von 𝑫𝑫𝟑𝟑,∘ und von 𝑺𝑺 ,∘ .

Symmetrie von ist 𝑺𝑺 ∶= {𝒊𝒊𝒅𝒅,𝒅𝒅𝑴𝑴,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗𝟗}

𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶

𝐼𝐼𝑎𝑎𝐼𝐼𝑏𝑏

𝐼𝐼𝑐𝑐 = 𝑖𝑖𝐼𝐼

∘ 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑑 𝒔𝒔 𝒅𝒅𝒔𝒔 𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔

𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼

𝒅𝒅 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼

𝒅𝒅𝑑 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝐼𝐼

𝒔𝒔 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑

𝒅𝒅𝒔𝒔 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖

𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.34Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Definition Untergruppe

BemerkungDie folgende Untergruppendefinition ist so formuliert, dass sie für beliebige, auch nicht-geometrische Gruppen genutzt werden kann.

Definition 2.2.1: UntergruppeSei (𝐺𝐺,∘) eine Gruppe. Wenn eine Teilmenge 𝑈𝑈 der Menge 𝐺𝐺 𝑈𝑈 ⊆ 𝐺𝐺 zusammen mit der Verknüpfung ∘ der Gruppe (𝐺𝐺,∘) wieder eine Gruppe 𝑈𝑈,∘ bildet, dann nennt man 𝑈𝑈 eine Untergruppe von 𝐺𝐺 und schreibt: 𝑈𝑈 ≤ 𝐺𝐺Das „≤“-Zeichen statt des „⊆“ bedeutet, dass nicht nur die Mengen ineinander liegen, son-dern mit derselben Verknüpfung ∘ auch die Gruppenkriterien Abgeschlossenheit, Assoziati-vität, Existenz eines neutralen Elements und Existenz von inversen Elementen erfüllt sind.Die triviale Gruppe 𝐸𝐸 = {𝑖𝑖𝑖𝑖} und die Gruppe 𝐺𝐺 selbst, sind immer Untergruppen von 𝐺𝐺.Die Schnittmenge von zwei Untergruppe 𝐻𝐻 und 𝐼𝐼 einer Gruppe 𝐺𝐺 ist Untergruppe beider Gruppen: 𝐻𝐻 ≤ 𝐺𝐺 ∧ 𝐼𝐼 ≤ 𝐺𝐺 ⇒ 𝐻𝐻 ∩ 𝐼𝐼 ≤ 𝐻𝐻 ∧ 𝐻𝐻 ∩ 𝐼𝐼 ≤ 𝐼𝐼

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.35Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Verknüpfungstafel Diedergruppe 𝑫𝑫𝟒𝟒

∘ 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑑 𝒅𝒅𝟑𝟑 𝒔𝒔 𝒅𝒅𝒔𝒔 𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔 𝒅𝒅𝟑𝟑𝒔𝒔

𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼

𝒅𝒅 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼

𝒅𝒅𝑑 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼

𝒅𝒅𝟑𝟑 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑑 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝐼𝐼

𝒔𝒔 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3

𝒅𝒅𝒔𝒔 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖2

𝒅𝒅𝟐𝟐𝒔𝒔 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖

𝒅𝒅𝟑𝟑𝒔𝒔 𝑖𝑖3𝐼𝐼 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝐼𝐼 𝑖𝑖2𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑖𝑖2 𝑖𝑖3 𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐵𝐵

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐶𝐶 𝐷𝐷 = 𝑖𝑖𝑀𝑀,0𝟗

𝒅𝒅 = 𝑨𝑨 𝑩𝑩𝑩𝑩 𝑪𝑪

𝑪𝑪 𝑫𝑫𝑫𝑫 𝑨𝑨 = 𝒅𝒅𝑴𝑴,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗

𝑖𝑖2 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐷𝐷

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐴𝐴 𝐵𝐵 = 𝑖𝑖𝑀𝑀,180𝟗

𝑖𝑖3 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐴𝐴

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐵𝐵 𝐶𝐶 = 𝑖𝑖𝑀𝑀,270𝟗

𝒔𝒔 = 𝑨𝑨 𝑩𝑩𝑩𝑩 𝑨𝑨

𝑪𝑪 𝑫𝑫𝑫𝑫 𝑪𝑪 = 𝒔𝒔𝒂𝒂

𝑖𝑖𝐼𝐼 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐵𝐵

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐴𝐴 𝐷𝐷 = 𝐼𝐼𝑏𝑏

𝑖𝑖2𝐼𝐼 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐶𝐶

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐵𝐵 𝐴𝐴 = 𝐼𝐼𝑐𝑐

𝑖𝑖3𝐼𝐼 = 𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐷𝐷

𝐶𝐶 𝐷𝐷𝐶𝐶 𝐵𝐵 = 𝐼𝐼𝑑𝑑

𝒁𝒁𝟒𝟒

𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑐𝑐

𝑖𝑖 𝑨𝑨 𝑩𝑩

𝑪𝑪𝑫𝑫

𝒅𝒅

𝒔𝒔

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.36Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Diedergruppe 𝑫𝑫𝟒𝟒 und ihre Untergruppen

𝐷𝐷4 = 𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖,𝑖𝑖2,𝑖𝑖3, 𝐼𝐼,𝑖𝑖𝐼𝐼,𝑖𝑖2𝐼𝐼,𝑖𝑖3𝐼𝐼 = 𝑖𝑖, 𝐼𝐼

𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖2 = 𝑖𝑖2

𝑖𝑖𝑖𝑖, 𝐼𝐼 = 𝐼𝐼𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖2𝐼𝐼 = 𝑖𝑖2𝐼𝐼

𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖𝐼𝐼 = 𝑖𝑖𝐼𝐼𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖3𝐼𝐼 = 𝑖𝑖3𝐼𝐼

𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖,𝑖𝑖2,𝑖𝑖3= 𝑖𝑖 = 𝑍𝑍4

𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖2,𝑖𝑖𝐼𝐼,𝑖𝑖3𝐼𝐼= 𝑖𝑖𝐼𝐼,𝑖𝑖3𝐼𝐼

𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖2, 𝐼𝐼, 𝑖𝑖2𝐼𝐼= 𝐼𝐼,𝑖𝑖2𝐼𝐼

AllgemeinesViereck

Symm.Trapez

Symm. Drachen

Parallelogramm

Rechteck Raute

Quadrat 8 Elemente

4 Elemente

2 Elemente

1 Element

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.37Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Untergruppekriterium und Erzeugendensystem

Satz 2.2.1: UntergruppenkriteriumIst 𝑈𝑈 eine nichtleere Teilmenge der Gruppe (𝐺𝐺,∘), gilt also 𝑈𝑈 ⊆ 𝐺𝐺 und 𝑈𝑈 ≠ {}, dann ist 𝑈𝑈 genau dann eine Untergruppe von 𝐺𝐺 𝑈𝑈 ≤ 𝐺𝐺 , wenn gilt:

(UG1) ∀𝑎𝑎,𝑏𝑏∈𝑈𝑈 𝑎𝑎 ∘ 𝑏𝑏 ∈ 𝑈𝑈 (Abgeschlossenheit)

(UG2) ∀𝑎𝑎∈𝑈𝑈 𝑎𝑎−1 ∈ 𝑈𝑈 (Inverse in 𝑈𝑈 enthalten)

BemerkungEs gibt Erzeugendensysteme von Gruppen. Zum Beispiel erzeugen die beiden Achsen-spiegelungen 𝐼𝐼 und 𝑖𝑖𝐼𝐼 durch sukzessive Ver-knüpfung und Bildung von Inversen zusam-men bereits die Diedergruppe 𝐷𝐷4 = 𝐼𝐼,𝑖𝑖𝐼𝐼 .Im Allgemeinen entsteht so jeweils eine Untergruppe der Ausgangsgruppe.

Definition 2.2.2: Erzeugendensystem und erzeugte Untergruppe

Zu einer Teilmenge 𝐴𝐴 ⊆ 𝐺𝐺 einer endlichen Gruppe (𝐺𝐺,∘) entstehen durch Bildung von Inversen und Verknüpfung von Elementen neue Mengen.𝐴𝐴0 = 𝐴𝐴, man geht also von der ursprünglichen Teilmenge 𝐴𝐴 ⊆ 𝐺𝐺 aus.Im 𝑛𝑛-ten Schritt bildet man alle Inversen und Ver-knüpfungen der Elemente aus 𝐴𝐴𝑛𝑛−1 und erhält 𝐴𝐴𝑛𝑛 = 𝐴𝐴𝑛𝑛−1 ∪ 𝐴𝐴𝑛𝑛−1 −1 ∪ 𝐴𝐴𝑛𝑛−1 ∘ 𝐴𝐴𝑛𝑛−1

= 𝐴𝐴𝑛𝑛−1 ∪ 𝑎𝑎−1|𝑎𝑎 ∈ 𝐴𝐴𝑛𝑛−1 ∪ 𝑎𝑎 ∘ 𝑏𝑏|𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ 𝐴𝐴𝑛𝑛−1 .Der Prozess endet, wenn in einem Schritt 𝐼𝐼keine neuen Elemente hinzukommen, also gilt 𝐴𝐴𝑚𝑚 = 𝐴𝐴𝑚𝑚−1.Die Menge 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝑚𝑚 heißt die vom Erzeugenden-system 𝐴𝐴 erzeugte Untergruppe 𝐴𝐴 ,∘ .

Kapitel 2: Strukturen geometrischer Symmetrien • 2.38Jürgen Roth • Grundlagen der Algebra und elementaren Zahlentheorie (Modul 4b)

Bildung einer Untergruppe von 𝑫𝑫𝟒𝟒aus der Teilmenge 𝑨𝑨 = {𝒔𝒔,𝒅𝒅𝒔𝒔}

0. Schritt: 𝐴𝐴0 = 𝐴𝐴 = 𝐼𝐼,𝑖𝑖𝐼𝐼

1. SchrittAlle Inverse zu den Elementen von 𝐴𝐴0 bilden:

𝐼𝐼−1 = 𝐼𝐼 und 𝑖𝑖𝐼𝐼 −1 = 𝑖𝑖𝐼𝐼, weil Achsen-spiegelungen invers zu sich selbst sind.Die Menge aller Inverser zu Elementen aus 𝐴𝐴0 ist: 𝐴𝐴0 −1 = 𝐼𝐼−1, 𝑖𝑖𝐼𝐼 −1 = {𝐼𝐼,𝑖𝑖𝐼𝐼}

Verknüpfungen der Elemente von 𝐴𝐴0 bilden:𝑖𝑖𝐼𝐼 ∘ 𝐼𝐼 = 𝑖𝑖 ∘ 𝐼𝐼 ∘ 𝐼𝐼 = 𝑖𝑖 ∘ 𝐼𝐼 ∘ 𝐼𝐼 = 𝑖𝑖 ∘ 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑖𝑖

𝐼𝐼 ∘ 𝑖𝑖𝐼𝐼 ⏞=𝑑𝑑𝑘𝑘𝑠𝑠 = 𝑠𝑠𝑑𝑑𝑛𝑛−𝑘𝑘

𝐼𝐼 ∘ 𝐼𝐼 ∘ 𝑖𝑖4−1 = 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝑖𝑖3 = 𝑖𝑖3

𝐼𝐼 ∘ 𝐼𝐼 = 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝐼𝐼 ∘ 𝑖𝑖𝐼𝐼 = 𝑖𝑖 ∘ 𝐼𝐼 ∘ 𝐼𝐼 ∘ 𝑖𝑖3 = 𝑖𝑖 ∘ 𝑖𝑖3 = 𝑖𝑖4 = 𝑖𝑖𝑖𝑖𝐴𝐴0 ∘ 𝐴𝐴0 = {𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖,𝑖𝑖3}

𝐴𝐴1 = 𝐴𝐴0 ∪ 𝐴𝐴0 −1 ∪ 𝐴𝐴0 ∘ 𝐴𝐴0= 𝐼𝐼,𝑖𝑖𝐼𝐼 ∪ 𝐼𝐼, 𝑖𝑖𝐼𝐼 ∪ 𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖,𝑖𝑖3 = {𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖,𝑖𝑖3, 𝐼𝐼,𝑖𝑖𝐼𝐼}

2. SchrittAlle Inverse zu den Elementen von 𝐴𝐴1 bilden:

𝑖𝑖𝑖𝑖−1 = 𝑖𝑖𝑖𝑖, weil 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖−1 = 𝑖𝑖3, weil 𝑖𝑖 ∘ 𝑖𝑖3 = 𝑖𝑖4 = 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖3 −1 = 𝑖𝑖, weil 𝑖𝑖3 ∘ 𝑖𝑖 = 𝑖𝑖4 = 𝑖𝑖𝑖𝑖𝐼𝐼−1 = 𝐼𝐼, weil Achsenspiegelung𝑖𝑖𝐼𝐼 −1 = 𝑖𝑖𝐼𝐼, weil Achsenspiegelung

Die Menge aller Inverser zu Elementen aus 𝐴𝐴1 ist: 𝐴𝐴1 −1 = {𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖,𝑖𝑖3, 𝐼𝐼,𝑖𝑖𝐼𝐼}

Alle Verknüpfungen der Elemente von 𝐴𝐴1 bilden:𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝐴𝐴1 = 𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖,𝑖𝑖3, 𝐼𝐼,𝑖𝑖𝐼𝐼𝑖𝑖 ∘ 𝐴𝐴1 = {𝑖𝑖,𝑖𝑖2,𝑖𝑖4,𝑖𝑖𝐼𝐼,𝑖𝑖2𝐼𝐼} = {𝑖𝑖, 𝑖𝑖2, 𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑖𝑖𝐼𝐼, 𝑖𝑖2𝐼𝐼}…

𝐴𝐴2 = 𝐴𝐴1 ∪ 𝐴𝐴1 −1 ∪ 𝐴𝐴1 ∘ 𝐴𝐴1…𝐴𝐴 = 𝐼𝐼,𝑖𝑖𝐼𝐼 = 𝐴𝐴𝑚𝑚 ≤ 𝐷𝐷4