JOŠT MLINARIČ - uni-lj.si

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

JOŠT MLINARIČ

KJE JE BILA KAMERA

DIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2017

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

ŠTUDIJSKI PROGRAM: DVOPREDMETNI UČITELJ

SMER: FIZIKA - MATEMATIKA

KANDIDAT: JOŠT MLINARIČ

MENTOR: prof. dr. MATIJA CENCELJ

KJE JE BILA KAMERA

DIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2017

Zahvala

Iskreno se zahvaljujem prof. dr. Matiju Cenclju za mentorstvo, vse nasvete in ideje, ki so

bili v veliko pomoč pri nastajanju diplomskega dela.

Zahvala gre tudi partnerici, hčerki, staršem, sestri in babici, za vso potrpežljivost in

podporo, ki so mi jo izkazali v vseh letih študija in me spodbujali vse do konca.

Zahvalil bi se tudi vsem profesorjem ter sošolkam in sočolcem, s katerimi smo skupaj

preživeli študentsko obdobje in drug drugega spodbujali v napornih trenutkih.

i

Povzetek

V diplomskem delu je opisan in obravnavan problem lociranja kamere ob zajetju foto-

grafije nekega objekta kvadraste oblike oziroma zgradbe. V prvem delu je predstavljeno

teoretično ozadje samega postopka, ki temelji na principih elementarne in projektivne

geometrije, v drugem delu pa so teoretične ugotovitve preverjene še praktično na majhni

škatli kvadraste oblike, predstavljeni pa so tudi vzroki za napake pri merjenju oziroma

izračunu samega položaja fotoaparata.

Ključne besede: položaj fotoaparata, projekcija, višina fotoaparata, razdalja.

iii

Abstract

The problem of determining the location of the camera for taking a given photo of a rec-

tangular body e.g. a building is described and considered. In the first part the theoretical

prerequisites of elementary and projective geometry are introduced and the problem is

solved, in the second part the solution is checked in a practical example of a photo of a

small box. The reasons for inacuracy are discussed.

Keywords: camera location, projection, camera height, distance.

iv

Kazalo

Povzetek iii

Abstract iv

1 Uvod 1

2 Evklidska geometrija 2

2.1 Afina geometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Afine transformacije in osnovni izrek afine geometrije . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Aksiomatsko definirana afina ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Projektivna geometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4.1 Vložitev afine geometrije v projektivno geometrijo . . . . . . . . . . 5

3 Talesovi izreki 6

4 Določanje položaja kamere 8

4.1 Ozadje postopka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2 Postopek določanja položaja kamere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Praktični del 24

5.1 Mala škatla pravokotne oblike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6 Zaključek 27

6.1 Napaka odvisna od resolucije fotografije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.2 Napaka odvisna od oddaljenosti fotoaparata . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Literatura 31

Kazalo slik 32

Seznam tabel 33

v

1 Uvod

Ljudje radi med seboj primerjamo preteklost in sedanjost, pri tem pa velikokrat primer-

jamo tudi posamezne pomembnejše zgradbe. Preteklost in sedanjost zgradbe z okolico

najlažje prikažemo z dvema fotografijama; prva prikazuje fotografijo zgradbe v preteklosti,

druga pa prikazuje isto zgradbo v sedanjem času. Če želimo, da je naša primerjava rele-

vantna oziroma smiselna, moramo seveda upoštevati nekaj pomembnih dejstev. Smiselno

je primerjati isti del zgradbe, saj je namreč brez pomena primerjati fotografiji, na katerih

je na eni fotografirana sprednja stran zgradbe, na drugi pa zadnja stran. Poleg tega pa

primerjava izgubi smisel tudi, če fotografiji nista zajeti iz enakega položaja. Fotoaparat

torej mora biti pri zajetju ene in druge fotografije na istem položaju. In tega problema

se bom lotil v svojem diplomskem delu. Opisal bom postopek kalibracije kamere, to je

določanje položaja kamere iz fotografije. Problem razumevanja relativnega položaja fo-

tografije in samega objekta se raziskuje s pomočjo matematike in računalniške znanosti.

Za osnovo sem uporabil članek iz matematične revije [1], ki se primera loti zgolj teore-

tično, ga razširil in na koncu uporabil oziroma preveril še praktično. Poleg omenjenega

članka, sta mi bila v pomoč še dva članka, prav tako iz matematičnih revij [2] [3], in pri

evklidski geometriji tudi zapiski s predavanj mojega mentorja, prof. dr. Matija Cenclja[4].

Sam postopek temelji na elementarni ravninski geometriji in osnovnih principih projek-

tivne in afine geometrije.

1

2 Evklidska geometrija

Z evklidsko geometrijo se srečamo že v fazi našega otroštva oziroma pri prvih stikih z

matematiko, saj poleg tega, da živimo v evklidskem prostoru, evklidsko geometrijo spo-

znavamo tudi v šoli, ko spoznavamo različne geometrijske like in telesa oziroma ko spo-

znavamo pojem daljice in premice. Večinoma geometrija, ki jo spoznavamo v osnovni šoli,

zadošča našim potrebam po vključevanju geometrije v naše življenje, a se vendarle izkaže,

da študij neevklidske geometrije ni zaman.

Vsi spoznamo daljice in premice ter like kot so kvadrat, krog in pravokotnik, obenem

pa spoznamo tudi lastnosti togih premikov, kot sta zrcaljenje in rotacija, in da se pri

tem ohranjajo vse lastnosti daljic, premic oziroma likov. Danes na voljo veliko različne

tehnologije, ki nam omogoča igranje igric, risanja v treh dimenzijah in še bi lahko na-

števal. In ravno pri zaznavanju na primer geometrijskih teles, kot je kvader, opazimo,

da si z evklidsko geometrijo ne znamo razložiti vsega. Namreč pri premikanju kvadra

po zaslonu ugotovimo, da se koti ne ohranjajo, kakor bi pričakovali po petih aksiomih

evklidske geometrije, ki jih je približno 300 let pred našim štetjem v zbirki 13 knjig z

naslovom Elementi zapisal Evklid. Pa si poglejmo teh pet postulatov oziroma aksiomov,

ki so za lažje razumevanje in uporabo prevedeni v sodobni matematični jezik:

(E1) Skozi različni točki poteka natanko ena premica.

(E2) Premica je neomejena množica točk.

(E3) Za različni točki obstaja krožnica, ki ima središče v prvi točki in poteka skozi drugo

točko.

(E4) Vsi pravi koti so med seboj skladni.

(E5) Za vsako točko X in premico p obstaja natanko ena premica, ki gre skozi X in je

vzporedna premici p.

V 19. stoletju sta János Bolyai in Nikola Ivanovič Lobačevski [5] neodvisno odkrila hiper-

bolično ravninsko geometrijo, ki zadošča prvim štirim postulatom, ki jih je zapisal Evklid

(E1-E4), a ne zadošča postulatu o vzporednosti. S tem sta dokazala, da je peti postulat

2

(E5) o vzporednosti posledica prvih štirih postulatov. Za nas to ni tako zelo pomembno,

zato se vrnimo k vprašanju, čemu služi študij neevklidske geometrije. Odgovor je pre-

prost. Danes, v dobi računalnikov, prikaz premikanja objektov na zaslonu ni možen v

okviru evklidske geometrije, torej neevklidksa geometrija ni nekaj teoretičnega, pač pa je

prisotna tudi v našem vsakdanjem življenju. Zamislimo si na primer primer kvadra, ki ga

premikamo po zaslonu. Ugotovimo, da se koti in dolžine ne ohranjajo .

2.1 Afina geometrija

Definicija. Naj bodo V končnorazsežen vektorski prostor nad obsegom O, U < V vektor-

ski podprostor in a ∈ V . Množico a+U = {a+x : x ∈ U} imenujemo afin podprostor

v V . Množica A je afin prostor, če je afin podprostor v kakšnem vektorskem prostoru.

2.2 Afine transformacije in osnovni izrek afine geometrije

Definicija. Točke x, y in z v afinem prostoru A so kolinearne, če obstaja afina premica

U ⊂ A, ki jih vsebuje. Točke x, y, z in w so v afinem prostoru A koplanarne, če obstaja

afina ravnina U ⊂ A, ki jih vsebuje.

Definicija. Naj bosta A in B afina podprostora v vektorskem prostoru V, razsežnosti

dimA=dimB ≥ 2. Bijektivno preslikavo τ : A −→ B, ki poljubne tri kolinearne točke

preslika v kolinearne, imenujemo afina transformacija.

Poglejmo si sedaj osnovni izrek afine geometrije, ki je zapisan spodaj.

Izrek 2.1 (Osnovni izrek afine geometrije). Naj bodo V vektorski prostori nad obsegom

O in A,B ⊂ V afina podprostora razsežnosti dimA=dimB ≥ 2. Preslikava τ : A −→ B

je afina transformacija, ki ohranja vzporednost, natanko tedaj, ko obstajajo a, b ∈ V in

obrnljiva semilinearna preslikava M , da je τ(x) = M(x− a) = +b.

Definicija. Preslikava M : V → V iz vektorskega prostora V nad O nazaj vase je semi-

linearna, če obstaja tak avtomorfizem φ obsega O, da za vsaka x, y ∈ V in za vsak α ∈ O

velja:

M(x+ y) = M(x) +M(y) (aditivnost)

M(ax) = φ(α)M(x) (semihomogenost)

3

2.3 Aksiomatsko definirana afina ravnina

Aksiomatsko definirana afina ravnina je par {A,A1}, kjer je A1 podmnožica po-

tenčne množice 2A. Elemente prve množice imenujemo točke, elemente druge pa pre-

mice. Če za točko X ∈ A0 in premico p ∈ A1 velja X ∈ p, pravimo da točka X leži na

premici p oziroma, da gre premica p skozi točko X. Če točke ležijo na isti premici, so

kolinearne. Premici p in q se sekata, če obstaja X, da je hkrati na p in q (X ∈ p ∧ X ∈ q).

Premici p in q sta vzporedni (p ‖ q), če se ne sekata ali pa je p = q.

Množica A1 oziroma relacija med točkami in premicami zadošča naslednjim aksiomom.

(A1) Skozi različni točki poteka natanko ena premica.

(A2) Za vsako točko P in premico p obstaja natanko ena premica, ki gre skozi P in je

vzporedna s p.

(A3) Obstajajo tri nekolinearne točke.

(A4) Za poljubni točki A in B obstaja translacija τ , da je τ(A) = B.

(A5) Obstaja točka O, da za taki točki A in B, da O 6= A in B ∈ OA, obstaja razteg ρ s

središčem v O, za katerega velja ρ(A) = B.

2.4 Projektivna geometrija

Projektivno geometrijo dobimo iz afine tako, da vsaki množici vzporednih premic v afini

geometriji dodamo točko "na obzorju", to je točka v neskončnosti. Točka v neskončnosti

je točka, v kateri se sekajo vse družine paroma vzporednih premic. Tako se vse vzporedne

premice sekajo v novo dodani točki na obzorju. V projektivni ravnini se tako poljubni

premici sekata v natanko eni točki.

Definicija. Naj bo V končnorazsežen vektorski prostor nad obsegom O. Množica vseh vek-

torskih podprostorov v V se imenuje projektivna geometrija P (V ) nad V. Enorazsežne

podprostore imenujemo točke projektivne geometrije, dvorazsežne projektivne premice, vek-

torske podprostore korazsežnosti 1 pa imenujemo projektivne hiperravnine. Projektivni

prostor PV je množica vseh točk projektivne geometrije P (V )

4

2.4.1 Vložitev afine geometrije v projektivno geometrijo

Lema 2.2. Naj bo a : A(A) −→ P (V ) standardna vložitev afine geometrije v projektivno

geometrijo. Za vsak x+ U ∈ A(A) je a(x+ U)⋂W = U .

Posledica 2.3. Naj bo a : A(A) −→ P (V ) standardna vložitev afine ravnine v projektivno

ravnino. Različni premici p in q v afini ravnini A sta vzporedni natanko tedaj,ko se l(p)

in q sekata v točki v neskončnosti.

Posledica 2.3 je za nas bistvenega pomena, saj bomo lahko prevzeli, da se vzporedne

premice v slikovni ravnini sekajo v skupni točki, in sicer v točki v neskončnosti.

Dokaz. Naj bosta Up in Uq vektorska podprostora v W in naj bosta x, y ∈ V , da velja

p = x+ Up in q = y + Uq. Ker sta p in q afini premici, velja dimUp = dimUq = 1.

Če sta premici p in q vzporedni, potem velja Up = Uq = U . Tedaj sta l(p) = Lin{x}⊕

U

in l(q) = Lin{y}⊕

U različni ravnini v troraszežnem prostoru, zato je njun presek eno-

razsežen podprostor v V . Jasno je potem l(p)⋂l(q) = U . Ker je U < W , je presek U

točka v neskončnosti.

Denimo obratno, da se l(p) in l(q) sekata v točki v neskončnosti. Torej obstaja U < W

razsežnosti 1, da je l(p)⋂l(q) = U . Po lemi 2.2 je l(p)

⋂W = Up. Ker je U < l(p) in

U < W , je U < l(p)⋂W = Up. Ker je dimU = dimUp, je U = Up. Enako sklepamo, da

je U = Uq. Sledi Up = Uq, torej sta afini premici p in q vzporedni.

5

3 Talesovi izreki

Pri nekaterih dokazih za podobne trikotnike bom uporabil naslednja Talesova izreka.

Izrek 3.1 (1. Talesov izrek). Če vzporednici sekata kraka kota, sta dolžini odsekov na

enem kraku kota v enakem razmerju kot dolžini istoležnih odsekov na drugem kraku.

a2 : a1 = b2 : b1

Slika 1: Razmerje odsekov a1, a2, b1, b2, c1 in c2.

6

Izrek 3.2 (2. Talesov izrek). Če vzporednici sekata kraka kota, sta dolžini odsekov na

enem kraku v enakem razmerju kot dolžini istoležnih odsekov na vzporednicah.

a2 : a1 = c2 : c1 ∧ b2 : b1 = c2 : c1

Slika 2: Razmerje odsekov a1, a2, b1 in b2.

7

4 Določanje položaja kamere

Trditev 4.1. Če je bila fotografija pravokotnega telesa oziroma prizme zajeta z vodoravno

postavljeno camero obscuro, ima naslednje razdalje (Slika 3) a, b, c, d in e,

Slika 3: Shema za razdaljami na fotografiji a, b, c, d in e.

potem je bila kamera postavljena

dc

d(b− c) + e(b− a)BC (1)

levo od B v smeri od C proti B in

ae

d(b− c) + e(b− a)AB (2)

pred B, kjer sta BC in AB dejanske mere zgradbe.

Enačbo (1) in enačbo (2) bomo dokazali v nadaljevanju.

4.1 Ozadje postopka

Predpostavka je, da je naša kamera camera obscura in da kamera ni digitalna, pač pa

uporablja film in je vodoravno postavljena glede na podlago. Pod temi pogoji oziroma

predpostavkami, je slika na negativu enaka, kot če bi projicirali tridimenzionalen svet na

ravnino, kar bomo poimenovali slikovna ravnina, na kateri bodo ravne črte povezovale

objekt z opazovalčevim očesom.

8

Slika 4: Prikaz projiciranja objekta na slikovno ravnino.

Edina razlika s camero obscuro je, da je na filmu slika zrcaljena preko točke (v našem

primeru preko očesa) in je obrnjena navzdol ter zamaknjena v desno. Potrebovali bomo

še nekaj elementarnih dejstev, ki bodo definirali našo projekcijo.

Trditev 4.2. Dve premici, ki sta vzporedni med seboj in glede na tla, nista pa vzporedni

na slikovni ravnini, se stikata oziroma sekata v eni sami točki v slikovni ravnini, ki jo

bomo poimenovali stičišče množice vzporednih črt oziroma točka v neskončnosti.

Slika 5: Vzporedne črte, ki niso vzporedne v slikovni ravnini, se sekajo v točki v neskonč-

nosti.

Predstavljajte si množico ravnin, kjer vsaka poteka skozi oko in eno izmed vzporednih

črt, katerih nosilke ne gredo skozi oko. Potem se ravnine sekajo v premici, ki se v slikovni

ravnini stika v stičišču oziroma točki v neskončnosti.

9

Slika 6: Vse točke ležijo na vodoravni premici - horizont.

Vse točke, ki ležijo na odebeljenih daljicah (na shemi), in tudi točka v neskončnosti ležijo

na eni sami vodoravni črti, ki ji bomo rekli horizont oziroma obzorje.

Trditev 4.3. Črte, ki so v resničnosti med seboj vzporedne in so tudi vzporedne s slikovno

ravnino, so tudi vzporedne, ko jih projiciramo na slikovno ravnino.

Slika 7: Vzporedne daljice, ki so vzporedne s slikovno ravnino, so vzporedne tudi v slikovni

ravnini.

Iz tega sledi, da so resnične vodoravne daljice vzporedne s slikovno ravnino projicirane v

vodoravnice oziroma horizontalne daljice.

10

Trditev 4.4. Prav tako se ohranjajo tudi razmerja med vzporednimi daljicami, ko jih

projiciramo na slikovno ravnino. Na sliki 8 je to prikazano, in sicer velja XY

= xy.

Najprej si poglejmo Talesov izrek, s katerim bomo dokazali razmerja med daljicami v

resničnosti in v slikovni ravnini.

Izrek 4.5 (Talesov izrek). Če množico premic, ki se sekajo v eni točki, sekamo z množico

vzporednic, je razmerje odsekov na eni premici šopa enako razmerju enakoležnih odsekov

na katerikoli premici istega šopa.

Dokaz. Razmerje XY

se ohranja, saj se po Talesovem izreku ohranjajo razmerja odsekov.

Torej navpična črta med X in Y ter x in y po Talesovem izreku ohranja razmerje.

Slika 8: Razmerje X:Y na fotografiji in razmerje x:y v slikovni ravnini.

Trditev 4.6. Črte na tleh, ki objekt povezujejo z opazovalcem, se na slikovni ravnini

pojavljajo kot navpičnice.

Predstavljajmo si ravnino, ki vsebuje oko fotografa in črte, ki vodijo do fotografovega

očesa.

11

Slika 9: Črte, ki objekt povezujejo z opazovalcem.

Ta ravnina je usmerjena navpično in slikovno ravnino seka v navpični premici.

Velja tudi obrat Trditve 4.6: premice v ravnini tal, katerih projekcije so navpične, so

povezane s fotografovimi očmi.

4.2 Postopek določanja položaja kamere

Postopek določanja je enak, kot so ga opisali v matematični reviji [1]. Dodane so še ostale

izpeljave, da je bralcem lažje razumljivo, kako smo prišli do rezultata, in nekaj pojasnil.

V reviji so se postopka lotili s fotografijo John M. Greene Hall at Smith College (avtor

Edgar Scott), ki je bila posneta okoli leta 1935. Ker je zgradba dokaj zapleteno telo,

poiščemo na zgradbi pravokotno telo, ki je primerno za analizo.

12

Slika 10: Fotografija John M. Greene Hall at Smith College [1].

To sliko bomo poimenovali shema.

Slika 11: Shema dela fotografije za analizo.

Shema ustreza tlorisu (Slika 12), kjer je BC sprednji del zgradbe, P pa označuje mesto

fotografa.

13

Slika 12: Tloris sheme.

Naša naloga je izračunati razdalje IB in JB. Najprej bomo izračunali IB, nato pa bomo

izračunali oziroma izrazili še JB. Naš namen je izraziti

IB

BC

z različnimi dolžinami a, b, c, d in e v slikovni ravnini. Predpostavljamo, da lahko izme-

rimo BC, potem pa tolikokrat množimo z razmerjem, da dobimo IB.

Da bo dokaz lažje razumljiv, bomo postopek pokazali na shemi s koti:

14

Slika 13: Shema.

Začeli bomo s podaljšanjem EF in AB na shemi, da bomo določili pozicijo levega stičišča

V, ki je točka v neskončnosti.

Potem opazimo, da je PI iz tlorisa vzporedenAB.Po Trditvi 4.2 gre na shemi skozi stičišče

V.

Po Trditvi 4.6 je ta slika navpična, ker gre skozi fotografovo oko, zato je točka I presečišče

te navpičnice in podaljšane daljice BC.

Slika 14: Točka v neskončnosti V in točka I.

Sedaj na tlorisu sheme dodamo vodoravnico skozi B, ki je vzporedna slikovni ravnini,

daljici PI in DC pa podaljšamo, da sekata to vodoravnico. Na tlorisu to zgleda takole

(Slika 15):

15

Slika 15: Točka P - položaj kamere ob zajetju fotografije.

Po Trditvi 4.2, so te daljice in premice vzporedne tudi na shemi. Iz tlorisa je torej daljica

CL vzporedna AB in PI, torej gre tudi skozi stičišče vzporednic oziroma skozi točko v

neskončnosti V.

Slika 16: Premica skozi točki C in L poteka skozi točko v neskončnosti V.

16

Za lažjo predstavo bomo kote označili takole (Slika 17):

Slika 17: Tloris sheme z označenimi koti.

• kot α = ∠IBK (z vrhom v B),

• kot β = ∠BKI (z vrhom v K),

• kot γ = ∠BIK (z vrhom v I),

• kot α1 = ∠CBL (z vrhom v B),

• kot β1 = ∠BLC (z vrhom v L),

• kot γ1 = ∠BCL (z vrhom v C).

Ker za trikotnika ∆KIB in ∆LCB (Slika 17) velja:

• α = α1 (kot ob prečnici),

• β = β1 (kot ob prečnici, saj KI ‖ CL),

• γ = γ1 (če sta dva para kotov skladna, je skladen tudi tretji par),

17

sta trikotnika ∆KIB ∼ ∆LCB podobna trikotnika.

Iz podobnosti trikotnikov ∆KIB ∼ ∆LCB dobimo (Slika 17):

IB

BC=KB

BL.

Po Trditvi 4.4 so razmerja enaka razmerju v slikovni ravnini rs.

Slika 18: Razmerje r:s.

Da določimo rs, dodamo dve vodoravni daljici: daljico CN in daljico VH (Slika 19). Na-

tančneje si pogledamo spodnji del nastale slike.

Slika 19: Shemo odrežemo po vodoravnici skozi točko v neskončnosti V.

Po 1. in 2. Talesovem izreku o posameznih odsekih lahko trdimo, da sta trikotnika ∆V LK

in ∆V CN podobna (slika 18), saj po 1. Talesovem izreku velja V N : V K = V C : V L,

po 2. Talesovem izreku pa velja V N : V K = NC : KL oziroma V C : V L = NC : KL,

torej sta dana trikotnika podobna.

18

Iz podobnosti trikotnikov ∆V LK ∼ ∆V CN lahko izrazimo:

r + s

b′=r + e

c′. (3)

Enačbo (3) pomnožimo z b′c′ in dobimo:

rc′ + sc′+ = rb′ + eb′,

izrazimo sc′ in dobimo:

sc′ =b′r + b′e− c′r

c′r.

Nato enačbo delimo še z c′r :s

r=b′r + b′e− c′r

c′r

Razmerje srzapišemo kot razmerje r

sin dobimo:

r

s=

c′r

b′r + b′e− c′r. (4)

Enako, kot smo prej trdili, da sta trikotnika ∆V LK in ∆V CN podobna, lahko s pomočjo

Talesovih izrekov trdimo tudi, da sta podobna trikotnika ∆V JB in ∆V HA, saj po 1.

Talesovem izreku dobimo enakost V H : V J = V A : V B, po 2. Talesovem izreku pa

dobimo še enakost V H : V J = AH : BJ oziroma V A : V B = AH : BJ . Vsi istoležni

odseki so torej v sorazmerju in zato sta trikotnika ∆V LK in ∆V CN podobna.

Iz podobnosti trikotnikov ∆V JB ∼ ∆V HA lahko izrazimo

r

b′=r − da′

. (5)

Sedaj bomo iz enačbe (5) eksplicitno izrazili r. Najprej enačbo (5) pomnožimo z b′a′ in

dobimo

ra′ = rb′ − b′d,

nato pa odštejemo rb′, da dobimo

ra′ − rb′ = −b′d.

Izpostavimo r

r(a′ − b′) = −b′d

19

in dobljeno enačbo delimo z a′ − b′:

r = − b′d

a′ − b′.

To enačbo lahko preoblikujemo v

r =b′d

b′ − a′. (6)

Enačbo (6) vstavimo v enačbo (4) in dobimo:

r

s=

c′ b′db′−a′

b′ b′db′−a′ + b′e− c′ b′d

b′−a′.

Nato v imenovalcu damo vse ulomke na skupni ulomek:

c′b′db′−a′

b′b′db′−a′ + b′b′e−b′a′e

b′−a′ − c′b′db′−a′

.

Ko razrešimo dvojni ulomek, ugotovimo, da se člen (b′ − a′) krajša in nam ostane

c′b′d

b′b′d+ b′b′e− b′a′e− c′b′d,

kjer lahko izpostavimo in krajšamo b′, da na koncu dobimo

r

s=

c′d

b′d+ b′e− a′e− c′d. (7)

Rekli smo, da bomo razmerje izrazili z a,b, c, d in e. To lahko zopet naredimo s pomočjo

podobnih trikotnikov in dobimo (Slika 20):

Slika 20: Podobni trikotniki - a’, b’ in c’ izrazimo z a, b in c.

a′

b′=

x

x+ d=a

binc′

b′=

y

y + e=c

b.

Iz tega sledia

a′=b

b′=c

c′. (8)

20

Po pravilu, da se ulomek ne spremeni, če števec in imenovalec množimo z istim številom,

lahko števec in imenovalec množimo z aa′, bb′

ali cc′, saj so po enačbi (8) razmerja enaka.

Najprej v enačbi (7) števec in imenovalec pomnožimo z aa′

in dobimo

IBBC

=r

s=

aa′c′d

aa′b′d+ a

a′b′e− e a

a′a′ − a

a′c′d.

Naš namen je izraziti razmerje rsz a, b, c, d in e, zato bomo z uporabo enačbe (8) krajšali

člene a′, b′ in c′. Z enakostjo razmerij iz enačbe 8 preuredimo dobljeno enačbo in dobimo

r

s=

cc′c′d

bb′b′d+ b

b′b′e− e a

a′a′ − c

c′c′d.

Okrajšamo ulomke in dobimo

IBBC

=r

s=

cd

d(b− c) + e(b− a)(9)

S tem smo dokazali veljavnost enačbe (1).

Sedaj na podoben način razrešimo še enačbo BJAB . Poglejmo si najprej novo shemo, ki

ustreza izračunu BJAB .

Slika 21: Shemo odrežemo po vodoravnici skozi točko v neskončnosti V.

21

Poglejmo si trikotnika ∆V KL ∼ ∆V NA. Po 1. in 2. Talesovem izreku o posameznih

odsekih lahko trdimo, da sta trikotnika ∆V KL in ∆V NA podobna (Slika 21), saj po

1. Talesovem izreku velja V N : V K = V A : V L, po 2. Talesovem izreku pa velja

V N : V K = NA : KL oziroma V A : V L = NA : KL, torej sta dana trikotnika podobna.

Tokrat iz podobnosti trikotnikov ∆V KL ∼ ∆V NA dobimo:

r + s

b′=s+ d

a′.

Izrazimo tokrat razmerje sr(ker je drugačna shema) in dobimo

r + s

b′=s+ d

a′⇒ ra′ + sa′ = sb′ + db′ ⇒ ra′ = sb′ + db′ − sa′ ⇒ r

s=sb′ + db′ − sa′

sa′.

Na koncu dobimos

r=

sa′

sb′ + db′ − sa′. (10)

Vidimo, da sta trikotnika ∆V CQ in ∆V BP podobna, saj po 1. Talesovem izreku velja

V C : V B = V Q : V P , po 2. Talesovem izreku pa velja se V C : V B = V Q : V P = c′ : b′.

Iz podobnosti trikotnikov ∆V CQ ∼ ∆V BP dobimo

s

b′=s− ec′⇒ sc′ = sb′ − eb′ ⇒ sb′ − sc′ = eb′ ⇒ s =

eb′

b′ − c′.

Dobili smo torej enačbo za naš s, ki se glasi:

s =eb′

b′ − c′. (11)

Enačbo (11) vstavimo v enačbo (10) in dobimo

s

r=

a′ eb′

b′−c′

b′ b′eb′−c′ + b′d− a′ b′e

b′−c′.

Nato v imenovalcu damo vse ulomke na skupni ulomek:

a′ eb′

b′−c′

b′ b′eb′−c′ + b′b′d−c′b′d

b′−c′ − a′ b′eb′−c′

Ko razrešimo dvojni ulomek, ugotovimo da se člen (b′ − c′) krajša in nam ostane

a′eb′

b′b′e+ b′b′d− c′b′d− eb′a′.

22

Izpostavimo člen b′ in krajšamo, da dobimo

a′e

b′e+ b′d− c′d− a′e. (12)

Sedaj lahko enačbo (12) poenostavimo s pomočjo enačbe (8) in dobimo

BJAB

=ae

d(b− c) + e(b− a). (13)

Dokazali smo enačbo (2), torej smo dokazali obe enačbi, ki nam določata položaj fotoa-

parata.

Zadnja naloga, ki jo moramo še narediti pri določanju položaja kamere, je njena vi-

šina. To bomo naredili na zelo preprost način, in sicer bomo samo pogledali, kje horizont

seka fotografijo. Višina kamere je višina te premice, ki se pojavlja nasproti zgradbe na

fotografiji.

Slika 22: Določanje višine kamere ob zajetju fotografije.[1]

23

5 Praktični del

Postopek, ki sem ga prevzel po Byersu, sem preveril še praktično. Najprej sem preveril z

manjšo škatlo, ki jo je bilo lahko izmeriti. Za začetek sem kamero položil na tla, torej naj

bi bila višina kamere enaka 0 cm, kar pa seveda ni res, saj višino določa leča in ne ohišje

fotoaparata. Dejanska višina je bila enaka višini središča leče, kar je bilo 3 cm.

5.1 Mala škatla pravokotne oblike

Na tla sem postavil škatlo kartonske oblike in jo fotografiral na oddaljenosti 85 cm, kar

se vidi na spodnji fotografiji.

Slika 23: Črna škatla pravokotne oblike.

Nato sem v programu Photoshop na fotografiji označil shemo, s katero sem analiziral fo-

tografijo po prej omenjenem postopku.

Slika 24: Črna škatla pravokotne oblike s shemo.

Nato sem s pomočjo orodja "Ruler" izmeril dolžine a, b, c, d in e na fotografiji v pikslih.

a = 93 px b = 104 px c = 85 px d = 155 px e = 250, 45 px

24

Izmeril sem tudi dimenzije škatle, in sicer višina škatle je bila enaka 5 cm, širina (krajša)

12 cm in dolžina (daljša) 20 cm. Ko sem izmeril vse potrebno na fotografiji in škatlo, sem

se lotil računanja položaja kamere po enačbah 1 in 2. Enota piksel se eliminira (ulomek),

zato jih pri izračunu nisem zapisal.

BI =dc

d(b− c) + e(b− a)BC =

85 · 155

155(104− 85) + 250, 45(104− 93)· 12 cm =

=13175

6463, 55· 12 = 43, 248 cm

Nato sem izračunal še dolžino vektorja BJ .

BJ =ae

d(b− c) + e(b− a)AB =

93 · 250, 45

155(104− 85) + 250, 45(104− 93)· 20 cm =

=23291, 85

6463, 55· 12 = 72, 071 cm

Dobil sem dolžini vektorjev BI in BJ , s pomočjo katerih sem določil pozicijo kamere P,

kar je razvidno na Sliki 12. Vidimo, da gre za enaka pravokotna trikotnika BIP in BJP ,

torej lahko razdaljo BP izračunamo po Pitagorovem izreku.

BP =√BI2 +BJ2 =

√(43, 248)2 + (72, 071)2 =

√7064, 618 = 84, 1 cm

Kot vidimo, se dobljeni rezultat ujema z dejansko postavitvijo kamere, saj je bila ka-

mera oddaljena 85 cm. Izračunana oddaljenost torej odstopa od dejanske za 1 cm. Sam

postopek merjenja dolžin na fotografiji v pikslih je zelo zahteven in v neprofesionalnih

programih, dostopnih na osebnem računalniku, je zelo težko določiti do nekaj milimetrov

natančno.

Preveril sem še višino kamere ob zajetju fotografije. Višino sem določil tako, kot sem

opisal v teoretičnem delu in je vidno na spodnji sliki.

Dejanska fotografija, na kateri sem določil višino, je bila zaradi dolžine zelenih premic

prevelika, da bi jo lahko vključil v diplomsko delo. Ko sem dobil presečišča, sem skozi

njiju narisal vodoravno premico. Nato sem izmeril razdaljo od horizonta do premice skozi

presečišči, in sicer 62 pikslov.

Nato sem teh 62 pikslov s pomočjo znane višine škatle v realnosti in na fotografiji, pretvoril

v višino položaja kamere v centimetrih.

62 pxh

=104 px5 cm

25

Slika 25: Prikazano je, kako sem podaljšal daljice, da sem dobil presečišče s horizontom

(zelene črte).

Preuredim enačbo in dobim

h =62 px · 5 cm

104 px= 3 cm.

Čeprav je bila kamera na tleh, je 3 cm pravilen rezultat, saj je sredina leče fotoaparata

ravno 3 cm nad tlemi.

Tako sem dobil položaj fotoaparata ob zajetju fotografije.

26

6 Zaključek

Pri opisanem postopku je velik problem, da je pri nekaterih fotografijah težko najti pri-

meren del zgradbe oziroma objekta za analizo. Prav tako je težko izmeriti samo zgradbo

in fotografijo. Potrebno je imeti dobro opremo, s katero se da natančno izmeriti potrebne

podatke. Da bi preveril, kolikšna je napaka pri merjenju pikslov, me je zanimala odvisnost

od dveh spremenljivk. Za lažjo primerjavo, so vse meritve podane v obliki koliko metrov

oziroma kolikšen del metra predstavlja 1 piksel. Najprej sem predpostavil, da na napako

vpliva resolucija fotografije, zato sem isti objekt fotografiral na isti razdalji z različnimi

resolucijami. Predpostavil sem tudi, in kar je za nas najpomembnejše, da na velikost

napake vpliva tudi razdalja fotoaparata od samega objekta. Meritve sem vpisal v tabelo

in narisal tudi graf.

6.1 Napaka odvisna od resolucije fotografije

Okno širine 1, 07 m sem fotografiral trikrat z različnimi resolucijami, in sicer 5152× 3864,

2560× 1920 in 640× 480, na isti oddaljenosti, in sicer 10 m. V Photoshopu sem izmeril

velikost okna v pikslih in pretvoril vse meritve v velikost 1 piksla v metrih, kar je razvidno

v spodnji tabeli.

Velikost 1 piksla v metrih

640× 480 2560× 1920 5152× 3864

0, 022 m 0, 0054 m 0, 0027 m

Tabela 1: Velikost 1 piksla v metrih pri različnih resolucijah.

Kot vidimo, je velikost 1 piksla v metrih odvisna od resolucije. Več slikovnih točk ima

fotografija, manjša je vrednost 1 piksla v metrih, kar posledično pomeni manjšo napako.

Da zmanjšamo napako, izberemo največjo možno resolucijo fotografije.

6.2 Napaka odvisna od oddaljenosti fotoaparata

Za nas pomembnejša pa je napaka, odvisna od oddaljenosti fotoaparata od objekta, saj

zgradbe fotografiramo na večji oddaljenosti, da zajamemo v objektiv celotno zgradbo.

27

Tokrat sem isto okno fotografiral iz treh različnih lokacij, in sicer na oddaljenosti 2, 5 m,

5 m in 10 m. Za samo primerjavo sem postopek ponovil pri dveh različnih resolucijah, in

sicer 5152× 3864 in 2560× 1920, kar je razvidno v spodnjih dveh tabelah.

Velikost 1 piksla v metrih 2560× 1920

2, 5 m 5 m 10 m

0, 0013 m 0, 0027 m 0, 0054 m

Tabela 2: Velikost 1 piksla v metrih v odvisnosti od oddaljenosti fotoaparata.

Velikost 1 piksla v metrih 5152× 3864

2, 5 m 5 m 10 m

0, 00064 m 0, 0014 m 0, 0027 m

Tabela 3: Velikost 1 piksla v metrih v odvisnosti od oddaljenosti fotoaparata.

Za lažjo predstavo si poglejmo dane podatke še v obliki grafov.

28

Slika 26: Graf vrednosti 1 piksla v metrih v odvisnosti od razdalje (2560× 1920).

Slika 27: Graf vrednosti 1 piksla v metrih v odvisnosti od razdalje (5152× 3864).

Kot je razvidno iz grafov, z oddaljenostjo narašča tudi vrednost 1 piksla v metrih, torej

se z oddaljenostjo fotoaparata povečuje tudi napaka pri merjenju razdalj. Ker je graf

linearen, lahko zapišemo enačbo za izračun vrednosti 1 piksla v metrih v1 za poljubno

29

razdaljo pri resoluciji 2560× 1920:

v1 = 0.00052 · d1, (14)

kjer je d1 oddaljenost fotoaparata od objekta in vrednost v2 za resolucijo (5152× 3864)

v2 = 0.00027 · d2, (15)

kjer je d2 oddaljenost fotoaparata od objekta.

Za zakjuček si poglejmo še, kaj to pomeni pri samem merjenju fotografije v pikslih. Po

enačbah (14) in (15) dobimo, da napaka pri merjenju za 1 piksel, na zajeti fotografiji

na oddaljenosti 10 m, pomeni 5 cm pri resoluciji 2560 × 1920 in 2, 7 cm pri resoluciji

5152× 3864, kar pomeni v prvem primeru 5 % napako in v drugem 2, 7 %. 5 cm oziroma

2, 7 cm se ne zdi veliko vendar je pri zgradbi dolžine 50 m to že 2, 5 m in 1, 35 m, kar

pa že spremeni samo lokacijo. Vidimo torej, da moramo biti pri merjenju fotografij na

računalniku zelo pozorni, saj hitro naredimo napako v vrednosti nekaj pikslov.

30

Literatura

[1] Byers, K. M., Henle, J. M.(Oktober 2004). Where the Camera Was. Mathematics

Magazine, Vol. 77, No. 4, pp. 251-259.Mathematical Association of America. Prido-

bljeno 10.3.2016, s http://www.jstor.org/stable/3219282.

[2] Crannell, A. (Oktober 2006). Where the Camera Was, Take Two. Mathematics

Magazine, Vol. 79, No. 4, pp. 306-308. Mathematical Association of America.

Pridobljeno 10.3.2016, s http://www.jstor.org/stable/27642958.

[3] Robin A. C. (Junij 1978). Photomeasurement. The Mathematical Gazette,

No. 420, pp. 77-85. The Mathematical Association. Pridobljeno 21.8.2017, s

http://www.jstor.org/stable/3617660.

[4] Pedagoška fakulteta, Cencelj, M. Pridobljeno 20.6.2017, s

http://www.pef.uni-lj.si/~matijac/UvodGeom.pdf.

[5] Fakulteta za matematiko in fiziko, Vavpetič A. Pridobljeno 20.6.2016, s

https://www.fmf.uni-lj.si/~vavpetic/APG/APG.pdf.

31

Kazalo slik

Slika 1: Razmerje odsekov a1, a2, b1, b2, c1 in c2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Slika 2: Razmerje odsekov a1, a2, b1 in b2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Slika 3: Shema za razdaljami na fotografiji a, b, c, d in e. . . . . . . . . . . . . 8

Slika 4: Prikaz projiciranja objekta na slikovno ravnino. . . . . . . . . . . . . 9

Slika 5: Vzporedne črte, ki niso vzporedne v slikovni ravnini, se sekajo v točki

v neskončnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Slika 6: Vse točke ležijo na vodoravni premici - horizont. . . . . . . . . . . . . 10

Slika 7: Vzporedne daljice, ki so vzporedne s slikovno ravnino, so vzporedne

tudi v slikovni ravnini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Slika 8: Razmerje X:Y na fotografiji in razmerje x:y v slikovni ravnini. . . . . 11

Slika 9: Črte, ki objekt povezujejo z opazovalcem. . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Slika 10: Fotografija John M. Greene Hall at Smith College [1]. . . . . . . . . 13

Slika 11: Shema dela fotografije za analizo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Slika 12: Tloris sheme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Slika 13: Shema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Slika 14: Točka v neskončnosti V in točka I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Slika 15: Točka P - položaj kamere ob zajetju fotografije. . . . . . . . . . . . . 16

Slika 16: Premica skozi točki C in L poteka skozi točko v neskončnosti V. . . . 16

Slika 17: Tloris sheme z označenimi koti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Slika 18: Razmerje r:s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Slika 19: Shemo odrežemo po vodoravnici skozi točko v neskončnosti V. . . . . 18

Slika 20: Podobni trikotniki - a’, b’ in c’ izrazimo z a, b in c. . . . . . . . . . . 20

Slika 21: Shemo odrežemo po vodoravnici skozi točko v neskončnosti V. . . . . 21

Slika 22: Določanje višine kamere ob zajetju fotografije.[1] . . . . . . . . . . . . 23

Slika 23: Črna škatla pravokotne oblike. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Slika 24: Črna škatla pravokotne oblike s shemo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Slika 25: Prikazano je, kako sem podaljšal daljice, da sem dobil presečišče s

horizontom (zelene črte). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Slika 26: Graf vrednosti 1 piksla v metrih v odvisnosti od razdalje (2560× 1920). 29

Slika 27: Graf vrednosti 1 piksla v metrih v odvisnosti od razdalje (5152× 3864). 29

32

Seznam tabel

Tabela 1: Velikost 1 piksla v metrih pri različnih resolucijah. . . . . . . . . . . . 27

Tabela 2: Velikost 1 piksla v metrih v odvisnosti od oddaljenosti fotoaparata. . 28

Tabela 3: Velikost 1 piksla v metrih v odvisnosti od oddaljenosti fotoaparata. . 28

33