Jocs d’atzar Angel Corberán i Francisco Montes Departament d’Estadística i I. O. Universitat de València
Jocs d’atzar
Angel Corberán i Francisco MontesDepartament d’Estadística i I. O.
Universitat de València
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 2
Probabilitat i jocs d’atzar (1)
La Probabilitat li ho deu tot als jocs d’atzar, pot ser l’afirmació us semble una mica exagerada , però així és. Si el Cavaller de Meré no li hagués posat a Pascal aquells dos famosos problemes, tot seguit en parlem, i aquest no li hagués fes partícip a Fermat de l’assumpte ...
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 3
Probabilitat i jocs d’atzar (2)
Parlarem doncs de jocs d’atzar, d’alguns d’ells és clar. En farem una mica d’història, obtindrem les probabilitats associades i, si cal, alguna anècdota.
Els origens. El cavaller de Méré
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 5
Els origens. El Cavaller de Méré (1)
L’any 1654 Antoine Gombauld, cavaller de Méré, va proposar a Pascal dos famosos problemes. Varen donar lloc a una fructífera correspondència entre Pascal i Fermat que és per a molts autors l’origen del Càlcul de Probabilitats modern.
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 6
Els origens. El Cavaller de Méré (2)
“Un problema relatiu als jocs d’atzar, proposat a un auster janseniste per un home de món, ha estat l’origen del Càcul de Probabilitats.” (Poisson, Recherches sur la Probabilité, 1837)
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 7
Blaise Pascal 1623-1662
Pierre Fermat 1601-1665
Els origens. El Cavaller de Méré (3)
Heus aquí als personatges:
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 8
Els origens. El Cavaller de Méré (3)
I heus aquí el lloc:
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 9
Pierre Remond de Montmort, al seu assaig sobre les jocs d’atzar conta l'història i recull part de la correspondència entre Pascal i Fermat.
Els origens. El Cavaller de Méré (4)
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 10
“En 1654 van proposar al Sr. Pascal aquests dos problemes. 1er. A dos jugadors els falten un cert nombre de punts es volen conèixer les seus sorts. 2on. Es vols conèixer en quants llançaments de dos daus es pot aconseguir avantatge d’obtenir sonnés”:
Els origens. El Cavaller de Méré (5)
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 11
Anem a pams. Parlem primer del segon problema, de la seua solució i dels comentaris que Pascal i Fermat en creuaren.
Aquest problema es també conegut en la literatura com la Paradoxa del cavaller de Méré. Veureu per què.
Els origens. El Cavaller de Méré (6)
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 12
Del que es tractava era de trobar el número mínim de llançament de dos daus per tal que la probabilitat d’obtenir al menys un doble 6 (sonnés) siga més gran (avantatge) que la de no obtenir-ne cap. Es a dir, que siga superior a 0.5
solució
La paradoxa del cavaller de Méré (1)
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 13
La solució no li va agradar al cavaller de Méré. Llegiu el que conta Montmort al respecte.
La paradoxa del cavaller de Méré (2)
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 14
I no li va agradar perquè el bon cavaller pensava que la probabilitat devia seguir les regles de l’Aritmètica. Pascal li ho explica a Fermat en aquesta carta.
La paradoxa del cavaller de Méré (3)
Carta de Pascal a Fermat el 29 de juliol de 1654
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 15
El comentari final de Pascal és ...
“... és un bon esperit, però no és Geòmetra; la qual cosa és, com sabeu, un gran defecte.”
La paradoxa del cavaller de Méré (4)
Carta de Pascal a Fermat el 29 de juliol de 1654
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 16
El problema dels punts (1)
El 1er problema que de Mèrè proposa a Pascal està lligat, al seu torn, a un altre: com repartir-se l’aposta quan el joc s’atura sense que cap dels jugadors haja assolit el nombre de punt necessaris per a guanyar.
Proposa Pascal que la manera justa de repartir-se l’aposta és fer-ho proporcionalment a la probabilitat que cada jugador té de guanyar el joc si aquest es reprengués.
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 17
El problema dels punts (2)
Podem enunciar el problema de la següent manera:
Dos jugadors A i B juguen a un joc consistent en un número indeterminat de partides. La probabilitat de guanyar en cada partida es p per a A i 1-p per a B. Aquell dels dos que abans arriba a vencer en r partides guanya el joc i l’aposta que feren. Si el joc es interromput abans de finalitzar, com hauria de repartir-se l’aposta?
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 18
El problema dels punts (3)
Vejam la solució i una taula de com repartir-se l’aposta en funció de p i r i els punts que li falten a cada jugador en interrompre’s el joc.
A B A Bp 5 5 3 6
0,1 0,0009 0,9991 0,0381 0,96190,2 0,0196 0,9804 0,2031 0,79690,3 0,0988 0,9012 0,4482 0,55180,4 0,2666 0,7334 0,6846 0,31540,5 0,5000 0,5000 0,8555 0,1445
El joc del Tretze
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 20
El joc del Trezte (1)
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 21
El joc del Trezte (2)
En essència el joc consisteix en que el jugador que per sorteig té la mà alça 13 cartes a l’atzar d’un baralla, una rere l’altra. Si en cap ocasió carta i ordre coincideixen paga a la resta de jugadors el que cadascun haja apostat i passa la mà al de la seua dreta. En cas contrari, guanya les apostes dels altres i comença de nou el compte d’1 a 13.
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 22
El joc del Trezte (3)
Al seu assaig sobre el jocs d’atzar, Montmort estudia el joc del Trezte i planteja i resol diferents problemes, que no són més que variants del jocs.
Aquest joc ha donat lloc al que en la literatura actual anomemen problema de les coincidències i que té múltiples versions.
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 23
El joc del Trezte (4)
Neutra.- Probabilitat de que al permutar aleatòriament els n primers números cap d’ells coincideisca amb el seu ordre natural.
Laboral.- Una secretaria introdueix a l’atzar n cartes adreçades a n clients en n sobres que tenen escrites les adreçes, probabilitat de que cap d’elles arribe al seu destinatari.
Lúdica.- En eixir d’una festa n convidats agafen els seus n barrets a l’atzar, probabilitat de que cap d’ells haja agafat el seu barret.
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 24
El problema de les coincidències (1)
Vegem les solucions i algunes curiositats relacionades amb el problema:
•la que va proposar el propi Montmort
•a partir del principi d’inclusió-exclusió
•emprant probabilitats condicionades
La Primitiva
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 26
La Primitiva (1)
En què consisteix el joc?
En endevinar total o parcialment els número de la combinació guanyadora, consistent en 6 números trets a l’atzar sense reemplaçament d’entre el 49 primers enters.
Hi ha una també extracció d’un número complementari d’entre els 43 que no formen part de la combinació guanyadora.
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 27
La Primitiva (2)
Els premis:
Categoria Números encertats1ª 62ª 5 + C3ª 54ª 43ª 3
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 28
La Primitiva (3)
Com de difícil és encertar alguns dels premis? Prou més del que ens agradaria com veure’m tot seguit.
Vegem-ho.
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 29
La Primitiva (4)
No cal dir que per a la resta de jocs de la família, Bonoloto i Gordo de La Primitiva, les probabilitats són les mateixes.
Tots tres jocs són un pou sense fons a l’hora de proveir material d’estudi i exemples.
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 30
La Primitiva (5)
La gent juga perquè els premis son sucosos i perquè confia en el que el LAE diu:
“el sorteig és a l’atzar”
Pot ser el primer que caldria fer es comprovar-ho. Hi moltes maneres de fer-ho. Vegem-ne algunes.
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 31
La Primitiva (6)
La primera i més obvia és veure si els números apareixen com cal. Es a dir, si les extraccions són de debò aleatòries.
Quantes vegades han apareguts el 49 números en la combinació guanyadora al llarg del temps? Comprovem si les freqüències són les que caldria esperar.
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 32
La Primitiva (7)
Si parlem de “... les freqüències que caldria esperar” és perquè sabem la probabilitat de que qualsevol del 49 números aparega en qualsevol de les 6 extraccions de cada sorteig.
Tenim clar que aquesta probabilitat es 1/49?
A partir d’aquí caldrà fer una mica d’Estadística amb les dades que segueixen.
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 33
número
50454035302520151050
freq
üènc
ia
700
680
660
640
620
600
580
560
47
45
40
39
35
28
27
24
21
20
16
Freqüències dels 49 números en els 5088 sorteigs de La Primitiva, Bonoloto i Gordo
(des de 17/10/1985 fins a 08/6/2003)
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 34
numero total esper. numero total esper.
1 634 623.02 26 639 623.022 605 623.02 27 655 623.023 623 623.02 28 592 623.024 616 623.02 29 604 623.025 598 623.02 30 647 623.026 641 623.02 31 646 623.027 627 623.02 32 641 623.028 599 623.02 33 645 623.029 601 623.02 34 632 623.0210 620 623.02 35 649 623.0211 615 623.02 36 628 623.0212 601 623.02 37 605 623.0213 604 623.02 38 631 623.0214 620 623.02 39 686 623.0215 604 623.02 40 588 623.0216 593 623.02 41 630 623.0217 631 623.02 42 629 623.0218 612 623.02 43 615 623.0219 617 623.02 44 633 623.0220 577 623.02 45 665 623.0221 650 623.02 46 611 623.0222 643 623.02 47 648 623.0223 640 623.02 48 627 623.0224 586 623.02 49 611 623.02
25 614 623.02
dist 38.0934dist. max 65.1708
Sorteigs de La Primitiva, Bonoloto i Gordo (des de 17/10/1985 fins a 08/6/2003)
5088 sorteigs
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 35
La Primitiva (10)
Una segona podiem dir-li “La comprovació del desconfiat”És la d’aquell que juga sempre el mateixos 6 números i un bon dia se’n adona que fa un bon grapat de setmanes que algun d’ells no ha eixit. D’aquí a la desconfiança del “... ja savia jo que això de que tots el números eixen per igual ...” no hi ha res.Vegem fins a quin punt en té motius.
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 36
La Primitiva (11) Sumas
Podríem també emprar la suma del números de la combinació guanyadora per a comprovar que el joc és “correcte”.
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 37
La Primitiva (12) Sumas
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 38
La Primitiva (13) Sumas
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 39
La Primitiva (14) Sumas
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 40
La Primitiva (15)
Però el joc dona també per a moltes curiositats, particularment aquells relacionades amb com juga la gent.
Trien els jugadors les seues apostes a l’atzar o ho fan deixant-se dur per Deu sap què?
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 41
5088 5088 5088 5088 5088
,78 5 200 10711 194809
0 1 64 4488 89503
0 0 5 644 16864
114 866 5392 108490 1444991
SORTEOS
Media
Moda
Mínimo
Máximo
ACERT6 ACERT5_C ACERT5 ACERT4 ACERT3
PERCENTILES
0 0 51 3163 60526
0 1 65 3962 76527
0 1 80 4679 89055
0 2 95 5374 99889
0 3 113 6209 113350
1 4 140 7389 131900
1 5 203 11444 211323
1 7 305 17823 341045
2 11 440 23867 430723
10
20
30
40
50
60
70
80
90
ACERT6 ACERT5_C ACERT5 ACERT4 ACERT3
Una estadística sobre els encertants de totes les categories en els 5088 sorteigs
La Primitiva (16)
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 42
ACERTANTES DE 6
3042 59,7877
1222 24,0173
459 9,0212
185 3,6360
78 1,5330
37 ,7272
20 ,3931
9 ,1769
10 ,1965
5 ,0983
5 ,0983
1 ,0197
4 ,0786
1 ,0197
2 ,0393
1 ,0197
1 ,0197
1 ,0197
1 ,0197
1 ,0197
1 ,0197
1 ,0197
1 ,0197
5088 100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
17
18
19
20
23
24
56
114
Total
Frecuencia Porcentaje
7,2%
9,0%
24,0%59,8%
3 o más
2
10
… i dels encerts dels 6 números
La Primitiva (17)
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 43
10 20 30 40
1 11 21 31 41
2 12 22 32 42
3 13 23 33 43
4 14 24 34 44
5 15 25 35 45
6 16 26 36 46
7 17 27 37 47
8 18 28 38 48
9 19 29 39 49
114 acertantes
10 20 30 40
1 11 21 31 41
2 12 22 32 42
3 13 23 33 43
4 14 24 34 44
5 15 25 35 45
6 16 26 36 46
7 17 27 37 47
8 18 28 38 48
9 19 29 39 49
20 acertantes
10 20 30 40
1 11 21 31 41
2 12 22 32 42
3 13 23 33 43
4 14 24 34 44
5 15 25 35 45
6 16 26 36 46
7 17 27 37 47
8 18 28 38 48
9 19 29 39 49
17 acertantes
I si la gent és capritxosa i una mica maniàtica a l’hora de jugar?
Com són les combinacions amb molts encertants? Heus aquí algunes d’elles.
La Primitiva (18)
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 44
número
50484644424038363432302826242220181614121086420
freq
üènc
ia
800
700
600
500
400
300
3626
25
15
75
Freqüència dels 49 números en les combinacions encertades
La Primitiva (19)
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 45
número
50484644424038363432302826242220181614121086420
freq
üènc
ia
440
420
400
380
360
340
320
45
44
39
383230
… i en les que no hi ha cap encertant
La Primitiva (20)
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 46
25
11
20 30
21 31 41
12 22
13 23 43
4 14 24 34
5 15 35 45
16 26 36 46
7 27 37
40
44
28 48
3
6
17 47
8
9 19 39
10
1
2 32 42
33
18 38
29 49
25
11
20 30
21 31 41
12 22
13 23 43
4 14 24 34
5 15 35 45
16 26 36 46
7 27 37
40
44
28 48
3
6
17 47
8
9 19 39
10
1
2 32 42
33
18 38
29 49
25
11
20 30
21 31 41
12 22
13 23 43
4 14 24 34
5 15 35 45
16 26 36 46
7 27 37
40
44
28 48
3
6
17 47
8
9 19 39
10
1
2 32 42
33
18 38
29 49
25
11
20 30
21 31 41
12 22
13 23 43
4 14 24 34
5 15 35 45
16 26 36 46
7 27 37
40
44
28 48
3
6
17 47
8
9 19 39
10
1
2 32 42
33
18 38
29 49
25
20 30
21 31 41
12 22
13 23 43
4 14 24 34
15 35 45
16 36
11
5
26 46
7 27 37
40
44
28 48
3
6
17 47
8
9 19 39
10
1
2 32 42
33
18 38
29 49
25
20 30
21 31 41
12 22
13 23 43
4 14 24 34
15 35 45
16 36
11
5
26 46
7
11
5
26 46
7 27 37
40
44
28 48
3
6
17 47
8
9 19 39
10
1
2 32 42
33
18 38
29 49
25
20 30
21 31
22
43
14 24 34
15 45
16 36
11
5
26 46
7
41
12
13 23
4
35
27 37
40
44
28 48
3
6
17 47
8
9 19 39
10
1
2 32 42
33
18 38
29 49
25
20 30
21 31
22
43
14 24 34
15 45
16 36
11
5
26 46
7
11
5
26 46
7
41
12
13 23
4
35
27 37
41
12
13 23
4
35
27 37
40
44
28 48
3
6
17 47
8
9 19 39
10
1
2 32 42
33
18 38
29 49
2515
36
11
5
26 46
7
41
12
13 23
4
35
27 37
40
44
28
20 30
21 31
22
43
14 24 34
45
16
48
3
6
17 47
8
9 19 39
10
1
2 32 42
33
18 38
29 49
2515
36
11
5
26 46
7
11
5
26 46
7
41
12
13 23
4
35
27 37
41
12
13 23
4
35
27 37
40
44
28
20 30
21 31
22
43
14 24 34
45
16
48
3
6
17 47
8
9 19 39
20 30
21 31
22
43
14 24 34
45
16
48
3
6
17 47
8
9 19 39
10
1
2 32 42
33
18 38
29 49
2515
36
11
5
26 46
7
41
12
13 23
4
35
27 37
40
44
28
20 30
21 31
22
43
14 24 34
45
16
48
3
6
17 47
8
9 19 39
10
1
2 32 42
33
18 38
29 49
2515
36
11
5
26 46
7
11
5
26 46
7
41
12
13 23
4
35
27 37
41
12
13 23
4
35
27 37
40
44
28
20 30
21 31
22
43
14 24 34
45
16
48
3
6
17 47
8
9 19 39
20 30
21 31
22
43
14 24 34
45
16
48
3
6
17 47
8
9 19 39
10
1
2 32 42
33
18 38
29 49
10
1
2 32 42
33
18 38
29 49
2515
36
11
5
26 46
7
41
12
13 23
4
35
27 37
40
44
28
20 30
21 31
22
43
14 24 34
45
16
48
3
6
17 47
8
9 19 39
10
1
2 32 42
33
18 38
29 49
2515
36
11
5
26 46
7
11
5
26 46
7
41
12
13 23
4
35
27 37
41
12
13 23
4
35
27 37
40
44
28
40
44
28
20 30
21 31
22
43
14 24 34
45
16
48
3
6
17 47
8
9 19 39
20 30
21 31
22
43
14 24 34
45
16
48
3
6
17 47
8
9 19 39
10
1
2 32 42
33
18 38
29 49
10
1
2 32 42
33
18 38
29 49
10 20 30 40
1 11 21 31 41
2 12 22 32 42
3 13 23 33 43
4 14 24 34 44
5 15 25 35 45
6 16 26 36 46
7 17 27 37 47
8 18 28 38 48
9 19 29 39 49
10 20 30 40
1 11 21 31 41
2 12 22 32 42
3 13 23 33 43
4 14 24 34 44
5 15 25 35 45
6 16 26 36 46
7 17 27 37 47
8 18 28 38 48
9 19 29 39 49
10 20 30 40
1 11 21 31 41
2 12 22 32 42
3 13 23 33 43
4 14 24 34 44
5 15 25 35
6 16 26 36 46
7 17 27 37 47
8 18 28 38 48
9 19 29
45
39 49
10 20 30 40
1 11 21 31 41
2 12 22 32 42
3 13 23 33 43
4 14 24 34 44
5 15 25 35
6 16 26 36 46
7 17 27 37 47
8 18 28 38 48
9 19 29
45
39
45
39 49
10 20 30 40
1 11 21 31
2 12 22 42
3 13 23 33 43
4 14 24 34 44
5 15 25 35
6 16 36 46
7 17 27 37
8 18 28
41
32
26
47
38 48
9 19 29
45
39 49
10 20 30 40
1 11 21 31
2 12 22 42
3 13 23 33 43
4 14 24 34 44
5 15 25 35
6 16 36 46
7 17 27 37
8 18 28
41
32
26
47
38
41
32
26
47
38 48
9 19 29
45
39
45
39 49
10 20 30 40
11
2 12
3 13 23
14 24 34 44
5 15 25 35
6 16
7 17 37
8 28
41
32
26
47
38
9 19 29
45
39
1 21 31
22 42
33 43
4
36 46
27
18 48
49
10 20 30 40
11
2 12
3 13 23
14 24 34 44
5 15 25 35
6 16
7 17 37
8 28
41
32
26
47
38
41
32
26
47
38
9 19 29
45
39
45
39
1 21 31
22 42
33 43
4
36 46
27
18 48
49
1 21 31
22 42
33 43
4
36 46
27
18 48
49
20 30
11
12
3 13 23
14 24 44
5 15 25
6
7
41
32
26
47
38
9
10 40
2
34
35
16
17 37
8 28
19 29
45
39
1 21 31
22 42
33 43
4
36 46
27
18 48
49
20 30
11
12
3 13 23
14 24 44
5 15 25
6
7
41
32
26
47
38
41
32
26
47
38
9
10 40
2
34
35
16
17 37
8 28
19 29
10 40
2
34
35
16
17 37
8 28
19 29
45
39
45
39
1 21 31
22 42
33 43
4
36 46
27
18 48
49
1 21 31
22 42
33 43
4
36 46
27
18 48
49
30
11
24 44
5 15 25
7
41
32
26
47
38
20
12
3 13 23
14
6
9
10 40
2
34
35
16
17 37
8 28
19 29
45
39
1 21 31
22 42
33 43
4
36 46
27
18 48
49
30
11
24 44
5 15 25
7
41
32
26
47
38
41
32
26
47
38
20
12
3 13 23
14
6
9
20
12
3 13 23
14
6
9
10 40
2
34
35
16
17 37
8 28
19 29
10 40
2
34
35
16
17 37
8 28
19 29
45
39
45
39
1 21 31
22 42
33 43
4
36 46
27
18 48
49
1 21 31
22 42
33 43
4
36 46
27
18 48
49
30
44
5
11
24
15 25
7
41
32
26
47
38
20
12
3 13 23
14
6
9
10 40
2
34
35
16
17 37
8 28
19 29
45
39
1 21 31
22 42
33 43
4
36 46
27
18 48
49
30
44
5
11
24
15 25
11
24
15 25
7
41
32
26
47
38
41
32
26
47
38
20
12
3 13 23
14
6
9
20
12
3 13 23
14
6
9
10 40
2
34
35
16
17 37
8 28
19 29
10 40
2
34
35
16
17 37
8 28
19 29
45
39
45
39
1 21 31
22 42
33 43
4
36 46
27
18 48
49
1 21 31
22 42
33 43
4
36 46
27
18 48
49
30
44
11
24
15 255
7
41
32
26
47
38
20
12
3 13 23
14
6
9
10 40
2
34
35
16
17 37
8 28
19 29
45
39
1 21 31
22 42
33 43
4
36 46
27
18 48
49
30
44
11
24
15 25
11
24
15 255
7
5
7
41
32
26
47
38
41
32
26
47
38
20
12
3 13 23
14
6
9
20
12
3 13 23
14
6
9
10 40
2
34
35
16
17 37
8 28
19 29
10 40
2
34
35
16
17 37
8 28
19 29
45
39
45
39
1 21 31
22 42
33 43
4
36 46
27
18 48
49
1 21 31
22 42
33 43
4
36 46
27
18 48
49
Els més jugats Els menys jugats
La Primitiva (21)
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 47
números
50454035302520151050
freq
üènc
ia d
el g
rup
510
500
490
480
470
460
450
I les dates de naixement?
La Primitiva (22)
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 48
Quant deuria costar una aposta de La Primitiva?
El que s’asigna per a premis és aproximadament el 61% de la recaudació
Categoria Premio medio en € Probabilidad V*P 6 aciertos 2.995.829,56 1 entre 13.983.816 0,21425 + comp 73.863,33 6 entre 13.983.817 0,03175 aciertos 2.788,01 252 entre 13.983.818 0,05024 aciertos 76,26 113.545 entre 13.983.819 0,07393 aciertos 8,00 246.820 entre 13.983.820 0,1412reintegro 1,00 1 entre 10 0,1000
Esperanza 0,6112
La Primitiva (23)
Jocs de guerra
No cal exgerar, digam-li
Sorteigs per a la guerra
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 50
Excedentes de cupo del 98 en España (1)
A finales de 1997 se celebró un sorteo para elegir a los llamados excedentes de cupo del reemplazo del 98.
El sorteo no fue equiprobable y los mozos no gozaron de la garantía de igualdad de oportunidades exigible.
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 51
Excedentes de cupo del 98 en España (2)El sorteo
• Los mozos implicados eran 165.342 y 16.442 habían de ser declarados excedentes de cupo.
• Se trataba de extraer un número entre el 1 (0) y el 165.342 (165.341) y designar excedentes a su poseedor y a los 16.441 siguientes (lista circular).
• El sorteo se efectuó con 6 bombos que contenían bolas numeradas tal como se indica:
B1={0,1}, Bk={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, k=2,…,6
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 52
Excedentes de cupo del 98 en España (3)Mecánica del sorteo
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 53
Excedentes de cupo del 98 en España (4)Probabilidades de extracción
La tabla anterior sugiere establecer la partición siguiente, constituida por subconjuntos en los que sí hay equiprobabilidad
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 54
Excedentes de cupo del 98 en España (5)Probabilidades de extracción
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 55
Excedentes de cupo del 98 en España (6)Probabilidades de extracción
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 56
Excedentes de cupo del 98 en España (7)Probabilidad de formar parte del excedente de cupo
Un mozo cualquiera n será declarado excedente de cupo si y solo si el número extraído pertenece al conjunto
Jn={n-16.441, n},
con el extremo inferior igual a 165.341-|n-16.441| si n-16.441<0, dado el carácter circular de la lista. Si mediante Jn designamos también el suceso, el número extraído pertenece al conjunto Jn, entonces
P(n excedente)=P(Jn)
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 57
Excedentes de cupo del 98 en España (8)Probabilidad de formar parte del excedente de cupo
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 58
Excedentes de cupo del 98 en España (9)Probabilidad de formar parte del excedente de cupo
número
180.000150.000120.00090.00060.00030.0000
pro
bab
ilid
ad
0,16
0,15
0,14
0,13
0,12
0,11
0,10
0,09
0,08
0,07
0,06
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 59
Excedentes de cupo del 98 en España (10)Conclusiones
• Las probabilidades obtenidas confirman lo que decíamos al principio y el diseño del sorteo hacía sospechar.
• Posibles alternativas hubieran podido ser:- Declarar excedentes a los 16.442 primeros, puesto
que la asignación de números había sido aleatoria- Efectuar extracciones de los bombos sin restricción
alguna hasta conseguir un número inferior al 165.342 (la probabilidad de repetir la extracción es 0.17)
I per acabar ...
La versió moderna del jugador professional
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 61
Novembre 2003 Matemàtiques Omnipresents 62