Sucesiones aritméticas y geométricas En el análisis de las sucesiones siempre está el análisis de patrones, los cuales han sido utilizados en diferentes áreas. En la actualidad se aplican fórmulas fi- nancieras, cuya base (en algunos casos) son las sucesiones geométricas, inclu- so algunos fenómenos de la naturale- za, como la reproducción de algunos seres vivos, pueden modelarse como sucesiones geométricas o aritméticas según la situación. Las sucesiones tanto aritméticas como geométricas han sido una temática que se ha desarrollado a lo largo de la historia sin definir un autor principal. Hay registros de diferentes culturas, por ejemplo en Babi- lonia, los créditos y los cálculos conllevaban de alguna manera una fórmula parecida al interés compuesto, lo cual requiere trabajo con sucesiones geométricas; los egipcios también trabajaron con la suma de sucesiones para expresar algunas fracciones; los grie- gos trabajaron con patrones y diseñaron números figurales como los que se observan en la primera imagen. Números figurales (triangulares y cuadrangulares) de la época de los griegos. Una de las sucesiones más famosas e importantes es la sucesión de Fibonacci, la cual modela algunas formas de la naturaleza. La unidad contiene un repaso sobre patrones, con el objetivo de identificar su secuencia y la forma en que se han generado para luego realizar un estudio generalizado. Luego se hará un estudio más amplio sobre las sucesiones aritméticas y geométricas, y se analiza- rá la suma de los primeros n términos de una sucesión.
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Sucesiones aritméticas y geométricas
En el análisis de las sucesiones siempre está el análisis de patrones, los cuales han sido utilizados en diferentes áreas. En la actualidad se aplican fórmulas fi-nancieras, cuya base (en algunos casos) son las sucesiones geométricas, inclu-so algunos fenómenos de la naturale-za, como la reproducción de algunos seres vivos, pueden modelarse como sucesiones geométricas o aritméticas según la situación.
Las sucesiones tanto aritméticas como geométricas han sido una temática que se ha desarrollado a lo largo de la historia sin definir un autor principal. Hay registros de diferentes culturas, por ejemplo en Babi-
lonia, los créditos y los cálculos conllevaban de alguna manera una fórmula parecida al interés compuesto, lo cual requiere trabajo con sucesiones geométricas; los egipcios también trabajaron con la suma de sucesiones para expresar algunas fracciones; los grie-gos trabajaron con patrones y diseñaron números figurales como los que se observan en la primera imagen.
Números figurales (triangulares y cuadrangulares) de la época de los griegos.
Una de las sucesiones más famosas e importantes es la sucesión de Fibonacci, la cual modela algunas formas de la naturaleza.
La unidad contiene un repaso sobre patrones, con el objetivo de identificar su secuencia y la forma en que se han generado para luego realizar un estudio generalizado. Luego se hará un estudio más amplio sobre las sucesiones aritméticas y geométricas, y se analiza-rá la suma de los primeros n términos de una sucesión.
162
1.1 Patrones
Un patrón -
-
2 8 12
2 8 12
Uni
dad
6
n n
1.2 Patrones generalizados
Observa la siguiente secuencia:
n
sucesiónan n
a1 a2 a an n.
término n n término general an n
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ejemplo
n1 si n
–1 si n
-
a1 a2 a an
an
a) an n an n – 2 c) an n an n2
T
Tn
12
11 16
11
an n n
a a a
-
a1
a2
an an–1 an–2
2T
• • • -
Uni
dad
6
Término a1 a2 a a a a6 a a8 a aNúmero de elementos 11 21
a2 – a1
a – aa – a8
diferencia
2 2 2112
-
-
166
an–1 an
an an a2 a1 a a2 a a
a2 a1 a a2 a a a a an–2 an an–1 an–2 an an–1
an an–1
an–2
an
an
an a a
a a2
a2 a1
a1
n
n
n–2
n–1
n
n
n–2
an n an a1 n
d an a1 d n – 1).
a) an n – 1) b) an n – 1) c) an n – 1)
d) an n – 1) e) an n an n – 1)
g) an n an n – 1) i) an n – 1)
12
1
1
Ejemploan n -
a1
n
a a12 12a a
a1 d
n n
-an a1 – d dn
an n an n
Uni
dad
6
2
2 21
n n nn n an a1 d n
an n
------------------
n – 11 n – 1
1n
n 2n – 2 2
n – 2
n n n n n n
n n nn n n
------------------
n n – 1)2n n n
n
a1 a2 a an–2 an–1 an
an an–1 an–2 a a2 a1
an a1 an–1 a2 an–2 a a an–2 a2 an–1 a1 an)
d
–d –d –d –d
d d d
2Sn
Sn
Sn
a1 an
d d
n n n a1 an n 12
n a1 an
an a1 n – 1)d n 12
n[2a1 n – 1)d
168
n
a1 a2 a an–2 an–1 an
ai desde i i igual ni
n
ai
an nan n an n an n
suma parcial serie -
an n -
a1
a
Sn 12
n a1 an) 12
i
n
ai12
n a1 an) 12
n[2a1 d n – 1) dSn
1 2 1 2 1 21 2
Uni
dad
6
an n
n
n
n n 1 n2 n – n n
n n nan n
-
a) an n an n
c) an n an n
e) an n i
ni
-
-
-
Carl Friedrich Gauss: Titan of Science
12
n[2a1 d n – 1)]
1
12
n[2a1 d n – 1)] n n – 1) n n – 1) n n n n2 n12
12a1
Si an d an a1 d n
a a
a a1 d a1 da a1 d a1 d
a – a a1 d – a1 – 2d d
d a1 a1
a1 an n n
a a a
a a6 a a8 a a a an
a1 a2 ni
n
ai <
d d
Uni
dad
6
1
1 116
116
1
Término a1 a2 a a a a6 a
Valor del área 1 1 1 1 1 1116
1a2 ÷ a1 11a ÷ a 11a ÷ a6 1 11
: 1
sucesión geométrica
razón
...
172
2.2 Sucesiones geométricas: término general*
Encuentra el término general de la sucesión geométrica de la clase 2.1.
Se sabe que si an–1 es el término n – 1, an es el siguiente término. Como cada término de la sucesión geomé-14