Jesús Moisés Castro Iglesias CALCULO DE ESTRUCTURAS y CONSTRUCCIÓN E.U.E.T.E.F – Pontevedra 2011
Jesús Moisés Castro Iglesias
CALCULO DE ESTRUCTURAS y
CONSTRUCCIÓN
E.U.E.T.E.F – Pontevedra 2011
CAPITULO I :
• Tensiones Principales
Lección 2 :
• 2.1 Componentes de un Vector. Cosenos directores.
• 2.2 Componentes del Vector Tensión
• 2.3 Expresión matricial le las componentes del Vector
• 2.4 Estado tensional de un punto
• 2.5 Teorema de Reciprocidad de las tensiones tangenciales.
• 2.6 Definición de las Tensiones Principales. Direcciones
Principales.
• 2.7 Cálculo Matricial. Ecuación característica.
• 2.8 Ejemplos
Componentes de un vectorComponentes de un vector
X
Y
Z
VVz
Vx
Vy
V = Vx + Vy + Vz
Vx = V· cos V·
Vy = V· cos V ·
Vz = V· cos V ·
Componentes del vector tensiónComponentes del vector tensión
i
j
k
z
x
y
x = ·
y = ·
z =
u = i + j + k
= 2 + 2 + 2
= x + y + z
dx dy
dz
Componentes de un vector en expresión matricialComponentes de un vector en expresión matricial
u
i
j
k
*
x
y
z
i
j
k
*
Estado tensional de un punto
x
y
z
nx
nx
xy
xz
xz
xy
yxny
yz
nz
zyzx
dxdy
dz
Estado tensional de un punto: Fuerzas
x
y
z
nxnx xy
xz
xz
xy
yxny
yz
nz
zy zx
dy·dz· nx +dx·dz· yx +dy·dx· zx = dy·dz· nx +dx·dz· yx +dy·dx· zx
dy·dz· xy +dx·dz· ny +dy·dx· zy = dy·dz· xy +dx·dz· ny +dy·dx· zy
dy·dz· xz +dx·dz· yz + dy·dx· nz= dy·dz· xz +dx·dz· yz + dy·dx· nz
dy·dx· nz
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
dy·dz· xz
dx·dz· yz
Cálculo de esfuerzos en “Z”:
x
y
z
nxnx xy
xz
xz
xy
yxny
yz
nz
zy zx
Mxz =(dy·dx· nz )·dy·1/2 - (dy·dx· nz )·dy·1/2
Myz =(dy·dx· nz )·dx·1/2 - (dy·dx· nz )·dx·1/2
(dx·dz· yz )·dy – (dy·dx· zy)·dz = 0 Mx = 0 =>
(dy·dx· zx )·dz – (dy·dz· xz )·dz = 0 My = 0 =>
(dx·dz· xx )·dy – (dy·dz· xy)·dx = 0 Mz = 0 =>
Teorema de la reciprocidad de las Tensiones Tangenciales
Los términos se anulan dos a dos:
Salvo
Estado tensional de un punto: Momentos
dx dy
dz
nz
Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales
zy = yz
zx = xz
xy = yx
yz
zy
Vectores tensión en un punto
Fx = 0 => nx dy dz + zx dx dy + yx dx dz = XFy = 0 => ny dx dz + zy dy dx + xy dy dz = YFz = 0 => nz dx dy + xz dy dz + yz dx dz = Z
Tomamos momentos respecto al eje Z, Y, X
Mx = 0 => ( zy dx dy ) dz - ( yz dx dz ) dy = 0My = 0 => ( zx dy dx ) dz - ( xz dy dz ) dx = 0Mz = 0 => ( xy dy dz ) dx - ( yx dx dz ) dy = 0
Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales
Como resumen Esfuerzos en X, Y,Z:
Tensiones principales de un punto
nx
xz
xy x
y
z N
d
dSx = d·
dSy = d· dSz = d·
Tensiones principales de un punto
nx
xz
xy x
y
z N
2
3
1
= 1+ 2 + 3
1 2 3
Condiciones de equilibrio
x d = nx d + yx d + zx d
y d = xy d + ny d + zy d
z d = xz d + yz d+ nz d
x
y
z
nx
ny
nz
xy
yx
zx zy
yz
xz
cosenos directores[ [ [ u
Matriz de tensionesMatriz de tensiones
T nx
ny
nz
xy
yx
zx zy
yz
xz
x
y
z
nx
ny
nz
xy
yx
zx zy
yz
xz
= T * u
cosenos directores
Tensiones y direcciones principales
0 = (nx - )* + yx * + zx * 0 = xy * + (ny - )* + zy * 0 = xz * + yz * + (nz -
)*
[ [ [ uExiste un plano cuya tensión es perpendicular a él:
Su determinante es :
(nx - ) yx zx
xy (ny - ) zy
xz yz (nz -)
= 0 que desarrollado es
- + I1 - I2+ I3 = 0
Calculo matricial
[ T ] =Matriz de tensionesEcuación de equilibrio
x = nx + yx + zx x nx yx zx
y = xy + ny + zy y = xy ny zy * z = xz + yz + nz z xz yz nz
= [ T ] * [u]
=nx
+ yx +
zx
= xy +
ny +
zy => = 0
= xz + tyz +
nz -
Invariante lineal = nx + ny + nz
Invariante cuadrático = nx ny ny nz + nx nz - 2
yx - zx -
yz
= T
> >
-3 + I1 2 - I2 + I 3
Ecuación característica : Direcciones Principales y Tensiones Principales
Calculo matricial
Cambio de ejes coordenados
u1* = u2
* = u3* =
r = xu1 + yu2 + zu3 REFERENCIA: Elasticidad, L. Ortiz Berrocal
r = x*u*1 + y*u*2 + z*u*3
x x*
x = x* + y* + z* y = * y*
y = x* + y* + z* z z*
z = x* + y* + z*
r = [R ] * [r*]
=nx
+ yx +
zx
= xy +
ny +
zy => = 0
= xz + tyz +
nz -- 3 + I1
2 - I2 + I 3
Cambio de ejes
Ecuación característica : Direcciones Principales y Tensiones Principales
Tensiones y direcciones principales
[ [ [ u
Tensiones principales : son las raíces de la ecuación
Ecuación característica o secular
- + I1 - I2+ I3 = 0
donde :
I1 = nx + ny+ nz
I2 = nxny+nynz+nznx-yz-
zx-xy
I3 = |
Tensiones PrincipalesTensiones Principales
T 1
2
3
= 1 . .i + 2 . .j + 3 . .k
n = . u = 1 . 2 + 2 . 2 + 3 . 2 n = dFN
dS
=dFt
dS 2 = 2 - n
2
Tensiones y direcciones principales
1
2
3
1 2 32
3
1
Direcciones principales
1
2
3
x y z
=
=>
x = 1
y = 2
z = 3 =>
12 2
2 32
x2 y2 z2+ + = 1Elipsoide de Lamé
Unidades utilizadas en Tensiones.
• Sistema C.G.S. => dynas/cm2 = 0,1 Pa• Sistema Internacional => Newton/m2 = 1 Pa• Sistema Técnico => 1 Kp/m2 = 9,8 Pa
• Utilizamos => 1 Kg/cm2 = 9,8 . 10 4 Pa = 10 4 Kp/m2
Conclusiones
Solicitaciones sobre un prisma mecánico.
=dF
dS n =
dFN
dS =
dFt
dS
Componentes Intrínsecas de la Tensión
Matriz de tensionesMatriz de tensiones
Tensiones principales 1 2 3
Cosenos directores = 1 . .i + 2 . .j + 3 . .k
Problema Nº 1
En un punto P de un sólido elástico la matriz de tensiones referida al triedro OXYZ es:
T
Calcular en el punto P el vector correspondiente a un plano cuya normal exterior está definida por un vector que forma ángulos iguales de 45º con los ejes X e Y y siendo positivas sus componentes.
Indicar si las tensiones principales son de tracción o de compresión.
Problema Nº 1
T
u = \ i + \ j + k
nx
ny
nz
xy
yx
zx zy
yz
xz x
y
z
\\
3·\0
2·\
= 3·\ i + 0 j + \ k
Problema Nº 1
0
0 = 3 - 4 2 - 4 +17
Representación Fórmula
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
-4,1
-3,6
-3,1
-2,6
-2,1
-1,6
-1,1
-0,6
-0,1 0,4
0,9
1,4
1,9
2,4
2,9
3,4
3,9
4,4
4,9
Tensión
Serie1
= f =-4,1 -102,761
-4 -95-3,9 -87,559-3,8 -80,432-3,7 -73,613-3,6 -67,096-3,5 -60,875-3,4 -54,944-3,3 -49,297-3,2 -43,928-3,1 -38,831
-3 -34-2,9 -29,429-2,8 -25,112-2,7 -21,043-2,6 -17,216-2,5 -13,625-2,4 -10,264-2,3 -7,127-2,2 -4,208-2,1 -1,501
-2 1-1,9 3,301-1,8 5,408-1,7 7,327-1,6 9,064-1,5 10,625-1,4 12,016-1,3 13,243-1,2 14,312-1,1 15,229
-1 16-0,9 16,631-0,8 17,128-0,7 17,497-0,6 17,744-0,5 17,875-0,4 17,896-0,3 17,813-0,2 17,632-0,1 17,359
-9,77E-15 170,1 16,5610,2 16,0480,3 15,4670,4 14,8240,5 14,1250,6 13,3760,7 12,5830,8 11,7520,9 10,889
1 101,1 9,0911,2 8,1681,3 7,2371,4 6,3041,5 5,3751,6 4,4561,7 3,5531,8 2,6721,9 1,819
2 12,1 0,2212,2 -0,5122,3 -1,1932,4 -1,8162,5 -2,3752,6 -2,8642,7 -3,2772,8 -3,608
1 2 3
Problema Nº 1
[T]
1 2 3
= 1 . .i + 2 . .j + 3 . .k
n = . u = 1 . 2 + 2 . 2 + 3 . 2 = 4·(2/4) +2,1·0 –2,1·(1/2) = 1,95
2 = 2 - n2 = 9·(1/4) + (1/2) – (1,95) 2
= 3·\ i + 0 j + \ k
Problema Nº 2
Las tensiones principales en un punto P de un sólido elástico, referidas a un sistema cartesiano ortogonal OXYZ y expresadas en MPa son:
Calcular la tensión correspondiente a un plano cuya normal exterior forma ángulos agudos iguales con los semiejes positivos del triedro OXYZ.
1 = 50/3.(2 .i + .j + k)
2 = .i - .j - .k
3 = .(i - .j + .k)
1 2 3
u1 = 1/3.(2 .i + .j + k)
u2 = 1/3·( .i - .j - .k)
u3 = .(-i + .j - .k)
(u1 )2= (4 + + )
(u2 )2 = ( + + )
(u3 )2 = (1 + + )
(u1 )2 +(u2 )2 +(u3 )2 = 1
Problema Nº 2
1 = 50/3.(2 .i + .j + k)
2 = .i - .j - .k
3 = .(i - .j + .k)
1 2 3
u1 = 1/3.(2 .i + .j + k)
u2 = 1/3·( .i - .j - .k)
u3 = .(-i + .j - .k)
= = = 3-1/2
2 + 2 + 2 = 1
u = i + j + k = 3-1/2· ( i + j + k)
x = x*+ y*+ z*
y = x*+ y*+ z*
z = x*+ y*+ z*
’ = u1·u = 3-1/2 ·1/3·(2 + 2 + 1) = 5· 3-3/2
’ = u2·u = 3-1/2 ·1/3·(2 - 1 - 2) = - 3-3/2
’ = u3·u = 3-1/2 ·1/3·(-1 + 2 - 2) = - 3-3/2
1
2
3
’
’
’
*
5· 3-3/2
- 3-3/2
- 3-3/2* = 250· (3-3/2 )·i - 30·3-3/2 ·j- 20·3-3/2 ·k
= 48,61 MPa