FACULTAD DE MATEM ´ ATICAS UNIVERSIDAD DE MURCIA TRABAJO FIN DE M ´ ASTER M ´ ASTER EN MATEM ´ ATICA AVANZADA Y PROFESIONAL Subgrupos finitos de anillos de divisi´ on Jes´ us Hern´ andez Gil Director: ´ Angel del R´ ıo Mateos Codirector: Osnel Broche Cristo CURSO ACAD ´ EMICO 2014/2015
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FACULTAD DE MATEMATICAS
UNIVERSIDAD DE MURCIA
TRABAJO FIN DE MASTER
MASTER EN MATEMATICA AVANZADA Y PROFESIONAL
Subgrupos finitos de anillos de division
Jesus Hernandez Gil
Director: Angel del Rıo Mateos
Codirector: Osnel Broche Cristo
CURSO ACADEMICO 2014/2015
Mi mas sincero agradecimiento a Angel del Rıo Mateos
por haberme guiado y ayudado a lo largo de este trabajo.
No solo agradezco su ayuda, sino tambien el esfuerzo que
ha puesto en mı y en mis problemas. Agradezco tambien
a Osnel Broche Cristo por haber asentado una perspecti-
va de estudio adecuada. Por ultimo, agradezco a Adolfo
Ballester-Bolinches y Enric Nart, que me sacaron de serios
para x ∈ L, σ, τ ∈ G. Por otra parte, L′v1 y Lv1 son subalgebras simples de B que son
K-isomorfas. Por el Teorema de Skolem-Noether (ver [Rei75, Teorema 7.21]), existe un auto-
morfismo θ de B, tal que θ(φ(x)) = x, para x ∈ L. Aplicando θ a las ecuaciones que determinan
la multiplicacion en B y poniendo wσ = θ(u′σ), para todo σ ∈ G, tenemos que
B = ⊕σ∈G Lwσ, wσx = σ(x)wσ, wσwτ = fσ, τwστ .
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Luego para cada σ ∈ G, wσv−1σ conmuta con cada elemento x ∈ L. Como L es su propio
centralizador, tenemos wσ = cσvσ para algun cσ ∈ L. Como {wσ} son una L-base para B,
entonces cσ ∈ L∗. Y entonces f y g son equivalentes, lo que demuestra el teorema, puesto que
si f es equivalente a g, entonces A ∼= B.
�
Corolario 3.34. Sea n = [L : K]. Entonces (L/K, f) ∼=Mn(K) si y solo si f es equivalente
al conjunto factor trivial.
Demostracion. Por el Teorema 3.33, solo necesitamos probar que (L/K, 1) ∼=Mn(K), donde
1 es el conjunto factor trivial. En estas condiciones,
(L/K, 1) = ⊕σ∈G Luσ, uσx = σ(x)uσ, uσuτ = uστ ,
para x ∈ L, σ, τ ∈ G. Sea x ∈ L, vamos a denotar por ρx a la multiplicacion de x por la
derecha en L. Tomamos un elemento generico a ∈ (L/K, 1), y lo expresamos de la forma
a =∑
σ∈G xσuσ. Definimos el homomorfismo de algebras
Ψ : (L/K, 1)→ HomK(L, L), dado por Ψ(a) =∑σ∈G
ρxσ ◦ σ.
Puesto que Ψ es un homomorfismo no nulo de anillos y (L/K, 1) es simple, Ψ es inyectiva.
Ademas, se tiene que dimK(L/K, 1) = dimK(HomK(L, L)) = n2. Ası que Ψ es un isomorfismo.
�
Teorema 3.35. Sea G = Gal(L/K), y sean f y g dos conjuntos factores de G a L∗. Entonces
se tiene la siguiente equivalencia en el grupo de Brauer Br(K):
(L/K, f)⊗K (L/K, g) ∼ (L/K, fg).
Demostracion. Ver [Rei75, Teorema 29.9].
�
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Pasamos ahora al estudio de un caso particular de productos cruzados. Consideramos L/K
una extension de Galois cıclica finita. Sea n el orden de Gal(L/K) y sea a ∈ K∗, formamos la
K-algebra asociativa:
A = (L/K, σ, a) = ⊕n−1j=0 Lu
j, ux = σ(x)u, un = a, x ∈ L,
donde identificamos u0 con el elemento unidad de A. Con la anterior estructura, llamamos a A
un algebra cıclica.
Esta claro que A es un producto cruzado con L-base {uj} y las siguientes relaciones:
ujx = σj(x)uj, uiuj =
ui+j, si i+ j < n
auk, con 0 ≤ k < n y k ≡ i+ j mod n, si i+ j ≥ n
para 0 ≤ i, j ≤ n− 1, x ∈ L. Ası A ∼= (L/K, f) donde f esta dado por
fσi, σj =
1, si i+ j < n
a, si i+ j ≥ n0 ≤ i, j < n.
Por el Teorema 3.33, sabemos que A es una K-algebra central simple, que contiene a L
como subcuerpo maximal, y que por tanto L es un cuerpo de escision de A por el Teorema 3.3
y la Proposicion 3.8.
Teorema 3.36. Sea G = Gal(L/K) = 〈σ〉 un grupo cıclico de orden n, y sea B = (L/K, g)
un producto cruzado, donde g es un conjunto factor normalizado. Entonces
(L/K, g) ∼= (L/K, σ, a), a =n−1∏j=0
gσj , σ ∈ K∗.
Demostracion. Ver [Rei75, Teorema 30.3].
�
Teorema 3.37. Sea Gal(L/K) = 〈σ〉 un grupo cıclico de orden n, y sean a, b ∈ K∗. Entonces:
i) (L/K, σ, a) ∼= (L/K, σs, as) para cada s ∈ Z, tal que m.c.d.(s, n) = 1.
ii) (L/K, σ, 1) ∼=Mn(K).
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iii) (L/K, σ, a) ∼= (L/K, σ, b) si y solo si
ba−1 ∈ NL/K(L∗).
En particular, (L/K, σ, a) ∼ K si y solo si a ∈ NL/K(L∗).
iv) (L/K, σ, a)⊗K (L/K, σ, b) ∼ (L/K, σ, ab).
Demostracion. Sean
A = (L/K, σ, a) = ⊕n−1j=0 Lu
j, B = (L/K, σ, b) = ⊕n−1j=0 Lv
j,
donde, para todo x ∈ L,
ux = σ(x)u, un = a; vx = σ(x)v, vn = b.
Si m.c.d.(s, n) = 1, entonces 〈σ〉 = 〈σs〉 y
A = ⊕n−1j=0 Lw
j, donde w = us.
Ademas, es facil comprobar las relaciones:
wx = σs(x)w, wn = as, x ∈ L,
por lo que se cumple i).
Para el apartado ii), nos fijamos en que si a = 1, entonces A ∼= (L/K, f) donde f = 1, y
por el Corolario 3.34, obtenemos este apartado.
Para iii), tomemos cualquier c ∈ L∗, entonces,
A = ⊕n−1j=0 L(cu)j,
y tenemos que
cux = σ(x)cu, x ∈ L,
(cu)n = cu · cu · · · cu = cσ(c) · · ·σn−1(c)un = (NL/K(c))a.
Entonces A ∼= (L/K, σ, aNL/K(c)). Recıprocamente, si tenemos un K-isomorfismo de A en B,
podemos suponer que A = B por el argumento utilizado en la demostracion del Teorema 3.33.
Pero entonces vu−1 centraliza L, y CA(L) = L, ası que v = cu para algun c ∈ L∗. Por lo tanto,
b = vn = (cu)n = (NL/K(c))a,
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como querıamos demostrar.
El apartado iv) es consecuencia del Teorema 3.35, observando la estructura de los conjuntos
factores f, g con f, g tales que A ∼= (L/K, f) y B ∼= (L/K, g).
�
Corolario 3.38. Sea A = (L/K, σ, a) un algebra cıclica. Entonces Exp(A) es el menor entero
positivo t tal que at ∈ NL/K(L∗). Si Exp(A) = [L : K], entonces A es un anillo de division.
Demostracion. Tenemos que [A]t = [(L/K, σ, a)⊗K · · · ⊗K (L/K, σ, a)] = [(L/K, σ, at)] en
Br(K) por el Teorema 3.37 apartado iv). Ası [A]t = 1 en Br(K) si y solo si at ∈ NL/K(L∗)
por los apartados ii), iii) del Teorema 3.37, puesto que [Mn(K)] = [K] en Br(K), para todo
n ≥ 1.
Para la segunda parte, sea n = [L : K], ası que [A : K] = [A : L] · [L : K] = n2. Si
A ∼= Mr(D) donde D es un anillo de division, pongamos m = Ind(A) = Ind(D). Entonces
n = mr. Como Exp(A)|Ind(A), tenemos que m = n, y entonces r = 1, teniendose ası que A es
un anillo de division.
�
Teorema 3.39. Supongamos que Gal(L/K) = 〈σ〉 es un grupo cıclico de orden n, y sea a ∈ K∗.
Sea E un cuerpo que contiene a K, y sea EL el menor subcuerpo que contiene a E y L en un
cuerpo F que contiene a E y L. Podemos escribir
〈σk〉 = Gal(L/L ∩ E) ∼= Gal(EL/E),
donde k es el menor entero positivo tal que σk fija L ∩ E. Entonces,
E ⊗K (L/K, σ, a) ∼ (EL/E, σk, a).
Demostracion. Ver [Rei75, Teorema 30.8].
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Teorema 3.40. (Teorema de la Norma de Hasse) Sean L una extension cıclica de un cuerpo
de numeros K y a ∈ K. Para cada primo p en K, elegimos un primo P en L que extienda p.
Entonces
a ∈ NL/K(L)⇔ a ∈ NLP /Kp(LP ) para cada p.
Demostracion. Ver [Rei75, Teorema 32.9].
�
3.5. El cuerpo de los numeros p -adicos Qp
En esta seccion se trata de abordar las propiedades elementales del anillo de los enteros
p-adicos Zp y el cuerpo de numeros p-adicos Qp.
A lo largo de la seccion, p es un numero primo. Para todo n ≥ 1, An = Z/pnZ, el anillo de los
enteros modulo pn. Para cada n > 1, tenemos un homomorfismo suprayectivo φn : An → An−1
dado por φ(x+ pnZ) = x+ pn−1Z para cada x ∈ Z. El nucleo de φn es pn−1An. La sucesion
· · · φn+1−−−→ Anφn−→ An−1
φn−1−−−→ · · · φ3−→ A2φ2−→ A1,
forma un sistema proyectivo indexado por los enteros mayores o iguales a 1.
En las condiciones anteriores, con tal sucesion (An, φn), llamamos lımite proyectivo de
(An, φn) (o simplemente An) al subgrupo de∏
n≥1An formado por los x = (xn) ∈∏
n≥1An
tales que φn(xn) = xn−1 para todo n ≥ 2.
Definicion 3.41. El anillo de los enteros p-adicos Zp es el lımite proyectivo del sistema (An, φn)
definido anteriormente, que se denota por Zp = lim←−An. Los elementos de Zp son llamados
enteros p-adicos. La suma y la multiplicacion estan definidos coordenada a coordenada.
Esta claro que Zp es un subanillo del producto∏
n≥1An. Para cada n ≥ 1, vamos a denotar
por πn : Zp → An al homomorfismo de anillos que asocia a un entero p-adico su n-esima
componente. Empecemos a estudiar algunas propiedades de Zp.
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Proposicion 3.42. Denotamos por ρpn el homomorfismo resultante de multiplicar por pn. La
sucesion 0→ Zpρpn−−→ Zp
πn−→ An → 0 es una sucesion exacta corta de grupos abelianos.
Lo anterior muestra que podemos identificar Zp/pnZp con An = Z/pnZ.
Proposicion 3.43. En el anillo de enteros p-adicos se cumplen:
i) Un elemento de Zp (respectivamente de An) es invertible si y solo si no es divisible por p.
ii) Si U denota el grupo Z∗p de los elementos invertibles de Zp, entonces todo elemento de Zppuede ser expresado de forma unica de la forma pnu, con u ∈ U y n ≥ 0.
Demostracion. Para demostrar i), es suficiente hacerlo para un elemento de An. Pero en An
sabemos que i) es cierto, puesto que los elementos invertibles en An son precisamente aquellos
que no pertenecen a pAn.
Para ii), sea x ∈ Zp un elemento no nulo. Sea n el menor entero positivo tal que φn+1(x) 6= 0,
entonces x = pnu, con u no divisible por p. Por tanto, u ∈ U .
�
Fijemos ahora notacion. Dado un elemento x ∈ Zp, lo expresamos de la forma explicada en
la Proposicion 3.43 ii), de la forma x = pnu. Al entero n se le llama la valoracion p-adica de x
y es denotada por vp(x). Ponemos vp(0) = +∞, y para x, y ∈ Zp tenemos:
Las anteriores formulas muestran facilmente que Zp es un dominio.
Con esta valoracion, podemos definir en Zp una metrica. Sean x, y ∈ Zp, definimos la
distancia como:
d(x, y) = e−vp(x−y).
Con esta metrica, el anillo Zp es un espacio metrico completo en el cual Z es denso (ver
[Ser73, Proposicion II.1.3]).
Definicion 3.44. El cuerpo de los numeros p-adicos, denotado por Qp, es el cuerpo de cocientes
de Zp.
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Una observacion directa es que Qp = Zp[p−1]. Utilizando la Proposicion 3.43, todo elemento
x de Qp puede ser expresado unicamente de la forma pnu con n ∈ Z y u ∈ U , donde recordemos
que U = Z∗p. Al entero n se le llama tambien valoracion p-adica del numero p-adico x, y se
denota por vp(x). Un elemento x ∈ Qp cumple vp(x) ≥ 0 si y solo si x ∈ Zp.
Pasamos ahora a estudiar el grupo multiplicativo de Qp. Otra vez aquı, tomamos U = Z∗p.
Fijamos notacion para el resto del documento. Para cada n ≥ 1, ponemos Un = 1 + pnZp,
que es el nucleo del homomorfismo πn : U → (Z/pnZ)∗. En particular, para n = 1 tenemos
el isomorfismo U/U1∼= (Z/pZ)∗ ∼= F∗p, donde Fp representa al cuerpo finito con p elementos.
Por lo tanto el cociente U/U1 es cıclico de orden p − 1. Los grupos Un forman una sucesion
decreciente de subgrupos de U que cumplen tambien U/Un ∼= (Z/pnZ)∗, y U = lim←−U/Un. Si
ahora n ≥ 1, el homomorfismo φ : Un/Un+1 → Z/pZ dado por φ(1 + pnx) = x mod p, donde
x ∈ Zp, es un isomorfismo. En lo anterior, se hace una identificacion de Z/pZ contenido en Zpviendo los elementos y ∈ Z/pZ como sucesiones x = (. . . , y, . . . , y) ∈ Zp. El isomorfismo es
consecuencia de la formula:
(1 + pnx)(1 + pny) ≡ 1 + pn(x+ y) mod pn+1.
Por induccion vemos que U1/Un tiene orden pn−1.
Lema 3.45. Sea 0 → Aα−→ E
β−→ B → 0 una sucesion exacta corta de grupos abelianos (con
notacion aditiva), con A y B finitos de ordenes a y b respectivamente, coprimos entre sı. Sea
B′ = {x ∈ E| bx = 0}. En estas condiciones, el grupo E = α(A)⊕B′, con B′ el unico subgrupo
de E isomorfo a B.
Demostracion. Como a y b son coprimos entre sı, existen enteros r, s ∈ Z tales que ar+bs = 1.
Sean x ∈ α(A) ∩ B′, e y el unico elemento de A tal que α(y) = x. Como x ∈ B′, se tiene que
bx = bα(y) = α(by) = 0, pero como α es inyectiva, se tiene que by = 0. Como a = |A| es
coprimo con b, se sigue que y = 0 y tambien x = 0. Por tanto α(A) ∩B′ = 0.
Todo elemento x ∈ E, puede ser expresado de la forma x = arx+ bsx. Si y ∈ E, esta claro
que β(by) = 0, por lo que by ∈ α(A), y entonces bE ⊆ α(A). Como consecuencia tenemos que
bsx ∈ α(A). Por otro lado, abE ⊆ aα(A) = α(aA) = 0 y por lo tanto arx ∈ B′. Con lo anterior,
queda probado que E = α(A) ⊕ B′. La proyeccion π : α(A) ⊕ B′ → B define un isomorfismo
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de B′ en B. Si B′′ es un subgrupo de E isomorfo a B, entonces bE ′′ = 0, ası que B′′ ⊆ B′, y
por lo tanto B′′ = B′.
�
Proposicion 3.46. Si U = Z∗p, entonces U = V × U1, donde V = {x ∈ U| xp−1 = 1} es el
unico subgrupo de U isomorfo a F∗p.
Demostracion. Podemos aplicar el Lema 3.45 a la sucesion
1→ U1/Un → U/Un → F∗p → 1,
haciendo la identificacion F∗p ∼= U/U1, puesto que el cociente U1/Un tiene orden pn−1, y F∗p tiene
orden p−1. Del Lema 3.45, obtenemos que U/Un contiene un unico subgrupo Vn isomorfo a F∗p,
y la proyeccion π : U/Un → U/Un−1 lleva isomorficamente Vn en Vn−1. Como U = lim←−U/Un,
pasando el lımite al subgrupo V de U isomorfo a F∗p, tenemos que U = V ×U1. La unicidad de
V se sigue de la de los Vn.
�
Corolario 3.47. El cuerpo Qp contiene las raıces (p− 1)-esimas de la unidad.
Para describir las unidades de Zp, estudiamos U1.
Lema 3.48. Sea x ∈ Un\Un+1 con n ≥ 1 si p 6= 2 y n ≥ 2 si p = 2. Entonces xp ∈ Un+1\Un+2.
Demostracion. Por hipotesis, x = 1 + kpn con k 6≡ 0 mod p. La formula binomial muestra
que
xp = 1 + kpn+1 + · · ·+ kppnp,
donde los terminos que no se han escrito son todos multiplos de p2n+1, y por tanto, multiplos
de pn+2. Ademas np ≥ n+ 2, ya que n ≥ 2 si p = 2. Lo que demuestra que
xp ≡ 1 + kpn+1 mod pn+2,
por lo que xp ∈ Un+1/Un+2.
�
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Proposicion 3.49. Si p 6= 2, el grupo multiplicativo U1 es isomorfo al grupo aditivo de Zp. Si
p = 2, el grupo multiplicativo U1 = {±1} × U2 y U2 es isomorfo al grupo aditivo de Z2.
Demostracion. Supongamos que p 6= 2. Elegimos un elemento α ∈ U1\U2, por ejemplo,
tomemos α = 1 + p. Por el Lema 3.48, tenemos que αpi ∈ Ui+1\Ui+2. Denotemos por αn a la
proyeccion de α en U1/Un, y entonces αpn−2
n 6= 1 y αpn−1
n = 1. Pero U1/Un tiene orden pn−1,
ası que es cıclico, generado por αn. Sea θn, α : Z/pn−1Z → U1/Un el isomorfismo dado por
θn, α(j) = αjn, donde Z/pn−1Z lo consideramos aditivamente, y U1/Un multiplicativamente. El
diagrama
Z/pnZθn+1, α //
��
U1/Un+1
��Z/pn−1Z
θn, α // U1/Unes conmutativo. De esto se observa que los θn, α definen un isomorfismo θ de Zp = lim←−Z/p
n−1Z
en U1 = lim←−U1/Un. Tenemos ya el resultado para p 6= 2.
Supongamos ahora que p = 2. Elegimos α ∈ U2\U3, ası que α ≡ 5 mod 8. Definimos como
anteriormente, los isomorfismos
θn, α : Z/2n−2Z→ U2/Un,
y al igual que antes el isomorfismo θ : Z2 → U2. Tenemos tambien el homomorfismo
U1π−→ U1/U2
∼= Z/2Z,
que induce un isomorfismo de {±1} en Z/2Z. De aquı se sigue que
U1 = {±1} × U2.
�
Teorema 3.50. El grupo multiplicativo Q∗p es isomorfo al grupo aditivo Z× Zp × Z/(p− 1)Z
si p 6= 2 e isomorfo al grupo aditivo Z× Z2 × Z/2Z si p = 2.
Demostracion. El resultado es consecuencia de la Proposicion 3.49, y del hecho que todo
elemento x ∈ Q∗p es expresable de manera unica de la forma x = pnu, para n ∈ Z, u ∈ U y
entonces Qp∼= Z× U . �
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Como Qp es conmutativo con respecto al producto, podemos considerar Q∗2p como el sub-
grupo multiplicativo de Q∗p dado por por
Q∗2p = {x2|x ∈ Q∗p}.
Los siguientes resultados determinan cuando un elemento de Qp es un cuadrado.
Teorema 3.51. Sean p 6= 2 y x = pnu ∈ Q∗p, con n ∈ Z y u ∈ U . Para que x sea un cuadrado,
es necesario y suficiente que n sea par y la imagen de u en F∗p = U/U1 sea un cuadrado.
Demostracion. Por la Proposicion 3.46, sabemos que U = V ×U1. Entonces descomponemos
u = vu1 con v ∈ V , u1 ∈ U1. La descomposicion Q∗p ∼= Z× V ×U1 del Teorema 3.50, demuestra
que x es un cuadrado si y solo si n es par y v, u1 son cuadrados. Sabemos que U1∼= Zp y como
p 6= 2, entonces 2 es un elemento invertible en Zp. Veamos ahora que, todo elemento de U1 es
un cuadrado. Como el grupo multiplicativo U1 es isomorfo al grupo aditivo de Zp, se tiene que
un elemento de U1 es un cuadrado si y solo si su imagen en Zp es un multiplo de 2. Como 2 es
invertible en Zp, todo elemento de Zp es multiplo de 2 y por lo tanto todo elemento de U1 es
un cuadrado. Por otro lado, V ∼= F∗p ∼= U/U1, y entonces, u es un cuadrado en Q∗p si y solo si v
es un cuadrado en F∗p.
�
Corolario 3.52. Si p 6= 2, el grupo Q∗p/Q∗2
p es isomorfo a Z/2Z × Z/2Z. Un conjunto de
representantes es {1, p, u, up}, donde u(p−1)/2 = −1.
Teorema 3.53. Un elemento x = pnu ∈ Q∗2 es un cuadrado si y solo si n es par, y u ≡ 1 mod 8.
Demostracion. Por un lado, esta claro que n ha de ser par. Por otro lado, U = {±1} × U2,
ası que para que x sea un cuadrado, u ha de pertenecer a U2, y ser un cuadrado en U2. Para
que un elemento de U2 sea un cuadrado, claramente ha de pertener a U3. De hecho, si elevamos
al cuadrado un elemento generico de U2 se comprueba que el subconjunto de U2 formado por
los elementos que son cuadrados, coincide con U3. Entonces, un elemento u ∈ U es un cuadrado
si y solo si u ≡ 1 mod 8.
�
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Por los apartados 6 y 7 del Ejemplo XI.2 de [Lam80], tenemos:
Teorema 3.54. i) Supongamos que F es un cuerpo local cuyo cuerpo residual tiene p ele-
mentos, con p impar. Si p ≡ 1 mod 4, entonces −1 es un cuadrado en F . Si p ≡ 3 mod 4,
entonces −1 es suma de dos cuadrados en F . En cualquiera de estos casos, H(F ) no es
un anillo de division.
ii) El algebra de cuaterniones H(Q2) es un anillo de division. Supongamos que F es una
extension finita de Q2, digamos [F : Q2] = n. Entonces H(F ) es un anillo de division si
y solo si n es impar.
Pasamos ahora a introducir unos resultados que seran de gran importancia en el estudio de
los Z-grupos, que se presentan sin demostracion ya que se alejan de la lınea de nuestro estudio.
El siguiente resultado determina extensiones no ramificadas del cuerpo de los numeros
p-adicos.
Teorema 3.55. Sean p un entero primo y n un entero coprimo con p. Sean ζn una raız n-esima
primitiva de la unidad en C y αn una raız n-esima primitiva de la unidad en una clausura
algebraica de Fp. Entonces la extension Qp(ζn)/Qp es no ramificada y Qp(ζn) tiene cuerpo
residual Fp(αn). Ademas, Gal(Qp(ζn)/Qp) es cıclico de orden On(p), generado por el unico
elemento σ de Gal(Qp(ζn)/Qp) que cumple σ(ζn) = ζpn. La aplicacion que asocia σ con el
automorfismo de Frobenius ρ : Fp(αn)→ Fp(αn), dado por ρ(x) = xp para todo x ∈ Fp(αn), es
un isomorfismo de Gal(Qp(ζn)/Qp) en Gal(Fp(αn)/Fp).
Demostracion. Ver [Ser79, Proposicion IV.4.16 y Corolario IV.4.1].
�
Pasamos ahora al caso de extensiones ramificadas de Qp.
Teorema 3.56. Sean p un primo y m ≥ 1. Entonces:
i) [Qp(ζpm) : Qp] = ϕ(pm) = (p− 1)pm−1.
ii) La aplicacion φ : (Z/pmZ)∗ → Gal(Qp(ζpm)/Qp) dada por φ(h) = σh, con σh(ζpm) = ζhpm,
es un isomorfismo.
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iii) Qp(ζpm)/Qp es una extension totalmente ramificada. El elemento π = 1 − ζpm es unifor-
mizador en RQp(ζpm ).
Demostracion. Ver [Ser79, Proposicion IV.4.17].
�
El siguiente resultado nos proporciona explıcitamente cuales son las extensiones maximales
no ramificadas de una extension de Qp, resultado de anadir una raız n-esima primitiva de la
unidad con n ∈ N.
Corolario 3.57. Sea n ∈ N, con n = pms y m.c.d.(p, s) = 1. La extension maximal no
ramificada de Qp en Qp(ζn)/Qp, es Qp(ζs).
El siguiente lema prueba que en extensiones totalmente ramificadas de la forma Qp(ζpa)/Qp,
la unica raız de la unidad que es una norma es el 1.
Lema 3.58. Sea K = Qp el cuerpo de los numeros p-adicos y sea L = Qp(ζpa) donde p es un
primo impar y a ≥ 1. Supongamos que x es una raız de la unidad en K tal que x = NL/K(y)
para algun y ∈ L. Entonces x = 1.
Demostracion. Denotemos por RL y RK los anillos de valoracion de L y K respectivamente,
y por UL y UK las unidades de RL y RK respectivamente. Podemos asumir a = 1, porque
Qp ⊂ Qp(ζp) ⊂ Qp(ζpa), y se tiene que
NQ(ζpa )/Qp(z) = NQp(ζ)/Qp(NQp(ζpa )/Qp(ζp)(z)),
para cualquier z ∈ Qp(ζpa). Como NL/K(1 − ζp) = p, el elemento 1 − ζp es uniformizador en
RL, y por tanto L = 〈1 − ζp〉 × UL. Ası que, como x ∈ UK , se tiene que y ∈ UL. La extension
L/K es totalmente ramificada y [L : K] = ϕ(p) = p−1 por el Teorema 3.56. Si denotamos por
p = (1− ζp) el ideal maximal de L, y σ es un K-automorfismo de L, entonces σ(y) ≡ y mod p,
puesto que RL/p ∼= RK/(p ∩RK) y σ actua trivialmente en K. Ası que
x = NL/K(y) =∏
σ∈Gal(L/K)
σ(y) ≡ yp−1 ≡ 1 mod p,
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ya que el cuerpo residual de L tiene p elementos. Ası x ≡ 1 mod (K ∩ p), con K ∩ p = (p).
Con esto, hemos visto que x ∈ 1 + pZp = U1. Como p 6= 2, por la Proposicion 3.49, se tiene
que U1∼= Zp (donde Zp se considera aditivamente). Ahora bien, Zp no tiene elementos de orden
finito, salvo el 0. Como x es una raız de la unidad y por tanto de orden finito, se tiene que
x = 1.
�
3.6. Teorema de Wedderburn
Dedicamos una seccion especıfica para el Teorema de Wedderburn, que se aplicara en la
clasificacion de los subgrupos finitos de anillos de division con caracterıstica no nula.
Teorema 3.59. (Wedderburn) Todo anillo de division finito es un cuerpo.
Demostracion. Sea R un anillo de division finito. Si ponemos Z = Z(R), sabemos que Z
es un cuerpo contenido en R. Supongamos que Z tiene q elementos. Podemos ver R como un
Z-espacio vectorial de dimension finita. Se sigue que R ∼= Zn como espacio vectorial sobre Z,
para algun n ∈ N. Probaremos que R = Z, o equivalentemente que n = 1.
Para cada a ∈ R, sea Ca = {x ∈ R |xa = ax}, que es un subanillo de division de R, y
contiene Z. Viendo Ca como Z-espacio vectorial, se sigue que Ca tiene orden qn(a) con n(a) ∈ N.
Veamos que para cada a se tiene que n(a)|n. El grupo R∗ tiene qn − 1 elementos. Como
Ca es un subanillo de division de R, se sigue que C∗a es un subgrupo de R∗ que tiene qn(a) − 1
elementos. Ası que (qn(a) − 1)|(qn − 1), lo que implica que n(a)|n como vamos a ver con el
siguiente razonamiento. Pongamos n = kn(a) + r con 0 ≤ r < n(a), k ∈ N. Puesto que tenemos
Veamos que α es inyectivo. Supongamos que (0, 1) 6= (n, g) ∈ L y que α(n, g) = 1. Entonces
α(n, g)(x) = n+ ρg(x) = x para todo x ∈ X. Pero esto es equivalente a que (ρg − 1)(x) = −n,
para todo x ∈ X. Esto no es posible, ya que ρg − 1 es biyectivo en X. Por tanto, α es inyectivo
y L es un grupo de permutaciones en el conjunto X. De hecho, L es transitivo en X, pues si
x1, x2 ∈ X, α(x2 − x1, 1)(x1) = x2.
Supongamos que g 6= 1. Para todo n ∈ N , existe x ∈ X de manera que (ρg − 1)(x) = −n,
equivalentemente, ρg(x) = x − n. Por tanto, α(n, g)(x) = n + ρg(x) = x. Es decir, para todo
(n, g) ∈ L con g 6= 1, α(n, g) fija un elemento de X. Ademas, α(n, g) no fija dos elementos de
X, pues ρg − 1 es biyectiva.
Ası que, si para (n, g) ∈ L se tiene que α(n, g) no fija ningun elemento de X, entonces
g = 1. Con esto, hemos visto ya que L es un grupo de Frobenius que actua en X y, por tanto,
G es un complemento de Frobenius que coincide con L0. Las propiedades de G se siguen del
Teorema 2.10.
�
La estructura de un subgrupo finito G de un anillo de division D dependera de si los
2-subgrupos de Sylow de G son cıclicos o cuaterniones. Si los 2-subgrupos de Sylow de G son
cıclicos, entonces G es de hecho un grupo metacıclico por el Teorema 2.16.
Definicion 4.3. Un Z-grupo es un subgrupo finito de un anillo de division, de manera que
todos sus subgrupos de Sylow son cıclicos.
Recordemos que si n > 0, Cn denota un grupo cıclico de orden n, y si d|n, decimos que Cd
es un subgrupo de Cn, identificando Cd con el unico subgrupo de Cn de orden d. El siguiente
83
teorema proporciona la estructura de los Z-grupos.
Teorema 4.4. Si X es un grupo finito de manera que todos sus subgrupos de Sylow son cıclicos,
entonces X es el producto semidirecto CmoCn donde los enteros m y n son coprimos. Si CmoCnes un Z-grupo, entonces para todos los primos q|n el subgrupo Cq de Cn centraliza Cm.
Demostracion. La primera parte es el Teorema 2.16. Si ahora X es un Z-grupo, entonces X
es un complemento de Frobenius. En particular, los subgrupos de X de orden pq son cıclicos.
Con esto, la segunda parte es consecuencia de la Proposicion 1.19.
�
Para el siguiente resultado, recordemos que H(F ) es el algebra de cuaterniones(−1,−1
F
)sobre
un cuerpo F , que por el Lema 1.31, es una F -algebra central simple con ındice de Schur 2.
Teorema 4.5. Sea F una extension finita de Galois de Q. Entonces H(F ) es un algebra de
division si y solo si F es un cuerpo real, o tanto el ındice de ramificacion como grado residual
del racional primo 2 en la extension F/Q son impares.
Demostracion. En primer lugar, H(Qp) es un algebra de division si y solo si p = 2 por el
Teorema 3.54, que utiliza el criterio de que H(F ) es un algebra de division si y solo si −1 no es
suma de dos cuadrados en F (Teorema 1.32).
Si F es un cuerpo real, entonces H(F ) ⊆ H(R), y por tanto H(F ) es un algebra de division
puesto que −1 no es suma de dos cuadrados en R. Ası que, podemos suponer que F no tiene
inclusiones reales. Claramente H(F ) es un algebra de division si y solo si Ind(H(F )) = 2, lo
cual por el Teorema 3.20, pasa si y solo si H(Fp) es un algebra de division para algun primo
p de F . Tal p claramente define una valoracion no arquimediana por hipotesis, ası que, por
los primeros comentarios de la demostracion, el primo p contiene al racional primo 2. Ademas,
H(Fp) es un algebra de division si y solo si el ındice [Fp : Q2] = e(2, F/Q)f(2, F/Q) (Teorema
3.22) es impar por el Teorema 3.54.
�
84
4.1. Clasificacion de los Z-grupos
En esta seccion, vamos a estudiar como deben ser los grupos de la forma Cm oCn para ser
Z-grupos, esto es, que puedan ser inyectados en un anillo de division.
La clasificacion de los Z-grupos se recoge en el siguiente teorema, que demostraremos al
final de la seccion.
Teorema 4.6. Un grupo G es un Z-grupo si y solo si es isomorfo a uno de los siguientes tipos:
a) Cm o C4 donde m es impar y C4 actua por inversion en Cm.
b) De la forma G0×G1× · · · ×Gs donde s ≥ 0, los ordenes |G0|, . . . , |Gs| son coprimos, G0
es cıclico y cada G1, . . . , Gs no es cıclico y tiene la forma
Cpa o (Cqb11× . . .× Cqbrr ),
donde p, q1, . . . , qr son distintos primos con cada Cpa o Cqb no cıclico satisfaciendo la
siguiente condicion: si Cqα es el nucleo de la accion de Cqb en Cpa entonces, para cada
factor no cıclico Cpa o Cqb de Gi,
q ·Oqα(p) - O|G|/|Gi|(p),
y se cumple una de las siguientes condiciones:
i) q = 2, p ≡ −1 mod 4, y α = 1.
ii) q = 2, p ≡ −1 mod 4, y 2α+1 - (p2 − 1).
iii) q = 2, p ≡ −1 mod 4, y 2α+1 - (p− 1).
iv) q > 2, y qα+1 - (p− 1).
Recordemos que ζi, denota siempre una raız compleja i-esima primitiva de la unidad. Sea
G = Cm o Cn un grupo no cıclico con m.c.d.(m, n) = 1. Podemos asumir que, para todo
primo p|n, el p-subgrupo de Sylow de Cn actua no trivialmente en Cm. En otro caso, si para
el primo p|n, Cps es un subgrupo de Sylow de Cn que actua trivialmente en Cm, tenemos que
85
Cm o Cn = (Cm × Cps)o Cn/ps ∼= Cmps o Cn/ps . Sea n = st, donde Cs es el nucleo de la accion
de Cn en Cm. Recordemos que la notacion utilizada en este caso para G es G = Cm oCs Cn,
que vamos a simplificar a G = Cm os Cn. Por lo anterior, para un primo p se tiene que p|n si
y solo si p|t. Sea L = Q(ζm, ζs) = Q(ζms). Como Ct ∼= Cn/Cs se inyecta en Aut(Cm), L tiene
un unico automorfismo σ de orden t que deja fijo a ζs y que actua en ζm de igual manera que
actua Ct en Cm. Sea K el cuerpo fijo por el grupo 〈σ〉. Con lo anterior, podemos formar el
algebra cıclica A = (L/K, σ, ζs), con L-base {ui}t−1i=0, que por el Teorema 3.33, sabemos que es
una K-algebra central simple.
Vamos a ver ahora, que un grupo G = Cm o Cn sera un subgrupo de un anillo de division
(un Z-grupo) si y solo si A es un anillo de division.
Supongamos que G = Cm oCn, y pongamos Cm = 〈x〉, y Cn = 〈y〉, con x e y elementos de
ordenes m y n respectivamente. La aplicacion Φ : G → A dada por Φ(x) = ζm, Φ(y) = u es
un homomorfismo inyectivo de grupos que nos permite identificar G contenido en A. De esta
manera, si A es un anillo de division, entonces G es un Z-grupo. Supongamos ahora que G es
un subgrupo de un anillo de division D. La aplicacion Ψ : A → D definida por Ψ(ζm) = x,
Ψ(u) = y y extendiendo por linealidad, es un homomorfismo de anillos cuya imagen es Q[G].
Mediante la identificacion anterior de G en A, tenemos que A = L[G]. Pero L[G] ∼= Q[G], que es
un anillo de division por el Teorema 4.2. Ası que, si G es un subgrupo de un anillo de division,
entonces A es un anillo de division.
Usando la notacion anterior para Φ, tenemos que G = Cm o Cn ∼= 〈ζm〉 o 〈u〉. Entonces,
G/L ∩G es un grupo cıclico de orden t, y por tanto, podemos verlo isomorfo a 〈σ〉.
Supongamos ahora que n = qt11 · · · qtrr , es la factorizacion de n en primos distintos. Escribimos
ti = αi + βi, donde Cqαii es el nucleo de la accion de Cqtii
en Cm.
Lema 4.7. En las condiciones anteriores, e identificando G sumergido en A. El algebra cıclica
A = (L/K, σ, ζs) es un anillo de division si y solo si L[P ] es un anillo de division para todo
subgrupo de Sylow P/(L ∩G) de G/(L ∩G).
Demostracion. Si A es un anillo de division, entonces L[P ] es un anillo de division para todo
subgrupo de Sylow P/(L∩G) de G/(L∩G). Recıprocamente, supongamos que L[P ] es un anillo
de division para todo P y sea M un ideal minimal por la derecha no nulo de A. Considerando
86
M como L-modulo y L[G]-modulo por la derecha, tenemos dimL(M) = dimL[P ](M) · [L[P ] : L]
que divide a [A : L], ya que A es una suma directa de copias de M . Por otro lado, tenemos que
[A : L] = |G/(L∩G)|, y [L[P ] : L] = [P : L∩G] para cada P/(L∩G) subgrupo de Sylow de
G/(L∩G). Pero entonces [A : L] | dimL(M), puesto que |G/(L∩G)| =∏
[P : L∩G]. Ası que
dimL(M) = [A : L], y entonces M = A, es decir, A es un anillo de division.
�
Por el Lema 4.7, el algebra cıclica A sera un anillo de division si y solo si para cada 1 ≤ i ≤ r,
(L/F, τ, ζs) es un anillo de division, con ζs una raız s-esima primitiva de la unidad, τ = σt/qβii
de orden qβii , que actua en ζm de igual manera que Cqβii
en Cm y F es el cuerpo fijo por 〈τ〉. El
anterior, es claramente el algebra cıclica relativa al grupo
Chi oqαiiCqtii, donde hi = m
∏j 6=i
qαjj .
Por lo que Cm o Cn es un Z-grupo si y solo si
Chi oqαiiCqtii, con hi = m
∏j 6=i
qαjj ,
es un Z-grupo para todo 1 ≤ i ≤ r.
Renombramos la notacion anterior para estudiar el caso particular G = (Cpa o Cqb) × Cr,
que nosotros vemos como G = (Cr×Cpa)oCqb , para p, q primos distintos y r un entero positivo
coprimo con pq. Ponemos b = α + β, donde Cqα es el nucleo de la accion de Cqb en Cpa . Como
Cqβ se sumerge en Aut(Cpa), se tiene que qβ|ϕ(pa) = (p − 1)pa−1, ası que qβ|(p − 1). Para el
caso α = 0, el algebra cıclica relativa al grupo serıa de la forma B = (Q(ζrpa)/F, τ, 1), donde
τ ∈ Gal(Q(ζrpa)/Q), con τ de orden qβ, actuando en ζrpa de igual manera que Cqβ en Cr ×Cpa
y F el cuerpo fijo por 〈τ〉. De esta manera, el conjunto factor de la F -algebra B es el trivial,
y por el Corolario 3.34, B ∼=Mn(F ), para n = [Q(ζrpa) : F ] = qβ. Ası que, B es un anillo de
division si y solo si n = 1, forzando a que τ tenga orden 1, es decir, que β = 0. Ası que, para
evitar casos triviales, asumimos α, β ≥ 1. Ası, p es impar. Si q = 2 y p ≡ −1 mod 4, escribimos
p2 − 1 = 2dt con 2 - t. En cualquier otro caso, ponemos p− 1 = qdt con q - t.
El algebra cıclica relativa al grupo G, es de la forma A = (L/K, σ, ζqα), con {ui}qβ−1i=0 una
L-base de A, donde L = Q(ζrpaqα), σ ∈ Gal(L/Q) tiene orden qβ, fija a ζqα y actua en ζrpa de
igual manera que Cqβ en Cr × Cpa , y K es el cuerpo fijo por 〈σ〉.
87
Lema 4.8. Sean L = Q(ζrpaqα), σ ∈ Gal(L/Q) de orden qβ que fija ζqα y actua en ζrpa de igual
manera que Cqβ en Cr × Cpa, y K es el cuerpo fijo por 〈σ〉. Entonces, A = (L/K, σ, ζqα) es
un algebra de division si y solo si se cumple uno de los siguientes apartados, donde denotamos
δ = Orqα(p)/Oqα(p):
i) q = 2, α = β = 1, y r = 1.
ii) q = 2, p ≡ −1 mod 4, α = 1, y 2 - δ.
iii) α ≥ d y q - δ.
Demostracion. El centro de A es K, que es un cuerpo de numeros. Por el Teorema 3.20,
tenemos que Exp(A) = Ind(A). Por lo tanto, se tiene que A es un algebra de division si y
solo si Exp(A) = Deg(A) = qβ. El algebra A, es de hecho, un algebra cıclica, ası que Exp(A)
es el menor entero positivo e tal que ζeqα ∈ NL/K(L∗) por el Corolario 3.38. Por el Teorema
de la Norma de Hasse (Teorema 3.40), ζeqα ∈ NL/K(L∗) si y solo si ζeqα ∈ NLP /Kp(L∗P ) para
todos los primos p de K, siendo en cada caso P un primo de L que define una valoracion en
L que, restringida a K, es igual a la valoracion dada por p. Ademas, por el Teorema 3.20,
Exp(A) = m.c.m.(Exp(Ap)| p es un primo de K). Debemos considerar varios casos:
a) Si p es un primo infinito de K, de manera que Kp = C, entonces Kp = LP y ζqα es
trivialmente una norma.
b) Si p es un primo finito de K, tal que p ∩ Z = kZ, con k un entero primo distinto de p,
consideramos el siguiente diagrama de cuerpos:
LP
Kp
Qk(ζrqα) Qk(ζpa)
Qk
88
La extension LP/Qk(ζrqα) es no ramificada por los Teoremas 3.55 y 3.56, ası que la
extension LP/Kp tambien es no ramificada. Pero entonces ζqα , que es unidad, es una
norma por el Corolario 3.26.
c) Supongamos que p es un primo infinito de K, de forma que Kp = R. Como q|(p − 1)
tenemos que pa > 2 y por tanto L * R. Ası que LP = C. Pero [LP : Kp] = 2 divide a
[L : K] = qβ por el Corolario 3.19 y el Teorema 3.22, ası que q = 2. Como ζrqα ∈ K ⊂ R y
ζrqα 6= 1, tenemos que ζrqα = −1, y por tanto α = 1 = r. Tenemos ahora que considerar el
menor e para el que (−1)e es una norma de C en R. En este caso, la norma es simplemente
el cuadrado del modulo. Por lo que el menor e que cumple esta propiedad es 2. Es decir,
se verifican las condiciones del apartado i).
Recıprocamente, supongamos q = 2 y α = β = r = 1. Recordemos que G = (Cpa o2 C22).
Entonces A = (L/K, σ, −1), con σ ∈ Gal(L/K) de orden 2. El automorfismo σ, actua en
L por conjugacion compleja. Como K es el cuerpo fijo por 〈σ〉, K es real. Por el Corolario
3.38, Exp(A) = 2 = [L : K], por lo que A es un anillo de division.
d) Si p es un primo finito de K tal que p ∩ Z = pZ, consideremos el siguiente diagrama de
cuerpos:
LP
Kp
Qp(ζrqα) Qp(ζpa)
Qp
La extension Qp(ζpa)/Qp es totalmente ramificada y [Qp(ζpa) : Qp] = (p− 1)pa−1, por el
Teorema 3.56. La extension Qp(ζrqα)/Qp es no ramificada y [Qp(ζrqα) : Qp] = Orqα(p),
por el Teorema 3.55. Para simplificar notacion, vamos a denotar Orqα(p) por λ. Por
89
el Teorema 3.22, sabemos tambien que se tiene [LP : Kp] = e(p, L/K)f(p, L/K), y
e(p, L/K)f(p, L/K) = [L : K] = qβ, ya que la extension L/K es totalmente ramificada
en p. Como LP = Qp(ζrqα , ζpa), se tiene que [LP : Qp] = Orqα(p)ϕ(pa). Ası que, denota-
mos por h a [Kp : Qp(ζrqα)] = (p− 1)pa−1q−β. Utilizando el Corolario 3.28, tenemos:
ya que pm ≡ 1 mod q. Ası que el menor e para el cual qα|ehs = eq−β(pλ − 1)pa−1, es
e = qβ si y solo si qα es la maxima potencia de q que divide a pλ − 1, que sera cierto en
vista al anterior calculo si y solo si q - δ y qα es la maxima potencia de q dividiendo a
pm − 1. Por el Lema 1.20, la ultima condicion se mantiene si y solo si se cumple
o q = 2, p ≡ −1 mod 4, y α = 1,
o α ≥ d.
Juntando con lo anterior, tenemos que el menor e tal que ζeqα ∈ NL/K es qβ si y solo si
o q = 2, α = β = 1, y r = 1,
o q = 2, p ≡ −1 mod 4, α = 1, y 2 - δ,
o α ≥ d y q - δ.
�
90
Lema 4.9. Sean p, q, r y s numeros primos distintos entre sı, y b ∈ N. Entonces, los siguientes
grupos no son inyectables en anillos de division:
i) G = (Cp × Cr)o Cqb, donde qb 6= 4 y Cqb actua de forma no trivial en Cp y en Cr.
ii) G = (Cp × Cr × Cs)o C4, donde C4 invierte Cp y Cr, y centraliza Cs.
Demostracion. Empecemos con la prueba de i). Supongamos que G es inyectable en un anillo
de division, y entonces podemos verlo como subgrupo del anillo de division D = Q[G] con
centro F . Entonces, Ind(D) = qδ para algun δ ≥ 0. Consideremos el subgrupo H = CpoCqb de
G y la subalgebra A = Q[H] de D. La subalgebra A es un algebra cıclica con centro digamos
Z, e Ind(A) = qβ, donde b = α + β y qα es el orden del nucleo de la accion de Cqb en Cp.
Por el Teorema 3.20, existe un primo P de F de manera que, para el algebra DP = D⊗F FPse tiene que Ind(DP ) = Ind(D) = qδ, y de esta manera, DP es un anillo de division. El
subcuerpo de DP generado por Z y la complecion de Q, es una complecion de Z, digamos Zp,
para p un primo de Z. El algebra DP contiene la subalgebra AZp que es imagen homomorfica
de la Zp-algebra simple Ap = A ⊗Z Zp. Ası que, Ap es tambien un algebra de division, y en
particular, Ind(Ap) = qβ. La prueba del Lema 4.8, muestra que esto es posible solo cuando, o
bien p es un primo infinito de Z, de manera que Zp = R y qb = 4, o bien cuando p es un primo
finito de Z tal que p ∈ p. En nuestro caso, como qb 6= 4 tenemos que p ∈ p ⊆ P . De la misma
manera, se demuestra que r ∈ p. De esta contradiccion, se prueba el apartado i).
Para el apartado ii), repetimos el anterior procedimiento con el subgrupoH = (CpoC4)×Cs.
Como s 6= 1, entonces Zp 6= R por la prueba del Lema 4.8. Ası que p ∈ p ⊆ P , y similarmente
r ∈ P , demostrando el apartado ii).
�
Pasamos ya a demostrar el teorema de clasificacion de los Z-grupos.
Demostracion. (Teorema 4.6) Sea G = Cm o Cn un Z-grupo, y asumamos que G no es
cıclico. Supongamos ademas, que si n = 4, entonces C4 no invierte a Cm. Se puede asumir
tambien, que todo subgrupo de Sylow de Cn no actua trivialmente en Cm. El subgrupo de G,
G0 = {x ∈ Cm|xy = x para todo y ∈ Cn}, es un subgrupo de Hall por la Proposicion 1.19, y
ademas es un sumando directo de G. Claramente G0 es cıclico.
91
Sea n = qb11 · · · qbrr y m/|G0| = pa11 · · · pass donde los pi, qj son primos distintos y los ai, bj ≥ 1.
Del Lema 4.9, y puesto que G no es del tipo a) del Teorema 4.6, se sigue que cada subgrupo de
Sylow de Cn actua no trivialmente en un unico subgrupo de Sylow de Cm. Podemos expresar
entonces G = G0 ×G1 × · · · ×Gs, donde para i = 1, . . . , s,
Gi = Cpaii o (Cqbti, 1ti, 1
× · · · × Cqbti, hiti, hi
),
donde Cqbti, jti, j
no actua trivialmente en Cpaii .
ComoG es un Z-grupo, entoncesGi es un Z-grupo para cada 0 ≤ i ≤ s. Ası que, redefiniendo
pi, qj y bk estudiamos el caso Gi = Cpa o (Cqb11× · · · × C
qbti, hiti, hi
), sin olvidar las propiedades de
G. Entonces, segun la notacion del Lema 4.8, o bien qb = 4 y p ≡ −1 mod 4, o bien α ≥ d. Por
la definicion de d, tenemos que α ≥ d si y solo si qα+1 no divide a (p − 1) o a (p2 − 1), segun
el caso de p y q. Finalmente, por el Lema 4.8 tenemos que q - Oqα|G|/|Gi|(p)/Oqα(p), que por el
Lema 1.20, es equivalente a que q ·Oqα(p) - O|G|/|Gi|(p). Y por tanto, G satisface las propiedades
dadas en el Teorema 4.6.
Recıprocamente, supongamos que G satisface las condiciones del Teorema 4.6. Si G satisface
el apartado a), G = Cm o C4 y G es isomorfo al subgrupo 〈ζm, j〉 del algebra de cuaterniones
H(R), donde ζm ∈ C ∼= R ⊕ Ri. Supongamos ahora que G es del tipo b). Si s = 0, entonces
G es cıclico de orden k = |G|. Entonces podemos ver G como subgrupo de C mediante la
identificacion G ∼= 〈ζk〉, para ζk una raız compleja k-esima primitiva de la unidad. Supongamos
ahora que s ≥ 1. Escribimos n =∏qbii , donde qi son primos distintos, y supongamos que el
nucleo de la accion de Cqbii
en Cm tiene orden qαii < qbii . Sea Hi = (Cm o Cqbii
) ×∏
j 6=iCqαjj.
Por el Lema 4.9, Hi = (Cpa o Cqbii
) × Cr, para una potencia pa de un primo p adecuado y r
coprimo a pqi. Por el Lema 4.8, y las condiciones de G descritas en el apartado b) del Teorema
4.6, tenemos que Hi es un Z-grupo para cada i. Por tanto G es un Z-grupo por el Lema 4.7.
�
Observacion 4.10. La demostracion que acabamos de ver, demuestra que los grupos cıclicos
estan contenidos en C, los grupos del tipo a) del Teorema 4.6, estan contenidos en H(R) y los
del tipo b) estan contenidos en algebras cıclicas que son algebras de division.
92
4.2. Clasificacion de los subgrupos de anillos de division
con 2-subgrupos cuaterniones
En esta seccion se clasifican los subgrupos de anillos de division con caracterıstica cero
que tienen 2-subgrupos de Sylow cuaterniones. En primer lugar, se estudia el unico caso de
subgrupo finito de anillo de division no resoluble. Posteriormente se estudian los subgrupos que
son resolubles.
El teorema que demostraremos al final de la seccion y que clasifica los subgrupos de anillos
de division con 2-subgrupos cuaterniones, es el siguiente:
Teorema 4.11. Sea G un subgrupo finito de un anillo de division con caracterıstica cero que
no es un Z-grupo. Entonces G es isomorfo a uno de los siguientes grupos:
a) i) El grupo octaedro binario, de orden 48.
ii) Cm o Q2t, donde t ∈ N, un elemento de Q2t de orden 2t−1 centraliza Cm, y un
elemento de Q2t de orden 4 invierte Cm.
iii) Q8 ×M , donde M es un Z-grupo de orden impar y O|M |(2) es impar.
iv) SL(2, 3)×M , donde M es un Z-grupo de orden coprimo a 6 y O|M |(2) es impar.
b) El grupo icosaedro binario SL(2, 5), de orden 120.
La parte a) del Teorema 4.11, recoge los grupos que son resolubles y tienen 2-subgrupos
de Sylow cuaterniones. La parte b) recoge el unico subgrupo finito de un anillo de division no
resoluble.
Empezamos demostrando la suficiencia del Teorema 4.11.
Teorema 4.12. Los grupos recogidos en el Teorema 4.11 son inyectables en anillos de division
de caracterıstica cero.
Demostracion. Para toda la demostracion, hacemos la identificacion de C ∼= R⊕ Ri.
93
Empezamos viendo los grupos del apartado a). El grupo octaedro binario del apartado a) i),
podemos verlo contenido en H(R), generado por los elementos
j, (1 + i)/√
2, −(1 + i+ j + ij)/2.
Veamos ahora que los grupos de la forma LoQ2t de a) ii), con |L| = m son subgrupos de
H(R). Tomando ζm, ζ2t−1 ∈ C, tenemos que LoQ2t∼= 〈ζm, ζ2t−1 , j〉, donde Q2t
∼= 〈ζ2t−1 , j〉.
El algebraH contiene copias deQ8 (por ejemplo, generado por i y j) y SL(2, 3) (por ejemplo,
generado por i, j y −(1 + i + j + ij)/2). Sea M es un Z-grupo de orden m, del tipo a) iii)
o a) iv). M es inyectable en un anillo de division D con centro F ⊆ Q(ζm). Como m es impar,
segun la estructura del algebra cıclica que contiene a M , tenemos que Ind(D) es impar, ya que
Ind(D)|m. El racional primo 2 no ramifica en la extension Q(ζm)/Q y f(2,Q(ζm)/Q) = Om(2)
por el Teorema 3.29, y Om(2) es impar por hipotesis. Ası que, por el Teorema 4.5, H(F ) es
un algebra de division. Como Ind(H(F )) = 2 y Ind(D) es impar, H(F ) ⊗F D es un anillo de
division por el Corolario 3.21. Este algebra contiene claramente subgrupos isomorfos a Q8×M
y SL(2, 3)×M .
Por ultimo, el grupo icosaedro binario SL(2, 5), del apartado b) es el subgrupo del algebra
de cuaterniones H(R), generado por los elementos
y, x = (y2 − y + (y2 − 1)j)/√
5,
donde y ∈ C es una raız quinta primitiva de la unidad.
�
Observacion 4.13. La demostracion del Teorema 4.12, muestra que los grupos del tipo a) i), ii)
y b) del Teorema 4.11, son subgrupos de H(R). Tambien lo es SL(2, 3), pero si M 6= 1, entonces
los grupos del tipo a) iii), iv) no estan contenidos en H(R).
Proposicion 4.14. Supongamos que Q2t es un subgrupo de un anillo de division D. Entonces
la subalgebra Q[Q2t ] de D es isomorfa a H(F ), donde F = Q(ζ2t−1 + ζ−12t−1) es el cuerpo fijo del
cuerpo ciclotomico Q(ζ2t−1) bajo conjugacion compleja. En particular, tenemos que Q[Q8] ∼= H
y Q[Q16] ∼= H(Q(√
2)). Ademas, si Q es un subgrupo de Q2t isomorfo a Q8, se tiene que
Q[Q2t ] = Q[Q]⊗Q F ∼= H(F ).
94
Demostracion. Sean x e y elementos de D que generan el grupo Q2t con la presentacion
Q2t = 〈x, y|x2t−2= y2, y4 = 1, xy = x−1〉. El subcuerpo E = Q[x] de D1 = Q[Q2t ] es isomorfo
al 2t−1-esimo cuerpo ciclotomico sobre Q, e y actua por conjugacion en E. Como [D1 : E] ≤ 2
y D1 no es conmutativo, tenemos [D1 : E] = 2, ası que el centro de D1 es el cuerpo fijo F de
E bajo conjugacion. Como Q[x+x−1] ⊆ F y [E : Q[x+x−1]] = 2, se tiene necesariamente que
F = Q[x+ x−1].
Sean i = x2t−3y j = y. Veamos que satisfacen i2 = j2 = −1 y ij = −ji. Lo primero
esta claro, puesto que en el 2t−1-esimo cuerpo ciclotomico, los unicos elementos cuyo cuadrado
es uno son −1 y 1, y tenemos que x2t−2 6= 1. Por otro lado, tenemos
iji−1 = x2t−3
y(x2t−3
)−1 = x2t−3
x2t−3
y = x2t−2
y = −y = −j.
Ademas, claramente i /∈ F , ası que D1 = F [i, j]. Por lo que D1 es imagen de H(F ) con
[D1 : F ] = 4, y entonces D1∼= H(F ).
En el caso Q8, tenemos E = Q(√−1), con cuerpo fijo F = Q. Para Q16, sea ζ8 una raız
octava primitiva de la unidad. En este caso F ∼= Q(ζ8 + ζ−18 ). Como ζ4
8 = −1, se sigue que
(ζ8 + ζ−18 )2 = ζ2
8 + ζ−28 + 2 = ζ−2
8 (ζ48 + 1) + 2 = 2, ası F ∼= Q(ζ8 + ζ−1
8 ) = Q(√
2).
Para la ultima parte, consideramos cualquier Q8 subgrupo de Q2t . Entonces Q[Q8] ∼= H y
por el Teorema 3.3, podemos escribir Q[Q2t ] = H ⊗Q Γ donde Γ es el centralizador de H en
Q[Q2t ]. Como Ind(Q[Q2t ]) = 2 = Ind(H) se sigue que Γ es un cuerpo, y por lo tanto, Γ = F .
�
Nos centramos ahora en estudiar el caso en el que el subgrupo finito de nuestro anillo
de division no sea resoluble. Tendremos entonces que sera un complemento de Frobenius no
resoluble. Esto demostrara la parte b) del Teorema 4.11. Para ello, utilizamos un resultado de
Zassenhaus (Teorema 2.11), que acorta bastante nuestro estudio en el caso no resoluble.
Teorema 4.15. El unico subgrupo finito no resoluble de un anillo de division D es SL(2, 5).
Demostracion. Por el Teorema 2.11, tenemos que si X es un complemento de Frobenius
no resoluble, entonces X tiene un subgrupo normal Y de ındice a lo sumo 2, de manera que
95
Y ∼= SL(2, 5)×M , donde a su vez, M sera un complemento de Frobenius metacıclico de orden
coprimo a 30.
Asumamos primero que G ∼= SL(2, 5) y que esta contenido en un anillo de division D. En
este caso, vamos a ver que si D1 = Q[G], se cumple que D1∼= H(Q(
√5)).
Una presentacion de SL(2, 5) viene dada por:
〈x, y, z|x3 = y5 = z2 = 1, z = (xy)2, (x, z) = (y, z) = 1〉.
Sea R = {1, y, y2, y3, x, xy, xy2, xy3}, y sea T el Q-subespacio de D1 generado por R.
Vamos a probar que D1 = T . Como x 6= 1 = x3, ya que 0 = x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) y
x−1 6= 0, se tiene que x2 = −x−1 ∈ T . De la misma forma, tenemos y4 = −y3−y2−y−1 ∈ T
y z = −1 ∈ T . De las relaciones anteriores, tenemos que xT ⊆ T y Ty ⊆ T . Como z = −1,
yx = x−1zy−1 = −x2y4 = (x+1)(−y3−y2−y−1) ∈ T , teniendo que yT ⊆∑Tyi = T . Hemos
probado que RR ⊆ T , y por lo tanto D1 = T como querıamos.
Lo anterior, prueba que [D1 : Q] ≤ 8. Sea E = Q[y]. Entonces [E : Q] = ϕ(5) = 4, ya que
y es una raız quinta primitiva de la unidad en D1. Tambien tenemos que D1 no es conmutativo,
ası que [D1 : Q] = 8, y entonces E es un subcuerpo maximal de D1, Ind(D1) = 2 (puesto que
Ind(D1)2| [D1 : Q]), y el centro F de D1 es un cuerpo de grado 2 sobre Q. Pero E tiene un
unico subcuerpo cuadratico, que es isomorfo a Q(√
5) por el Teorema 1.36. Ası que F ∼= Q(√
5)
(explıcitamente, si y1 = 2(y + y4) + 1, entonces y21 = 5 y F = Q[y1]). Como |G| = 120, un
2-subgrupo de Sylow de G tiene orden 8. Con la presentacion dada de SL(2, 5), tenemos que
los elementos a = (x2y2)2x y b = (x2y2)2x2y satisfacen:
a2 = b2, b4 = 1, ab = a−1.
Ası que Q = 〈a, b〉 es un subgrupo de cuaterniones de G de orden 8, y se tiene que Q[Q] ∼= H.
Por el Teorema 3.3, podemos escribir D1∼= H⊗QCD1(Q). Como dimQ(D1) = 4 ·dimQ(CD1(Q)),
se sigue que CD1(Q) tiene dimension 2 sobre Q, y que entonces CD1(Q) es un cuerpo, siendo
por lo tanto el centro de D1. En otras palabras, D1∼= H⊗Q F ∼= H(Q(
√5)).
Vamos ahora a demostrar que SL(2, 5) es el unico subgrupo finito no resoluble de un anillo
de division. Primero vamos a demostrar que no se pueden inyectar en anillos de division grupos
96
de la forma G = SL(2, 5)×C, donde C es cıclico de orden p. Supongamos que G esta contenido
en un anillo de division D. Como |M | es coprimo con 30, podemos asumir que p > 5 y considerar
la siguiente algebra:
B = H(Q(√
5))⊗Q Q(ζp) ∼= H⊗Q Q(√
5)⊗Q Q(ζp) ∼= H⊗Q Q(√
5, ζp)
donde ζp es una raız p-esima primitiva de la unidad. Entonces Q(√
5) ⊗Q Q(ζp) es un cuerpo
y Q(√
5) ⊗Q Q(ζp) ∼= Q(√
5, ζp), ya que B es simple, y el unico cuerpo cuadratico de Q(ζp)
es Q(√p) o Q(
√−p) por el Teorema 1.36. Como el algebra B podemos verla contenida en
Q[G] = Q[SL(2, 5)× C], tambien podemos verla contenida en D.
Veamos ahora que f(2, Q(√
5)/Q) = 2. Los anillos de enteros de Q y Q(√
5) son respec-
tivamente Z y Z[1+√
52
]. Para el numero primo 2, se tiene |Z/2Z| = 2, y en vista del Teore-
ma 1.51, el ideal (2) es primo en Z[1+√
52
], ası que |Z[1+√
52
]/(2)| = 4. Entonces tenemos que
[Z[1+√
52
]/(2) : Z/2Z] = 2 = f(2,Q(√
5)/Q).
Pero Q(ζp) no tiene inclusiones reales, y ademas el primo 2 tiene grado residual 2 en la
extension Q(√
5)/Q, lo que contradice el Teorema 4.5.
En vista del resultado de Zassenhaus (Teorema 2.11), queda solo por demostrar que si G
es no resoluble finito y tiene un subgrupo normal isomorfo a SL(2, 5) de ındice 2, entonces G
no puede ser inyectado en un anillo de division. Por reduccion al absurdo, supongamos que G
esta contenido en un anillo de division D. Sea S un subgrupo de G normal isomorfo a SL(2, 5).
Los 2-subgrupos de Sylow de S son grupos de cuaterniones de orden 8 y los 2-subgrupos de Sylow
de G seran por tanto cuaterniones de orden 16 por el Teorema 4.2 apartado b). Elegimos Q, un
2-subgrupo de Sylow fijo de G de manera que S∩Q sea cuaternion de orden 8. Las subalgebras
Q[S] ∼= H(Q(√
5)) y Q[Q] ∼= H(Q(√
2)) de D1 = Q[G] son no isomorfas de dimension 8 sobre
Q. Tambien, [D1 : Q] es a lo sumo [Q[S] : Q][G : S] = 16. Por lo tanto [D1 : Q] = 16. Como
S∩Q es cuaternion de orden 8, por el Teorema 3.3, tenemos D1∼= H⊗QΓ, donde H ∼= Q[S∩Q]
y Γ = CD1(H). Se tiene que [Γ : Q] = 4, porque dimQ(H(Γ)) = 4 · [Γ : Q] = 16. Si Γ no
fuera un cuerpo, y ya que en cualquier caso dimZ(Γ)(Γ) = n2 para algun n ∈ N, Γ serıa central
y simple sobre Q, ası que Ind(Γ) = 2 = Ind(H), lo que contradice el Corolario 3.21. Por lo
que Γ es un cuerpo. Ademas, Γ contiene trivialmente los centros de Q[S] y de Q[Q], que son
respectivamente Q(√
5) y Q(√
2), por el Lema 1.31. Entonces Γ = Q(√
2,√
5).
97
Sea ahora X = 〈x〉 un 3-subgrupo de Sylow de S. Se sigue del Argumento de Frattini
(Teorema 1.14) que G = SP para P un 2-subgrupo de Sylow de NG(X). El normalizador de un
3-ciclo en A5∼= S/〈z〉 tiene orden 6 (NA5(1 2 3) = {1, (1 2 3), (1 2)(4 5), (1 3)(4 5), (2 3)(4 5)}),
y ademas, invierte el 3-ciclo. Ası P ∩ S es cıclico de orden 4 e invierte X, puesto que 〈z〉 es
un subgrupo normal de S de orden 2 y z ∈ Z(S). Por lo tanto, como [G : S] = 2, se tiene
|P | = 8, y como X no tiene automorfismos de orden 4, se tiene que P no es cıclico y es, por
tanto, cuaternion de orden 8. Por el Teorema 3.3 y la Proposicion 4.14,
D1 = Q[P ]⊗Q CD1(P ) ⊇ Q[P ]⊗Q Q(√
2,√
5) ∼= D1,
ası que D1 = Q[P ]⊗QQ(√
2,√
5). Sea P = 〈a, b〉, donde a centraliza x y b invierte x. Entonces
x ∈ CD1(a) ∼= Q(√
2,√
5, i). Pero x3 = 1, ası que x es una raız cubica primitiva de la unidad
en D1, y con su identificacion en Q(√
2,√
5, i), x coincide, por ejemplo, con la raız cubica
e3πi/2 = cos(3π/2) + isen(3π/2) = −1+i√
32
∈ Q(√
2,√
5, i). Por tanto, i√
3 ∈ Q(√
2,√
5, i)
y se tiene√
3 ∈ Q(√
2,√
5), ya que la interseccion Q(√
2,√
5, i) ∩ R = Q(√
2,√
5). Pero√
3 ∈ Q(√
2,√
5), contradice el Teorema 1.37.
�
Queda por tanto probada la parte b) del Teorema 4.11 sobre los subgrupos finitos no resolu-
bles de anillos de division. Ahora pasamos al estudio del apartado a) del Teorema de clasificacion
4.11, que recoge aquellos subgrupos finitos de un anillo de division que son resolubles y tienen
2-subgrupos de Sylow cuaterniones. Al igual que antes, utilizaremos G para el subgrupo finito
de un anillo de division, y D = Q[G] la Q-subalgebra generada por G.
Lema 4.16. Sea G un subgrupo finito de un anillo de division D. Supongamos que G es un
grupo resoluble, y sea Q2t cualquier subgrupo de cuaterniones de G.
a) Si t = 3, entonces CG(Q8) ∼= C2×M , donde M es un Z-grupo de orden impar m y Om(2)
es impar.
b) Si t > 3, entonces CG(Q2t) ∼= C2.
Demostracion. Empecemos probando el apartado a), donde t = 3 y ponemos Q = Q8.
Veamos que el centralizador de Q, en cualquier grupo de cuaterniones que lo contenga, es
98
el centro de dicho grupo. Si Q2t = 〈a, b|a2t−2= b2, b4 = 1, ab = a−1〉, una de las distintas
formas que tenemos para ver Q como subgrupo de Q2t es tomando Q = 〈a2t−3, b〉. CQ2t
(Q)
estara formado entonces por los elementos de Q2t que conmuten con a2t−3y con b. Supongamos
que aib ∈ CQ2t(Q), entonces aib conmuta con a2t−3
, y como ai conmuta con a2t−3, tambien
tendrıamos que b conmuta con a2t−3que no es cierto. Con esto, vemos que no hay elementos
de la forma aib en el centralizador de Q en Q2t y, por tanto, CQ2t(Q) = Z(Q2t) = 〈b2〉.
Veamos ahora que 〈b2〉 es el 2-subgrupo de Sylow de CG(Q). Evidentemente, CQ2t(Q) ⊆ CG(Q).
Supongamos que existe h ∈ CG(Q)\CQ2t(Q), con h de orden par en G, y pongamos |〈h〉| = 2ls,
con m.c.d.(2, s) = 1. Queremos considerar el subgrupo H = 〈Q, h〉, esto es, un subgrupo de G
generado por Q y un elemento central con Q de orden par. Podemos suponer tambien que, o
bien 〈h〉 ∩CQ2t(Q) = ∅, o bien l > 1 si 〈h〉 ∩CQ2t
(Q) = 〈b2〉, porque en otro caso H = 〈Q, hm〉,
donde hm ∈ CG(Q)\CQ2t(Q) tiene orden impar en G.
Lo que queremos demostrar ahora es que los 2-subgrupos de Sylow de H no son ni cıclicos
ni cuaterniones, lo que contradirıa el Teorema 4.2. Todos los 2-subgrupos de Sylow de H son
conjugados de un 2-subgrupo de Sylow de H que contiene a Q, ası que no pueden ser cıclicos.
Si se cumple 〈h〉 ∩ CQ2t(Q) = ∅, entonces H = Q × 〈h〉, y un 2-subgrupo de Sylow de H que
contiene a Q contiene un subgrupo isomorfo a Z/2Z × Z/2Z, por lo que los 2-subgrupos de
Sylow de H no serıan cuaterniones, ya que en un grupo de cuaterniones solo hay un elemento
de orden 2. Si se cumple la condicion 〈h〉∩CQ2t(Q) = 〈b2〉, entonces un 2-subgrupo de Sylow de
H que contiene a Q es de la forma 〈Q, hj〉, con hj de orden 2i, con i > 1 y que, por tanto, no
puede ser cuaternion, por la misma razon que antes. Con esto hemos demostrado que en CG(Q)
no hay elementos de orden par, cumpliendo las propiedades anteriores, que no pertenezcan ya
a CQ2t(Q). Ası que, 〈b2〉 es el 2-subgrupo de Sylow de CG(Q).
Tenemos entonces que CG(Q) = 〈b2〉 × M donde M es de orden impar. Sabemos que
Q[Q] ∼= H por la Proposicion 4.14. Sea g ∈ M de orden primo p. Por el Teorema 3.3, en
D
Q[Q, g] ∼= H⊗Q Q(ζp),
con ζp una raız p-esima primitiva de la unidad, es un anillo de division. Por ser p impar, el
cuerpo Q(ζp) no tiene inclusiones reales. Como consecuencia del Teorema 3.32, el grado residual
de 2 en Q(ζp)/Q es Op(2). Por el Teorema 4.5, Op(2) es impar y del Lema 1.20 apartado a), se
99
sigue que Om(2) es impar.
Para el apartado b), tenemos t > 3. Es suficiente probar el resultado en el caso donde Q
tiene orden 16, porque siempre podemos ver Q16 contenido en Q2t para t ≥ 5, ası que ponemos
Q = Q16. Sea g ∈ CG(Q) con orden p impar. Entonces, usando la Proposicion 4.14, en D
tenemos que
Q[Q, g] ∼= Q[Q]⊗Q(√
2) Q(√
2, ζp) ∼= H⊗Q Q(√
2, ζp),
donde ζp es una raız p-esima primitiva de la unidad. Pero Q(ζp) no tiene inclusiones reales,
2 es un cuadrado en Q(√
2) y, de hecho, la factorizacion de 2OQ(√
2) en ideales primos en
OQ(√
2) = Z[√
2] es 2Z[√
2] = (√
2)2, usando el Teorema 1.51. Entonces, el ındice de ramificacion
del racional primo 2 en la extension Q(√
2, ζp)/Q es par. Esto contradice el resultado del
Teorema 4.5. Se sigue que CG(Q) es un 2-grupo y, por tanto, CG(Q) = C2 un grupo cıclico de
orden 2.
�
Estamos ya en condiciones de dar una gran aproximacion del apartado a) del Teorema
4.11 de clasificacion de los subgrupos finitos de anillos de division que son resolubles y tienen
2-subgrupos de Sylow cuaterniones.
Lema 4.17. Sea G un subgrupo finito de un anillo de division. Supongamos que Q = O2(G) es
cuaternion de orden 8, y que G es resoluble. Entonces G es isomorfo a alguno de los siguientes
grupos:
a) Q×M , donde M es un Z-grupo de orden impar m con Om(2) impar.
b) SL(2, 3)×M , donde M es un Z-grupo de orden m coprimo con 6, y Om(2) es impar.
c) El grupo octaedro binario, de orden 48.
Demostracion. Consideremos el siguiente subgrupo K = QCG(Q) de G y veamos que es
normal en G. Sea g ∈ G y h ∈ QCG(Q) con h = qc, q ∈ Q y c ∈ CG(Q). Tenemos que
g−1qcg = g−1qgg−1cg = q2g−1cg para algun q2 ∈ Q ya que Q es normal. Para ver que K es
normal, solo nos queda por ver que g−1cg ∈ CG(Q). Si q ∈ Q, entonces g−1cgqg−1 = g−1cq2
100
para algun q2 ∈ Q, pero entonces g−1cq2 = g−1q2c = g−1q2gg−1c = qg−1c, teniendose que
g−1cgq = qg−1cg. Esto prueba que g−1cg ∈ CG(Q). Luego K es normal en G.
Como G/CG(Q) podemos inyectarlo en Aut(Q) ∼= S4 (el isomorfismo puede verse en la
Proposicion 1.22) y, ademas |Q∩CG(Q)| = 2, se sigue que G/K se inyecta en S3, ya que por la
Proposicion 1.1, tenemos |K| = |QCG(Q)| = |Q|·|CG(Q)||Q∩CG(Q)| = 4|CG(Q)|. Por el Lema 4.16, tenemos
que CG(Q) = C2 ×M con m = |M | impar y con Om(2) impar.
Si [G : K] = 1 entonces se tiene el apartado a).
Supongamos ahora que [G : K] = 3. Como O3(2) = 2, tenemos que 3 - m, pues Om(2) es
impar. Por lo tanto, los 3-subgrupos de Sylow de G tienen orden 3 y no centralizan Q. Sea C
un 3-subgrupo de Sylow de G. Entonces L = 〈Q, C〉 = Q o C ∼= SL(2, 3), pues Q es normal,
y Q ∩ C = 〈1〉. Ademas, se tiene G = LM .
En las siguientes lıneas, vamos a probar que Q[L] = Q[Q]. Podemos elegir c un generador de
C, y la presentacion deQ = 〈a, b| a2 = b2, b4 = 1, ab = a−1〉, de manera que c actua cıclicamente
permutando a, b, ab. Conjugando en Q[Q] por el elemento t = −(1 + a + b + ab)/2 ∈ Q[Q] se
obtiene el mismo efecto (el inverso de t es t−1 = (−1 + a + b + ab)/2). Ası que ct−1 centraliza
Q[Q] y, por lo tanto, tambien centraliza t, entonces c y t conmutan. Pero ahora, c y t son
ambas raıces cubicas de la unidad en el cuerpo Q[t, c]. Se sigue entonces que c ∈ 〈t〉. Ası que,
Q[L] = Q[Q] como querıamos ver. Pero M centraliza Q, ası que centraliza Q[L], y por lo tanto
L. Ası que en el caso [G : K] = 3 se tiene G ∼= SL(2, 3)×M , y se tiene el apartado b).
Ahora asumamos que [G : K] es par. Entonces si Q1 es un 2-subgrupo de Sylow de G, se
tiene que Q1 es cuaternion de orden 16. Por el Teorema 3.3, podemos escribir Q[G] ∼= H ⊗ Γ,
donde H ∼= Q[Q] y Γ es el centralizador de Q en Q[G]. En particular, M ⊆ Γ. Sea Z el centro
de Γ. Entonces H ⊗Q Γ ∼= H ⊗Q Z ⊗Z Γ ∼= H(Z) ⊗Z Γ. Como Q[G] es un anillo de division,
se sigue del Corolario 3.21, que Ind(Γ) es impar. Por la Proposicion 4.14, existe un elemento
central g de Q[Q1], con g2 = 2 y Q[Q1] ∼= H ⊗Q Q[g]. Claramente g ∈ Γ. Sea E un subcuerpo
maximal de Γ que contiene g. Del Corolario 3.11, se sigue que [E : Z] = Ind(Γ). Por tanto,
[Z[g] : Z] divide a [E : Z], que es impar. Como g2 = 2 ∈ Z, se tiene que g ∈ Z. Ası que,
M centraliza g y Q, por lo que centraliza Q[Q1]. Esto implica que M = 〈1〉 por el Lema 4.16.
Ası que K = Q. No puede ser [G : K] = 2 porque en este caso G serıa un 2-grupo, cuaternion
101
de orden 16, y O2(G) = G = Q16, en contradiccion con O2(G) = Q. Por tanto, [G : K] = 6,
G/K ∼= S3, y G/〈a2〉 ∼= S4∼= Aut(Q). Tenemos entonces una extension:
1 −→ C2 −→ Gf−−→ S4 −→ 1,
tal que todos los 2-subgrupos de Sylow de G son cuaterniones. Ası G es un grupo de orden 48
determinado unicamente salvo isomorfismos, que es de hecho el grupo octaedro binario.
La unicidad de G puede ser vista como sigue.
Sea C = 〈c〉 cualquier 3-subgrupo de Sylow de G. El subgrupo CQ de G, tiene ındice
2 en G y, por tanto, es normal en G. Vamos a aplicar el Argumento de Frattini (Teorema
1.14) al subgrupo normal CQ. Tomamos el 3-subgrupo de Sylow C de CQ y, tenemos que
G = NG(C)CQ. Pero si P es un 2-subgrupo de Sylow de NG(C), tenemos NG(C) = PC.
Podemos suponer que P y Q estan contenidos en Q16, un 2-subgrupo de Sylow de G. Con esto,
G = PCCQ = PCQ = CQP y QP = Q16. Ahora bien, |NG(C)| = 6 o |NG(C)| = 12, ya que
el normalizador de un 3-ciclo en S4 tiene orden 6. Por tanto, |P | = 2 o |P | = 4. Pero no puede
ser que |P | = 2, porque el unico elemento de orden 2 de Q16 es el elemento central, que esta en
Q. Ası que P es cıclico de orden 4 y |P ∩Q| = 2.
Sean x ∈ Q16 de orden 8 e y un generador de P . No puede ser que y ∈ 〈x〉, porque
|f(〈x〉)| = 4, ası que f(〈x〉) es un subgrupo de S4, cıclico de orden 4. Si y estuviera en 〈x〉,
serıa y = x2 o y = x6 que, en cualquier caso, tienen la misma imagen por f . Esto es, f(y)
serıa un producto de dos 2-ciclos disjuntos. Pero un elemento de este tipo, nunca pertenece al
normalizador de un 3-ciclo en S4, llegando a una contradiccion con y ∈ 〈x〉. Entonces, se tiene
que Q1 = 〈x, y〉, y como y ∈ Q1\Q = xQ, entonces Q = 〈x2, x−1y〉.
Como c /∈ CG(Q), c o c−1 conjuga 〈x2〉 a 〈x−1y〉, ası que podemos elegir c tal que (x2)c
es x−1y o y−1x. Pero y−1x = x−1y−1. Reemplazando y por y−1 si fuera necesario, podemos
suponer que (x2)c = x−1y. Supongamos que se cumple (x−1y)c = xy. Entonces se tiene que
cx = x−1ycy−1 = x−1c2 = (cx)−1. Por lo que cx ∈ 〈x4〉, y entonces c ∈ 〈x〉. Esto no puede ser
y por lo tanto (x−1y)c = xy−1. Como consecuencia, G tiene la siguiente presentacion: