Universidade Presbiteriana Mackenzie 1 ESTUDO E MODELAGEM DE UM VÓRTICE SIMÉTRICO Jennifer Gosso Mardegan (IC) e José Ignacio Hernández López (Orientador) Apoio: PIBIC/PIVIC Mackenzie Resumo Este estudo tem como finalidade entender e caracterizar a física de vórtices simétricos, a partir de modelos matemáticos existentes sobre o assunto. Este tópico foi escolhido por ser de imensa importância ao mundo científico, já que está presente em diversas áreas de estudo. Partindo de uma revisão bibliográfica de conceitos básicos da Termodinâmica e Mecânica dos Fluidos foi possível realizar a leitura de artigos e estudos sobre vórtices, voltados para o tema da teoria dos furacões, analisando as variáveis utilizadas no desenvolvimento de equações matemáticase as hipóteses e aproximações empregadas. Deste modo, foi possível avaliar problemas já resolvidos e compreender os resultados obtidos, muitas vezes na configuração de gráficos. Ao fim da investigação de dados foram discutidas as aproximações indispensáveis para o desenvolvimento de problemas, como a comparação da evolução de um furacão ao ciclo de Carnot. Também foi discutida a importânciados resultados gráficos, obtidos na conclusão destes mesmos problemas, como a influência da pressão na formação de fenômenos físicos como os furacões. Conseqüentemente, os objetivos da pesquisa foram alcançados, de forma que foi possível estudar e entender o comportamento dinâmico dos vórtices simétricos. Apesar da complexidade envolvida nos conceitos e cálculos, foi interessante ampliar o conhecimento nesta importante área. Palavras-chave: vórtices simétricos, modelos matemáticos, furacões Abstract This study aims to understand and characterize the physics of symmetrical vortexes, from mathematical models on the subject. This topic was chosen because of its immense importance to the scientific world, since it is present in several areas of study. From a review of basic concepts of Thermodynamics and Fluid Mechanics it was possible to read articles and studies on vortexes, focused on the theme of the theory of hurricanes, analyzing the variables used to develop mathematical equations and the assumptions and approximations employed. Thus, it was possible to assess problems already solved and understand the results, most of times in the setting of graphs. At the end of the data research indispensable approaches were discussed, for the development of problems such as the comparison of a hurricane evolution to the Carnot cycle. The graphic results obtained at the conclusion of these same problems were also discussed, such as the influence of pressure in the formation of physical phenomena like hurricanes. Consequently, the research objectives were achieved, so that it was possible to study and understand the dynamic behavior of symmetrical vortexes. Despite the complexity involved in the concepts and calculations, it was very interesting to expand my knowledge in this important area. Key-words: symmetrical vortexes, mathematical models, hurricanes
Em parceria com a Professora Helena Abascal, publicamos os relatórios das pesquisas realizados por alunos da fau-Mackenzie, bolsistas PIBIC e PIVIC. O Projeto ARQUITETURA TAMBÉM É CIÊNCIA difunde trabalhos e os modos de produção científica no Mackenzie, visando fortalecer a cultura da pesquisa acadêmica. Assim é justo parabenizar os professores e colegas envolvidos e permitir que mais alunos vejam o que já se produziu e as muitas portas que ainda estão adiante no mundo da ciência, para os alunos da Arquitetura - mostrando que ARQUITETURA TAMBÉM É CIÊNCIA.
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Universidade Presbiteriana Mackenzie
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ESTUDO E MODELAGEM DE UM VÓRTICE SIMÉTRICO
Jennifer Gosso Mardegan (IC) e José Ignacio Hernández López (Orientador)
Apoio: PIBIC/PIVIC Mackenzie
Resumo
Este estudo tem como finalidade entender e caracterizar a física de vórtices simétricos, a partir de modelos matemáticos existentes sobre o assunto. Este tópico foi escolhido por ser de imensa importância ao mundo científico, já que está presente em diversas áreas de estudo. Partindo de uma revisão bibliográfica de conceitos básicos da Termodinâmica e Mecânica dos Fluidos foi possível realizar a leitura de artigos e estudos sobre vórtices, voltados para o tema da teoria dos furacões, analisando as variáveis utilizadas no desenvolvimento de equações matemáticase as hipóteses e aproximações empregadas. Deste modo, foi possível avaliar problemas já resolvidos e compreender os resultados obtidos, muitas vezes na configuração de gráficos. Ao fim da investigação de dados foram discutidas as aproximações indispensáveis para o desenvolvimento de problemas, como a comparação da evolução de um furacão ao ciclo de Carnot. Também foi discutida a importânciados resultados gráficos, obtidos na conclusão destes mesmos problemas, como a influência da pressão na formação de fenômenos físicos como os furacões. Conseqüentemente, os objetivos da pesquisa foram alcançados, de forma que foi possível estudar e entender o comportamento dinâmico dos vórtices simétricos. Apesar da complexidade envolvida nos conceitos e cálculos, foi interessante ampliar o conhecimento nesta importante área.
This study aims to understand and characterize the physics of symmetrical vortexes, from mathematical models on the subject. This topic was chosen because of its immense importance to the scientific world, since it is present in several areas of study. From a review of basic concepts of Thermodynamics and Fluid Mechanics it was possible to read articles and studies on vortexes, focused on the theme of the theory of hurricanes, analyzing the variables used to develop mathematical equations and the assumptions and approximations employed. Thus, it was possible to assess problems already solved and understand the results, most of times in the setting of graphs. At the end of the data research indispensable approaches were discussed, for the development of problems such as the comparison of a hurricane evolution to the Carnot cycle. The graphic results obtained at the conclusion of these same problems were also discussed, such as the influence of pressure in the formation of physical phenomena like hurricanes. Consequently, the research objectives were achieved, so that it was possible to study and understand the dynamic behavior of symmetrical vortexes. Despite the complexity involved in the concepts and calculations, it was very interesting to expand my knowledge in this important area.
d �?� V� + g × z + Cp × T + Lv × q� − Tds + Fdl = 0 (5)
A equação (5) pode ser integrada de modo fechado, para ilustrar que em um sistema estável
ou estacionário, o calor é balanceado pela fricção. Segundo Stewart (2005) esse tipo de
integral é definido como cíclico, ou seja, o ponto inicial a ser considerado é igual ao ponto
final. Integrando, portanto, em um circuito fechado:
@ Tds = @ Fdl (6)
Analisando o primeiro membro da equação (@ Tds):
@ Tds = A TdsBC = T$∆s = T$�sB − sC� (7)
Onde: Índice c = centro da tempestade
Índice a = ambiente
Índice s = na superfície
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A 1ª Lei da Termodinâmica também é utilizada para obter a fórmula da entropia, a partir de
sua derivação:
s = C* × lnT − R × FGp + H,×IJ (8)
Onde: R = constante universal dos gases
Com isso, podemos substituir (8) em (7):
K Tds = T$ L7Cp × FGT − R × FGpB + Lv × qBT ; − 7Cp × FGT − R × FGpC + Lv × qC
T ;M
Após manipulações algébricas, temos a seguinte equação:
@ Tds = T$ × R × FG �*N*O
� + Lv�qB − qC� (9)
A pressão no centro da tempestade (6P) é estimada através de dados obtidos nas condições
climáticas e os valores mais altos já registrados.
Para deixar o modelo mais próximo do fenômeno real, junta-se (9) a (6), lembrando de
adicionar à equação a eficiência termodinâmica do Ciclo de Carnot:
εT$ds = @ Fdl (10)
Em que ε é a eficiência termodinâmica mencionada (para condições atmosféricas típicas
dos trópicos, esta eficiência tem o valor aproximado de ⅓). Emanuel (1991) explica que
grande parte da energia perdida por fricção ocorre na camada limite da superfície ou em
grande raio na saída da corrente, localizada na estratosfera, onde o momento angular
original do ar deve ser reestabelecido. Essa perda é idealizada quando ocorre em um raio
infinito, que pode ser estimado pela conservação do momento angular absoluto (M) no
centro da tempestade. O conceito do Princípio da Conservação de Momento Angular é
definido por Sonntag, Borgnakke e Van Wylen (2003). Este é o princípio em que o momento
angular total de um corpo em rotação permanece constante quando o torque resultante que
atua sobre ele é zero e, portanto, o momento angular do sistema é conservado.
M = rV + ?� fr� (11)
Após manipulações algébricas, a velocidade de azimute pode ser escrita da seguinte forma:
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V� = T�U� − fM + ?
V f �r� (12)
Onde: V = velocidade de azimute
f = 2x velocidade angular da Terra (componente vertical)
r = raio até o centro do ciclone
M = momento angular absoluto
A equação (12) mostra, portanto, a possível estimativa da perda de energia a partir da
conservação de momento angular. A perda de energia é significante para o estudo, já que,
quando localizada na camada limite, pode ser relacionada com a queda de pressão radial.
A camada limite, exemplificada pela figura 2, é descrita por White (2002, p. 29): “Os
escoamentos de fluidos de baixa viscosidade como, por exemplo, escoamentos de água e
de ar, podem ser divididos em uma fina camada viscosa, ou camada limite, próxima das
superfícies sólidas [...], na qual as equações de Euler e Bernoulli se aplicam.”. Ou seja, é a
camada de fluido nas imediações de uma superfície delimitadora, onde há a dissipação de
energia.
Figura 2 – Exemplo de um objeto imerso em um fluido e a camada limite que o envolve.
(Fonte: White, Frank M. Mecânica dos Fluidos, 2002. p. 175)
A equação de Euler citada anteriormente, também definida por White (2002), é muito
utilizada para fluidos, já que descreve seu movimento. Esta equação, trazida a seguir, pode
ser integrada ao longo de uma linha de corrente para se obter a equação de Bernoulli (1):
ρ "�"� = ρ × g − ∇p (13)
Onde: V = velocidade
""� = operador de derivada temporal
ρ = densidade
g = aceleração da gravidade
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∇p = gradiente de pressão
O último tema abordado, estudado por Emanuel (1991), será a influência da pressão central
nos furacões. Os furacões nunca surgem espontaneamente, mesmo quando as condições
ambientais são favoráveis. O desequilíbrio termodinâmico entre o oceano e a atmosfera já é
reconhecido como a fonte de energia da grande maioria dos furacões tropicais. Segundo a
teoria de Emanuel (1989), os furacões tropicais resultam de uma instabilidade de amplitude
finita envolvendo o ciclone em estudo e a evaporação da água do oceano, induzida pelo
vento em sua superfície. Ao construir seu modelo matemático, este autor manteve conceitos
básicos da Física para simplificar a resolução de equações, como a da pressão central.
Após extensa dedução e manipulações algébricas, Emanuel (1986) alcança a seguinte
fórmula:
ln πB$ = Y7Z[\Z]^_Z[ ;`× aN∗
cd×Ze�fgOYfgN�hij× k�×lm�
cd×Z[?Y 7Z[\Z]^_
Z[ ;�?h`× aN∗×noOenZe � (14)
Onde: πB$ = pressão central = 1015 mb
Tp = temperatura absoluta no topo da camada limite = 295 K
T�q� = temperatura média de saída, ponderada com a entropia úmida saturada de
saída de superfícies de momento angular. Também chamada de temperatura na
estratosfera = 200 K
T$ = temperatura na superfície do ar (aproximadamente 5°C a mais que Tp) = 300 K
L = rsd×J[t = raio de deformação = 10000 km
qC* = proporção da mistura de ar ambiente, valor saturado
C* = capacidade de aquecimento do ar a pressão constante
R = constante universal dos gases = 8,31447 kJ/kmol.K
RHB = umidade relativa no centro da tempestade
RHC = umidade relativa do ambiente = 80%
RHB$ = umidade relativa da superfície central = 100%
f = parâmetro de Coriolis, para uma latitude de 20°
rv= maior raio do ciclone = 500 km
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Esta equação mostra a relação entre pressão central e o aumento da umidade relativa da
superfície central. Emanuel (1991) esclarece esta relação: “[...] uma transferência de calor
acima e além da associada à expansão térmica é necessária para sustentar um ciclone
tropical. Essa transferência extra-isotérmica é refletida por um aumento da umidade
relativa.” Conseqüentemente, a equação (14) mostra a grande influência que a pressão
central exerce sobre a formação dos furacões.
A fórmula comprova que o déficit de pressão é esperado para ser mais fraco em
tempestades geometricamente maiores (o efeito é apenas notável quando o raio do ciclone
é maior ou igual a 500 km e, por tal motivo, este é o valor utilizado nas contas). Para a
obtenção de resultados efetivos a partir desta equação, suas variáveis e os parâmetros
adotados são transmitidos para um programa computacional, como sugerido por Chapman
(2003). Com o auxílio destes programas, como o Excel ou MatLab, é possível elaborar um
gráfico representativo de seus resultados. Este gráfico apresentará o comportamento da
pressão central em função das outras variáveis a serem analisadas.
Os gráficos obtidos a partir deste modelo matemático serão discutidos nos Resultados.
MÉTODO
Para o estudo da modelagem matemática de um vórtice simétrico, a compreensão das
equações e Leis Físicas ou Matemáticas utilizadas é o primeiro passo, ou seja, saber o que
representa cada termo dentro da equação e qual a teoria por trás da mesma. Ooyama
(1964) cita em seus textos que a evolução e estrutura básica das tempestades são bem
capturadas por modelos axissimétricos simples.
Assim, o projeto foi iniciado a partir de uma revisão bibliográfica, consultando diversos livros
didáticos, para fixar conceitos básicos da Termodinâmica e Mecânica dos Fluidos, muitos
deles já citados no Referencial Teórico como Leis da Termodinâmica (Princípios da
Conservação de Energia, Massa e Momento Angular), Ciclo de Carnot, Entropia e Equação
de Bernoulli. Com os conceitos esclarecidos, o estudo passa para a próxima etapa de ler
artigos e estudos prévios sobre vórtices, familiarizando-se com o tema e relacionando os
itens estudados aos itens lidos. Dentre os principais elementos escolhidos para a leitura
estão os artigos de Kerry A. Emanuel, professor norte americano de meteorologia. Seus
artigos foram selecionados devido a sua grande influência na comunidade meteorológica por
ser especialista em convecção atmosférica e mecanismos agentes na formação de ciclones
tropicais.
Concentrando então em artigos voltados para a teoria dos furacões, foi iniciado um estudo
mais profundo do fenômeno físico. Inicialmente todas as variáveis que afetam o fenômeno
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foram identificadas, todas as hipóteses e aproximações razoáveis foram analisadas,
permitindo a compreensão da interdependência entre essas variáveis.
Algo que auxiliou imensamente a pesquisa foi analisar problemas já resolvidos. Por
exemplo, gráficos montados pelo mesmo professor Kerry A. Emanuel que avaliam a
distribuição da pressão central no mundo ao longo dos meses. Ao observar estes resultados
foi possível analisá-los até o início de sua formação, ou seja, como foi formado o problema
até a conclusão de sua resolução.
Posteriormente, ao dar continuidade ao projeto, o próximo passo seria modelar
matematicamente um problema, a fim de alcançar resultados próximos aos já observados. O
futuro objetivo será a realização da redução deste fenômeno, complexo em sua essência,
através de equações e situações simplificadas, transformando-o assim em um modelo
matemático. Portanto, os dados obtidos nos resultados da modelagem poderão ser
comparados e analisados, com base nos dados recolhidos no início da pesquisa, para um
possível refinamento do modelo.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Ao fim da investigação dos dados foi possível separar diversos itens indispensáveis para o
entendimento dos problemas. A discussão de alguns resultados interessantes será realizada
a seguir.
Inicialmente o dado recolhido mais importante foi a aproximação idealizada por Emanuel
(1991) de um vórtice simétrico, no caso de um furacão, ao ciclo de Carnot. Seguindo essa
teoria, o furacão pode ser idealizado como uma instabilidade da superfície trocadora de
calor induzida pelo vento, ou seja, quanto maior o vento superficial maior será a
transferência de calor a partir do mar, o que intensifica os ventos de tempestades. E como
um motor de Carnot, converte a energia calorífica extraída dos oceanos em energia
mecânica. O gráfico a seguir mostra esta aproximação.
Gráfico 1 – O furacão como um ciclo de Carnot
(Fonte: Emanuel, A. Kerry. The theory of hurricanes, 1991. p. 181)
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Simplificando a estrutura de um furacão, adota-se que seus vórtices comportam-se de modo
simétrico em relação ao centro da tempestade. O gráfico 1 representa esta simplificação, de
modo que a metade de um furacão pode ser vista em corte, sendo o eixo das ordenadas o
seu centro. Suas linhas contínuas representam o caminho realizado pelos vórtices e
movimentações de ar. Este caminho é descrito por Emanuel (1991) da seguinte forma:
Ao ir do ponto “a” ao ponto “c”, o ar vai em direção ao centro da tempestade, adquirindo
entropia da superfície do oceano a uma temperatura fixa. A partir do ponto “c” o ar sobe
adiabaticamente até aproximadamente o topo da tempestade, com normalmente um raio
muito amplo, no ponto “o”. Se o fluido deste sistema for o vapor d’água, esta parte do ciclo
será reversível e adiabática. O excesso de entropia é perdido através de exportação ou
radiação eletromagnética em uma temperatura T0, mais baixa. Inicia-se então o
encerramento do ciclo, que tem pouca contribuição termodinâmica. Esta hipótese permitiu a
simplificação dos cálculos aplicados no início da resolução de diversos problemas.
Já o próximo gráfico mostra os resultados obtidos em cálculos de Emanuel (1986). Ele
mostra as regiões de grandes tempestades, a partir das chamadas mínimas pressões
centrais.
Gráfico 2 – Mínima pressão central de ciclones tropicais. As pressões centrais dos ciclones mais intensos
registrados até 1991 estão marcadas com uma cruz. (Fonte: Emanuel, A. Kerry. An air-sea interaction theory for tropical cyclones - Part I, 1986. p. 592)
Regiões como América Central e regiões próximas ao Japão e à Indonésia estão sinalizadas
no gráfico como os locais de menor pressão central e, conseqüentemente os locais com
maior tendência à ocorrência de furacões, o que condiz com a nossa realidade. Portanto, é
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demonstrado matematicamente e experimentalmente que estas duas grandezas são
inversamente proporcionais, ou seja, quanto mais intensa for a tempestade, menor será a
pressão central envolvida. Assim, o gráfico 2 mostra a importância de se calcular a pressão
central, para que se definam as áreas mais propensas à ocorrência do fenômeno.
O gráfico 3 é mais uma demonstração de resultados obtidos em modelos matemáticos
resolvidos. Através da resolução e desenvolvimento da equação (14) do Referencial Teórico
é possível dispor o gráfico da pressão mínima central em função da temperatura de
superfície do ar e da temperatura média de saída (também chamada de temperatura na
estratosfera).
Gráfico 3 – Mínima pressão central demonstrada como função da temperatura da superfície do ar (Ts) e da
temperatura média de saída do ar na estratosfera (Tout) (Fonte: Emanuel, A. Kerry. The theory of hurricanes, 1991. p. 590)
As soluções apresentadas por este modelo de Emanuel (1991) mostram que ambas as
temperaturas causam modificações na pressão central, porém a temperatura da superfície
do ar se mostra mais sensível quando comparada à temperatura da estratosfera. É possível
notar que a máxima intensidade potencial dos ciclones aumenta rapidamente quando a
temperatura da superfície do ar está acima de aproximadamente 28°C e a temperatura
média de saída do ar na estratosfera é cada vez mais baixa.
A tese de Emanuel (1989) baseia-se no motivo da falta da ocorrência do fenômeno quando
a temperatura da superfície do ar está abaixo de 26°C e a temperatura da estratosfera mais
quente que -20°C. Segundo este autor, este fato ocorre já que nessa faixa de temperaturas
há a falta da instabilidade entre oceano e a atmosfera, necessária para dar início ao
processo de formação dos furacões.
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CONCLUSÃO
Os objetivos da pesquisa foram alcançados, de forma que foi possível estudar e entender o
comportamento dinâmico dos vórtices simétricos, além de analisar modelos matemáticos
existentes. Contudo, ao fim da análise teórica foi possível perceber a complexidade
envolvida no assunto visto. Pelo fato de os artigos lidos serem escritos para demonstração
de cálculos, e não de forma didática, e por ser um tema pouco estudado em minha
graduação, dificuldades foram encontradas em relação aos conceitos ao longo dos textos
lidos e das deduções analisadas. A revisão bibliográfica sempre constante durante a
pesquisa foi indispensável para o desenvolvimento do trabalho e um melhor entendimento
do tema. Ao mesmo tempo, foi muito interessante ampliar meu conhecimento nesta área,
que é de imensa importância para a ciência em geral e também para muitos países onde a
realidade dos furacões é freqüente, afetando a vida de milhares de pessoas.
REFERÊNCIAS
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ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2007.
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Thomson Pioneira, 2003.
EMANUEL, Kerry A. An Air-Sea Interaction Theory for Tropical Cyclones. Part I: Steady
State Maintenance. Journal of the Atmospheric Sciences, Boston; v. 43, 1986.
EMANUEL, Kerry A. The Finite-Amplitude Nature of Tropical Cyclogenesis. Journal of the
Atmospheric Sciences, Boston; v. 46, 1989.
EMANUEL, Kerry A. The theory of hurricanes.Annual Review of Fluid Mechanics, California;
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INCROPERA, Frank P. et al. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6. ed. Rio
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OOYAMA, K. A dynamical model for the study of tropical cyclone development.Geofisica
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ROTUNNO, R.; EMANUEL, Kerry A.An Air-Sea Interaction Theory for Tropical Cyclones,
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Atmospheric Sciences, Boston; v. 44, 1987.
SONNTAG, Richard E.; BORGNAKKE, Claus; VAN WYLEN, Gordon J. Fundamentos da