Jelek és rendszerek

Jelek és rendszerekJelek és rendszerek

Dr. Sudár SándorDr. Sudár Sándor

egyetemi docensegyetemi docens

Kísérleti Fizikai TanszékKísérleti Fizikai Tanszék


• TankönyvTankönyv– Fodor György: Jelek, rendszerek és hálózatok I. Fodor György: Jelek, rendszerek és hálózatok I.

Műegyetemi Kiadó, 1998Műegyetemi Kiadó, 1998– Fodor György: Hálózatok és rendszerek analíziseFodor György: Hálózatok és rendszerek analízise

• A kurzus weblapja:A kurzus weblapja:– http://kisfiz.phys.klte.hu/kisfiz/sudar/JelekEsRendsz/http://kisfiz.phys.klte.hu/kisfiz/sudar/JelekEsRendsz/

index.htmindex.htm

• KövetelményekKövetelmények• Számonkérés:Számonkérés:

– Évközben írásbeli két dolgozat 7.-14. hét Évközben írásbeli két dolgozat 7.-14. hét (jegymegajánlás)(jegymegajánlás)

– Év végén: írásbeli vizsgaÉv végén: írásbeli vizsga


• Témák:Témák:– JelekJelek– RendszerekRendszerek– Feladatok, példákFeladatok, példák

JelekJelek• A jelek valamilyen független változó A jelek valamilyen független változó

függvényei és valamilyen információt függvényei és valamilyen információt hordoznak.hordoznak.– Elektromos jelek: áram vagy feszültség Elektromos jelek: áram vagy feszültség

egy elektromos áramkörbenegy elektromos áramkörben– Akusztikai jelek: beszédhang vagy zeneAkusztikai jelek: beszédhang vagy zene– Videojelek: intenzitás változások a Videojelek: intenzitás változások a

képbenképben– Biológiai jelek: Bázissorrend egy génbenBiológiai jelek: Bázissorrend egy génben

A független változóA független változó

• Lehet folytonosLehet folytonos– Az űrsikló pályájaAz űrsikló pályája– Tömegsűrűség az emberi agybanTömegsűrűség az emberi agyban

• Lehet diszkrétLehet diszkrét– A bázissorrend egy DNA(A bázissorrend egy DNA(dezoxiribonukleinsavdezoxiribonukleinsav) )

molekulábanmolekulában– Egy digitális kép képpontjaiEgy digitális kép képpontjai

• A független változó lehet 1 dimenziós, 2-D, A független változó lehet 1 dimenziós, 2-D, 3-D, N-dimemziós3-D, N-dimemziós

A független változóA független változó

• Az egy dimenziós esetben, legtöbbször az Az egy dimenziós esetben, legtöbbször az idő szerepel független változóként.idő szerepel független változóként.– Folytonos időfüggésű jel (CT, vagy FI)Folytonos időfüggésű jel (CT, vagy FI)

– Diszkrét időfüggésű jel (DT, vagy DI)Diszkrét időfüggésű jel (DT, vagy DI)

t),t(x ahol t folytonos

n],n[x ahol n egész érték

Folytonos jel Folytonos jel

• A valódi fizikai világ jelei sok esetben A valódi fizikai világ jelei sok esetben folytonosak. folytonosak. Pl. feszültség, áram, nyomás, Pl. feszültség, áram, nyomás, hőmérséklet, sebesség, gyorsulás hőmérséklet, sebesség, gyorsulás stb.stb.

Diszkrét jel (függő változó)Diszkrét jel (függő változó)

• x[n], ahol n egész, vagy diszkrét lépések az x[n], ahol n egész, vagy diszkrét lépések az időbenidőben

• Természetben előforduló diszkét jelek:Természetben előforduló diszkét jelek:– DNA bázissorrendjeDNA bázissorrendje– Valamelyik faj n-ik generációjában lévő tagok számaValamelyik faj n-ik generációjában lévő tagok száma

Emberek által létrehozott DT Emberek által létrehozott DT jelekjelek

Tőzsdeindex

Digitális fotó

Miért fontosak a DT jelek? Digitális számítógépekkel és digitális jelfeldolgozó processzorokkal (DSP) feldolgozhatók

Speciális jelekSpeciális jelek

• Diszkrét jelekDiszkrét jelek– Diszkrét egységimpulzus, jele Diszkrét egységimpulzus, jele [k][k]

– Eltolt ütemű egységimpulzusEltolt ütemű egységimpulzus

Zk,

k,

Zk,

k

0

01

0

ki,

ik,

ik,

ik

10

1

10

0

1

1

0 i

Diszkrét egységugrás Diszkrét egységugrás függvényfüggvény

Nk,

Zk,k

1

0

Diszkrét idejű egységugrás

0

1

1 2 3

0i

ikk

Eltolt diszkrét egységugrás Eltolt diszkrét egységugrás függvényfüggvény

ki,

ik,ik

1

10

i

1

i+1i+2i+3

0i

ijkjk

RendszerekRendszerek

• A jelen előadásban a rendszereket úgy A jelen előadásban a rendszereket úgy tekintjük, mint egy bemenettel és tekintjük, mint egy bemenettel és kimenettel rendelkező egységetkimenettel rendelkező egységet

• A bemenetére érkező jelre egy a A bemenetére érkező jelre egy a kimentén megjelenő válaszjellel kimentén megjelenő válaszjellel válaszolválaszol

)t(x )t(yFI rendszer

nx nyDI rendszer

Példák rendszerekrePéldák rendszerekre

• RLC körRLC kör

• Egy repülőgép dinamikus viselkedéseEgy repülőgép dinamikus viselkedése• Algoritmus a kötvények árfolyamának becslésére a Algoritmus a kötvények árfolyamának becslésére a

pénzügyi, gazdasági faktorok függvényébenpénzügyi, gazdasági faktorok függvényében• Algoritmus egy űreszköz indítás utólagos elemzéséreAlgoritmus egy űreszköz indítás utólagos elemzésére• Egy orvos diagnosztikai képfelvételen az élek Egy orvos diagnosztikai képfelvételen az élek

detektálására szolgáló algoritmus.detektálására szolgáló algoritmus.

Rendszerek Rendszerek összekapcsolásaösszekapcsolása

• Rendszerek összekapcsolásának okaiRendszerek összekapcsolásának okai– Bonyolult rendszer felépítése Bonyolult rendszer felépítése

egyszerűbb rendszerekbőlegyszerűbb rendszerekből– A rendszer válaszának a módosításaA rendszer válaszának a módosítása

• Jelek áramlásaJelek áramlásaSorbakapcsolt

Párhuzamos

Visszacsatolt

Példák rendszerekrePéldák rendszerekre

)t(x )t(yFI rendszer nx nyDI rendszer

RLC kör

)t(x)t(ydt)t(id

L)t(iR

dt)t(yd

C)t(i

)t(x)t(ydt)t(dy

RCdt

)t(ydLC 2

2

Mechanikai rendszerMechanikai rendszer

Mechanikai rendszer

M a test tömegeK a rugóállandóD a csillapításx(t) a külső erőy(t) az elmozdulás

Newton II. törvénye szerint

)t(Kydt)t(dy

D)t(xdt

)t(ydM 2

2

)t(x)t(Kydt)t(dy

Ddt

)t(ydM 2

2

Hővezető rendszer állandósult Hővezető rendszer állandósult állapotbanállapotban

Hőmérséklet

t a távolság a rúd mentény(t) a hőmérséklet a rúdbanx(t) a környezet hőmérséklete

Hővezető rendszer állandósult Hővezető rendszer állandósult állapotbanállapotban

• MegfigyelésekMegfigyelések– A független változó nem csak idő lehet, hanem egy térváltozó A független változó nem csak idő lehet, hanem egy térváltozó

is.is.– Az ilyen rendszereknek a kezdeti feltételekkel szemben, vagy Az ilyen rendszereknek a kezdeti feltételekkel szemben, vagy

mellett még határfeltételeket is ki kell elégíteni.mellett még határfeltételeket is ki kell elégíteni.

01

00

2

2

dt)T(dy

y)T(y

)t(x)t(ykdt

)t(yd

Pénzügyi rendszerPénzügyi rendszer

t),t(x),...,t(x),t(x),t(x,

dt)t(dy

),t(yfdt

)t(ydN3212

2

Egy kötvény értékének fluktuációja

t=0 A kötvény értéke a vásárláskor y0

t=T A kötvény értéke a lejáratkor yT

y(t) A kötvény értéke a t időpontbanx(t) Külső faktorok, amelyek hatással vannak a kötvény

értékére

Ty)T(yy)(y 00

Időfüggő rendszerek esetén is vannak olyanok, amelyekhez határfeltételek tartoznak

Egy egyszerű éldetektorEgy egyszerű éldetektor

11

121

nxnxnxnx

nxnxnxny

Második differencia

nnnx Ha nny

Egy egyszerű éldetektorEgy egyszerű éldetektor

11211 n)n(nnn)n(ny 000201 y 100210 y 001221 y 01122132 y

ÖsszefoglalásÖsszefoglalás

• A rendszerek nagy csoportja leírható differenciál A rendszerek nagy csoportja leírható differenciál vagy differencia egyenletekkel (de természetesen vagy differencia egyenletekkel (de természetesen nem minden érdekes rendszerre igaz)nem minden érdekes rendszerre igaz)

• Az egyenletek csak néhány kiegészítő (kezdeti és Az egyenletek csak néhány kiegészítő (kezdeti és határfeltételekkel) feltételekkel írják le a határfeltételekkel) feltételekkel írják le a rendszertrendszert

• Néhány esetben az idő a rendszer természetes független változója és a rendszer kauzális. (Csak időben korábbi gerjesztésektől függ a válasz.)

• Nagyon különböző fizikai rendszereknek nagyon hasonló matematikai leírás tartozik.

A rendszer tulajdonságaiA rendszer tulajdonságai

Miért fontosak?– Fontos gyakorlati/fizikai következményei

vannak.– Lehetőséget adnak rendszer mélyebb

struktúrájának megértésére és analizálására.

Kauzális rendszerek Kauzális rendszerek

• A rendszer kauzális, ha a kimenő érték nem A rendszer kauzális, ha a kimenő érték nem függ jövőbeni bementi értéktőlfügg jövőbeni bementi értéktől

• Az összes valósidejű fizikai rendszer kauzális, Az összes valósidejű fizikai rendszer kauzális, az ok és okozat nem cserélhető fel.az ok és okozat nem cserélhető fel.

• A nem kauzalitás objektumok A nem kauzalitás objektumok megvalósítandó célt jelentenekmegvalósítandó célt jelentenek

• A kauzalitás nem alkalmazható felvett jeleket A kauzalitás nem alkalmazható felvett jeleket feldolgozó rendszerekre. (Kép, vagy hang feldolgozó rendszerekre. (Kép, vagy hang felvételek utólagos feldolgozása.) felvételek utólagos feldolgozása.)

Kauzális rendszerekKauzális rendszerek

• Matematikai szempontból egy folytonos (CT vagy Matematikai szempontból egy folytonos (CT vagy FI) rendszer kauzális, ha y(tFI) rendszer kauzális, ha y(tii) válasz csak olyan x(t) ) válasz csak olyan x(t) bemenőjel értékektől függ, amelyekre igaz tbemenőjel értékektől függ, amelyekre igaz t t tii

• Pl.Pl.

)t(x)t(y 12 Kauzális mert y(5) csak x(4) től függ

)t(x)t(y 1 Nem kauzális mert y(5) függ x(6) tól

]n[x]n[y y[3]=x[-3] de y[-3]=x[3] nem kauzális

121 3

1

nx]n[yn

y[5] csak x[4] től függ

Idő invariáns rendszerekIdő invariáns rendszerek

• Egy rendszer csak akkor invariáns, ha a Egy rendszer csak akkor invariáns, ha a gerjesztés időbeli eltolása csak egy gerjesztés időbeli eltolása csak egy ugyanakkora időbeli eltolást okoz a ugyanakkora időbeli eltolást okoz a válaszban.válaszban.

• Fizikai objektumok sohasem invariánsak Fizikai objektumok sohasem invariánsak az öregedés, a hőmérséklet-ingadozás és az öregedés, a hőmérséklet-ingadozás és hasonló hatások következtébenhasonló hatások következtében

• Rövid időtartam esetén az invariáns Rövid időtartam esetén az invariáns rendszer lehet jó közelítés.rendszer lehet jó közelítés.

]n[y]n[x ha akkor ]nn[y]nn[x 00

Idő invariáns rendszerekIdő invariáns rendszerek

• PéldákPéldák

)t(x)t(y 12 Idő invariáns rendszer

121 3

1

nx]n[yn

Nem invariáns rendszer

Időinvariáns rendszerekIdőinvariáns rendszerek

• Periodikus gerjesztés, időinvariáns Periodikus gerjesztés, időinvariáns rendszer válasza is periodikus lesz.rendszer válasza is periodikus lesz.

)t(x)Tt(x )t(y)t(x

Időinvariáns rendszer esetén

)Tt(y)Tt(x Ugyanaz az input Ugyanannak a válasznak kell lenni

)t(y)Tt(y

Jelek és rendszerek

Documents