Matematic ˇki panoptikum Jednostavno nemoguc ´ e! Sandra Grac ˇ an, Zagreb Je li vam se ikada dogodilo da gledate sliku i vidite na njoj objekte sasvim jasno, a pritom osjec ´ate da tu “nes ˇto ne s ˇtima”? Ne- moguc ´i objekti predmeti su koje moz ˇemo za- misliti i nacrtati, no nemoguc ´e ih je zaista napraviti. Iako su prilic ˇno uvjerljivi, oni u trodimenzionalnom svijetu ne postoje. Moguc ´nost zamis ˇljanja i crtanja nemo- guc ´ih predmeta i njihova uvjerljivost upravo su ono s ˇto im daje draz ˇic ˇini ih atraktivnima. Na sljedec ´ih nekoliko stranica -a zavirit c ´emo u taj tajanstveni svijet. Uc ˇ emu je trik? Ono s ˇto c ´emo zapravo promatrati samo je niz linija ispisanih na komadu papira! Ipak, c ˇinit c ´e se da vidimo c ˇvrste objekte. U tome i jest prvi trik nemoguc ´ih predmeta — na njega c ´emo odmah “nasjesti”. Gledanje je prilic ˇno sloz ˇen proces u ko- jem oko s ˇalje sliku predmeta u obliku z ˇivc ˇa- nih impulsa mozgu. Mozak je taj o kojem ovisi interpretacija i shvac ´anje vid enog. Pri- tom veliku ulogu imaju iskustvo i pretpostav- ke koje smo stvorili na temelju vec ´ vid enog. Postoje tri osnovna pokazatelja na teme- lju kojih izvodimo zakljuc ˇke o poloz ˇaju i ori- jentaciji nacrtanog predmeta. To su: 1. prekrivanje i spajanje — predmet ili dio predmeta koji se nalazi iza ili ispod, ne vidi se, prekriven je predmetom ili di- jelom koji je ispred ili iznad. Na prvoj slici A je ispred B, na drugoj je B ispred A, a na trec ´oj su A i B spojeni, tj. na jednakoj udaljenosti. Stavimo li u kontradikciju taj pokazatelj, eto nemoguc ´eg: ljestve idu iznutra, a zavrs ˇa- vaju izvan kutije! 2. povezanost ravnine — daje nam infor- maciju koji dijelovi predmeta lez ˇe u is- toj ravnini ili su na jednakoj udaljenos- ti. Kombiniramo li prekrivanje i pove- zanost, dva kontradiktorna pokazatelja poloz ˇaja na istoj slici, evo jos ˇ jednog jednostavnog nemoguc ´eg predmeta. 12, 2001 73
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Matematicki panoptikum
Jednostavnonemoguc e!
Sandra Gracan, Zagreb
Je li vam se ikada dogodilo da gledatesliku i vidite na njoj objekte sasvim jasno, apritom osjecate da tu “nesˇto ne stima”? Ne-moguci objekti predmeti su koje mozemo za-misliti i nacrtati, no nemoguce ih je zaistanapraviti. Iako su prilicno uvjerljivi, oni utrodimenzionalnom svijetu ne postoje.
Mogucnost zamisljanja i crtanja nemo-gucih predmeta i njihova uvjerljivost upravosu ono sto im daje drazˇ i cini ih atraktivnima.
Na sljedecih nekoliko stranica -a zaviritcemo u taj tajanstveni svijet.
U cemu je trik?
Ono sto cemo zapravo promatrati samoje niz linija ispisanih na komadu papira! Ipak,cinit ce se da vidimo cvrste objekte. U tome ijest prvi trik nemogucih predmeta — na njegacemo odmah “nasjesti”.
Gledanje je prilicno slozen proces u ko-jem oko salje sliku predmeta u obliku zˇivca-nih impulsa mozgu. Mozak je taj o kojemovisi interpretacija i shvacanje videnog. Pri-tom veliku ulogu imaju iskustvo i pretpostav-ke koje smo stvorili na temelju vec videnog.
Postoje tri osnovna pokazatelja na teme-lju kojih izvodimo zakljucke o polozaju i ori-
jentaciji nacrtanog predmeta. To su:1. prekrivanje i spajanje — predmet ili
dio predmeta koji se nalazi iza ili ispod,ne vidi se, prekriven je predmetom ili di-jelom koji je ispred ili iznad. Na prvojslici A je ispredB, na drugoj jeB ispredA, a na trec´oj su A i B spojeni, tj. najednakoj udaljenosti.
Stavimo li u kontradikciju taj pokazatelj,eto nemoguceg: ljestve idu iznutra, a zavrsˇa-vaju izvan kutije!
2. povezanost ravnine— daje nam infor-maciju koji dijelovi predmeta leze u is-toj ravnini ili su na jednakoj udaljenos-ti. Kombiniramo li prekrivanje i pove-zanost, dva kontradiktorna pokazateljapolozaja na istoj slici, evo jos jednogjednostavnog nemoguceg predmeta.
12, 2001 73
3. orijentacija — jednostavna tijela, poputkocke, kvadra i sl., jasno nam pokazu-ju svojim stranama smjerove i polozˇaj uprostoru. Na lijevoj slici nema proble-ma u razumijevanju, dok na desnoj nijesve bas sasvim jasno, orijentacija se nepostuje na cijeloj slici jednako. Cˇ ini seda se lijevi kvadar udaljuje, a desni pri-blizava promatracu, ali nacin na koji seprekrivaju govori upravo suprotno.
Nemoguci trokut
Neobicna stvarcica
Upoznajmo se s prvim nemogucim ob-jektom. To je nemoguci trokut — nazovimogatrikut — cije “stranice” su tri kvadra. Sˇ to
je tu neobicno? Pogledamo li trikut pazljivi-je, vidimo da su u gornjem kutu kvadriA i Bokomiti, u lijevom kutu suB i C okomiti, a udesnom kutu se pak kvadriC i A spajaju podpravim kutom. Nemoguce?!
Na sljedecoj slici pogledajte kako “slozˇi-ti” trikut. On na jedan specijalan nacin zaistapostoji, zar ne?! Priznajte, crtez izgleda vrlouvjerljivo i premda znamo da to “ne ide”, nijese lako osloboditi osjecaja da mozda ipak...
Osim toga, slicica nas naprosto “vu-ce” da izracunamo volumen i oplosje trikuta.Pretpostavimo li da svaka kocka ima duljinustranice 1 cm, tada je svaka stranica trikutaduga 5 cm. Volumen tada iznosi 12 cm3, aoplosje je 48 cm2. Stvar je “samo” u prebro-javanju kockica!
Gruba stvarnost
Trikut u punoj njegovoj ljepoti mozetevidjeti na stranicama panoptikuma. Dokazu-je li to da je zaista moguce napraviti nemo-guci trokut? Naravno da ne.
Pokusajte zamisliti kako izgleda ako bi-smo ga samo malo zarotirali ili promatrali iznesto drugacijeg kuta. Znamo da se kvadriod kojih se sastoji trikut u stvarnom prostorune dodiruju. Osim toga, povucemo li pravcekroz osi kvadaraA, B i C, dobit cete trokuts tri prava kuta! Promatramo li pak tri me-dusobno okomite ravnineA, B i C, po svimpravilima Euklidske geometrije trebale bi sesjeci u jednoj tocki.
Na sljedecoj fotografiji u zrcalu vidi sekako zapravo izgleda fotografirani model.
74 12, 2001
Mozete i vi izraditi trodimenzionalnimodel od kartona, dio kojeg, gledate li iztocno odredenog kuta, vidite kao nemoguc´itrikut. Naravno, to nije “pravi” trikut, on jezaista nemoguc! Evo sheme.
Ljudska masta moze svasta...
Nemoguci trokut moze se iskoristiti kaoosnova pri crtanju drugih nevjerojatnih obje-kata. Djelic onoga sto nastane kad ljudi pustemasti na volju mozete pogledati u panoptiku-mu.
Godine 1934. svedski umjetnik OscarReutersvard nacrtao je kompoziciju od de-vet kockica i prvi nemoguci trokut je stvoren.On je nastavio eksperimentirati s nemoguc´imobjektima i rezultat toga je nekoliko stotinacrteza. 1982. godine svedska posta je njemuu spomen izdala seriju od tri marke s njego-vim nemogucim objektima.
1958. godine L. S. i R. Penrose, otaci sin, objavili su kratki clanak u casopisuBritish Journal of Psychology: “Nemoguciobjekti, posebna vrsta iluzije”�“Impossibleobjects, a special kind of visual illusion”�. Unjemu prvi put opisuju nemoguci trokut kojise od tada, njima u cast, naziva “Penroseovtrokut” kao i nemoguce stepenice o kojimace biti rijeci nesto kasnije. Vise o Sir RogeruPenroseu mozete procitati na internet adresihttp���www�worldofescher�com�misc�
penrose�html.
12, 2001 75
Njemacki umjetnik, graficar M. C. Escher,
�o kome smo vec pisali u -u br. 10�,najzasluzniji je za popularizaciju nemoguc´ihobjekata. Najpoznatija je njegova litografija“Vodopad”, prodana u vise od 160 000 prim-jeraka! Na toj slici uocˇit cete dva nemoguc´atrokuta. Cini se da voda mirno tece prema do-lje, a ipak zavrsava na visem polozaju odaklese slijeva na mlin u obliku vodopada. Escherje na toj slici briljantno iskoristio trikut kakobi kreirao pravi “perpetuum mobile”.
Nemoguc i cetverokut
Korak dalje
Nemoguci cetverokut — cetirikut ili,mozda bolje receno, nemoguci okvir dobijese lako “razvlacenjem” trikuta udesno:
Sastoji se od dva paralelna kvadra i dvakvadra postavljena “u kriz” pod pravim ku-tom, a sva cetiri cine cvrsti okvir. Pogledate licrteze “normalnih” prozorskih okvira, uocˇit
cete kako je nemoguci okvir njihova nemo-guca kombinacija. StupoviA i B s lijevogokvira spojeni su sa stupovimaC i D s des-nog okvira.
Nemoguce okvire mozemo sastaviti i nanekoliko drugacijih nacina. Uocimo da po-stoje tocno 4 razlicita kuta�na donjoj slicisu oznaceni brojevima 1, 2, 3 i 4� jednog“normalnog” okvira. Nemoguce okvire sa-stavljamo kombinirajuci neke od tih kutova.Na slici vidimo kombinaciju�1,2,1,2�, a samise mozete poigrati i nacrtati okvir sastavljenod kutova�4,4,4,4�, ili npr. �4,1,4,1�.
76 12, 2001
Poopcenje?
Sto je s multikutovima? Moze se pretpo-staviti da ce takvi nemoguci objekti biti josinteresantniji. No, ipak nije tako. Dva suglavna razloga.
1. Na papiru su najdojmljiviji i najuvjerlji-viji crtezi pravog kuta. Snaga trikuta icetirikuta je upravo u tome sˇto se cini dasu svi kutovi pravi! Sto su kutovi vec´iod 90�, manje su efektni.
2. Slozenost je drugi razlog. Sˇ to je viselinija i stupova, uocava se manje kontra-diktornosti.Evo nekoliko slicica, pa prosudite sami.
Nemoguc e kocke
Zelimo li ipak korak dalje, onda je zani-mljivo pogledati jos jednu vrstu nemoguc´ihobjekata: nemoguce kocke.
Prva kocka nacrtana je sa svih 12 bridovajednake debljine. To je tzv. Neckerova kocka.Nije sasvim jasno promatramo li je odozgo iliodozdo i koja od tocakaR i P je na prednjojstrani. Zelimo li promatracu dati informacijusto je ispred a sto iza, nacrtat cemo nevidljive
linije tanje, ili prekinuti bridove koji se nala-ze iza — druga slicica izgleda sasvim u redu,tocka R je iza, a tocˇkaP na prednjoj strani.
No, sto ako tu nesto “pobrkamo”? Malapromjena na trecoj slicici daje oku do znanjakoji bridovi su blizi i sada zakljucujemo da sutocke P i R jednako udaljene od promatracˇa!Jednostavna i uvjerljiva iluzija!
Evo jos jednog nacina na koji mozetenacrtati nemogucu kocku: promatrajte cetirirazlicita vrha “obicne” kocke i�kao i kod ce-tirikuta� isprobajte nemoguce kombinacije.
Pri “konstrukciji” ipak treba paziti da sene pretjera s kontradiktornostima jer se slikamoze raspasti na niz besmislenih linija.
Nadalje, mozete nacrtati i kocke s nemo-gucim spojevima...
12, 2001 77
... ili pak kocke ciji dijelovi su promat-rani svaki iz svoje perspektive:
Cini se da ljudska masta zaista nema gra-nica. Tu je Escher bio pravi majstor. Pogle-dajmo gore desno njegovu litografiju “Vidi-kovac”, baziranu na nemogucoj kocki. Stvar-no i nestvarno ispreplice se u pravoj mjeri islika ostavlja snazan dojam.
Nemoguce stube
Upoznajmo se sada s jos jednim nemo-gucim objektom: Penroseovim stepenistem.To je niz stepenica povezanih u zatvorenu cje-linu tako da se u pozitivnom smjeru beskraj-no penjete, a u negativnom smjeru spustate.
Kako je to moguce? Pa sve izgleda sasvimispravno. Skoro!
Kako bi nam varka bila jasnija, pogledaj-mo stepeniste sa samo cetiri stepenice. Naslici lijevo sasvim je jasno da se stepenicespustaju u smjeru kazaljke na satu i vidi serazlika u visini prve i cetvrte stepenice. No,na desnoj slici prva i cetvrta stepenica pro-
78 12, 2001
mijenile su polozaj: najvisa stepenica se nasˇ-la ispod najnize i dobili smo beskrajni krug.Povecamo li broj stepenica, iluzija je jos upe-catljivija.
Vratimo se sada i po treci put M. C.Escheru. Ovoga puta pogledajmo njegovu li-tografiju “Uspinjanje i silazenje”. Litografijaprikazuje Penroseovo stepeniste po kojem ubeskraj kruze zakrabuljeni ljudi jedni mimodrugih tako da se jedni stalno spustaju, a dru-gi se pak stalno uspinju. Cˇ ini se da se svakihpola kruga mimoidu isti ljudi. Zgodno, zarne?
U ravnini, a ipak se uspinje...
Sljedeca tri crteza pokazuju nam jos je-dan nacin “zbunjivanja protivnika”.
Na slici a� nema poblema s interpreta-cijom videnog: to je ravna, kvadratima pop-locena ploha odredene debljine. Na slici b�jedan rub plohe je nazubljen sˇto ce nase okojako asocirati na stepenice. Dodamo li jos nizvertikalnih linija u obliku zida uz taj rub, on-da ce zakljucak biti da se na tom dijelu crtezˇazaista radi o stepenicama. Ostaje naravnoproblem objasniti kako to da je desni rub idalje ravan. Dodate li jos nekoliko detalja ievo lijepog nemoguceg objekta:
12, 2001 79
I blizu i daleko
Sljedeci niz slicica pokazat ce nam kakonastaje predmet cija povrsina je istovremenona dvije razlicite udaljenosti od promatracˇa:
Na slici a� lik je nesumnjivo ploha u rav-nini. Na slici b� lik dobiva debljinu, no njego-va prednja ploha jos uvijek je ravna i jednakoudaljena od promatraca. Takoder vjerujemoda je i straznja strana predmeta ravna ploha.Na slici c� predmet postaje jos deblji i na sce-ni se pojavljuje mala kocka. Jos uvijek nemaproblema. Na slici d� kocka je pomaknuta ievo konflikta. Tocke Q i P jednako su uda-ljene od promatraca, kao i tocˇke Q i R. No,tockaP je nesumnjivo bliza od tocˇkeR.
I horizontalno i vertikalno
U stvarnosti ravna ploha ne moze istov-remeno biti polegnuta i uspravna. Evo nacinana koji mozemo i to postici. Pogledajte tra-pezABCD:
Usmjerimo li svoju paznju samo na lije-vi rub trapeza,�desni pokrijte rukom�, crtezmozemo interpretirati kao horizontalnu plo-hu, dok bismo, gledajuci samo desni kraj,pretpostavili da se radi o vertikalnoj plohi.
Dodamo li sada crtezu jos vise detaljakoji ce nas navoditi na kontradiktorne zak-ljucke, dobili smo jos jedan nemoguci objekt.Pogledajte ovu neobicnu stepenastu pirami-du — hram nemoguceg. Broj stepenica sasvake strane te piramide je drugaciji!
Povrsine koje nestaju
Posebnu grupu nemogucih predmeta cˇi-ne predmeti s razlicitim ulogama povrsina.Na jednom kraju crteza povrsina ce biti diopredmeta, a na drugom kraju dio pozadine.Evo jedne zanimljive slicice koju je nacrtaoZenon Kulpa. Gledamo li lijevi dio slike, vi-dimo dva razlicita stupa, ali desni dio prika-zuje samo jedan stup i njegovu sjenu... Drugistup se jednostavno rastopio.
80 12, 2001
Priznajte, nije lako odgovoriti na pitanjekoliko nogu ima ovaj slon...
...ili kako ove svijece stoje na svijecnja-ku:
To nije sve...
Ovo je, naravno, samo dio price o ne-mogucim predmetima. Proucavanje nemo-
gucih predmeta sigurno nije grana matema-tike, iako se u njihovu opisivanju i analizirabe matematicke metode. Zanimljivo je daje vise od stotinu clanaka napisanih na tu te-mu objavljeno u kompjutorskim casopisima,naime, nemoguci predmeti trebali bi pomoc´iu razumijevanju i stvaranju programa koji biomogucili robotima da “vide”.
Mozda bi nemoguci predmeti bili zanim-ljiva tema i ucenicima, ciji zadatak bi bio ma-tematickim metodama dokazati njihovu ne-mogucnost. Kako su to napravili slovenskiucenici 3. i 4. razreda kamniske gimnazije,mozete pogledati u posebnom broju slovens-kog casopisa “Logika in razvedrilna matema-tika” �sedmo godiste, 1997–1998, br. 4�.
Na kraju, znate li lijepo crtati, mozˇdadobijete zelju da se sami okusate u stvaranjunemogucih predmeta. Bilo bi lijepo vidjetivasih ruku djelo. Pisite nam!
A za one koji ce radije samo gledati, evoadrese web stranica na kojima mozete po-gledati neobicne objekte i predmete OscaraReutersvarda, Brune Ernsta i ostalih autora:http���www�palmyra�demon�co�uk�
illusion�oscar�oscar�htm. Pogledajte!
Bruno Ernst pseudonim je nizozemcaJ. A. F. de Rijka. Fasciniran nemoguc´imobjektima, upoznao se s vecinom vodec´ihumjetnika i znanstvenika koji su proucˇa-vali nemoguce predmete. U jesen 1986.godine u Utrechtu organizirao je medu-narodnu izlozbu posvecenu nemoguc´imobjektima. Pratio je Escherov rad i pi-sao clanke o Escherovim litografijama, azatim je izdao knjigu o njegovom zˇivo-tu i radu. Odusevili su ga i radovi Os-cara Reutersvarda, a i drugih autora, paje 1985. godine objavio knjigu o nemo-gucim objektima “Avanture s nemoguc´imfigurama”, (“Adventures with impossiblefigures”, prijevod na engleski je u izdanjuTarquin publications, 1986.). Ovaj clanakposljedica je citanja (i gledanja) te knjige.