JEAN-MARC GINOUX JEAN-MARC GINOUX BRUNO BRUNO ROSSETTO ROSSETTO [email protected][email protected][email protected][email protected]http:// http:// ginoux.univ-tln.fr ginoux.univ-tln.fr http://rossetto.univ-tln.fr http://rossetto.univ-tln.fr Laboratoire PROTEE, I.U.T. de Toulon Laboratoire PROTEE, I.U.T. de Toulon Université du Sud, Université du Sud, B.P. 20132, 83957, LA GARDE Cedex, France B.P. 20132, 83957, LA GARDE Cedex, France S S É É RIES RIES
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Laboratoire PROTEE, I.U.T. de Toulon Laboratoire PROTEE, I.U.T. de Toulon Université du Sud, Université du Sud,
B.P. 20132, 83957, LA GARDE Cedex, FranceB.P. 20132, 83957, LA GARDE Cedex, France
SSÉÉRIESRIES
G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 22
A.A. Séries NumériquesSéries Numériques1.1. Définitions Définitions2.2. Condition nécessaire de convergence Condition nécessaire de convergence3.3. Série géométrique Série géométrique
B.B. Séries à termes positifsSéries à termes positifs1.1. Théorèmes de comparaison Théorèmes de comparaison2.2. Règle de Cauchy Règle de Cauchy3.3. Règle de d'Alembert Règle de d'Alembert4.4. Comparaison avec une intégrale Comparaison avec une intégrale5.5. Série de Riemann Série de Riemann
PLANPLAN
G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 33
C.C. Séries à termes de signes quelconquesSéries à termes de signes quelconques
2.2. Condition nécessaire de convergenceCondition nécessaire de convergence
Pour qu'une série converge il faut que son terme Pour qu'une série converge il faut que son terme
général Ugénéral Unn tende vers 0 quand tende vers 0 quand
En effet, si la série converge et admettent une En effet, si la série converge et admettent une limite lorsquelimite lorsque
Cette condition n'est pas suffisante !Cette condition n'est pas suffisante ! Sa réciproque est fausse ! Sa réciproque est fausse !
La contraposée de cette condition permet de démontrerLa contraposée de cette condition permet de démontrerla divergence d'une série.la divergence d'une série.
Ex 1Ex 1 :: Soit la série de terme général appelée Soit la série de terme général appelée série harmonique. Son terme général tend bien vers 0 série harmonique. Son terme général tend bien vers 0 lorsque Supposons la quantité : lorsque Supposons la quantité :
Soit, Soit,
Or si la série convergeait tendrait vers une limite SOr si la série convergeait tendrait vers une limite Slorsque et il en serait de même pour etlorsque et il en serait de même pour etalors ce qui est en contradictionalors ce qui est en contradiction
avec donc la série diverge !avec donc la série diverge !
La série est absolument convergente La série est absolument convergente
si la série est convergente.si la série est convergente.
Si la série est absolument convergente Si la série est absolument convergente
alors la série est convergente.alors la série est convergente.
La réciproque est fausse !La réciproque est fausse !
C. Séries à termes de signes quelconquesC. Séries à termes de signes quelconques
nUnU
nUnU
G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 1515
2.2. Semi-convergenceSemi-convergence
Si la série diverge et si la série est Si la série diverge et si la série est
néanmoins convergente, alors on dit que la sérienéanmoins convergente, alors on dit que la série
est semi-convergente. est semi-convergente.
nUnUnU
C. Séries à termes de signes quelconquesC. Séries à termes de signes quelconques
G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 1616
3.3. Séries alternéesSéries alternées
La série est dite alternée si son terme généralLa série est dite alternée si son terme général
est alternativement positif et négatif à partir d'un certainest alternativement positif et négatif à partir d'un certain
rang, i.e., telle que , rang, i.e., telle que ,
Théorème 3Théorème 3 : Pour qu'une série alternée converge, : Pour qu'une série alternée converge, il suffit que la valeur absolue de son terme général il suffit que la valeur absolue de son terme général tende vers 0 en décroissant, i.e., telle que :tende vers 0 en décroissant, i.e., telle que :
soit décroissantesoit décroissante
nU
C. Séries à termes de signes quelconquesC. Séries à termes de signes quelconques
n 1 n
n nU V
nU
lim 0nnU
G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 1717
D.D. Séries de fonctionsSéries de fonctions
1.1. Convergence simple et uniformeConvergence simple et uniforme
La série de fonctions converge simplement surLa série de fonctions converge simplement sur
un intervalle I si la suite converge un intervalle I si la suite converge
simplement sur I.simplement sur I.
La série de fonctions converge uniformément surLa série de fonctions converge uniformément sur
un intervalle I si la suite converge un intervalle I si la suite converge
uniformément sur I.uniformément sur I.
D. Séries de fonctionsD. Séries de fonctions
nf
0
n
n kk
S x f x
0
n
n kk
S x f x
nf
G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 1818
2.2. PropriétésPropriétés
P1P1 : :
Si la série de fonctions continues sur I converge Si la série de fonctions continues sur I converge
uniformément sur I, alors la fonction définie par : uniformément sur I, alors la fonction définie par :
est continue sur Iest continue sur I
D. Séries de fonctionsD. Séries de fonctions
nf
0
: kk
S x f x
G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 1919
2.2. PropriétésPropriétés
P2P2 : Intégration terme à terme : Intégration terme à terme
Si la série de fonctions continues sur Si la série de fonctions continues sur
converge uniformément sur alors converge uniformément sur alors
D. Séries de fonctionsD. Séries de fonctions
nf
0 0
b b
k kk ka a
f x dx f x dx
,a b ,a b
G.E.I.I.G.E.I.I. SériesSéries 2020
2.2. PropriétésPropriétés
P3P3 : Dérivation terme à terme : Dérivation terme à terme
Si la série de fonctions dérivables sur I Si la série de fonctions dérivables sur I
converge simplement sur I alors la fonction converge simplement sur I alors la fonction
est dérivable sur I et sa dérivéeest dérivable sur I et sa dérivée