Ordre sur le mono¨ ıde de tresse dual Jean Fromentin Laboratoire de Math´ ematiques Nicolas Oresme Universit´ e de Caen 1/29
Ordre sur le monoıde de tresse dual
Jean Fromentin
Laboratoire de Mathematiques Nicolas OresmeUniversite de Caen
1/29
Monoıde de tresses positives Le monoıde B�n admet la presentation :
⟨
σ1, ..., σn�1
;σiσj � σjσi si |i� j| ¥ 2
σiσjσi � σjσiσj si |i� j| � 1
⟩�
2/29
Monoıde de tresses positives Le monoıde B�n admet la presentation :
⟨
σ1, ..., σn�1
;σiσj � σjσi si |i� j| ¥ 2
σiσjσi � σjσiσj si |i� j| � 1
⟩�1
i
i�1
n
σi ,
1
i
i�1
n
σ�1
i
2/29
Monoıde de tresses positives Le monoıde B�n admet la presentation :
⟨
σ1, ..., σn�1
;σiσj � σjσi si |i� j| ¥ 2
σiσjσi � σjσiσj si |i� j| � 1
⟩�1
i
i�1
n
σi ,
1
i
i�1
n
σ�1
i
Le groupe des fractions de B�n est Bn, le groupe de tresse a n brins.
2/29
Ordre de Dehornoy
Une tresse β P Bn est σ-positive si elle peut etre representee par unmot contenant du σi, pas du σ�1
i et pas de σ�j pour j ¡ i.
3/29
Ordre de Dehornoy
Une tresse β P Bn est σ-positive si elle peut etre representee par unmot contenant du σi, pas du σ�1
i et pas de σ�j pour j ¡ i. Pour β, β1 P Bn, on pose β β1 ssi le quotient β�1β1 est σ-positive.
3/29
Ordre de Dehornoy
Une tresse β P Bn est σ-positive si elle peut etre representee par unmot contenant du σi, pas du σ�1
i et pas de σ�j pour j ¡ i. Pour β, β1 P Bn, on pose β β1 ssi le quotient β�1β1 est σ-positive.
Proposition: La relation est un ordre total compatible avec la multipli-cation a gauche.
3/29
Ordre de Dehornoy
Une tresse β P Bn est σ-positive si elle peut etre representee par unmot contenant du σi, pas du σ�1
i et pas de σ�j pour j ¡ i. Pour β, β1 P Bn, on pose β β1 ssi le quotient β�1β1 est σ-positive.
Proposition: La relation est un ordre total compatible avec la multipli-cation a gauche.
Ce resultat est base sur deux proprietes : Acyclicite et Comparaison
3/29
Motivation R. Laver a montre que tout monoıde engendre par un nombre fini deconjugues de σi est bien ordonne.
4/29
Motivation R. Laver a montre que tout monoıde engendre par un nombre fini deconjugues de σi est bien ordonne.
C’est le cas pour B�n.
4/29
Motivation R. Laver a montre que tout monoıde engendre par un nombre fini deconjugues de σi est bien ordonne.
C’est le cas pour B�n. S. Burckel a montre en que le type d’ordre de B�
n est ωωn�2
.
4/29
Motivation R. Laver a montre que tout monoıde engendre par un nombre fini deconjugues de σi est bien ordonne.
C’est le cas pour B�n. S. Burckel a montre en que le type d’ordre de B�
n est ωωn�2
.
Preuve compliquee utilisant une induction transfinie.
4/29
Motivation R. Laver a montre que tout monoıde engendre par un nombre fini deconjugues de σi est bien ordonne.
C’est le cas pour B�n. S. Burckel a montre en que le type d’ordre de B�
n est ωωn�2
.
Preuve compliquee utilisant une induction transfinie. Le monoıde de tresse dual B��n est engendre par un nombre fini de
conjugues de σi.
4/29
Monoıde de tresse dual Posons ai,j � σi . . . σj�2σj�1
σ�1
j�2. . . σ�1
i .
5/29
Monoıde de tresse dual Posons ai,j � σi . . . σj�2σj�1
σ�1
j�2. . . σ�1
i .
1
2
3
4
a1,4
1
2
3
4
5/29
Monoıde de tresse dual Posons ai,j � σi . . . σj�2σj�1
σ�1
j�2. . . σ�1
i .
1
2
3
4
a1,4
1
2
3
4
Le monoıde de tresse dual a n brin B��n est le sous-monoıde de Bn
engendre par les ai,j avec 1 ¤ i j ¤ n.
5/29
Representation de ai,j comme corde d’un cercle
1
2
3
4
5
6
6/29
Representation de ai,j comme corde d’un cercle
1
2
3
4
5
6
6/29
Representation de ai,j comme corde d’un cercle
1
2
3
4
5
64
3
2
1
6/29
Representation de ai,j comme corde d’un cercle
1
2
3
4
5
64
3
2
1
6/29
Representation de ai,j comme corde d’un cercle
1
2
3
4
5
64
3
2
1
5
4
3
2
1
6
6/29
Relations entre les ai,j Les tresses ai,j sont soumises aux relations Rn :
7/29
Relations entre les ai,j Les tresses ai,j sont soumises aux relations Rn :
• ap,qar,s � ar,sap,q pour pp�rqpp�sqpq�rqpq�sq ¡ 0,
7/29
Relations entre les ai,j Les tresses ai,j sont soumises aux relations Rn :
• ap,qar,s � ar,sap,q pour pp�rqpp�sqpq�rqpq�sq ¡ 0,
1
2
3
4 �1
2
3
4
7/29
Relations entre les ai,j Les tresses ai,j sont soumises aux relations Rn :
• ap,qar,s � ar,sap,q pour pp�rqpp�sqpq�rqpq�sq ¡ 0,
• ap,qaq,r � aq,rap,r � ap,rap,q pour 1 ¤ p q r ¤ n.
1
2
3
4 �1
2
3
4
7/29
Relations entre les ai,j Les tresses ai,j sont soumises aux relations Rn :
• ap,qar,s � ar,sap,q pour pp�rqpp�sqpq�rqpq�sq ¡ 0,
• ap,qaq,r � aq,rap,r � ap,rap,q pour 1 ¤ p q r ¤ n.
1
2
3
4 �1
2
3
4
1
2
3
4 �1
2
3
4 �1
2
3
4
7/29
La structure de Garside de B��n
Lemme: Par rapport aux generateurs ai,j , le groupe Bn est presente parles relations Rn.
8/29
La structure de Garside de B��n
Lemme: Par rapport aux generateurs ai,j , le groupe Bn est presente parles relations Rn.
Theoreme: Par rapport aux generateurs ai,j , le monoıde B��n est presente
par les relations Rn.
8/29
La structure de Garside de B��n
Lemme: Par rapport aux generateurs ai,j , le groupe Bn est presente parles relations Rn.
Theoreme: Par rapport aux generateurs ai,j , le monoıde B��n est presente
par les relations Rn. Soit δn la tresse representee par a1,2a2,3...an�1,n � σ1σ2...σn�1
.
8/29
La structure de Garside de B��n
Lemme: Par rapport aux generateurs ai,j , le groupe Bn est presente parles relations Rn.
Theoreme: Par rapport aux generateurs ai,j , le monoıde B��n est presente
par les relations Rn. Soit δn la tresse representee par a1,2a2,3...an�1,n � σ1σ2...σn�1
.
Theorem [Birman-Ko-Lee]: Le monoıde B��n a une structure de Garside
associee a l’element de Garside δn.
8/29
Automorphisme de cyclage Soit φn l’automorphisme de conjuguaison sur B��n associe a δn :
9/29
Automorphisme de cyclage Soit φn l’automorphisme de conjuguaison sur B��n associe a δn :
φn : B��n Ñ B
��n
β ÞÑ δn β δ�1
n
9/29
Automorphisme de cyclage Soit φn l’automorphisme de conjuguaison sur B��n associe a δn :
φn : B��n Ñ B
��n
β ÞÑ δn β δ�1
n
Lemme: Pour tout 1 ¤ i j ¤ n�1 on a φnpai,jq � ai�1,j�1 etφnpai,nq � a1,i�1 pour 1 ¤ i ¤ n�1.
9/29
Automorphisme de cyclage Soit φn l’automorphisme de conjuguaison sur B��n associe a δn :
φn : B��n Ñ B
��n
β ÞÑ δn β δ�1
n
Lemme: Pour tout 1 ¤ i j ¤ n�1 on a φnpai,jq � ai�1,j�1 etφnpai,nq � a1,i�1 pour 1 ¤ i ¤ n�1.
6
54
3
2 1
9/29
Automorphisme de cyclage Soit φn l’automorphisme de conjuguaison sur B��n associe a δn :
φn : B��n Ñ B
��n
β ÞÑ δn β δ�1
n
Lemme: Pour tout 1 ¤ i j ¤ n�1 on a φnpai,jq � ai�1,j�1 etφnpai,nq � a1,i�1 pour 1 ¤ i ¤ n�1.
6
54
3
2 1
9/29
Automorphisme de cyclage Soit φn l’automorphisme de conjuguaison sur B��n associe a δn :
φn : B��n Ñ B
��n
β ÞÑ δn β δ�1
n
Lemme: Pour tout 1 ¤ i j ¤ n�1 on a φnpai,jq � ai�1,j�1 etφnpai,nq � a1,i�1 pour 1 ¤ i ¤ n�1.
6
54
3
2 1
φ6
9/29
Automorphisme de cyclage Soit φn l’automorphisme de conjuguaison sur B��n associe a δn :
φn : B��n Ñ B
��n
β ÞÑ δn β δ�1
n
Lemme: Pour tout 1 ¤ i j ¤ n�1 on a φnpai,jq � ai�1,j�1 etφnpai,nq � a1,i�1 pour 1 ¤ i ¤ n�1.
6
54
3
2 1
φ6
9/29
Automorphisme de cyclage Soit φn l’automorphisme de conjuguaison sur B��n associe a δn :
φn : B��n Ñ B
��n
β ÞÑ δn β δ�1
n
Lemme: Pour tout 1 ¤ i j ¤ n�1 on a φnpai,jq � ai�1,j�1 etφnpai,nq � a1,i�1 pour 1 ¤ i ¤ n�1.
6
54
3
2 1
φ6
L’ordre de φn est n.
9/29
La B��n�1
-fin Le sous-monoıde B��n�1
de B��n est clos par diviseur a droite et ppcm a
gauche.
10/29
La B��n�1
-fin Le sous-monoıde B��n�1
de B��n est clos par diviseur a droite et ppcm a
gauche.
Lemme: Toute tresse β de B��n avec n ¥ 3, admet un unique diviseur a
droite maximal β1 dans B��n�1
. La tresse β1 est appellee la B��n�1
-fin de β.
10/29
La B��n�1
-fin Le sous-monoıde B��n�1
de B��n est clos par diviseur a droite et ppcm a
gauche.
Lemme: Toute tresse β de B��n avec n ¥ 3, admet un unique diviseur a
droite maximal β1 dans B��n�1
. La tresse β1 est appellee la B��n�1
-fin de β. Si la B��n�1
-fin de β est triviale, on note β K B��n�1
.
10/29
La B��n�1
-fin Le sous-monoıde B��n�1
de B��n est clos par diviseur a droite et ppcm a
gauche.
Lemme: Toute tresse β de B��n avec n ¥ 3, admet un unique diviseur a
droite maximal β1 dans B��n�1
. La tresse β1 est appellee la B��n�1
-fin de β. Si la B��n�1
-fin de β est triviale, on note β K B��n�1
.
Remarque: Si β1 est la B��n�1
-fin de β, alors on a β β�1
1K B��
n�1.
10/29
La B��n�1
-fin de δqn Exemple :
δ2
3� a1,2a2,3a1,2a2,3
11/29
La B��n�1
-fin de δqn Exemple :
δ2
3� a1,2a2,3a1,2a2,3
11/29
La B��n�1
-fin de δqn Exemple :
δ2
3� a1,2a2,3a1,2a2,3
1
2 3
11/29
La B��n�1
-fin de δqn Exemple :
δ2
3� a1,2a2,3a1,2a2,3
1
2 3
1
2 3
11/29
La B��n�1
-fin de δqn Exemple :
δ2
3� a1,2a2,3a1,3a1,2
1
2 3
1
2 3
11/29
La B��n�1
-fin de δqn Exemple :
δ2
3� a1,2a2,3a1,3a1,2
11/29
La B��n�1
-fin de δqn Exemple :
δ2
3� a1,2a2,3a1,3a1,2
11/29
La B��n�1
-fin de δqn Exemple :
δ2
3� a1,2a2,3a1,3a1,2
1
2 3
11/29
La B��n�1
-fin de δqn Exemple :
δ2
3� a1,2a2,3a1,3a1,2
1
2 3
1
2 3
11/29
La B��n�1
-fin de δqn Exemple :
δ2
3� a1,2a1,3a1,2a1,2
1
2 3
1
2 3
11/29
La B��n�1
-fin de δqn Exemple :
δ2
3� a1,2a1,3a1,2a1,2
11/29
La B��n�1
-fin de δqn Exemple :
δ2
3� a1,2a1,3 � a1,2a1,2
11/29
La B��n�1
-fin de δqn Exemple :
δ2
3� a1,2a1,3 � a1,2a1,2
Lemme: La B��n�1
-fin de δqn est δ
qn�1
.
11/29
Le B��n�1
-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��
n�1, φn
�B��
n�1
�, φ2
n
�B��
n�1
�, ... de B��
n .
12/29
Le B��n�1
-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��
n�1, φn
�B��
n�1
�, φ2
n
�B��
n�1
�, ... de B��
n .
δ2
3� a1,2a1,3 � a1,2a1,2
12/29
Le B��n�1
-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��
n�1, φn
�B��
n�1
�, φ2
n
�B��
n�1
�, ... de B��
n .
δ2
3� a1,2a1,3 � a1,2a1,2K B��
2P B��
2
12/29
Le B��n�1
-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��
n�1, φn
�B��
n�1
�, φ2
n
�B��
n�1
�, ... de B��
n .
δ2
3� a1,2a1,3 � a1,2a1,2
12/29
Le B��n�1
-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��
n�1, φn
�B��
n�1
�, φ2
n
�B��
n�1
�, ... de B��
n .
δ2
3� a1,2a1,3 � a1,2a1,2
12/29
Le B��n�1
-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��
n�1, φn
�B��
n�1
�, φ2
n
�B��
n�1
�, ... de B��
n .
δ2
3� a1,2a1,3 � a1,2a1,2
12/29
Le B��n�1
-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��
n�1, φn
�B��
n�1
�, φ2
n
�B��
n�1
�, ... de B��
n .
δ2
3� a1,2a1,3 � a1,2a1,2
12/29
Le B��n�1
-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��
n�1, φn
�B��
n�1
�, φ2
n
�B��
n�1
�, ... de B��
n .
δ2
3� a1,2a1,3 � a1,2a1,2
12/29
Le B��n�1
-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��
n�1, φn
�B��
n�1
�, φ2
n
�B��
n�1
�, ... de B��
n .
δ2
3� a1,2a1,3 � a1,2a1,2
12/29
Le B��n�1
-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��
n�1, φn
�B��
n�1
�, φ2
n
�B��
n�1
�, ... de B��
n .
δ2
3� φ3pa1,3a2,3q � a1,2a1,2
12/29
Le B��n�1
-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��
n�1, φn
�B��
n�1
�, φ2
n
�B��
n�1
�, ... de B��
n .
δ2
3� φ3pa1,3a2,3q � a1,2a1,2K B��
2
12/29
Le B��n�1
-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��
n�1, φn
�B��
n�1
�, φ2
n
�B��
n�1
�, ... de B��
n .
δ2
3� φ3pa1,3a2,3q � φ3p1q � a1,2a1,2
12/29
Le B��n�1
-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��
n�1, φn
�B��
n�1
�, φ2
n
�B��
n�1
�, ... de B��
n .
δ2
3� φ3pa1,3a2,3q � φ3p1q � a1,2a1,2
12/29
Le B��n�1
-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��
n�1, φn
�B��
n�1
�, φ2
n
�B��
n�1
�, ... de B��
n .
δ2
3� φ3pa1,3a2,3q � φ3p1q � a1,2a1,2
12/29
Le B��n�1
-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��
n�1, φn
�B��
n�1
�, φ2
n
�B��
n�1
�, ... de B��
n .
δ2
3� φ3pa1,3a2,3q � φ3p1q � a1,2a1,2
12/29
Le B��n�1
-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��
n�1, φn
�B��
n�1
�, φ2
n
�B��
n�1
�, ... de B��
n .
δ2
3� φ3pa1,3a2,3q � φ3p1q � a1,2a1,2
12/29
Le B��n�1
-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��
n�1, φn
�B��
n�1
�, φ2
n
�B��
n�1
�, ... de B��
n .
δ2
3� φ2
3pa2,3a1,2q � φ3p1q � a1,2a1,2
12/29
Le B��n�1
-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��
n�1, φn
�B��
n�1
�, φ2
n
�B��
n�1
�, ... de B��
n .
δ2
3� φ2
3pa2,3q � φ2
3pa1,2q � φ3p1q � a1,2a1,2
12/29
Le B��n�1
-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��
n�1, φn
�B��
n�1
�, φ2
n
�B��
n�1
�, ... de B��
n .
δ2
3� φ3
3pa1,2q � φ2
3pa1,2q � φ3p1q � a1,2a1,2
12/29
Le B��n�1
-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��
n�1, φn
�B��
n�1
�, φ2
n
�B��
n�1
�, ... de B��
n .
δ2
3� φ3
3pa1,2q � φ2
3pa1,2q � φ3p1q � a1,2a1,2pa1,2, a1,2, 1, a2
1,2q12/29
Le B��n�1
-eclatement On reitere cycliquement la construction de la fin avec lessous-monoıdes B��
n�1, φn
�B��
n�1
�, φ2
n
�B��
n�1
�, ... de B��
n .
δ2
3� φ3
3pa1,2q � φ2
3pa1,2q � φ3p1q � a1,2a1,2pa1,2, a1,2, 1, a2
1,2qProposition: Pour toute tresse β de B��
n , il existe une unique suitepβp, ..., β1q de B��n�1
telle que
• β � φr�1
n pβrq � ... � β1,
• βr est la B��n�1
-fin de φp�rn pβpq � ... � βr.
12/29
Le B��n�1
-eclatement La suite pβp, ..., β1q est le B��n�1
-eclatement de β.
13/29
Le B��n�1
-eclatement La suite pβp, ..., β1q est le B��n�1
-eclatement de β.
Le B��2
-eclatement de δ2
3est pa1,2, a1,2, 1, a2
1,2q.
13/29
Le B��n�1
-eclatement La suite pβp, ..., β1q est le B��n�1
-eclatement de β.
Le B��2
-eclatement de δ2
3est pa1,2, a1,2, 1, a2
1,2q. La n-largeur de β est la longueur du B��n�1
-eclatement de β.
13/29
Le B��n�1
-eclatement La suite pβp, ..., β1q est le B��n�1
-eclatement de β.
Le B��2
-eclatement de δ2
3est pa1,2, a1,2, 1, a2
1,2q. La n-largeur de β est la longueur du B��n�1
-eclatement de β.
La 3-largeur de δ23 est 4.
13/29
Le B��n�1
-eclatement La suite pβp, ..., β1q est le B��n�1
-eclatement de β.
Le B��2
-eclatement de δ2
3est pa1,2, a1,2, 1, δ2
2q. La n-largeur de β est la longueur du B��
n�1-eclatement de β.
La 3-largeur de δ23 est 4.
13/29
Le B��n�1
-eclatement La suite pβp, ..., β1q est le B��n�1
-eclatement de β.
Le B��2
-eclatement de δ2
3est pa1,2, a1,2, 1, δ2
2q. La n-largeur de β est la longueur du B��
n�1-eclatement de β.
La 3-largeur de δ23 est 4.
Proposition: Le B��n�1
-decomposition de δqn estpan�2,n�1, ..., an�2,n�1looooooooooooomooooooooooooon, 1, δ
qn�1
qq fois
Alors la n-largeur de δqn est q�2.
13/29
Le B��n�1
-eclatement
6
4
5
3
2
1
14/29
Le B��n�1
-eclatement
β0
6
4
5
3
2
1
14/29
Le B��n�1
-eclatement
β0φ6pβ1q6
4
5
3
2
1
14/29
Le B��n�1
-eclatement
β0φ6pβ1qφ26pβ2q
6
4
5
3
2
1
14/29
Le B��n�1
-eclatement
β0φ6pβ1qφ26pβ2q
φ3
6pβ3q 6
4
5
3
2
1
14/29
Forme normale cyclante Pour β P B��2
, il existe un unique p ¥ 0 verifiant β � ap1,2.
15/29
Forme normale cyclante Pour β P B��2
, il existe un unique p ¥ 0 verifiant β � ap1,2. On dit que a
p1,2 est la forme cyclante de β.
15/29
Forme normale cyclante Pour β P B��2
, il existe un unique p ¥ 0 verifiant β � ap1,2. On dit que a
p1,2 est la forme cyclante de β.
On definit une forme cyclante sur B��n par induction sur n.
15/29
Forme normale cyclante Pour β P B��2
, il existe un unique p ¥ 0 verifiant β � ap1,2. On dit que a
p1,2 est la forme cyclante de β.
On definit une forme cyclante sur B��n par induction sur n.
Proposition: Pour β P B��n avec n ¥ 3, la forme normale cyclante de β est
le mot φp�1n pwpq � ... � φnpw2q � w1, ou pβp, ..., β1q est le B��
n�1-eclatement
de β et wi est la forme normale cyclante de βi.
15/29
Forme normale cyclante Pour β P B��2
, il existe un unique p ¥ 0 verifiant β � ap1,2. On dit que a
p1,2 est la forme cyclante de β.
On definit une forme cyclante sur B��n par induction sur n.
Proposition: Pour β P B��n avec n ¥ 3, la forme normale cyclante de β est
le mot φp�1n pwpq � ... � φnpw2q � w1, ou pβp, ..., β1q est le B��
n�1-eclatement
de β et wi est la forme normale cyclante de βi. Le B��2
-eclatement de δ23 est pa1,2, a1,2, 1, a2
1,2q.15/29
Forme normale cyclante Pour β P B��2
, il existe un unique p ¥ 0 verifiant β � ap1,2. On dit que a
p1,2 est la forme cyclante de β.
On definit une forme cyclante sur B��n par induction sur n.
Proposition: Pour β P B��n avec n ¥ 3, la forme normale cyclante de β est
le mot φp�1n pwpq � ... � φnpw2q � w1, ou pβp, ..., β1q est le B��
n�1-eclatement
de β et wi est la forme normale cyclante de βi. Le B��2
-eclatement de δ23 est pa1,2, a1,2, 1, a2
1,2q. La forme normale cyclante de δ2
3 est a1,2a1,3a1,2a1,2.
15/29
Un nouvel ordre : �n Pour β, β1 P B��
2, il existe deux entiers uniques p et q verifiant β � a
p1,2
et β1 � aq1,2.
16/29
Un nouvel ordre : �n Pour β, β1 P B��
2, il existe deux entiers uniques p et q verifiant β � a
p1,2
et β1 � aq1,2.
On pose β �2
β1 ssi p q est verifie.
16/29
Un nouvel ordre : �n Pour β, β1 P B��
2, il existe deux entiers uniques p et q verifiant β � a
p1,2
et β1 � aq1,2.
On pose β �2
β1 ssi p q est verifie. Pour β, β1 P B��n , avec n ¥ 3, notons pβp, ..., β1q le B��
n�1-eclatement
de β et pβ1q, ..., β11q celui de β1.16/29
Un nouvel ordre : �n Pour β, β1 P B��
2, il existe deux entiers uniques p et q verifiant β � a
p1,2
et β1 � aq1,2.
On pose β �2
β1 ssi p q est verifie. Pour β, β1 P B��n , avec n ¥ 3, notons pβp, ..., β1q le B��
n�1-eclatement
de β et pβ1q, ..., β11q celui de β1. On pose β �n β1 ssi
16/29
Un nouvel ordre : �n Pour β, β1 P B��
2, il existe deux entiers uniques p et q verifiant β � a
p1,2
et β1 � aq1,2.
On pose β �2
β1 ssi p q est verifie. Pour β, β1 P B��n , avec n ¥ 3, notons pβp, ..., β1q le B��
n�1-eclatement
de β et pβ1q, ..., β11q celui de β1. On pose β �n β1 ssi p q ou bien
16/29
Un nouvel ordre : �n Pour β, β1 P B��
2, il existe deux entiers uniques p et q verifiant β � a
p1,2
et β1 � aq1,2.
On pose β �2
β1 ssi p q est verifie. Pour β, β1 P B��n , avec n ¥ 3, notons pβp, ..., β1q le B��
n�1-eclatement
de β et pβ1q, ..., β11q celui de β1. On pose β �n β1 ssi p q ou bien p � q et il existe r verifiant
βt � β1t pour t ¡ r, et βr �n�1β1r.
16/29
Un exemple Soient β et β1 dans B��5
telles que :
17/29
Un exemple Soient β et β1 dans B��5
telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5,
17/29
Un exemple Soient β et β1 dans B��5
telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.
17/29
Un exemple Soient β et β1 dans B��5
telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.
Quel est l’ordre entre β et β1 pour �5
?
17/29
Un exemple Soient β et β1 dans B��5
telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.
Quel est l’ordre entre β et β1 pour �5
? Les B��4
-eclatements de β et β1 sont
17/29
Un exemple Soient β et β1 dans B��5
telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.
Quel est l’ordre entre β et β1 pour �5
? Les B��4
-eclatements de β et β1 sont pa1,2a3,4a3,4a1,3a2,4, a3,4a2,3a2,3a2,4, 1q � pβ3, β2, β1q.
17/29
Un exemple Soient β et β1 dans B��5
telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.
Quel est l’ordre entre β et β1 pour �5
? Les B��4
-eclatements de β et β1 sont pa1,2a3,4a3,4a1,3a2,4, a3,4a2,3a2,3a2,4, 1q � pβ3, β2, β1q. pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q � pβ13, β1
2, β1
1q.
17/29
Un exemple Soient β et β1 dans B��5
telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.
Quel est l’ordre entre β et β1 pour �5
? Les B��4
-eclatements de β et β1 sont pa1,2a3,4a3,4a1,3a2,4, a3,4a2,3a2,3a2,4, 1q � pβ3, β2, β1q. pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q � pβ13, β1
2, β1
1q.
(la 5-largeur de β)�(la 5-largeur de β1).17/29
Un exemple Soient β et β1 dans B��5
telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.
Quel est l’ordre entre β et β1 pour �5
? Les B��4
-eclatements de β et β1 sont pa1,2a3,4a3,4a1,3a2,4, a3,4a2,3a2,3a2,4, 1q � pβ3, β2, β1q. pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q � pβ13, β1
2, β1
1q.
(la 5-largeur de β)�(la 5-largeur de β1). On ne peut pas encore conclure.
17/29
Un exemple Soient β et β1 dans B��5
telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.
Quel est l’ordre entre β et β1 pour �5
? Les B��4
-eclatements de β et β1 sont pa1,2a3,4a3,4a1,3a2,4, a3,4a2,3a2,3a2,4, 1q � pβ3, β2, β1q. pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q � pβ13, β1
2, β1
1q.
(la 5-largeur de β)�(la 5-largeur de β1). On ne peut pas encore conclure. Les B��
3-eclatements de β3 et β13 sont
17/29
Un exemple Soient β et β1 dans B��5
telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.
Quel est l’ordre entre β et β1 pour �5
? Les B��4
-eclatements de β et β1 sont pa1,2a3,4a3,4a1,3a2,4, a3,4a2,3a2,3a2,4, 1q � pβ3, β2, β1q. pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q � pβ13, β1
2, β1
1q.
(la 5-largeur de β)�(la 5-largeur de β1). On ne peut pas encore conclure. Les B��
3-eclatements de β3 et β13 sont pa2,3, a1,2a1,2a2,3, a1,3, 1q
17/29
Un exemple Soient β et β1 dans B��5
telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.
Quel est l’ordre entre β et β1 pour �5
? Les B��4
-eclatements de β et β1 sont pa1,2a3,4a3,4a1,3a2,4, a3,4a2,3a2,3a2,4, 1q � pβ3, β2, β1q. pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q � pβ13, β1
2, β1
1q.
(la 5-largeur de β)�(la 5-largeur de β1). On ne peut pas encore conclure. Les B��
3-eclatements de β3 et β13 sont pa2,3, a1,2a1,2a2,3, a1,3, 1q pa2,3, a1,3a2,3, a2,3, 1, 1q
17/29
Un exemple Soient β et β1 dans B��5
telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.
Quel est l’ordre entre β et β1 pour �5
? Les B��4
-eclatements de β et β1 sont pa1,2a3,4a3,4a1,3a2,4, a3,4a2,3a2,3a2,4, 1q � pβ3, β2, β1q. pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q � pβ13, β1
2, β1
1q.
(la 5-largeur de β)�(la 5-largeur de β1). On ne peut pas encore conclure. Les B��
3-eclatements de β3 et β13 sont pa2,3, a1,2a1,2a2,3, a1,3, 1q pa2,3, a1,3a2,3, a2,3, 1, 1q
(la 4-largeur de β3)� 4 5 �(la 4-largeur de β13).17/29
Un exemple Soient β et β1 dans B��5
telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.
Quel est l’ordre entre β et β1 pour �5
? Les B��4
-eclatements de β et β1 sont pa1,2a3,4a3,4a1,3a2,4, a3,4a2,3a2,3a2,4, 1q � pβ3, β2, β1q. pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q � pβ13, β1
2, β1
1q.
(la 5-largeur de β)�(la 5-largeur de β1). On ne peut pas encore conclure. Les B��
3-eclatements de β3 et β13 sont pa2,3, a1,2a1,2a2,3, a1,3, 1q pa2,3, a1,3a2,3, a2,3, 1, 1q
(la 4-largeur de β3)� 4 5 �(la 4-largeur de β13). β3 �4 β13
17/29
Un exemple Soient β et β1 dans B��5
telles que : β � a3,4a1,5a1,5a3,5a1,4a4,5a3,4a3,4a3,5, β1 � a4,5a1,4a3,4a1,3a4,5a2,4a2,4a3,5a4,5.
Quel est l’ordre entre β et β1 pour �5
? Les B��4
-eclatements de β et β1 sont pa1,2a3,4a3,4a1,3a2,4, a3,4a2,3a2,3a2,4, 1q � pβ3, β2, β1q. pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q � pβ13, β1
2, β1
1q.
(la 5-largeur de β)�(la 5-largeur de β1). On ne peut pas encore conclure. Les B��
3-eclatements de β3 et β13 sont pa2,3, a1,2a1,2a2,3, a1,3, 1q pa2,3, a1,3a2,3, a2,3, 1, 1q
(la 4-largeur de β3)� 4 5 �(la 4-largeur de β13). β3 �4 β13 β �
5β1.
17/29
Coıncidence avec l’ordre de Dehornoy La relation �n est un bon ordre.
18/29
Coıncidence avec l’ordre de Dehornoy La relation �n est un bon ordre.
Theoreme: Pour β, β1 P B��n , on a β �n β1 ssi β�1β1 est σ-positive.
18/29
Coıncidence avec l’ordre de Dehornoy La relation �n est un bon ordre.
Theoreme: Pour β, β1 P B��n , on a β �n β1 ssi β�1β1 est σ-positive.
une nouvelle preuve de la Propriete de Comparaison,
18/29
Coıncidence avec l’ordre de Dehornoy La relation �n est un bon ordre.
Theoreme: Pour β, β1 P B��n , on a β �n β1 ssi β�1β1 est σ-positive.
une nouvelle preuve de la Propriete de Comparaison,
�n et coıncide sur B��n ,
18/29
Coıncidence avec l’ordre de Dehornoy La relation �n est un bon ordre.
Theoreme: Pour β, β1 P B��n , on a β �n β1 ssi β�1β1 est σ-positive.
une nouvelle preuve de la Propriete de Comparaison,
�n et coıncide sur B��n ,
�n est compatible avec la multiplication a gauche,
18/29
Coıncidence avec l’ordre de Dehornoy La relation �n est un bon ordre.
Theoreme: Pour β, β1 P B��n , on a β �n β1 ssi β�1β1 est σ-positive.
une nouvelle preuve de la Propriete de Comparaison,
�n et coıncide sur B��n ,
�n est compatible avec la multiplication a gauche,
pB��n , q est un bon ordre de type au plus ωωn�2
.
18/29
Coıncidence avec l’ordre de Dehornoy La relation �n est un bon ordre.
Theoreme: Pour β, β1 P B��n , on a β �n β1 ssi β�1β1 est σ-positive.
une nouvelle preuve de la Propriete de Comparaison,
�n et coıncide sur B��n ,
�n est compatible avec la multiplication a gauche,
pB��n , q est un bon ordre de type au plus ωωn�2
.
pB��n , q est un bon ordre de type ωωn�2
.
18/29
Simplification du probleme
Soient β et β1 deux tresses de B��n satisfaisant β �n β1, montrons que
β�1β1 est σ-positive.
19/29
Simplification du probleme
Soient β et β1 deux tresses de B��n satisfaisant β �n β1, montrons que
β�1β1 est σ-positive. On construit une tresse γ verifiant β �n γ et γ ¤�n β1.
19/29
Simplification du probleme
Soient β et β1 deux tresses de B��n satisfaisant β �n β1, montrons que
β�1β1 est σ-positive. On construit une tresse γ verifiant β �n γ et γ ¤�n β1. On montre que β�1γ est σn�1-positive et que γ�1β1 est nonσn�1
-negative.
19/29
Simplification du probleme
Soient β et β1 deux tresses de B��n satisfaisant β �n β1, montrons que
β�1β1 est σ-positive. On construit une tresse γ verifiant β �n γ et γ ¤�n β1. On montre que β�1γ est σn�1-positive et que γ�1β1 est nonσn�1
-negative. On definit pδn,q � "an�1,n pour q � 0
δqn δ
�qn�1
pour q ¥ 1
19/29
Simplification du probleme
Soient β et β1 deux tresses de B��n satisfaisant β �n β1, montrons que
β�1β1 est σ-positive. On construit une tresse γ verifiant β �n γ et γ ¤�n β1. On montre que β�1γ est σn�1-positive et que γ�1β1 est nonσn�1
-negative. On definit pδn,q � "an�1,n pour q � 0
δqn δ
�qn�1
pour q ¥ 1
Proposition: La tresse pδn,q est la plus petite tresse de n-largeur q�2 pourl’ordre �n.
19/29
Simplification du probleme
Soient β et β1 deux tresses de B��n satisfaisant β �n β1, montrons que
β�1β1 est σ-positive. On construit une tresse γ verifiant β �n γ et γ ¤�n β1. On montre que β�1γ est σn�1-positive et que γ�1β1 est nonσn�1
-negative. On definit pδn,q � "an�1,n pour q � 0
δqn δ
�qn�1
pour q ¥ 1
Proposition: La tresse pδn,q est la plus petite tresse de n-largeur q�2 pourl’ordre �n.
Peut-on prendre pδn,q�2 pour γ avec q � n-largeur de β1 ?19/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � φp�2
n pβ�1
p�1q � φp�1
n pβ�1p q � δp�1
n
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � φp�2
n pβ�1
p�1q � φp�1
n pβ�1p q � δp�1
n
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � φp�2
n pβ�1
p�1q � φp�1
n pβ�1p q � δp�1
n
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � φp�2
n pβ�1
p�1q � φp�1
n pβ�1p q � δp�1
n
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � φp�2
n pβ�1
p�1q � φp�1
n pβ�1p q � δp�1
n
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � φp�2
n pβ�1
p�1q � φp�1
n pβ�1p q � δp�1
n
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � φp�2
n pβ�1
p�1q � φp�1
n pβ�1p q � δp�1
n
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � φp�2
n pβ�1
p�1q � φp�1
n pβ�1p q � δp�1
n
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � φp�2
n pβ�1
p�1q � φp�1
n pβ�1p q � δp�1
n
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � φp�2
n pβ�1
p�1q � δp�1
n β�1p δ�p�1
n � δp�1n
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � φp�2
n pβ�1
p�1q � δp�1
n β�1p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � φp�2
n pβ�1
p�1q � δp�2
n � δnβ�1p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � φp�2
n pβ�1
p�1q � δp�2
n � δnβ�1p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � φp�2
n pβ�1
p�1q � δp�2
n � δnβ�1p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � φp�2
n pβ�1
p�1q � δp�2
n � δnβ�1p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � φp�2
n pβ�1
p�1q � δp�2
n � δnβ�1p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � φp�2
n pβ�1
p�1q � δp�2
n � δnβ�1p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � φp�2
n pβ�1
p�1q � δp�2
n � δnβ�1p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � φp�2
n pβ�1
p�1q � δp�2
n � δnβ�1p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � φp�2
n pβ�1
p�1q � δp�2
n � δnβ�1p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � δp�2
n β�1
p�1δ�p�2n � δp�2
n � δnβ�1p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � δp�2
n β�1
p�1� δnβ�1
p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � δp�2
n β�1
p�1� δnβ�1
p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � δp�2
n β�1
p�1� δnβ�1
p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � δp�2
n β�1
p�1� δnβ�1
p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � δp�2
n β�1
p�1� δnβ�1
p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � δp�2
n β�1
p�1� δnβ�1
p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � δp�2
n β�1
p�1� δnβ�1
p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � δp�2
n β�1
p�1� δnβ�1
p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� φnpβ�1
2q � ... � δp�3
n � δnβ�1
p�1� δnβ�1
p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� δnβ�1
2� ... � δnβ�1
p�1� δnβ�1
p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� δnβ�1
2� ... � δnβ�1
p�1� δnβ�1
p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� δnβ�1
2� ... � δnβ�1
p�1� δnβ�1
p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� δnβ�1
2� ... � δnβ�1
p�1� δnβ�1
p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� δnβ�1
2� ... � δnβ�1
p�1� δnβ�1
p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� δnβ�1
2� ... � δnβ�1
p�1� δnβ�1
p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� δnβ�1
2� ... � δnβ�1
p�1� δnβ�1
p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� δnβ�1
2� ... � δnβ�1
p�1� δnβ�1
p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1 � δp�1n � δq�p�1
n � δ�qn�1
β�1
1� δnβ�1
2� ... � δnβ�1
p�1� δnβ�1
p
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1
1� δnβ�1
2� ... � δnβ�1
p�1� δnβ�1
p � δq�p�1n � δ�q
n�1
20/29
Tresses separatrices pδn,q
Lemme : Pour β une tresse de B��n dont la n-largeur est au plus q�1, le
quotient β�1pδn,q est σn�1-positif.
La preuve est facile.
Soit pβp, ..., β1q le B��n�1
-eclatement de β avec p ¤ q�1.
β�1 � pδn,q � β�1
1� δnβ�1
2� ... � δnβ�1
p�1� δnβ�1
p � δq�p�1n � δ�q
n�1
Lemme : Pour une tresse β de B��n dont la n-largeur est au moins q�2,
le quotient pδn,qβ�1 est σ-positif ou trivial.
La preuve est difficile.
20/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2.
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4.
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β �21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� δ�2
4� β
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� δ�2
4� φ3
4pa1,3q � φ2
4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� δ�2
4� φ3
4pa1,3q � φ2
4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�2
4� φ2
4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�2
4� φ2
4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�2
4� φ2
4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�2
4� φ2
4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�2
4� φ2
4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�2
4� φ2
4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�2
4� φ2
4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�2
4� φ2
4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�2
4� φ2
4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�1
4� δ�1
4� φ2
4pa1,3q � φ4pa1,3a2,3q � a1,2
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Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2
Mais φ4pa1,3q � δ�1
4�
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Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2
Mais φ4pa1,3q � δ�1
4� a2,4 δ�1
4
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2
Mais φ4pa1,3q � δ�1
4� σ2 σ3 σ�1
2σ�1
3σ�1
2σ�1
1
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2
Mais φ4pa1,3q � δ�1
4� σ2 σ3 σ�1
2σ�1
3σ�1
2σ�1
1
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2
Mais φ4pa1,3q � δ�1
4� σ2 σ�1
2σ�1
3σ2 σ�1
2σ�1
1
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2
Mais φ4pa1,3q � δ�1
4� σ2 σ�1
2σ�1
3σ2 σ�1
2σ�1
1
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Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2
Mais φ4pa1,3q � δ�1
4� σ�1
3σ2 σ�1
2σ�1
1
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Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2
Mais φ4pa1,3q � δ�1
4� σ�1
3σ�1
1
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Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2
Mais φ4pa1,3q � δ�1
4� σ�1
3σ�1
1
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2
Mais φ4pa1,3q � δ�1
4� σ�1
3σ�1
1
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2
Mais φ4pa1,3q � δ�1
4� σ�1
3σ�1
1
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2
Mais φ4pa1,3q � δ�1
4� σ�1
3σ�1
1
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2
Mais φ4pa1,3q � δ�1
4� σ�1
3σ�1
1
21/29
Un autre exemple Soit β la tresse a2,4a1,3a2,4a3,4a1,2. Le B��3
-eclatement de β est pa1,3, a1,3, a1,3a2,3, a1,2q La 4-largeur de β est 4. Montrons que pδ�1
4,2 β est σ-positive.pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2
Mais φ4pa1,3q � δ�1
4� σ�1
3σ�1
1, qui est σ3-negative.
21/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative.
22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2.
22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4�
22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2 a2,3 a
�1
1,2q � δ�1
4
22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2 a2,3 a
�1
1,2q � δ�1
4
22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2 a2,3 a
�1
1,2q � δ�1
4
22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2 a2,3 a
�1
1,2q � δ�1
4
22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2 a2,3 a
�1
1,2q � δ�1
4
22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2 a2,3 a
�1
1,2q � δ�1
4
22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2 a2,3 a
�1
1,2q � δ�1
4
22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2 a2,3 a
�1
1,2q � δ�1
4
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Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2 a2,3 a
�1
1,2q � δ�1
4
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Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2 a2,3q � φ4pa�1
1,2q � δ�1
4
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Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2 a2,3q � φ4pa�1
1,2q � δ�1
4
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Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2 a2,3q � δ�1
4� φ2
4pa�1
1,2q22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2 a2,3q � δ�1
4� φ2
4pa�1
1,2q22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2q � a3,4 δ�1
4� φ2
4pa�1
1,2q22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2q � δ�1
3� φ2
4pa�1
1,2q22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2q � δ�1
3� φ2
4pa�1
1,2q22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2q � δ�1
3� φ2
4pa�1
1,2q22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2q � δ�1
3� φ2
4pa�1
1,2q22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2q � δ�1
3� φ2
4pa�1
1,2q22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2q � δ�1
3� φ2
4pa�1
1,2q22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2q � δ�1
3� φ2
4pa�1
1,2q pδ�1
4,2 β �22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2q � δ�1
3� φ2
4pa�1
1,2q pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,3a2,3q � a1,2
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Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2q � δ�1
3� φ2
4pa�1
1,2q pδ�1
4,2 β � δ2
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4� φ4pa1,3q � δ�1
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Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
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3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
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Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
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3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
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Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
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Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
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1,2. φ4pa1,3q � δ�1
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Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
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3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
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3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
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3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
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3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
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3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
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3n’est pas σ3-negative.
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3n’est pas σ3-negative.
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3n’est pas σ3-negative.
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3n’est pas σ3-negative.
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4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
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3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
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3� φ4pa1,3a
�2
1,2a2,3q � a1,2
On utilise a�1
2,3a1,3 � a1,3a�1
1,2.
22/29
Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2q � δ�1
3� φ2
4pa�1
1,2q pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,2q � δ�1
3� φ4pa1,2q � δ�1
3� φ4pa1,3a
�2
1,2a2,3q � a1,2
On utilise a�1
2,3a1,3 � a1,3a�1
1,2.
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Analysons le probleme φ4pa1,3q � δ�1
4est σ
3-negative. φ4pa2,3q � δ�1
4� δ�1
3n’est pas σ3-negative.
Decomposons a1,3 en a1,2 a2,3 a�1
1,2. φ4pa1,3q � δ�1
4� φ4pa1,2q � δ�1
3� φ2
4pa�1
1,2q pδ�1
4,2 β � δ2
3� φ4pa1,2q � δ�1
3� φ4pa1,2q � δ�1
3� φ4pa1,3a
�2
1,2a2,3q � a1,2
On utilise a�1
2,3a1,3 � a1,3a�1
1,2.
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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i k j n.
1
2
3 4
5
23/29
Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i k j n.
1
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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i k j n.
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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i k j n.
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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i k j n.
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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i k j n.
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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i k j n.
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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i k j n.
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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i k j n.
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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i k j n.
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ai,j est une ak,n-barriere ssi il n’existe pas dans Rn de relation de la
forme ak,nai,j � ... .
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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i k j n.
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ai,j est une ak,n-barriere ssi il n’existe pas dans Rn de relation de la
forme ak,nai,j � ... . β1 � a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4 contient une a2,5-barriere, a savoir a1,3.
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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i k j n.
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ai,j est une ak,n-barriere ssi il n’existe pas dans Rn de relation de la
forme ak,nai,j � ... . β1 � a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4 contient une a2,5-barriere, a savoir a1,3.
Proposition: Soit pβp, ..., β1q un B��n�1
-eclatement. Supposons que,pour r ¥ 3, la derniere lettre de βr est ak�1,n�1 avec k n�1. Alorsβr�1 contient une ak,n-barriere.
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Barrieres On dit que ai,j est une ak,n-barriere si on a 1 ¤ i k j n.
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ai,j est une ak,n-barriere ssi il n’existe pas dans Rn de relation de la
forme ak,nai,j � ... . β1 � a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4 contient une a2,5-barriere, a savoir a1,3.
Proposition: Soit pβp, ..., β1q un B��n�1
-eclatement. Supposons que,pour r ¥ 3, la derniere lettre de βr est ak�1,n�1 avec k n�1. Alorsβr�1 contient une ak,n-barriere. Probleme : En general, ce n’est pas suffisant (pour n ¥ 5).
23/29
Escaliers
On dit qu’un mot w de tresse dual est un ak,n-escalier s’il existe : une decomposition w � w0 s1 w1 ... wt�1 st wt,
24/29
Escaliers
On dit qu’un mot w de tresse dual est un ak,n-escalier s’il existe : une decomposition w � w0 s1 w1 ... wt�1 st wt, une suite k � k1 k2 ... kt�1 � n�1,
24/29
Escaliers
On dit qu’un mot w de tresse dual est un ak,n-escalier s’il existe : une decomposition w � w0 s1 w1 ... wt�1 st wt, une suite k � k1 k2 ... kt�1 � n�1,telles que pour tout r, la lettre sr est une akr,n-barriere de la forme a ,kr�1
,
24/29
Escaliers
On dit qu’un mot w de tresse dual est un ak,n-escalier s’il existe : une decomposition w � w0 s1 w1 ... wt�1 st wt, une suite k � k1 k2 ... kt�1 � n�1,telles que pour tout r, la lettre sr est une akr,n-barriere de la forme a ,kr�1
, pour tout r t, le mot wr ne contient pas de akr�1,n-barriere.
24/29
Escaliers
On dit qu’un mot w de tresse dual est un ak,n-escalier s’il existe : une decomposition w � w0 s1 w1 ... wt�1 st wt, une suite k � k1 k2 ... kt�1 � n�1,telles que pour tout r, la lettre sr est une akr,n-barriere de la forme a ,kr�1
, pour tout r t, le mot wr ne contient pas de akr�1,n-barriere.
un ak,n escalier correspond donc a une suite de barrieres serecouvrant deux a deux.
24/29
Escaliers
On dit qu’un mot w de tresse dual est un ak,n-escalier s’il existe : une decomposition w � w0 s1 w1 ... wt�1 st wt, une suite k � k1 k2 ... kt�1 � n�1,telles que pour tout r, la lettre sr est une akr,n-barriere de la forme a ,kr�1
, pour tout r t, le mot wr ne contient pas de akr�1,n-barriere.
un ak,n escalier correspond donc a une suite de barrieres serecouvrant deux a deux.
Proposition: Soit pβp, ..., β1q un B��n�1
-eclatement. Supposons que,pour r ¥ 3, la derniere lettre de βr est ak�1,n�1 avec k n�1. Alors laforme normale de βr�1 est un ak,n-escalier.
24/29
Exemple Le B��4
-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1
3, β1
2, β1
1q.
25/29
Exemple Le B��4
-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1
3, β1
2, β1
1q. La derniere lettre de β1
3est a1,4.
25/29
Exemple Le B��4
-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1
3, β1
2, β1
1q. La derniere lettre de β1
3est a1,4.
La forme normale de β12
est un a2,5-escalier.
25/29
Exemple Le B��4
-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1
3, β1
2, β1
1q. La derniere lettre de β1
3est a1,4.
La forme normale de β12
est un a2,5-escalier.
1
5
25/29
Exemple Le B��4
-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1
3, β1
2, β1
1q. La derniere lettre de β1
3est a1,4.
La forme normale de β12
est un a2,5-escalier.
1
5
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Exemple Le B��4
-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1
3, β1
2, β1
1q. La derniere lettre de β1
3est a1,4.
La forme normale de β12
est un a2,5-escalier.
1
5
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Exemple Le B��4
-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1
3, β1
2, β1
1q. La derniere lettre de β1
3est a1,4.
La forme normale de β12
est un a2,5-escalier.
1
5
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Exemple Le B��4
-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1
3, β1
2, β1
1q. La derniere lettre de β1
3est a1,4.
La forme normale de β12
est un a2,5-escalier.
1
5
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Exemple Le B��4
-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1
3, β1
2, β1
1q. La derniere lettre de β1
3est a1,4.
La forme normale de β12
est un a2,5-escalier.
1
5
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Exemple Le B��4
-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1
3, β1
2, β1
1q. La derniere lettre de β1
3est a1,4.
La forme normale de β12
est un a2,5-escalier.
1
5
25/29
Exemple Le B��4
-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1
3, β1
2, β1
1q. La derniere lettre de β1
3est a1,4.
La forme normale de β12
est un a2,5-escalier.
1
5s1
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Exemple Le B��4
-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1
3, β1
2, β1
1q. La derniere lettre de β1
3est a1,4.
La forme normale de β12
est un a2,5-escalier.
1
5s1
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Exemple Le B��4
-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1
3, β1
2, β1
1q. La derniere lettre de β1
3est a1,4.
La forme normale de β12
est un a2,5-escalier.
1
5s1 s2
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Exemple Le B��4
-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1
3, β1
2, β1
1q. La derniere lettre de β1
3est a1,4.
La forme normale de β12
est un a2,5-escalier.
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5s1 s2
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Exemple Le B��4
-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1
3, β1
2, β1
1q. La derniere lettre de β1
3est a1,4.
La forme normale de β12
est un a2,5-escalier.
1
5s1 s2
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Exemple Le B��4
-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1
3, β1
2, β1
1q. La derniere lettre de β1
3est a1,4.
La forme normale de β12
est un a2,5-escalier.
1
5w0 s1 s2
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Exemple Le B��4
-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1
3, β1
2, β1
1q. La derniere lettre de β1
3est a1,4.
La forme normale de β12
est un a2,5-escalier.
1
5w0 s1 s2
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Exemple Le B��4
-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1
3, β1
2, β1
1q. La derniere lettre de β1
3est a1,4.
La forme normale de β12
est un a2,5-escalier.
1
5w0 w1s1 s2
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Exemple Le B��4
-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1
3, β1
2, β1
1q. La derniere lettre de β1
3est a1,4.
La forme normale de β12
est un a2,5-escalier.
1
5w0 w1s1 s2
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Exemple Le B��4
-eclatement de β1 est pa2,3a2,4a1,2a1,4, a3,4a1,3a1,3a2,4a3,4, 1q,qui est note pβ1
3, β1
2, β1
1q. La derniere lettre de β1
3est a1,4.
La forme normale de β12
est un a2,5-escalier.
1
5w0 w1 w2s1 s2
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Utilite des escaliers
Designons σi ... σj�1par δi,j .
.
26/29
Utilite des escaliers
Designons σi ... σj�1par δi,j . La derniere lettre de β1
3est a1,4, qui se decompose en δ1,3 a3,4δ
�1
1,3.
.
26/29
Utilite des escaliers
Designons σi ... σj�1par δi,j . La derniere lettre de β1
3est a1,4, qui se decompose en δ1,3 a3,4δ
�1
1,3. On veut montrer la σ-positivite de φ4pa1,4q � β13..
26/29
Utilite des escaliers
Designons σi ... σj�1par δi,j . La derniere lettre de β1
3est a1,4, qui se decompose en δ1,3 a3,4δ
�1
1,3. On veut montrer la σ-positivite de φ4pa1,4q � β13. il suffit de montrer la σ-positivite de φ4pδ�1
1,3q � β13, i.e., de δ�1
2,4 � β13..
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Utilite des escaliers
Designons σi ... σj�1par δi,j . La derniere lettre de β1
3est a1,4, qui se decompose en δ1,3 a3,4δ
�1
1,3. On veut montrer la σ-positivite de φ4pa1,4q � β13. il suffit de montrer la σ-positivite de φ4pδ�1
1,3q � β13, i.e., de δ�1
2,4 � β13. De maniere generale, δ�k2,4 � β13 est σ-positive pour tout k.
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Utilite des escaliers
Designons σi ... σj�1par δi,j . La derniere lettre de β1
3est a1,4, qui se decompose en δ1,3 a3,4δ
�1
1,3. On veut montrer la σ-positivite de φ4pa1,4q � β13. il suffit de montrer la σ-positivite de φ4pδ�1
1,3q � β13, i.e., de δ�1
2,4 � β13. De maniere generale, δ�k2,4 � β13 est σ-positive pour tout k.
Repose sur le fait que la forme normale de β12
est un a2,5-escalier.
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Exemple de δ�3
2,4β12
1
2
3
4
5
27/29
Exemple de δ�3
2,4β12
1
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Exemple de δ�3
2,4β12
1
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Exemple de δ�3
2,4β12
1
2
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Exemple de δ�3
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1
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2,4β12
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Exemple de δ�3
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1
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Exemple de δ�3
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Exemple de δ�3
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δ�1
2,4 a3,4 � a2,3 δ�1
2,4
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Exemple de δ�3
2,4β12
1
2
3
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δ�1
2,4 a3,4 � a2,3 δ�1
2,4
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Exemple de δ�3
2,4β12
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Exemple de δ�3
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Exemple de δ�3
2,4β12
1
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δ�1
2,4 a2,3 � a2,4 δ�1
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δ�1
2,4 a2,3 � a2,4 δ�1
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δ�1
2,4 a2,4 � a3,4 δ�1
2,4
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Exemple de δ�3
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1
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δ�1
2,4 a2,4 � a3,4 δ�1
2,4
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Exemple de δ�3
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1
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Exemple de δ�3
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Exemple de δ�3
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1
2
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1
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Exemple de δ�3
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Exemple de δ�3
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1
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Exemple de δ�3
2,4β12
1
2
3
4
5
δ�1
2,4 a1,3 � a1,4 δ�1
1,2 δ�1
3,4
27/29
Exemple de δ�3
2,4β12
1
2
3
4
5
δ�1
2,4 a1,3 � a1,4 δ�1
1,2 δ�1
3,4
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Exemple de δ�3
2,4β12
1
2
3
4
5
27/29
Exemple de δ�3
2,4β12
1
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4
5
27/29
Exemple de δ�3
2,4β12
1
2
3
4
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Exemple de δ�3
2,4β12
1
2
3
4
5
27/29
Exemple de δ�3
2,4β12
1
2
3
4
5
27/29
Exemple de δ�3
2,4β12
1
2
3
4
5
27/29
Exemple de δ�3
2,4β12
1
2
3
4
5
27/29
Exemple de δ�3
2,4β12
1
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3
4
5
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Exemple de δ�3
2,4β12
1
2
3
4
5
27/29
Exemple de δ�3
2,4β12
1
2
3
4
5
a2,4-escalier
27/29
Exemple de δ�3
2,4β12
1
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a2,4-escalier
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Exemple de δ�3
2,4β12
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a2,4-escalier a3,4-escalier
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Exemple de δ�3
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Exemple de δ�3
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Exemple de δ�3
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δ�1
2,4 a1,4 � a1,4 δ�1
1,3
a2,4-escalier a3,4-escalier
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Exemple de δ�3
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δ�1
2,4 a1,4 � a1,4 δ�1
1,3
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Exemple de δ�3
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Exemple de δ�3
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Exemple de δ�3
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δ�1
2,4 a1,4 � a1,4 δ�1
1,3
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Exemple de δ�3
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δ�1
2,4 a1,4 � a1,4 δ�1
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a2,4-escalier a3,4-escalier
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Exemple de δ�3
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Exemple de δ�3
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a3,4-escalier
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Exemple de δ�3
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δ�1
3,4 a1,3 � a1,4 δ�1
3,4
a3,4-escalier
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Exemple de δ�3
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δ�1
3,4 a1,3 � a1,4 δ�1
3,4
a3,4-escalier
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Exemple de δ�3
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a3,4-escalier
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Exemple de δ�3
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a3,4-escalier
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Exemple de δ�3
2,4β12
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δ�1
3,4 a2,4 � a2,4 δ�1
2,3
a3,4-escalier
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Exemple de δ�3
2,4β12
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δ�1
3,4 a2,4 � a2,4 δ�1
2,3
a3,4-escalier
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Exemple de δ�3
2,4β12
1
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Travaux futurs Comment reconnaıtre les B��n�1
-eclatements ?
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Travaux futurs Comment reconnaıtre les B��n�1
-eclatements ? Ou se trouve les elements de B�n dans B��
n relativement a ?
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Travaux futurs Comment reconnaıtre les B��n�1
-eclatements ? Ou se trouve les elements de B�n dans B��
n relativement a ? Lien avec la forme normale alternante ?
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Travaux futurs Comment reconnaıtre les B��n�1
-eclatements ? Ou se trouve les elements de B�n dans B��
n relativement a ? Lien avec la forme normale alternante ? Complexite de l’algorithme en temps et en espace ?
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Travaux futurs Comment reconnaıtre les B��n�1
-eclatements ? Ou se trouve les elements de B�n dans B��
n relativement a ? Lien avec la forme normale alternante ? Complexite de l’algorithme en temps et en espace ?
J. Fromentin, The cycling normal form in dual braid monoids, arXiv :
math.GR/0712.3836.
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Merci !
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