Top Banner
117

Jackson classical electrodynamics solutions 2004

May 25, 2015

Download

Documents

Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

� ��������� � ��������� ������ ������

�� ������ � ���� �������

������� � �� ��

������ ��� ����

��������� �� ��� �� ������� �� ���� ��� �� ���������� ��� ������������ ��� ��������� ����� ������� ������� �� ������� �� ���

Page 2: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

� ��� �� ���� � ��� �� ���� ����� ��������� ������ ������� ��� ������������� �� �� �� ��!��� "�#� ������ �� �������� �� ���� ����������� ������������ ������� $���� ����� �� � ������ ��������� ���� �������� �������� ���! �� ��� ������� � ������� ���� �� ��� ���%��� "� �� �������� ������ &���� ����������� $�� ���� ����� ������� ����������� ���� ��� ����������!��� ���� ������ ��� ��� ���� ��� ��� �������� "� �� ������ ��� � ��������������� ���� '� ��� ����� ����� ��!��� ��� ��� ��������� ��������� ���� ������� ��������� (���� �� ��������� ������ �������)� ��!���������� ��� ������ �� ���� �� ��������� �������*�� ����� ������ + �� $������&����� ����� �� ���������, �� � ���������� ��!���#� ���! �� ����,

"� �� �� ���� ���� ��!��� !���� ��� ���-� ��� �� �� ����� �� ���� ������������ ���� �� ��� �������� ����� �� ��!� �� ��� ��� �� ���� �������.�������� ��� �������� ��� &���� ������ �� �������� ����� ����� ������� ���&���� ����� ����� ���� �� ��������� ������� �� �� ���� ��&����� .�� �� ����� �������� �� � ���� �������� ����� �� ��� � �� ��� &���!��� ���!��������� �� " ������� ���� ��������� � ������� �� � ���� ����� �� ������������� $���� �������� ��� �� ����, ��� �� �����#� ��!� /������ �� ������

0��������� ���� ��� ���� �� ���� ����� ���� �� ������ ��� ���� ��� ����1���#�� �� ���� �� ������� ���� ��� �������� ���� ������� �� ��� ������� ������� ��� ���� �������

2����� " �� ��� " ���� ��������� �� ���� ���� � ����� " ����� ������ ����� �� ����� ��������

� 2�� 3�����# ����� �� ��������� � ������ ������ "�#� ���� ����*��� ��� ���������� ��� ����� �������� ���� $��� ���� �� �� � ���� ������� �� ���� ��!���� ��� �� �� ���� ��������� ���#�� �� � �� ��� ���������� �� ��!���#� �� �� 2�� �������� ���� ����#� ����� �� � ������� ��� �� � �� ����� ���������

� '����� ����� ����� �� ��� �� �� (�� ���� �� ��) �� ��!��� " ���*������ 4����������#� ������������� ���! �� +� ��# ���������

����� ���! 2��� ��� ��� ������� ���� ��� ���� ���� ��!��� �� ���!�� ����� 2�� � �� ���� ��������� ��-����� ������� ��!� �� ������ ����������# �������� ��� �������� � ������� �� ��!���#� ���� �� ���� �� ������� �� ��� �� ����� ����� ����� '� ��� ������� �� �� ����������� �� ��� ����� ����1 ��� ��������� ������� ����� ��� ��� ���� ������ ���� ��!���#� ��!�� , ����� ��� ���� ��� �!��� �� ������ � ����

Page 3: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ������� �� ������ ��� ������� � ���� ���� � �� ���� �� ������ � ��� ��� ���� ���� ���!�� �����

� /���� ��� �� ��� � ��� ������� ������� � �� ������ ��� ���� ��������� ���� ���� ��� ��� ��� � ��� ������� ���� %��� �� ���� �� ���� ����������� !������ � �� ��� ����� "�#� ������������ ��� � ���� ���� ��������� �������� ���� �� �� %��� ������ ��� ����! �� �������� �� � ���! ��� �������� ���� ��� ���� ���� � .�� �� ������� ���������� ������ ���� �� ��� ���#� ��� �� ���������� ��� ����� ������� ��������� �� ��� ��

� "� ��� ��� �������� ������� ���� ������� ��� ������� ���� ����� ���*����� $��� �� ������� 5����� ��� &���! �� ���� ����� ���! �� ��������� ������� ���� ��� ����� ���� ���� ��� ������������ �� ��� ������������ �� ��� ��� ��!� ��� ��� ��� � !�� �� ������ �� ������ �����!�� "���� ������ �� � ��� ������� ��� ��� �� � �������� �����#� � ��� ��!�*������ ���� ��� ���� �� �� ������ �����!� /��� �� "� ��#� ��� ��������� �� ��� ���� ��� ����� ������ ����� �� � ���� ���� ������ ������ ���� �������,

� 6���! %������ ��������� 7��� ��!��� ����� � %������� ��� ��� �����*����� ��� ���� �� .��������� ��� ������� �� ��� �� �� ��� ������������� ������� ��� ���������� ��� ��� ���� ���� �� ���� ��� ������� ��������� �&�������

� ���� ����� ������ ��������� ��� ������� �� �� ����� " ������ �� �������� ���� ��� ����� ����� ����� �� �������� 0��� ��� �� ���� ������ ��� ����� ��!������ ����� �� ��� ������� ��� " ���� ������ ������� ������ � ��� ��������� " ���� �� �������� ����������� ������ ��� ���������� ������� " ������� � 8 � ��� 9� 8 � ���� �� ��!�� ���� ������1 ���������� " ���� ������ ��������� ���� ���� ������� " �� � ������ ��� ������� �� �� �� ���� ���� ��������� "� ���� ����� ��� ������ �� ������ ������� ������ �� �� ����� ������ �� " ��������� " ���� ����� ��� ������� " ��� �� � ��� ��� ������ ����������� ��� ����� �������� ��� ��� ���� ������� ��� ���� ��������1 ��������" ��� �� ��� � ����� " ���� ��� :��:� ��� :� ������� �� :��: � ��� :� $�� ��������� " ���� ��� � �#� ���� �� ��� �������

5������ ���� ���� �� ������� ��� ��� ���;������� ������� ����� �������� �� � �� ���� ������ "#� ���� ����� ��� &���� � ���

��

Page 4: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

���� ��� ��� �� ���

���

Page 5: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ����"� ��!���#� ��� ������ <� ��������� �� ��������� �������� ���� �� ��������� �� �� ������ ����� ��� ������ �� ������� �������� �����= $��� ����������� �� ��� �������� �� �������� ������ ��� ���� �� �� ��� ��������� ���� ������������� "� � ������ ���� �������� �� ������ ������ ��� ���� �� ��� ������������ /�� ��� ���� �� �� �� ���*����������� � ��� �������� ���� ���� ����� � �������� ������ ��� ���������� �� 8 > 7��� �� 8 > � �������������� ��� ��������� �� ��� �� �� ���� �� �� ���� ����� 2� 3����#� ������ ��� ���� ���� ���� ������� ���� ��� ���� � ������� ������ ��� ��������� �������? > 8 � � �� 8 �

��

��$�� ���� � ������� ����� ��� ��������� �� @���� �� ��� ���� �� ���� ��������� ���������, $�� ���� ����� ����� �� �� ��� �������� 7� ��� 3����#���� �� ��� ���� ��� ���� �� ��� ��� ���� ������� ��� ���������

��� � � � 8

��

���

7���� ��� ��� �� � �� ��� �������� ���� �� + �������� ��� ���� ������� ������������ ������� �� ��� ������� ���� �� ��� ���� ����� ���� �� ������������� ������ ��� �� ����� �� ��� �����������7� ������ ���� ��� ������� ���� � �� ������ $���� �� �� ��� ������� �� � ���*������ ���� �� ������ �� ��� �������1 ���������� ��� ��� ������ ������������ ��� �*���� ����� ����� ���� �� �� A�� �� ��� �������� ��� ���� ��������������� ��� ������ ��������� �� ������� ������� 6������� � ����� �����

� � ���� 8��� � � � 8

� �

����

2�� � 8 > � �������� ������ �� ��� ������� �� � ������ ���� ��������������� ������� �Æ(�(��)) 7���� ��� �������� �(��) �������� ��� ������� �� &���*

���� $�� ���� ���� ��� ��� ���� �� �������� ���:� � � � '�� �&������ ��� ��

������� �� ��� � � � 8

� �

��:� � � ��

� ��� � �

��:��� � � 8 >

��������� � ��� � ����� �������� ������ ��� �������

Page 6: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

��� �� ���������� 8

��:�

B

Page 7: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ��� "� ��������� ������������ � ���� � � ����������� � �� ��������� ����� ��������� �$�� ���� � ������� �� @��� ������ �� � ���� ����� ���� � �&���� � $�� ���� �������� ���� �� �� ��� ����� � � Æ(� � �) $�� ����� �������� ������� ������� ���� � ������� ������� � �������� ������ ���� � 8 �� ��� ������ �� ��������� "��� ����� � � �� ���� ������ �� ������ �� � ��� ��� ����� ���� �

�Æ(� � �)�� 8 �

�� ���� �������� ��� �� �� ���������� + ������ ��� ���� ��� ��� ��� � ���� �

Æ(� ��)�� 8�Æ(� � �)���(��� �)���� 8 C��� 8 �

.� 8 ����� � ���

�(��) 8�

C���Æ(� � �)

�� "� ����������� ������������ � ���� � � ��� ���� ��� �� ��������� ������������ �� � ����������� ������� �� ������ �

�Æ(� � �)� 8 �

.���� �� ��� ��������� ���� ���� ��� ���� � ������� ��� ���� ��� �� �� �������� ���������� ��� ���� ��� �� ���� � �� ��� ����� ������������� �� ��� ������ ��� �������� + ������ ��� ���� ��� ��� ��� � ��� �

��Æ(� � �)� 8

��Æ(� � �)����� 8 B��� 8 �

.� � 8 ���

� ���

�(��) 8�

B��Æ(� � �)

�� "� ����������� ������������ � ���� �� �� ������ ��������� � �� � A�� �����������! �� �� �� ���� ����!���� ��� ������� �

�D(� � �)Æ(�)�� 8 �

E

Page 8: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

$�� D �������� �� � ������� ���� � �� �� ��� �1 ���� � �� ������ �� D �������

�D(�� �)Æ(�)�� 8

�D(�� �)Æ(�)������� 8 ��� 8 �

.� 8 ���� � ���

�(��) 8�

���D(�� �)Æ(�)

� $�� ���� �� �� ���� �� ��� ���� ��������� �����������

�D(�� �)Æ

�� � �

B

��� 8 �

+ ������ ��� ���� ��� ��� ��� � ��� �

�D(�� �)Æ

�� � �

B

��� 8

�D(�� �)Æ

�� � �

B

����(��� �)����

8 B��� 8 �

.� 8 ����� � ���

�(��) 8�

B���D(�� �)Æ

�� � �

B

C

Page 9: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ��7� ��� � �� ��� ���� � ��� � ��������� ��� ��� 0���� �� ����

F 8 ����

�� G

B �

.���� ���� ��������� ����� �- ������ ���� ��� �� �� ���������� �� ������� ����

��� ����� ���� � ��������� �� ���� ��������� �� @��� "� ����� ���� ��� ���������� � (G �� �) ���� � ��� �� ����� �� � �� ������� � �

������������� �� ���

���������$������������� �� ����� %��� ��� 5������#� �&������ �� ��� ��� ���� � �������

� 8 �����F 8 � ����

��

����F

��

2�� ���� %��� ������#� �� ���� ������ 7� ���� �� ������� ������� �� ������ ���� ���� ��� �� � 8 > $�� F� 8 � �

�GF $��� ��� ������� �� �����

� ������ � ���� � �� ��� ��� �� 7� ���� �� � �� �������� ���� ������ � ���� ����� ��� ���� � ������������ �����

F� 8 �

���� � �

�G

B� ���

����� ��� �� ��� ��������� 5�� ���� 5������#� �&������ �� ��

�� 8 � ����

��

����F

��

�8 ��

B���

����

$�� ����� ���� � ������� �� ����

�(��) 8 ��(��) G �Æ(��) 8 ��

B���

���� G �Æ(��)

'� ������� ��� ������ ����� ����������� �� ��� ������ � ������� ����� ������� �� ��� �� ��� � �������� �����

H

Page 10: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ���$�� � ��� � ���� �� ��� ��������� � �� ��� ��������� ������� ��

9F 8�

C���

�F�

"� ��� ��� ��� ��� ������� �� ��� ������ �� ��������@��� ��� ��� ������� ������� ��� �� �� ������� ���? �

�� � �

�� $���� ��!� ��� ���� ��� � �� 9F���� ������� �� �

�9F

��8

��

�F 8

� �F

��

I�� ��� �� � ��� ���� ��� � �� �� ����� � ��� ��� ������� ���� ��� �� ��������� ��������� 6�� ��� ��� ������� ��� ���! ���� �� ���� ���

�9F

��8

� �F

��8

C���

� �F

���

'�� �� ��� �������� ������ �� �������������� �� ����

8 ��� J�� ��

�9F

��8

C���

� �F

��� 8 � �

C���

���� 8 >

2� 3����#� �������� 8 > ����� ��������� 8 > ��� �� �� �� � ��� ����

���� �������?

�9F

��8 >� 9F���� �� 8 F������

&��

K

Page 11: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� �� ��F��� G

��F�� 8

���F�� G

���F�

3���� � � �� � ����� ������������ ����� �� ������ ���� �������

��

���! � !���

�� � 8

��

��"!

"�� !

"�

"�

L�� � 8 F ��� ! 8 F�

��

F��F� � F���F

�� � 8

��

�F"F�

"�� F�"F

"�

J�� 3����#� ���� ��F 8 ���� �� ������� ��� L��������#� �� ��� ���� ���� ��

��� �&��� �� � ���� ���� � ��������� /��� ������� ��� �� !��� ����

8 ���

������� ��� ���� ��� �� �� ��� �� �� ���� �� ������� ���� � ���������

��

��(F�� � F��) ���� 8

��

��MF�� � F��N �

7��� � ���� ��� �� ������� ������ �� �� 3����#� ����������� �������?

��F��� G

��F�� 8

���F�� G

���F�

O

Page 12: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ��$�� ������� ������� �������� ��������� ������ ��� ��������� �� � ��������� � ���� �� �� �� ������ ������� ��� ������7� ���� �� ���� ��� 3����#� ����������� ��������

�F��� G��F�� 8

���F�� G

���F�

/�� ��� �������� ����� �� �� � ��� ��������� �� ���� � ��� � ����� ����� ������ ������ �� ��� ��� ������# �������� ��� �� ��� ����� ���� � $����������� �� ��� ��� ������� ������ �������7� ���� �� ������ ������� ��������� ��� �� ���� ������� ��� ����� ��!��� ��� ��������� $�� ������� ���� ���� ����� �� ���� �� ��� ������������� ��������� 7� ��!� ��� ���� ����� �� �� �� � 8 > ��� ��� ������ ��� 8 � $�� ���� � ������� ������� � �������� ������ �� ��� ��� ������$�� ������������� ��������� �� ������� F�(�) 8 F�

������� �� !��� �� ���� ���

��� �������� ����� ���������5�� �� ���� 3����#� ����������� �������� �� �� ��

� � F��

�G

�> G ��F�

�8 (>) G (>)

7��� � ������ �� ����� ���� �������

�� 8 ����

�� ����� ��� 2� ��������� �� ��� ���� �- ��� ������� ���� � �� ��� ����������� �� 8 ����

�� 8 �(�� �

�)�

P

Page 13: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

����� �������� � ������ ����$��� ����!� ������ ������� ��� �� �� &�������� ����� ��� " �� �� ���� $�� ����� �� ���� " ��� ���� ��� � ������� &������� �� �� ����� ��� " �� ������ ���! ����� ���� ��� <7���� "#�� �� �� �� � �� ���� ���� ���� � ����=��� �� �� ���!�� �� ��� �������� $��� ��� � ���� ������� �� ��������� � �� � ��� � �� ��� ��� ���� � � ����� ���� ��� �� � �#B ���� �$���! ����� � 3������� ������� �� ������� ����� ����� �� ��� ���� ����*������� �� ��� ����� ��� ���� ������� ��� �� ��� ����������� �� ��� �����.���� 3����#� ��� ���� ����� ����� ��� ���� ���� � �� ��������� ��� ���������� ������ �� ��� ���������� ��

�� 8�

B

C���

��:�

2������ �� ����������� ��������� �� ������ ��� ����� ��� �� ��� ���������������� �� �� �������� ���� ��� ����� ���� $�� ��� ����� ���������� ��������� �� ���� �� �������� ���� ��� ����� ���%������ �� ��� �������� ���� $������������ �� ���� �� ��� ��� ��� ����� ���������� �� ��� �������� ������ ��!�� � ���� �� ��� ������ ���������� .� �� ���� ��� ��� ����������������� �������� ���� ������� �� ��� �������� ���������� ��� �-����� ����������� ���������� ��� ���� ���� ���� � �� ��� ������������ ���� � ���������� ��� �������� ���������� J��� �� 8 �

������ �� �� �

$� 8������

���� 8� �

C���

B����� �

��

C����

����� � �� ��� �� �� ��� �������� ���� ��!�� ���� ��� �*����

$� 8 � �

C���

��

P���B���

� �

���� ��(��� �) 8 � ��

EB�����

$�� ����������� �� ���� �� �� � �� ���� ���� �� ��� ����� ���������� ����� ������ �� ����� ��� �� ���� ���� ������ �� ���� �� �����

Q

Page 14: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� �����!��� ��!� �� �� ��� ��� ������ �� ��� �� �� ��� ��� ��������� ��� � ��������� � ������ � ��������� �� ���� � ��������� ��� � @��� ��������� ��������� �*� ����� ������� �� 8 >

F(��) 8�

�����

��� � ���� G

�����

��

��� � ����

$�� ���� ���� �� ��� ��������� ������������ ���� ��� ������ ���� � � ��� ��������� ���� �� ��� ������������ ���� ��� ��� � ���� � �� L�� ��� ������������� � ��� � ������ ��� �������� �� ��� ���� �� &�������� ����� ��� �������������� �� ��� �� ������ ��� �������� �� ��� ������ ���� � 6����� � ���������������� �� ���� ��� ��� ����� ���� � �� ������ �� ��� ������ � *���� ����� � ����� �� ���� ���������� ������ ���� ����� �������� ����������F( 8 >) 8 >

F( 8 >) 8�

������

�� G �� G ��G

�����

���(�� ���)� G � ��

� G (� � ���)�8 >

7� ��� �� � F 8 > ��� ��� ������ �� ��� �*� ����� ���� �� �� 8 ��� ��� 8 >���� 8 >� ��� �� 8 �� L���� � 8 �

F(�% % �) 8�

C����

�� ��

�� G ( � �)� G ��� ��

�� G ( G �)� G ��

��

$� ��� ��� ������� ���� � ������� ������� �� ��� ������ �� ��� ��� ����������� ������� ��

� 8 ���� 8 ���"F"���

� 8 � �

C����

B�

(�� G �� G ��)�

8 � �

C�����

�B

(� G ��#�� G �#��)�

��$�� ����� ������� ��� ���� � ��� ��� ����� �� � �� �� 6������#� ���

�$ 8�

C���

���

��� � ����� : 8 � �

C���

��

C��:

�>

Page 15: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

surf

ace

char

ge d

ensi

ty in

uni

ts o

f q /

( 4

pi e

ps_0

d^2

)

(x^2+y^2) / d^2

sigma(x^2+y^2)

7���� ��� �-���� � �������� ������� ��� ���� � ��� ��� � �� ����� ���� 8 B�

$�� ����� �� �� ������ �������� � ������� �� ��� ����� �� ������� �� ��� ��� ������ ��!��� �� ���� /����� �� �&���� ��� �&������ ����

�� 8��

�K��C��

(�� G �� G ��)�

��!��� ���� �� ���� ��� ����� ��� �� �������� ���� ��� �������� ���� ���?

�$ 8� ��

B��� �

.� �� �� ���� ���� ���

�$ 8� �

� ��

��

EB����

���

(�� G ��)�����:

����� �� 8 �� G �� L�� & 8 �� G �� ��� �& 8 B���

�$ 8� �

�����

�K���

B

��

&��&: 8 � �

C���

��

C��:�

��

Page 16: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

7���� �� ��� ���� �� �� ���� ���

' 8�� � 8 �

� �

C���

��

C��8

C���

��

C��� 8 � ��

�K����

$�� ��� � ���� � �� ������� �� �� � �� ��� ������������

( 8 ��

B

C���

��

� � �� 8 � ��

P����

0��� �� ��� ��� ���� � ������� �� �� ��� ��� � ���� � �� ��� ������ ����-����� ���� ���� ���J�� ��� ������ ���� ���� � $�!� � � �� ����� �� ' 8 �

����

��

��8 H)OO �

�>��� %����� �� E)K �4

�B

Page 17: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� " ������� ���� ��� �� ��� ���� ���� " ��� �� 0��������� ���� ���� ���� � �������� ��� ������,�� � �������� ����� � �� �� ������� �� ��������� �� ��������� � 8 > �� ��� ������� 7� ���� ������� ��� � ���� � ������� ��� ������ �� ��� ���� ������ �� ��� ���� ���� � ���� ��� ������ �� ��� ������ J�� � 6�������� ���������� ������ ��� ��� ����*���� �� �� ��� ���� ������ �� ��� ���� �� ��� ��� �� ��� ��� ������ �� ���������

F 8�

C���

�� ��

(�� ��)� G � G ��G

���(�� ���)� G � G ��

��

$�� ���� � � �� ���������� �� �� ��� ��� ��� � �� �� �� ���� /�� ��� ����

���� � ������� ��� ������ ��� ��� ��� � ������� ��!��� ���� ��� 8 � ����

����

��� ��� 8 �

���� 7� ��� ��� 8 �� ��� ���� 8 ���� ��� ��� ������ �&�������

����� ��? ��� 8 �

�� L�� ��� 8 � ��� ���� 8 �� 6��� ���� �� ��!�� �������

��� ���� �&������ ������� �� ��&* 8 �� � 8 � ���� 8 ���

�� .� �� 8 �

���

"������������ � �� �� " ��� �� ���� ���� ��!���#� ����� ���� �� � ��� ����������� ������������� �� ���!� $��� ��� � ���� � ������������ ���� ���������� �������� ����������

F(+) 8�

C����

�� ��

��� G +�� +

��

��(

��)� G +�

�� 8 >

� ���� �� ����� ������������� �� ��� ��������� ������� ���� �������� �����&�� $��������� ��� � ���� ���� � � ������ ������ � ��������� �������� ������ +� �� ��� ��� ��������� �� ��?

F(�% % �) 8�

C����

�� ��

(�� ��)� G � G ��� +

��

��(�� �

��)� G � G ��

��

����� �� , + ��� ��� ���� � ������ ��� ������ ��� �� �8 > $�� ���� � ��������� �� ������ �� ��� ������ �� ��� ������ " �� ���� ���� � ������� ������

����� ���� � ������ ��������� ���� ��� �� ����� ��� ��� ������ ��� � ���� ������� ��

������ ���� ������� �� ��� �����

�E

Page 18: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

����� �� ��� ��� ��������� ��� � ���� � �� ��� ������� ��� ���� �� ��� ���������J�� 3����#� ��� �� ��

F 8�

C���

�� �

C���

+

�� � ������ �� ��� �� � ������$�� ������� ���� � ������� ���� ������ �� ��� ���� �� ���������� �� ��!������ ��� �� ���� ������� /�� � ���� � ������� � ��������� ������� ��� ����������� � ������� �� ����

� 8 � �

C����+

��

�� �

���

(� G �

���

� B ����� -)

����� - �� ��� �� �� ������� ��� �*���� ��� ��� ���� ������� ��!���#������� ����� ���� ��!�� � 8 ��� ���� � ��� ��� ��������� �� ������������ ������� $���� ��� ������� ���� � ������������ ���� �� ��� ����

� 8 � �

C����+

��

�� �

���

(� G �

���

� B ����� -)

�� � �������� ��� �� ����� �� � �� � ������ �� ��$�� ����� ����� �� � ��� �� �������� �� 6������#� ���

$ 8�

C���

���

� � ��� 8�

C������ +

����

� �

��� ��

� 8 � �

C�����

+��

(+� � ���)�

��"� ��� ������ �� !��� �� � ���� ��������� F� �� ���� ��� �� ��� � ���� � ����� ��� �� �� ���� ��� ��������� �� � �� F "� ��� ������ ��� � ����� ���� �� �� ��� ����� ��� ����� ��������� �� � ��� ��� ���� ��� � ���� � ����������� � ������� ���� � �&��� �� � ��� ����� ���� ��� � �� ��� ��� ��

�C

Page 19: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

�" ���� �� � ������ ���� ����� 7� �� � ���� ���@� �*����� �� ���� ����������$��� ����� ���� ���� ���� ��� ��� ���� ���� ��� ���� ������ ��� ��� ������� �� �� ��� "� ��� ���� �� �� ��������� F� ��� ��� ��� ����� ����� ��� �� @������������ $�� ��������� �� ��� ������ �� ��� ���� �� ���� �� ���� ��������� �� F�

� 2� ��������� �� ����� ��� ���� ���� �������� ��� ��� ����1 ���������� F� ������ �������� ������� ��������� F�

� �� ��� ������ ���� ����� ������ ������������� L�� ��� ��� ����� �� �� F� $���� ��� ��������� ����� ������ ��

F������ 8�����

F��

"� ��� ��� F� ��� �&���� ���� �� ��� ��� ��� F�� $���� F� 8 �F�

�� ��� ����� ��� � ��� F�

� 8��� "� ���� ������� �� �� ���� ���������� F�� ���� ���

������ �������� �� �� ���� ���������� ��� F� 8 F� �������� �� ��� ���� ����������� $��������� F�

� 8���

�� ��� ������������ ���� ���� ����/�� � ��� �� ��������� ���������� ��� ���� ����� �� ��� ��� ��� ��������� �������� ������������� � ���

F� 8�

�����

F�

&��

�H

Page 20: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ���� � �� ���� ����� " ������� ��� ����/�� � ���� �� ��� �� � 8 > �� ��� �*� ������ ��!��� ���� �� ��� �������� ?

F(�% �) 8

��� �

�� ��

��

����. (>). (��� �) % � � �

��� ��

��

����. (>). (��� �) % � , �

2��

. (>) 8

���

> % �/� 0 /��

(��)�� ���� �� ��

8 �(0) % �/� 0 �1��

7� ��� ������� 0 �� B2 ������� � ��� ����� ���� �������.���� � � (�� � ��)�

� �� ��� ���!� ��� ����� ���� � �� ��� ���! ��

� 8� �

B�3� �� � ��

��

L�� & 8 �� � ��� �& 8 �B���� ��

� 8 �� �

��

�3 &�& 8 B�3&

� ��

� 8 B�3�

��� 3 8 ����

���� �� ��� � ��� � ���! ���� �� �� ��������� ���� ��������*������ ����� ��� � +��� ����������� �� ��� ���������

ÆF(�% �) 8 �!�!��

��!

��!��(B2).�!(��� �)�% � � �

����� �(B2) 8 .�!(>) ��� ���� ����� � �� ��� ���! � �� ��� ����� ���������

F(�% �) 8�3(�� � ��)�

!�!��

��!

��!��(B2).�!(��� �)�����

8 B�3�� �

�(�� � ��)�

��!

��!��(B2).�!(��� �)���

6������� ��� ���� ��� � �� �

� �

��!�

�� � ��

�� 8�

� �

��!���� ��

��

��

�K

Page 21: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

L�� ��8 ��� �� �� 8 � ��� ���

�� 8�

� ��

��(�)�!� ����!� �

��� ���� ��� 8 ��!� B!2,

(B2G �),,

J��� � ��

�����!� ��� 8

B!2,

(B2G �),,

.�

F 8 B�3� B!2,

(B2G �),,�(B2)

��!�

��!�.�!(��� �)

��� �� !��� �(B2)

F 8C�

�(��)! (B2G �),,

(B2G �)(B2),,

B!2,

(B2G �),,

��

��! ���

�.�!(��� �)

.���� (B2),, 8 B!2,�

F 8C�

�(��)! �

B2G �

��

��! ���

�.�!(��� �) % � � �

$�� ��������� �� ��� ���! �� ��� ��� �� �� 4

� 8� ��

� �

������� 8

� B�

��

B��

� �� � ����

J��� � ���

���� 8 ������� ��

� 8B�

��B� �����

��

��� 8

B��

��� 3 8 ����

8 ��� $����

F 8B�

��

��(��)! �

B2G �

��

�!.�!(��� �)% � � �

� ������� ���� ������ ��� �� ������� ��� ��� � , �

F 8B��

�� C�

�(��)! �

B2G �

��

��! � ��

�.�!(��� �) % � � �

�O

Page 22: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

��" ���#� � ��� ��� ���� " ��� ���� "#�� �� ���! �� ������4 8 �

�� ��� ���� ���� � � 8 �� �

���

4 8B� �

��

�8

B�

�P

Page 23: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� �� 8 > �� � 8 >% 0 2������ �� ����������� ��������� �� ���� ��� ���������������������� $���� �� �� �

��F 8 >� �

"

"�

��

"F

"�

�G

��"�F

"��G"�F

"��8 >

$�� F(�% �% �) 8 �(�)5(�)�(�) .�������� ��� L������ �&������ �� ��������*��� ������������ �� ��� ����� ��-�������� �&������� ����� ���� �� ��������

"�5

"��� ��5 8 >

��� ��� ��������5 8 ���(��) G� ���(��)

$�� �������� ���� ������� �������� ���������� ���� F 8 > �� � 8 >% 0$��������� � ���� �����

5 8 ���(��)

����� � 8 ��

.��������� �� �� � ��� �"��

"���6�� 8 >

����� ��� ��� ��������

� 8 4 ���(6�) G7 ���(6�)

6 ���� �� �� ���� �� ��� � �� �� ��� �� �����$�� ������ ���� ���� ������� ��� ��� ������ �&������ ���� ��� �� �� $����� ��� ��� ������� 2����� �&�������� ��� �� � �� ����

"��

"��G

"�

"��

�� G

6�

��

�� 8 >

����� � 8 �� $�� ��������� ��� %��� ������� 2����� ���������

�(�) 8 ��"(�) G $8"(�)

6 ���� �� �� ���� �� ��� � �� �� ��� �� ����� �" ��� 8" ��� ������� ������� 2����� ��� ������� ��������� ��

�"(��) 8 ��"9"(���)

�Q

Page 24: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

8"(��) 8�

B�"�:��

" (���)

$�� ��������� �� ����� �� � 8 > ��

:��" (>) 8 9"(>) G �;"(>) 8 >

2�� 8" �8 > �� $ 8 >7� ��� ��� ����� F �� � ������ ����

F 8 �5� 8�

������

0��(4 ���(6�) G7 ���(6�))��"

���

0��

L�� ��� � �� �������� ���� 4 ��� 7

F 8��"��

�����

������

0���"

���

0��(4"� ���(6�) G7"� ���(6�))

���� �� ����� �������� ���������� �� � 8 �� F(�% �) 8 � (�% �) .�

F(�% �) 8�"#�

������

0���"

���

0��(4"� ���(6�) G7"� ���(6�)) 8 �

$�� �"�� ���� %��� � ��� �� ��������� �� ��#�� ������ ���� ���� 4 �

"� ���

7�"� ��� ��� ���� ���� $�� ���������� 4 �

"� ��� 7�"�� ��� �� �������� ��

/������ ��������

4 �"� 8 3

� �

� ��

�F(�% �) ���

���

0����� (6�) ����

7�"� 8 3

� �

� ��

�F(�% �) ���

���

0����� (6�) ����

3 �� ���������� �� �������������� �� ��� ������ �����

3�� 8� �

�����

���

0����

� ��

����� (6�) �� 8

0

��6

��

B� ���(B�)

C

������ �

��

B� ���(B�)

C

��"���

.� 3 8 � �

/������� �� �� �

4"� 8�

0�

�"�� � � �

� ��

�F(�% �) ���

���

0����� (6�) ����

B>

Page 25: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

���

7"� 8�

0�

�"�� � � �

� ��

�F(�% �) ���

���

0����� (6�) ����

B�

Page 26: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ����

� 8� �

��3(�� � ��)�� 8

C

E3��

�� 3 8 �����

���

� 8E�

C��(�� � ��)

/�� ��� ������ �� ���� ����� ���� �� ��������� �����������

�(�% �% �) 8E�

C��(�� � ��)

���Æ(���� � � �)

/�� ��� ������ �� ��� ��������� ������ ��� 3����#� �������� ��?

<(�% ��) 8 C���!��

!�"��!

=!"(��% ��)=!"(�% �)

(B2G �)��� (

)�!�

���!$ �

+�!�

�!�$

���

�!�%

� �!%��!�

7���� + ��� � ������ ��� ����� ��� ����� ����� 0��� + 8 > ��

<(�% ��) 8 C���!��

!�"��!

=!"(��% ��)=!"(�% �)(B2G �)

�!$

��

�!�%

� �!%��!�

������� �� �@������� �������� �� 6 8 > ����� ����������

<(�% ��) 8 C���!��

.!(��� ��).!(��� �)�!$

��

�!�%

� �!%��!�

$�� ��������� ��� �� �������� ����� � 3����#� ��������� ������&���

F(�) 8�

C���

����� �(��)<(�% ��)

��� ����������

F 8�

C���

�����(��� ��)������

E�

����(�� � ���)Æ(���� �� � �)

��!��

.!(��� ��).!(��� �)�!$

��

�!�%

� �!%��!�

BB

Page 27: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

$�� ���� ������� � �� �� ��� �� ��� ���� ��� ���,

F 8E�

�K�����

��!��

(.!(�)G.!(��)).!(��� �)�

���� ���(������)�!$

��

�!�%

� �!%��!�

"��� ������ � �� �� ���� �� ���� � �� �� ���� �� ����? � , � ��� �� > �� � , ���� �� , �� � > � ��� �� > �� ��� � > � ��� �� , � 7��� ��� ���!� ��������� ���?

F(�% �% �) 8E�

�K�����

��!��

(.!(�) G .!(��)).!(��� �)�(�% 2)

�����

�(�% 2) 8�

�!�� �!

��!�

�����!�

2G �� �!�

2G E

G�!���

��!

2G

���!

2� B� �!�

(2G �)��!�� �!�

(2G E)��!�

��!�� ��

2�!G

���!

2� B� ���!�

(2G �)��!�� �!�

(2G E)��!�

5���������� ���� ��� �� �������� ��� " �� �� �� ������ �� ���� /�� � , ����

F(�% �% �) 8E�

�K�����

��!��

(.!(�)G.!(��)).!(��� �)�

�!�� �!

��!�

��B�!�

(2G �)(2G E)

$�� ���� .!(�) G .!(��) �� @��� ��� ��� 2 ��� B.!(�) ��� � �� 2 .� �� ���������� ��� ��������

� 8 ����F � :�

� 8 �E�

P�

��!��

.!(��� �)(B2G �)

(2G �)(2G E)

B

��

��

�!

��

BE

Page 28: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

"� ���� ������ ��� �����

!������ ���� 2 8 > $����

� 8 �E�

P�.�(��� �)

E

B

��8 � �

C���

$��� �� ���� �� ����� �� � �������� �� � ����� ���� � ���� ������� �� ������ �� ��� ��� ������ ���� �� @��� ��������� 7��� � ,, �� � ���� ���� ��!����� ������ ���� � ��� ��� �� ��� �� �������� �� �� ���� ���� �� ��!� ��� ������� ��� ������ ���� ��� F '��� � ���� ���� 2 8 > ����� ���� ����������

F 8�

C���

��� �

��

$��� ���!� ��!� ��� �&������ ��� � ��������� ���������#� ��������� �� �� ������,

BC

Page 29: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ���������� ���� ��� &��������� ������ ��

��& 8�

E�����& � ����&

�(���)�� �

/�� ��� �������� ����� 3����#� ��� ����� �� ���� � ������� ���� � �������������� �� 8 > �'�

��G �'

��G �'

��8 > $�� ������� �� ������������� ���������

�� �'��

8 �'��

8 ����'���

�������� �� ��!���#� �&������ CBE� ��� ���� � ��� � &��������� ��

' 8 ��

K

�����

��&��

� E���& � ���&

�"�&"��

���

7��� � �8 � ����� �� �� ������������ �� ��� ���� � I�� ��� ���������� ������ �������� ���� ��� ���� �� �� �� @��� ��� ������ ���� ��������� �� �� �� 8 >7��� �� 8 � ��� �& 8 �� ��� ���� ��� �� ������� ���� 8 ���������� ��� ������� � ������������ �� '� 8 � �

��'�

�� ��!��� ����� �� �� � �H� ���� ��

������� ������� ��� 8 ��� 8 ������ /�� �� �� �& �&���� � �� � ' 8

(���)(��

�)(� �

��'�

��) 8 � �

����'�

�� $����

' 8 ���

KG

�B

���

�"��"�

�8 ��

C�

�"��"�

&����7� ��� � �� � 8 B��>��� ��� 7R� 8 �> �0@� +� 8

�������

"���8 >)HBQ��>���

�� ����� ��

8 Q)OE� �>� �R(�6)� ��� ���� ���� ��

' 8 ��C�

�"��"�

.�� � ����'���

� �

"��"�

�8'

����

�C

5�� �� �� �������� P)BO� �>�� �R(�6) "� ����� �� ����� ��

?

�"��"�

�8 P)H� �>��

��

C���+��

�;

6 � 4

BH

Page 30: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

��/�� ��� �������� ��� ����� ���� � �� 5� ����� � �� ��� ���� � �� ��� ��������$�� ���� � ������� �� ��� ����� ���� � �� ���� �� ��� ����� ��� ������ ��������� ������� '������ ��� ������� ��� ���� � ������� ������� $�� ����� ���� ������ ��������� �� � �� �� ��� �� � ������ ������� �������� � 8 �

��+��

"� ��� ����� + �� ��� ����*��%�� ����� ��� � ��� � ��� ��� ����*����� ����2� ����������� �������� � 8 �

� 8

��(��� �

% � �

+� � ��

>% � >

+� � ��

$�� ������� &��������� ������ �� ������ � 8 ��

�(E�� � ��) ��� 2������

�� ��� �� ���� ��������� ��#�� �� ���� �� ����������� ����������� ����� �� 8�� G �� ��� �� 8 �������

� 8E5

C�+��

� �

� ����

� ��

E�� � �� � ��

�������

$�� ������ �� ��� ������ ���� ��� ��� ���������� ������� ��� ���� � ������� ������� ������� ��� ������

� 8E5

C�+��

� �

� ����

B�� � ��

�����

.��������� �� 8 &� ��� ���� ���� � �� �&

� 8E5

C�+��

� �� ����

B�� � &

�&��

8E5

C�+��

��B��

��� � ����

+�

�� �

B

��� � ����

+�

���� ��

.�������

� 8E5

C+��

�B���� � B����

+�� �

B�� G

����

+�� �

B����+�

��

+ ������ ��� ���� ���� ���

� 8E5

C+��

�C+���

E� C��+�

H� ��+G

B��+

E� �

H+��

BK

Page 31: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

.������� ��� ������

� 8B

H5+� � B

H��� 8

B5

H(+G �)(+� �) 8

P5

H

�+ G �

B

��+� �

B

5�� �� � 8 � � �� ��� ���� ������� O� �>��� ������

� 8P5

H�

�+� �

B

.� ������� " ��� �� ���� ��!��� �������

�+� �

B

�8

H�

P5�� +� �

�8

H�

P5

B

��

BO

Page 32: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ��.���� ��� ����� ���� � �� @��� ������� ��� �������� ��� ������ ��� ������ ����� ��� �� ���� 5������#� �&������ �����?

��F 8 >

��� ��� � ��� F� ��� ����� �������*������ ��������� ���� ����� �� �� ��� ������������ �� �� 8 ��F7����� ��� ����������� �� ���� �� ����! ����� $���� ���� �� ���� ���� ��������� ������� �� ��� ������ �� ���� ��� ����� ��������� ���� �� ��������� ������� 7� ��� ��� �� ���� �������� � �������� ��������� ���� ����� �� ����� �� ��� �������� ����

��� 8 ����) ��� (�� ��) 8 >� ����������� 8 >

����� ���� 8 ����) $�� ������� �� ��������� � �� ��� �������� �������� ������������ �� �7 8 ��F�������� $�� �������� ���� ��� ��� �������� ������������ ��� ������� ��? �7 8 � ��.������� �� ���� ������� ����� �� �� ������ ����������� ����������� �� �������� 5������ �&������ ��

"�F

"��G

"F

"�G

��"�F

"��G"�F

"��8 >

2������ �� ������������� �������� ���� ��� ������ F �� ����������� �� ����� �� ���� ���� �������� ��� ������� �� ��� �*� �����

"�F

"��G

"F

"�G

��"�F

"��8 >

BP

Page 33: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

$�� � ���������� �� ��������� �� F(�% �) 8 �(�)D(�)

��

�"��

"��G

"�

"�

�G

D�

"�D

"��8 >

$��� ���� � � �� ��� �&������� $�� ���� ���#� ��� ���� �� ��� �

"�D

"��8 �6�D

$��� ���� �� � ��������� ������������ �� ��"*� ���"*� �� ������� ���� ����������������� �� ��� ���� 7�#�� ������ ��� ��� ������ ������ �������������

D(�) 8 " ���(6� G ")

������ ���� ���� ������ �� ������ %��� ��� ����������� /�� ��������

" ���(6�G ") 8 " ���(6�) ���( ")�" ���(6�) ���( ") 8 �" ���(6�)G4" ���(6�)

����� ����� �� ����� ���� ���$�� ������ �&������ �� � ��� ����!���

"��

"��G

"�

"�� 6�

��� 8 >

L��#� ���� �����(�) 8 ��"% 6 �8 >

����(�) 8 �� � G 4% 6 8 >

��� ��������� "� ����� �� �� ��� ���� ���� �� ���� ���� ����� ��� �� �������������$�� ������ �������� �� � ������ ����������� �� ����� ��������� $�� ������������������ ���� ��������� %��� ���� ���� ������ ����������� ��$�� ���� ������ ��������� �� ���� ��������� ��� ���� ��� ������ �� �������� ������� ��� ������� �������� ���� $��� ������� ���� ��� �� ������������ � ���������� F 8 ���� ���� 6���! �� �� 8 ��F 8 ��:�� ��� ����� ��� ����� �������� �� ��� ����������� ������ �� �� � ��� ������������� ���������� ������� �� � 8 + ��� �� ��� ��� �7� ��� ���������������� ���� �� 8 ���

�*��� ��� 8 ����

��

BQ

Page 34: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

$� ��!� ��� �� �� ������� �� ���� ����� ��� �������� ����� �� ��� �������� ���*���� ��� ������ ��� ����������� �� ��� '������� �� ���� �� �� � ��� ������������ �� �������� ��� �� ��������� ���#� ���� ��� ���� �� �� �� � $�� �� �*������� ��� �� ���� � > � ����� �� �� � �� � ��� �� �������1 �������� ���������� ��� ����������

F��� 8 ���� ��� � G��"��

"�

�"���(6� G ")

"� ������� ��� ����������� ������� �� ���#� �� � ��� �� ���� �������� ���*��������

F"�� 8��"��

��"�

�"���(6� G ?�") G

��"��

�"�" ���(6� G ?") G 4 �� �

"������ �� �� � �� ��������� ��� �� �� �� ����� �� ��� ��� ��

F�� 8��"��

7"�" ���(6� G Æ")

���� ��#� ������ ���� �� ����� �������� ���������� $��� ���� F 8���� ��� � �� � � �� ��� �� � 8 + �� �1 �� 8 ���

�*��� ��� 8 ����

��

��� ����������$�� ���� ���� ����� ����!� ���� ����������� �������� �� ��� �������� ����+ �� ����� ��� ���� �-��� �� �� ���� ����� �� � L� ����� ���������� ���������$��� ����� ��� �������� ��������� ���� ������� �� � ��� �������� �� ����� ��� �� ��� ��� ���� ���� �� �������� �� ���� �� �� .��� �� ��� ���������� ��� ������� $���� ���� 6 > � ������ ���� ��������� �� �� ���� �� ����" 8 �" 8 ��" 8 7" 8 >" �� ���� ���� ��� �������� �����?'������?

F��� 8 ���� ��� � G ��

����(� G �)

"� ������� ��� ���������?

F"�� 8 ����

����(� G ?��) G��� ���(� G ?�)

"����� ��� ���������?F�� 8 7�� ���(� G �)

E>

Page 35: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

2������ ���� �� ��� ��� ��� ���� �������� ���� ������� �� ��� ������������� �� ��� ���� ��� ������/�� ��� ������� �� ���� �� ��� ��� �������*������ ���������

F��� 8����� G �

����(�)

��� ��!����� �� �������� �� �� � ��� �������� ���������

F"�� 8����

�G���

����(�)

��� ������� �� �� � ������� ���� ������� ������ ���������

F�� 8 7�� ���(�)

L��#� ����� ��� ���� �������� ���������� ���* ����� ���� ��� �������� �����

���� ��@� ��� ��������

����G ��

�8

����G

����

����

���+ G

���+

8 7�+

/�� ��� ���� �������� ���������� �� ��!� ���� ��� �������� �������� ����������� ������ � ������� �� ����������?

������ G

��

�8 (�� ����

��)

(����+�

G��) 8 ��7�

L�� ���

8 3� ��� ����������� /�� ���������� �������� " ���� ��� � � �� ������ � ��� ���� �������� � "#�� ����� ��� ������� �� � ������ �&������?

�� 8 �

����

� 8

�����

��

���7�

�����

E�

Page 36: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

��� ��� ��� �������� �� %���� 8����

0��� ��� ����� �� �� �� ��� �� ������S 7� ����� �� ���!� ��� ���� ��� ���" ���#� ��������� ���� ������&�� "� ��� �� ��� ���������� "� �� ��� ��������#�� ��� ����� �� ����������� "� �� ��� � ������ ���� ������ �� �� �� ��� ��� ��� ��� � ������ �� �� ���� �� ���� '�� ������ �� �� ���������� ������������ ����� �� ��� �&������ �� ������ ������ ��� ���� �������� ���� ��� ����� ��� �� ��!� ��� ���� ������ �&������ ���! ���� ��!� ��� ������ "� �������!� � ���������� ��&�������� ���� �� �������� �� ���� �� ������� ������������ ����� ���#�� �� � �� ������� � ���� ���! ��� ���� ����� ���� " ��������������� ��������

�����#� �� ��#� >> + �#+ �+

��#�� �3 3#�� >> 3 �3#+� ��

�����

�����

��

���7�

����� 8

��������>��

>

�����

$���� ������,

��� 8�

�� �

� � +

�� �+

G +�

�� +�

�������+ � +

�� +�

G +�

���+

� G

G +

G +

� +

� �

G + �

��� +

�� G +

� �G +

� �G +

���� +

� G +

G +

�+ �

+�G +

�� +�

�G +�

��+

� �G �

G +

�G +

������

�� ��� ������ ��������������� ��� ���#�� �� ��� �������

� 8 ���� G B���

�+�(�� 3)� � ��(� G 3)�

��(� G 3)� � +�(�� 3)�

�� 8�B���

�(� G 3)�

��(� G 3)� � +�(�� 3)�

��� 8B��+

���(�� 3)�

��(� G 3)� � +�(�� 3)�

7� 8�C���

�3

��(� G 3)� � +�(�� 3)�

EB

Page 37: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ���� " ������ ��� � ���� ����� �� �� �� ��� ��� ���� �� ����� ��?

�� 8 ��B���

�(� G 3)�

��(� G 3)� � +�(�� 3)�

��� 8 �B��+

���(�� 3)�

��(� G 3)� � +�(�� 3)�

/�� ��� ���� �� ���� �������� " ���� �������� ���� ��� ���������� �������� ������� ����� ������� �� � ���� ��������� �� 8 �

��7

�� ���� � ���� �� �� � �� � ������� ��� �� � � B+�" ���� ��� ����� �� �

'���� ��!� ����� ��� 3 8 �

���� 3 8 B

�� ������� � �������� �� �� �� ��� �������� ��� �� ��� �� ������ ����� �� ������ �� � ����� � ��! ��� � ������ ���� �������� � ����� � ����� ���/�� ��� ���������� ��������� " �����! ��� ����� ������ ���� �� ������ 1 +� >

� 83� �

3G �����

�� 8�B��

� G 3

��� 8 >

7� 8�C��

(� G 3)�

/�� ��� ����������� �� ���� " ����� ��� ������� �� ��� ����� ����� �� ����������� "� ���� ����� � �� ���*������� �� ��#�� � ���� ��

�� 8�B��

� G 3

��� 8 B��+� �� 3

(� G 3)�

7� 8�C��

(� G 3)�

$� ���� ���� � ��� �������

�� 8B��

� G 3

EE

Page 38: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

��� ����� ��� ���������

F� 8����� G ��+

� �� 3

� G 3

���� �

F� 8 � B��

� G 3� ��� �

EC

Page 39: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� �����7� ��� ���� " ��!� �� ���� ��� 7 ���� ���� �� � � �7 8 ����� $�� �� �� ����������� ����� �� �

�7 � � � 8 �

'���� ��� ������ ���������� �� �7 ���� ���������� �� ���� ���� ��� �� �� ��!���� ������� �� ���� ������ �� �� � ������ ���� ��� ���� ������ �� ��� ��������� J�� ��� 7 ������� ��� ���� �7 8 � ��

����B��� G ���B��

� 8 �

$��� � �� � ������ �������� ����?

�� 8

�B

� G ���

��

C�����

7� ��� ��� ���� L��#� �� ��� ���� ���� � ��� ���� � ��-����� ������� ������ ������ $��� ���� �� ���� ���� ���� ���� � �� ��� ����*������ $�� ������������� ���� � �� @���

�B

� G ���

���

B�

�B

� G ���

���

BG

����,

�7 � � � 8 >

����� ����� �� ����,

�7 � � � 8 >

�� ��� ���� ��� � �� ��� ��� ������ ���������� ��7 ����� 2� ��������� ������*������ ���������� ���� �� �������� �� ��� ���� ������ .� �� ����� ������ ���� ��� �� ������ ��� ���� ���� ���� ����� $�� ���*������ �������������� ����� 7� ����� �� ��� ���� ���� ��� ��� ��� ������ ��� �� ��� ��

EH

Page 40: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

����� �� ��� ���� ������? ��� ���*������ 7 ���������� ����� .� ����������

�� 8

�B

� G ���

��

C�����:�

$��� ��� ��� ���� �� 6������#� ��� ��� ���� �� �-���� � ����� ���� �� ���� 8������

����� 8 ���� �� ���� ���� '� ��� ����� ��������

����������� 8�

�� G �

��

B�+�

���

� �� 8�

���� G �

��

B�+�

��/��� ��� ������@����� ���� � ������� �� ���������� ��� �-���� � ���� � ���*���� ���� ��� ����� ��������� ���� � �������? ���� 8 � G �-��) $��� � ��

�-�� ��� ���� 8�������

� $�� ����� ���� � ������� �� �������� �� � ��� �� ���

������@����� ���� � � �� ��� ���� ��� ����� ������#� ������� ����� �� �� ���*���� ���� ��� ���������� �-�� ��� ���� 8

���� ��� ����

�� � $��������� ��� ������@�����

���� � ������� ��?

�-�� ��� ���� 8 ���� � �

�� G �

��

B�+�

�� ��������� � ��� �� ����� ���� ������ �� �� �������� ��� ������@������ �. 8(� � ��) �� ��!��� �� ��� ���� �-�� ��� ���� 8 �. � �� 2�� �. ������ ���� ���

���������� ������� �� � 8 +� ��� �-�� ��� ���� 8 �.� 8 (����)�� 8�������

�� �

�� ������

EK

Page 41: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ��2���*.� ���#� ��� ����� �� ��� �� ��� ��� �� ����� ���� �� ���� ����� . (��)�������� �� � ���� ������� �� ���� ����� ����� .�(���) �� . (��)?

� �� 8@�C����2� �

��� � ���

�� � �����

$�� ����� ��*���� �� � ����� . �� ��� ��� �� ��� � �� �������� ���� ��� ���������� .� �� ���� ��� � �� ������ ��� ������ ���� ����

�� 8�� �� 8

@�C�����2� �

��� � ���

�� � �����

$���� �� � ���� �� .��!��# ������� ����� �� ������ ����?��2� � 8

��� � �

�� � "#�� ���! �� � ������� � ��������� ��� ���� �������1 ���� ����� ����� ������ �� �� �� ��!���#� ���!

���2� �

��� � ���

�� � �����8

��� � ��� �

��� � ���

�� � �����

7��� ��� ������ ��������� ���(�� ��) 8 ��(�� � �)� �� �� �

�� � ��� ���� � ���

�� � �����8 �� � ���

���� � ��

��� � ����

���� ���� ��� ��� ��� ����� ��������� �� ( �� � �4) 8 ( � 4) �� � ( ��) �4�" ��� ����� ��� ������ ����� ������� ����� ��� ���� ��� �� ��� ����� $������ ��� �������

�� 8 �@�C���� �

���� � ��

��� � ������� � G

@�C�����

����� � ��

��� � ����� �� �

2��.���.��.���.���

8 �( �

�.��.���) ��� ��

��.��.���

� Æ(�� � �) $�� ���� ���� ���

������� �� ��� ������� ����� �� ���� ��� �&��� � .���� " �� ���� �� ��������� ���� ����� �� ��������� �� ��� ������ ��� � T� " ������ � ������� �� ������ ���� ��� �&��� � �� ��� �������� ��� ��� ���� ���� ������� 7� ��� ��������

�� 8@�C�� ��

� ����� � ��

��� � ����� �� �

EO

Page 42: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

" ��!� � ������� �� ��� ���� ��� ������� ��� ���� ��� ���� ��� ������ �� ����� ��� ���� ������ ������ ������� �� ����� �� �� �� �� ������� �� ��� ������� ����� + � � :�� �� � �������� ���� �� ��� �&���� �� ���� ������#� ������� ��� �� ���� ��� ����� �� �� ������������*���� ����� (�� ������ ����������) $� �� � ����� �� ��� �� ���� ���� �� ��� ��&����� ����

U 8�/

� � � ( :�)��

8� �� � � �

��

��� �� ��� ��������� ���� ��

U 8� ��

��� � ��

��� � ����� ��� �

$������ 8

@�C�� ��U

7���� U �� ��� ����� �� �� ����� ���� ��� ����� ����� ����� ��������� ����� ������ ������� ����

EP

Page 43: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� �����7���� ���� ������� �� ��� ��� ��� ��!��� ��� �� ���� ��� � ���� � ������*������ ������� �� � ���������� �� ��� � � ����*������� ���������� ����� ������

� 8 ���� � ���� G ��

��

� 8�

B���� G ��

��

7��� ���� ������� ������������� �� ��� �������@� ����� �� ��� � ��� ������ � �������� 7� ���� �������� ����� ��������� ����� �� ��� 0��� ���� ���5���������� � ����� ������� ��!�� �� ����� ��� ������� ��� ������ ����� ������ �� ��� ��������������� ��#� ������ �� ������� ���� � ���� ����� �������������� ���� ��������� �� �9(�% % �) ���� � .�� �� � @� 8 � ��� �� �@� 8 @ $���� ������������ � � �� ��� ��� �� ������ � ����� �� �/�� � > >� �� �� � �� �� ������� ����� ��� � ����� �� �� �� ��� ��� � ��������7� ��� ��� ��� �� �� �� ���������� ��� ������� ����� �� ����� ������ ��������� ������ $��� �� ���� @ � >� �� �� � ������ ������� ��� ����@��� �� �� � ����� ������ L��#� ���! ���� ��� ����� ����� ���� $����� � ������� ���� ������ ��� �-��� �� ��� ���� ������� J��� ��� �� �� ��������� ��#� ������ �������� ����� �� ����� ��� ������� �� ��� ���� ��������� ������� ���� $��������� �� ���� �� �

�9� 8

�@� �

@G �

��9�

$�� ������������� ���� �� ��� ��� � �������� �� ��� ����� ����� ���� A���� ��� �������� ��������� �� ��� ���� �������

9� 8 ��@� �

@G �

�9�

7� ��� ���������� ���� ���� �� �� ����� ����� ������� /�� ��� ������������������� ��� ��� � �������� ���� �� �������� ��� �� ��� ���� ������������ ��� ����� ����� ���� $���! �� � ������ ��� ��� ��� � �� ���� �� �� ������ � ������ "� ��� �� � ���� �� �� ���� �� ��� �� ��� ��� ��� � ���� �� ���� ��� �� �� "� ��#� � ����� ������� ���� � ��� ��� � �� ��� ���� �� �� ����� �� �� $���#� ������� ���� ��#� ������ $�� ���� ��������� ��������

EQ

Page 44: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

��� ������� �� ������ /�� ��� ������������� ����� �������� �� ���� ���������� �� � (����*��������) ��� � ������� $��� �� ��� ���� ���� �������� ������@� $���! �� ��� ��� � �� ���� �� �� ���� �� ������ �� � �������� ���� ���� ���� ��� ����� ��� ��� � �� � ������ ���,"� �� ��� ���������� ��� ������ ����� ����� ��� ��� � �������� ����� �� ������������� $��� �� ������� �� ��� ���� ��� ��� �� �� ���������� �� ��� ����������� �� ��� ���� �������� $�� �� � A�� ���� �� ��� �������� �������� ����� ������������ ����������/�� � , >? '��� � ���� �� ��������� �9 ���� � �� ��� �9 .�� @� 8 ���� @� 8 @ ������ ���� ��� ��� �� �� ��� ������ � /�� ��� ���������� ����� ������� �������� �� ��� �������� ���� �� ������� �� �������� /�� ��� ����������� �� �� � � ��A������ �� � ��A������ �� ������ � ���!���� �������� ��� ��� ���� ������� �� ��� ��� �1 ���������� ��� �� � �� ������ �

�9 8

�B@

@G �

��9

$� �� � ������ ������������ �� ��� ������� �� �� �� ����� " ���� ���� � ������������ ���� ��� �������� ���������� 7� ��� ��� ��

�� �: 8 �9

7���� ��� � ������ ���� ��� ��������

�: 8@�C�@

������ �9(��)� �� � ���

� � ���

2�� ��� 9� ��� ����� ��������� ���� �� �9 � Æ(�����+)� �� �� ��� �� ��� ���� ������ �����

�: � �

@�� � (�� � �+�)

$�� ����� ������� �� ���� ������ ��� ��� ������� 7� ���� ������ �� 8 �:���+� 8 : � �� 8 ��:�G ��: G ��:�� ��

8 ��:�G ��: G �� :�� ��� �� 8 �� :�G �� : G �� :�

������ ���� " �� � ��� ���� ��� ����������� ����� ��� �� �� �� ��� ��������� � ������� ���������� $����

�: � �(�� G ��):� G ��: G ��:�

C>

Page 45: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

�: � (�� � �� ):�� ��: G ��:�

����: � �

@(�� � �� ):�� �

@�� : G

@�� :�

7� �� � ��� �������� ����������? �

��� � :� 8 ��� � :�� @� �:� � :� 8 @� �:� � :���� B

�:� � :� 8 �:� � :�

���� :� 8 :� /��� ��� ���� ���������?

�� G �� 8 ��

/��� ��� ����� ���������� �� ��� ��� ��� :� ���������

� �

@�� 8 � (�� � ��)

.�� � �������������� �� ���

�� 8B@

@G ���

���

�� 8@� �

@G ���

2� ��������� �� !��� ���� ����� �&������� ����� ���� ���� ��� ������������� 7� �� � ��� ���� ��������� ���� ���� ��� : ���������

� �

@(�� � �� ) 8 (�� G �� )� (�� � �� )

$� ��!� ���� ������� ��#�� ��� �� �� @��� $����

@�� 8 �� G ��

"#� ��� ���� ��� �� �� � ���&�� �������� ��� �� ����� ��� �� " ������ ������ ��� ��� ���� ���� �� �� � " ���

�� 8�� @

@G ��

C�

Page 46: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� �����$�� �������� ������� ��� � ����� �� � �� �� 8 �

���� ���� ��� 5������ ������

�� 8 �0��� � �� $�� ����� �������� �� ��� �������� ������� ���� �����

� �� ��� ����� �� &�������

�A 8����� � �� �� :�

$�� ���� ���� �� ���� ������� �� ���� ��� ��� ���� � �� ��� ����� ��&������� 2� ����� ���� �� 8 ��� ��� ����� ������� �� &������� 2�������#� ������ ���� ��� ����� ������� �� ��� ��������� (��� �) ��

$� 8�A��*

8�

�*(���) 8 ���

�*8 ��

� �� ��� ����� �� �� �� ����� ���� �������*�� ����� �� �� ��� %��� �� �� �� ��7� ���� �������� ����� �� ����� ��� ���� ����

�. 8�$

8 ��� 8 �

��� 8

�@��� � ��

$�!� ��� � ��� � � �� ����� ��� ������ �� ��� ���� ����� �� 7� ���� !������� �� 8

'�� $����

. 8�

B

@���(��)

2�� �� 8 �0���

� ��

. 8�

B��(��)

7� ������� !��� ���� �� � ������ ������� �� ��!��� �&������ K�>K ������� ���� � ������� �� �

�( �� � �7 G �� � �:)� �

���(��)

� ��� ���� ����#� ��� ������ ��� ��������,

. 8�

B��(��)

� 8 &

$��� ������ �������@�� &���� ������ �� ��� ���� �� � ���*������������� �� ��� ��� ������������� ��������� ��� /������#� ���������+��� � /��� ���� ��� .��? �C !7R��

CB

Page 47: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

����R���� �� .���? >>>� ! R��

$�� ����� �� ��� ���� �� ��� ��������� �������� ����� ��� ���� ���� "� ������ �� ����� ���� ���� ��� �������*�� ����� ��������� �������� �� ��� ���� ����� ���� � ������� $���� $ 8 . 8 & ���� �� ������#� ��� $ 8 6+$�� ���� � ������� �� F#� ����� F �� ��� ���� � A�� � �� �- �� ��� ���$�� ������������ �� ��� ���� �� �

�/"

8 �C>>>� (E� �>�) � �>>> 8 C)K� �>��

� R������������ �� �� ���� ���� 0��� 6 '������� ��� ������� �� ��� ����� ������ ����� C>> !�R��� "#�� ����*������ ��� ������� �� ����� ���� ��������� ����� ��� ����� ���������� (� 8 ���������# ����������#�������� 8 �)O��>���

! R��) L��! �� �� ��������� ���! ��� � ������ ��������

VA 8 �1V*

6������� � 8 �1 $�� ���� � �� ��� �������� �� ��� ���� �� ���� + 8 �"

�-��

8�1#6 8 �/

"1� ������������ �� ��� + 8 B)O� �>�� �R����

+ �������� �� ��� ����! ���� ������������ ��� �� � ��������� �������� ��������� ���� ���� ���� � ����� ���� ������� ���

CE

Page 48: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� �����

�� 8 �� �9 G�( �: � �9) G +� �:� �9 G +�( �: � �9) �:

"� ��!��� ������� K�>� ��!��� �������� � ������� ��������� ��� �A 7�#��������� ���� ��� ���� �����$�� @����� ���� ��� +� �9 ('��#� ���) $��� �� ��� �������� ����������� ������� ����� ��� ����� � � �� � ����� �����2������ �� �� � ����� ������ ��� ����� ����� �� ��� �� �� ���� �� ��� �&���������� �� ����� �: �� ����� �� �� ����� �� ��� �������� ��� ������� ����� ����������� ��� �������� ������� ����� ������ ��� ��� ������� $��� ���/���� '����? +�( �: � �9)

.����� '����?+� ( �: � �:) �9 G +�( �: � �9) �:7��� �: 8 >� �� 8 �� �9 �� +� 8 �� ���

�� 8 �� �9 G�( �: � �9) G +� �:� �9 G +�( �: � �9) �:

" ��� +� 8 ���J���� ���� �� ������ �� �� � � ������ ������� �� ��� �� ��� � �� ��� �9�� ��� 2�� ���� � ��� �� ��� ����! ����� �� ���� � ������ ����#� ���� ���'��#� ��� �� � ��������� � �-��� ��� �� �������#� ������ �� �� �� �� ����������� ���� �� �����

CC

Page 49: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ������ �� ����� ������� �6 8 ���

�"�� ������� � �� ����� ����� ��

�� 8@�C�

�E��(�� � �6)� �6

���

���� ��� �������� ������ �� � �6 8 > ��

�� 8 �@�C�

�6

���

.������ ���� ���� �� ����� �� � �� ����� ����*���� ���� ���� � B 8 ������

7���� � �� ���� &������ ������ ����� ��#�� ������� �� �� � $�� ����� ��

$ 8 �@�C�

B6�� :6

��� ��� �� ������

$ 8 @�C�

B�9�

B6-��8

@�9��

C6-��8 B� �>���;�C*/�D

����� �� ��� � 8 >)H �� ��������$�� ������������� ����� �� ��� ���� ���������� �� � �� �� 6������#� ���$ 8 �

����

��

�8 Q)B � �>�� ������� ����� " �� � ���� �

����8 P)QPP � �>�

���R6� � 8 �)K>B� �>��� 6� ��� � 8 >)H �� ������ $�� ��� ��������� ��������������� 8 �

�������� ��� 6������ ������ �� �� ������ ���� ��������*

���� �� �� ����� O� �>��� ������� $�� �������� ����������� �� ������� ��� ������ �� "�

"�8 �

��� � �� $�� � C� �>��� ������� " ����� ������� �� ���

������� ��� �������� ��������� ��� ��� �������� ����������� �� ��� ��� �������� �� ���� �� ��� ��� �-���� �� �� ����� ����*����� �� ������ �� �������������� ������ ����� J����� �� ������ ��������� ��� �����*����� � '��������� ����*����� ��� ������� ���� �� ��� ���������� ����� ��!� ������������ ���� �� ������

CH

Page 50: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� �

��L��! �� ��� ��� ��� 7� �� � ����� ������ �� �������� ������� ����� ��� ����������� ��� +��� ����� ��� � ������������ ����� �� ����������� ��� ��� ����� �� �������*�� ����� �� � �� �������� ���� ��� ���� ��� ��� ��� ����� ���� ������ �� ��� ��&����� � � �� � ��� 2������ ���� �� �� �������*�� ������� �� �� !��� �� � :; 8 > ��� �� � �� 8 > $��� �� ��� � ��� � ����� ���������������� �� ��� ������ �� ��� �� � ��� ��� �������� �������������$���� ��� ���*��������� ����� �� @� 8 @� 8 @� 8 � ��� �� 8 �(��) ����$� ��� ��� �-���� � �������� �� ��A������� �� ���� �������� ������� ���� �� ��� �� $�� ���� ��������� ��� ��A��� ��� �� � ��� ���������� �������� ����� �-���� � ��A������ ��������� �� ��� ��������� ��� �������� ��� �� � $�������#� ��� � �� ��� ������� ��� ������ ��������� ��� ���� ��A��� ��� �� � "���� �� � �� ��A������ �� ���� ��� �� ���! �� ��� ���� ��������� ����� �� ������� ����������� ���! ����� � ��� ���� ��������� '� ��� �� � ����� ���������! $�� �-���� � ��A������ �������� ���� �� �� ������� ������ �� �����+��� �����&���� ���� ����������� �� � ������� ������ �� ������� �������������� � ��� ������� 2 ������ ��� �� � �� ������ ��A����� �� ��� ����

� 8 ��� G *�����*�����+�� G *��������*���

��+�� G )))

$�� ���� ���� ����������� �� ��� ��A������ �� ��� ��*�� ��������� $�� ���������� �� � �� � ����� ������ ����� � ��� ��*�� ���������� ��A���� �- ��� ��*������������ ��� ���� �������� ����� � ��� ��*�� ��������� 0� ��� ����� ��������������� �� �������� �������� ��A����������� ��� ����� ���� � � �� ��� �������� ��A������ ���� "� �� B��� ��� �������� ���� ���� ��� ��*�� �� ��� ��*�� ��������� ��� ���! �� �� ��1

� $��

����� ����� ��!�� ����� ������� ��� ���� �� ��� �������� �� ������ ��� � ��

CK

Page 51: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

��� ��� �������� �� �� 8 �� ��� ��� ���� �� '� ��� ������ �� � ��� �� � ������ �� ��� �� ���� � ������� ��� �� � �� ����� ���� ���!���� ��� � �� ������� �������� �� ��� �������� ��������� �� ������ $�� ����� ����� ���� � ����� ������� �� ����� ��� ���� �� ��� �� ���G �(��)(��) 8 B��� "� ��� ������� ����� ��� ����� �������� ���� ���� ���� ������� �������� ����������" ����! ���� ������� �� ����� �����"#�� ����� ���� ������ �� � �� ���� � ����?

� 8 ��� G�*�����*���

��+����

�� G �������

��+�� G (������)����+�� G )))

$�� ������ ���� �� ��� ����!��� �� � �������� ������?

�����

�� 8�

�� �% � , �

��� " ��� �� ��� ��� �������

� 8 ��� G�*�����*���

��+��� �

�� ���������+��

!

I�� ��� ������ ��� �������� ���� ��� ���� �� ��!��� �� � E>K?

��& 8�� � �&�� G �&

8�� � �&�� G �&

���

*�& 8B��

�� G �&8

B���� G �&

7��� ����� ��������� "#�� ���� ��� �������� ������ �������������?

��� 8�� � ���� G ��

8 ��� � ���� G ��

8 ����

���

*��*�� 8�

B���� G ��

��B��

�� G ��

�8

C����(�� G ��)�

*��*�� 8 �� (�� � ��)�

(�� G ��)�8 � G ������

CO

Page 52: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

5�� ����� ���� �&������

� 8 ��� G(� G ������)�

��+��

� G ���������+��8

��� G ������+��

� G ���������+��

$�� ��A������ �������� �� � 8 ��

� 8���� G ���� G B������ ���(B���)

� G B������ ���(B���) G (������)�

��� �� ������� ���� � G E 8 � ����

E 8�� ���� � ���� G (������)

� G B������ ���(B���) G (������)�

�G E 8 � �� ���������� �� �� ������ ���� ���� � �� ������ �� ����� � ��� ������ ��� ����������� ���� ��� ��� ��� ���@� �!������ ��!��� �����?

CP

Page 53: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

CQ

Page 54: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� �� �� $�� ���������� �&������ ������

� � �9� 8 �"��"*

/��� '��#� ���� �9� 8 � �� ��

� � �9� 8 � � (� ��� ) 8 �� � ���

$�� ���� ���� �� ���� �� � �� ������� �������� �� 6������#� ���� �� �� 8 ���

7� ��� �� �

� � �9 8 �� � �� 8�

��� 8 �"�

"*

/��� ��� ��� "#�� ���� ��� ��������� � 7� ���� !��� ���� " ���� �������� � ��� ������� /��� ��� ���� �&�������

�� G ��"�

"*8 > (�)

������ ���� �(*) ��� �� ������� �� ��� ���� /������ ��������� �� �(F) "�

�(*) 8� B�

��(F)���1��F

5�� �(*) ���� �&������ �

� B�

� ���(F)���1� G ���(F)

"

"*���1�

��F 8 >

/�� ��� ���� ��� �� ����� ��� ���� ���� ���� ����� ��

M� � �F��N �(F)���1� 8 >

/�� ��� * 7� �������� ����

M�(F)� �F��N �(F) 8 >

��

H>

Page 55: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

/��� ���� �� �(F)� ���F 8 > L�� F 8 �� �� ����

�(F) 8��F

�-G

�� G

��� ��� ������ ���� ���� � ������� �(F)� �� 8 >���F

�-G

�� G� �� 8 >� ��F

�-G � �� G �G��

�� G8 >

$�� ��������� ���� ����� �� ��� ��� ��������� �� G���

� � G�� G F�- 8 >

.�� � ���

8�

B

�G�� �

�G�� � CF�

-

�"� F- >> �� �� ��� ����� �� �� ����������� �����

� (BG)�� � �F-

$�� ��� ����� ���� ����������� �� ��� ������������ �� F-� ��� ������ ���*&����� $�� ���� ���� �� ��� ����� �� ��������� �

�2

H�

Page 56: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� �����6������� ��� ������ ������� �&������� �� �� 8 �� .3

�� $�!� ��� ���� �� ����

����� 5�� �� ��� ������ ������� �&������ ��� �� ��

�� (�� ��) 8 �����" ��"*

�� 8 � "

"*

��@� �9 G @�

" �7

"*

��

7��� �9 8 > ���� �������

���� ��

G

"�

"*��7 8 >

������ � �������� �� ��� ����� �� 8 �����.+.��1��� ��� ��� ��

�� � (�� � ��) G @�F� "

"*��7 8 >

J����� � (�� � ��)

��8 ��(�� � ��) � ���� 8 �� ����� ��� ������ ���� ��� ��

�������� ����

��(�� � ��)� ���� G @�F� "

"*�7� 8 > (B)

2������ 7� 8 ��&�&�

��(�� � ��)� ���� G @�F� "

"*���&�& 8 >

���� �7 �� ��� ����������� �������� �� ����7� ���� ����� ��� ������ �� ���� � �� � ������ �&������ $�� ���*��� ������������ �� ��& ����� �� �� ������� ��& � ����& ����� � ������ ���! ��������E � ��

E�& 8 ���& ���� � F�

������

��&

$�� ������ �� �&������ B ��� �� ��������E � �� 8 > "� ����� ��� ����� �� �� �

������ ��� �������� ����E8 > �� ���

�E �� �� ��� ��� +�

�+� 8 �� �� ��!� ���� ����! �������

E�&#�� 8 ���& �

��� F�

��������

��&

HB

Page 57: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

7� �������� ��� ��������� 1 8 1+��� 1� 8

����� .� �� �� �

E�&#�� 8 ���& �

��� 1�

1��

��&

�� ���� ������ �� ��� ��� � ����E8 > ��� ��� ������� ������� �����

��*

�������� � (�� 4�

4��

) ���� ����

���� ��� � (�� 4�

4��

) ����

���� ���� ��� � (�� 4�

4��

)

����� 8 >

'� ������� ��� ����������� �� �� ��1�

1��� �

��1�

1��� �

��1�

1��� �

G���

�1�

1��� �

��1�

1��� �

��1�

1��� �

G���

�1�

1��� �

��1�

1��� �

��1�

1��� �

G���

�1�

1��� �

��1�

1��� �

��1�

1��� �

�8 >

���������� ��� ��� �������������1�

1��� �

��1�

1��� �

��1�

1��� �

�G ���

�1�

1��� �

��1�

1��� �

G���

�1�

1��� �

��1�

1��� �

�G ���

�1�

1��� �

��1�

1��� �

�8 >

����� ��� �� ������� �� � ����� ����

� G���1

��

1� � 1��G

���1��

1� � 1��G

���1��

1� � 1��8 >

J�� ��� G ��� G ��� 8 � �� ������� ��� ������ ��� �� ��� ��� � �&������

���(1� � 1��)

1� � 1��G���(1

� � 1��)

1� � 1��G���(1

� � 1��)

1� � 1��

G���1

��

1� � 1��G

���1��

1� � 1��G

���1��

1� � 1��8 >

HE

Page 58: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

.������� "� ��� ���� ���#�� ������ � ������������ ��� ��� 1 �����

���(1� � 1��)(1

� � 1��) G ���(1� � 1��)(1

� � 1��) G ���(1� � 1��)(1

� � 1��) 8 >

$��� �� &�������� �� 1� �� �� ������ ��� ��������� ��� 1� �� ��� �� (1� �1��)(1

� � 1��)(1� � 1��) ��� ����� �� ��� ������� ���� ����� ��!��� ��!��?

�����

���1� � 1��

8 >

���� ��� ��� �&������ B �� �� �� ��� ��� �&������� ����� ��� �� �� ���������� �������?

��� � ��(�� � ���) 81�����7� (E)

���

��� � ��(�� � ���) 81�����7� (C)

��� ��� ���� �&������ �� �� ��� ��� ������ �� ��

��� � ��� � ( ��� � ��)(�� � ���) 81������� � �7�

���

��� � ��� � ( ��� � ��)(�� � ���) 81������� � �7�

6������� ������ �� ��� ����

1�� ��� � �7� 8 1�� ��� � �7�

7���� �� ������� !��� ���� �� ������ 1� �8 1� .� ��� � �7� ��� ��� � �7� ���������� ����� �� �� ������� �� ���� � ��� �� �� ������ � ��� �&������ 0��� ������ � �7� 8 ��� � �7� ������� ��& �� ��� ���� $���� ��&�����&�& 8 ��&��&����&

$��������� �� ���� �������� ���� ��� � �7� 8 ��� � �7� 8 >��� ������� �&������ E ���� C ��� ���

��� � ��� G (:� � ���)(:� � ���)� B(:� � ���)(:� � ���) 81��1

��

���7� � �7�

$�� ���� ���� ���� ��� �� ��������� �� ��� � ��� � ( ��� � ��)(�� � ���) � ��� � �7�

����� �� �� � ����� �� ����� $��������� ��� ���� ���� ���� �� @���� ������ �� �� ���� ����� �7� � �7� 8 > $�� �� �� ������ ��� �������������

HC

Page 59: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� � $�� W�����*W�X��� �������� ������?

���(F)

��

�8 � G

B

�.

� �

F�

F�� � F��

��(F�)��

��F�

�� ��1���

8 � MD(F � F�)�D(F � F�)N�

5�� ���� ���� ��� W�����*W���� ������������

���(F)

��

�8 � G

B�

� 1�

1�

F�

F�� � F��F� G >

������ ���� ��� ���� ���� �� �(F) ������� �� �� ���� ��� � �� ��� ���������&����� ��� � ��� ��� ��� ����� ����,0���� �� ���� ��� � ��� �� ����!

���(F)

��

�8 � G

� 1��

1��

�(F��)F�� � F�

��� ���� ���� ��� �� ���� �� ��,

���(F)

��

�8 � G

���

F�� � F�

1��1��

8 � G�

���

�F�� � F�

F�� � F�

���� ��� ���� ����

���(F)

��

�8 � G

B

�.

� �

�-F��

((F�� � F�)� G -�F�) (F�� � F�)

�F�

$�� ���� ��� ��� �� � ������� ���� ������� ��������� ��� "#�� � ��� ���� $������ ��� �� %��� � 0������ �������������� ��� ��� ��� ���! �� �� �� � �����

���(F)

��

�8 � G

�(F�� � F�)

(F�� � F�)� G F�-�

HH

Page 60: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� �" �������� ������� � �� � (*) 8 �� ���(F*) $���� ������ �� � ��� ��� ������ � ������ ����� ��������� �&����� $�� ��� ���� �� !��� �� � ��������� � (*) ����� ��� ������ ������ �� (*) /��� ��!��� QQ�

���+���

�(��) 8@�C�

��+�

��

(���)��,

��9(���)(� � ���)��� �

"� �� 8 �B� ,, � (�� �� ��)� ��� �� ��� ����� ����� �� ���� ��������� ���� �-������� "� ��� ����� �� �� ������� �� �������� %��� ��� ���� ����

�(��) 8@�C�

��+�

��9(���)�� �

"��� ����� �� ����� ��� ����������� � � �9 8 �F�� �� ���

� 8��@�FC�

�A��+�

" ��� �� ��� ������ ��������� (��� �� ������ �� ������� ��) �������

F 8 �

�E

B

��

��

.�(��� �)� O

P

��

��

.�(��� �) G��

�K

��

.�(��� �) G )))

7������ � ��-����� ���� ���� ��

F 8�

C���

�G

C���

�A � ����

G )))

6����� ��� �*���� �� ���� �A � �� 8 A� ��� � 6������ ��!� ����� ������� ������ ����������� ��� F �� ��� ��� ������ ������ �� ����� �� !���� ��������

�E

B

��

��

��� � 8�

C���

A� ��� �

��

.�

A� 8 E

BC������

$�� ���� ��������� ������ ������ ��

�A(*) 8 K������� ���(F*):�

HK

Page 61: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

��� ���� �����

� 8��@�FC�

��+�

�A�:�

"� ��� ��������� @���� ��!��� ���� ����

�: 8���

C�(��� �A)

��+�

���

�� 8

"@����: � :�

.��� ����� ���� ��� �� 8�0���1 " ���#� /����� ��� ��� �� ����� ���� J��

F 8 ��

�� 8 @� �: 8 �@�A�F�

C��

���� �

���+� :�

$���� ��� ��� �������� ����

�� 8@�A�F

C�

���� �

���+�:�

$�� ����� �������� ��� ����� �� �� ��� �� �������� ���� ��� 5������ �����

�.

�U8

��

B@� �� � �� 8 @�

B�

�A��F

�K������ �

:�

������ ��� ��� ������� ���%� ����� ��� �������� �� �� �� ��� �� ��� ���!��� � �������"��� ���� � �� ��� ����� �� ��� �� ��� ��� ����� �������� �����

.5�� � 8� @�

B�

�A��F

�K������ �

�U 8

@�A��F

�K��

� �

����� ���

$�� ���� ���� ��� �� &���� ������� ��� "#�� ��� � �� ������� �

����� ��� 8

��E

��� ����� � G B

�*��

5����� ��� ���� �� ������ ��� ���� ������ ��

.5�� � 8E����

�� �

�F�

��

HO

Page 62: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� �����$�� �� ����@����� ��

�H 8�

B(�� � �9)

�9 ��� �� ���!�� �� ���� 9� ��� 9� ���������� 7� ��!� ��� ����� ��������� ��� ��� ���������� ���� ��

�� � 9� 8 >

���

�� � 9� 8 ��1�����

: G

�:��+��

$� ��!� ���� � ������� ��#�� ��� �� ��� ��� � 8 ��� ���� 8 �

�� ���� 8 �

�$����

�� � �9 8 ��+��1� (��� � ����:�� ��� � ����:)

���#� ��� �� 1� 8 �� ��

�H 8 �� �+�B

��� �(����:�� ��� �:)�

L�� �I 8 ��� ��

��� �(����:�� ��� �:) ����

�H 8 ��I

���� �� ��!� ��� �� �� ����

� � �H 8 (� � �I)�G �I � ��

7�#�� �������� ���� ���� ���������� �� ���� ���� ���� ��� ����� /���� �� ����

� � I � � � (�:�� �

�:) 8 >

��� ����� � � ������ � ��� � 8 ��

���� � � ��� ������� ��

�� 8 ������ �

�E�B+��

:� G�EB+��

: G��

�� E�

B+��

�:�!

HP

Page 63: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

7���� �� ����� ���� �� I

I � �� � �

�� �

�8 >

2��� ����� �� ��� �� �� ���� ������ ��� � �H 8 >$�� ������ ������ ��

�A 8�(�:� G : G �:�) �(��)��

���#� ��� ��

�(��) 8 3����� �

������

����� 3 8 ��� �

����

���� 5����� ���� �� ������

�A 8��(�:� G : G �:�)3�

���� � ��

'� ������� � �

��&������& 8 >

�� �(&) �� � �� $���� ��� ���� ���� � �� ��� � ��� ����������� ����� 7���� ���� ����

�A 8 3:�� �

�����

���� � �� 8 B�3:�

��������B+���

������� ��(��� �)

J�� � �

�����6��� 8

�,

?���

� �

�����6��� 8

C,

?�

��� � �

������ ��(��� �) 8

B

E

$� ��

�A 8 3:��BC

E�B�+��

��B

E

�(B�)

5�� �� 3 �����������A 8 �)CQ�+�:�

HQ

Page 64: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

���� ��� ��� �� ����� �������

�6 8�

�H�� 8��+�1�

B

��(

�:�� �

�:)

7���� � �� � �� ��� ��� � ��� ��� �� �6 �� @��� $�� �� ����� ������ ����������� &��������� ����� ����� ������� �� ����� ���������� �� 67� ������� ���� �������� ����*���� ��� � ��� ����� ���� ���������� �� ��������� ������� �� ��������� ��� �� ���#� ����� ����� ������

. 8�����

�B��A�

����� �� 8��� ���� 9� 8 ��

����� 7��� ���� ������ �

.7 �+��� 8 E)Q� �>��(9�F�)

� ��

+�

�� 9�FT 8 . J��� �������� T 8 K)E� �>� �����������/�� � 2��� ����������� � ������ �����������

�A 8 �(B+� � +�):����1� 8 �+��

��1�:�

����� � �� �� ������� ����� �� .3��� 8 >)>�P(9�F�)�� �

��� ��� �����?

.3���.7 �+���

� >)CH

$�� ����� ������ ���� ���� �� ��������� ����� � ���� ���� �� >HH I��������� ��� ���� �� ���� ��� ��������

K>

Page 65: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

/� ��� �?

������� ����������� ��� ������� �� ������ ���

�9 8 �� �����

B��� ��

�Æ(�)Æ()���1�:�% � � �

B�

���� 9(���) 8 > �� ��!�� ����� ��!��� ��!�� ���� �� ������ �� %������

���� ������� ������� ��� � ������ ��� ������� "#�� ��!� ��� ���� ��� ��� ��� �����#�� ��� ��� ������ ������� ��!��� �� � C�K �� ��� ����� �������$�� ����� ��������� ��� �� �� ���������� ������� ��

�(��) 8@�C�

��9(��% *)

��+�.��.���

�� � ��������

"� ��� ��������� @������+�.��.�

��

�� � ��� ���+�

����+

������

$�� ����� ��������� ���� ��� ������� ������� ��� �� ���������� �������

�(��) 8@�C�

��+�

�:�� �

� ��

�� �����

B��� ��

����+�

� ��� *���:�

2��� �� ���� ���� ���� ���������� ��� ��� ����� ��������� �������� ��� �����*����� $�� ���� ��� ��� �� ���� &���� ������ J�� +����#� �������� ���� 8

K�

Page 66: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

��� �� � ��� �� ���� 8 ������

� �� �����?

�� 8� �

B�

��

�+���+���� � ���

�+��+��� ���+�� ��� *���:�

7������ ��� �� �����

�� 8 �

B���

�+�

� ��

����+��+ ��� *��

��� � �

B����

�+�

� ��

���+��+ ��� *��

���

G�

B���

�+�

� �

� ��

��+��+ ��� *���

��� � �

B����

�+�

� �

� ��

���+��+ ��� *���

���

+��� ���� ��� ��� �� ��� �� &���� ������ �� < � = ������������

�� 8 �

B���

�+��� ���+��+ ��� *�

��

(� G �� ��� �)G

B���

�+��� ��+�+ ��� *�

��

(�� � �� ��� �)

G�

B����

�+��� ���+�+ ��� *�

��

(�� � �� ��� �)G

B����

�+��� ��+�+ ��� *�

��

(�� G �� ��� �)

$�� ������ �� � ���� J�� ����� �� �� � �������� "� ��!�� � ��� �� �� ������ �� ��� ���� �������

�� 8B

����(�

��� ��� �)� �

����(��)

D����

��� �����

�(��) 8B@�C�

��+�

��

����(�

��� ��� �)� �

����(��)

���� �

:�

7�� ����� ����� ��� ����� ���������S 7� ���� � ��� � ����� /������������� !��� ��� �� ����� ��� � ��� � ����� �� ��� ��������� @��� �� ����� ����� ����� ���������

�� 8 ��:� � �� ��� 8 � ��� � ��:��� 8 ���(:� � �)� :� � ��� 8 �� ��� � ��:�

$�� ���� � ��� �� �� ���� ������������ �� ����� ��

�.

�U8

��

B@� �� � �� 8 �

B@����

�����

�B@�C�

������(�

��� ��� �)� �

���� ��

��� �

KB

Page 67: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

�.

�U8

B@�����

�K��

��/D(�

��� ��� �)� �

���� ��

��� �

"� ���� ������� � 8 � �� �� 8 ���� 8 B�

�.

�U8

B@����

�K��

����(� ��� �)� �

���� �

��� �

7���� ��� � 8 ��� ��� �� ������� ��� G ��8 B ����(

�)

�.

�U8

P@����

�K��

�����(�

�� ��� �)

���� �

��"��� ���� ��� ������ ���� ���� � � �� ��� ����� �� ���

.��� � 8� �.

�U�U 8

@����

B��

� �����(�

�� ��� �)

���� �

�U

"��� ����� � �� ��

.��� � 8@��

��

� �����(�

�� ��� �)

���� �

��� ���

'� �������� ��� ���� ��� �&���� ����� >PC

. 8 (>)PC)���@��

7� ������� �� �� � ������ ���� . 8 ��� ��� �� ���� ��!� ���� �� ����� 8 8

��8 0��

��(K)O) �>>U 0���� U ������ ��� '��� ��������� ��!���

����� �� ����� ��� ������� � ���������� �� B ����� ����� ��� ��������� ��!����� ���� �� ������ �� "#�� � ���� ���� ������ ������� � ������ ����������� �������� ��� ��

����� ��� ������� ������������

KE

Page 68: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ���J���� ������� ������? ��� ����� �� ���� ������� ��� ������������ ����! ����,��/�� � ������ �������?

�9(��) 8 :� ���(��)Æ(�)Æ()��

J�� ��� �����*���� ���������

���+���

�(��) 8@�C�

��+�

��

(���)��,

��9(���)(� � ���)��� �

/�� �8� �� ��� ���������� �� ��� ��� �������� ������ ������������?

� 8@�C�

��+�

��9(���)�� � 8

@�C�

��+�

�:���

� ��

� ��

���(���)��� 8 >

7��� �8B �� ��� ���������� �� �� � ���� ������������ �� ��� ���� ��� ���9 (�� � ���) J��� ��� ����� ����������� ���� ��� �� ��������� �� ����� �� ����� ����� ������ ��� �������� &��������� ������������� $�� �� ����� ������������������ ��?

� 8 �@�C�

��+�

��

B

�(��� � �9(���))� ���� � 8 >

$�� �������� &��������� ������������ ��?

� 8 �@�C�

��+�

��

B

� �(�� � ���) �9(���) G (�� � �9(���))���

��� �

8 �@�C�

��+�

��

B:���

� ��

��

M�� ��� � ���(���) G ��� � ���(���)��N ���

8 �@�C�

��+�

���:��� ��� �

��� ���(���)��� 8

@�C�

��+�

���:��� ��� �

"

"�

����(���)���

8@�C�

��+�

�B��:��� ��� �

"

"�

����(+�

�)

8@�C�

��+�

�B��:��� ��� �

��

B����

���

B

�� �

�����

���

B

��

��

KC

Page 69: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

7� ���� � �� �� 8 B� ��

� 8 �@�C�����+�

�:��� ��� �

��� ��� ����� ��� ����� �� ��

�.

�U8

��

B@� �� � ��

2�� �� 8 �� � ��� � ��� �� 8 �� � ��� � ��

�.

�U8�����

B@� �� ���� � 8 �@��

������EB��

���� � ���� � 8�@��

��

P���� � ���� �

��

. 8� �.

�U�U 8

�@����

P(B�)

� �

������(�) ����(�)�(��� �) 8

�@�����

�H

+ ������ ��� ���� ��� �� �������?

� �

������(�) ����(�)�(��� �) 8

� �

������(�)

�� ����(�)

�(��� �)

L�� ��� � 8 � � �

��(�� � ��)�� 8

��

E� ��

H����� 8

C

�H

"� ������� ��������� �� ��� ����� ��� ����� ���������� ��

. 8 ����

5�� �� ��� ����� �������� ��� ��� � ��� �

� 8�@��

�H8 �HHU

�� ������� ������� ������������ �� �� ��� �����*����� �� ��������

KH

Page 70: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

����� �������� ��� !� ����" #���$ �!� ��������� ����� ���� ����� ���� &������� �� ��?������ ��� �� � ���� �� � ��� � �� �� � �� � ��� ��� ������ � ����������� �� ����� �� ������ � ������ �������� � ������� ����� � �� � ���� �� ��� ���� �� �������� �� ������� �� ��� � ���������� �� � ���� ��� ��� ����# $��#'� ������� �� ��!�� ���� " �� � � �� ��� ��� ������ �� ��� ���� ����"�#� � ��� ������ �� ���������� ��� �������� ������� ��� ���� �� "#�� ������� ��� ���� ���� ����� 5������� ��� ������� ���� ��� ����*���� ���� ����������� ���� �� � �������� �

� ���� ����� ��� �������� ������� �� �

0���#� ���� ������� $�� �� ��� ���� ������� �� ��� ������� ������� "������ ���� ������� �� ��� ���������� 7��� ��� ����� ��� ��� ���� �

�����*

����� �� ������ ��� ����� ������� �� ���� ������� ��� ������ ������� �������� ������� �� ��� 2��� �� ���� ����� ��� �� ����� �������� ��� �� ���*������� ��� ��������� $��� � ��� ��-����� �� ��� �������� ��������� 2� ������� ��� ������ ����� ������� ��� ���� ������� ��� ��� �� ���� ��� �

����

�� ����� ��� ���� ��������� ��� ��������� $���� ��� �������� �� ��� ���� �� ������ ���������� �������� �� ��� ���� ��� ��!�� �� ���� &�������� ������ ��� ��� ��� ��� �� ���� ��� .���� ����� �� 6���� �

KK

Page 71: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� �����'W $��� �������#� � �������� � �������� �������� , $�� ����� ���� ��������� ������� �� ������� ��� � ����� � �������� ���� !������ � �� �� � �������� ���� ��� � � �� ���� �� ��� �� ���������� ������ ����� &���� ������ ������� � ���� �������������� � ��� �� ���� �� ��������� ��� �� ���� ��� ����!��� �� ������ � �� ��� ������� ����������/����� �� ���� ���� ��� ����� �������� "� ������ �� �� ���� ���� ��� ��� �#���� ��� ��� �#� ��� ���� ������� �� ��������@�� ���� �� ��������� �� � ��������� ������ �� ������ +/��� ��� �����

��

�U8 ��+

:���� � :�� �

B(�� :����) � (�� � :��)

!�

"� �� � ��� ������ �� ���! ���� ��� �������� ������� �� ����� �������� J����� ����� ���������( �� ��) � ( �4� �7) 8 ( � � �4)( �� � �7)� ( � � �7)( �� � �4)� �� ��

��

�U8 ��+

(:���� � :��)

�� �

B(� � ��)

!G

B(� � :��)(:���� � ��)

!�(H)

L��! �� ��!���#� ��� �������� " �� � �������� ��� ��� ������� ���� ���������� �� � � 8 ��� �/����� ��������� �� ����������� ����� $�� ���� �� ���� ���� ������ �� ������ ��� �� ���� �� � ������� ��� ���� �

��

��� � �������� �� � ����� ��� �����

�� ����� �

��� ��� ����� � ������� �� � �� ����

�� (� � ��)����� �

"� ���� �� �� ��� �� ����� ��� 3�����*.������ ������� � � �� ��� ����� ����� I�� ��� ����! ��� �������� �� ��� ���� ����� ������ ��� ����� ������� �������@�� (:1 � :1 8 �) $�� ����� �������� � �� ������� �� ������ ��� ����

KO

Page 72: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

/� ��� B? ��!���#� ���� ����� ��� ���

$�� ���� ������ ������� ��������� �� � ������@����� ��� �� ������� ������� �� ����� ����� ���� ������

�� 8 ��� ����� �

�G� (��) G T

��� (� � ��)��

��� �

��� ��� ���� ������ ������ �� � ������@����� ����� ��� �� ��������� ������� �� ��� ���� ����� ���� �����

���� 8 ����

��� ����� �

�G ���� (��) G ����

��� (� � ��)��

��� �

$�� �������� ��� ������������� ������� ����� �� ��� ������@������ ��������������� ������� �� ��� ��������� ����� 7� ���� ��� ��� �������� �����?

:�� 8 ����

��� ����� �

���

�� 8 ���� (��) G ����

��� (� � ��)��

��� �

5������ �� ���������� ��� ��������� ��� ��� �������� �� � 7� �� ������ ����� ��� �������� �� � ����� �� ��� ����� ������ �������� ����

KP

Page 73: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

��!��� � �� �� �� � :�� 8 > 7� �����@� ����������� ���� � 8 > $�� ��������������� ���

T 8 :�� ���� (� � ��)��

��� �

8

��� �M� � :�� � (� � ��)(�� � :��)N 8 �

��� �� � :��

���

8 :�� � �� ����� �

6�������� ��� ��������� ����� ������� ��� �� ����������� ������@�� ���� ������ ���� ��� � ��� � �� ��� ������� ������@����� ��� ���� ��� ��� �� ������ ��� ������@������ $��� ����� ���� ��� ����� ����� ������� �� ��� ����� ��� ����� �������� ��� ��� ��� ���� ������@����� ������ $���� ������ �����*����� �� ������@������ ������������� ��� �������� �� ��� ��������� ������

��

�U

�5��

8

���

�U

��G

���

�U

��

"� ����� �� � ������ ��� ����� ��������� �� ���� �� ������� �� !��� ��� �������� ����? �� ���� �� ���� ����� ����� ��� ����� ������� ��� �������� ������@������� ������ T ��� �� ����������

�� 8�

���� �(� � ��)M�� (�� � �)��N G �

���� �M(�� � �) � ��N(�� � �)

���� ��!� ��� ���� ��� ��� ��������

(� � :��) 8 � � :������ �

M�� (�� � �)�N 8 � � :������ �

(�� ���� �) 8 � � :��

���

�� � �� 8�

���� �M�(� � :��)(:� � ��)(�� � �)N 8 �

��� �(� � :��)(�� � �)

���

�� � �� 8�

���� �M:�� � (�� � �)NM(�� � �) � :��N 8 �

��� �M(�� � �) � :��N

7� ��� ���� ����� � �� 8 � ��� �

KQ

Page 74: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

�� � (�� � �) 8 ��� �

���� �� �� � ��� ��� ��� �������� ������ �� ��� ��� ����� ��������/�� ��� �������� ����� ��� ��������� ����� ������� �� �&������ H ���� ���� :���� ��� ���� ������@������

��

�U

��8 ��+

(�� � ��)M��

B(� � ��)N G �

B(� � ��)(�� � ��)

!�

8 ��+

��� �(� � :��)(�� � �)M�� �

B(�� � �)N G �

B(� � :��)M� ��� �N

!�

8 ��+ �(� � :��)

��� � � ��(���� � G ���� �)

��� �

8 ��+ �(� � :��)

��� � � ��

��� �

/�� ��� ������������� ����� �� �� ��� ���� �� ��� � ��� ������� �� :��� ���� � :�� �� ��� ���� ������@������

��

�U

��8 ��+

(�� � ��)M��

B(� � ��)N G �

B(� � :��)(:�� � ��)

!�

8 ��+ (:�� � :��)M��

B(� � ��)N

!�

8 ��+

��� �M(�� � �) � :��N

�� �

B�� � �

!!�

8 ��+ �M(�� � �) � :��N��

����� �

��� �

7� ��� ����� �� �� ��� ����� ����� ����������

�U

�5��

8��+

���� �

M� � :��N�M��� � � �

BN� G M(�� � �) � :��N�M�� �

B��� �N�

!

�������� ��� ��� �&��������

�U

�5��

8��+

���� �

M� � :��N�M(���� � � �)� ��� � G

H

CN!

G��+

���� �

M(�� � �) � :��N�M�

C(���� � � �) G

H

C� ��� �N

!

O>

Page 75: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

��� ����� ���� ���� �� �����

���

�U

�5��

8 ��+ ��M� � :��N� � �

CM(�� � �) � :��N� G

��� ��� �

�� ���� �(M� � :��N� G M(�� � �) � :��N�)

������ ���� �� ���� � ��

�� � �� 8 �� � 8 M���N� G M���N

$��� ����� ����

���� �M� � :��N� G �

���� �M(�� � �) � :��N� 8 �

/������� �� ��� ������ ��� ����� ����� ����������

�U

�5��

8 ��+ H

C� M�� � �N� � �

CM� � (�� � ��)N

� � �� � �!

(K)

7���� �� �������� ��� � ���� �� � ���"� �� � ������ ������ �� ������� �� ��������� ��� �������� ��� ��� ������������� "#�� � � ��� � ��� ��� �������� ��� ��� ���� ���# � �� �� �������� ��� ��������

�� � � 8 ���� ��� �

� � (�� � ��) 8 �� � (�� ��) 8 �� � :1 ��� � 8 ��� � ��� �

'��� �� �� � ����� ��������� ���� � �� ������ � ������ �� ��� ����������������� ��� �� ������ ������������� 6������� ��� ���� �� ����!��� �����&������ K� ��� ����� ��� ����� �� ����� �� ��� ��

H

C� M�� � �N� � �

CM� � (�� � ��)N

� � �� � �!8

H

C� ���� � ���� � � �

C���� � ���� �� ��� �

!

"#� ��� �� A� ����� � ���� �� ���� $� ����� �-� " ���� ��� ��� B 8B ���� � � 8 �� B ���� "� ������ �� ����� ����#� ��� ��

H

C� ���� � ���� � � �

C���� � ���� �� ��� �

!

O�

Page 76: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

8 H

C� �

B(�� ��� B�) ���� � � �

P���� �(�� ��� B�)� ��� �

!

8 H

P(� G ���� �)� ��� � � E

P���� � ��� B�

!

8 H

C� �

B(� G ��� B�) ���� � � �

P���� �(�� ��� B�)� ��� �

!

8 H

C� H

P���� � � E

P���� � ��� B�� ��� �

!

8 H

C� H

P(�� ���� �)� E

P���� ��� B�� ��� �

!

8 H

P(� G ���� �)� ��� � � E

P���� � ��� B�

!

$���� �� �� � ���� ��!��� �����

���

�U

�8 ��+

H

P(� G ���� �)� ��� � � E

P���� � ��� B�

!

OB

Page 77: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ����

��

Y 8���

�� G �

B�

���+(��1�

"B

� �

�����

�&

� Z 8 J( +�()�

� �

Y(��) 8�

B��

���

�/-������

��+��

�-��

�� �� ��� ����� ����� ������ ��� �- 8�(�� �J)� G (� � = )� G (�� � 5)� ��

��� �������� ���� ��� ���� ����� �� ��� �������� �� ��� ����� ����� �����$�� ����� ������� ������ ��� �������� ����� ����� ��� ��� � ������� ������ ����� �� ��� ����� ����� ����� �� 8 ����� �� ���� ���� ������� ��� �������� �� ��� � �����" ������� ���� �� � ������� ��� ���� ��� � �� ��� ����������

�� 8� �

���+��

�-��

" ������� ��� �������� �� ��� ���� ��� ����� 8 >� ��� ������� �� 8 (�� �J)� G (�� � 5)�

�� 8 B� �

��+

���9 �����(� � = )� G ��

��

OE

Page 78: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

.��������� K 8�(� � = )� G ��

�� 8 B� �

��+: K� � ��

�K

�������� ���� ����� ���������

� �

���(�) �� � �

�� 8�

B9�()

� �

���(�) �� � �

�� 8 ��B;�()

9� �� � 2����� �������� ��� ;� �� � ������� �������� " ���� ��� ����� �������� ��� ���� ��� �� � ���� ��������� ���� 2� +����#� ����� ����������� 8 ��� � G � ���� �� �� ��� �����

�� 8 B� �

��+: K� � ��

�K 8 B� �

M���(�K) G � ���(�K)N K� � ��

�K

L�� L 8 K#� ��� �L 8 ���K

�� 8 B� �

M���(��L) G � ���(��L)N L� � �

�L 8 BM��B;�(��) G �

B9�(��)N

��� �� ��� ���� ���� �� ��� ������� ���� ��� �� �������� " ���� ������� �� ���� ���� � �� ��� ���#� ��� �� � �� � �������� �� ��

�� 8� �

���;�(��) G ��9�(��)��

� 8 ���9�(��) G �;�(��)��

"� ��� ����� �5 >> � � �5 >> � ��� �� >> �� ��� 2����� �������� ���

��� ������ ��� �� ������������ �� ��� �������� ?

9�() �"

B

����(� �

C)

;�() � �"

B

����(� �

C)

OC

Page 79: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

��� ��� ���� ��� ������� ��

�� 8� �

���

"B

���M���(��� �

C) G � ���(��� �

C)N���

7���� ������ ������� ��

�� 8� �

��

"B�

�����+�

������ 8 �

B�

� �

����+�

���

"�

�����

L��� " ����� ����! �� ��� ��� ���������� "#�� ������� Y

Y 8�

B��

���� B�

� �

���+����

��

��� 8 �

"��B����

��

� �

���+

���;�����(���#��(�� �J)� G (�� � 5)�

���

" �� � ������� � �� ���������� �� ������ �� ���� � ������� �� �� ���� " �������� ���� ��� �� �� ��� ���!�� ���� ���� ������

�� 8� �

���+

���;�����(���#��(�� �J)� G (�� � 5)�

���

.� ���� " �� ��#� ��!� ��� �� ��� ���� ���� �� 8 > "#�� �� ���� ���

"� (�� �J) ,, 5� �� ��� �������(�� �J)� G 5� � 5 G ���;��

�( .�

�� 8��+( �5

� �

��

"B5

����

�&

����� & 8�

+�((�� � J)� ��� ��� ������ �� ���� ������ �� � ���� ���� ��

�������� ��� Z 8 J��#(B5) $��� � �� ��� ������?

Y 8 �

"��B����

��

��+( �5

"B5

� �

�����

�&

� ������ ���! ���� �� �� ��� ��� ��� ������ ��� ���� ��� ����

����� 8

� B� �

� B8 B�� G �

B�

OH

Page 80: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

��� ����� Y ������� �� ��!���#� ������

Y 8���

�� G �

B�

���+(��1�

"B

� �

�����

�&

����� Z 8 J( +�()�

� ����? " ����#� ������ ���� ���������� ���� ��� ��������� �� " ��� ��� ���� ����� ����� �� ��� ���� " ����� �� � ������ ����������� ���1� ��� ���� ��� ����� .� " %��� ��� �� ���! ������7� ���� �� ������� �� �� � �� ���� � ���

�� 8� �

�����

�&

+ ������� ������ !��� ��� �������� /������ "��� ����?

4(�) 8� �

����(

���

B)��

�(�) 8� �

����(

���

B)��

��� ���� +����#� ����� �������������� �

����

� �� 8 4(�) G ��(�)

"� ��� ����� �

�����

�& 8

#�

BM4(�) G ��(�)� 4(�Z)� ��(�Z)N

" ���� ��� ��� �������� �� 4(�) ��� �(�)� ������� 4(�) 8 �4(��) ����(�) 8 ��(��) �� �� ��� �� ��� ��� �������� ����� �� ��� �

�����

�& 8#�

BM4(�) G ��(�) G 4(Z) G ��(Z)N

$� ��� 4(�) ��� �(�) �� �������� �� ���� ������� 4(*) 8 ������ ������� �(*) 8

��� �� �� � ������� ������������� �� �

�(� G �) G 4(Z) G ��(Z) $�� ���������

�� � �� �� Y� ��

� 8 "B

���

�� G �

B�

���+(��1��

� G �

BG 4(Z) G ��(Z)

!�8

�B

���

��

B

��4(Z) G

B

��

G��(Z) G

B

��

OK

Page 81: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

��� ������� �� �� � ���� ��!��� �����

� 8��B

��4(Z) G

B

��

G��(Z) G

B

��

�� Z��G� � � ��� ��� �� �� � � ��� �� ���� �� Z���� � � >� ����� �� � � ������ �� J 8 >� Z 8 >� ��� � 8 ��

$�� ���� �� ����� ����,

OO

Page 82: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

����� �������� � �����$ �% &�����' (�� �� �� )� ������������� ����� �������� �� � ����� ��� ���������� ��!��� �����#� �� ���������� ����� �� ����� ���� ���� � ��� "� ����� �� !��� ����! �� ��� ���!������ �� � �� ��� ���!���!� ������� �� 8 *� � �� � � � ��� �� ����� �������� �� ���� ������� �� ������ ��� ������* ������� 6�����* ������ ���������� ���� ��!� � �� ���� ��� +�������� ������ $�� ������� ��� �� � ������ ��� �� ��� ��������� �� ���#� ������ ("#�� �� �� ���� �����) " !��� ��� ������� �������� �� ��� ������� ����� �� �� ���������� ��� �������� ����*�� ��� ���� ������� ��� ����� ����� ������ ��� ������ �� ���! ����� "#�� � ����� ��� ����� �� ��� ����� ����� ������� �� "�#� �� �������� ���� ���������� ����� ������� ������ �� � ����!� ����� �� �� ������ ��� ����� ��*��������� "#�� ��� ���� �� ������ ������� ��� ������� �� ���� ���� ���� ���'W +��� � ����� ����������� ������� ���� �� �� �� ��� � ��� �� �������� ��� �� ������ ��� ������������ L�����@ �� ������� /����� ������ ���

���8 Æ6 " ����! 3�������� ���������

���� �� ��� �������� �� ���� ������� �� " ���#� ������� ����� ���� ���� ����6������� ���� �� ���������� � ���� ��� � �� � �������� �� @���� ��� � ���� ��� ��� � �������� �� ������ �� ���/�� � ���� ���! ������� ��� �������������� ����� ��� �� �������? 6� ���������� ���!�� �������

� 8"��

"�66

6�����* ������ ���� ���!�� �������

��< 8

"��

"��<��

��� ��� ������ �������� ��

��

��

� 8"��

"����"��

"�66 8

"��

"�6��

6 8 �6��6 8 �6

6

�� �� ������ ����� L�����@ ��������������� /�� �������� ��� ���� �� � ���*����� �� � L�����@ �� ������ M�0M

0� 8 M0M0 8 6�

/�� ������ ���! �������� �� ��� �� ��� ������� ����� /����� ��� ��� ������������ ������ ��%���

4 �6 8"��

"�<"��6

"��4 �<�

��� ��� ��� �������������� �������� ��� ���� ��� ������� �

OP

Page 83: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

��� ��� ��� ��� ���������� ������* ������ �������

7�6 8

"�=

"��"�>

"��67�=>

��� " ������� �� ����� �������� � ����� ��%���� ��� " �� � ���� ����� �������� ��� ����� ������� $�� ������ ������� �� ��� ������ ���! ������� ���� ������ ����� L�����@ ���������������?

7�64

�6 8"�=

"��"�>

"��67�=>

"��

"�<"��6

"��4 �<� 8

"�=

"�<"�>

"��7=>4

<� 8 Æ=<Æ>�7=>4<� 8 7=>4

=>

/�� �������� �� ����� ��� �������� ������� ��� �� ��������� �� � ��������H0: � ��� $

6 �� ��� �������*�� ����� ���� ������ (����� ����� 8��H0:$

0: 8��H �0:$

�0: 1 �� �� ��� ����������� ���� � �� �� ������ ����� L�����@ ��������*�������

OQ

Page 84: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ����� " ���� ���� �$� ��!� ���� ������ �� ��� "#�� ���� ��� ����� ������� �� ��� ������ �� ����������� $��� ������ �� �� ���� ������$� ��� � ���� �������� " ���� ��� ��� ������������

�*�

�*8

��� 1�

��

��

��� G

1 � &���

���

.� ����� "#�� ���� � ���� /��� ��!��� �� � HE�� �� �� � &� 8 ����

�������� ���

�� ������� �� �� � � ��� 8 ��

��*� ��� �������� ���� ����� �� ���� �&������

��� ��� �� ? 8 4� $���� �� �� � ? � ��� 8 ? � ��

��*� 8 4��

���*� �������� ��

��!��� �� ������� ��C� �� �� � ��� ������������ �* 8 -(�*� G ? � ���) ��

������ - 8�� 4�

��

� �

� 5�� ��� �&������ ��� ? � ��� ���� ��� �&������ ��� �*���� ���� �� ��

�* 8 -

�� G

1 � &���

��*� � �*�

�*8

��� 1�

��

� �

��� G

1 � &���

���

�� " �������� �� ��� �/��� ��!��� ��E�� �� �� � ��� ������� �������� �&������ ��� �������� ���*������� �� �������

&� 8&�� G 1

� G 4����

$�!� ��� ���� ��� � ���� ������� �� �*

+� 8�&��*

8+��

� G 4����

�*�

�*�

&�� G 1

�� G

1 � &����

��� �1

��

�+���*�

�*

7��� ���� ������� ������

+� 8�&��*

8

�� G

1 � &���

��� G

1 � &���

���+���*�

�*

��&� � 1��

G1�

��

��� G

1 � &����

���+���*�

�*

P>

Page 85: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

��� ��� ��������� �� ���

��� �� �� �

+� 8�� 4�

��

(� G4��

��)�+���*�

�*8

�� 4�

��

� G 4��

��

�+��"� ��E�� ��!��� ���� �������� ���� ��� ��� ������������� ���������� �� �������� ��� �������� ��� ��

&� 8&��

-� G 4��

��

'��� � ���� �� ��!� ��� ���� ��� � ���� ������� �� �*

+� 8�&��*

8+��

-� G 4��

��

�*��*� &��

-� G 4��

��

��1 � +���

��*�

�*

����� �� ��� �� ���

�������������

+� 8�� 4�

��� G �4�

��

��+��

�� G

1 � &���

�� &��

��(1 � +�)

J��� ��� ����� ��������� �� ( �� � �4) 8 ( �4) �� � ( ��) �4� �� ��� �����1 � (+� � &�) 8 (1 � &�)+�� � (1 � +�)&��G �������� +�� ��� &�� ����������5�������� ���� �� �� ��� �� �� �� ���� �� ��� 7���� 1 ����� ������� ������ ������������� �� 1 $��������� ��� ���� ����� ���������� �� ��� �� ������ �� ��� ������ ������� ���� �� ������������� �� 1 �� �� ���� �� �� ���� ���� �� �� ������ .� ������� " ��� ������

+� 8�� 4�

��� G �4�

��

� +�� G

��1 � (+� � &�)

!

��� " �� � � �� ��!��� ���� �� �����

P�

Page 86: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ���%� �� �� ����� �� �� � �� � �� &'('� )� � �� &*''! +"�"����� �� �� �� ,� ����� - ��� ���� �� ����� ��.� ������! � ��� �� ���� � � ���� ����� �� � ������� ��� ! ������� � ���� ���� ����� - ���� ���� ��� �� � ����/ ����� �� � �����! B! �� ��� ��� �� � ��� "����� � ���� �������! ���0� � ��� ������� ����� - ��� ���� ��� �� ��� ����/��� ��� �� 1 �� � ��� ��� ��� �������! ��� ��� ��� ��� �� �� � �� �! �� �� � ����! ���� ��� �� 1 �� �!��� ��� �� 1 �� �! ��� ����� �� � �� - ���� �� � ������ �� 2' �� � ������������ �� ��� ���� �� ��� ���!��� ��� ���� �� ��� ������� ���� ��� ���!����� B> �����

+(*�) 8

�$�$�B% *� , H�B% H , *� , �HB% �H , *� , B>

�� 3�� �� �� �� �� � �#0�� ���� ���� ���� ���� �� ��� ����� ����� ���� ����S 7��� ��� ����� ��������� � �� ��� ��� ������� � ���S6������� ��� ���� �� + 8 B ����� *� 8 > �� H L�� *� ������ ��� ���� ����� ���!�� ��� * ������ ��� ���� �� ��� ����� $���� �� � ������ ���������������� ��� L�����@ �������������� �&������� ������� ����� ����� *� 8 �

<���

/�� ������������ ����� ���� �� �� � �*� 8 ��<���

$�� ����� ���� ������� �� ������!�� ��?

E���+�� 8� �

��*� 8 H

E� ��� 8� �

��* 8

� �

�-(*�)�*�

$� �� -(*�)� �� ���� �� ��� � �� �������� ��������� �� "#�� ��� ��������� ������� ������ �� ���! ����/����� �� ���� �*� �� ����� �� �������� ? 8 4

�� �? 8 �4�

������

�8 ,

��*� $���

� �� �� �*� 8 �,�? ���� " ���� �� � ��� ��� ���� -(�) �� ��!���� �� ���

�� ��� ���� ��������� � �������� ��� �� �� ���� ? 8 ����(�) " ��� �������

���� � � � �������� � �� �� �� ������ ��������� �� ���� �� ��� ��� �

PB

Page 87: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

��� ������ � ���������� �� ��������� �� �� �����

? 8 ����(�

�)� V? 8 ����(V�)

��� �� �� ��� ������������ ������ " �� � �? 8 ����(��) " ��� ������� ������ ��� ���� �&������ ��� �? 8 ,

��*� �� �� �� ���������� ��� �*�

�*� 8�

B����(��)

���� " ������ ����(��) 8 �� � �*�

���� !��� ���� ��� ���� ����

�*� 8�

B��

/�������

?(*�) 8 ����(���) 8 ����(

� ��

B

��*��) 8 ����(

B

�*�)

2� ��� ������������� � �� �� ��!��� ��B>� -(*�) 8 ����(,�*�) ��� ����

?(*�)-(*�) 8 ����(,�*�) 5����� ��� ���� �� ������

E� ��� 8�-(*�)�*� 8

� �

�����

�B

�*���*�

8�

B����

�B

�*����8

B����

�HB

$�!� B 8 �> �R���� ��� � 8 E� �>� �R��� ���#� ��� �� ���� H �� �� ��������� ��� �&������ �� ���� ������ " �� ��� � ���� 8 �)HOKP � �>� �������$���� E� ��� 8 Q� ����� 2� ��������� ��� ���� ����� �� � ���� ���� ��!�%��� �� ��� .� ��� ����� ���� ������� �� ��� ����� ����� ��� ���!�� ������!�� � ����� ���� �� C� Q� 8 EKC ����� $�� ���� ���� ���� ���! ���� ����� ���� B�>> G EKH 8 BCKC� ��� ��� ������� ���� �� ������ $�� �� ���� � �� � � � ��� � ��� � ���#" ���� ��� � ������� ������&��

�� ��� 8��?(*�)�* 8

� ��

��?(*�)-(�*)�*�

�� ��� 8� �

�� ����

�B

�*���*� �

� �

�� ����

��B�*���*�

8B��

B����

�B

�*��� �KP

PE

Page 88: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

.� ��� �������� �� ��� ������ ����� �� ����� �KP �� �� ����� $��� ��!������� ������� �� �� ������ ���� ��� ���� ��� ��� ���� �� ������ ���� �������� �� �� �� ��� B� Q� ������ ��� ���� ����� �� � ��� �PB �� �� ����� 2���� ������� ��� ���� ��� ��� � ������ ��� ������

PC

Page 89: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� �����$�� &������� �� ����� ��� ���*��������� �� � ���� �� ��������� �� ��-�����L�����@ �����/�� ���������� ��� ��� �������� �������� ��#�� �������� � L�����@ ����� �� *�� ���� ��� *���� �������� �� ��� ������� ���� �� ������������� �� ��� ��������� �*����"� �� ��� ���� �����? / 8 �

�� ��� 3 8 ��

�� $�� ������� ���� ��� ��� ����

������ �� *3 8 >� ��� ��� ��� ������ ������ �� */ 8 E "� � �� ��� ��������� L�����@ ����� �� �� ���� ������� & ���� ��� *���������� � �� ��� ���� �����?

E � 8E�� � &�

����� ��

��

"� ��� �������� �� ��� ����� �� ��� ��� � ����� �� ����� E � 8 > $��� ������ ��� ���� ���� V* 8 ��

�� .���� �� �� � � ��� � �� �������� ����� ������

���� > �� �� �� ��� ��� � ������������ ��� � �� �������� ������� E 8 > ���� /�� ��� �� ���� ������� ��� ������ �� � �� � ���� ����������$� ��� ��� L�����@ ����� �� ����� ��� ���� ����� �������� �� ��� ������������ �� E ��� ��� � ��� &

& 8��E

'������� ��� L�����@ ��������������� �� ����� ��������� 7� ��� ����� ������� ���������

*�/�/

�8

�- �-?�-? -

��*//

�8

�- �- �5

�- �5�

-

��E���

��� �*�3�3

�8

�- �-?�-? -

��*33

�8

�- �- �5

�- �5�

-

��>��

��

7��� - 8 ���� ����

��

�/ 8���� ��5 �

���� ��5 �

��

PH

Page 90: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

*�/ 8��E�

�� ��5 �

��

�3 8��

���

�� ��5 �

��

*�3 8��E�

�� ��5 �

��

$� ��� ��� ��������������� �� ��� ���� �������� ���� �� ���� ����� ���������" ����� E 8 �

�G �� ����� � �� ��� ���� �� ��� �������� ���� ���� �� �� ��

����������� �������� ����

*�/ 8��G �� �

������

�� ��

��

�/ 8���� &

��G �

��� ��

��

*�3 8�������

�� ��

��

�3 8��

���

�� ��

��

PK

Page 91: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ���"� 8� �� �� � � ���� ���� ���� � �������� �� ��� �� ������� ������� 2�������� ��� �� ���� ����������� ��������� ��#�� ��� ����������� ����������� "� 8 ���� �� � � ���@��� ������� �������� �9 � �8 >� ��� � ���� � �������� �� $�� ������� �� ����� 8 � ���� ������� �� 8 �� �1 8 1:� 7���� ��� ������� �� ����������� " ����� �- ���� ��!��� ������ ��� ���� ������ ������ �������� ��." �������"� 8�

�� 8��

B����

�* 8 > ��� �� 8 > �� 3����#� ���� ��� �� 8 > ���� ��� ���� ���� ������� �� ������� (���� �� ������������) �� ���� ����� 7� ��� ��� ��� L�����@��������������� ��� ��� ����� �� �� ���� ��� ����� �� ������� $��� ���?

� � 8 -(� G ? � �)� -�

- G �?(? � �)

�� 8 -(� � ? � �)� -�

- G �?(? ��)

����� ������� ����� ���������������� �� ���

� �� 8

-��B����

�����* 8 -(�?��) 8 �?- ��

B����

$�� ����� ���������� ����� �� �������� �� �������� ������������ ������ ����� ������ � �

* 8 >�� �� 8 >� ��

� 8 >� ��� ��� 8 >

���� " ������ ������ �������� �� ." �� ���� " ��� ������� �� ������� ��3����� 7� �� �

� �� 8

-��B����

���

��* 8 ��

�?-

��B����

/����������� ����� ������� ���� �� 3�����# ������� "� ��!�� ����� ���� ?�� �� ��� � �� ��� ���! �� ��� ��� ���� ����� " ������ ���� �������

PO

Page 92: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

��"� 8� �� �� �

9� 8

�������9�9�9*

����� 8

�����

���

���Æ(�)>>>

�����

��� ��� ����������� L�����@ �������������� ���� ��� �� ������� �� ����������

4 8

�����

- �?- > >�?- - > >> > � >> > > �

�����

$� ��������� ���� ��� 8 � ����� �� ����? 9�� 8 49� ���� ��� ������ ���� � ��

�9�� 8 9�� 8

��������

9 ��9 ��9 �*

����� 8

�����

�<��

���Æ(�)

� �6<��

���Æ(�)

>>

�����

��/�� 8 �� �� �� � ����� �9�� /��� ��� ������� �� ���� �� �� ������ �� 8 -���� �9 � 8 �?-���Æ(�):� 8 � 6<��

�0���Æ(�):� /�� +�

� �� 8

��

B����8

-��B����

/�� 2�

��* 8

@�9��

B��8

@�B��

��?-���@���

�8 ��

�?-

��B����

7���� " �� � ���� ��� ��������� � 8 ��0���

'��� � ��� �� ��������� �* 8>��� 8 >� �� 8 >� ��� �� 8 >

PP

Page 93: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ����"� �? 3� ��? �� 8 ��:�� � 8 B��� �� ���� �� ��� �� �����

/��� �� � � ����� ����� � ��� � ��� �������� $��� �� � ����� ����� �� �� ��� 8> /��� ��!���� �� �� � ��� ���� ��������������

�� � 8 -�� G ? � ��

� -�

- G �?? � ��

��� 8 -�� � ? � ��

� -�

- G �?? � ��

" ���� � ����� ����� �� � � �� 8 >1 �� ��� ��� ����� ���� ��� �� �������

-��� � ��� 8

�� � �� � �� � (? � ��) G (? � ��)� �� G (? � ��)� (? � ��)

G-�

- G �(? � ?)(? � ��)(? � ��)

� -

- G �

�( �� � ?)(? � ��) G (? � ��)� ?(? � ��)(? � ��)(? � ��)� ? � (? � ��)(? � ��)

�8 >

$� �������� " ���� ��� ��� �������� ����������?

? � ? 8 >

B

�� � (? � ��) 8 ?( ���)� ��(? � ��)

E

(? � ��)� �� 8 � �� � (? � ��) 8 �?( ���) G ��(? � ��)

C

(? � ��)� ? 8 �? � (? � ��) 8 �?( �� � ?)� ��(?�)

PQ

Page 94: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

H

? � (? � ��) 8 ?(? � ��)� ��(?�)

K

(? � ��)� (? � ��) 8 ? � ( �� � ��)? � M? � (? � ��)N �� 8 M? � ( �� � ��)N?

J��� ����� �������������� " �� �

�� � �� G M? � ( �� � ��)N? � ( ��� G ���)? G (? � ��) �� G (? � ��) ��� -

- G �

��(? � ��)(? � ��) G (? � ��)(? � ��)

G-

- G �

�(? � ��)M�?(? � ��) G ��?�N G (? � ��)M?(? � ��)� ��?�N

�8 >

$��� �� ����� ������������� �����������$���� �� � ����� ����� �� �������� L�����@ ��������������� ����� ���� ���� � ����� ����� � ��� � ��� ������������� " ���#� ������ �� ���� ���� ������ ������������ ������� ��!��� ���� ��!� ��� � ����� $��� ����� ���,"#�� ������ ��� ������������ ������ ���� ����� ? �� ���� ��� � ���� "� �������� ? � �� 8 > ��� ? � �� 8 > $�� �&������ ������� ��

( �� � ��):� G ?�( �� � ��):� � ?( ��� G ���):� 8 >

J��� ������� �������?

� G ?�8 �� � ����� G ���

:�

.���� �� � �� 8 B��� ��� � ��� ��� G ��� 8 H ����

?

� G ?�8

B

H��� �

/�� � ,, �� ��� � � 7� ���#� ������ ? > �1 �� ������� ���� ? ��� ���

- 8��� �

����

� � 8 -(� G ? ��) G > 8 (�� C

H��)�

� M�� GC

H���N

Q>

Page 95: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

$�!� �� ���� � �� ��� �� ������ &������� �� � �� 8 �� � � ���

�� � �� B��� 8 ��(�� C

BH��)�

� (� GC

H�)�� ���

B

.�

�� 8 B

��� �

����

�� ���

��

�� � � >� �� �� � 8 �� ��� � 8 B�� �� ��������/�� � � �

�� �� ��� ��� ���� ��� �� � ��� �� �� � &�������� �&������

?�

� G ?�8

B

H���

B8

B

H� ?� � H

B? G � 8 >

����� ��� ��� ������ B ��� �� $�� ���� �� ������� ������������ ������� ? > �

����� ���� ��� ����� ������� ������� ��� ����� �� �� �� 3��� ���! ����� ���� ���� ��������� �����$��������� ? 8 �

� "� ���� ����� �� � � > ��� ��� �

E��

Q�

Page 96: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� �� $�!� � 8 � �� E W� ��� ������� ���� � �� ��� � ���! ����� ������ ��B)H � �>�� �4 ������ ��� �������� ��� ��� ���! ����� ������ ��� ����������� ������ ��� ����*�������� +������ ������ ����� �� ���� � ��� ���L�����@ �� ������ ���������� �� ���� ������ �&�����

�B6�

>

��

8

��� G ��

A� G A�

��

.�C6�

� 8 ��� G ��

� G B���� � (A�� G A�� G BA� � A�)2�� A� 8 �� ��� ������� ������� ���� �� � �� ���� .���� A� ��� A� �������*�������� A� � A� 8 �A�A� .�

C6�� 8 ��

� G ��� G B���� � (��

� G ��� � B����)

7���� ��� ������ �� ������� �� �� � �

�� 86��

��

���� 8 �)>CC� �>�� �4 �� �)KO� �>�� %������������� �� 8 H>> �4 �� >)H W�4 �� 8 H)BB� �>� �4�� �����? /��� ��������������� �� ������ ���� ���������� �-��� �� �������� ������� ���� �E � 6��

� $��� ����������� �� � ����������� �� ������>� W .� �� ������ ������ ���� �� ���� �� ��� �� � �� �� �� ��� ���� ����� ����� �� � ��� �� � �� � ��� ������� �������� W�� ��� �� �� �� �� ���� ���� ���� �

QB

Page 97: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ��

M� G M� � M� G M�

��" �� ��� �� ��!� �� ���� � �� ��� ���� ���� ��� ������� �� ��� L�����@���� ������ �� �� ������ �� ��� ���� �� ��� L�����@ ������ � ����� ����������� � &������� �� �������� �� ��� ������ �� �������� ����� �� ���������� ���� ��� &������� �� �������� �� ��� ��� ����� .��������� " �� ���� ������� ���� ��� ��� ���� ���������� ��� �����

' � 8

��� G6�

�A�

��

8 ��� G6�

� G B��6� � �A��

��� ��� � A�� 8 6�

� �����&������

' � 8 6�� G6�

� G B��6�

��� �� ��� ������ �� �������� ������

' �� 8

�� �� G � �

>

��

?@

�' � 8 � �� G � �

.� ' � �� ��� ����� ���� � �� ��� ������ �� ���� ����� ' � �� �� �� ������������ �� ' �� 8' �A� 8 ? ��-

��6�� ��� �A� 8 > ������� ���� �������� �� �� ���� $��������� ��

��� ������ �� �������� ������ �������� ���#� ������� ���� �� �??@ ���- 8 -?@ /��� ���� � �� ���� ������� �� ����� � ������� �� ����� �� �� �������� ��� ??@ ��� -?@ $����

A�?@ 8 �? �?@-�?@6� 8A�

6� G ��

6� G �� '

6� 86�A� '

QE

Page 98: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

'� �� ��� ��� ��������� ������� �� ��� �� ������ �������� �� ������ �����?+� ��������� �� ������� &����� �������

M�� 8 M�

?@ � (�� G6�)� � A�� 8 (� �

� G � ��)

� 8 � ��� G � ��

� G B� ���

��

+� &��� � �� 8

�6�

� G A��� � ��&�����

(�� G6�)� � A�� 8 6�

� G6�� G BA�� G B� �

����

$��&����

B6��� 8 BA�� G B� ���

�� � B6��� � BA�� 8 B� �

����

��&��C6�

���� � PA��6��� G CA�� 8 C��

����

[������ � �� 8

�6�

� G A��� 1

C6��(6

�� G A�� )� PA��6��� G CA�� 8 C(6�

� G A��� )(6�� G A��� )

+�6�

�A�� � B6�A

���� 8 6��A�� G6�

�A��

���� ������ ����������

6�A�� G6�A

�� G B6��� A�� 8 6�

�A��

� ����' �A�� 8 6�

�A��

������

A�� 86�

�A��

' �

��&��

A� 86�A� '

��$�� ��������� �� ??@ ?

??@ 8

�A� ���

8A�

�� G6�

QC

Page 99: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������ ���� �� ��� ������ �� �������� ����� ??@ 8 > �� �������� �����??@ ��������� ��� ������� �� ��� ������ �� �������� ����� ������ � �� �������� �� ����� ��� �������� ��� ���� ��� ��� ��������

-?@ 8�

�� ?�8

���

�A�

�� G6�

�� � �

8�� G6��

(�� G6�)� � A��

��� (��G6�)�� A�� 8 ��

� G6��GB��6�� A�� ��� ��

� � A�� 8 6�� �� ��� �����

�� ��� �&���� ���� ��� %��� 6�� G6�

� G B��6� 8 ' � ���

-?@ 8�� G6�

'��.���� ���� ' � 8 6�

�G6��GB��6� 8 (6�G6�)

�� B6�6�GB��6� �����E 8 �� �6�

' � 8 (6� G6�)� G B6�E

7���� ���� �� � �� ���� � ����

' 8 (6� G6�)

"� G

B6�E

(6� G6�)�

.���� B6�E ,, 6� G6�� �� ��� ��� � G � � � G �

��

' � (6� G6�)

�� G

6�E

(6� G6�)�

�8 6� G6� G

6�

6� G6�E

����� E 8 �� � 6� /�� 1 ,, � ��� ����� ��������� ������� �� 8 6� G-�

�"�GN(A�) .� E 8 6� G

-��

�"�G )))�6�

' � 6� G6� G�

6�

6� G6�

�A��B6�

��� '�� � (6�G6�)�� ������� ��� ���� ���� �� ' �� �� ����� J��� ����

�� �� �

A� 86�A�'

8�

6�

6� G6�

�A�

���??@ 8

A�6� G ��

8A�

6� G6�

7���� " �� � � ����� ���� ����� ��� �� ��� ����������� �� ��� �� �� � 6�

QH

Page 100: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� �� ���$�� ��� ���� ����������� �� ���� ������� ��� ����� ��� ��!��� ���������BE 6� �� ��� �������� ��������#� ���� ������ ��� ���������� ��� 6� �� ��������! ��������#� ���� ������ ��� ��������� 6� ���6� ���� ���� ��� �������� ��������� ������ ����� ��� ��������� /�� �� ������� ���������� 6� 8 6� ���6� 8 6� $�� �������� &��������� ��� �� ��� ��� ����� ����� ��� ������&��������� ��� �� ��� ������ �� �������� ����� ���� ���� ���� A� 8 A�������� A� 8 >� ��� ����� �������� �� �� ���� ��������� �� ��� ���/�� ��� ���� ���� �� ���� �������� " ������ �� �� ���� � ��� ����� ����� ����� � � ��� ���� ���� �� ��� !��� �� ��!���� �� ���� �� �� �� 2�� �� ����������� ��� ����� ��� �� ���� <���������= �� ��� �� ��!� ���� �����/�� ��� ���� ������������� "#�� ��� �� ��� ��� �������� ����� ��!�� �� ���� ��� ��� �� ������ ���������� �� ����* ������ �&����� /���� �� ���� �������� ��������� ������� �� ��� ������ �� �������� ����� ���� � �

� 8 � �� ������� ��

������ ����� �� ��������

M��M�� 8 � �

���� � A� ��� �� 8 6�

� G A��� � A��� ��� �� 8 6�� G A��(�� ��� ��)

"� ��� ����M�M� 8 6��� � > 8 6�

� G6�V�

J��� �� 8 V� G6� 2������ �� L�����@ �� �������� M��M�� 8 M�M�� �� ��

V� 8A��6�

(�� ��� ��)

/�� ��� ������ �������������

M� G M� 8 M� G M� � M� � M� 8 M� � M�

.&���� ��

(M� � M�)� 8 (M� � M�)

�������� ��� ��� �&����� ���#� ��� �� M� 8 6�

6�� G6�

� � B(���� � A�A� ��� D�) 8 6�

� G6�� � B(���� � A�A�)

��� ������� �� !���� ���� ����� � ������ ��� � ������ !� � � �������� ���

QK

Page 101: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

2�� 6� �� �� ���� ������ ��� ��������� �� A� 8 > ��� �� 8 6� $�� ����������� �������� ���� �� 6� 8 6� ��� 6� 8 6�� �� �� ��

���� � A�A� ��� D� 8 6��� � A�A� ���D

� 8 ���� �6���

�� ������ �� 8 V� G6� �� �� 8 �� �V�

A�A� ���D� 8 ��(V� G6�)�6�(�� �V�) 8 V�(�� G6�)

.&���� ����� ��� ���������� ��� ����� ������ �� �������� ���� �� ' � 8(�� G6�)

� � A��A��A

�� ���

�D� 8 V��(' � G A��)

5��� ������ ���� ���� �� ����

A��(��� �6�

�) ����D� 8 A��(V�

� G B6�V�) ����D� 8 V��(' � G A��)

�� ��� �� V�

B6�A�� ���

�D� 8 V�(' � G A�� � A�� ����D�) 8 V�(' � G A�� ���

�D�)

.�� � ��� V�

V� 8B6�A

�� ���

�D�

' � G A�� ����D�

/�� ��� ����� ��������� �� ���� �� �� �� ������ �� �������

�� 8 �(M� � M�)� 8 (A� � A�)

� � (�� � ��)�

"� ��� ������ �� �������� ������ A�� 8 A�� 8 A� ��

� �� � � �

� 8�6� G A��� �

�6� G A��� 8 >

���

(A�� � A��)� 8 A��� G A��� � BA��A

�� ��� �

� � (O)

(A�� � A��)� 8 BA��(�� ��� ��) (P)

$������ 8 BA��(�� ��� ��)

QO

Page 102: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

J�� ��� ���� ��������� V� 8 -��

"�(�� ��� ��)� ���� ������� ��BE .���������

�� ��� ��

V� 8��

B6�

��V�@ � � B6�-

�?�

� - ��� ? � �� ��� ����� �� � ������� �� ���� ��� - ,,"�

"�� 5�� ��� ���� � ����� ��� � ������ �� ������ ��� �

����� ��������� �� � �� � �� �� � ������� �� ���� ����� � ����� ���� ���� �� � ���� ��� ��/�� 6� >> 6�� �� ����� ���� ��� ���� ���������� ��� ��� ���� � ���� �

V� 86�A

��

' �(�� ��� ��)

$��� ������� ��� ������� ���� ���� �� 8 � ��� �� ��� �� 8 B� ����

V�@ � 8B6�A

��

' �8

B6�-�?�6�

' �

' � 8 6�� G6�

� G B6��� ��� �� ������� �� � �� ���� � ������

' � 8 6��

�� G

6��

6��

G B6�

6�

-"�

"�

2������ 6� >> 6�� ��� ������ ���� �� ��� ����!��� �� ����� ��� ��� ��� ����� �� ���� ����� 2������ - ,, "�

"�� ��� ����� ���� �� ��������� �����

��� ��� �� � ����� .� �� �� � ' � � 6�� 7� ��������

V�@ � � B6�-�?�

7��� ��!��� ��!� ��� � ������ ��������������� "#� ��� ���� ���� ��� 0��� ������� 0�� &������� �� � �� ������ �� ����� �� �� ��!� ���� �������������� 6� ���� ������ ���������� I��#�� �� � �� �������� ���� ��� ����� �������

QP

Page 103: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

/�� �������� ����������� 6� 8 6� 8 6� J�� ��� ������� ��� V� ���� ����� ����� �� ���� �� ��� ���������� �� ' ����������

V�@ � 8B6�A

��

B6��� G6�� G6�

86�A

��

6��� G6��

8A�

� G68

-�?�6�

-6G68

�-�?�

- G �

�6�

7��� � ������ ��� ��� �� ����� �� ��� ?� 8 <���<�

.��������� �� ��� ? ��� ����� ������� ������

V�@ � 8 (- � �)6�

QQ

Page 104: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� � ��$�!� �$ 8 � ���:� .���� ��� ������� ������� �� ���* ������� ��� ��������������� ��� ����� �� �� � �1� 8 1�: $�� ������ ����� ����� ��� �� �A�

��8 $�� �� ��

�� � ��� �&������� ����� ���� �� ��������

�*

�� 61:��

�� 4�

��

�� 8 ���:�

����

�*

�� 61:�

�� 4�

��

�� 8 >

"��� ���� �����61���� 4�

��

8 ���*G 4�

4� 8 > ������� ��� ������� � ������� �� @���

61���� 4�

��

8 4�

$� ��� 4�� �� ���� �� �!� ������� ���������� �� ���� �������� 1� 8 1� ���1� 8 1�� $����

61���� 4�

��

8 4� � 4� 861����� � 1��

7� ��� �� 1� ��� 1� �� ��������� �� ����

1�� 8����

�*�

6�(�� 1�� � 1��)

1�� 84��

6�(�� 1�� � 1��)

�� ���� ����� ���� �� �� � ������������ ������� 1� ��� 1�

1��1��

8����

� *�

�>>

Page 105: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

���� ��� � ��� 1� ��� 1�

1�� 8������

�*�

��6� G ����� *� G 4�

1�� 84��

��6� G �����*

� G 4��

����� -� 8 (�� 4��

��)�

� ��� + 8 �'"�

7� ��� �� � �������� �&������� ��� 1���� 1�

1� 8�+*�

+�*� G -��

���1� 8

-�1��+�*� G -��

$���� ��� ��� �� ���� ����� � �� ���� �� �� ��� ����������� ��� �(*) ���(*)

�(*) 8 �� �

+*��+�*�� G -��

�*� 8�

+

�+�*� G -�� � -�

!

���

(*) 8 -�1�

� �

��+�*�� G -��

�*� 8-�1�+

��

���+�*� G -�� G +*

-�

��

�>�

Page 106: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� � �6������� ��� ���� � �� �� �� � �� ������� �������� $�!� � 8 � �� �����"� �� �� 8 �:� �� 8 �:�� �&� 8 &�:�� ��� &� 8 '

3����� &� �� ��� � ��� �

�������� ������� $�� �������� ���������� �� V�� ��� ��� ��� �� �� ����������� �� 0 L�� 0 8 &�9*� 9* 8

�� 9* �� ��� � ��� � ���� ��� �������� �� ���

��������3� �� � �� � ����� �� �� �& 8 '

3:� 7� ��� �� �� ���� ���� ��� ���������

�� ���� ���� ����� � ��� �������� ���� ���� �� ���� ������ ��� �������� ��������������� ����?

� � 8 -(� � &�) 8 -(� � �) 8 >

���

�� 8 -(� � &�):� 8 -(� � ��

�):� 8

-

�(�� � ��):�

7���� ��� �� ������� ��������� ������� - 8 (� � &�)��

� 8 (� � '�

3� )� �

� 83�

3��'�� ��

�� 8 �� � ��:� 8

-:�

5�������� ����� �� � �? 8 &�:� �� ��� ��� ���� �� �� ���� �� � � ��� �� ���� �����-����� �� ��� ���� ���� �� � �� ��� ���� �� ��!�� ��� � �������� �� ��� ������ ��� �������� �� ��� ����� �� � �� �� *� 8

<� (���� �������������� ����

�� ��� ���� �� ��!�� ��� �������� �� �� � ���� ��� ��� ����� ��� �� ���� �,)$�� - ����� �� ������� �� ���� ����� ��� �������� �� �� �� �� ��� ���������� ���������� � �������� ���� ���*@��� ������� �� � � ���� �� ��A����� �� ����� "#�� ���� ���� ��� ������� �������

V�� 8 ���(�� ���F�3*�)

.���� V�� �� ������������� �� &� V�� 8 V� ��!��� ���� �� F�3 � �3�

"8 �3

<"

��� ��� 8-��

�3� 8"4�

�3� 8"�3� 1

� 8 4�

1��

7� ������ ��� ��A������ �� �� ����� ������� ��� �������� �� ��� ����������

�� ����� $���� �� ����������� ���F�3*� � �� 1�

�����

� .�

V�� 8F�3*

��

B���

�>B

Page 107: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

3�� 1� �� ����� �� ��� �������� �� !���� ������ V& ��� &� ������� ����1 �� ����� �������� �� &� �� ��� ��� ��� ������������� ���� &1 � &� �� ������ &1 � -�

1� 81 � &

�� &18 -�V&

���� ��� �� 1� �� ��� ���������� ��� V�

V� 8����

B-�6�

0�

-�&�-6

��-�V&

.������� ��� ���������� � 8 '� 7� �� � ��� �������� ���������� ��� ���

��A������?

V� 8��0�

B-6&�V&

7��� -&6 8 A ��� ���� ������� ������ ��� ������ ��

V& 8BA

�0��&�V�

�������� �� ��� ��� ����� V& ����� ��� �� � ������ �� ��� ������

�>E

Page 108: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� � ���� 8 �� �� 8 �:�� �� 8 �: .���� � , �� �� ��� ��������� ��� � ����

���� �� ������� � �������� L�����@ ����� $�� �& 8.' .33� � �& 8 '

3:� $��

����������� L�����@ ��������������� ���?

� � 8 -(� G ? � �)� -�

- G �?(? � �)

�� 8 -(� � ? � �)� -�

- G �?(? ��)

���� ? � � 8 > ��� ? �� 8 > 7��� ������ ��� ����� ��������� �� ����

� � 8 -(� G ? � �) 8 -(� � &�): 8 -(� � �

��) 8 >

�� 8 -(� � ? � �) 8 -(� � &�): 8-

�(�� � ��):

2�� - 8 (�� '�

3� )� �

� 8 3�3��'�

��

�� 8 �� � ��:

7���� ��� �� ��������� �� �� ��!���

��-��- 8

"�� � ��

����

"� ���� ������ �� �� � � �������� �� �� �� � ������� ������ � ���� ��!������ �� ���� ��� ��

��(*) 8 ��� G 1�*��� G �+(��� � ����)���1��

������� ������� ���������� ��&�����

��(*) 8 1�*: G + ���F3*:� G + ���F3*:�

����� F3 8 �3�

<"��� + 8 -�-

��

�3

���� " ������ ��������� ���! �� ��� ��� �� �� ���� ��!��� �����

& 8 ���:�

�>C

Page 109: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

- 8�

�� � ��

��!��� ���� ����� ���������� �&������ �� " ���#� ������ ���� ��� ������*������ ���� * 8 �(*�) $�� �&������ �� ������ ���� ��� : ��������� �� ����������� ��� ����� �� ��� ���������� ��� �������� ���� ���� ��������� $�� :����� �� ���-����� �� ��� L�����@ �������������� $�� :� ��������� �� ������� ���� ������ ��� �������� �� ����������� ��� �� ����������� - ����� � �������� �� � � ��� ��� �� ���������� ���� �� ������� ��� ��� ������ ����� ����� $�� - ������ �� ��� ������ ���� �� ��������� ������� ��� ���� �� � �� �� ��� ����� ����� $�� ���� ������ ��

��� (*) 8 + ���(F3*):�G 1�#���*: G (-+ ���(F3*) G -&*):�

��" ����#� ��

�>H

Page 110: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� � ��

� 8 � �

P�"6"

6 � �

�9

��$�� +����*L� ��� � ������� ����

"�"�

8 "6"�

"("6�)

.� �� �� � ���/�

8 ���9 ���

"�"("6)

8 � �

P�

"

"("6)(B�0B2:"

0:"�2 )

������ ���� ��� ���� ��� ��-����������� �� ����/��

("><) 8 ÆB>Æ�<

"�"("6)

8 � �

P�B�0B2:MÆ60Æ:"

0: G Æ6�Æ2"�2 N

J��� ��� ����� ������� �� ��

"�"("6)

8 � �

P�MB�6B2"

6 G B60B:"6N 8 � �

P�MB"6N

$�� +����*L� ��� � �&������ �� ������ ��� �� ��� �����

"6"6 8C�

�9 (Q)

"� �� ��� �� ��� L�����@ �� �� "00 8 >� ��� �� ��� ����� �&������ Q

�� "6$6 8 ���9 ������� $6 8 "6 � "6 8 "6" 7� �� � ���

������ ������ ������� �&�������,��$�� ����� L� ��� ��� ��

� 8 � �

�K�$6$

6 � �

�9

7���� $6 ���������� �� "6 � "6

� 8 � �

�K�("6 � "6)("

6 � "6)� �

�9

�>K

Page 111: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

$�� ��-������ ������� ���� L� ��� ��� ��� ��� ��� �� ���� � ��

V� 8 � �

�K�M"6"

6�"6"6�"6"6G"6"6�B"6"6N

V� 8�

�K�M"6"

6 G "6"66N 8

P�"6"

6

��� �� ���� ��� ���� ��� ��-���������� � �������

P�"6"

6 8�

P�"(6"

6)� �

P�6"

6"

� ������� ������ ���� ������ ���� " �� � �������� ��� ����� �� ��-����������� ����� ���� ���� $��� �� ������� ������� ���� ��� �� �������� �� M"< % ">N 8 >"� ��� L�����@ �� �� "

8 >� ��� ��� ���� ���� �������� ���6"

6" 8

> $�� �������� ����� ���"(6"

6)� �� %��� � ���� �� �� ����

�>O

Page 112: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ����$�� &������ ���������� ���� � ���� ������� ��?

��

��8 C�;5

����

6���?�

���

�B-�?�6��

9��F�

�� ?�

$��� ������� � �� ������� �� ����� �� ���� � ��� �������� ������������C� ����

"���8 H)� � �>��� �� ���� ��� �"���

���1�C( 8 �"���

��8 P)H � �>� $�� 6��

���� �� � �� �� �� ������� ������� ��� �� ����������� ����� ��� ����� �� ���� � ����� ���� ������� " �� ���� �� �� ���� ��� ���� ������ �� �� ��� ������� � �� �&��� ��; 6�������

��

��#� 8 C�

5

6�

����

6���?�

���

�B-�?�6��

9��F�

�� ?�

? ��� - ��� �� ���������� ��� ��� ���� ��� ��� �������� ���� ��� ��������*���� ? 8 -

'� � 8 E G6� �� 8 A� G6� ($���� �������� ��&���� ���� " ���

����� �� ���� � 8 � ��� 9� 8 �)���������� ��� 5 8 �E� 5 8 BO� ��� �������� � 8 B)O �R��� 6����� ���5 8 BQ� 8 KC� ��� � 8 Q)> L��� ��� 5 8 PB� 8 B>P� ��� � 8 �� /������ �� ��� ����� ��� 5 8 �C� 8 BP� ��� � 8 �)E� �>��$�� ���� � ���� ��� ��������� ������ �� ��� ��� ��� ���� ������� ��� ����������������� ��� ������� �� ��� ������ ��������� ��� ��� ���� 2� �� ���� ������ �������� �� � � ��� ������ �� � ���� ���� �� ����������� �� ��� �������������"������� 5������ ���� 4������ +��� ��� (+��� � L��� �� �� R��)

�> �� �>> ��4 �>>>��4��� H� �>�� P� �>�� E� �>��

�� �>> �O HB6� E�> HB �K5� EE> HH �O

"������� ����� ���� 4������ +��� ��� (+��� � L��� �� �� R��)

�>P

Page 113: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

�> �� �>> ��4 �>>>��4��� Q� �>�� B)K� �>�� B)O� �>��

�� �Q HC HK6� HP �O �O5� K� �P �P

"������� 5������ (+��� � L��� �� �� ��� R �)

�> �� �>> ��4 �>>>��4��� EO K� �Q�� EO KE �Q6� ECP HP �P5� E> H> �K

"������� ����� (+��� � L��� �� �� ��� R �)

�> �� �>> ��4 �>>>��4��� KP B> B��� O> B> B�6� KH �Q �Q5� HK �K �K

�>Q

Page 114: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� ���� ������ "#� ��� �� ��!� � 8 � 7� ��� ��!�� �� �������� ��� 6�����!� ��������� ��� 5���� ��� �� L����� " ����! �� ����� �� ��������� ��!�������� ����� �� ���������� �� � 8 �)H /��� ��!��� �EH>� �� �� �?��� �� 8

6 �1�

8 �6� $�� ���� �&������ �� ���� ������� ���� ��!��� �ECO�

1 8 � �1�

��� ���� 1 8 ��� ��

��(F) 8 � $� ��� � ��� ?� ��� ? 8 -

' .����

� 8 E G6� ���� � �� �� ? 8

"5 ���"�

"58

�5 ��5""5

$� ��� ��� ������ �� ������� ������ ���� ���� � ��� � ������� ��� ������� ��� ������� ��� 5������� 5������ ���� ���! �� ���

��;

����8�B� ����

���� ��

$��� ��� ���� �� ���� �� ���� ��!��� �ECP

���

���F8����

��F

��� �

?���

���� �� � � ������ �� 8 9��� �� " ��� �����

���

���F8�� 9�

�F

��� �

?���

������ ���� �6���

8 ���� �� $���� ��� ���� �� ����������� ��� �� �������

���� ���������� ��� ��������� ��������� �� ���� �� ���� " ��!� � �����������

� 8 ;9�F � ��� 8 ���;9�F

.� �� �� ���;

���F8��� �

���� ��

$���� F 8 ����

�� �F 8 ������

�� ��� ������� �� ��

��;

����8

B� ��

������ ��

����� �� ��� ���� �� �&������

��>

Page 115: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

"��� ���� � �� �

�;

��8

� ��

��

�B� ����

���� ���� 8 B� �� ���� ��

��� � ������

J��� �� 8 C>>>�� � ��� ��� �� 8 K>>>�� � ���� �� �� � � �������������������

�;

��� EPB)�Q ���� ��

�� ����� �� H��#�6 �� �� ������� �� � ��� ? ���� ��� ������� �� ���� �" �� � ���#� �� ���� ����� ����� ����� " ���� �� �������� ��� ��� ���� "#��%��� � � ��� ��� ���� �������/�� �� �������� �������� ���� E 8 � ��4� ��� ������ �� 6�����!� ��������� ����� �PO $�� �������� �� �� �� >OP ���/�� �� �������� ������ ���� E 8 H>> ��4� ��� ������ �� 6�����!� ��������� ����� OQ $�� �������� �� �� �� >H> ���/�� �� �������� ������ ���� E 8 H $�4� ��� ������ �� 6�����!� ��������� ����� B>P $�� �������� �� �� �� >PE ���

���

Page 116: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

������� �����$�� ����� ���� � ��� ��� �������� �� ��������

� 861�

BG � (�) (�>)

�� �"��� ��� ������� ���� ����� ��� � 8 � (�"��)/��� ��!��� �&������ �CB�� �� �� � ��� ����� �������� ��� ����� �� �� ����� ����������� ���� �

�.

�U85���

C��� \1� ���� �

/��� ������#� ������ ���� 6 \1 8 ���� ��

�.

�U8

5���

C���6������ ���� �

$�� ����� ����� �� �8��

���� ����� � �� ��� ����� �� ���

.��� � 8� �.

�U�U 8

5���

C���6������� �

����� ���

� ��

���

+ ������� ��� ���� ������ �� ���� ��� 8 �

����

� ��� �� 8 B� � ��

.��� � 8B

E

5���

��6������

$�� ����� ���! �� ��� ����� ���� ����� � �� ��� ������ ����?

'��� � 8�.��� ��* 8 B� B

E

5���

��6�

�������*

$�� ������ �� ��� ����� ������� ��� �������� �������� �� �� ����������� �� ������� ��� ��������� 7� ��� ��� � �&������ �> ��� 1

1 8��

�*8

"B

6M�"�� � � (�)N

��� ���� ���� �&������� �� ���� �* 8 �� �

�������� ���

.�

'��� � 8C

E

5���

��6�

� �

������ ���

�"M�"�� � � (�)N

��B

Page 117: Jackson classical electrodynamics solutions   2004

$�� ���� ��� ��� �� ����� ���� ��� ���� ����

'��� � 8C5���

E��6�

#6

B

���� ����

� ����

� ���M�"�� � � (�)N

G� �

����

����� ���

M�"�� � � (�)N

��

$�� �� ��� ��� ��� ���� ���� ��� �� �������� ������� ��� �������� ���� �� �� ������� ����� ��� ���� ���� ��� ������� 7� ��� ���� ����

V' 8C

E

5���

��6�

#6

B

� �

����

����

� ���M�"�� � � (�)N

(��)

���� �� �������������/����� ���

��8 � �(��

��8 ���

� ����� �� ��� ��� � ��� ��

��� 8 ������ � �� 8 ��

���

�5��

5�� ��(�) ��� �� ���� �&������ ��?

V' 8 �C

E

5���

��6�

#6

B

� �

���

� ��

�(������

M"4�

�� ��N

8 �C

E

5

�6���

#6

B

� �

� �� ��� +� ��

$�� ������ �� ���� ������ �� � ���� ���� �� � (�"��) 8"4�

�8 + ��� � (�) 8

>$�� ���� ��� ��� �� � ������� ���� ���� �� ����� ����� �� ���� ����

� ���� � �

8 � � �

��K�

�HG

P�

�HG

B��

H

.� ��� ���� ��� �&���� �� �

��

+� ��� ������� �� �� �

V' 8C

E

5

�6���

#6

B

�K

�H

�61��B

� �

8P

CH

561�����

��E