Izvodi_zadaci

7/29/2019 Izvodi_zadaci

1/40

IZVODI ZADACI (I deo)

Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:

1. C`=02. x`=13. (x2)`=2x4. (xn)`=nxn-15. (ax)`=axlna6. (ex)`=ex7. (logax)`= axln

1(ovde je x >0 i a >0)

8. (lnx)`=x

1(x>0)

9.2

`11

xx=

)0( x

10.x

x2

1= (x>0)

11.(sinx)`=cosx12.(cosx)`= - sinx13.(tgx)`=

2cos

1

kx +2

14.(ctgx)`=2sin

1 kx

15.(arcsinx)`=2

1

1

x

1


2/40

1. [cf(x)]`=cf (x) Kad je konstanta vezana za funkciju, nju prepiemo a traimo izvod samo odfunkcije. A kad je konstanta sama, izvod od nje je 0.

2. [f(x) g(x)]` = f `(x) g`(x) Od svakog sabirka traimo izvod posebno.

3. (uv)`=u`v+v`u izvod proizvoda4.

2

```

v

uvvu

v

u =

izvod kolinika

Zadaci:

1. Nai izvode sledeih funkcija:a) y = x5b) y = 10xc) f(x) = x d) y = log3 xe)

f(x) =

3 5

x f) f(x) =

7

1

g) y =8 5

1

x

h) y = x x i) y =

23

2

x

xx

Reenje:

a) y = x5 y` = 5x4 kao 4-ti tablini

b) y = 10x y` = 10xln10 kao 5-ti tablini

c) f(x) = x x

xf2

1)`( = kao 10-ti tablini

d) y = log3 x pa je y` =3ln

1

xkao 7-mi tablini

e) f(x) =

3 5

x Pazi: Ovde funkciju moramo prvo pripremiti za izvod. Iskoristiemo pravilo vezano za

stepenovanje: nm

m n xx = . Dakle 35

3 5 xx = pa dalje radimo kao (xn)`=nxn-1

f `(x) =1

3

5

3

5 x = 3

2

3

5x

f) f(x) =7

1I ovde moramo pripremiti funkciju. Kako je

n

na

a

=1

to je 77

1 = x pa je izvod

f `(x)= -7 x-7-1

= -7x8

www.matematiranje.com


3/40

g) y =8 5

1

xovde je y = 8

5

x pa e izvod biti y` =1

8

5

8

5 x = 8

13

8

5 x

h) y = x x= 211xx = 23x pa je y`= 1232

3 x = 2

1

2

3x =

2

3x

i) y =2

3

2

x

xx=

3

2

2

1

2

x

xx=

3

2

2

5

x

x= 6

11

x pa e izvod biti y` =1

611

6

11 x = 6

5

6

11x

2. Nai izvode sledeih funkcija:a) y = 5 sinxb) y =

2

1lnx

c) y = 4 3 tgxd) y = x3e) f(x) =

5

4arctgx

f) f(x) = - a ctgxg) y = 10h) y = -2abx

Reenje:

a) y = 5 sinx 5 je konstanta, pa nju prepiemo i traimo izvod od sinx, a to je cosx. Dakle:

y` = 5 cosx

b) y =2

1lnx

2

1je konstanta..... y` =

2

1

x

1=

x2

1

c) y =4

3tgx konstanta ostaje a od tgx je izvod 13. tablini, pa je y` =

4

32cos

1

d) y = x3

Pazi : je takodje konstanta, a od x3

izvod je 3x2, pa je dakle:

y` = 3x2

e) f(x) =5

4arctgx f `(x)=

5

421

1

+=

)1(5

42x+

kao 17. tablini



4/40

f) f(x) = - a ctgx f `(x) = -a (2sin

1 )=

a2sin

g) y = 10 Pazi: kad je konstanta sama izvod od nje je 0. Dakle y`=0

h) y = -2abx Ovde je 2ab konstanta, akako je od x izvod 1 to je : y` = -2ab

3. Nai izvode:

a) y = 5x6 3x5 +4x 8b) f(x) = 3sinx -

2

1e

x+ 7arctgx 5

c) y = 45

13232

3 ++xxx

x

Reenje:

a) y = 5x6

3x5

+4x 8 Iskoristiemo pravilo [f(x) g(x)]` = f `(x) g`(x) i od svakog lana traiti izvod

posebno, naravno prepisujui konstantu ispred funkcije.

y` = 5(x6)` 3(x

5)` +4(x)` 8`

y` = 30x5

15 x4

+4 0 Pazi jo jednom, kad je konstanta sama izvod je 0.

y` = 30x5

15 x4

+4

b) f(x) = 3sinx -2

1e

x+ 7arctgx 5

f `(x) = 3(sinx)` -2

1(e

x)` + 7(arctgx)` 5`

f `(x) = 3 cos x -2

1e

x+ 7

21

1

+- 0 = 3 cos x -

2

1e

x+

21

7

x+

c) y = 45132

32

3++

xxxx Najpre emo koristei ve pomenuta pravila za stepenovanje i korenovanje

pripremiti funkciju, a zatim traiti izvode u tablici...

y = 31

x - 2 21

x + 3x-2 -5

1x

-3+4

y` = 32

3

1 x -2 )

2

1( 2

3

x +3(-2)x-3 5

1(-3)x

-4+ 0 = 3

2

3

1 x + 2

3

x - 6 x-3 +5

3x

-4



5/40

4. Nai izvode sledeih funkcija:a) f(x) = x3 sinxb) f(x) = ex arcsinxc) y = (3x2+1)(2x2+3)d) y = x sinxcosx

Reenje: Kao to primeujete, u ovom zadatku moramo koristiti pravilo za izvod proizvoda: (uv)`=u`v+vù

a) f(x) = x3sinx Ovde je x

3kao funkcija u, dok je sinx kao funkcija v

f `(x) = (x3)`sinx + (sinx)`x3

f `(x) = 3x2

sinx + cosx x3

= x2(3sinx+xcosx)

b) f(x) = ex

arcsinx Ovde je ex

kao funkcija u, dok je arcsinx kao funkcija v

f `(x) = (ex)àrcsinx + (arcsinx)è

x

f `(x) = ex

arcsinx + 21

1

x ex

= ex

( arcsinx + 21

1

x )

c) y = (3x2+1)(2x

2+3) Naravno ovde moemo sve pomnoiti pa traiti izvod od svakog posebno, ali malo je

lake upotrebiti izvod proizvoda.

y` = (3x2+1)`(2x

2+3)+ (3x

2+1)(2x

2+3)`= 6x (2x

2+3)+ 4x (3x

2+1)= 2x[(6x

2+9)+ (6x

2+2)]=2x[12x

2+11]

d) y = x sinxcosx Od x je izvod 1 a sinxcosx moramo kao izvod proizvoda

y` = 1 [ (sinx)`cosx + (cosx)`sinx]

y` = 1 [ cosx cosx - sinx sinx] Znamo da je sin2x + cos

2x = 1

y` = sin2x + cos

2x - cos

2x + sin

2x = 2 sin

2x



6/40

5. Nai izvode sledeih funkcija:

a)1

12

2

+=x

y

b)x

xy

sin1

cos

=

c)2

5

+

=

x

x

e

ey

d)x

yln

1ln +=

Reenje: Ovde emo koristiti izvod kolinika :2

```

v

uvvu

v

u =

a)1

12

2

+=x

y ovde je x2 + 1 funkcija u, dok je x2-1 funkcija v

22

2222

)1(

)1)`(1()1)`(1(`

++=

x

xxxxy savet : imenilac nek ostane ovako do kraja!

22

22

)1(

)1(2)1(2`

+=

x

xxxxy izvuci zajedniki ispred zagrade ako ima, bie lake za rad!

22

22

)1(

)]1()1[(2`

+=

x

xxxy malo prisredimo...

22 )1(

4`

=

x

xy evo konanog reenja!

b)x

xy

sin1

cos

= u je cosx ; a v je 1 - sinx

2)sin1(

)`cossin1()sin1)`((cos`

x

xxxxy

= nadjemo izvode u brojiocu...

2)sin1(

coscos)sin1(sin`

x

xxxxy

+=



7/40

2

22

)sin1(

cossinsin`

x

xxxy

++= kako je sin2x + cos2x = 1 to je

2)sin1(

sin1`

x

xy

= skratimo 1 sinx, naravno postavimo uslov da je to razliito od 0

ysin1

1`

= i evo konanog reenja!

c)2

5

+

=

x

x

e

ey

2)2(

)5)`(2()2)`(5(`

+

++=

x

xxxx

e

eeeey

2)2(

)5()2(`

+

+=

x

xxxx

e

eeeey izvlaimo ex kao zajedniki ispred zagrade

2)2(

)52(`

+

++=

x

xxx

e

eeey malo sredimo...

2)2(7`+

=x

x

eey konano reenje

d)x

xy

ln

1ln +=

xxxxy

2ln

)1)`(ln(ln)`ln1(ln`

++=

xx

xxy

2ln

)1(ln1

ln1

`

+=

xx

xx

xy2

ln

1ln

1ln

1

`

=

xy2ln

1

`

= pa je y

2ln

1`

= konano reenje www.matematiranje.com


8/40

6. Odrediti jednainu tangente funkcije y = 2x2 3x + 2 u datoj taki A(2,y) koja pripada funkciji.Reenje:

Najpre emo nai nepoznatu koordinatu y tako to emo u datoj funkciji zameniti x = 2

y = 2* 22- 6 + 2 = 4, pa je data taka ustvari A(2,4)

Da vas podsetimo:

Jednaina tangente

Jednaina tangente na krivu y=f(x) u taki (x0,y0) u kojoj je funkcija diferencijabilna, rauna se po formuli:

y y0 = f `(x0)(x x0)

f(x) = 2x2

3x + 2 Naemo izvod ...

f `(x) = 4x - 3 Ovde zamenimo vrednost x = 2

f `(2) = 8-3 = 5 Vrednost prvog izvoda u dvojci je 5. Sad upotrebimo formulu:

y y0 = f `(x0)(x x0)

y 4 = 5 (x- 2) malo prisredimo

y = 5x 6 je traena jednaina tangente

7. U kojoj taki parabole y = x2 7x + 3 je tangenta paralelna sa pravom y = 5x + 2 ?Reenje:

f(x) = x2

7x + 3 pa je prvi izvod

f `(x) = 2x 7

Uslov paralelnosti je da je k1= k2 , iz prave y = 5x + 2 je k = 5 pa zakljuujemo da je f `(x) = 5, to jest

2x 7 = 52x = 12

x = 6

Sada ovu vrednost zamenimo u jednainu parabole da naemo koordinatu y. Dakle :

y = x2

7x + 3

y = 36 42 +3y = -3

Traena taka koja pripada paraboli je ( 6,-3) www.matematiranje.com


9/40

8. Odrediti jednainu normale funkcije y = x4 x2 + 3 u taki M(1,y) koja pripada grafiku te funkcije.Reenje:

Najpre nadjemo nepoznatu koordinatu y.

Y = 1 1 +3 = 3, dakle koordinate su M(1,3)

Normala se trai po formuli :

Jednaina normale

Normala na krivu y=f(x) u taki (x0,y0) je prava normalna na tangentu krive u toj taki. Njena jednaina je :

y y0 =)(

1

0

` xf

(x x0)

y = x4

x2

+ 3

y` = 4x3

2x pa zamenimo x koordinatu take M

y`(1)= 4 2 =2 i sad upotrebimo formulu:

y 3 = )1(2

1

x malo sredimo

2y 6 = -x +1 pa je normala n: x+2y 7 = 0 traeno reenje



10/40


11/40

IZVODI ZADACI ( II deo)

U ovom delu emo pokuati da vam objasnimo traenje izvoda sloenih funkcija.

Prvo da razjasnimo koja je funkcija sloena? Pa, najprostije reeno, to je svaka funkcija koje nema u tablici ( tam

su samo elementarne funkcije) i iji izvod se ne moe nai primenom datih pravila.

Evo par primera:

Primer 1.

Nai izvod funkcije y = (1+5x)12

Kako da razmiljamo?

Da je data funkcija y = x12

, njen izvod bi bio y` = 12 x11

, i to ne bi bio problem. Ali mi umesto x-sa imamo 1+5x i

to nam govori da je funkcija sloena! Radimo isto kao za elementarnu funkciju, i dodamo izvod od onog to je

sloeno! Dakle: y = (1+5x)12

y` = 12(1+5x)11

(1+5x)` [ od jedinice je izvod 0, a od 5x je izvod 5]

y` = 12 (1+5x)11

5

y` = 60 (1+5x)11

Primer 2.

xy sin

Podsetimo se : ako je y = x izvod jex

y2

1 , ali poto unutar korena imamo sinx, funkcija je sloena!

xy sin

xy

sin2

1 (sinx)`

xy

sin2

1 cosx



12/40

Primer 3.

Nai izvod funkcije322 xxey

Znamo da je (ex)`=ex . A poto umesto x-sa imamo izraz x2 + 2x 3, to se znai radi o sloenoj funkciji.

322 xxey

)`32(` 2322

xxey xx

)22(` 322

xey xx

Primer 4.

Nai izvod funkcijex

xy

1

1ln

Od ln x funkcije izvod jex

1, ali ovde je umesto x- sa izraz

x

x

1

1pa radimo kao sloenu funkciju! Dakle:

x

xy

1

1ln

`

1

1

1

1

1`

x

x

x

xy ovde pazimo, jer je (

x

x

1

1)` izvod kolinika!

2)1(

)1)`(1()1)`(1(

1

1

1`

x

xxxx

x

xy

skratimo po 1-x

x

xx

xy

1

11

1

1`

xxy

1

2

1

1

` u imeniocu je razlika kvadrata

21

2y

konano reenje!

ZNAI: Radimo sve isto kao da je elementarna funkcija i pomnoimo sve sa izvodom od onog to je sloeno



13/40

Ako nismo ovo ba razumeli evo tablice izvoda sloene funkcije, y = f(u) a u = g(x) pa je y` = f `(u) g`(x)

1. (u2)`=2u u`2. (un)`=nun-1u`3. (au)`=aulna u`4. (eu)`=euu`5. (logau)`= `

ln

1u

au

6. (lnu)`= `1 uu

7.

`

112

`

uuu

8. `2

1` u

uu

9. (sinu)`=cosu u`10.(cosu)`= - sinu u`11.(tgu)`= `

cos

12

uu

12.(ctgu)`= `sin

12

uu

13.(arcsinu)`= `1

1

2u

u

14.(arccosu)`= - `1

1

2u

u

15.(arctgu)`= `1

12u

u

16.(arcctgu)`= - `1

12u

u



14/40

ZADACI:

1. Nai izvod funkcije a) y = sin5x

b) y = sin 5x

Reenje:

Ovde moramo voditi rauna , sin5x emo raditi kao drugi tablini , jer vai sin5x = (sinx)5 dokemo sin 5x radi

kao deveti tablini, to jest kao sin u, gde je u = 5x

a) y = sin5x b) y = sin 5x

y` = 5sin4x(sinx)` y` = cos5x(5x)`

y` = 5sin4x cosx y` = cos5x 5= 5cos5x

2. Nai izvod funkcijex

xy

sin1

sin1ln

Reenje: Ovde imamo viestruko sloenu funkciju...Najpre idemo izvod ln u, gde je u =x

x

sin1

sin1

x

xy

sin1

sin1ln

)`sin1

sin1(

sin1

sin1

1`

x

x

x

xy

sada radimo izvod `

2

1` u

uu gde je u =

x

x

sin1

sin1

)`sin1

sin1(

sin1

sin12

1

sin1

sin1

1`

x

x

x

x

x

xy

pazi :

x

x

sin1

sin1

je izvod kolinika

2)sin1(

)sin1)`(sin1()sin1)`(sin1(

sin1

sin12

1`

x

xxxx

x

xy

2)sin1(

)sin1(cos)sin1(cos

sin1

sin12

1`

x

xxxx

x

xy



15/40

2)sin1(

sincoscossincoscos

sin1

sin12

1`

x

xxxxxx

x

xy

2)sin1(

cos2

sin1

sin12

1`

x

x

x

xy

pokratimo ta moe...

)sin1)(sin1(

cos`

xx

xy

u imeniocu je razlika kvadrata

xy

2sin1

cos`

znamo da je sin2x + cos2x = 1

xy

2cos

cos`

skratimo cos x

ycos

1`

konano reenje!

3. Nai izvod funkcije y = arc tgx

x

1

1

Reenje: Kako razmiljamo?

Moramo raditi kao (arctgu)`= `1

12u

ugde je u =

x

x

1

1

y = arc tgx

x

1

1

`

2 1

1

1

11

1`

x

x

x

xy pazi :

x

x

1

1je izvod kolinika i odmah ostalosredjujemo

2

2

2 )1(

)1)`(1()1)`(1(

)1(

)1(1

1`

x

xxxx

x

xy



16/40

2

2

22)1(

)1(1)1(1

)1(

)1()1(

1`

x

xx

x

xxy

pokratimo (1-x)2

1

11

2121

1`

22

xxy

sredimo malo...

222

2y

=

)1(2

22x

=)1(

12x

Dakle , konano reenje je: y`=)1(

12x

4. Nai izvod funkcije y = arcsin21

2x

Reenje: Radimo po formuli (arcsinu)`= `1

1

2 uu gde je u =21

2x

y = arcsin21

2x

)`1

2(

)1

2(1

1`

2

2

2

x

x

x

xy

22

2

22

2 )1(

22)1(2

)1(

41

1`

x

xxx

x

x

y

sredjujemo dalje izraz pod korenom...

22

22

22

222 )1(

422

)1(

4)1(

1`

x

xx

x

xx

y

22

2

22

242 )1(

22

)1(

421

1`

x

x

x

xxx

y



17/40

22

2

22

42 )1(

)1(2

)1(

21

1`

x

x

x

xx

y

22

2

22

22 )1(

)1(2

)1(

)1(

1`

x

x

x

x

y

22

2

2

2)1(

)1(2

1

1

1`

x

x

xy

pokratimo... i dobijamo konano reenje

21

2y

Podsetimo se teorijskog dela iz izvoda vieg reda...

Izvodi vieg reda

y``= (y`)` drugi izvod je prvi izvod prvog izvoda

y```=(y``)` trei izvod je prvi izvod drugog izvoda

y(n)

= (yn-1)

)` n-ti izvod je prvi izvod (n-1)-vog izvoda

Znai da ovde praktino nema nieg novog, jer mi ustvari uvek traimo prvi izvod i naravno moramo da

idemo redom , prvi izvod, pa drugi, pa trei itd...

Evo nekoliko primera:

Primer 1.

Odredi drugi izvod sledeih funkcija :

a) 543 2 xxy

b)2x

ey

v)x

y

1

1 www.matematiranje.com


18/40

Reenja:

a) 543 2 xxy

y` = 6x 4

y``= 6

b)2x

ey Pazi , ovo je sloena funkcija...

)`(` 22

xeyx =

2x

e (-2x) = -2x

2x

e evo ga prvi izvod , sad radimo kao izvod proizvoda, a konstanta 2

ostaje ispred

y``= -2[x`2x

e +(

2x

e )`x]

y``= -2[2x

e +(-2x

2x

e )x] pa je y``=-2[

2x

e -2 2x

2x

e ]

y``= -22x

e [1-2 2x ] evo drugog izvoda

v)x

xy

1

1Najpre radimo kao izvod kolinika...

2)1(

)1)`(1()1)`(1(`

x

xxxxy

2)1(

)1(1)1(1`

x

xxy

2)1(

11`

x

xxy

2)1(

2`

xy

sada traimo drugi izvod, ali radi lakeg rada emo napisati 2

2)1(2

)1(

2

xx

i ovo dal

radimo kao sloenu funkciju

3

3

12

2

)1(

4``

)1(4``

)1)(2(2``

)1(2`

xy

xy

xy

xy



19/40

Primer 2.

Data je funkcija f(x)= exsinx.

Dokazati da je tana jednakost: f ``(x) 2f `(x) + 2f(x) = 0

Reenje:

Mi dakle moramo nai prvi i drugi izvod funkcije f(x)= exsinx i to treba da zamenimo u datoj jednakosti!

f(x)= exsinx

f `(x) = (ex)`sinx + (sinx)èx

f `(x) = exsinx + cosx e

x Nali smo prvi izvod, sad traimo drugi...

f ``(x) = (exsinx)` + (cosx e

x)`

f ``(x) = (ex)`sinx + (sinx)è

x+ (cosx)è

x+ (e

x)`cosx

f ``(x) = exsinx + cosx e

x- sinx e

x+ e

xcosx

f ``(x) = 2excosx

Sada se vraamo u poetnu jednakost:

f ``(x) 2f `(x) + 2f(x) = zamenimo

2excosx 2 (e

xsinx + cosx e

x) + 2 e

xsinx =

2excosx 2 e

xsinx -2 cosx e

x+ 2 e

xsinx = sve se potire...=0

Time smo dokazali da je zaista f ``(x) 2f `(x) + 2f(x) = 0



20/40

Primer 3.

Nadji n- ti izvod funkcije:

a) y = e- 2xb) y = sinxReenje:

a) y = e- 2x Pazi, izvod sloene funkcije...y` = e

- 2x(-2x)`= -2 e

- 2x

y`` = -2 (-2 e- 2x

) = 4 e- 2x

y```= 4 (-2 e- 2x

) = -8 e- 2x

yiv

= -8(-2 e- 2x

) = 16 e- 2x

..

Pitamo se kako e izgledati n-ti izvod ?

Tu ve nastaju mali problemi. Iz nekoliko prvih izvoda, najee 5,6 njih mi trebamo nai n-ti izvod.

Probamo da uoimo kako se ponaaju odredjeni lanovi u izvodima.

Recimo, kod ovog primera se e- 2x

javlja u svim izvodima, a ove brojke emo malo prepraviti

y` = -2 e- 2x = (-2)1 e- 2x

y`` = 4 e- 2x

= (-2)2

e- 2x

y```= -8 e- 2x

= (-2)3

e- 2x

yiv

= 16 e- 2x

= (-2)4

e- 2x

Vidimo da (-2) ima onaj stepen koji je izvod u pitanju!

Iz ovoga zakljuujemo da e n-ti izvod biti : y(n)

=(-2)n

e- 2x

Meutim, ovde posao nije gotov. Neki profesori zahtevaju da se ova formula dokae i primenom

matematike indukcije. I u pravu su!

Prouite Matematiku indukciju (naravno na sajtu) i probajte da radi vebe uradite ovaj dokaz.



21/40

b) y = sinx)

2sin(cos`

xxy veza u prvom kvadrantu (pogledaj temu II godina prebacivanje u I kvadrant)

)2

2sin(sin``

xxy

)2

3sin(cos```

xxy

)2

4sin(sin)4( xxy itd.

.

Vidimo da svaki izvod moemo izraziti preko sinusa i jo primeujemo da koji je izvod u pitanju taj je broj

uz2

. Dakle n-ti izvod je )2

sin()(

nxyn

I ovo naravno treba dokazati indukcijom!

NAPOMENA:

Ako funkcije u=u(x) i v=v(x) imaju u taki x0 izvode do reda n, tada njihova linearna kombinacija au + bv ,

gde a i b pripadaju skupu R i njihov proizvod u v imaju takodje izvode do reda n u taki x0 i pri tome vai

1. (au+bv)(n)

=a u(n)

+ b v(n)

2. (uv)(n)

= )()1()2()1()( `1

.......``2

`10

nnnnnuv

n

nvu

n

nvu

nvu

nvu

n

Ova druga formula je poznata i kao Lajbnicova formula!



22/40


23/40

IZVODI ZADACI ( III deo) www.matematiranje.com

Izvodi imaju iroku primenu. O upotrebi izvoda u ispitivanju toka funkcije ( monotonost, ekstremne vrednosti,

prevojne take, konveksnost i konkavnost) bie posebno rei u delu o funkcijama.

Ovde emo pokazati na nekoliko primera kako reavati zadatke u kojima se trai da 'neto' bude

maksimalno ili minimalno.

To su tei zadaci, mogu biti i ispitni na nekim fakultetima. Zahtevaju odlino poznavanje cele srednjokolske

matematike , moramo najee nacrtati sliku i postaviti problem tako to oformimo funkciju sa jednom ili dve

nepoznate i od nje naemo izvod. Kad prvi izvod izjednaimo sa nulom dobijemo traeno reenje.

ZADACI:

1. U krunici poluprenika r upisan je pravougaonik maksimalne povrine. Odrediti dimenzijepravougaonika i maksimalnu povrinu.

Reenje:

Najpre moramo skicirati problem i nai odgovarajuu vezu izmeu podataka:

a

b2r

Znamo da se povrina pravougaonika rauna po formuli P = ab

Na posao je da a ili b izrazimo preko r i to zamenimo u formuli za povrinu.

Primeniemo pitagorinu teoremu na ofarbani trougao:

222)2( bar +=

2224 bar += odavde je 222 4 bra = to jest 224 bra =

P = ab

P = 224 brb Od ove povrine traimo izvod 'po b, ali pazimo jer r moramo tretirati kao konstantu!


24/40

P` = b` 224 br + ( 224 br )`b Pazi , izvod sloene funkcije je ovo! www.matematiranje.com

P` = 224 br + bbr

b2242

2

P`= 224 br +22

2

4 br

b

Nadjemo zajedniki...

P` =22

222

4

4

br

bbr

P` =22

22

4

24

br

br

Sad ovo izjednaimo sa 0. ( Samo brojilac, naravno)

P`= 0 je za 024 22 = br a odavde je b = r 2 , pa to zamenimo u 224 bra = i dobijamo

22 24 rra =

22ra=

2ra = a kako smo ve nali da je 2rb= to zakljuujemo da je traeni pravougaonik ustvari kvadrat ija

je stranica 2ra = , pa e traena povrina biti:

222 2)2( rraP ===

Jedna napomena: Bilo bi nam malo lake da smo umesto funkcije P = 224 brb posmatrali funkciju

P= 4224 brb koju smo dobili kad b uvuemo pod koren. Ili jo bolje da posmatramo neku funkciju ,

nazovimo je recimo f = 4224 brb , koja ima istu maksimalnu vrednost kao i funkcija 4224 brb .

Jo jedna napomena: Kako da znamo da je dobijeno reenje ba maksimum, odnosno minimum?

Trebalo bi nai drugi izvod i to potvrditi jer ako je f ``>0 u nekoj taki , onda je ta taka minimum a ako je

f ``< 0 u nekoj taki ,onda je ta taka maksimum. Ovo ispitujte ako trai Va profesor!

2. U polukrunici poluprenika r upisan je trapez, ija je vea osnovica prenik krunice.Odrediti visinu


25/40

i manju osnovicu trapeza, tako da mu povrina bude maksimalna. www.matematiranje.com

Reenje:

a

b

cc

a-b2

b2

h

r

2r = a

Povrina trapeza se kao to znamo rauna po formuli : hba

P2

+=

Na osenenom trouglu emo primeniti pitagorinu teoremu:

2

22

2

=

brh pa je

4

22 brh =

hba

P2

+= =

2

2 br +

4

22 br malo prisredimo i dobijamo

4

4)2( 22 brbrP

+= moemo odavde traiti izvod ili je moda pametnije da prvo sve uvuemo pod koren...

4

)4()2( 222 brbrP

+=

Sada moemo posmatrati samo funkciju (2r + b)2(4r

2 b

2) koja ima istu maksimalnu vrednost kao i P.

Dakle, obeleimo sa (uzmite neko slovo) G = (2r + b)2(4r

2 b

2) i naimo njen izvod po b

G = (2r + b)2(4r2 b2)

G` = 2(2r + b) (4r2

b2) + (-2b) (2r + b)

2izvuemo zajedniki...

G` = (2r + b)[ 2(4r2

b2) -2b (2r + b)]

G` = (2r + b)[ 8r2

2b2

4rb 2b2]

G` = (2r + b)[ 8r2

4rb 4b2]

Ovo sada izjednaavamo sa 0.


26/40

www.matematiranje.comG` = 0

(2r + b)[ 8r2

4rb 4b2] = 0 odavde je 2r + b= 0 ili 8r

2 4rb 4b

2= 0

Iz 2r + b= 0 dobijamo b= - 2r to je oigledno nemogue, pa dakle mora biti:

8r2 4rb 4b2= 0 podelimo sve sa 4

2r2 rb b2= 0 napravimo proizvod ( Ima objanjeno u delu I godina,na sajtu), a moe da se radi i kao

kvadratna...

(r - b)(b + 2r ) = 0 Odavde je oigledno r = b

4

22 brh = pa kad zamenimo r = b dobijamo

2

3rh=

hba

P2

+= =

2

2 rr +

2

3r=

2

3r

2

3r=

4

33 2r

3. Odrediti dimenzije pravog krunog valjka , maksimalne zapremine, koji se moe upisati u pravukrunu kupu poluprenika R i visine H.

Reenje:

R

rH

x

H-x

rA

B

C

PQ

Naravno, prvo nacrtamo sliku

Uoimo trouglove BCA i BQP. Oni su oigledno slini, pa su odgovarajue stranice proporcionalne:


27/40

www.matematiranje.comCA : QP = BC : BQ to jest

R : r = H : ( H-x ) gde je sa x obeleena visina valjka ( vidi sliku)

R(H x) = rH

RH Rx = rH

RH rH = Rx i odavde jeR

HrRx

)( =

Znamo da se zapremina valjka rauna po formuli : V = r2Hv to jest ,poto smo visinu obeleili sa x

V = r2x

V = r2R

HrR )( sredimo ovo i nadjimo izvod po r

V =R

HrRr )( 32 Pazi , kad radimo izvod po r , sve ostale nepoznate su kao konstante!

V `=R

HrrR )32( 2sada ovo izjednaimo sa 0 . Dakle V` = 0 za

R

HrrR )32( 2= 0 to jest

2rR 3 r2

= 0

r(2R 3r) = 0 pa je odavde3

2Rr = , vratimo ovo u

R

HrRx

)( = i dobijamo

3

Hx=

Vmax = (3

2R)2

3

H=

27

4 2 HR

4. Meu svim pravim kupama opisanim oko lopte poluprenika R , odrediti onu ija je zapreminaminimalna.

Reenje:

Kao i obino, prvo moramo nacrtati sliku:


28/40

R

R

r

H-R s

OA

B

M

N

.

.

Uoimo trouglove OAB i MNB. Oni su slini jer imaju po dva ista ugla. Iz njihove slinosti sledi

proporcionalnost odgovarajuih stranica.

OA : MN = AB : BN Znamo da je s2 = r2 + H2 to jest 22 Hrs +=

r : R = 22 Hr + : (H R)

r(H R) = R 22 Hr + kvadriramo

r2(H R)

2= R

2(r

2+ H

2) sredimo i izrazimo H...

22

22

Rr

RrH

=

Zapremina kupe se rauna po formuli : V =3

1r

2H Ovde zamenimo H to smo izrazili...

V =3

1r2H

V =3

1r2

22

22

Rr

Rr

malo prisredimo...

V =3

222

4

Rr

Rr

odavde traimo izvod po r i pazimo, jer je R kao konstanta i u pitanju je izvod kolinika!



29/40

V `=3

2222

4223

)(

)(2)(4

Rr

RrrRrRr

V ` =3

2222

5335

)(

244

Rr

RrRrRr

V ` =3

2222

335

)(

42

Rr

RrRr

naravno V `= 0

2 r5R 4r

3R

3= 0 pa je odavde

2r3R (r

2-2R

2) = 0 to jest r

2-2R

2= 0 pa je r = 2 R , vratimo se da nadjemo H

22

2

2RrRrH =

= 4R , dakle H = 4R

V =3

1r2H kad zamenimo r i H dobijamo:

Vmin=3

1( 2 R)24R

Vmin=3

8R3

5. Date su take A(0,a) i B(0,b), gde je 0 < a < b. Odredi koordinatu x take C(x,0) gde je x > 0 tako

da se du AB vidi pod maksimalnim uglom iz take C.

Reenje:

I ovde emo najpre nacrtati sliku i postaviti problem:



30/40

A(0,a)

B(0,b)

C(x,0)

..

.

max

ugao

Ideja je da koristimo formulicu za ugao izmeu dve prave

21

12

1 kk

kktg

+

= .

Nai emo koeficijente pravca za pravu AC i za pravu BC.

Iskoristiemo formulicu12

12

xx

yyk

= .

Za pravu AC je12

121

xx

yyk

= =

0

0

x

a=

x

a

Za pravu BC je12

122

xx

yyk

= =

0

0

x

b=

x

b

Sada je21

12

1 kk

kktg

+

= =

bax

a

x

b

+

+

1

= sredimo =ab

bax

+

2

)(znai da je :

=tgab

bax

+

2

)(odnosno = arctg

ab

bax

+

2

)(Sad od ovog traimo izvod:

= arctgab

bax

+

2

)(

`

22

2

)(

)(1

1`

+

+

+

=abx

bax

abx

bax www.matematiranje.com


31/40

22

22

22

2222)(

2)(

)(

)()(

1`

abx

xabxba

abx

baxabx +

+

+

++= pokratimo i spakujemo

2222

2

)()(

))((`

baxabx

xabba

++

= Sad ovo izjednaimo sa 0, naravno samo brojilac!

ab x2

= 0 pa je x2

= ab odnosno traeno reenje je x = ab

Dakle koordinata x je geometrijska sredina koordinata a i b !

ZA RADOZNALE: POGLEDAJ PROBLEM SLIKA NA ZIDU I PRIMENI OVO REENJE!



32/40

IZVODI ZADACI ( IV deo)

LOGARITAMSKI IZVOD

Logaritamskim izvodom funkcije y = f(x) , gde je y>0 i y 1 , nazivamo izvod logaritma te funkcije, to jest:

(ln y )`=)(

)`(`

xf

xf

y

y=

Primer 1.

Nadji izvod funkcije y = xx

Reenje: Najpre emo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to bee prirodni logaritam za osnovu e) a zatim emo

primeniti jedno od pravila vezana za logaritme: ln An = n ln A

y = xx logaritmujemo

ln y = ln xx ovo x u izloiocu ide ispred logaritma...

ln y = x ln x sada diferenciramo ( pazi, na desnoj strani je izvod proizvoda)

yy = x` lnx + (ln x)` x

y

y= ln x +

x

1x skratimo x

y

y= ln x + 1 sada sve pomnoimo sa y

y` = y( lnx + 1) ovde zamenimo y sa xx

y` = xx( lnx + 1) je konano reenje!

Primer 2.

Nadji izvod funkcije y = (cosx)sinx

Postupak je isti: logaritmujemo, pa pravilo za log., pa sredjujemowww.matematiranje.com


33/40

Reenje:

y = (cosx)sinx

ln y = ln (cosx)sinx prebacimo sinx ispred logaritma

lny = sinx ln(cosx) sada diferenciramo

y

y

= (sinx)` ln(cosx) + [ln(cosx)]` sinx Pazi ln(cosx) je izvod sloene funkcije

y

y= cos x ln(cosx) +

xcos

1(cosx)` sinx

y

y= cos x ln(cosx) +

xcos

1(-sinx) sinx prisredimo malo

y

y= cos x ln(cosx) -

x

x

cos

sin 2sve pomnoimo sa y

y` = y [cos x ln(cosx) -x

x

cos

sin 2] zamenimo y = (cosx)sinx

y` = (cosx)sinx

[cos x ln(cosx) -x

x

cos

sin 2] je konano reenje

Primer 3.

Nadji izvod

x

x

xy

sinln

=

Reenje:

x

xxy

sin

ln

= logaritmujemo

lny = lnx

x

xsin

ln

lny = sinx ln

x

xlndiferenciramo, pazimo jer na desnoj strani je izvod proizvoda a ima i sloena funkcija...



34/40

y

y= (sinx)`ln

x

xln+ [ln

x

xln]` sinx

y

y= cosx ln

x

xln+ )`

ln(

ln1

x

x

x

xsinx pazi

x

xlnmora kao izvod kolinika

y

y= cosx ln

x

xln+

x

x

ln 2

)ln1

( xxx

sinx

y

y= cosx ln

x

xln+

x

x

ln

2

)ln1( xsinx skratimo po jedno x i sredimo

y

y= cosx ln

x

xln+

xx

x

ln

)ln1( sinx sve pomnoimo sa y

y` = y [cosx ln

x

xln+

xx

x

ln

)ln1( sinx] zamenimo

x

x

xy

sinln

=

y` =

x

x

xsin

ln

[cosx ln

x

xln+ xx

x

ln

)ln1( sinx] kraj zadatka

IZVOD FUNKCIJE DATE U PARAMETARSKOM OBLIKU

Ako u funkciji y=f(x) promenljive x i y zavise od parametra t ( x=x(t) i y=y(t) ) , prvi izvod funkcije y=f(x) se

rauna po formuli :

`

``

t

tx

x

yy =



35/40

Primer 1.

Izraunati prvi izvod funkcije zadate u parametarskom obliku: x = 2t t2 i y = 4t t3

Reenje:

x = 2t t2 odavde je x`t = 2 2t

y = 4t t3 odavde je y`t = 4 3t2

Sada x`t i y`t ubacimo u formulu:

`

``

t

tx

x

yy = =

234

22

t

t

i evo reenja!

Primer 2.

Izraunati prvi izvod funkcije zadate u parametarskom obliku: x = r cost y = r sint

Reenje: ( pazimo jer r je kao konstanta poto radimo po t )

x = r cost x`t = - r sin t

y = r sint y`t = r cost

`

``

t

tx

x

yy = =

tr

tr

sin

cos= skratimo r =

t

t

sin

cos= - ctg t konano reenje

Primer 3.

Izraunati prvi izvod funkcije: x = cost +t sint i y = sint t cost

Reenje:

x = cost +t sint odavde je x`t = - sint + [ t`sint + (sint)`t] = - sint + sint + t cost = t cost

y = sint t cost pa je y`t = cost [t` cost + (cost)` t] = cost cost + t sint = t sint

`

``

t

tx

x

yy = =

tt

tt

cos

sin=

t

t

cos

sin= tg t



36/40

IZVOD IMPLICITNO ZADATE FUNKCIJE

Kada je funkcija y = f(x) zadata u implicitnom obliku F(x,y) = 0, njen prvi izvod dobijamo iz relacije:

),( yxFdx

d= 0

Primer 1.

Izraunati prvi izvod funkcije: x3 2y y2= 0

Reenje:

Obeleimo sa F(x,y) = x3 2y y2

ta je ovde tos?

Od lanova sa x-som traimo normalno izvode, a kod onih gde se javlja i y (ipsilon) nadjemo izvod i dodamo

jo y`. Tako da u naem primeru od x3 izvod je 3x2, od y izvod je 1y` a od y2 je izvod 2yy`. Dakle:

F(x,y) = x3 2y y2

),( yxF

dx

d= 3x2- 2y` - 2yy` pa sad ovo izjednaimo sa 0

3x2- 2y` - 2yy`= 0 odavde sada izrazimo y` i to je to .

3x2 = 2y` + 2yy`

3x2 = 2y`(1+y) pa je y`=)1(2

3 2

y

x

+konano reenje

Primer 2.

Izraunati prvi izvod funkcije: x2+ xy + y

2+ 6 = 0

Reenje:

F(x,y) = x2+ xy + y2 + 6

Pazimo : xy mora kao izvod proizvoda !www.matematiranje.com


37/40

),( yxFdx

d= 2x + y + xy` + 2yy`

2x + y + xy` + 2yy`= 0 odavde moramo da izrazimo y`

xy` + 2yy` = - 2x y

y`(x + 2y) = -2x y pa je y` =yx

yx

2

2

+

konano reenje

Primer 3.

Izraunati prvi izvod funkcije: exy

= x3

y3

Reenje:

Moemo odmah diferencirati , a moemo prvo oformiti funkciju F(x,y), kako vie volite!

Mi emo odmah diferencirati :

exy = x3 y3

exy(xy)` = 3x2 3y2y`

exy(y + xy`) = 3x2 3y2y`

exyy + exy xy` = 3x2 3y2y` sada da izrazimo y`

exy

xy` + 3y2

y` = 3x2

- exy

y

y`( exy x + 3y2) = 3x2 - exyy pa je odavde

y` =2

2

3

3

yxe

yexxy

xy

+

konano reenje

Primer 4.

Izraunati prvi izvod funkcije: xy

yx

= 0

Ovde je malo tea situacija, jer moramo da logaritmujemo funkciju pa tek onda da traimo izvod.

xy = yx logaritmujemo

ln xy = ln yx izloioce prebacimo ispred ln...www.matematiranje.com


38/40

y lnx = x lny sada izvod , ali kao izvod proizvoda!

y`lnx + yx

1= lny +

y

1y`x

y` lnx -y

xy` = lny -

x

y

y` (lnx -y

x) = lny -

x

yi izrazimo y`

y` =

y

xx

x

yy

ln

ln konano reenje

IZVOD INVERZNE FUNKCIJE

Neka funkcija f ima prvi izvod razliit od 0 na nekom intervalu i neka je g njena inverzna funkcija . Tada i g

ima izvod i pri tome vai:

))(`(

1)`(

xgfxg =

esto se ova formula zapisuje u obliku :

`` 1

y

x

x

y = a moe i x`y y`x = 1

Primer 1.

Ako je y = arcsin x , -1x1,22

y , da nadjemo izvod od y !

Poto je y = arcsin x , tada je x = siny , primenimo`

` 1

y

xx

y = i dobijamo:



39/40

(arcsinx)` =)`(sin

1

y=

ycos

1= {sad iskoristimo da je sin2y + cos2y = 1 to jest cosy = y2sin1 }=

=y2sin1

1

= { sad vratimo da je siny = x } =

21

1

x

Znai, dobili smo da je (arcsinx)` =21

1

x

Primer 2.

Ako je y = arctg x i 0 i


40/40

(logax)` =)`(

1ya

= znamo da je izvod od ay= aylna =

=aay ln

1= i sad samo zamenimo da je x = ay

=axln

1

Dakle : (logax)`=axln

1


Izvodi_zadaci

Documents