IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji

3. Sabilnost konstrukcija 1

6. STABILNOST KONSTRUKCIJA

IV časDr Marija Nefovska-Danilović


6.6 Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji oblik matrice

krutosti koji se zasniva na rešenju diferencijalne jednačine linearne teorije štapa.

Ta matrica predstavlja približno rešenje po Teoriji II reda.

Dobija se iz varijacije potencijalne energije štapa.


Geometrijsku matricu krutosti dobijamo tako što umesto tačnog rešenja za funkciju pomeranja v(x)po linearizovanoj teoriji II reda, koje se dobija iz diferencijalne jednačine:

usvajamo funkciju pomeranja v(x) koja je rešenje diferencijalne jednačine po Teoriji I reda:

2 0IV IIv k v

4

4 0d vdx


Polazeći od funkcije pomeranja po Teoriji I reda, iz stava o stacionarnosti potencijalne energije, izvešćemo geometrijsku matricu krutosti štapa.

xl

q1, R1

q2, R2

q3 , R3

q4 , R4


6.6.1 Rešenje diferencijalne jednačine štapa po Teoriji I reda Rešenje homogenog dela diferencijalne

jednačine štapa po Teoriji I reda je u obliku kubnog polinoma:

1

22 3

3

4

( ) 1v x x x x A

4

4 0d vdx


Obrtanja poprečnog preseka duž ose štapa su prvi izvoda pomeranja:

4

3

2

1

23210)(

xxdxdvx


Integracione konstante i , i=1,2,3,4 se određuju iz graničnih uslova štapa:

42

324

43

32

213

22

11

32)(

)(

)0()0(

llql

lllqlvv

qqvv

k

k

i

i

lx

q1

q2

q3q4


U matričnom obliku granični uslovi glase:

1 1

2 22 3

3 32

4 4

(0) 1 0 0 0(0) 0 1 0 0( ) 1( ) 0 1 2 3,

q vqq v l l l lq l l l

odnosnoq C


Odavde se dobija:

4

3

2

1

2323

22

4

3

2

1

1

1212

132300100001

:

qqqq

llll

llll

oblikurazvijenomuiliqC


Zamenom { } u izraz za pomeranje v(x) dobija se da je:

gde je matrica interpolacionih polinoma:

1( )

( ) ( )

v x A C q

v x N x q

1

(1,4 ) (1,4 ) ( 4,4 )( )N x A C

1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )N x N x N x N x N x


Interpolacioni polinomi Ni(x) suL’Hermit-ovi (Ermitovi) polinomi I vrste:

2 3 2 3

1 22 3 2

2 3 2 3

3 42 3 2

( ) 1 3 2 ( ) 2

( ) 3 2 ( )

x x x xN x N x xll l l

x x x xN x N xll l l


Ermitovi polinomi Ni(x) su kubni polinomi i predstavljaju elastične linije ubostrano uklještene grede po Teoriji I reda, usled jediničnih generalisanih pomeranja qi = 1.

4

1( ) ( )i i

iv x N x q


Ako je pomeranje tačke na osi štapa:

Onda su obrtanja i drugi izvodi pomeranja:

( ) ( )

( ) ( )

v x N x q

v x N x q

( ) ( )v x N x q (C)


Stav o stacionarnosti potencijalne energije

Ravnoteža sila na deformisanoj konfiguraciji postoji kada potencijalnaenergija ima minimalnu vrednost:

A je je energija deformacije Rs je rad spoljašnjih sila

0sA R


Potencijalna energija deformacije štapa

Na diferencijalno malom elementu štapa pored energije deformacije usled momenta savijanja M, javlja se i deformacioni rad momenta nastalog usled aksijalne sile S, koji je jednak Sdx


Potencijalna energija (deformacioni rad) štapa pri savijanju A jednaka je:

Rad sila na krajevima štapa:

2

0 0

2 2

0 0

1 1 ( )2 2

1 1( ) ( )2 2

l l

l l

A M dx S dx

A EI v dx S v dx

TsR q R


Potencijalna energija štapa: =A – Rs

Za element sa konstantnim poprečnim presekom i konstantnom silom S:

2 2

0 0

1 1( ) ( )2 2

l lTEI v dx S v dx q R

0 0

1 12 2

l lTEI v v dx S v v dx q R


Ako pomeranja unutar elementa izrazimo preko pomeranja čvorova, j-na (C), dobija se:

0

0

12

1 2

lTT

lTT T

q EI N N dx q

q S N N dx q q R

(D)


Iz stava o minimumu potencijalne energije iz j-ne (D) se dobija:

0 0

0

:

K K

l lT T

g

EI N N dx q S N N dx q R

ili skraćeno

q R

0q


Ko je matrica krutosti štapa po Teoriji I reda Kg je geometrijska matrica krutosti štapa:

00

0

K

K

lT

lT

g

EI N N dx

S N N dx

*znak – je za pritisak, znak + je za zatezanje


U razvijenom obliku je:

1

20 1 2 3 4(4,4)

30

4

1

21 2 3 4(4,4)

30

4

K

K

l

l

g

NN

EI N N N N dxNN

NN

S N N N N dxNN


Matrica krutosti štapa po Teoriji I reda dobijena integracijom interpolacionih funkcija je:

2 2

0 3

2

12 6 12 64 6 2

K12 6

4

l ll l lEI

llsim l


1

21 2 3 4(4,4)

30

4

,

,0

K

Element K jednak je:

K

l

g

g mn

lT

g mn m n

NN

S N N N N dxNN

S N N dx

6.6.2 Geometrijska matrica krutosti pritisnutog štapa


Određivanje Kg,11

,11 1 10

2 3 2

1 12 3 2 3

22 2 3 4

,11 2 3 3 4 50 0

3 4 5

,11 03 4 5

K ( )

( ) 1 3 2 ( ) 6 6

36K 6 6 2

36 36 1 1 1 36K 23 2 5 303 4 5

lT

g

l l

g

lg

S N N dx

x x x xN x N xl l l l

x x S x x xS dx dxll l l l l

S x x x S Sl ll l l

l


2 2

g

2

36 3 36 34 3

K36 330

4

l ll l lS

llsim l

Za pritisnuti štap je S<0

Na sličan način se dobijaju i ostali elementi:


6.6.3 Geometrijska matrica krutosti zategnutog štapa

Za zategnut štap je S>0

2 2

g

2

36 3 36 34 3

K36 330

4

l ll l lS

llsim l


6.6.4 Matrica krutosti štapa

Ukupna matrica krutosti štapa po Teoriji II reda-približno rešenje, je:

Ona predstavlja aproksimativno rešenje, jer je dobijena iz funkcije pomeranja v(x) koja predstavlja rešenje diferencijalne jednačine savijanja po Teoriji I reda.

Zavisi od intenziteta sile S i dužine štapa.

0 gK K K


U prethodnom delu izvedena je geometrijska matrica krutosti na savijanje. Matrica krutosti za aksijalno naprezanje je ista kao u Teoriji I reda, tako da se matrica krutosti štapa u ravni dobija kombinacijom ove dve matrice na uobičajen način.


Osnovna jednačina štapa po linearizovanoj teoriji II reda, približno rešenje glasi:

gde je Q – vektor ekvivalentnog opterećenja po lin. teoriji II reda

0 gR = K + K q - Q


6.6.5 Matrica krutosti štapa (aksijalno naprezanje+savijanje)

2 2

2 2

0 3 2

2

/ 0 0 / 0 012 6 0 12 6

4 0 6 2/ 0 0

12 64

Fl I Fl Il ll l lEI

l Fl Isim l

l

K

Matrica krutosti štapa po Teoriji I reda


Geometrijska matrica krutosti štapa

znak – je za pritisak, znak + je za zatezanje

2 2

2

0 0 0 0 0 036 3 0 36 3

4 0 30 0 030

36 34

l ll l lS

lsim l

l

gK


6.6.6 Geometrijska matricakrutosti prostog štapa

q2q1q3

q4

S S

R3=S

R1 = S -R2

R4

4 2 4 2R R S q ql

l


Matrice krutosti prostog štapa (Ko+Kg)

0

1 0 1 00 0 0 01 0 1 0

0 0 0 0

EFl

K

g

0 0 0 00 1 0 10 0 0 00 1 0 1

Sl

K

- matrica krutosti

- geometrijska matrica

(-S-pritisak, +S-zatezanje)


Osobine geometrijske matrice krutosti: Zavisi samo od aksijalne sile i dužine štapa, Zatezanjem štapa povećava se poprečna krutost, Povećanjem sile pritiska smanjuje se poprečna

krutost štapa, tako da poprečno opterećenje malog intenziteta može izazvati gubitak stabilnosti (izvijanje) štapa.

Ima veliku primenu kod provere stabilnosti konstrukcija, zbog svoje jednostavnosti.

IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović fileSTABILNOST KONSTRUKCIJA IVčas Dr Marija Nefovska-Danilović. 3. Sabilnost konstrukcija 2 6.6Geometrijska matrica krutosti Za primenu je pogodniji

Documents