IV.8 İkiden Fazla Bağımsız Grup Karşılaştırması ile İlgili Parametrik veya Parametrik Olmayan Test Teknikleri ve SPSS Programı ile Kullanımı (Tek Faktör Varyans Analizi, OneWay ANOVA) : Bağımlı değişken olsun. Bağımlı değişkeni etkileyen tek bağımsız değişken (faktör, gruplama değişkeni) olduğunu kabul edelim. Bağımlı değişken nicel, sürekli ve eşit aralıklı veya oranlama düzeyinde ölçülmüş iken, faktör ise genellikle nitel (bazen nicel de olabilir) türden ve ölçme düzeyi sınıflama ya da sıralama düzeyinde ölçülmüş olsun. Bu takdirde söz konusu faktörün (bağımsız değişkenin) bağımlı değişken üzerinde etkisinin önemli olup olmadığını belirlemek için uygulanan istatistiksel analize Tek Faktör Varyans Analizi denir. Faktörün alabileceği değerlere faktör düzeyi adı verilir ve her bir faktör düzeyi birbirinden bağımsız olan farklı bir grubu gösterir. Bu sebeple faktör düzeylerine bağımsız gruplar da denir. Bu sebeple faktörün bağımlı değişken üzerindeki etkisinin önemli olup olmadığını araştırmak, bağımsız grupların ortalamalar bakımından farklılık gösterip göstermediğini araştırmakla eş anlamlıdır. Bu araştırmayı yapmak için geliştirilmiş olan parametrik ve parametrik olmayan teknikler vardır. Bu tekniklerden ikisi; i) Friedman’ın -Testi ( parametrik teknik) ii) Kruskal-Wallis -testi (parametrik olmayan teknik) olarak bilinir. IV.8.1 Tek Faktör Varyans Analizi, Friedman’ın F-Testi ve Çoklu Karşılaştırmalar İkiden fazla bağımsız grubun ortalamaları yönünden karşılaştırılması olarak bilinen tek faktör varyans analizinde, kabul edelim ki faktörün düzey sayısı (bağımsız grupların sayısı) tane (>2) olsun. Değişkenlerle ilgili olarak yukarıda belirtilen özelliklere ilaveten, tek faktör varyans analizi ile bu grupların ortalamaları yönünden karşılaştırmada bir parametrik teknik olan F-testinin kullanılabilmesi için sağlanması gereken varsayımlar: i) Bağımsız grupların bağımlı değişkene göre dağılımları normal olmalı ii) Gruplar homojen varyanslı (yani grupların ortak varyansa sahip) olması gereklidir. Buna göre: Grup:1 için 1 ~( 1 , 1 2 ) Grup:2 için 2 ~( 2 , 2 2 ) . . Grup:için ~( , 2 )
16
Embed
IV.8 İkiden Fazla Bağımsız Grup Karılatırması ile İlgili ... · IV.8.1 Tek Faktör Varyans Analizi, Friedman’ın F-Testi ve Çoklu Karılatırmalar İkiden fazla bağımsız
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
IV.8 İkiden Fazla Bağımsız Grup Karşılaştırması ile İlgili Parametrik veya
Parametrik Olmayan Test Teknikleri ve SPSS Programı ile Kullanımı (Tek
Faktör Varyans Analizi, OneWay ANOVA)
𝑋: Bağımlı değişken olsun. Bağımlı değişkeni etkileyen tek bağımsız değişken (faktör,
gruplama değişkeni) olduğunu kabul edelim. Bağımlı değişken nicel, sürekli ve eşit aralıklı
veya oranlama düzeyinde ölçülmüş iken, faktör ise genellikle nitel (bazen nicel de olabilir)
türden ve ölçme düzeyi sınıflama ya da sıralama düzeyinde ölçülmüş olsun. Bu takdirde söz
konusu faktörün (bağımsız değişkenin) bağımlı değişken üzerinde etkisinin önemli olup
olmadığını belirlemek için uygulanan istatistiksel analize Tek Faktör Varyans Analizi denir.
Faktörün alabileceği değerlere faktör düzeyi adı verilir ve her bir faktör düzeyi birbirinden
bağımsız olan farklı bir grubu gösterir. Bu sebeple faktör düzeylerine bağımsız gruplar da
denir. Bu sebeple faktörün bağımlı değişken üzerindeki etkisinin önemli olup olmadığını
araştırmak, bağımsız grupların ortalamalar bakımından farklılık gösterip göstermediğini
araştırmakla eş anlamlıdır. Bu araştırmayı yapmak için geliştirilmiş olan parametrik ve
parametrik olmayan teknikler vardır. Bu tekniklerden ikisi;
i) Friedman’ın 𝐹-Testi ( parametrik teknik)
ii) Kruskal-Wallis 𝐻-testi (parametrik olmayan teknik)
olarak bilinir.
IV.8.1 Tek Faktör Varyans Analizi, Friedman’ın F-Testi ve Çoklu
Karşılaştırmalar
İkiden fazla bağımsız grubun ortalamaları yönünden karşılaştırılması olarak bilinen tek faktör
varyans analizinde, kabul edelim ki faktörün düzey sayısı (bağımsız grupların sayısı) 𝑘 tane
(𝑘 > 2) olsun. Değişkenlerle ilgili olarak yukarıda belirtilen özelliklere ilaveten, tek faktör
varyans analizi ile bu grupların ortalamaları yönünden karşılaştırmada bir parametrik teknik
olan F-testinin kullanılabilmesi için sağlanması gereken varsayımlar:
i) Bağımsız grupların bağımlı değişkene göre dağılımları normal olmalı
ii) Gruplar homojen varyanslı (yani grupların ortak varyansa sahip) olması gereklidir.
Buna göre:
Grup:1 için 𝑋1~𝑁(𝜇1, 𝜎12)
Grup:2 için 𝑋2~𝑁(𝜇2, 𝜎22)
.
.
Grup:𝑘 için 𝑋𝑘~𝑁(𝜇𝑘, 𝜎𝑘2)
şeklinde gösterilir.
Grupların bağımlı değişkene göre dağılımlarının normal dağılım ile uyumlu olup olmadığı her
bir grup için ayrı ayrı normallik testi olan Shapiro-Wilk testi ile kontrol edilebilir. Bu
durumda test edilecek hipotezler:
𝐻0: 𝑗.nci grup, 𝑁(𝜇𝑗 , 𝜎𝑗2) dağılımı ile uyumludur (𝑗 = 1, 2, … , 𝑘)
𝐻1: 𝑗.nci grup, 𝑁(𝜇𝑗 , 𝜎𝑗2) dağılımı ile uyumlu değildir (4.27)
şeklinde oluşturulur. Eğer 𝑝 < 𝛼 ise 𝐻0 ret edilir ve 𝑝 ≥ 𝛼 ise 𝐻0 ret edilemez.
Grupların homojen varyanslı olup olmadığı ise Levene testi ile kontrol edilebilir. Bu durumda
test edilecek hipotezler:
𝐻0: 𝜎12 = 𝜎2
2 = ⋯ = 𝜎𝑘2 = 𝜎2
𝐻0: En az bir 𝜎𝑗2 diğerlerinden farklıdır (4.28)
şeklinde oluşturulur. Eğer 𝑝 < 𝛼 ise𝐻0 ret edilir ve 𝑝 ≥ 𝛼 ise 𝐻0 ret edilemez.
Tek faktör varyans analizinde F-testi ile 𝑘 tane bağımsız grubun ortalamalar yönünden
farklılık gösterip göstermediği ortalamalar üzerinde bir hipotez testi ile kontrol edilir. Bu
durumda test edilecek hipotezler:
𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 = ⋯ = 𝜇𝑘 = 𝜇
𝐻1 ∶ En az bir 𝜇𝑗 diğerlerinden farklı (4.29)
şeklinde kurulur. Bu hipotezleri test etmek için her bir gruptan 𝑛𝑗 (𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑘) birimlik
örnekler çekilir ya da her bir faktör düzeyinde 𝑛𝑗 (𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑘) tane deneme (deney) yapılır.
Bu durumda elde edilen sonuçlara göre örneklem veri düzeni Tablo 4.33’de verildiği gibi
olacaktır. Burada 𝑋𝑗𝑖 : Faktörün 𝑗.nci düzeyinde 𝑖.nci birime ait bağımlı değişken değeridir.
Tablo 4.33 Tek Faktör Varyans Analizi Veri Düzeni Tablosu
GRUPLAR(FAKTÖR)
𝑖 1 2 …… j … k
1 2 ⋮
𝑛𝑗
𝑋11
𝑋12
⋮ 𝑋1𝑛1
𝑋21
𝑋22
⋮ 𝑋2𝑛2
………
𝑋𝑗1
𝑋𝑗2
⋮ 𝑋𝑗𝑛𝑗
………
𝑋𝑘1
𝑋𝑘2
⋮ 𝑋𝑘𝑛𝑘
𝑇𝑗 . 𝑇1 . 𝑇2 . …… 𝑇𝑗 . ….. 𝑇𝑘 .
𝑛𝑗 𝑛1 𝑛2 …….. 𝑛𝑗 …… 𝑛𝑘
𝑋𝑗 . 𝑋1 . 𝑋2 . …….. 𝑋𝑗 . …….. 𝑋𝑘 .
𝐻0 hipotezini test etmek için gerekli olan işlemler ve test istatistiği ANOVA Tablosu adı
verilen Tablo 4.34’de özet olarak verilmiştir.
Tablo 4.34 Tek Faktör Varyans Analizi ANOVA Tablosu
Varyans
Kaynağı
Serbestlik
derecesi
Kareler
Toplamı
(KT)
Kareler
Ortalaması
(KO)
Test İstatistiği
Gruplar Arası
(𝐺𝐴)
𝑘 − 1
𝐺𝐴𝐾𝑇
𝐺𝐴𝐾𝑂= 𝐺𝐴𝐾𝑇
𝑘−1
𝐹 =𝐺𝐴𝐾𝑂
𝐻𝐾𝑂~ 𝐹𝑘−1;𝑁−𝑘
Hata (𝐻)
𝑁 − 𝑘
𝐻𝐾𝑇
𝐻𝐾𝑂=𝐻𝐾𝑇
𝑁−𝑘
Genel (𝐺)
𝑁 − 1
𝐺𝐾𝑇
Burada hesaplamalarda
𝑁 = ∑ 𝑛𝑗𝑘𝑗=1 : Örneklemdeki tüm birim sayısı
𝐺𝐾𝑇: Genel Kareler toplamı
𝐺𝐾𝑇 = ∑ ∑ (𝑋𝑗𝑖 − 𝑋. .)2𝑛𝑗
𝑖=1𝑘𝑗=1 = ∑ ∑ 𝑋𝑗𝑖
2𝑛𝑗
𝑖=1𝑘𝑗=1 −
𝑇. .2
𝑁 (4.30)
𝐺𝐴𝐾𝑇 : Gruplar Arası Kareler Toplamı
𝐺𝐴𝐾𝑇 = ∑ 𝑛𝑗(𝑋𝑗 . − 𝑋. .)2
= ∑𝑇𝑗 .
2
𝑛𝑗− 𝑘
𝑗=1𝑘𝑗=1
𝑇. .2
𝑁 (4.31)
𝐻𝐾𝑇 : Hata Kareler Toplamı
𝐻𝐾𝑇 = ∑ ∑ (𝑋𝑗𝑖 − 𝑋𝑗 .)2𝑛𝑗
𝑖=1=𝑘
𝑗=1 ∑ ∑ 𝑋𝑗𝑖2𝑛𝑗
𝑖=1𝑘𝑗=1 − ∑
𝑇𝑗 .2
𝑛𝑗
𝑘𝑗=1 = 𝐺𝐾𝑇 − 𝐺𝐴𝐾𝑇 (4.32)
𝑋𝑗 . : Faktörün 𝑗.nci düzeyine ait örnek ortalaması
𝑋𝑗 . =1
𝑛𝑗∑ 𝑋𝑗𝑖 =
𝑇𝑗 .
𝑛𝑗
𝑛𝑗
𝑖=1 ,(𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑘) (4.33)
𝑇𝑗 . = Faktörün 𝑗.nci düzeyine ait gözlemlerin toplamı
𝑇𝑗 . = ∑ 𝑋𝑗𝑖𝑛𝑗
𝑖=1 ,(𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑘) (4.34)
∑ ∑ 𝑋𝑗𝑖𝑛𝑗
𝑖=1𝑘𝑗=1 : Tüm örneklemdeki gözlem değerlerinin toplamı
𝑇. . = ∑ ∑ 𝑋𝑗𝑖𝑛𝑗
𝑖=1𝑘𝑗=1 = ∑ 𝑇𝑗 .
𝑘𝑗=1 (4.35)
𝑋. . : Tüm örneklem için örnek ortalaması (Genel örnek ortalaması)
𝑋. . =1
𝑁∑ ∑ 𝑋𝑗𝑖
𝑛𝑗
𝑖=1𝑘𝑗=1 =
𝑇. .
𝑁 (4.36)
bağıntıları kullanılır. Örneklemden 𝐻0 hipotezi altında test istatistiğinin aldığı değer
𝐹ℎ =𝐺𝐴𝐾𝑂
𝐻𝐾𝑂 olsun. 𝑃𝑟(𝐹 ≥ 𝐹ℎ) = 𝑝 diyelim.
Karar: 𝛼 önem seviyesi olmak üzere, eğer 𝑝 ≥ 𝛼 oluyorsa 𝐻0 kabul edilir. Bu karara göre
tüm grupların ortalamaları birbirine eşit olup, %(1- 𝛼) güvenle faktör düzeylerinin bağımlı
değişken üzerine etkileri aynıdır.
Eğer 𝑝 < 𝛼 oluyorsa 𝐻0 ret edilir. Bu karara göre gruplardan en az birisinin ortalaması
diğerlerinden farklı olup, %(1- 𝛼) güvenle faktör düzeylerinden en az birisi bağımlı değişken
üzerine diğerlerine göre farklı etki yapmaktadır.
𝐻0 ret edildiği zaman hangi grupların farklılık gösterdiği bulunmak istenebilir. Bu amaçla
çoklu karşılaştırma (Post Hoc) adı verilen istatistiksel tekniklerden yararlanılır.
Çoklu Karşılaştırma Teknikleri (Post Hoc)
Varyans analizinde 𝐻0 ret edildiğinde, bu kararın ortaya çıkmasında hangi grup/grupların
etkili rol oynadığını, yani ortalamalar bakımından farklılık gösteren grupları ya da bağımlı
değişkene farklı etki yapan faktör düzeylerini belirlemek amacıyla kullanılan tekniklere çoklu
karşılaştırma teknikleri adı verilir. Bu amaçla kullanılan çok sayıda çoklu karşılaştırma
tekniği mevcuttur. Bu teknikler kullanım tercihlerine göre şu şekilde sınıflandırılır:
i) Grupların eşit varyanslı olması durumuna göre: LSD (Fisher’in en küçük önemli fark)