Page 1
Sadržaj
1 ISTORIJAT TRIGONOMETRIJE.............................................................................................2
2 UOPŠTENJE POJMA UGLA.....................................................................................................3
2.1 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE PROIZVOLJNOG UGLA...........................................4
2.2 KOSINUS I SINUS PROIZVOLJNOG UGLA DEFINICIJA...............................................5
2.3 KONSTRUKCIJA UGLA CIJI JE KOSINUS (SINUS) DAT................................................6
2.4 IZRACUNAVANJE KOSINUSA I SINUSA PROIZVOLJNOG UGLA SVODJENJE NA I
KVADRANT..................................................................................................................................... 7
3 PERIODICNOST KOSINUSA I SINUSA..................................................................................9
4 TANGENS I KOTANGENS PROIZVOLJNOG UGLA............................................................9
5 IZRACUNAVANJE TANGENSA I KOTANGENSA PROIZVOLJNOG UGLA,
SVODJENJE NA I KVADRANT,PERIODICNOST........................................................................11
6 NEKI OSNOVNI TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI.......................................................12
7 TOK TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA...........................................................................13
8 ADICIONE FORMULE............................................................................................................ 14
9 LITERATURA............................................................................................................................ 17
1
Page 2
1 ISTORIJAT TRIGONOMETRIJE
Trigonometrija je nauka o trouglu.Grcki trigonos-trougao i metrou-mera.
Trigonometrija je najpre imala za cilj izracunavanje vrednosti svih elemenata jednog
trougla(visina,tezisnih linija,simetrala,poluprecnika upisanog i opisanog
kruga,povrsine,uglova)pomocu podataka,-obicno uglova i stranica,-dovoljnih za
odredjivanje trougla.
Njen prvobitni cilj je danas prevazidjen i primena trigonometrije na osnovu
izracunavanja trigonometrijskih funkcija,van svakog posmatranja trougla,ucinila je od
trigonometrije znacajnu oblast matematike.Jedinice za merenje ugla su stepen (°) i
radijan (rad).Stepenom se mogu meriti uglovi i lukovi. Mera kruznog luka je mera
centralnog ugla koji odgovara tom kruznom luku. Centralni ugao mozemo meriti
duzinom kruznog luka AoBo ciji je polu precnik jednak 1.
Jedinica mere je luk cija je duzina jednaka 1 tj. jednaka poluprecniku.Taj kruzni luk
zove se radijan.Ugao koji odgovara uglu jednog radijana ima isti naziv.
2 rad=1 pun ugao (O=2rO=2 za r=1)
=180,=
:=:180
=180
=180
=180 =180
1 rad =360257,29578571744,8
1=2360 rad0,01745 rad
Ukoliko je mera ugla data u radijanima,uobicajeno je da se pored mernog broja ne
stavlja nikakva oznaka za jedinicu.
2
Page 3
2 UOPŠTENJE POJMA UGLA
Uocimo jednu promenjljivu polupravu koja moze da se obrce oko svoje pocetne tacke
O.Pri obrtanju razlikujemo dva smera: pozitivan i negativan (smer kazaljke na
satu).Obelezimo sa a pocetni i sa b zavrsni polozaj poluprave nakon obrtanja oko tacke
O ujednom ili drugom smeru.<ab zovemo orijentisani ugao (pozitivan ili
negativan).Meri orijentisanog ugla pridruzuje se znak + ili (za pozitivan tj. negativan
ugao).Pri obelezavanju krakova orijentisanog ugla je znacajan poredak zapisivanja.
Tako je <ab=ba
Za svaki orijentisani ugao postoji ,0 2 takav da je =+2k za neki ceo
broj k=0,1,2,...
Ima neograniceno mnogo uglova koji imaju jedan te isti osnovni ugao .
Uvodjenjem pojma orijentisanog ugla i radijanske mere dobijamo jednu obostrano
jednoznacnu korespondenciju izmedju skupa realnih brojeva i skupa svih orijentisanih
uglova.Svakom realnom broju pridruzuje se orijentisan ugao cija je radijanska mera
jednaka tom broju.
Pod uglom izmedju dva vektora podrazumevamo sledece.Ako vektori imaju zajednicki
pocetak,onda je to ugao izmedju poluprava koje one odredjuju,u protivnom to je ugao
izmedju vektora a1 i b1 koji imaju zajednicku pocetnu tacku i pri tome je a1=a i
b1=b.Neorjentisani ugao izmedju vektora a i b oznacavamo sa <ab,a orijentisan sa
<(a,b).
3
Page 4
2.1 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE PROIZVOLJNOG UGLA
Trigonometrijski krug je krug poluprecnika 1 ciji je centar u koordinantnom
pocetku.Tacka A(1,0) zove se pocetna tacka.Na trigonometrijskom krugu posmatracemo
razlicite lukove koji svi pocinju u tacki A.Sa oznacimo meru ugla.Na ovaj nacin
realnim brojevima vecim od 2 i realnim brojevima manjim od 2 odgovaraju lukovi
veci od punog kruga.
Ako je AM orijentisan luk,onda njemu odgovara orijentisan ugao a koji obrazuju vektori
OA i OM.Obrnuto: svakom orijentisanom uglu <(OA,OM) odgovara orijentisan luk AM
na trigonometrijskom krugu.Mera luka AM jednaka je radijanskoj meri ugla
<(OA,OM).Vektor OM zove se radijus vektor ugla.
za orijentisan ugao =<(OA,OM) kazemo da je iz:
I kvadranta za 02
II kvadranta za
III kvadranta za
IV kvadranta za
Uglovi 0,/2,,3/2 su granicni i uzima se da nisu ni u jednom kvadrantu.U slucaju da
je ugao veci od 2 ili da je negativan,njegov polozaj odredjen je polozajem osnovnog
ugla.
4
Page 5
2.2 KOSINUS I SINUS PROIZVOLJNOG UGLA DEFINICIJA
Za pravougli trougao ABC :
naspamna kateta
sin =
hipotenuza
nalegla kateta
cos =
hipotenuza
naspramna kateta
tg =
nalegla kateta
nalegla kateta
ctg =
naspramna kateta
Neka je =<(OA,OM) proizvoljan orijentisan ugao kojem odgovara orijentisan luk
AM.Ako su (Xo,Yo) koordinate tacke M,tada se kosinus i sinus ugla a definisu kao
COS = Xo
SIN =Yo
COS /2=0,SIN /2=1
COS =-1,SIN =0
5
Page 6
COS 3/2=0,SIN 3/2=-1
COS (-/4)=2/2,SIN (-/4)=-2/2
Iz definicije sledi da je COS pozitivan ako je u I i IV kvadrantu,a negativan ako je
u II i III kvadrantu.Slicno je SIN pozitivan za u I i II kvadrantu i negativan za u
III i IV kvadrantu.
2.3 KONSTRUKCIJA UGLA CIJI JE KOSINUS (SINUS) DAT
Uocimo najpre da iz definicije kosinusa i sinusa sledi cos i sin
za svaki ugao .Stoga za m>1 i m<-1 ne postoji ugao ciji je kosinus ,odnosno
sinus,jednak m.Zato ostaje slucaj m
Za uglove i vazi +=2.Radijus vektoru OM odgovara beskonacno mnogo
orijentisanih uglova i svi oni imaju kosinus jednak m.Ti uglovi su oblika +2k,gde je
6
Page 7
k=0, 1, 2,...Islicno radijus vektoru OM',odgovara beskonacna klasa uglova
+2k (k= 0, 1, 2,...) za koji vazi COS (+2k)=m.
2.4 IZRACUNAVANJE KOSINUSA I SINUSA PROIZVOLJNOG
UGLA SVODJENJE NA I KVADRANT
II KVADRANT.Neka je =<(OA,OM) ugao II kvadranta i neka su (Xo,Yo) koordinate
tacke M(Xo<0,Yo>0).Obelezimo sa M' tacku simetricnu tacki M u odnosu na Y-osu.
Tacka M' pripada I kvadrantu i njene koordinate su (-Xo,Yo). Ako sa a obelezimo ugao
<(OM,OA),tada je zbog simetrije <(OA,OM)=. otuda je
COS =Xo=-(-Xo)=-COS
SIN =Yo=SIN
S obzirom da je =,dobijamo formulu
COS ()=COS
SIN ()= SIN
za svaki ugao ,0/2.
III KVADRANT.Neka su M i M tacke simetricne u odnosu na koordinantni pocetak
O.Tacka M lezi u III kvadrantu,a tacka M u I kvadrantu.Ako sa oznacimo ugao
<(OA,OM), tada zbog simetrije ugao (OA,OM)=.Stoga je
7
Page 8
COS =Xo=(Xo)=COS
SIN =Yo=(Yo)=SIN
Kako je = sledi formula
COS ()=COS
SIN ()=SIN za svaki ,0.
IV KVADRANT.Neka su M (Xo,Yo) i M (Xo,Yo) simetricne u odnosu na X-
osu.Ako sa obelezimo ugao <(OM,OA) tada je zbog simetrije<(OA,OM)=.
Iz toga sledi
COS =Xo=COS
SIN =Yo=(Yo)=SIN
Kako je =2 sledi formula
COS (2)=COS
SIN (2)=SIN za svaki ugao ,0
8
Page 9
NEGATIVNI UGAO.Ako su (Xo,Yo) koordinate tacke M i (Xo,Yo) koordinate tacke
M.Zbog simetrije je =<(OA,OM)=<(OA,OM),odakle sledi formula
COS ()=COS
SIN ()=SIN za svaki ugao .
3 PERIODICNOST KOSINUSA I SINUSA
TEOREMA 1.
Osnovni peiod funkcija cos x i sin x je T=2
Dokaz. Kako uglovima x i x odgovara isti polozaj radijus vektora OM,to je
ocigledno cosxcos x ya svaki ugao x.
To znaci da je period od cos x. pokazimo da je to i osnovni period.Za to je dovoljno
da se pokaze da za svako T,0 postoji bar jedan ugao Xo,takav da je COS
(Xo+T)COS Xo.Konkretno mozemo uzeti da je Xo=0.Tada je COS 0=1 i COS
(0+T)=COS T za 0 T.Prema tome,T nije peiod od COS X.Za SIN X dokaz je
slican.Za Xo se moze uzeti .
Teorema 1.omogucava da se kosinus i sinus ugla cija je apsolutna vrednost veca od
svedu na kosinus i sinus odgovarajuceg ugla iz intervala 0,2),odnosno intrvala (.
4 TANGENS I KOTANGENS PROIZVOLJNOG UGLA
Tangens i kotangens proizvoljnog ugla definisu se preko formula
tg =sin cos (cos 0)
ctg =cos sin (sin 0)
Iz ove definicije sledi da je tg definisan za k,a ctg za k (k=0,
).Takodje iz definicije sledi :
tg=1ctg (ctg0)9
Page 10
ctg=1tg (tg0)
Na osnovu znaka cos i sin i definicije tangensa i kotangensa dobijamo semu za znak
tg i ctg.
Vrednost tg za proizvoljan ugao iz domena tangensa moze se geometrijski
interpretirati na sledeci nacin.Uocimo pravu x=1.Ta prava zove se tangensna osa.Ako je
ON radijus vektor ugla ,k (k=0, , ) obelezimo sa N tacku preseka
prave OM i tangensne ose.Neka su (1,Yo) koordinate tacke N.
tg=Yo
Ponasanje funkcije tgx kada argument x tezi uglu ili .
tgx+ kad x i x,
tgx kad x i x.
Geometrijska interpretacija kotangensa je sledeca.Prava y=1 zove se kotangensna
osa.Obelezimo sa L presecnu tacku prave OM i kotangensne ose.Ako su (Xo,1)
koordinate tacke L,tada je ctg=Xo.
10
Page 11
za kctga za kctg .
5 IZRACUNAVANJE TANGENSA I KOTANGENSA
PROIZVOLJNOG UGLA, SVODJENJE NA I
KVADRANT,PERIODICNOST
II KVADRANT.Neka je =
tg=sin ()cos ()=sin cos =tg ,
ctg =1tg =tg =ctg
Otuda imamo formule :
tg ()=tg , ctg ()=ctg
III KVADRANT.Neka je =
tg =sin ()cos ()=sin cos =tg
ctg =1tg =1tg =ctg ,
odnosno
tg ()=tg , ctg ()=ctg
IV KVADRANT.Neka je =
tg =sin ()cos ()=sin cos =tg ,
ctg =1tg =tg =ctg ,
odnosno
11
Page 12
tg ()=tg , ctg ()=ctg .
NEGATIVNI UGAO. Za svaki ugao iz domena funkcija :
tg ()=tg ctg ()=ctg
TEOREMA 2.
Osnovni period funkcija tgx i ctgx je T=
Dokaz. Iz definicije tangensa lako se vidi da je tg (x+)=tg x za svaki ugao x iz domena
funkcije.Pokazimo da za svskoT,0 T,postoji ugao Xo,takav da je tg (Xo+T) tg
Xo.U tu svrhu uzimamo Xo=0.Tada je tg 0=0,a tg T 0 za 0 T Prema tome tg
0tg (0+T) sto znaci da je najmanji pozitivan period,tj.osnovni period funkcije tg
x.Za ctg x dokaz je slican.
6 NEKI OSNOVNI TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI
Neka je M(Xo,Yo) proizvoljna tacka trigonometrijskog kruga,njene koordinate
zadovoljavaju jednacinu x²+y²=1 tj. Xo²+Yo²=1.
Kako je Xo=COS i Yo=SIN,gde je =<(OA,OM),iz gornje jednakosti sledi
COS²+SIN ²=1 za svaki ugao .Na taj nacin dobijamo tabelu
COS SIN TG CTG
COS √ 1sin² tg² ctgctg²
SIN cos² tgtg² ctg²
TG cos² cos sinsin² ctg
CTG coscos² sin²sin tg
7 TOK TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
12
Page 13
SINUSNA FUNKCIJA definisana je za sve vrednosti ugla x .Ispitacemo njen tok u
intervalu ,pustivsi da krajnja tacka M luka AM obidje potpuno
trigonometrijski krug i prateci pomeranje njene projekcije Q na osi Y.
X 0
SIN X 0 1 0 0
U ovm intervalu grafik mozemo konstruisati tacku po tacku.Kako je ova funkcija
periodicna s periodom ,njen grafik za sve vrednosti x dobice se translacijama
predhodnog grafika za paralelno osi X.
KOSINUSNA FUNKCIJA.Slicno kao kod sinusne,prateci projekciju tacke M na osi X
dobijamo sledecu tablicu :
X 0
COS X 1 0
TANGENSNA FUNKCIJA.Ova funkcija je definisana za sve realne vrednosti x,izuzev
za vrednosti oblika +k.Njen period je .Izpitacemo je u intervalu duzine u kome
je ona definisana ().U okolini vrednosti i ,tg x je
beskonacan .Za tg x je pozitivan, a za negativan .Dobija se jedna grana
krive cije su asimptote prave X= i X=
13
Page 14
KONTANGENSNA FUNKCIJA.Slicno je Y=CTG X opadajuca u celom intervalu u
kome je definisana..Prava X=k su asimptote
8 ADICIONE FORMULE
TIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE ZBIRA a+b :
SIN (a+b)=sin a cos b+sin b cos a
COS (a+b)=cos a cos b sin b sin a
TG (a+b)= (tg a+tg b)(1tg a tg b)
14
Page 15
CTG (a+b)=(ctg a ctg b 1)(ctg b+ctga)
Trigonometrijske funkcije razlike a b :
SIN (a b)=sin a cos b sin b cos a
COS (a b)=cos a cos b + sin a sin b
TG (a b)=(tg a tg b)(1+tg a tg b)
CTG (a b)=(ctg a ctg b +1)(ctg b ctg a)
Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla se dobijaju iz trigonometrijskih funkcija
zbira a+b ako se umesto b stavi a.
Trigonometrijske funkcije polovine ugla a :
SIN (a)=(1cos a)
COS (a2)=(1+cos a)
TG (a)=(1cos a) (1+cos a)
CTG (a2)=(1+cos a)( 1cos a)
Formule za zbir dva sinusa,kosinusa i tangensa :
SIN p+SIN q=2sin (p+q)cos(pq)
SIN pSIN q=2sin (pq)cos(p+q)
COS p+COS q=2cos (p+q)cos (pq)
COS pCOS q=2sin (p+q)sin (pq)
TG p TG q=sin (p q)(cos p cos q)
TRANSFORMACIJA PROIZVODA U ZBIROVE
SIN a SIN b=(cos (a+b)cos (ab))15
Page 16
COS a COS b=(cos (a+b)+cos (ab))
SIN a COS b=(sin (a+b)+sin (ab))
COS a SIN b=(sin (a+b)sin (ab))
TEOREMA 3.SINUSNA TEOREMA.Duzine stranica svakog trougla proporcionalne
su sinusima naspramnih uglova.
asin=bsin=csin
TEOREMA 4.Odnos duzina stranica i sinusa naspramnog ugla je konstantan i jedanak
duzini precnika kruznice opisane oko trougla.
asin=bsin=csin=2R
TEOREMA 5.KOSINUSNA TEOREMA.Kvadrat jedne stranice trougla jednak je
zbiru kvadrata druge dve stranice umanjen za dvostruki proizvod tih stranica i kosinusa
njima zahvacenog ugla.
npr:
c²=a²+b²2ab cos
16
Page 17
9 LITERATURA
1. Opsta enciklopedija "LAROUSSE"
2. Matematika za II razred srednje skole, G. Vojvodic,V. Petrovic,R. Despotovic,B.
Seselja
17