Page 1
SüsteemiteooriaISS0010 2-1-1 E 5 EAP
Lineaarsete statsionaarsete pidevaja süsteemide analüüs. Laplace`i teisendus. Olekumudel,
invariandid
http://www.a-lab.ee/edu/ISS0010 Eduard Petlenkov
[email protected] , TTÜ ICT-502A, tel. 6202104TTÜ Arvutisüsteemide instituut
Arukate süsteemide keskus
Kursuse koostamisel on kasutatud Ennu Rüsterni poolt ettevalmistatud loengumaterjale
Page 2
Lineaarse statsionaarse pidevaja süsteemi analüüs (1)
Eesmärk:● käitumise uurimine, analüüs
Mudelid:● sisend-väljund mudelid● sisend-olek-väljund mudel = olekumudel
Meetod:● Laplace`i teisendus
Page 3
Lineaarse statsionaarse pidevaja süsteemi analüüs (2)
Süsteem: → Analüüs (käitumine)● lineaarne● statsionaarne ↑● aeg - pidev↕
Mudel – diferentsiaalvõrrand: → Laplace`i teisendus● lineaarne [operaatorarvutus]● konstantsete kordajatega● harilik (ei sisalda osatuletisi)
Matemaatika → Süsteemiteooria● keel (teooria esitamiseks ja probleemide vaatlemiseks)● vahend (ülesannete, probleemide lahendamiseks)
Page 4
Lineaarse statsionaarse pidevaja süsteemi analüüs (3)
Antud on SISO (ühemõõtmeline) süsteem:● süsteem on esitatud lineaarse konstantsete
kordajatega hariliku diferentsiaalvõrrandiga(st antud on süsteemi sisend-väljund mudel)
● algtingimused● süsteemi sisend u(t)
Analüüsi eesmärk:● süsteemi reaktsiooni (väljundi) y(t) arvutamine ja
uurimine
Page 5
sisend väljundu(t) y(t)
Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs (4)
n-järku diferentsiaalvõrrandu(t) – antud
!!!!! "!!!!! #$% )0(,),0(),0(),0( 1
1
2
2
-
-
n
n
dtyd
dtyd
dtdyy
n-järku süsteem; n - algtingimust
ubdtudb
dtudb
yadtyda
dtyd
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
01
1
1
01
1
1
+++=
=+++
-
-
-
-
-
-
!
!
Page 6
Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs (5)Lineaarse konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandi (lineaarsestatsionaarse pidevajasüsteemi sisend-väljund mudel) kasutame kaudset Laplace`i teisendusel põhinevat kaudset meetodit:
● Teisendame diferentsiaalvõrrandi [originaal] algebraliseks võrrandiks [kujutis] arvestades sealjuures algtingimusi;
● Arvutame lineaarse süsteemi reaktsiooni (väljundi) kujutisealgebralisest võrrandist;
● Tulemuste tõlgendamiseks (arusaadavaks muutmiseks) arvutame reaktsiooni kujutise alusel originaali (Laplace´ipöördteisendus);
● Kontrollime reaktsiooni piirväärtusi.
Page 7
Laplace`i teisendus (1)Tähistame:
x(t)- originaal;L – Laplace teisendus;X(s)- kujutis st x(t) Laplace teisendus;
Laplace`i teisenduse olulised omadused:• L- teisendus on lineaarne;• diferentseerimisele originaalide ruumis vastab
muutujaga s korrutamine kujutiste ruumis;• integreerimisele originaalide ruumis vastab
muutujaga s jagamine kujutiste ruumis;• lineaarne konstantsete kordajatega diferentsiaal-
võrrand teisendub L-teisenduse rakendamisel algebraliseks võrrandiks.
Page 8
Laplace teisendus (2)L
x(t) X(s)
originaal kujutis,teisendus
1-L
Olulised omadused:1) LINEAARSUS
)()()()(
22
11
sXtxsXtx
L
L
¾®¬
¾®¬ )()()()( 2121 sXsXtxtx baba +«+
[ ]
)(0,0)(
)()()(0
tingimustkuitxjs
dtetxtxLsX st
<=+=
== ò¥
-
wt
Page 9
2) HILISTUMINE *
0,)()()()(
>¾®¬-
¾®¬- tt tsL
L
esXtx
sXtx
3) DIFERENTSEERIMINE *
)0()0()0()()(
)0()0()()(
)0()()()()(
1
121
22
2
+--+-+-¾®¬
----
+-+-¾®¬
+-¾®¬
¾®¬
-
---
n
nnnnL
n
n
L
L
L
dtxd
dtdxsxssXs
dttxd
dtdxsxsXs
dttxd
xssXdttdx
sXtx
!
Page 10
4) INTEGREERIMINE
ò ¾®¬
¾®¬t
L
L
ssXdx
sXtx
0
)()(
)()(
tt
5) KONVOLUTSIOON *
)()()()()()(
)()()()(
2120
121
22
11
sXsXdttxxtxtx
sXtxsXtx
Lt
L
L
×¾®¬-=*
¾®¬
¾®¬
ò tt
6) PIIRVÄÄRTUSTEOREEMID *
)()( sXtx L¾®¬)(lim)(lim
0ssXtx
st ¥®®=
)(lim)(lim0
ssXtxst ®¥®
=
Page 11
L-teisenduse tabelx(t) X(s)
1)(td0),( >- ttd t se t-
1(t) s1
te a-a+s1
tnet a-1)(
!++ ns
na
t0sinw20
20
ww+s
t0cosw 20
2 w+ss
te t0sinwa-
20
20
)( waw
++s
te t0coswa-
20
2)( waa++
+ss
Page 12
Laplace´i teisenduse kasutamine süsteemide analüüsil
Ühemõõtmelised (SISO) süsteemid (antud differentsiaalvõrrand ja sisend u(t)):
● nullised algtingimused – ülekandekarakteristikud (süsteemifunktsioonid);
● mittenullised algtingimused.
Page 13
Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs: nullised algtingimused (1)
Analüüsitav süsteem on kirjeldatud n-järku diferentsiaal-võrrandiga kujul:
Nullised algtingimused, antud sisend u(t).
ubdtudb
dtudb
yadtyda
dtyd
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
01
1
1
01
1
1
+++=
=+++
-
-
-
-
-
-
!
!
Page 14
Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs: nullised algtingimused (2)
Diferentsiaalvõrrandi lahendamisel kasutame Laplace´i teisendust: originaal →kujutis.
)()()()(sYtysUtu
L
L
¾®¬
¾®¬
)0()0()0()()(
)0()0()()(
)0()()()()(
1
121
22
2
+--+-+-¾®¬
----
+-+-¾®¬
+-¾®¬
¾®¬
-
---
n
nnnnL
n
n
L
L
L
dtxd
dtdxsxssXs
dttxd
dtdxsxsXs
dttxd
xssXdttdx
sXtx
!
Diferentseerimine (Laplace`i teisenduse omadus)
Page 15
Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs: nullised algtingimused (3)
Algebraline võrrand ( diferentsiaalvõrrandi kujutis ehk Laplace`iteisendus)
)()()()(
01
1
01
1
sUbsbsbsYasas
mm
mm
nn
n
×+++=
=×+++-
-
--
!
!
)()(0
11
01
1 sUasasbsbsbsY n
nn
mm
mm
++++++
=-
-
--
!!
H(s) - ülekandefunktsioon
Y(s)=H(s)·U(s)
Page 16
Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs: nullised algtingimused (4) – ülekandekarakteristikud /
süsteemifunktsioonid
1) Ülekandefunktsioon - H(s)
)()()(
01
1
01
1
sAsB
asasbsbsbsH n
nn
mm
mm =
++++++
=-
-
--
!!
polünoomi B(s) juured - nullid
polünoomi A(s) juured – poolused (süsteemi poolused) !
2) Hüppekaja (süsteemi reaktsioon ühikhüppele 1(t))- g(t) 3) Impulsskaja (süsteemi reaktsioon ühikimpulsile δ(t))- h(t)
Iseloomustavad SISO süsteemi nullistel algtingimustel!
Page 17
Näide No.1 Süsteemi hüppekaja arvutamineu(t) y(t) ?
H(s)
Antud on:
5210)()2
)(1)()1
2 ++=
=
sssH
ttu
Leida: y(t), y(0), y(∞)
Lahendus:
ssssY
stsUsHsY L
152
10)(
1)(1),()()(
2 ×++
=
¾®¬×=
Probleemiks on [ ])(1 sYL- arvutamine
)()(
)52(10)( 2 sA
sBsss
sY =++
=
Page 18
Arvutame A(s) juured (poolused)
¬=++ 0522 ss ruutvõrrandi lahendamine
021511
3
2,1
=
±-=-±-=
pip
Poolused: { }0,21,21 ii --+-
L-pöördteisenduse leidmiseks tuleb Y(s) lahutada osamurdudeks.
Võimalikud variandid:
1.variant
2121)52(10 321
2 isk
isk
sk
sss +++
-++=
++
Õnnetuseks 32 ,kk - kompleksarvud; arvutamine väga keerukas !!
Page 19
2.variant
52)52(10
2321
2 +++
+=++ ss
ksksk
sss
321, kkk - reaalarvud.
21,kkEsmalt leiame ja .3kskskssk )()52(10 32
21 ++++=
Võrdleme 20 ,, sss kordajaid (see on nn. määramata kordajate meetod)
10 510: ks = (vabaliikmete võrdlus)
21 =k
420: 331 -=®+= kkks20: 221
2 -=®+= kkks
)(2)1(422
52422
)52(10
2222 sYs
ssss
sssss
=++--
+=++--
+=++
NB! poolused
Page 20
Näide No.1 - lahendamisel vajalikud Laplace`i teisendused:
1(t) ↔ s1
«- te t0sinwa
20
20
)( waw
++s
«- te t0coswa
20
2)( waa++
+ss
Page 21
leidmiseks on otstarbekas Y(s) avaldist teisendada.1-L
! !
2)(022)0(
)(1)2sin2cos22()(
2)1(2
2)1()1(22)( 2222
=¥=-=
×--=
++-+
+++-+=
--
yy
ttetety
sss
ssY
tt
"#"$%"#"$%1-L
Kontroll (piirväärtusteoreemid)
2)(lim)(
0)52(
10lim)(lim)0(
0
2
==¥
=++
==
®
¥®¥®
ssYysss
sssYy
s
ss
Page 22
Näide No.2 Süsteemi ülekandefunktsiooni leidmineu(t) y(t)
H(s) ?
Antud:
[ ] [ ])2(3)2(232 6633)()2)()()1
------ ---=
=tttt eeeety
ttu d
Leida: H(s) ? )()()(sUsYsH =
sLt
sLt
LtLt
L
es
e
es
e
se
se
sUt
2)2(3
2)2(2
32
366
266
333;
233
)(1)(
---
---
--
×+
¾®¾
×+
¾®¾
+¾®¾
+¾®¾
=¾®¾d
Page 23
)3)(2(63
36
26
33
23
)()()(
222
++-=
++
+-
+-
+==
---
sse
se
se
sssUsYsH
sss
NB! Hilistumisega süsteem
Näide No.3 Süsteemi impulsskaja arvutamine u(t) y(t) ?
H(s)
Antud:
2)2)(1(3)()2
);()()1
+++=
=
ssssH
ttu d
Leida )(),0(),( ¥yyty
Y(s)=H(s)·U(s) 1)( ¾®¾Ltd
Page 24
2321
2 )2(21)2)(1(3)(
++
++
+=
+++
=sk
sk
sk
ssssY
Leiame 321 ,, kkk)1()2)(1()2(3 32
21 ++++++=+ skssksks
Rakendame määramata kordajate meetodit veidi teisiti (arvutuste lihtsustamiseks)
Paneme sisse järgmised s väärtused:
224301)12(3222)21(311
2321
33
12
1
-=®++==-=®+-=+--==®+-=+--=
kkkkskkskks
Page 25
ttt teeety
ssssY
22
2
22)(
)2(1
22
12)(
--- --=
+-
++-
++
=
1-L
vt. L-teisenduste tabel
0)(;0)0( =¥= yy
Kontroll:
0)(lim)(
0)2)(1(
3lim)(lim)0(
0
2
==¥
=++
+==
®
¥®¥®
ssYyss
ssssYy
s
ss
Osamurdudeks lahutamisel olulised variandid:1. poolused - reaalsed, lihtsad (2.näide);2. poolused - reaalsed, kordsed (3.näide);3. poolused - kompleksarvude paar (1.näide).
«- tnet a1)(
!++ ns
na
Page 26
Lineaarse pidevaja süsteemi analüüs: nullised algtingimused (5) – osamurdudeks lahutamine
Laplace`i pöördteisenduse leidmisel põhiprobleemiks on osamurdudeks lahutamine.
Olgu nm
sAsBsH
¬¬
=)()()(
Kui lugeja ja nimetaja polünoomide järgud on võrdsed m=n (erijuhtum), siis esmalt tuleb lugeja polünoom jagada nimetaja polünoomiga
nn
sAsBbsH n ¬
-¬+=
1)()(')(
Järgnevalt lahutame )()('sAsB osamurdudeks.
Page 27
Tavaliselt m<n
=++----
==+ )())(())((
)()()()( 2
121 basspspspspssB
sAsBsH k
rr!
!! +-
+-
+-
++-
=+
+
+
+2
1
2,1
1
1,1
1
1
)( r
r
r
r
r
r
psk
psk
psk
psk
bassksk
psk abab
kr
kr
+++
+-
++
+2
2,1,
1
,1
)(!
NB! Arvutuslikult väga oluline
rpp ,,1 ! - reaalarvulised, lihtsad poolused;1+rp - reaalarvuline, k-kordne poolus;
bass ++2 - vastab komplekspooluste paarile.
Page 28
Ülekandefunktsioonide ühest rakendusest –süsteemide kompositsioon (1)
U1(s) Y1(s)s1 s2
H1(s)
U2(s) Y2(s)
H2(s)U1(s) Y2(s)
H(s)U(s) Y(s)
)()()( 111 sUsHsY ×=
)()()( 222 sUsHsY ×=)()( 12 sYsU =¬
)()()()( 1212 sUsHsHsY ×=
)()()( 21 sHsHsH = 2 järjestikku)()()( 1 sHsHsH n!= n järjestikku
)()()( sUsHsY =
1) Järjestikühendus
Page 29
2) Paralleelühendus
●+
+
U(s)
U(s)
U1(s)
U2(s)
H(s)
H1(s)
H2(s)Y(s)
Y(s)
Y2(s)
Y1(s)
[ ]
)()()()()()(
)()()()()()()()()()()()()(
1
21
21
21
22
11
sHsHsHsHsHsH
sUsHsHsYsYsYsYsUsHsYsUsHsY
n++=+=+=
+=×=×=
!2 paralleelselt
n paralleelselt
Page 30
3) Tagasisideühendus
U(s) U1(s)
U2(s)
H1(s)
Y2(s)
Y1(s)
H2(s)
±
U(s)
H(s)
Y(s)
)()()()()()(
222
111
sUsHsYsUsHsY
×=×=
)()()( 21 sYsUsU ±=
[ ][ ])()()()()(
)()()()(
2211
211
sUsHsUsHsYsYsUsHsY
±=±=
)()( 21 sUsY =
[ ] )()()()()(1 1121 sUsHsYsHsH =±
)()()(1
)()()(21
11 sU
sHsHsHsYsY
±==
Page 31
Avaldises: märk “+” – negatiivne tagasiside (skeemil märk “-”)märk “- ” – positiivne tagasiside (skeemil märk “+”)
● Lihtsatest süsteemidest on võimalik moodustada (soovitud omadustega) keerukaid süsteeme.● Lihtsatest süsteemidest on võimalik moodustuda mitmemõõtmelisi süsteeme (mitu sisendit või mitu väljundit).
Kuidas muutuvad süsteemi omadused?
Olgu antud 2 süsteemi ülekandefunktsioonidega:
®+
=2s1)s(H 1 poolus:{-2}
®-
=3s1)s(H2 poolus:{3}
Page 32
Järjestikühendus
H1(s) H2(s)
®-+
=×=)3s)(2s(
1)s(H)s(H)s(H 21 poolused: {-2,3}
Paralleelühendus
H1(s)
H2(s)
®-+
-=
-+
+=
=+=
)3s)(2s(1s2
)3s(1
)2s(1
)s(H)s(H)s(H 21
poolused: {-2,3}
Page 33
H1(s)
-H2(s)
Tagasisideühendus (negatiivne tagasiside)
5s1)s(H1 -
= poolus: {5}
K)s(H2 =
)5K(s1
K5s11
5s1
)s(H)s(H1)s(H)s(H
21
1
-+=
×-
+
-=+
=
K=0
K=1
!
5s1)s(H-
=
4s1)s(H-
=
Page 34
K=5
K=6
s1)s(H =
1s1)s(H+
=
!
Järeldused:
1. Järjestik- ja paralleelühendused ei muuda süsteemi(de) pooluste paigutust
2. Tagasisideühendusega on võimalik muuta süsteemi pooluste paigutust st. luua soovitud omadustega süsteeme.
NB! Süsteemi poolused (pooluste paigutus) määrab ära süsteemi käitumise
Page 35
Näide No.4 Mitmemõõtmeline süsteem - ülekandemaatriksid
u1(t) H1(s) H2(s)_
●
+
++
+_y2(t)
H3(s)
u2(t)
u3(t)
y1(t)
3)(;10)(;
21)( 321 +
==+
=sssHsH
ssH
●
Ülekandefunktsioonide ühest rakendusest –süsteemide kompositsioon (2)
Page 36
u1(t)
u2(t)
u3(t)
y1(t)
y2(t)
sisendid väljundid
6 ülesannet
Üritame matemaatiliselt kirjeldada moodustunud süsteemi
Ülekanne: )()( 11 tytu ®
615)3(10
321012
10
)()()(1)()()( 2321
2111 ++
+=
+×
++
+=+
=ss
s
ss
s
ssHsHsH
sHsHsH yu
Ülekanne: )()( 21 tytu ®
61510
310
211
310
21
)()()(1)()()()( 2
321
32121 ++
=
+××
++
+××
+=+
=sss
ss
s
ss
ssHsHsHsHsHsHsH yu
Page 37
Ülekanne: )()( 12 tytu ®
615)3)(2(10
310
211
10)()()(1
)()( 2321
212 ++
++=
+××
++
=+
=ssss
ss
ssHsHsH
sHsH yu
Ülekanne: )()( 22 tytu ®
615)2(10
310
211
310
)()()(1)()()( 2321
3222 ++
+=
+××
++
+×
=+
=ssss
ss
s
ss
sHsHsHsHsHsH yu
Ülekanne: )()( 13 tytu ®
61510
310
211
310
21
)()()(1)()()()( 2
321
32113 ++
-=
+××
++
+××
+-
=+-=
sss
ss
s
ss
ssHsHsHsHsHsHsH yu
Page 38
Ülekanne: )()( 23 tytu ®
615)2(
310
211
3)()()(1
)()( 2321
323 ++
+-=
+××
++
+-
=+
-=
ssss
ss
s
ss
sHsHsHsHsH yu
úúú
û
ù
êêê
ë
é×úû
ùêë
é=úû
ùêë
é
)()()(
)()(
3
2
1
2
1
232221
131211
sUsUsU
HHHHHH
sYsY
yuyuyu
yuyuyu
! !133212
)()()(´´´
×= sss UHY "#$
H(s) – ülekandemaatriks (koosneb ülekandefunktsioonidest)
Analoogiliselt:- hüppekajade maatriks;- impulsskajade maatriks.
Page 39
Näide No.5 Mitmemõõtmelise süsteemi analüüs
u1(t) H1(s) H2(s)+
H3(s)
u2(t)
y(t)●+
)(4)(;3)(
;1)(;11)(;
33)(
21
321
ttuetu
sHs
sHs
sH
t 1×==
=+
=+
=
-
Leida ?)(),0(),( ¥yyty
Lahendus:
)()()()()( 2211 sUsyHusUsyHusY ×+×=
Page 40
sss
sHsHsHsHsyHu
sssHsHsHsHsHsyHu
43
)()()(1)()(
43
)()()(1)()()(
2321
22
2321
211
++
=-
=
+=
-=
[ ]!
[ ]! )4)(1(
12254443
13
43)( 2
2
)(4
2
3
2 ++++
=×++
++
×+
=-
sssss
ssss
ssssY
tLeL t 1
Lahutame osamurdudeks
41)4)(1(12254)( 43
221
2
2
++
+++=
++++
=sK
sK
sK
sK
ssssssY
5 ⁄ 2 1 ⁄ 23 3
)1()4()4)(1()4)(1(12254
24
23
212
++++
++++++=++
ssKssKssKsssKss
¥=¥=+-=+-+= -- )(;0213
25)0(;
2133)(
25)( 4 yyeettty tt1
Page 41
Süsteemide analüüs (näide) – mittenullised algtingimused
Näide No.6Analüüsitav süsteem on kirjeldatud diferentsiaalvõrrandiga
);t(u3dt)t(du2)t(y25
dt)t(yd
2
2
+=+
Algtingimused: 1)0(y,5)0(y == !
Sisendsignaal tetu 5)( -=Leida y(t) ?Lahendus:
dt)t(dy)t(y =!
)s(Y)t(y L¾®¾
)0(y)0(sy)s(sYdt
)t(yd L
2
2
!--¾®¾
Page 42
)s(U)t(u L¾®¾
)0(u)s(sUdt)t(du L -¾®¾
dif.võrrand ¾®¾L
[ ] )s(U3)0(u)s(sU2)s(Y25)0(y)0(sy)s(Ys2 +-=+-- !
!!! "!!! #$
%
!!"!!#$)t(Y
2
)s(Y
2
vs
25s)0(u2)0(y)0(sy)s(U
25s3s2)s(Y
+-+
+×++
=
)5s()25s(3s2)s(U
25s3s2)s(Y
22s +++
=++
=
5s1)s(Ue)t(u Lt5
+=¾®¾= -
Page 43
Osamurdudeks lahutamine
5sk
)25s(ksk
)5s()25s(3s2 3
2
21
2 ++
++
=++
+
2s+3=(k1s+k2)(s+5)+k3(s2+25)
2s+3=k1s2+k2s+5k1s+5k2+k3s2+25k3
Määramata kordajate meetod:
s2: 0=k1+k3 ® k1=-k3s1: 2=k2+5k1s0: 3=5k2+25k3
507k,
1013k,
507k 321 -===
Page 44
5s507
25s1013s
507
)s(Y2s +
-+
+=
t5Ls e
507
5s507
)s(Y 1 --¾®¾+
-= -
22222 5s55
1013
5s
s507
25s1013s
507
+
×+
+=
+
+
L-teisenduste tabelist
tsins 0
l
2
0
2
0 1 w¾®¾w+
w -
tcosss
0
l
2
0
2
1 w¾®¾w+
-
Page 45
t5
s
L
s e507t5sin
5013t5cos
507)t(y)s(Y 1 --+=¾®¾ -
25s551
25ss5
25s1s5
25s21s5
25s)0(u2)0(y)0(sy)s(Y
22
222v
+
×-
+=
=+-
=+-+
=+
-+= !
t5sin51tcos5)t(y)s(Y v
L
v
1 -=¾®¾ -
t5sin51tcos5
e507t5sin
5013t5cos
507
)t(y)t(y)t(y
t5
vs
-+
+-+=
=+=
-
Page 46
ys(t) – sundliikumine (sisendsignaali mõjul)yv(t) – vabaliikumine (algtingimuste mõjul)
5055070
507)0(y =-+-+=
m.o.t.t.
Page 47
Lineaarsete pidevaja süsteemi analüüs: hilistumisega süsteemid
Näide No.7 Hilistumisega süsteemi analüüsSüsteem on antud kujul:
)t(u3dt
)1t(du2)t(y101dt)t(dy20
dt)t(yd
2
2
+-
=++
Leida:1) süsteemi ülekandefunktsioon;2) vabaliikumine;3) sundliikumine.
2)0(y,4)0(y -== !)t()t(u 1=
Algtingimused:
Sisendsignaal:
Page 48
)s(U)t(u L¾®¾
);s(Y)t(y L¾®¾
)0(y)0(sy)s(Ysdt
)t(yd 2L
2
2
!--¾®¾
[ ] sL e)0(u)s(sUdt
)1t(du --¾®¾-
)0(y)s(sYdt)t(dy L -¾®¾
[ ][ ] )s(U3e)0(u)s(sU2
)s(Y101)0(y)s(sY20)0(y)0(sy)s(Yss
2
+-==+-+--
-
!
Lahendus:
Page 49
!!!!!! "!!!!!! #$
%
!!! "!!! #$)s(Y
2
s
)s(Y
2
s
vs
101s20se)0(u2)0(y20)0(y)0(sy)s(U
101s20s3se2)s(Y
++-++
++++
=--
• Ülekandefunktsioon (nullised algtingimused)
101s20s3se2
)s(U)s(Y)s(H
2
s
+++
==-
• Vabaliikumine
=++
-++=
-
101s20se)0(u2)0(y20)0(y)0(sy)s(Y
2
s
v
!
1)0(u,2)0(y,4)0(y =-== !
=++
-++
+=
++-
++×+-
=-
101s20s2
101s20s78s4
101s20se2
101s20s4202s4
222
s
2
01 0 1s2 0s 2 =++
i1 01011010p 2
2,1 ±-=-±-= poolused!
Page 50
22
s
2222 1)10s(e2
1)10s(38
1)10s()10s(4
++-
+++
+++
=-
tcose)s(
s0
tL
2
0
2
1 w¾®¾w+a+
a+ a--
tsine)s( 0
tL
2
0
2
0 1 w¾®¾w+a+
w a--
)1t(tsine2tsine38tcose4)t(y)s(Y t10t10t10
v
L
v
1 -d*-+=¾®¾ ----
)1t(e!N B 1Ls -d¾®¾ --
0)(y,4)0(y vv =¥=
• Sundliikumine
)s(U101s20s3se2)s(Y
2
s
s +++
=-
s1)s(U)t(1)t(u L =¾®¾=
Page 51
)10120(321
1012032)( 22 ++
+=×
+++
=--
sssse
ssssesY
ss
s
Liikme e-s tõttu probleemid L-1 leidmisega. Kasutame L-teisenduse omadust – konvolutsioon!
Esitame Ys(s) kujul
)10120(3
101202)( 22 ++
+×++
= -
ssse
sssY s
s
Esmalt leiame
¾®¾×++
-- 1
101202
2Lse
ss
Page 52
Sisuliselt on tegemist järgmise süsteemiga
konvolutsioon ٭
1-L 1-L
101202
2 ++ sse-s
)1(
sin21)10(
210120
2
1
1 10222
-¾®¾
¾®¾++
=++
-
-
-
-
te
tesss
Ls
tL
d
)1(sin2)1(sin210120
2 )1(10102
1
-=-*¾®¾×++
---- - tetteess
ttLs d
korrutis konvolutsioon
Page 53
Teiseks leiame ¾®¾++
-1
)10120(3
2L
sss
10120)10120(3
2321
2 +++
+=++ ss
KsKsK
sss
10131013:
20200:0:
110
13311
12212
=®=
-=®+=
-=®+=
KKs
KKKKsKKKKs
sKsKKsKsKsKsKssK
32
2112
1
322
1
101203)()10120(3++++=
++++=
101601013
3
2
=
=
K
K
Page 54
222321
1)10(10160
1013
1013
10120 ++
--+=
+++
+s
s
sssKsK
sK
)(1013101
31 t
sL 1¾®¾
-
222222 1)10(10130
1)10(
)10(1013
1)10(
)603(1011
++
-+
++
+-=
++
+-
ss
s
s
s
te
Lt cos
1013 10
1
-
-
- te t sin10130 10--
tetettety ttts sin
10130cos
1013)(
1013)1(sin2)( 1010)1(10 ---- --+-= 1
Page 55
Väike üldistus
Kuidas muutub lahenduskäik, kui u(t)=1(t-1) ?
Vaatame üle, kuidas mõjub sisendsignaali hilistumine sundliikumisele
s
L
s
s
es
ttu
sttu
sUss
seLty
-
--
®-=
¾®¾=
þýü
îíì ×
+++
=
1)1()(
1)()(
)(1012032)( 2
1
1
1
Järelikult Ys(s) avaldub
)10120(32)( 2
2
+++
=--
sssesesY
ss
s
Page 56
)2(sin2)2(sin210120
2 )2(101022
1
-=-*¾®¾×++
---- - tetteess
ttLs d
korrutis konvolutsioon
)1(sin10130)1(cos
1013)1(
1013
)1(sin10130cos
1013)(
1013
)10120(3
)1(10)1(10
1010
2
1
-----=
=-*þýü
îíì --
¾®¾++
----
--
- -
tetet
ttetet
esss
tt
tt
Ls
1
1 d
Esitame Ys(s) kujul
sss e
ssse
sssY --
+++
++=
)10120(3
101202)( 2
22
Page 57
OlekumudelAlustame lihtsast näitest.
ÇÇÇÇ
v(t)+
++
+
_
__
R
C
L vL(t)
vR(t)
vC(t)
i(t)
dttdiLtv
dttiC
tv
L
t
C
)()(
)(1)(0
=
= ò
)()()()(0)()()()(
tvtvtvtvtvtvtvtv
CRL
CRL
=++=---
dttdvti
CdttdiR
dttidL
tvdttiC
tRidttdiL
t
)()(1)()(
)()(1)()(
2
2
0
=++
=++ ò)0();0(
dtdii algtingimused
Page 58
Valime olekumuutujad (soovitavalt füüsikalise sisuga )
ò
ò
==
==
t
LL
t
C
dttvL
titx
dttiC
tvtx
02
01
)(1)()(
)(1)()(
|||)(ti
)(1)(1)( 21
1 txC
tiCdt
dxtx ===!
! )()(1)()(
1
2
2
2
0)(
)(
tvdttiC
tRidttdiL
tx
t
tx
dtdxtx
=++ ò=
"#"$%#$%&
ïî
ïí
ì
=
+--=
21
212
1)(
)(1)()(1)(
xC
tx
tvL
txLRtx
Ltx
!
!
)()( 2 txty =
Page 59
îíì
=+=)0(),()()()()(
xtCxtytButAxtx!
;10
;1
10
úúû
ù
êêë
é=
úúú
û
ù
êêê
ë
é
--=
LB
LR
L
CA
[ ] úû
ùêë
é=úû
ùêë
é==
)()(
)()(
)(;102
1
titv
txtx
txCL
C
|||)(tiu(t)=v(t)
x(t)i(t)y(t)
v(t)u(t)
Olekumudel üldkujul:
îíì
=+=)0(),()()()()(
xtCxtytButAxtx!
olekuvõrrand
väljundvõrrand
Page 60
;
)(
)()(
)(;
)(
)()(
)(;
)(
)()(
)( 2
1
2
1
2
1
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
ty
tyty
ty
tu
tutu
tu
tx
txtx
tx
mrn
!!!A – n x n;B - n x r;C - m x n.
Kasutame Laplace’i teisendust:
)()();()();()(
sYtysUtusXtx
L
LL
¾®¬
¾®¬¾®¬
îíì
=+=-
)()()()()0()(
sCXsYsBUsAXxssX
Page 61
Olekuvõrrandist)()()0()()( 11 sBUAsExAsEsX -- -+-=
Rakendame Laplace´i pöördteisndust
ò --
-
¾®¬-
-¾®¬t
tAL
LAt
dBuesBUAsE
AsEe
0
)(1
1
)()()(
)(
ttt
ïïî
ïïí
ì
=
+= ò¬
-
-
¬-
Cx(t)y(t)
)()0()(0
)(min
)(
)0(min
t
tuesundliiku
tA
xevabaliiku
At dBuexetx !! "!! #$"#$ ttt
Page 62
OlekumudelOmadused:1. Sisend – olek (siseolek) – väljund mudel;2. Olekumuutujad on valitavad;3. Igale olekumuutujate valikule (komplektile) vastab
üks olekumudel;4. Igale reaalsele süsteemile saab koostada mitu
olekumudelit, mis kõik kirjeldavad antud süsteemi ja erinevad üksteisest olekumuutujate valikute poolest.
Seonduvad probleemid:1. Olekumudelite teisendamine (olekuvektorite lineaar-
teisendused);2. Süsteemi olekumudelite seosed ülekandemudeliga
ja invariandid.
Page 63
Olgu meil maatriks T-nxn, det T≠0 st. regulaarne maatriks.
¬= )(~)( txTtx defineerime lineaarteisenduse
îíì
=+=)0(),()()()()(
xtCxtytButAxtx!
1/)()(~)(~ -×+= TtButxATtxT!
îíì
=+= --
)(~)()()(~)(~ 11
txCTtytBuTtxATTtx!
îíì
=
+=
)0(~),(~~)()(~)(~~)(~
xtxCty
tuBtxAtx!
kus
CTCBTBATTA
=
=
=-
-
~~~
1
1
Page 64
Olekuvõrrandi karakteristlik polünoom
det(sE-A)
Karakteristliku võrrandi det(sE-A)=0 juured on A omaväärtused.
Teoreem: Karakteristlik võrrand det(sE-A)=0 on invariantne oleku x(t)regulaarsete teisenduste suhtes.
)(detdet)(detdet)(det)~(det
0det
1
11
AsETAsETATTTsTAsE
T
-=-=
=-=-
¹
-
--
m.o.t.t.
Page 65
Teoreem: Ülekandemaatriks (u(t)→y(t))
BAsECsH 1)()( --=
BAsECsH 1)()( --= on invariantne oleku x(t) regulaarseteteisenduste suhtes.
[ ])()(
)()(
)(~)~(~)(~0det
1
111111
11111
sHBAsECBTTAsECTTBTTAsETCT
BTATTTsTCTBAsECsH
T
=-=
=-=-=
=-=-=
¹
-
------
-----
Karakteristlik võrrand ja ülekandemaatriks on invariandid oleku x(t) regulaarsete teisenduste suhtes.
m.o.t.t.
Page 66
Pidevaja süsteemi mudelidÜlekandemudelid: Olekumudel:[sisend–väljund mudelid] [sisend-olek-väljund mudel]● diferentsiaalvõrrand / ● olekuvõrranddif.võrrandite süsteem ● väljundvõrrand● ülekandefunktsioon /ülekandemaatriks● hüppekaja /hüppekajade maatriks● impulsskaja /impulsskajade maatriksPoolused [ülekande- ↔ Omaväärtused [oleku-funktsiooni nimetaja juured] võrrandi A maatriksi oma-
väärtused]Poolused / omaväärtused määravad süsteemi käitumise.