Isometrias lineares Álgebra Linear – Videoaula 21 Luiz Gustavo Cordeiro Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática L. G. Cordeiro (UFSC) Álgebra Linear, aula 21 Isometrias lineares 1 / 17
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Isometrias linearesÁlgebra Linear – Videoaula 21
Luiz Gustavo Cordeiro
Universidade Federal de Santa CatarinaCentro de Ciências Físicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
L. G. Cordeiro (UFSC) Álgebra Linear, aula 21 Isometrias lineares 1 / 17
Isometrias lineares
DefiniçãoUma isometria linear é uma transformação linear T : V →W entre EPIstal que
‖T (v)‖ = ‖v‖ para todo v ∈ V .
Isometrias lineares são as transformações que preservam toda a estruturade um EPI.
Normalmente é mais prático verificar que ‖T (v)‖2 = ‖v‖2 para evitarraízes quadradas.
L. G. Cordeiro (UFSC) Álgebra Linear, aula 21 Isometrias lineares 2 / 17
Isometrias linearesExemplo
A rotação por um ângulo θ no plano é a transformação Rθ cuja matrizna base canônica é [
Mas como T é isometria, ‖T (u)‖ = ‖u‖ e ‖T (v)‖ = ‖v‖, logo
2〈T (u),T (v)〉 = 2〈u, v〉〈T (u),T (v)〉 = 〈u, v〉
L. G. Cordeiro (UFSC) Álgebra Linear, aula 21 Isometrias lineares 9 / 17
Isometria lineares e adjuntas
TeoremaUma transformação linear entre EPIs T : V →W é uma isometria se, esomente se, T ∗T = idV .
T é isometria ⇐⇒ para todo v e para todo x , 〈T (v),T (x)〉 = 〈v , x〉⇐⇒ para todo v e para todo x , 〈T ∗T (v), x〉 = 〈v , x〉⇐⇒ para todo v , T ∗T (v) = v
⇐⇒ T ∗T = idV
CorolárioUma transformação linear T : V →W entre EPIs de mesma dimensãofinita é uma isometria se, e somente se, T é inversível e T ∗ = T−1.
L. G. Cordeiro (UFSC) Álgebra Linear, aula 21 Isometrias lineares 10 / 17
Matrizes ortogonais
DefiniçãoUma matriz real O ∈ Mn(R) é ortogonal se
Ot = O−1
L. G. Cordeiro (UFSC) Álgebra Linear, aula 21 Isometrias lineares 11 / 17
Matrizes ortogonais e isometrias
TeoremaSejam V ,W EPIs com dim(V ) = dim(W ), com bases ortonormaisordenadas B,C e T ∈ L(V ,W ). Então T é uma isometria se, e somentese,[T]CB
é ortogonal.
Seja A =[T]CB. Já sabemos que At =
[T ∗]B
C. Assim,
T é isometria ⇐⇒ T ∗T = idV
⇐⇒[T ∗T
]BB
=[idV
]BB
⇐⇒[T ∗]B
C
[T]CB
= In
⇐⇒ AtA = In
⇐⇒ A =[T]CB
é ortogonal
L. G. Cordeiro (UFSC) Álgebra Linear, aula 21 Isometrias lineares 12 / 17