Ismertető › pub › bemutato › solver.pdfIsmertető A középiskolábansokféleegyenlet megoldásávalmegismerkednek a diákok. A matematikaóránazonban csak korlátozotttípusúegyenletek

Ismertető

A középiskolában sokféle egyenlet megoldásával megismerkednek a diákok.A matematikaórán azonban csak korlátozott típusú egyenletek fordulnak elő. Nem is cél azegyenletmegoldás általános tárgyalása, nem szólva az explicit módon nem megoldható,magasabb fokú vagy transzcendens egyenletekről.

A továbbiakban megtanuljuk használni a Solvert, az Excel egyenletmegoldó(illetve annál sokkal általánosabb célú) eszközét. Nem foglalkozunk az egyenlet megoldásának

módjával.A gyökök értékére vagyunk kíváncsiak, hasonlóan ahhoz, mint amikor számológéppelmeghatározzuk egy szám négyzetgyökét.

Az Excel Célértékkeresője is lehetővé teszi bizonyos egyenletek megoldását. De aSolver inkább általános problémák megoldására használható. Ehez a témakörhöz kapcsolódóanérdemes betekintenünk még az Ms-Office Samples\Solvsapm.xls file-jába, ami az Exceltelepítésekor kerül a háttértárra.

A Solver telepítése, illetve indításaA Solver az Excel bővítményei közé tartozik. Első felhasználása előtt fel kell vennünk a menübe abővítménykezelő segítségével (Eszközök/Bővítménykezelő). Jelöljük be a Solver bővítményhasználatát, majd kattintsunk az OK gombra. Az Office telepítésétől függően esetenként szükséglehet a telepítő CD-re. Ezek után a Solver megjelenik az Eszközök menüben, ahonnan el tudjukindítani.

A SolverA Solver egy úgynevezett „mi lenne ha” típusú elemzőeszköz. Segítségével megkereshetjük aközvetlenül vagy közvetve - cellákban szereplő képletekkel - megadott korlátozó feltételeknekmegfelelő értéket. A keresett értéket az úgynevezett célcella tartalmazza.A feltételekben szereplő cellákat módosuló celláknak nevezzük. A feltételek általában amódosuló cellákra hivatkozó képletek. A Solver úgy változtatja a módosuló cellák értékét, hogya célcellában meghatározott érték legyen a végeredmény.

Például:Az ax + b = c egyenlet megoldásánál az x-et tartalmazó cella a módosuló cella, a megoldás

keresésénél a Solver ennek az értékét fogja módosítani. A célcella tartalmazza a c értékét,korlátozó feltételünk pedig az, hogy az ax + b értéke legyen egyenlő a c értékével.

A Solver nem csak egyenletek, egyenletrendszerek megoldására alkalmas.Nagyon széles körű problémák vizsgálata lehetséges a segítségével. A továbbiakban azalkalmazási lehetőségek közül láthatunk néhány példát az Ms-Excel 2003 felhasználásával.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

A B C D E F G H I J

2 x2: 4

-9,4E-07 -2E-07

x1:

Az egyenlet: x2-6x+8=0

Egyismeretlenes, másodfokú egyenletek

A megoldás menete1. , Válasszuk ki a módosuló cellát.(áttekinthetőbb szerkezetet kapunk, ha ezt a cellát elnevezzük x-nek, vagy az ismeretlennek megfelelő más betűvel jelöljük)

2., Redukáljuk 0-ra az egyenletet.(az egyenlet nullára redukálása nem szükséges feltétele a Solver alkalmazásának, ha az egyik oldalon egy konstans áll akkor ezt is beírhatjuk a paraméterek ablak Érték szövegdobozába)

3., Írjuk be egy cellába képletként az egyenlet bal oldalát, ez lesz a célcella.4., Indítsuk el a Solvert.5., Adjuk meg az egyenlet bal oldalát tartalmazó célcellát.6., Jelöljük be az Érték választógombot, és adjuk meg értékként a 0-t.7., Módosuló cellaként adjuk meg az ismeretlenhez kijelölt cellát.8., Kattintsunk a Megoldás gombra.A fenti eljárás alkalmazásánál nincs szükség külön korlátozó feltételek előírására.

A Solver meghatározza a (közelítő) megoldást, amit a módosuló cellában láthatunk. A célcella mutatja a megoldás pontosságát.

Példa:Oldjuk meg a Solverrel az f(x)=x2 – 6x = –8 másodfokú egyenletet!A nullára redukált alak: x2 – 6x + 8 = 0.

A további gyökök meghatározása:A Solver egyetlen megoldást határoz meg. További megoldásokhoz a módosuló cellakezdőértékének a megadásával juthatunk. Kezdőértéknek célszerű egy a keresett gyökhöz közeleső számot beírni.

A kezdőértéket például úgy határozhatjuk meg, hogy grafikonon ábrázoljuk a nullára redukáltegyenletet, majd az ábrázolt tartomány megfelelő finomításával megközelítőleg leolvassuk afüggvény zérushelyét.

Írjunk például az előző feladatban a F26 cellába a másik gyökhöz közel eső 3,8-öt, és indítsuk elígy a Solvert. Megkapjuk a másik gyök közelítő értékét is.

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

A B C D E F G H I J

Feladatok:

Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a Solver segítségével! Határozzuk meg az összes megoldást!

1., 4x – x2 = 3

2., 5x2 – x3 = 12

3., 3x4 + 1 = 9x2

4., x2 + 1/x2 = 8

5., |x – 3| + |x – 2| = x/2 + 8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

A B C D E F G H I J

xmax: 0,6000

f(xmax): 0,2160

f(x)=4x3-5x4

x: f(x):

-0,5 -0,8125

-0,4 -0,3840

-0,3 -0,1485

-0,2 -0,0400

-0,1 -0,0045

0,0 0,0000

0,1 0,0035

0,2 0,0240

0,3 0,0675

0,4 0,1280

0,5 0,1875

0,6 0,2160

0,7 0,1715

0,8 0,0000

0,9 -0,3645

1,0 -1,0000

1,1 -1,9965

1,2 -3,4560

1,3 -5,4925

Függvény szélsőértékének meghatározása

A megoldás menete1. , Vegyük fel az adatokat a függvény ábrázolásához az értelmezési tartományban.2., Ábrázoljuk a függvényt.3., Olvassuk le a grafikonról a szélsőérték közelítő értékét, ezt adjuk meg módosuló cellaként (xmax).(A szélsőértékek meghatározásánál fontos, hogy a grafikonról leolvasott közelítő értékből induljunk ki. A szélsőérték-helyek közelében ugyanis a függvényértékek csak kismértékben változnak, így a számítási pontosság alapjánstacionárius helyekként viselkednek. A Solver tehát a szélsőérték meghatározásakor stacionárius helyeket keres.)

4., Indítsuk el a Solvert.5., Adjuk meg a függvényt tartalmazó célcellát.6., Jelöljük be a Max választógombot.7., Módosuló cellaként adjuk meg az xmax celáját.8., Kattintsunk a Megoldás gombra.A fenti eljárás alkalmazásánál nincs szükség külön korlátozó feltételek előírására.

A Solver meghatározza a szélsőérték-helyet (xmax), a függvény szélsőértékét pedig a függvényttartalmazó cella mutatja.

Példa:Adjuk meg Solverrel az f(x)=4x3-5x4 függvény szélsőértékét!

-6,0

-5,0

-4,0

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

A B C D E F G H I J

Feladatok:

Határozzuk meg a következő függvények minimum- illetve maximumhelyeit!

1., f(x) = 2x3 – 6x2

2., g(x) = x4 – 2x2 + 3

3., h(x) = x + 1/x

4., i(x) = 4x/(x+1)2

5., j(x) = 3x/(x+2)3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

A B C D E F G H I J

x y z

3 -1 1

x y z konstans egyenletek

3 -2 1 12 12

1 4 2 1 1

3 2 -3 4 4

Lineáris egyenletrendszer megoldása

A Solvernek csak egy célcellát jelölhetünk ki, ezért az egyenletrendszerek megoldása soránkorlátozó feltételekkel adjuk meg az egyenleteket.

A megoldás menete1. , Válasszuk ki azokat a cellákat, ahol az ismeretlenek értékét fogjuk megkapni (módosuló cellák).2., Alakítsuk át az egyenleteket úgy, hogy a jobb oldalon csak egy konstans legyen.3., Írjuk be a változók együtthatóit, a mellettük lévő cellákba a jobb oldalon álló konstanst, majd írjuk be a kiválasztott cellákba képletként az egyenletek bal oldalát.4., Indítsuk el a Solvert.5., Hagyjuk mindenképpen üresen a célcella szövegdobozát.6., Módosuló cellaként adjuk meg az ismeretlenhez kijelölt cellatartományt.7., Korlátozó feltételként adjuk meg, hogy az egyenleteket tartalmazó cellatartomány legyen egyenlő a jobb oldali konstansokat tartalmazó cellatartománnyal .(A Max, Min, Érték választógombok kiválasztása nincs hatással a megoldásra. A paraméterek megadása akkor válikegyszerűbbé, ha szisztematikusan helyezzük el az egyenleteket a cellákban. Az egyenletek beírása előtt pedig célszerűtáblázatosan elrendezni az ismeretlenek együtthatóit, mert így az első egyenletből a képlet egyszerű másolásávalkapjuk meg a többit.)

8., Kattintsunk a Megoldás gombra.

Példa:Oldjuk meg a Solverrel a következő egyenletrendszert:3x – 2y + z -12= 0;x + 4y + 2z -1= 0;3x + 2y – 3z -4= 0!

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

A B C D E F G H I J

A megoldást az A2:C2 cellatartományban olvashatjuk le. Ha a Solverben bejelöljük a lineáris modellt, akkor pontos megoldást kapunk (Beállítás). Sokismeretlenes egyenletrendszer esetén nem "éri meg" elnevezni a módosuló cellákat.

Feladatok:

Oldjuk meg a Solverrel a következő egyenletrendszereket:1., 2x-3y+z=-1; 5x+y+2z=13; x+2y-2z=-1;

2., x+2y+3z=1; 2x+3y+z=2; 3x+1y+2z=3;

3., 2(x+y)=7-(x+2); 5(x+1)=3(z+1); (y-1)/(z-1)=1/3;

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

A B C D E F G

x y

1 -1,999999964

az egyenletek bal oldalai: az egyenletek jobb oldalai:

1 1

-5,999999822 -6

Nem lineáris egyenletrendszer megoldása

A nem lineáris egyenletrendszerek megoldása a lineárishoz egyenletrendszerekhez hasonló módon történik. Általában több megoldást is kereshetünk. A kezdőértékektől (a módosuló celláktól) függ, hogy a Solver melyik megoldást találja meg. Az egy ismeretlenes egyenletekkel ellentétben nem tudjun a megoldáshoz közeli kezdőértéket megbecsülni.

A megoldás menete:1. , Válasszuk ki azokat a cellákat, ahol az ismeretlenek értékét fogjuk megkapni (módosuló cellák)!2., Írjuk be a kiválasztott cellákba képletként az egyenletek bal oldalát (az egyenletek eltérő szerkezetűek lehetnek, az együtthatókat nincs értelme külön cellákba beírni), majd mellé az egyenletek jobb oldalát!3., Indítsuk el a Solvert!4., Hagyjuk mindenképpen üresen a célcella szövegdobozát.5., Módosuló cellaként adjuk meg az ismeretlenhez kijelölt cellatartományt.6., Korlátozó feltételként adjuk meg, hogy az egyenleteket tartalmazó cellatartomány legyen egyenlő a jobb oldali konstansokat tartalmazó cellatartománnyal .7., Kattintsunk a Megoldás gombra.(A megtalált megoldást a módusuló cellákban láthatjuk. További megoldásokat újabb korlátozó feltételek alkalmazásával kaphatunk. Kereshetünk például olyan megoldást, amelynél az x > 1 . A korlátozó feltételek között nem szerepel a nagyobb reláció, ezért válasszunk egy 1-nél kicsivel nagyobb számot, és az x ≥ 1,1 feltételt írjunk elő. Így újabb megoldást találhatunk. A feltételek között előírhatjuk például, hogy mindkét megoldás nagyobb vagy egyenlő, illetve mindkettő kisebb vagy egyenlő legyen, mint 0. Ha a Solver leáll, mert nem talált megoldást, akkor változatlanul hagyva a módosuló cellákba írt értékeket, újra elindíthatjuk. Így további megoldásokat kereshetünk.)

Példa:Oldjuk meg a Solver-rel a következő nem lineáris egyenletrendszert:x + xy - y = 1;x2y - xy2 = -6!

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

A B C D E F G

Feladatok:

Oldjuk meg a Solverrel a következő nem lineáris egyenletrendszereket:1., xy + y2 = 55; 2x + y = 17;

2., x3 + y3 = 341; x + y = 11;

3., x2 + y2 – 3x + 5y = 0; x2 + y2 + 2x – 3y = 0!

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

A B C D E F G H I J K L

444

21 189 177 57 444

153 81 93 117 444

105 129 141 69 444

165 45 33 201 444

444 444 444 444 444

Bűvos négyzetek készítése, megoldása

A lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerét felhasználhatjuk bűvös négyzetek készítésére is.

A megoldás menete:1. , Írjuk be a bűvös négyzet megadott adatait!2., Indítsuk el a Solvert!3., Hagyjuk mindenképpen üresen a célcella szövegdobozát.4., Módosuló cellaként adjuk meg a bűvös négyzet üres celláit!5., Korlátozó feltételként adjuk meg, hogy a sor-, oszlop- és átlóösszegek legyenek egyenlők a második sorban álló számok összegével!6., Kattintsunk a Megoldás gombra!

Példa:Készítsük el az alábbi példa alapján a bűvös négyzetet!

Feladatok:

Oldjuk meg a Solverrel a következő bűvös négyzetet!31 28

26 25 2321

19 29 16

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

A B C D E F G H I J

I. II. max

x y

szendvics 20 10

vaj 1 2 40

szalámi 3 1 70

egyenletek:

vaj 40

szalámi 70

Összes szendvics: 30

Kétváltozós lineáris programozási feladat

Egy példán keresztül mutatom be a feladattípust és a Solver felhasználását a megoldásban. A feladatokat grafikusan is megoldhatjuk, de tudjuk, hogy grafikusan csak a kétváltozós lineáris programozási feladatok oldhatók meg. A Solver természetesen több változó esetén is alkalmazható (szimplex-módszer).

Példa:Kétféle szendvicset készítünk az osztálybulira. Az első típushoz felhasználunk 1 dkg vajat és 3 szelet szalámit. A másodikra típusra 2 dkg vajat és egy szelet szalámit teszünk. Összesen 40 dkg vajat és 70 szelet szalámit használhatunk fel. Hány darab szendvicset készítsünk az egyes típusokból, hogy a lehető legtöbb darab szendvics készüljön el?

Foglaljuk táblázatba, képletbe a feladat szövegét!1.,

I. II. max.szendvics (darab) x yvaj (dkg) 1 2 40szalámi (szelet) 3 1 70

2., Jelöljük x-szel az I. típusú, y-nal a II. típusú szendvicsek számát. A korlátozó feltételek (max):vaj (dkg): 1·x + 2·y ≤ 40;szalámi (szelet): 3·x + 1·y ≤ 70 .

3., Számunkra természetes, de a Solvernek elő kell írnunk a következő feltételeket is (pozitív értékek):

x ≥ 0 és y ≥ 0 .

4., Összesen (x + y) szendvicset készítünk, tehát keressük ennek a kifejezésnek a maximumát a fenti korlátozó feltételek mellett.

A megoldás menete:1. , Adjuk meg a táblázatos adatokat!(nevezzük el az x és y értékeket tartalmazó cellákat, ezek lesznek a módosuló cellák)2., Indítsuk el a Solvert!3., A célcellába írjuk be az = x + y képletet tartalmazó cellahivatkozást!4., Módosuló cellaként adjuk meg az x és y értékeket tartalmazó cellákat!5., Vegyük fel a korlátozó feltételeket, és jelöljük be a Max választógombot.A feltételek bal oldalán álló kifejezéseket célszerű cellákba írni. Szisztematikus elrendezéssel elérhetjük, hogy elegendő legyen egyszer begépelni, majd másolni. Ne felejtsük el kikötni, hogy a változók nem lehetnek negatívak!

6., Kattintsunk a Megoldás gombra!

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

A B C D E F G H I J

A Solver meghatározza, hogy az I. szendvics típusból 20 db, a másik szendvics típusból pedig 10 db szendvicset kell (tudunk, célszerű) készíteni. Így éppen felhasználunk minden nyersanyagot. Nem biztos, hogy az ilyen típusú feladatokra egész megoldást kapunk. A Solverben nem lehet beállítani, hogy csak egész megoldást keressen, mert ez az egyik legnehezebb matematikai probléma.

Feladatok:Oldjuk meg a Solverrel a következő lineáris programozási feladatokat:

1., Egy háziállatnak négyféle tápanyagot kell kapnia. Az etetéshez kétféle takarmányt használhatunk fel. A takarmányok tápanyagtartalmát és a napi szükségleteket az alábbi táblázat tartalmazza. Határozzuk meg a leggazdaságosabb takarmánykeverék összetételét!

1. típusú takarmány (x kg) 2. típusú takarmány (y kg) Előírt mennyiségI. tápanyag (kg): 0,1 0 0,2II. tápanyag (kg): 0 0,2 0,4III. tápanyag (kg): 0,1 0,2 1IV. tápanyag (kg): 0,7 0,6 4,2Egységár(Ft/kg): 20 30

2., Egy asztalosműhelyben szekrényt és könyvespolcot készítenek. Egy szekrény elkészítéséhez 2 m2 cseresznyefára és 4 m2 tölgyfára van szükség. A könyvespolchoz 3 m2 cseresznye-, illetve 2 m2 tölgyfát használnak fel. A szekrényen darabonként 3000 Ft, a könyvespolcon pedig 4000 Ft a nyereség. A raktárban mindkét fajtából 160 m2 deszkalap található. Hány szekrényt, illetve könyvespolcot készítsünk a raktárkészletből, hogy a legnagyobb legyen a nyereség?

3., Keressük meg a 2x + 3y kifejezés minimumát az alábbi feltételek mellett:–x + 3y ≥ 2;x + y ≤ 6;3x – y ≥ 2;x, y ≥ 0 !

4., Keressük meg az x + 7y + 4z kifejezés maximumát az alábbi feltételek mellett:x + y + z ≤ 11;2x + 3y + z ≤ 15;x, y, z ≥ 0 !

5., Keressük meg az x maximumát az alábbi feltételek mellett:x + y ≤ 50;y + z ≥ 80;x + z ≤ 100;x, y, z ≥ 0 !

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

A B C D E F G H I

I. és II. könyv I. és III. könyv II. és III. könyv

x y z

diákok: 4 6 8

max. db

I. könyv: 1 1 0 10

II. könyv: 1 0 1 12

III. könyv: 0 1 1 14

egyenletek:

I. könyv: 10

II. könyv: 12

III. könyv: 14

maximum: 18

Kombinatorikaifeladat

Egy példán keresztül mutatom be a feladattípust és a Solver felhasználását a megoldásban.

Példa:A diákokat év végén könyvjutalomban részesítjük. Egy diák két különböző könyvet kap ajándékba. Összesen háromféle könyv áll a rendelkezésünkre. Az első típusból 10 db, a másodikból 12 db, a harmadikból pedig 14 db könyvünk van. Hogyan osszuk szét a könyveket, hogy a lehető legtöbb diák kapjon könyvjutalmat?

Foglaljuk táblázatba, képletbe a feladat szövegét!1.,

I. és II. könyv I. és III. könyv II. és III. könyvdiákok száma (db) x y z max. könyv darabszámI. könyv (db) 1 1 0 10II. könyv (db) 1 0 1 12III. könyv (db) 0 1 1 14

2., Jelöljük x-szel az I. és II. típusú, y-nal a I. és III. típusú , z-vel a II. és III. típusú könyveket kapó diákok számát. A korlátozó feltételek (max):

I. és II. könyv (db): 1·x + 1·y + 0·z ≤ 10;I. és III. könyv (db): 1·x + 0·y + 1·z ≤ 12;II. és III. könyv (db): 0·x + 1·y + 1·z ≤ 14;

3., Számunkra természetes, de a Solvernek elő kell írnunk a következő feltételeket is (pozitív értékek):

x ≥ 0 és y ≥ 0 és z ≥ 0.

4., Összesen (x + y+z) diáknak adhatunk könyvet, tehát keressük ennek a kifejezésnek a maximumát a fenti korlátozó feltételek mellett.

A megoldás menete:1. , Adjuk meg a táblázatos adatokat!(nevezzük el az x , y és z értékeket tartalmazó cellákat, ezek lesznek a módosuló cellák)2., Indítsuk el a Solvert!3., A célcellába írjuk be az = x + y+z képletet tartalmazó cellahivatkozást!4., Módosuló cellaként adjuk meg az x , y és z értékeket tartalmazó cellákat!5., Vegyük fel a korlátozó feltételeket, és jelöljük be a Max választógombot.A feltételek bal oldalán álló kifejezéseket célszerű cellákba írni. Szisztematikus elrendezéssel elérhetjük, hogy elegendő legyen egyszer begépelni, majd másolni. Ne felejtsük el kikötni, hogy a változók nem lehetnek negatívak!

6., Kattintsunk a Megoldás gombra!