ISD Complementos

Identificao de Sistemas Dinmicos1 Sem. 2012

Adolfo Bauchspiess

Laboratrio de Automao e RobticaDepartamento de Engenharia Eltrica

Faculdade de TecnologiaUniversidade de Braslia

Sumrio

I. IntroduoII. Sinais e Sistemas Dinmicos III. Algoritmos

a. Mtodos Determinsticos

ABauchspiess LARA/UnB Identificao de Sistemas Dinmicos

b. O Estimador de Mnimos Quadradosc. Estimadores no polarizadosd. Estimadores Recursivos

IV. Identificao na Prticaa. Processo Trmicob. Nvel de Lquido 2 Ordemc. Nvel de Lquido 4 Ordem

V. Concluses2

1 - INTRODUO

ABauchspiess LARA/UnB Identificao de Sistemas Dinmicos3

I - Introduo

Modelos: Caixa Branca Caixa Preta


Caixa Preta Caixa Cinza

Identificao de Sistemas

4

Sinais e Sistemas


Sinais:u - entrada (varivel manipulada)y sada (varivel controlada)w perturbao mensurvelv perturbao no mensurvel

Exemplo Conforto Trmico


Sinais:u ar condicionado, calefaoy temperaturaw temperatura externav radiao solar

Sistema:

Exemplo Processo de nvel

Sistema:Sinais:u qi1, vazo [cm3/s]y nvel [cm]w qi3v ?


v ?

Exemplo Helicptero

Sistema:Sinais:u motoresy posio e orientaow ?v vento


Principais Etapas numa Identificao

Coleta de dados Escolha da representao matemtica


Escolha da representao matemtica Determinao da estrutura Estimao dos parmetros Validao

9

II SINAIS


E SISTEMAS DINMICOS

II. Sinais e Sistemas Dinmicos

Sistemas dinmicos lineares invariantes no tempo

Breve reviso de conceitos vistos em Anlise Dinmica Linear, Controle Dinmico e Controle Digital


invariantes no tempo Sistemas discretos Sistemas no-lineares Sistemas a parmetros distribudos Paradigmas de controle de sistemas dinmicos

Tipos de Modelos

Estticos x Dinmicos Discretos x Contnuos Autnomos x No autnomos


Autnomos x No autnomos Monovariveis x Multivariveis Determinsticos x Estocsticos Paramtricos x No paramtricos

12

Sistemas lineares invariantes no tempo

Princpio da superposio Funo de transferncia


Todos os sistemas reais so no lineares: Saturao Zona-Morta Dependncia do ponto de operao etc

Sistemas Discretos

Amostragem Transformada Z Computadores, CLPs, Microcontroladores & etc


Identificao de Sistemas utiliza amostras dos sinais

Sistemas LTI discretos

SistemaDiscretoSistema

Continuo

u(t) y(t) u(kT) y(kT)


=

=

=

=

===

0

00

)()(

,...2,1,0),()()()()()(

t

t

kc

ciaTransferndeFunoqkhqH

tktukhtydtuhty

Obs: q-1 operador deslocamento unitrioz freqncia discreta

Sistemas a Parmetros Distribudos

Fenmenos de Transporte Exemplo: Transferncia de Calor 2

2

2

2

tK

x

=


Simulao da velocidade do vento em Modelica, por Felgner, ASIM2002

Modelo Paramtrico x Modelo No P.

15,01)( 2 ++

+=

ss

ssH Modelo Paramtrico

10Bode Diagram

Modelo No Paramtrico: Resp. Impulso

Modelo No Paramtrico: Diagrama de Bode


0 5 10 15 20 25-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Impulse Response

Time (seconds)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

-40

-30

-20

-10

0

M

a

g

n

i

t

u

d

e

(

d

B

)

10-2 10-1 100 101 102-135

-90

-45

0

45

P

h

a

s

e

(

d

e

g

)

Frequency (rad/s)

Modelo Discreto

6065,08828,03319,0056,1)( 2 +

=

zz

zzH Modelo Paramtrico Discreto

Modelo No Paramtrico: Resp. pulso

Modelo No Paramtrico: Diagrama de Bode

10Bode Diagram


0 5 10 15 20 25-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Impulse Response

Time (seconds)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

-10

-5

0

5

M

a

g

n

i

t

u

d

e

(

d

B

)

10-2 10-1 100 101-180

-135

-90

-45

0

P

h

a

s

e

(

d

e

g

)

Frequency (rad/s)

Perturbaes

Sistema Discreto

v (t)

y (t)u(t)20 30 40 50 60 70 80 90

10

15

20

25

30

35

40Temperatura lado Sul - Kaiserslautern 4-7 Jul 2003

t/horas

T

e

m

p

e

r

a

t

u

r

a

/

C


)()()()(0

tvktukgtyk

+=

=

Sistema Discreto

Causas: rudo de medida, entradas no controlveis

20 30 40 50 60 70 80 9022

23

24

25

26Temperatura sala de conferencias - Kaiserslautern 4-7 Jul 2003

t/horas

T

e

m

p

e

r

a

t

u

r

a

/

C

Ex. Temperatura medida com rudo

Caracterizao de perturbaes

{ })(

)()()(0

brancorudote

ktekhtvk

=

=

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

a)

0.3


{ }

),0()()),,0(;,)(

1,0)()1s

1)(:

)(

NtebnormalodistribuiNradeprobabilidcomrte

adeprobabilidcomtea

sHExemplos

brancorudote

=

=

+=

b)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Covarincia

:

0)()()(:0

=

==

=

inciavarCo

ktEekhtEvMdiak

Assumindo e(t) com mdia 0 e varincia ,


)()()(:

)()(

)()()(

)()()()()()(

0

00

00

=

=

=

=

=

=

=

=

=

tvtEvRvprocessodoinciavarCo

khkh

stshkh

stektEeshkhtvtEv

v

s

sk

sk

Funes de Transferncia

)()(

)()(

)()()()()()()()()(

1

1

111

zkgzG

qkgqG

tuqGtuqkgtuqkgktukgty

k

k

k

k

k

k

k

k

k

=

=

=

===

=

=

=

=

=

Resposta do sistema

Funes de Transf.


)()()(

)()(0

1

teqHtv

zkhqHk

k

k

=

=

=

=

)()()()()( teqHtuqGty +=

Funes de Transf.

Resposta perturbao

Sistema Discreto

Filtro do rudo branco

v (t)

y (t)u(t)

e(t)

Resposta no domnio da freqncia

( ))(argcos)()( ii eGteGty +=SistemaContinuo

u(t)=cos(t)=Re(eit)

( )ttupara

Periodograma{ }

1

,...2,1),2(:

)(1)(:

,...2,1),(

pi

N

N

t

tiN

NkkN

UDiscretaFourierdedaTransforma

etuN

UFourierdedaTransforma

NttufinitaSequncia

=

=

=

=


21

2

1

2

2/

2/1

2

)(:

)()2(:

)2(1)(:

)(

pi

pipi

N

N

t

N

kN

N

Nk

ktN

i

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UmaPeriodogra

tukN

UParseval

ekN

UN

tuinversaDFT

DFTN

==

=

=

=

Propriedades do Periodograma

)()()()()2(

*

pi

NN

NN

UUrealtuse

UUadeperiodicid

=

=+


)()()( NN UUrealtuse =

Exemplos

=

=

===

seno

paraANU

sNNNcomtAtu

N

,0,

4)(

,/2,cos)(

0

22

000

pi

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

y

1

Input and output signals

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

Time

u

1


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

Normalized Frequency (pi rad/sample)

P

o

w

e

r

/

f

r

e

q

u

e

n

c

y

(

d

B

/

r

a

d

/

s

a

m

p

l

e

)

Power Spectral Density Estimate via Periodogram

10-2 10-1 100 101 10210-10

10-5

100

105

y

1

Periodogram

10-2 10-1 100 101 10210-5

100

105

Frequency (rad/s)

u

1

Sinal Peridico

=

=+=

+=

eAN

tu

sNNNNtutuN

Nr

Nitrr

1)(

],,1[),()(2/

12/

/2

0

00

0

0

0pi

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

0

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-60

-40

-20

0

20

40


P

o

w

e

r

/

f

r

e

q

u

e

n

c

y

(

d

B

/

r

a

d

/

s

a

m

p

l

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)



===

= =

+=

seno

Nr

Nk

seAsU

etuN

Acom

N

r

N

N

t

Nitrr

Nr

,02

,...1,0,2,)(

)(1

0

0

22

1

/2

0

12/0

00

0

pi

pi

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

0

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20


P

o

w

e

r

/

f

r

e

q

u

e

n

c

y

(

d

B

/

r

a

d

/

s

a

m

p

l

e

)


Filtro ou Sistema Dinmico: Transformada de Fourier

SistemaContinuo

w(t)

{ } { }

=

=

=

1)(1)(

)()()(

)()(

N

t

tiN etsN

S

twqGts

estvelteestritamensistemaumporosrelacionadsotwets


=

=

=

+=

=

1

1

)(,2)(

)()()()(

)(1)(

tG

GwN

NNi

N

N

t

tiN

kgkCcomN

CCRonde

RWeGS

etwN

W

Processos Estocsticos

Uma seqncia de variveis aleatrias com uma pdf conjunta

Definies:

mdiatExtm == )()(


( )( )

( ) ( ) arinciavtxEttRtxVarcruzadacorrelaotytExtR

arinciavcotmtxtmtxEttCcorrelaotxtExtR

mdiatExtm

x

Tyx

Txxx

Tx

x

==

==

==

==

==

)(),( )()()( )(

)()()()( ),()()( )(

)()(

2

21

221121

21

Estacionariedade

x(t) estacionrio no sentido amplo (WSS) se:

=

==)(),(

)(2121 ttRttR

ttetanconsmtm

xx

xx


ioestacionrmaisnoctetuqGtEy = )()()()(

Processos quasi-estacionrios

=

=

=

=

)(),(1lim

),(),()()()2)()()()1

1s

N

tsN

ss

ss

RttRN

e

CrtRrtRrstEstCtmtmtEs


Se s(t) um processo estacionrio, ento satisfaz 1 e 2.Se s(t) determinstico ento:

)()()(1lim)2

)()1

1 s

N

tN

RtstsN

Cts

=

=

Exemplo

N

t

ticodeterminsoestocstictutxtsgeralem

NuN

tutuN

finitaenergiatemts

)()()(

01)()(1)(

2

21

+

+=

=


uxux

ux

s

s

N

t

mmRRt-stsEmmtsE

tRstsEctemtsEiaestacionrquasiSituao

NE:Notao

ticodeterminsoestocstic

2)()()()()(

)()()()(

(.)1lim(.)1

++=

+=

=

==

=

+

=

Espectro de Potncia

Para um processo quasi-estacionrio:

))(()()(

=

=

RdeFourierdedaTransformaeRe xixix


( ))()(4

)(

)cos(2

)(cos)cos(1lim)(

)cos()(:

00

2

0

2

100

0

++=

==

=

=

Ae

AtAtA

NR

tAtxSenoidalSinalExemplo

ix

N

tNx

Espectro de processo estacionrio

)0,max(

0

0000

)()()()(

)()(

)()()()()()()()()(

k

iivv

s

sksk

khkheeR

khkh

stshkhstektEeshkhtvtEv

==

=

==

=

=

=

=

=

=

=

=

101


2

2

0 0

)(

)0,max(

)()(

)()()(

)()(

iv

iik

s k

is

ki

k

ik

eH

eHekhesh

ekhekh

=

==

=

=

=

=

=

Espectro de um processo estocstico descrito por

v(t) = H(q) e(t),

onde a seqncia de variveis aleatrios {e(t)} tem mdia 0 e covarincia

10-2 10-1 100

100

Exemplo: Processo estacionrio

Periodograma x Espectro

0

0.5e(t) seqncia de variveis aleatrias

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-50

-40

-30

-20

-10

0

10


P

o

w

e

r

/

f

r

e

q

u

e

n

c

y

(

d

B

/

r

a

d

/

s

a

m

p

l

e

)



-2 10-1 100 10110-2

10-1

100

101

102

103

w/[rad/s]

Spectro de H(q)=(1 + .5 q-1)/(1 -1.5 q-1 + .7 q-2)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-4

-2

0

2

4v(t) sinal estocstico v(t) = H(q)*e(t)

Exemplo: Processo estacionrio

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20


P

o

w

e

r

/

f

r

e

q

u

e

n

c

y

(

d

B

/

r

a

d

/

s

a

m

p

l

e

)


0

0.5e(t) seqncia de variveis aleatrias

Periodograma x Espectro


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.5

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4

-2

0

2

4v(t) sinal estocstico v(t) = H(q)*e(t)

10-2 10-1 100 10110-2

10-1

100

101

102

103

w/[rad/s]

Spectro de H(q)=(1 + .5 q-1)/(1 -1.5 q-1 + .7 q-2)

Sinal misto: determinstico + estocstico

{ }{ }

)()()()()()(

)(,0,)()()(

)()()(

v

u

tvtuEtutuEtstsE

espectroemdiaoestocstictvespectrotico,determinstu

tvtuts

+=

+=


)()()(

.0)()()()(

)()()()(

vus

vu

tutvEpoisRR

tvtvEtutvE

+=

=

+=

++

Periodograma x Espectro de Potncia

)()(lim

,0,

4)(

?2

0

22

ixNN

N

eX

seno

paraNAX

=

=

Resultado, para s(t) quasi-estacionrio:


)(.)(

)()()()(lim 2

odistribuicomoiaConvergncsuavementesuficientefunotodapara

ddSE sNN

pi

pi

pi

pi

=

"")("")(

:.

2

comportadabemfunoumaeerrticafunoumaS

Obs

is

N

Espectro

Motivao:

O espectro uma propriedade de segunda ordem dos sinais.

Descreve apenas certos aspectos do sinal, , no entanto

suficiente para caracterizar vrias propriedades relacionadas


=

=

ixyi

xy eRe )()(

Espectro cruzado

suficiente para caracterizar vrias propriedades relacionadas

identificao de sistemas dinmicos.

Espectro de sinais filtrados

)}({)()()()}({

ioestacionrquasitstwqGtsioestacionrquasitw

=

Sistema

w(t) s(t)


)()()()()()( 2

w

isw

w

is

eG

eG

=

=

Modelo para sistemas com sadas ruidosas

Gu y

e

Rudo

H

v

Rudo branco


quasi-estacionrio Sada

{ }{ }

)()()()()()()(

)()()(

)()()()()(

22

u

iyu

iu

iy

u

eG

eHeG

inciavardebrancorudoteespectrorio,estacionquasitu

teqHtuqGty

=

+=

+=

Relaes fundamentais emIndentificao de SistemasMtodos de correlao

MODELOS DE SISTEMAS LTI


Modelo Completo

Gu y

e

H

ve PDFfcomrudote

sadatyentradatu

teqHtuqGty

+=

)(.)()()()(

)()()()()(


Gy

d

k

k

k

k

D

teqHtuqGty

adoParametrizModelo

qkhqHqkgqG

+=

+==

=

=

)(),()(),()(

)(1)()()(11

Conjunto de ModelosEstrutura

Modelos de Funes de Transferncia

tentubtubntyatyaty

tuqBtyqAgenaeentradacomgressivoeutoARX

b

a

bn

an

)()(...)1()(...)1()(

)()()()()(

1

1

+++=

+++

XRA


[ ]

AH

ABGHeGuyelomodopara

qbqbqB

qaqaqA

brancorudoumtebbaa

bb

a

a

ba

n

n

n

n

nn

1,

...)(...1)(

)(,

11

11

11

==+=

++=

+++=

=

LL

ARMAX

ntectecte

ntubtubntyatyaty

tuqBteqCtyqAgenaeentradacomMvelMdiagressivoeutoARMAX

b

a

bn

an

++++

++

=+++

)(...)1()()(...)1(

)(...)1()(

)()()()()()()(

1

1

XRA


[ ]

ACH

ABGHeGuyelomodopara

qcqcqC

qbqbqB

qaqaqA

ccbbaa

ntectecte

c

c

bb

a

a

cba

c

n

n

n

n

n

n

nnn

cn

==+=

+++=

++=

+++=

=

++++

,

...1)(...)(

...1)(

)(...)1()(

11

11

11

111

1

LLL

Estrutura equao de erro

)()(1)()()()(

)(

teqD

tuqBtyqA

ARARXoumvelmdiacomoerroErrodeEquaoModelo

+=


)()()()()()()(

)()()()()()(

teqDqC

tuqBtyqA

ARARMAX

teqD

tuqBtyqA

+=

+=

Modelo OE Erro de sada

[ ])()(

11=

+=

ffbb

teuFB

ty

OEModelo

fb nn LL


1,

)(Pr

==

=

HFBG

uFB

typassoumdeeditor

Preditor OE

),()()()()(

)()()()(

twtuqFqB

ty

tetwteuFB

ty

OEModelo

==

+=+=


[ ]

)(),(

),()(

),(),1()()1(),()(

ktyktwrealidadena

ttyeditorPr

ntwtwntutut

qF

T

Tfb

=

=

= LL

Estrutura Box-Jenkins

)()()()()(

)()( teqDqC

tuqFqB

ty

ARMAouJenkinsBox

+=


...)()()()()(

)()()(...

)()()()()()()(

)()()(

teqDqC

tuqFqB

tyqA

aindagenricoMais

tyqC

qDqCtu

qFqCqBqD

ty

+=

+=

Estrutura Espao de Estados

)()(

)()()()()()()()()()1(

CA

tvtxCtyttuBtxAtx

pxnnxn

+=

++=+


)()()(

)()(

)(

1221

RvEREvvRE

sadaderudotvoperturbat

cosbranassumidosgeralmenterudodescomponenteDuas

TTT===

Projeto do sinal de entrada

Sinais mais utilizados:

- Degrau- Seqncia Binria Pseudo-Randmica (PRBS)- Processo ARMA- Sinais peridicos: soma de senides


- Sinais peridicos: soma de senides

- Condies para excitao suficiente

- Degenerao do projeto do sinal de entrada

- Relao entre PRBS & rudo branco

- Propriedades no domnio da freqncia destes sinais

Exemplos de sinal de entrada

Entrada degrau

=

senot

tu0

01)(


Seqncia binria pseudo-randmica

sinal peridico chaveamento entre dois nveis, segundo um certo padro nveis a, perodo = M

III ALGORITMOS


III.a ALGORITMOS


MTODOS DETERMINSTICOS

MTODOS


NO PARAMTRICOS

Mtodos no paramtricos

Mtodos no domnio do tempo Resposta ao impulso Resposta ao degrau

Anlise da correlao / tempo


Anlise da correlao / tempo Mtodos no domnio da freqncia Teste da senide Anlise da correlao / freqncia Anlise de Fourier Anlise Espectral

Definio do problema

0)(

)()(*)()()()()(

,

0

0

temamplitudedepulsotupara

tvtugtytvtuqGty

temponoiantevarinelinearestvelSistema

+=

=

+=

+=


)()()( 0 tvtgty +=

Mtodos no domnio do tempo estimam g0

Mtodos no domnio da freqncia estimam G0(ei)

Critrios

)()()

0)()()0,)()()

0

0 piii

tgtgc

ttgtgbT

eGeGa


)()(sup)

)()()

0

00

ii

t

eGeGd

tgtgc

=

Ex. Processo de 2 Ordem

No h tratamento especfico ao rudo Relao Sinal/Rudo deve ser alta!

14,01)(: 2 ++

=

sssGEx

2 n

A

degrauaorespostadapartirA

=


)(12

2

2

22

2

22

/21

;;

)(1

1)(

2)(:

TTdnd

n

d

t

nn

n

eBB

T

A

tsene

ty

ss

AsGModelo

=

==

=

=

++=

pi


14,01)(: 2 ++

=

sssGEx

)(1

1)(

2)(:

2

22

2

=

++=

tsene

ty

ss

AsGModelo

degrauaorespostadapartirA

d

t

nn

n

062,13762,0062,1)( 2 ++

=

sssG


1;1825,0;03,1:

/21

;;

)(12

2

22

===

=

==

=

Agrficodo

eBB

T

A

n

TTdnd

n

pi


14,01)(: 2 ++

=

sssGEx

062,13762,0062,1)( 2 ++

=

sssG

1.4

1.6

Step Response

gg__hat


0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (sec)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

III.b ALGORITMOS


O ESTIMADOR DE MNIMOS QUADRADOS

O Estimador de Mnimos Quadrados

Sistema de equaes sobredeterminado

yy

TT XXXX=

=


y

y

TT

TT

XXX

XXX

1][ =

=

Matriz pseudo-inversa

Modelos ARX e o mtodo dos Mnimos Quadrados

)(...)1()(...)1()(

)(...)1()(...)1()(

11

11

mtubtubntyatyaty

mtubtubntyatyaty

mn

mn

++=

+=+++

Um problema Arqutipo

Modelo:


[ ][ ]

)()|(

)(

)()1()()1()(11

tty

ty

mtutuntytyt

bbaa

T

T

T

Tmn

=

=

=

=

)

LL

LL

Notao Compacta:

Vetores:

Estimativadependente dos parmetros

O Estimador de Mnimos Quadrados

{ }

==

=

NT

NN

NN

N

ttytytyZV

ZV

NyNuyuZ

22 ))()((1))|()((1),(

),(min

)()()1()1(

LDados do Processo:

Funo de custo de


=

=

==

=

=

=

==

N

t

N

t

TN

NN

NNN

ttN

tyttt

ZVdd

ZV

ttyN

tytyN

ZV

1

1

1

11

)()()()(

0),(

),(minarg

))()(())|()((),(

)

)

MMQ:

Funo de custo deerro quadrado:

Ex.: Equao a diferenas de 1a ordem

=+

)1()1()(

1

tbutayty


=

)1()()1()(

)1()1()1()1()1()1( 1

2

2

tutytuty

tututytutyty

ba

N

N)

Ex.: Equao a diferenas de 1a ordem

7408.01728.0)(

7408.01728.0)(

303

7408.01728.0)(

32)( 1.0

=

=

==

= +

==

zzg

zzg

NN

zzg

ssgc T

))

ABauchspiess LARA/UnB Identificao de Sistemas Dinmicos670 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

7408.07408.0 zz

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ex.: Equao a diferenas de 1a ordemy=y+0.1rand()

5996.02854.0)(

7123.02031.0)(

5395.02357.0)(

300303

7408.01728.0)(

32)(

300303

1.0

=

=

=

===

= +

==

zzg

zzg

zzg

NNN

zzg

ssgc T

))


0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

5996.07123.05395.0 zzz

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ex.: Equao a diferenas de 1a ordemu = sin(2t)y = y + 0.1rand()

7428.01718.0)(

300

7408.01728.0)(

32)(

300

1.0

=

=

= +

==

zzg

N

zzg

ssgc T

)


7428.0z

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0-1

-0 .8

-0 .6

-0 .4

-0 .2

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

Regresso Linear

[ ][ ]

)()1()()1()(

)(...)1()(...)1()(

11

11

mtutuntytyt

bbaa

mtubtubntyatyaty

T

Tmn

mn

=

=

++=

LL

LL


)()|( tty T=) Regresso Linear:Calcular y utilizando os valores passados contidos em

y funo linear dos parmetros em

Modelo ARX:Auto-Regressivo y depende de valores passados de yX entrada eXterna (u), varivel eXgena

^

^

^

Polarizao do Estimador MQ

Polarizao (bias)Modelo:

[ ] TTAA == 1, y = ][Eb

+= kekky T )()1()(

)()()( kekyky i += Variveis aleatrias


=

+=

sregressoredosdependequematrizumaAA , yey

][][][])([

)]([][

AeEIAEAeEIAE

eAEAEb

+=+=+=

=

y

b=0 =0 =0

Estimadores No Polarizados

EMQ - Estimador estendindo de mnimos quadrados GMQ Estimador de mnimos quadrados generalizado VI Estimador das variveis instrumentais


MTODOS


DE ESTIMAO DE PARMETROS

Princpios subjacentes de mtodos de estimao de parmetros

{ }

.

|)(

)(

*

futurassadasaspredizerdemaneiraumaelomodCada

elosmoddeconjuntoDparmetrosdevetorD

adosparametrizelosmodd

=

MM

M

M

M


),(),())],,(1[):

)(),()(),()(:

)))|(:)(:

11

qGqH(q,WqH(q,Wcom

teqHtuqGtyadiantepassoumdepreditoroPara

)(q,W(q,WtypreditorcomolinearFiltro

uy

uy

==

+=

+=M

Princpios subjacentes de mtodos de estimao de parmetros

[ ]

parmetrosdeestimaodemtodoumDZ

mapeamentoOdadosdevetorNuNyuyuyZ

NN

N

.

)(),(),...,2(),2(),1(),1(

=

M


NtparacalculadoserpodeerroconhecidoZPara

prediodeerrotytytcandidatoelomodumdeAvaliao

N,...2,1

)|()(),(:

**

=

=

Minimizao do erro de predio

:

,...2,1),,()(),(:?""

.,

,...2,1),|()(),( **

F

N

N

NormaNttqLtestvellinearFiltragem

prediodeerroograndeQuo

noouqudrticaemnormaqualquerporAvaliadoemerrodevetorNttytyt

==

==


),(minarg)(:

.,(.)

)),((1),(

:

1

NN

NNN

N

tF

NN

ZVZ

parmetrosdeEstimador

positivaetipicamentescalarfunoumaonde

tN

ZV

Norma

==

= =

l

l

PEMPrediction-error

Identification Methodse.g.: LS, ML

III.d Estimadores Recursivos

Estimao em batelada Estimao seqencial Estimao recursiva


Estimao recursiva

Estimao off-line Estimao on-line Estimao em tempo real

III. Estimadores Recursivos

Seja o sistema

Algoritmo recursivo

RkekeEcomkeky T ==+= )](cov[,0)]([),()(


Algoritmo recursivo

78

+= kTk kky )1()(

))(( 11 += kTkkkk kyK M

Inovao

Aplicao: Controle Adaptativo


)( t

.)( temponovarianteestvelsistemaumtKrcontroladoO

PARTE IV


IDENTIFICAO NA PRTICAa) Processo Trmico

b) Nvel de Lquido 2 Ordemc) Nvel de Lquido 4 Ordem

PARTE IV


a) PROCESSO TRMICO

Processo Trmico

Experimento de Controle de Digital


Processo Trmico

Viso Esquemtica


Processo Trmico

Identificao Process Model1. ident2. Carregar os sinais de u,y3. Remover a mdia


3. Remover a mdia4. Selecionar faixas: [identificao, validao]5. Process Models6. Estimate: P1D, P1, P2, P2D, P2DZ,...7. Model Output

Processo TrmicoModelo de Processo

1)(1

1

eK

sTK

sP

sT

p

p

d

+=


...

)1)(1()1()(2

)1)(1()(2

21

21

sTsTesTK

sDZP

sTsTeK

sDP

pp

sTzp

pp

sTp

d

d

++

+=

++=

Identificao do Processo Trmico

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

20

30

40

50

60

y

1


150

200

250

300

u

1

Sinais medidos~9h30


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

100

150

Time

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

-10

0

10

y

1


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

-100

0

100

Time

u

1

Procedimento:

- Excluir transio p/ P.O.- Conjunto de Identificao- Conjunto de Validao- Subtrair mdia

Identificao do Processo TrmicoFit:P2DZ: 93.43P3DZ: 93.42P1: 87.66P2D: 86.9

-2

0

2

4Measured and simulated model output

P3DZP1P2DP2DZdata Measured and simulated model output


2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

x 104

-10

-8

-6

-4

Time

2.4 2.42 2.44 2.46 2.48 2.5 2.52 2.54 2.56

x 104

-8

-6

-4

-2

0

2

Time

P3DZP1P2DP2DZdata


-8

-6

-4

-2

0

2

4Measured and simulated model output

P2Ddata

Fit:

)1)(1()1()(2

)1)(1()(2

21

21

sTsTesTK

sDZP

sTsTeK

sDP

pp

sTzp

pp

sTp

d

d

++

+=

++=

P2D


2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2-10

-8

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

x 104

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

Time

P2DZdata

Fit:P2D: 86.9P2DZ: 93.43

P2DKp = 0.084231 Tp1 = 116.15 Tp2 = 0.001 Td = 0

P2DZKp = 0.091263 Tp1 = 308.19 Tp2 = 41.164 Td = 4.8147 Tz = 200.4

P1 !!

)1( 1sTK

p

p

+


)1)(1()1()(2

21 sTsTesTK

sDZPpp

sTzp

d

++

+=

Kp = 0.091263 Tp1 = 308.19 Tp2 = 41.164 Temperatura Ambiente

u

yid

y_real

ZOH

Scope

Sat0-1023

30.5

uid

PRBS1s

0.60.091/40

1/40

Delay 5 segy

Zero ? Influncia do meio ambiente !


Tp2 = 41.164 Td = 4.8147 Tz = 200.4

Ambiente

1s

1/300

1/300

0.4

0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 104

35

40

45

50

55

t/[seg]

iddata

PARTE IV


b) NVEL DE LQUIDO2 ORDEM

Identificao em Malha FechadaProcesso de Nvel 2 Ordem




0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000-5

0

5

10

15

t/[seg]

r

,

h

2

/

[

c

m

]

2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 30008

10

12

14

t/[seg]

r

,

h

2

/

[

c

m

]


||)( 2112211 hhkhhsignqdtdh

A ir =


222112212 ||)( hkhhkhhsign

dtdhAr =

Identificao Malha Aberta x Malha Fechada?


Experimento de 3h30:

Malha fechada OKuid=idinput(12600,'PRBS',[0 0.025],[-.5 .5]);

Malha aberta -> seria necessrio aumentar muito o tempo do experimento!!

8600 8800 9000 9200 9400 9600 9800 1000010.44

10.46

10.48

10.5

10.52

10.54

10.56

t/[seg]

h

2

,

h

2

m

a

/

[

c

m

]

Identificao Pequenos Sinais?

0.2

0.4

0.6

0.8

h

2

/

[

c

m

]

valores normalizados

0,11

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

2

4

6

8

10

12

14

t/[seg]

h

2

/

[

c

m

]

valores absolutos

0,113


uid=idinput(12600,'PRBS',[0 0.025],[-.5 .5]);

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

t/[seg]

h

2

/

[

c

m

]

13

1050 1100 1150 1200 1250 1300

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t/[seg]

h

2

/

[

c

m

]


0,113

Taxa de AmostragemTeorema de Nyquist

REGRA: 5 a 8 amostras durante o tempo de subida.

Em geral melhor realizar o experimento numa taxa mais altae posteriormente decimar o sinal.


uid=idinput(12600,'PRBS',[0 0.025],[-.5 .5]);

1050 1100 1150 1200 1250 1300

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t/[seg]

h

2

/

[

c

m

]


0,113

Considerar a operao em malha fechada.

Identificao em Malha Fechada

KKppspps

KKsRsY Ts

2

-

p

+ )( + e

)()(

++=10

15

pK ))(( 21 pspsKe Ts

++

Identificao em Malha Fechada:

Malha Aberta:

-Processo muito lento-Ponto de Operao?

21212

-

+ )( + e

)()(

ppsppsK

sUsY Ts

+=


KKppsppssR p21212

+ )( + )( ++

0.007676 + 0.05741 + 0.0073637e

)()(

2

-4.7

sssRsY s

=

segTsegT 164,35;19,48 21 ==

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000-5

0

5

10

t/[seg]

r

,

h

2

/

[

c

m

]

2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 30008

10

12

14

t/[seg]

r

,

h

2

/

[

c

m

]

~2hem M.F.! 0,0061)+0,0513)(+(

0,0002945e)()( -4,7

sssUsY s

=

0,0003123+0,05741+0,0002945e

)()(

2

-4,7

sssUsY s

=

Kp=25, P.O.=12cm, PRBS, Banda [0 0,025]

PARTE IV


c) NVEL DE LQUIDO4 ORDEM

LEARn

Laboratorio de Ensino de Automao Remoto da UnB


Processo de Nvel de Lquido 4 Ordem


Processo de Nvelsqrt

sqrt

sqrt

[t uid]sinal PRBS

r2

r1

1s

h2

1s

h1Zero-OrderHold

Scope1

Scope

Saturaodo atuador

10Ponto de

Operao

1/A2

k2

k12

k1

10 1/A1

|u|

|u|

|u|

simout

2WS -amostragem

uniforme

h2

h2

h1

h1h1


sqrt

sqrt

sqrt

sqrt

r4

r3

r2

r

1s

h4

1s

h3

k23

k34

k4

k3

1/A4

1/A3

|u|

|u|

|u|

|u| h4

h4h4

h3

Processo de Nvel de LquidoLinearizao em Ponto de Operao (u, y)P1: r = 10; h1=19,1; h2=11,7; h3=7,31; h4=3,87 P2: r = 30; h1=84,3; h2=51,9; h3=32,3; h4=17,1


In1Out1

Subsystem

Scope

Saturaodo atuador

30Ponto de

Operao

4simout

2WS -amostragem

uniforme

[t uid]

ref

u

u

r y

Linearizao em Ponto de Operao (u, y)P1: r = 10; h1=19,1; h2=11,7; h3=7,31; h4=3,87 P2: r = 30; h1=84,3; h2=51,9; h3=32,3; h4=17,1

005)-8.453e 0.007496s (s 0.001432) 0.07416s (s008-2.1978e

)()(

:2 22 ++++=

sUsYP

Pole-Zero Map

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

(

s

e

c

o

n

d

s

-

1

)

0.005

0.01

0.0002536) + 0.02073s (s 0.005785) + 0.151s (s007-2.0446e

)()(

:1 22 ++=

sUsYP

Pole-Zero Map

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

(

s

e

c

o

n

d

s

-

1

)

0.005

0.01

0.015


Real Axis (seconds-1)

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

(

s

e

c

o

n

d

s

-0.04 -0.035 -0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0-0.01

-0.005

0

0 500 1000 15000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25From: u To: y

Step Response

Time (seconds)

A

m

p

l

i

t

u

d

e


I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

(

s

e

c

o

n

d

s

-0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0-0.015

-0.01

-0.005

0

0 100 200 300 400 500 6000

0.05

0.1

0.15

0.2From: u To: y

Step Response

Time (seconds)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

Linearizao Analtica em P.O.P1: r = 10; h1=19,1; h2=11,7; h3=7,31; h4=3,87 P2: r = 30; h1=84,3; h2=51,9; h3=32,3; h4=17,1

0.002796)+(s 0.01031)+(s 0.0287)+(s 0.03976)+(s008-2.1982e

0.5

1Pole-Zero Map

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

(

s

e

c

o

n

d

s

-

1

)

0.00588)+(s 0.02168)+(s 0.06036)+(s 0.08362)+(s007-2.0448e

0.5

1Pole-Zero Map

I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

(

s

e

c

o

n

d

s

-

1

)


-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0-1

-0.5

0


I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

(

s

e

c

o

n

d

s

0 500 1000 1500 2000 25000

0.2

0.4

0.6

0.8Step Response

Time (seconds)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0-1

-0.5

0


I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

(

s

e

c

o

n

d

s

0 200 400 600 800 1000 12000

0.1

0.2

0.3

0.4Step Response

Time (seconds)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

Identificao em P.O. (em Malha Fechada)uid=idinput(10000,'PRBS',[0 0.05],[-1 1]) P2: r = 30; h1=84,3; h2=51,9; h3=32,3; h4=17,1

n4s4 Best Fit = 97,62 0.001025) + 0.06255s + (s^2 0.002666)+(s 0.01119)+(s0.2038) + 0.5737s - (s^2 0.2757)+(s 007-3.6002e

)()(

=

sUsY

Step Response


-0.03 -0.02 -0.01 0-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10-3 Pole-Zero Map


I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

(

s

e

c

o

n

d

s

-

1

)

0 500 1000 1500 2000 25000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7From: u1

T

o

:

y

1

0 500 1000 1500 2000 2500

From: v@y1Step Response

Time (seconds)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

Identificao em MF

pK ))()()(( 4321 pspspspsK

++++

Malha Aberta: asasasas

KsUsY

++=

012

23

34

+ + )()(

5

10

15

20

25

30

data1u

y


segTsegT 164,35;19,48 21 ==

Aberta:

Malha Fechada: KKasasasas

KKsRsY

asasasassU

p

p

+++=

++

012

23

34

0123

+ + )()(

+ + )(

In1Out1

Subsystem

Scope

Saturaodo atuador

10Ponto de

Operao

4ymf

2WS -amostragem

uniforme

[t uid] ref

u

u

r y

0 5000 10000 150000

,8367,3,443,24;10 === yur

007-6.534e s 0.0001593 s 0.009214 s 0.1722 s007-2.068e

)()(

: 234 ++++=

sUsY

analtico

Identificao em P.O. - Malha Aberta

uid=idinput(10000,'PRBS',[0 0.05],[-1 1]) P2: r = 30; h1=84,3; h2=51,9; h3=32,3; h4=17,1

n4s4 Best Fit = 95,630.1151) + 0.3814s - (s^2 0.2777)+(s 007-6.7775e)(

=

sY

[t uid]

sinal PRBS

In1Out1

Subsystem

Scope1

Scope

Saturaodo atuador

51.6022

Ponto de

Operao

simout

2WS -amostragem

uniforme

u

u

y


n4s4 Best Fit = 95,63

110

0.002808)+(s 0.01034)+(s 0.02876)+(s 0.03914)+(s0.1151) + 0.3814s - (s^2 0.2777)+(s 007-6.7775e

)()(

=

sUsY

0 500 1000 1500 2000 25000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7From: u1

T

o

:

y

1

0 500 1000 1500 2000 2500

From: v@y1Step Response

Time (seconds)

A

m

p

l

i

t

u

d

e

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

From u1

T

o

y

1

Identificao P.O. Control Design Linear AnalysisP2: u = 51.6; h1=84,3; h2=51,9; h3=32,3; h4=17,1

zpk(Model_sys2)

Modelo Analtico:

0.002809)+(s 0.01032)+(s 0.02881)+(s 0.03972)+(s008-2.198e

)()(

=

sUsY

0.002796)+(s 0.01031)+(s 0.0287)+(s 0.03976)+(s008-2.1982e

)()(

=

sUsY


uid=idinput(10000,'PRBS',[0 0.01],[-1 1]):n4s4: Fit 98.55 zpk(d2c(n4s4)

111-0.04 -0.035 -0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0-1

-0.5

0

0.5

1Pole-Zero Map


I

m

a

g

i

n

a

r

y

A

x

i

s

(

s

e

c

o

n

d

s

-

1

)

0.02969)+(s 0.01025)+(s 0.002816)+0.03846)(s+(s0.8185) + 1.054s - (s^2 0.7369)+(s 008-3.6168e

)()(

=

sUsY

0 500 1000 1500 20000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

t/[seg]

Lin.Ident.

V Concluses

Teoria j bem estabelecida Dificuldades Prticas

Principal Ferramenta: MMQ e variantes


Principal Ferramenta: MMQ e variantes Arte na escolha de:

estrutura, taxa de amostragem, algoritmos etc

Algoritmos Recursivos

Sistemas no-lineares

Referncias1) Aguirre, L.A. (2007): Introduo Identificao de Sistemas, 3a ed, Editora UFMG2) Lennart Ljung (1999): System Identification - Theory For the User, 2nd ed, PTR Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J. 3) Landau, I.D; Zito, G. (2006): Digital Control Systems; Design, Identification and Implementation, Springer.


Design, Identification and Implementation, Springer.4) Haykin, S. (2001): Redes Neurais Princpios e Prtica, 2 Ed., Ed. Bookman5) Rossiter, J. A. (2003): Model-based predictive control: a practical approach, CRC press.6) MatLab - Control System Toolbox, System Identification Toolbox, Model Predictive Control Toolbox7) www.periodicos.capes.gov.br

FIM

Contato:Prof. Adolfo BauchspiessTel. +55 61 3107 5571adolfobs AT lara unb brhttp://lara.unb.br/~adolfo


Endereo:Sala B1-34/18 (Caixa Postal 04386)Departamento de Engenharia Eltrica - ENE/FT/UnB Campus Universitrio Darcy Ribeiro - Asa Norte70904-970 Braslia-DF BRASIL

Pgina da Disciplina Identificao de Sistemas Dinmicos:http://lara.unb.br/~bauchspiess/index.php?option=com_content&view=article&id=69&Itemid=68

ISD Complementos

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