irragg

Appunti dalle Lezioni di

Fisica Tecnica

Fisica Tecnica Ambientale

Fondamenti diTrasmissione del Calore

Parte III - Irraggiamento

Prof. F. Marcotullio

A.A. 2006-2007

Indice

Testi consigliati iii

1 Le Proprietà Radiative dei Corpi 11.1 La radiazione termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Grandezze caratteristiche dell’emissione . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Intensità di radiazione spettrale . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Intensità di radiazione totale . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Potere emissivo emisferico spettrale . . . . . . . . . . . . 51.2.4 Potere emissivo emisferico totale . . . . . . . . . . . . . . 71.2.5 L’irradiazione e la radiosità . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Fenomeni di assorbimento, riflessione e trasparenza . . . . . . . . 9

2 Il corpo nero 132.1 Definizione di corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 La radiazione del corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Emettitore di radiazione diffusa . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Emettitore perfetto in ogni direzione . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Emettitore perfetto ad ogni lunghezza d’onda . . . . . . . 15

2.3 Prototipo di corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Le leggi del corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.1 Legge di Plank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.2 Legge di Stephan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.3 Legge dello spostamento di Wien . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Funzioni per l’emissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Le superfici reali e il corpo grigio 243.1 Emissività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1 Emissività direzionale spettrale . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.2 Emissività direzionale totale . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.3 Emissività emisferica spettrale . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.4 Emissività emisferica totale . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 La legge di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Il corpo grigio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Lo Scambio Termico Radiativo 324.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2 Determinazione dei fattori di vista . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3 Scambio termico radiativo in cavità . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

i

INDICE ii

4.3.1 Equazioni di base per cavità grigie . . . . . . . . . . . . . 394.3.2 Metodo dell’analogia elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3.3 Metodo matriciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Applicazioni 475.1 Parete irraggiata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2 Lastra di vetro irraggiata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3 Schermi radiativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.4 Effetto serra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Testi consigliati

La presente dispensa didattica è rivolta agli allievi dei Corsi di Fisica Tecnica(Corsi di Laurea in Ingegneria Elettrica, Civile ed Ambiente e Territorio) ecostituisce la raccolta completa degli argomenti svolti in aula.Disporre della dispensa tuttavia non esima né dai doverosi approfondimenti

sui testi consigliati, né soprattutto dalla frequenza delle lezioni e delle esercita-zioni.Saranno graditi suggerimenti nonché la segnalazione di errori ed inesattezze.

Testi consigliati in lingua italiana:

1. Kreith F., Principi di Trasmissione del calore, Liguori, Napoli 1975

2. Guglielmini G., Pisoni C., Elementi di Trasmissione del Calore, Masson,Milano 1996

3. Bonacina C., Cavallini A., Mattarolo L., Trasmissione del Calore, Cleup,Padova 1989

Testi consigliati in lingua inglese:

1. Özi̧sik M.N., Heat Transfer - A Basic Approach, McGraw-Hill, New York1985

2. Chapman A.J., Heat Transfer - Fourth Edition, Mcmillan, New York 1987

3. Lienhard J.H. IV, Lienhard J.H. V, A Heat Transfer Textbook, 3rd edition,20011

1 Il testo può essere scaricato gratuitamente in formato PDF dal sitohttp://web.mit.edu/lienhard/www/ahtt.html

iii

Capitolo 1

Le Proprietà Radiative deiCorpi

1.1 La radiazione termicaL’esperienza mostra che qualunque corpo (solido, liquido o aeriforme) che sitrovi ad una temperatura al di sopra dello zero assoluto emette energia in formadi onde elettromagnetiche o, come spesso si dice, di energia raggiante (emissioneper temperatura).Grandezze caratteristiche di un’onda elettromagnetica sono la lunghezza

d’onda λ (nel seguito misurata in µm1), la frequenza ν (s−1) e il periodo T(s) che è legato a sua volta alla frequenza dalla T = 1

ν . La lunghezza d’onda e lafrequenza sono legate alla velocità c con cui l’onda si propaga nel mezzo dalla:

c = λν = λ1

T

Poiché delle tre grandezze citate una soltanto è indipendente, la caratterizza-zione dell’onda può essere effettata attraverso ad una qualunque di esse. Nelseguito, seguendo la consuetudine, si farà riferimento alla lunghezza d’onda λ.L’energia raggiante è in grado di propagarsi anche nello spazio vuoto ad

una velocità elevatissima che, nel vuoto appunto, vale c0 = 2.998 × 108 m/sindipendentemente dalla lunghezza d’onda λ.Questa particolarità fa sì che quello radiativo sia l’unico meccanismo di

scambio termico che non richiede la presenza di un mezzo interposto tra i corpiche vi prendono parte. La presenza di un mezzo materiale, anzi, ostacola latrasmissione e, in casi particolari, la impedisce del tutto (mezzi opachi allaradiazione). Infatti, la velocità di propagazione c della radiazione in un mezzoqualsiasi è sempre inferiore a quella c0 nel vuoto. Esse sono legate dalla:

n =c0c

in cui con n si è indicato l’indice di rifrazione del mezzo considerato. Essodipende sia dalla lunghezza d’onda della radiazione che dallo stato del mezzo

11 µm= 10−6 m

1

CAPITOLO 1. LE PROPRIETÀ RADIATIVE DEI CORPI 2

ovvero dalla relativa temperatura e pressione. Le sostanze in fase gassosa pre-sentano valori di n molto prossimi all’unità; l’aria, ad esempio, alla temperaturae alla pressione ambiente presenta un valore dell’indice di rifrazione pari a circa1.0003 nei riguardi di una radiazione luminosa. Al contrario, valori nettamentemaggiori dell’unità sono propri delle sostanze allo stato liquido; per l’acqua allecondizioni di temperatura e pressione ambiente si ha n ' 1.3 per una radiazionedi lunghezza d’onda prossima a 0.6 µm.L’osservazione dello spettro di emissione di un corpo, ossia la modalità con

cui la potenza raggiante P globalmente emessa dal corpo si distribuisce in funzio-ne della lunghezza d’onda λ, consente di evidenziare una sostanziale differenzatra i corpi condensati (solidi e liquidi) e i gas (Fig.1.1).

Figura 1.1: Spettro di emissione di aeriformi (a) e mezzi condensati (b)

Mentre i primi presentano uno spettro di emissione continuo (contenentecioè tutte le lunghezze d’onda teoricamente comprese tra λ = 0 e λ = ∞), isecondi presentano uno spettro discontinuo contenente cioè un numero limitatodi frequenze.

Figura 1.2: Classificazione delle radiazioni elettromagnetiche

Comunque sia, al variare di λ le radiazioni elettromagnetiche mostrano ca-ratteristiche e proprietà profondamente diversificate. Se osservate dal punto divista dei fenomeni che esse sono capaci di provocare in natura e che più da vicinointeressano l’uomo, scaturisce lo schema di Fig.1.2 nel quale si riconoscono:

• Le radiazioni hertziane che presentano lunghezze d’onda superiori a 100


µm e che sono in grado di provocare fenomeni elettromagnetici facilmentepercettibili. Esse comprendono le onde radio.

• Le radiazioni infrarosse caratterizzate da lunghezze d’onda comprese tra100 µm e 0.7 µm. Sono quelle che in misura preponderante sono emesse daicorpi condensati alla temperatura ambiente e comunque alle temperatureproprie dei fenomeni termici che interessano l’ingegneria.

• Le radiazioni visibili che presentano lunghezze d’onda comprese tra 0.7µm e 0.4 µm. Sono dette visibili perché capaci di impressionare l’occhioumano. All’interno dello stesso campo si può operare una ulteriore suddi-visione in quanto le radiazioni vengono percepite di colori diversi; passandoda 0.7 µm a 0.4 µm i colori passano dal rosso al viola.

• Le radiazioni ultraviolette che si estendono da 0.4 µm fino a 0.05 µm. Sonocapaci di provocare fenomeni di natura chimica, fisica e fisiologica.

• Le radiazioni di lunghezza inferiore a 0.05 µm. In questo intervallo so-no presenti i raggi X e le radiazioni emesse dalle cosiddette sostanzeradioattive (raggi γ e raggi cosmici).

Sebbene, come si è appena detto, i corpi emettano per temperatura in unintervallo di lunghezze d’onda 0÷∞, dal punto di vista delle applicazioni che quiinteressano si usa fare riferimento alla cosiddetta radiazione termica che vienecollocata tra 0.1 e 100 µm. Tale regione comprende, pertanto, le radiazioni in-frarosse, quelle visibili e solo una ridotta porzione dell’ultravioletto. All’internodella radiazione termica è compresa la radiazione solare che si estende tra 0.1 e3 µm.

1.2 Grandezze caratteristiche dell’emissioneSi è già detto che la radiazione emessa per temperatura da parte dei corpi(condensati o aeriformi) non è, in genere, ugualmente distribuita alle diverselunghezze d’onda; allo stesso modo si osserva che l’energia raggiante viene, ingenere, emessa in una misura che varia al variare della direzione.La radiazione emessa in una certa direzione viene definita in termini di in-

tesità. Vi sono due tipi di intensità: l’intensità spettrale (Iλ) e l’intensità totale(I)2 . La prima si riferisce alla radiazione emessa in una certa direzione compre-sa in un intervallo infinitesimo dλ costruito nell’intorno di una data lunghezzad’onda λ; la seconda, al contrario, si riferisce alla radiazione emessa in una certadirezione comprendente l’intero intervallo (0−∞) di lunghezze d’onda.In molti casi è più utile riferirsi a tutta l’energia raggiante emessa nel semi-

spazio che sovrasta la sorgente. In questo caso si parlerà di potere emissivo. Visono due poteri emissivi: quello spettrale (Eλ) e quello totale (E).

1.2.1 Intensità di radiazione spettrale

Consideriamo la superficie A di Fig.1.3 che emette energia raggiante in tutte ledirezioni e a tutte le lunghezze d’onda. Sia P un punto di A, dA l’intorno di

2E’ prassi riferirsi a grandezze dipendenti dalla lunghezza d’onda con l’aggettivo spettraleo anche monocromatico. L’aggettivo totale, invece, identifica le medesime grandezze le qualisi riferiscono ad una emissione comprendente l’intero spettro di lunghezze d’onda.


ϕ

ϑ dA

P

AdAdA cos

d

n n

ω

ϑϑ

ϑ

Figura 1.3: Emissione in una assegnata direzione

P e n la normale ad A in P . Indichiamo inoltre con ϕ e ϑ gli angoli azimutale(misurato rispetto ad un qualsiasi asse posto sul piano orizzontale) e zenitale(misurato dalla normale n) che individuano una assegnata direzione nello spazio.Consideriamo nell’intorno di tale direzione un angolo solido dω.Sia dQA,λ,ω la potenza emessa dalla superficie di area dA cosϑ (disposta cioè

normalmente alla direzione di propagazione) all’interno dell’angolo solido dω edi lunghezza d’onda compresa tra λ e λ+ dλ.Si definisce intensità di radiazione spettrale (o monocromatica) nella dire-

zione ϕ, ϑ il rapporto:

Iλ =dQA,λ,ω

dA cosϑ dω dλ(1.1)

L’intensità di radiazione spettrale rappresenta, quindi, la potenza emessa perunità di superficie, disposta normalmente alla direzione di propagazione, perunità di angolo solido e per unità di lunghezza d’onda. Essa si misura in W

m2sr µme dipende dalla natura del corpo, dalla sua temperatura, dalla direzione, dallalunghezza d’onda e, a rigore, dal punto considerato. Una semplificazione comu-nemente accettata per le applicazioni dell’irraggiamento di interesse ingegneri-stico, tuttavia, è quella di considerare i corpi emittenti con proprietà uniformisu tutta la superficie per cui:

Iλ = Iλ(corpo, T , ϑ, ϕ, λ)

Mediante la (1.1) è possibile risalire alla potenza QA,ω,λ emessa da una certasuperficie di area assegnata A all’interno di un angolo solido finito ω e in unintervallo di lunghezze d’onda compreso tra λ1 e λ2 come:

QA,ω,λ =

ZA

cosϑ dA

Zω

dω

λ2Zλ1

Iλdλ (1.2)

1.2.2 Intensità di radiazione totale

Indichiamo con dQA,ω la potenza emessa a tutte le lunghezze d’onda (0 < λ <∞) dall’area dA cosϑ (disposta normalmente alla direzione di propagazione)nelle sole direzioni individuate dall’angolo solido dω. In analogia a quanto visto


in precedenza, si definisce intensità di radiazione totale il rapporto:

I =dQA,ω

dA cosϑ dω(1.3)

Essa rappresenta la potenza emessa dall’unità di superficie, disposta normal-mente alla direzione di propagazione, per unità di angolo solido, si misura inWm2sr e dipende dalla natura del corpo, dalla sua temperatura e dalla direzione:

I = I(corpo, T , ϑ, ϕ)

La potenza QA,ω emessa da una superficie di area A all’interno di un’angolosolido ω si può calcolare mediante la:

QA,ω =

ZA

cosϑ dA

Zω

I dω (1.4)

La stessa quantità può essere determinata mediante la (1.2) con 0 < λ <∞:

QA,ω =

ZA

cosϑ dA

Zω

dω

∞Z0

Iλdλ

Dal confronto della precedente con la (1.4) si vede che vale la:

I =

∞Z0

Iλdλ (1.5)

Se l’angolo solido è tale da comprendere l’intero emisfero che sovrasta la sorgente(ω = 2π steradianti), allora si introducono le due ulteriori grandezza caratte-ristiche dell’emissione denominate potere emissivo spettrale (o anche emittenzaspettrale) e potere emissivo totale.

1.2.3 Potere emissivo emisferico spettrale

Si indichi con dQAλ la potenza irradiata dall’area dA in tutte le direzioni dell’e-misfero che sovrasta la sorgente all’interno dell’intervallo di lunghezze d’ondacompreso tra λ e λ+ dλ.Si definisce potere emissivo emisferico spettrale il rapporto:

Eλ =dQAλ

dAdλ(1.6)

Esso si misura, pertanto, in Wm2µm e dipende dalle caratteristiche del corpo, dalla

temperatura e dalla lunghezza d’onda:

Eλ = Eλ(corpo, T , λ)

L’andamento tipico della Eλ in funzione di λ per un corpo condensato ad unadata temperatura è mostrato in Fig.1.4. Come si vede, partendo da λ = 0, la fun-zione cresce rapidamente fino ad un massimo per λ = λmax da cui rapidamentedecresce portandosi asintoticamente a zero per λ→∞.


Figura 1.4: Andamento tipico del potere emissivo spettrale di un corpocondensato

Se è noto il potere emissivo emisferico spettrale è possibile risalire alla poten-za QA,λ emessa da una sorgente di area A in un assegnato intervallo di lunghezzed’onda (λ1 < λ < λ2) mediante la:

QA,λ =

ZA

dA

λ2Zλ1

Eλdλ (1.7)

Il potere emissivo emisferico spettrale Eλ si può ricavare se è nota la intensitàspettrale di radiazione Iλ. Infatti, ricordando la 1.2 si vede che vale la3:

QA,λ =

ZA

cosϑ dA

Z2π

dω

λ2Zλ1

Iλdλ

confrontando la precedente con la 1.7 si ricava che:

Eλ =

Z2π

Iλ cosϑdω

Poiché (vedi Fig.1.5) l’angolo solido dω è pari a:

dω =rdϑ · r sinϑdϕ

r2= sinϑdϑdϕ (1.8)

si ottiene:

Eλ =

2πZ0

dϕ

π2Z0

Iλ cosϑ sinϑdϑ (1.9)

3Si ricorda che una emisfera di raggio R ha una superficie di 2πR2 e sottende un angolosolido di 2π steradianti.


In numerosi casi di interesse è lecito ipotizzare che sia Iλ = costante (una sorgen-te che approssima questo comportamento si dice diffusa); in queste circostanzela precedente fornisce:

Eλ = 2πIλ

π2Z0

cosϑ sinϑdϑ = πIλ (1.10)

per cui il potere emissivo emisferico spettrale di una superficie diffusa è pari aπ volte l’intensità di emissione spettrale.

Figura 1.5: Definizione dell’angolo solido infinitesimo dω

1.2.4 Potere emissivo emisferico totale

Indichiamo con dQA la potenza irraggiata da una porzione infinitesima dAdi una superficie A in tutte le direzioni dell’emisfero che sovrasta la sorgentenell’intero intervallo di lunghezze d’onda 0−∞. Il rapporto:

E =dQA

dA

viene definito Potere Emissivo Emisferico Totale di A. Esso si misura in Wm2 e

dipende solo dalla natura della superficie emittente e dalla sua temperatura (T ):

E = E(corpo, T )

Se si vuole conoscere la potenza raggiante QA emessa da una superficie di area Anell’intero emisfero che sovrasta la sorgente e nell’intero intervallo di lunghezzed’onda si avrà:

QA =

ZA

EdA (1.11)


La stessa QA si può ricavare dal potere emissivo emisferico spettrale. Infatti,ricordando la 1.7 si può scrivere:

QA =

ZA

dA

∞Z0

Eλdλ

Dal confronto della precedente con la 1.11 si ricava immediatamente che:

E =

∞Z0

Eλdλ (1.12)

la quale mostra che il potere emissivo emisferico totale è rappresentato dall’areasottesa dalla curva che rappresenta Eλ.La QA si può anche ricavare dall’intensità di radiazione totale. Ricordando

la 1.4 si può scrivere:

QA =

ZA

cosϑ dA

Z2π

Idω

Dal confronto della precedente e della 1.11 si può risalire alla:

E =

Z2π

I cosϑdω

Tenuto conto della (1.8) si ottiene:

E =

2πZ0

dϕ

π2Z0

I cosϑ sinϑdϑ (1.13)

Se la superficie è diffusa la precedente fornisce:

E = 2πI

π2Z0

cosϑ sinϑdϑ = πI (1.14)

per cui il potere emissivo emisferico totale di una superficie diffusa è pari a πvolte l’intensità di emissione totale.

1.2.5 L’irradiazione e la radiosità

L’irradiazione emisferica spettrale Gλ è definita come la potenza raggiante didata lunghezza d’onda λ che, provenendo dal semispazio che la sovrasta, incidesull’unità di area di una assegnata superficie. Essa si misura in W

m2µm .Allo stesso modo si definisce l’irradiazione emisferica totale G come la po-

tenza raggiante che, indipendentemente dal suo contenuto spettrale, incide sul-l’unità di area di una data superficie. Essa si misura in W

m2 . L’irradiazione totaleè legata a quella spettrale dalla relazione ovvia:

G =

∞Z0

Gλdλ


Vale la pena di osservare che, così definita, l’irradiazione di una data superficierappresenta l’insieme della potenza emessa e riflessa da tutte le superfici chevedono la prima.La radiosità emisferica spettrale Jλ rappresenta, invece, la potenza raggiante

di data lunghezza d’onda λ che lascia l’unità di area di una assegnata superficie.Questa potenza tiene conto, contemporaneamente, di quella emessa e di quellariflessa. Essa si misura in W

m2µm .

Si definisce altresì radiosità emisferica totale J¡Wm2

¢la potenza raggiante

che lascia l’unità di superficie indipendentemente dal suo contenuto spettrale.Si ha, al solito, che:

J =

∞Z0

Jλdλ

1.3 Fenomeni di assorbimento, riflessione e tra-sparenza

Indichiamo con Gλ l’irradiazione monocromatica di lunghezza d’onda λ prove-niente dallo spazio che sovrasta una superficie (irradiazione emisferica).Allorché la radiazione incide sul corpo una parte di essa, che indichiamo con

Gλ,r, viene riflessa mentre la parte restante, che indichiamo con Gλ,p, penetraall’interno del corpo (Fig.1.6).

Figura 1.6: Potenza raggiante incidente, riflessa ed entrante in un corpo.Riflessione speculare e diffusa.

Con riferimento alla riflessione distinguiamo tra:

• riflessione speculare (Fig.1.6.a) se: (1) la radiazione riflessa giace nellostesso piano della normale alla superficie e del raggio incidente e (2) l’an-golo di incidenza ı̂ è uguale all’angolo di riflessione r̂. Se ci si riferisce perun istante ad una radiazione monocromatica, l’esperienza mostra che essa


subirà una riflessione speculare se la lunghezza d’onda λ della radiazio-ne è abbastanza più grande (ad esempio dieci volte) della rugosità dellasuperficie4 .

• riflessione diffusa (Fig.1.6.b) se la radiazione incidente viene rinviata uni-formemente in tutte le direzioni. Ancora con riferimento ad una radiazionemonocromatica, essa subirà una riflessione diffusa se la lunghezza d’ondaè più piccola (la metà o meno) della rugosità della superficie.

Nessuna superficie, quindi, è rigorosamente speculare o diffusa per l’interointervallo di lunghezze d’onda. E’ esperienza corrente, ad esempio, che per leradiazioni visibili è riflettente una superficie molto levigata e lucida (le asperitàdebbono risultare inferiori al decimo di µm), mentre è diffondente una superficieruvida (asperità superiori al micron).Tra Gλ, Gλ,r e Gλ,p sussite la relazione ovvia:

Gλ = Gλ,r +Gλ,p (1.15)

o anche:Gλ = rλ ·Gλ +Gλ,p

in cui con rλ si è indicato un coefficiente adimensionale, detto coefficiente diriflessione emisferico spettrale ( o anche riflettività emisferica spettrale), cheindica la quota riflessa della potenza incidente. Esso è compreso tra 0 e 1 e vale:

rλ =Gλ,r

Gλ(1.16)

La porzione che, al contrario, penetra nel corpo subisce un assorbimento progres-sivo tanto che se la lunghezza del cammino che la radiazione percorre all’internodel mezzo è sufficiente, l’intera radiazione viene assorbita e il corpo si dice opa-co a quella radiazione. In questo caso Gλ,p ≡ Gλ,a (con Gλ,a si è indicata lapotenza assorbita) e la (1.15) si scrive:

Gλ = Gλ,r +Gλ,a = rλ ·Gλ + aλ ·Gλ = Gλ (rλ + aλ)

per cui:rλ + aλ = 1

Con aλ, al pari di rλ, si è indicato il coefficiente di assorbimento emisfericospettrale ( o anche assorptività emisferica spettrale). Esso varia tra 0 e 1 erappresenta la quota assorbita della potenza incidente:

aλ =Gλ,a

Gλ(1.17)

Se le condizioni sono tali da non portare al completo assorbimento di Gλ,p, unaporzione che chiamiamo Gλ,t attraversa il corpo il quale si dice trasparente aquella radiazione. Il coefficiente tλ è detto coefficiente di trasparenza emisfericospettrale ( o anche trasmissività emisferica spettrale) del corpo considerato ed èdefinito come:

tλ =Gλ,t

Gλ(1.18)

4La rugosità esprime mediamente le dimensioni delle asperità presenti sulla superficie.


In questa ipotesi:Gλ,p = Gλ,a +Gλ,t = Gλ (aλ + tλ)

e la (1.15) diventa:aλ + rλ + tλ = 1 (1.19)

Da quanto detto finora risulta evidente che i coefficienti emisferici spettrali di as-sorbimento, riflessione e trasparenza dipendono, oltre che dalla lunghezza d’on-da λ, anche dallo stato della superficie (ad esempio dalla temperatura e dallarugosità) e dalla direzione della radiazione incidente rispetto, ad esempio, al-la normale alla superficie. Quest’ultima, infatti, influenza lo spessore del corpolungo il cammino della radiazione e quindi la porzione assorbita rispetto a quellache traspare della totale radiazione incidente.

Figura 1.7: Assorbimento progressivo di una radiazione elettromagnetica

Tale ultima dipendenza, in particolare, può ricavarsi con riferimento allaFig.1.7. Indichiamo con qλ(x) la potenza della radiazione allorché ha raggiuntola profondità x. L’esperienza induce ad ipotizzare che la diminuzione di potenza−dqλ subita da qλ tra x e x+ dx risulti proporzionale:(a) alla potenza della radiazione qλ(x)(b) allo spessore dello strato attraverato (dx)per il tramite di una costante di proporzionalità αλ che è caratteristica del

mezzo denominata costante di assorbimento; essa dipende dalla lunghezza d’on-da della radiazione incidente ed ha le dimensioni dell’inverso di una lunghezza£m−1

¤. Ciò premesso si ricava che:

dqλ = −αλ qλ(x) dx ovverodqλqλ(x)

= −αλ dx

Integrando tra x = 0 e x = s, in cui s rappresenta lo spessore totale del corpo,si ottiene:

Gλ,pZGλ,p

dqλqλ(x)

=

sZ0

−αλ dx (1.20)


ovvero:

lnGλ,t

Gλ,p= −αλs

che equivale alla:Gλ,t = Gλ,p · e−αλs (1.21)

nella quale, ricordiamo, Gλ,p eGλ,t rappresentano, della totale potenza incidenteGλ, la frazione che penetra e che traspare dal corpo rispettivamente.Partendo dall’equazione precedente è semplice ricavare le:

tλ = (1− rλ) · e−αλs

aλ = (1− rλ)¡1− e−αλs

¢Dalle due equazioni (1.20) e (1.21) si vede che un medesimo valore del rapportoGλ,t/Gλ,p può essere ottenuto con elevati valori di αλ e piccoli valori di s oviceversa. In altri termini se è fissato, ad esempio, pari a 10−4 il rapportoGλ,t/Gλ,p perché un corpo sia considerato opaco, allora è αλs ' 9 per cui unvetro (αλ ' 0.04 cm−1 per le radiazioni visibili) diventa opaco se è s = 9/0.04 '230 cm.Non ha, quindi, alcun senso parlare di un corpo opaco o trasparente in

assoluto in quanto uno stesso corpo che appare opaco può, al contrario, diveniretrasparente diminuendone opportunamente lo spessore.E’ già stato richiamato il fatto che i coefficienti emisferici spettrali di assorbi-

mento, riflessione e trasparenza dipendono, oltre che dallo stato della superficiea cui si riferiscono e dalla lunghezza d’onda, anche dalla direzione della radia-zione incidente e quindi dalle caratteristiche direzionali della sorgente; ne derivache i predetti coefficienti costituiscono, a rigore, una proprietà radiativa dellasuperficie a cui si riferiscono nell’ipotesi che la radiazione sia diffusa e, appros-simativamente, se il carattere di direzionalità della radiazione incidente, comespesso accade, non è molto accentuato.Diverso è il caso in cui ci si riferisca a coefficienti emisferici totali di assorbi-

mento, riflessione e trasparenza (detti anche assorptività totale, riflettività totalee trasmissività totale rispettivamente). Questi rappresentano la frazione dell’ir-radiazione emisferica totale G assorbita, riflessa e trasmessa da una assegnatasuperficie. Come tali essi sono mutuamente legati dalla:

a+ r + t = 1

e a aλ, rλ e tλ dalle ovvie relazioni:

a =

R∞0

aλGλdλR∞0

Gλdλ; r =

R∞0

rλGλdλR∞0

Gλdλ; t =

R∞0

tλGλdλR∞0

Gλdλ(1.22)

Queste ultime mostrano inequivocabilmente che a, r e t dipendono sia dallecaratteristiche spettrali di assorbimento, riflessione e trasparenza della superficie(aλ, rλ, tλ) che dalla natura della radiazione incidente (Gλ); per tale motivoessi non possono essere riguardati come caratteristiche radiative della superficiesoltanto, ma anche dalle caratteristiche radiative e dallo stato della sorgente. Ciòprocura certamente un qualche problema pratico il quale può, comunque, essererimosso purché siano verificate alcune particolari ipotesi che saranno discusse indettaglio al paragrafo 3.2.

Capitolo 2

Il corpo nero

2.1 Definizione di corpo neroIl corpo nero è un corpo ideale il quale assorbe completamente l’energia raggianteche lo investe qualunque sia la lunghezza d’onda e la direzione di incidenza. Nederiva che per il corpo nero valgono le:

an = anλ = 1

da cui discende che nessun corpo assorbe più del corpo nero a parità di ognialtra condizione, ossia:

a ≤ an aλ ≤ anλ

Per tale motivo il corpo nero è anche detto assorbitore perfetto.

2.2 La radiazione del corpo neroAltre importanti proprietà del corpo nero possono essere dedotte dalla suadefinizione.

2.2.1 Emettitore di radiazione diffusa

I due elementi di corpo nero mostrati in Fig.2.1,a presentano la stessa tempe-ratura ed area dAn1 e dAn2 rispettivamente. La potenza raggiante dQn1 cheviene emessa da dAn1 nella direzione di dAn2 può essere espressa impiegandol’intensità di radiazione totale come:

dQn1 = In1dAn1 cosϑ1dω

La porzione di dQn1 che cade su dAn2, e da questa totalmente assorbita, si ricavafacilmente ponendo dω = dAn2 cosϑ2

r2 . Si ottiene:

dQn1→n2 = In1cosϑ1 cosϑ2dAn1dAn2

r2

Allo stesso modo la potenza dQn2→n1 che emessa da dAn2 incide su dAn1, e daquesta completamente assorbita, è:

dQn2→n1 = In2cosϑ1 cosϑ2dAn1dAn2

r2

13

CAPITOLO 2. IL CORPO NERO 14

dA

r

n1

1

dAn2

2

(b)(a)

n

c

Cavitànera

dA

TdAc

Figura 2.1: Il corpo nero emette radiazione diffusa.

Poiché, per ipotesi, le due areole sono all’equilibrio termico, deve essere costan-temente che:

dQn1→n2 = dQn2→n1

da cui segue immediatamente che In1 = In2. Se si avvolge dAn1 e dAn2 con unfiltro che si lascia attraversare da una sola radiazione λ la trattazione precedenteporta alla Iλ,n1 = Iλ,n2.Poiché i risultati sono stati ottenuti con la sola ipotesi che TAn1 = TAn2 , la

loro validità prescinde dalla posizione relativa delle due superfici. Ne deriva chel’intensità della radiazione totale e spettrale di un corpo nero sono indipendentidalla direzione per cui:

Iλ,n = Iλ,n (T, λ) e In = In (T )

Se ne conclude che la radiazione del corpo nero è diffusa e per esso valgono le:

In =Enπ e Iλ,n =

Enλπ

2.2.2 Emettitore perfetto in ogni direzione

Si consideri una cavità formata da una superficie nera, adiabatica ed isotermaalla temperatura Tc come in Fig.2.1,b. Si ponga nella cavità un corpo reale di di-mensioni sufficientemente piccole da non turbare il campo radiativo nella cavità.Una volta che è stato raggiunto l’equilibrio termico il corpo deve emettere, inogni direzione, una potenza raggiante dQc→n esattamente uguale alla porzioneassorbita della potenza dQn→c proveniente dalla cavità nella stessa direzione.Ossia:

aϕ,ϑ · dQn→c = dQc→n


dove con aϕ,ϑ si è indicato il coefficiente di assorbimento totale nella direzioneconsiderata. Con riferimento alla Fig.2.1,b si ha che:

dQn→c = Incosϑ1 cosϑ2dAndAc

r2

dQc→n = Icosϑ1 cosϑ2dAcdAn

r2

ed in definitiva:aϕ,ϑ · In = I (2.1)

Essendo sempre aϕ,ϑ ≤ 1 consegue che è sempre:

I(T ) ≤ In(T ) (2.2)

Poiché i risultati sono stati ottenuti con la sola ipotesi dell’equilibrio termico,l’equazione precedente vale qualunque sia la direzione e la posizione del corporeale nella cavità. Si può affermare, pertanto, che l’intensità di radiazione totaledi un corpo nero è sempre maggiore dell’intensità di radiazione totale di un corporeale a parità di temperatura.All’equilibrio termico vale anche il bilancio seguente:

a ·G(Tc) = E(Tc)

in cui si è indicato con a e G il coefficiente emisferico totale (assorptività totale)e l’irradiazione emisferica totale entrambi alla temperatura Tc. Ora, se si tieneconto che la radiazione circolante nella cavità è pari a quella del corpo nero allatemperatura Tc1 , si può sostituire l’irradiazione G con il potere emissivo En:

a ·En(Tc) = E(Tc) (2.3)

da cui:E(T ) ≤ En(T )

2.2.3 Emettitore perfetto ad ogni lunghezza d’onda

Un risultato analogo alla (2.2) si ottiene avvolgendo il corpo reale posto nellacavità nera con un filtro che si lascia attraversare da una sola radiazione dilunghezza d’onda λ. Assumendo pari a aϕ,ϑ,λ il coefficiente di assorbimentospettrale nella direzione scelta e ripetendo le considerazioni del precedente puntosi ottiene che:

aϕ,ϑ,λ · Inλ = Iλ

Inoltre, essendo sempre aϕ,ϑ,λ ≤ 1, si ha:

Iλ(T, λ) ≤ Inλ(T, λ)

per cui l’intensità di radiazione spettrale di un corpo nero è sempre maggioredell’intensità di radiazione spettrale di un corpo reale a parità di temperatura elunghezza d’onda.

1 Si pensi di porre nella cavità di Fig.2.1,b un corpo nero. Ad equilibrio termico raggiuntol’intensità della radiazione che lascia il corpo nero deve essere esattamente uguale all’intensitàdella radiazione proveniente dalla cavità. Ciò equivale a dire che la radiazione circolante nellacavità uguaglia quella del corpo nero alla temperatura Tc della cavità.


Ne consegue anche che:

aλ ·Enλ(Tc) = Eλ(Tc) (2.4)

ed in definitiva:Eλ(T ) ≤ Enλ(T )

nelle quali aλ rappresenta il coefficiente di assorbimento emisferico spettrale(assorptività spettrale) del corpo considerato.

2.3 Prototipo di corpo neroAnche se un corpo nero non esiste nella realtà, è possibile approssimarne moltoda vicino il comportamento mediante il dispositivo descritto nel seguito.

(b)(a)

11

2

c

c

1

2c

Cavità neranon

Cavità neranon

Cavitànera

T

T

q

q T

Figura 2.2: Prototipo di corpo nero

Si consideri la cavità non nera, isoterma ed adiabatica di Fig.2.2.a sulla cuiparete è praticato un foro. Se l’area della superficie del foro è molto piccolarispetto all’area della superficie interna della cavità, una qualunque radiazioneche attraversa il foro subirà, da parte della parete interna della cavità stessa,un parziale assorbimento ed una prima riflessione. La porzione riflessa incideràancora sulla superficie interna della cavità e subirà un ulteriore assorbimentoed una seconda riflessione e così via. Poiché, come è semplice immaginare, èestremamente improbabile che la radiazione incidente possa fuoriuscire primaancora che sia stata, in pratica, totalmente assorbita il foro si comporta comeun corpo nero nei confronti di una qualunque radiazione incidente.Allo scopo di stabilire la natura della radiazione q1 ( Wm2 ) che fuoriesce dalla

cavità 1, si supponga di congiungerla, attraverso il foro, con una seconda ca-vità questa volta nera (indicata con 2 in Fig.2.2.b) anch’essa adiabatica e allatemperatura della prima (Tc).La radiazione q2 proveniente dalla cavità 2 (quella nera) penetra nella 1

attraverso il foro e da questa viene totalmente assorbita. Allo stesso modo, la


radiazione proveniente dalla cavità 1 (quella originaria non nera) penetra nella2 attraverso il foro e da questa viene totalmente assorbita. Ora, tenuto contoche per ipotesi la cavità formata dall’insieme delle due è isoterma, dovrà esserecostantemente che:

q1 = q2

Si può concludere, quindi, che la radiazione, che per unità di tempo e per unitàdi area, fuoriesce dal foro praticato sulla superficie di una cavità isoterma eadiabatica è indipendente dalla natura del materiale che la costituisce. Essadipende solo dalla temperatura della cavità Tc ed uguaglia quella emessa da uncorpo nero alla stessa temperatura.Si supponga, ora, di porre in corrispondenza del foro un filtro che si lascia

attraversare dalla sola radiazione di lunghezza d’onda λ. Ripetendo le precedenticonsiderazioni si ricava che:

q1,λ = q2,λ

la quale consente di affermare che anche la radiazione spettrale che attraversa ilforo praticato su una cavità adiabatica e isoterma è indipendente dalla naturadel materiale che costituisce la cavità ed uguaglia quella del corpo nero allatemperatura Tc della cavità.Sono usualmente realizzabili cavità che riproducono il comportamento di

corpo nero con errori generalmente inferiori all’1%.

2.4 Le leggi del corpo neroLe grandezze che caratterizzano l’emissione del corpo nero sono state ricavateteoricamente e verificate dal punto di vista sperimentale. Esse sono riportate ecommentate nel seguito.

2.4.1 Legge di Plank

Il potere emissivo spettrale del corpo nero dipende dalla temperatura e dallalunghezza d’onda secondo la:

Enλ =c1

λ5³ec2λT − 1

´ (2.5)

che esprime la legge di Plank del corpo nero. Nella precedente la T rappresentala temperatura assoluta e le due costanti valgono:

c1 = 3.74× 108 Wµm4

m2

c2 = 1.44× 104 µmK

L’andamento di Enλ in funzione della lunghezza d’onda è mostrato in Fig.2.3.La medesima figura mostra che al crescere della temperatura le curve relativealle temperature più elevate contengono completamente quelle a temperaturapiù bassa ossia l’emissione aumenta con la temperatura relativamente a tutte lelunghezze d’onda.


2.4.2 Legge di Stephan-Boltzmann

Esprime quantitativamente il legame tra il potere emissivo totale En e la tem-peratura:

En = σT 4Wm2

(2.6)

nella quale T rappresenta la temperatura assoluta mentre la costante di propor-zionalità σ, detta costante di Stephan-Boltzmann, vale:

σ = 5.67× 10−8 W

m2K4

σ = 4.88× 10−8 kcal

hm2K4

nelle unità del Sistema Internazionale e Pratico rispettivamente. Per comoditàla relazione precedente può scriversi come:

En = 5.67 ·µ

T

100

¶4 Wm2

En = 4.88 ·µ

T

100

¶4 kcal

hm2

La legge di Stephan-Boltzmann può anche essere ricavata dalla legge di Plankper integrazione su tutto lo spettro di emissione secondo la (1.12).

2.4.3 Legge dello spostamento di Wien

La Fig.2.3 mostra che all’aumentare della temperatura assoluta il massimo diemissione tende a spostarsi verso lunghezze d’onda sempre più piccole. La leggeche esprime il luogo dei massimi in funzione di T ossia la λmax = λmax(T ) sipuò ricavare evidentemente dalla (2.5). Si ottiene:

λmax =c3T

nota come legge dello spostamento di Wien. La costante c3 vale 2898 µmK.

2.5 Funzioni per l’emissioneL’equazione (2.5) può essere posta in una forma che elimina la necessità difornire una curva separata per ogni temperatura (vedi Fig. 2.3). Ciò può esserefacilmente ottenuto dividendone entrambi i membri per σT 5:

Enλ

σT 5=

c1/σ

(λT )5³e

c2(λT) − 1

´ µm−1K−1

ottenendo in tal modo una funzione del solo prodotto λT come mostra la Fig2.4.Valori discreti di tale funzione sono riportati in Tab.2.1.In alcuni calcoli capita spesso di dover valutare la potenza raggiante emessa

da un corpo nero ad una data temperatura in un predefinito intervallo di lun-ghezze d’onda λ1 ÷ λ2 (vedi Fig. 2.5). Questa quantità, che indichiamo con


Figura 2.3: Potere emissivo spettrale del corpo nero al variare della temperatura

1000

1000

0

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

2000

0

λT (µm↑K)

0

5

10

15

20

25

E nλ(λ,

T)/σ

T5

×10-5

Figura 2.4: Potere emissivo spettrale del corpo nero come funzione di λT (µm·K)


Figura 2.5: Potenza emessa dall’unità di area di una superficie nera nella bandaλ1 − λ2

En(λ1 − λ2) e che vale evidentemente:

En(λ1 − λ2) =

λ2Zλ1

Enλdλ =

λ2Z0

Enλdλ−λ1Z0

Enλdλ

può essere calcolata con facilità disponendo della funzione En(0− λ):

En(0− λ) =

λZ0

Enλdλ =

λZ0

c1

λ5³ec2λT − 1

´dλQuesta dipende dalla temperatura e dalla lunghezza d’onda. Tuttavia, dividen-do entrambi i membri per En = σT 4, si ottiene:

F0−λ =En(0− λ)

σT 4=

λTZ0

c1/σ

(λT )5³ec2λT − 1

´d (λT )essendo evidentemente dλ = d(λT )

T . L’equazione precedente mostra che la fun-zione F0−λ (vedi Fig.2.6) dipende solo dal prodotto λT ed i relativi valori sonoriportati in Tab.2.1.Esempio 1 - Dato un corpo nero alla temperatura di 800 K, si vuole determi-nare: (a) il potere emissivo totale; (b) il potere emissivo spettrale per λ = 3 µm;(c) la potenza raggiante emessa tra 1.5 e 4.0 µm.Il potere emissivo totale si ricava dalla legge di Stephan-Boltzmann (2.6):

En(800 K) = 5.67×µ800

100

¶4= 23220

W

m2


1000

1000

0

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

2000

0

3000

0

4000

0

5000

0

λT (µm↑K)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F 0-λ

Figura 2.6: Andamento della F0−λ in funzione del prodotto λT (µm·K)

In corrispondenza del prodotto:

λT = 800× 3 = 2400 µm K

si legge dalla tabella 2.1 che:

Enλ

σT 5= 0.207× 10−3 µm−1K−1

per cui:

Enλ(800K; 3 µm) =¡0.207× 10−3

¢·¡5.67× 10−8 · 8005

¢= 3846

W

m2 µm.

In corrispondenza di:λT = 800× 4 = 3200µm K

la tabella fornisce 2.1 che:

F0−4µm =En(0− 4µm)

σT 4= 0.318

da cui

En(0− 4µm) = 0.318 · 5.67× 10−8 · 8004 = 0.318 · 23220 = 7384Wm2

Allo stesso modo per

λT = 800× 1.5 = 1200 µm K

si ha:

F0−1.5µm =En(0− 1.5µm)

σT 4= 0.213× 10−2


che moltiplicato per il potere emissivo fornisce

En(0− 1.5µm) = 0.213× 10−2 · 23220 = 50Wm2

Infine si ricava:

En(0− 4µm)−En(0− 1.5µm) = 7385− 50 = 7335Wm2

Esempio 2 - Il filamento di una lampada ad incandescenza è assimilabile, dalpunto di vista dell’emissione di energia raggiante, ad un corpo nero a 2400 K.Verificare che è circa il 2.7% della totale potenza emessa dal filamento quellache cade nel campo del visibile (0.4-0.7 µm).


λT Enλ×105σT5

En(0−λ)σT 4 λT Enλ×105

σT5En(0−λ)σT4 λT Enλ×105

σT5En(0−λ)σT4

6 0 0 0 .0 0 0 3 2 7 6 9 .2 9 9 7E -0 8 4 0 0 0 1 8 .1 7 6 6 0 4 .8 0 8 8 8E -0 1 7 4 0 0 4 .9 6 9 9 5 8 .2 9 5 0 3E -0 1

8 0 0 0 .0 3 1 1 9 6 1 .6 4 4 3 1 E -0 5 4 1 0 0 1 7 .5 8 3 9 3 4 .9 8 7 5 2E -0 1 7 6 0 0 4 .6 1 8 3 5 8 .3 9 0 7 8E -0 1

1 0 0 0 0 .3 7 2 9 0 3 .2 0 8 9 1 E -0 4 4 2 0 0 1 6 .9 9 1 9 1 5 .1 6 0 2 3E -0 1 7 8 0 0 4 .2 9 5 4 5 8 .4 7 9 7 9E -0 1

1 1 0 0 0 .8 5 6 3 5 9 .1 1 5 4 0 E -0 4 4 3 0 0 1 6 .4 0 4 2 4 5 .3 2 7 0 5E -0 1 8 0 0 0 3 .9 9 8 7 5 8 .5 6 2 6 1E -0 1

1 2 0 0 1 .6 4 8 3 8 2 .1 3 4 8 5 E -0 3 4 4 0 0 1 5 .8 2 3 9 2 5 .4 8 8 0 3E -0 1 8 2 0 0 3 .7 2 5 9 4 8 .6 3 9 7 5E -0 1

1 3 0 0 2 .7 7 8 2 8 4 .3 1 7 6 4 E -0 3 4 5 0 0 1 5 .2 5 3 4 1 5 .6 4 3 2 6E -0 1 8 4 0 0 3 .4 7 4 9 1 8 .7 1 1 6 6E -0 1

1 4 0 0 4 .2 2 8 3 3 7 .7 9 2 3 2 E -0 3 4 6 0 0 1 4 .6 9 4 6 4 5 .7 9 2 8 5E -0 1 8 6 0 0 3 .2 4 3 7 5 8 .7 7 8 7 5E -0 1

1 5 0 0 5 .9 4 1 5 6 1 .2 8 5 3 0 E -0 2 4 7 0 0 1 4 .1 4 9 1 6 5 .9 3 6 9 2E -0 1 8 8 0 0 3 .0 3 0 7 1 8 .8 4 1 4 1E -0 1

1 6 0 0 7 .8 3 6 5 1 1 .9 7 2 3 2 E -0 2 4 8 0 0 1 3 .6 1 8 1 3 6 .0 7 5 6 1E -0 1 9 0 0 0 2 .8 3 4 2 2 8 .8 9 9 9 8E -0 1

1 7 0 0 9 .8 2 2 6 4 2 .8 5 3 9 6 E -0 2 4 9 0 0 1 3 .1 0 2 3 9 6 .2 0 9 0 7E -0 1 9 2 0 0 2 .6 5 2 8 2 8 .9 5 4 7 7E -0 1

1 8 0 0 1 1 .8 1 2 8 6 3 .9 3 4 9 1 E -0 2 5 0 0 0 1 2 .6 0 2 5 5 6 .3 3 7 4 6E -0 1 9 4 0 0 2 .4 8 5 2 3 9 .0 0 6 0 8E -0 1

1 9 0 0 1 3 .7 3 1 6 3 5 .2 1 1 6 7 E -0 2 5 1 0 0 1 2 .1 1 8 9 8 6 .4 6 0 9 4E -0 1 9 6 0 0 2 .3 3 0 2 4 9 .0 5 4 1 7E -0 1

2 0 0 0 1 5 .5 1 9 1 9 6 .6 7 4 0 0 E -0 2 5 2 0 0 1 1 .6 5 1 8 9 6 .5 7 9 6 7E -0 1 9 8 0 0 2 .1 8 6 7 9 9 .0 9 9 2 9E -0 1

2 1 0 0 1 7 .1 3 2 5 7 8 .3 0 6 5 1 E -0 2 5 3 0 0 1 1 .2 0 1 3 1 6 .6 9 3 8 2E -0 1 1 0 0 0 0 2 .0 5 3 9 0 9 .1 4 1 6 4E -0 1

2 2 0 0 1 8 .5 4 4 5 4 1 .0 0 9 0 3 E -0 1 5 4 0 0 1 0 .7 6 7 1 8 6 .8 0 3 5 4E -0 1 1 0 2 0 0 1 .9 3 0 6 9 9 .1 8 1 4 3E -0 1

2 3 0 0 1 9 .7 4 1 4 6 1 .2 0 0 4 5 E -0 1 5 5 0 0 1 0 .3 4 9 3 2 6 .9 0 9 0 1E -0 1 1 0 4 0 0 1 .8 1 6 3 5 9 .2 1 8 8 5E -0 1

2 4 0 0 2 0 .7 2 0 6 3 1 .4 0 2 7 4 E -0 1 5 6 0 0 9 .9 4 7 4 7 7 .0 1 0 3 9E -0 1 1 0 6 0 0 1 .7 1 0 1 4 9 .2 5 4 0 7E -0 1

2 5 0 0 2 1 .4 8 7 7 0 1 .6 1 3 7 4 E -0 1 5 7 0 0 9 .5 6 1 3 1 7 .1 0 7 8 3E -0 1 1 0 8 0 0 1 .6 1 1 4 1 9 .2 8 7 2 5E -0 1

2 6 0 0 2 2 .0 5 4 2 0 1 .8 3 1 3 9 E -0 1 5 8 0 0 9 .1 9 0 4 6 7 .2 0 1 4 9E -0 1 1 1 0 0 0 1 .5 1 9 5 5 9 .3 1 8 5 2E -0 1

2 7 0 0 2 2 .4 3 5 5 6 2 .0 5 3 7 7 E -0 1 5 9 0 0 8 .8 3 4 5 1 7 .2 9 1 5 1E -0 1 1 1 5 0 0 1 .3 1 6 4 6 9 .3 8 9 2 0E -0 1

2 8 0 0 2 2 .6 4 9 4 6 2 .2 7 9 1 0 E -0 1 6 0 0 0 8 .4 9 3 0 4 7 .3 7 8 0 6E -0 1 1 2 0 0 0 1 .1 4 5 6 4 9 .4 5 0 5 8E -0 1

2 9 0 0 2 2 .7 1 4 5 1 2 .5 0 5 8 2 E -0 1 6 1 0 0 8 .1 6 5 5 7 7 .4 6 1 2 6E -0 1 1 3 0 0 0 0 .8 7 8 6 0 9 .5 5 0 9 7E -0 1

3 0 0 0 2 2 .6 4 9 4 0 2 .7 3 2 5 1 E -0 1 6 2 0 0 7 .8 5 1 6 4 2 7 .5 4 1 2 6E -0 1 1 4 0 0 0 0 .6 8 4 2 5 9 .6 2 8 5 4E -0 1

3 1 0 0 2 2 .4 7 2 1 9 2 .9 5 7 9 9 E -0 1 6 3 0 0 7 .5 5 0 7 7 7 .6 1 8 1 9E -0 1 1 5 0 0 0 0 .5 4 0 3 3 9 .6 8 9 3 7E -0 1

3 2 0 0 2 2 .1 9 9 8 8 3 .1 8 1 2 0 E -0 1 6 4 0 0 7 .2 6 2 4 7 7 .6 9 2 1 8E -0 1 1 6 0 0 0 0 .4 3 2 0 7 9 .7 3 7 6 9E -0 1

3 3 0 0 2 1 .8 4 8 1 7 3 .4 0 1 2 9 E -0 1 6 5 0 0 6 .9 8 6 2 7 7 .7 6 3 3 5E -0 1 1 7 0 0 0 0 .3 4 9 4 4 9 .7 7 6 5 5E -0 1

3 4 0 0 2 1 .4 3 1 2 8 3 .6 1 7 5 3 E -0 1 6 6 0 0 6 .7 2 1 7 0 7 .8 3 1 8 2E -0 1 1 8 0 0 0 0 .2 8 5 5 4 9 .8 0 8 1 4E -0 1

3 5 0 0 2 0 .9 6 1 9 7 3 .8 2 9 3 3 E -0 1 6 7 0 0 6 .4 6 8 2 9 7 .8 9 7 7 0E -0 1 1 9 0 0 0 0 .2 3 5 5 3 9 .8 3 4 0 7E -0 1

3 6 0 0 2 0 .4 5 1 5 1 4 .0 3 6 2 2 E -0 1 6 8 0 0 6 .2 2 5 5 7 7 .9 6 1 1 0E -0 1 2 0 0 0 0 0 .1 9 5 9 6 9 .8 5 5 5 5E -0 1

3 7 0 0 1 9 .9 0 9 7 6 4 .2 3 7 8 6 E -0 1 6 9 0 0 5 .9 9 3 1 2 8 .0 2 2 1 3E -0 1 3 0 0 0 0 0 .0 4 4 1 6 9 .9 5 2 8 9E -0 1

3 8 0 0 1 9 .3 4 5 3 1 4 .4 3 3 9 6 E -0 1 7 0 0 0 5 .7 7 0 4 8 8 .0 8 0 8 8E -0 1 5 0 0 0 0 0 .0 0 6 3 4 9 .9 8 8 8 3E -0 1

3 9 0 0 1 8 .7 6 5 4 9 4 .6 2 4 3 4 E -0 1 7 2 0 0 5 .3 5 3 0 1 8 .1 9 1 9 5E -0 1 ∞ 0 1

Tabella 2.1: Funzioni per il calcolo della radiazione del corpo nero

Capitolo 3

Le superfici reali e il corpogrigio

3.1 EmissivitàPer il calcolo della potenza termica scambiata per irraggiamento è necessariala conoscenza delle caratteristiche di emissione, riflessione ed assorbimento deicorpi che prendono parte al processo.Se tali corpi sono corpi neri, allora, come mostrato nel precedente capitolo,

le relative caratteristiche sono ben note. Purtroppo, i corpi da considerare nelleusuali applicazioni presentano, in genere, un comportamento che differisce anchedi molto da quello del corpo nero a parità di condizioni. Si pone, pertanto, ilproblema di definire un metodo efficiente per poter caratterizzare le proprietàradiative delle superfici non nere.Se si considera che qualunque corpo reale emette e assorbe meno del corpo

nero a parità di ogni altra condizione, si può pensare di descrivere le caratte-ristiche radiative di un corpo reale rapportandole alle analoghe del corpo neromediante l’introduzione di grandezze adimensionali denominate emissività. L’e-missività di una superficie reale varia tra zero e uno e dipende dalla temperaturadella superficie, dalla lunghezza d’onda e dalla direzione della radiazione emessa.Per una data superficie possono quindi definirsi diverse emissività: l’emissivitàdirezionale spettrale, quella direzionale totale, emisferica spettrale e emisfericatotale.

3.1.1 Emissività direzionale spettrale

Consideriamo una superficie ad una temperatura T che presenta una intensitàdi radiazione monocromatica Iλ = Iλ(corpo, T , ϑ, ϕ, λ) ed un corpo neroalla stessa temperatura che presenta l’intensità di radiazione monocromaticaInλ = Inλ(T , λ). Si definisce emissività monocromatica direzionale ϑ,ϕ,λ ilrapporto:

ϑ,ϕ,λ(corpo, T, ϑ, ϕ, λ) =Iλ(corpo, T, ϑ, ϕ, λ)

Inλ(T, λ)= π

Iλ(corpo, T, ϑ, ϕ, λ)Enλ

(3.1)

essendo Inλ = Enλ/π in virtù della (1.10).

24

CAPITOLO 3. LE SUPERFICI REALI E IL CORPO GRIGIO 25

3.1.2 Emissività direzionale totale

E’ definita come:

ϑ,ϕ(corpo, T, ϑ, ϕ) =I(corpo, T, ϑ, ϕ)

In(T )= π

I(corpo, T, ϑ, ϕ)En

(3.2)

essendo In = En/π per la (1.14). L’emissività totale direzionale ϑ,ϕ si puòricavare dalla emissività monocromatica direzionale ϑ,ϕ,λ ricordando la (1.5)che riportiamo per comodità:

I =

∞Z0

Iλ dλ

Infatti ricavando la Iλ dalla (3.1) e la I dalla (3.2), la precedente diventa:

En ϑ,ϕ

π=1

π

∞Z0

ϑ,ϕ,λEnλ dλ

ed in definitiva:

ϑ,ϕ =1

En

∞Z0

ϑ,ϕ,λEnλ dλ

3.1.3 Emissività emisferica spettrale

E’ definita dal rapporto tra il potere emissivo spettrale della generica superfi-cie Eλ(corpo, T , λ) e quello del corpo nero relativo alla stessa temperatura elunghezza d’onda Enλ(T, λ):

λ(corpo, T, λ) =Eλ(corpo, T, λ)

Enλ(T, λ)(3.3)

L’emissività spettrale si può ricavare dalla emissività monocromatica direziona-le. Infatti ricordando la (1.9) che riportiamo:

Eλ =

2πZ0

dϕ

π2Z0

Iλ cosϑ sinϑdϑ

e ricavando la Iλ dalla (3.1) e la Eλ dalla (3.3) si ottiene:

Enλ λ =1

π

2πZ0

dϕ

π2Z0

Enλ ϑ,ϕ,λ cosϑ sinϑdϑ

Essendo Enλ(T, λ) indipendente dalla direzione, si ricava facilmente che:

λ(corpo, T, λ) =1

π

2πZ0

dϕ

π2Z0

ϑ,ϕ,λ cosϑ sinϑdϑ


3.1.4 Emissività emisferica totale

E’ definita come il rapporto tra il potere emissivo totale E(corpo, T ) di unadata superficie e quella del corpo nero alla stessa temperatura:

(corpo, T ) =E(corpo, T )

En(T )(3.4)

Ricordando la (1.12) la precedente si può anche scrivere come:

=1

En(T )

∞Z0

Eλdλ

e dalla (3.3) si ottiene che:

=1

En(T )

∞Z0

λEnλ(T, λ)dλ (3.5)

Analogamente alla emissività spettrale, l’emissività totale si può ricavare an-che partendo dalla conoscenza della emissività totale direzionale ricordandol’equazione (1.13):

E =

2πZ0

dϕ

π2Z0

I cosϑ sinϑdϑ

Ricavando la I dalla (3.2) si ottiene:

En =1

π

2πZ0

dϕ

π2Z0

En ϑ,ϕ cosϑ sinϑdϑ

Essendo En(T ) indipendente dalla direzione, si ricava facilmente che:

=1

π

2πZ0

dϕ

π2Z0

ϑ,ϕ cosϑ sinϑdϑ

Con esplicito riferimento alle sole emissività spettrale e totale che più inte-ressano nello studio dello scambio termico radiativo, l’esperienza mostra chel’emissività spettrale λ(corpo, T, λ) presenta una dipendenza dalla tempera-tura generalmente debole e quindi trascurabile nelle usuali applicazioni. Piùproblematica si presenta la dipendenza dalla lunghezza d’onda come è chiara-mente mostrato dalla Fig.?? che riporta la λ per alcune tipiche superfici solidedi interesse ingegneristico. Come si vede vi sono superfici che presentano unlegame tra λ = λ(λ) molto complesso mentre altre, al contrario, sembranomostrare una quasi indipendenza di λ dalla lunghezza d’onda. Una ulteriorecomplicazione può essere rappresentata dalla forte dipendenza di λ dallo statosuperficiale intendendo con ciò sia il tipo di lavorazione ed il grado di finitura e,per le superfici metalliche, il livello di ossidazione che influenza positivamentel’emissività spettrale.


Lunghezza d’onda ( m)

Em

issi

vità

em

isfe

rica

spet

tral

eE

mis

sivi

tà e

mis

feri

ca sp

ettr

ale

Lunghezza d’onda ( m)0.50

0.50

A

A

C

C

B

B

0

0

0.20

0.20

0.40

0.40

0.60

0.60

0.80

0.80

1.00

1.00

1.0

1.0

3.0

3.0

5.0

5.0

7.0

7.0

11.0

11.0

15.0

15.0

19.0

19.0

23.0

21.0

A

B

C

: Alluminio 1100-0 Commercialmente puro: Alluminio 24S-T81 anodizzato

con acido solforico: Alluminio 6061-T6 con

anodizzazione spessa (1 mil)

A

BC

: Vernice al silicone alluminato su acciaio inossidabile 321

: Acciaio inossidabile tipo 301: Vernice epossidica bianca

su alluminio

Figura 3.1: Emissività spettrale di alcune superfici (da Chapman A.J., HeatTransfer - Fourth Edition, Maxwell Macmillan International Editions, New York1989)

L’emissività totale, assegnata la superficie, dipende come si è visto dallatemperatura. La Fig.3.2 riporta la relativamente ad alcuni materiali metallici.Come si vede l’emissività totale cresce proporzionalmente alla temperatura conuna costante di proporzionalità che, a sua volta, cresce con la resistività elettrica.Si osserva altresì che a parità di temperatura l’aumento è più pronunciato persuperfici che presentano un certo grado di ossidazione mentre lo è meno permateriali che presentano una superficie molto lucida. Superfici lucidate e nonossidate, infatti, presentano valori della emissività totale che variano tra 0.03 e0.05 alla temperatura ambiente e aumentano anche di due ordini di grandezza(0.4-0.7) per temperature elevate (1000◦C o più). Superfici rugose e/o ossidateaumentano di molto la loro emissività; alla temperatura ambiente si superanormalmente = 0.6 fino a raggiungere valori pari a 0.9. Alle alte temperaturesi osservano per valori compresi tra 0.9 e 0.95. Una raccolta di emissività


emisferiche totali per alcune superfici sono riportate in Tab. 3.1 a pagina 31.

Em

issi

vità

em

isfe

rica

tota

le

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.00

0

250

2500 3000 3500

500

500

750 1000

1000

1250 1500

1500

1750 2000

2000

Temperatura, °C

°F

Nickel ossidato

Zinco ossidato

Alluminio ossidato a 1110 °F

Acciaio inossidabile 301

Acciaio inossidabile 347ossidato a 2000°F

Rame ossidato

Lega di alluminio lucidataZinco puro lucidato

Ottone lucidato

Ottoneossidato

Rame lucidatoNikel lucidato

Disco bianco diossido di Berillio

Disco nero di ossidodi Berillio

Figura 3.2: Emissività totale per alcuni solidi metallici (da Özi̧sik M.N., HeatTransfer - A Basic Approach, McGraw-Hill, New York 1985)

I materiali non conduttori (elettrici), al contrario, presentano una emissivitàtotale che diminuisce con la temperatura e, a parità di questa, è più elevatadi quella dei materiali conduttori. Alla temperatura ambiente i materiali nonconduttori presentano valori di che generalmente superano 0.8.L’emissività totale, al pari di quella spettrale, si determina sperimentalmen-

te. In alternativa la si può ricavare analiticamente dalla conoscenza dellaλ = λ(λ) applicando la (3.5). Il procedimento data la generale complessitàdella dipendenza della emissività spettrale dalla lunghezza d’onda deve esserecondotto per via numerica.


3.2 La legge di KirchhoffUna importante ed utile legame tra l’emissività emisferica (totale o spettrale) eil coefficiente di assorbimento emisferico (totale o spettrale) è noto come leggedi Kirchhoff.E’ stato già ricavato al paragrafo (2) che per un corpo reale posto all’interno

di una cavità nera adiabatica ed isoterma valgono le (2.3, 2.4) che riportiamoper comodità:

a ·En(Tc) = E(Tc)

aλ ·Enλ(Tc) = Eλ(Tc)

Poiché il potere emissivo totale E(Tc) e spettrale Eλ(Tc) di una superficie realepossono essere legati al potere emissivo totale En(Tc) e spettrale Enλ(Tc) delcorpo nero alla stessa temperatura per il tramite delle emissività emisfericatotale e spettrale λ secondo la (3.4) e la (3.3) rispettivamente, dalle precedentidiscende immediatamente che:

a = (3.6)

aλ = λ (3.7)

Le uguaglianze precedenti costuiscono la legge di Kircchoff la quale afferma che:l’emissività emisferica spettrale e totale di una superficie qualsiasi ad una tem-peratura T uguagliano il coefficiente di assorbimento emisferico totale e spettraledella medesima superficie nei riguardi della radiazione proveniente da un corponero alla stessa temperatura.Pertanto, le (3.6, 3.7) sono generalizzabili sotto ipotesi ben precise.Consideriamo dapprima la forma spettrale della legge di Kircchoff. Come

già evidenziato in precedenza (vedi paragrafo 1.3), la (3.7) è, a rigore valida, seè verificata una delle condizioni seguenti:

1. la radiazione monocromatica incidente sulla superficie è diffusa;

2. la superficie irradiata presenta un coefficiente di assorbimento emisfericospettrale aλ indipendente dalla direzione d’incidenza.

Tali ipotesi sono usualmente soddisfatte per cui la (3.7) viene comunementeassunta valida.L’estensione della (3.6), utile nello studio scambio termico radiativo, richiede

che si riconsideri la (3.5):

(corpo, T ) =

∞R0

λEnλ(T, λ)dλ

∞R0

Enλ(T, λ)dλ

e la prima delle (1.22) che, in conseguenza della (3.7), si scrive:

a(sorgente, T ) =

R∞0 λGλdλR∞0

Gλdλ

Dal confronto delle precedenti si osserva che l’uguaglianza espressa dalla (3.6) èvalida purché siano verificate l’una o l’altra delle due condizioni seguenti:


Figura 3.3: Potere emissivo spettrale del corpo nero e del corpo grigio alla stessatemperatura

1. l’irradiazione Gλ presenta la stessa composizione spettrale di quella emes-sa dal corpo nero alla stessa temperatura, ovvero Gλ(T, λ) = Enλ(T, λ).E’ una restrizione sulle caratteristiche della sorgente e deriva direttamen-te dalle condizioni operative che hanno originato la forma globale delprincipio di Kircchoff.

2. l’emissività spettrale della superficie irradiata è indipendente dalla lun-ghezza d’onda ossia λ = Cost. In tali condizioni la λ può essere estrattadall’integrale ottenendo che = a.

In condizioni diverse da quelle or ora illustrate il coefficiente di assorbimentoemisferico totale e l’emissività emisferica totale possono risultare scorrelate el’estensione generalizzata della legge di Kircchoff può portare a gravi errori divalutazione.

3.3 Il corpo grigioUna sensibile semplificazione nello studio dello scambio termico radiativo trasuperfici reali si ottiene facendo ricorso al concetto di corpo grigio.Il corpo grigio è un corpo opaco e diffuso per il quale l’emissività spettra-

le è indipendente dalla lunghezza d’onda. In tale ipotesi, per la (3.5), si hacostantemente che:

(T ) = λ(T ) (3.8)

ed è costante il rapporto tra il potere emissivo spettrale Eλ(T ) del corpo grigio eil potere emissivo spettrale Enλ(T ) del corpo nero ad una assegnata temperatura(vedi Fig.3.8).Ricordando quanto detto nel precedente paragrafo, consegue direttamente

che per il corpo grigio vale la (3.6). Ne deriva che in tutte le applicazioni in cui èlecito introdurre l’ipotesi di corpo grigio, il calcolo dello scambio termico radiati-vo può essere condotto usando le informazioni che scaturiscono dall’applicazionedella forma globale della legge di Kircchoff (3.6).


Osserviamo che il corpo nero è un particolare corpo grigio; osserviamo inol-tre che un corpo grigio è, al pari di quello nero, un corpo ipotetico non esistentein natura. Ciò nonostante, esistono in natura corpi che approssimano il compor-tamento del corpo grigio in intervalli anche estesi di lunghezze d’onda. L’utilitàpratica del concetto di corpo grigio risiede proprio nel fatto che nelle applicazioniquasi mai interessa il comportamento di una superficie sull’intero spettro dellelunghezze d’onda, ma solo in corrispondenza di intervalli relativamente ristretti(nel caso dello scambio termico l’intervallo di lunghezze d’onda si estende tra0.1 e 100 µm).

Tabella 3.1: Emissività emisferica totale per alcune superficiMateriale Temperatura

38 ◦C 260 ◦C 540 ◦C 1370 ◦C

MetalliAlluminio

Lucidato 0.04 0.05 0.08 0.19Ossidato 0.11 0.12 0.18

OttoneLucidato 0.10 0.10Ossidato 0.61

RameLucidato 0.04 0.05 0.18 0.17Ossidato 0.87 0.83 0.77

ZincoLucidato 0.02 0.03 0.04 0.06Lamiera zincata 0.25

IsolantiAmianto in fogli 0.93 0.93Carta, bianca 0.95 0.82 0.25Cartone per copertura 0.93

Materiali da costruzioneMattoniArgilla refrattaria 0.90 0.70 0.75Silice 0.90 0.75 0.84

Intonaco 0.91Marmo bianco 0.95 0.93PittureLacca di alluminio 0.65 0.65Rossa 0.96Gialla 0.95 0.50

VarieAcqua 0.96Legno 0.93Vetro 0.90

Capitolo 4

Lo Scambio TermicoRadiativo

4.1 IntroduzioneLo scambio termico radiativo dipende da numerosi fattori; tra essi i principalisono rappresentati dalle caratteristiche dei corpi che vi prendono parte, dallaloro posizione reciproca, dalla natura del mezzo tra essi interposto.Tuttavia, in numerosi problemi di interesse ingegneristico il mezzo interpo-

sto è costituito da gas mono o biatomici o da miscele di essi (come l’aria), iquali influenzano in modo del tutto marginale il processo di scambio. E’ pertale motivo che nel seguito verrà impostata, per pure ragioni di brevità, unatrattazione che prescinde dalla presenza del mezzo interposto1.Alcune ulteriori ipotesi semplificative del tutto lecite possono, altresì, essere

introdotte. In particolare:

1. i corpi sono neri o grigi ;

2. le caratteristiche radiative delle superfici sono considerate uniformi;

3. le superfici sono considerate isoterme;

4. il regime è permanente.

4.2 Determinazione dei fattori di vistaDefiniamo fattore di vista F1,2 tra una superficie A1 e una superficie A2 ilrapporto adimensionale:

F1,2 =QA1→A2

QA1

(4.1)

nella quale si è indicato con QA1 la potenza raggiante emessa dalla superficieA1 e con QA1→A2 la porzione di QA1 che cade sulla superficie A2. Il fattoredi vista è compreso tra 0 e 1. Se A1 e A2 coincidono, il fattore di vista F1,1

1La trattazione dello scambio termico radiativo che contempli anche gli effetti della presenzadel mezzo è stato approfonditamente studiato ed è presente nella letteratura specializzata.

32

CAPITOLO 4. LO SCAMBIO TERMICO RADIATIVO 33

rappresenta la frazione di QA1che ricade direttamente sulla stessa superficie

A1. Perché F1,1 6= 0 la superficie deve essere concava.

Figura 4.1: Schema per il calcolo dei fattori di vista

Consideriamo le due superfici A1 e A2 di Fig.4.1 e di esse le porzioni infinite-sime dA1 e dA2 a distanza r. La potenza globalmente emessa da dA1 e incidentesu dA2 può esprimersi facilmente facendo ricorso alla intensità di radiazione to-tale. Infatti, ricordando la (1.3), la potenza emessa da dA1 nell’angolo solidoinfinitesimo dω costruito nell’intorno di una direzione assegnata vale:

dQdA1dω = I1 cosϑ1dA1dω (4.2)

L’angolo solido dω, nel caso specifico, è quello sotto cui dA2 è vista da dA1 equindi , come evidenziato dalla Fig.4.1, deve essere tale che:

dω =dA2 cosϑ2

r2

Sostituendo la precedente nella (4.2) si ottiene in definitiva che:

dQdA1→dA2 =I1 cosϑ1 cosϑ2

r2dA1dA2

Integrando su entrambe le superfici A1 e A2 si ricava la potenza raggiante che,emessa da A1, incide su A2:

QA1→A2 =

ZA1

ZA2

I1cosϑ1 cosϑ2

r2dA1dA2

che costituisce il numeratore della (4.1). Essendo il denominatore delle medesi-ma formula QA1 = A1E1 si ottiene che:

F1,2 =

RA1

RA2

I1cosϑ1 cosϑ2

r2 dA1dA2

A1E1(4.3)


La (4.3) mostra che il fattore di vista F1,2 dipende sia dalla geometria del sistemache dalle caratteristiche radiative della sorgente (E1 e I1).Nell’ipotesi che la A1 sia diffusa, allora I1 = Cost = E1

π e la (4.3) si semplificanella:

F1,2 =1

A1

ZA1

ZA2

cosϑ1 cosϑ2πr2

dA1dA2 (4.4)

la quale mostra che se A1 è diffusa, il fattore di vista F1,2 dipende solo dallecaratteristiche geometriche del sistema.Supponendo che anche la superficie A2 sia diffusa, il medesimo procedimento

porta alla:

F2,1 =1

A2

ZA1

ZA2

cosϑ1 cosϑ2πr2

dA1dA2

per cui:A1F1,2 = A2F2,1 (4.5)

la quale esprime la prorietà di reciprocità dei fattori di vista già ricavata inprecedenza nell’ipotesi di due superfici nere2. La (4.3) o anche la (4.4) costi-tuiscono le equazioni generali per il calcolo dei fattori di vista che costituisceuna operazione generalmente non semplice. Fortunatamente i fattori di vistarelativi a numerosi casi di pratico interesse sono già stati già calcolati e sonoraccolti sotto forma di grafici a doppia entrata (Fig. 4.3, 4.5, 4.4)3. Da essi èpossibile ricavare i fattori di vista relativi a situazioni geometricamente più com-plesse sfruttando sia la proprietà di reciprocità (4.5) sia due ulteriori relazionidi carattere generale che ci apprestiamo ad illustrare.

Ar

As

Ai

1

2

3

Figura 4.2: Proprietà di additività e della cavità per i fattori di vista

Consideriamo le due superfici diffuse Ar e As di Fig.4.2. La potenza rag-giante che, emessa dalla prima, incide sulla seconda è pari a ArErFr,s. Se la

2La proprietà di reciprocità nella forma espressa dalla (4.5) vale solo se le due superficisono diffuse.

3Per una raccolta completa di configurazioni per le quali sono dati i fattori di vista siain forma grafica che analitica si consulti E.M. Sparrow, R.D. Cess, Radiation Heat Trans-fer - Augmented Edition, Series in Thermal and Fluids Engineering, Hemisphere PublishingCorporation, Washington, 1978


0 1 2 3 4 5 6 7a/c

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

12b/c =∞

10

4.0

2.0

1.0

0.6

0.4

0.20.1

c

ab

1

2

Figura 4.3: Fattori di vista per due superfici rettangolari affacciate

superficie As fosse pensata suddivisa, ad esempio, in N porzioni che denominia-mo Ai (i = 1, 2, . . . , N) si avrebbe che l’energia raggiante che, emessa da Ar, laraggiunge è:

ArErFr,s =NXi=1

ArErFr,i = ArEr

NXi=1

Fr,i

ed in definitiva:

Fr,s =NXi=1

Fr,i (4.6)

Il risultato espresso dalla equazione precedente costituisce la proprietà di addi-tività dei fattori di vista.Può risultare utile anche la valutazione del fattori di vista Fs,r della superfi-

cie s (quella suddivisa) rispetto all’intera superficie Ar in funzione degliN fattoridi vista Fi,r. Allo scopo riconsideriamo l’equazione precedente e moltiplichiamoentrambi i membri per la superficie intera Ar. Si ottiene:

ArFr,s =NXi=1

ArFr,i


0.1 1 100.2 0.4 0.6 0.8 2 4 6 8

c/b

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

12

a/c = 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.25

1.5

2.0

4.05.0

6.08.0 a

bc

Figura 4.4: Fattori di vista per due superfici circolari affacciate

e applicando al primo e secondo membro la proprietà di reciprocità (4.5):

AsFs,r =NXi=1

AiFi,r da cui Fs,r =PN

i=1AiFi,rPNi=1Ai

dove si è posto As =PN

i=1Ai.Si consideri ora la cavità di Fig.4.2. La superficie 1 emette la potenza rag-

giante A1E1 di cui la frazione A1E1F1,1 incide sulla superficie 1, la frazioneA1E1F1,2 raggiunge la supeficie A2 ed, infine, la frazione A1E1F1,3 incide suA3. Il principio di conservazione dell’energia consente di scrivere:

A1E1 = A1E1 (F1,1 + F1,2 + F1,3) da cui F1,1 + F1,2 + F1,3 = 1

Per una cavità costituita da N superfici si può scrivere per la i−esima:

NXj=1

Fi,j = 1 (4.7)

che costituisce una ulteriore proprietà dei fattori di vista relativi alle superficiche formano una cavità.


0.1 1 100.2 0.4 0.6 0.8 2 4 6 8

Z/X

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

12Y/X = 0.02

0.05

0.10

0.20

0.400.60

1.0

2.0

4.0

1020

1X

Z

Y

2

Figura 4.5: Fattori di vista per due sueprficie disposte ad angolo retto

4.3 Scambio termico radiativo in cavitàChiamiamo cavità una porzione di spazio limitato da superfici ognuna con ca-ratteristiche radiative note. L’introduzione del concetto di cavità consente unaelegante generalizzazione dello scambio termico radiativo. Le superfici dellacavità, infatti, possono essere reali o fittizie nel qual caso sono generalmentedenominate finestre. Attraverso una finestra la radiazione può fuoriuscire dallacavità e disperdersi nell’ambiente esterno alla cavità stessa. La finestra, in que-sto caso, può riguardarsi come una superficie nera (essa assorbe infatti tutta laradiazione che riceve senza emetterne). Qualora attraverso la finestra entri unacerta potenza raggiante, allora la finestra può venire equiparata ad un corpo ne-ro ad una temperatura tale che il suo potere emissivo globale eguagli la potenzaraggiante che attraversa l’unità di superficie della finestra.Ciò premesso, consideriamo una cavità costituita daN superfici. La i−esima

delle predette superfici, in generale, vede se stessa e le restanti N−1. Sono in to-taleN i fattori di vista da definire per ciascuna superficie (Fi,j , j = 1, 2, . . . , N)ed N2 per l’intera cavità. Essi possono essere raccolti in una matrice quadrata


Figura 4.6: Bilancio energetico su una parete di una cavità grigia

del tipo:

[Fi,j ] =

¯̄̄̄¯̄̄̄¯F1,1 F1,2 · · · F1,NF2,1 F2,2 · · · F2,N...

.... . .

...FN,1 FN,2 · · · FN,N

¯̄̄̄¯̄̄̄¯

Non tutti gli N2 fattori di vista sono, però, indipendenti. Infatti tra essi esistonoi legami espressi dalla proprietà di reciprocità (4.5) che, riguardando i fattoridi vista posti in posizione simmetrica rispetto alla diagonale principale dellamatrice [Fi,j ], sono complessivamente pari a:

N2 −N

2

A questi si aggiungono ulteriori legami. Osserviamo, infatti, che per la i−esimasuperficie della cavità vale la (4.7) la quale afferma che è pari a 1 la somma deifattori di vista della i−esima riga della matrice Fi,j . Possono, quindi, esserescritte per la cavità N equazioni del tipo (4.7) per cui sono complessivamente:

N2 −N

2+N =

N2 +N

2

i legami esistenti tra gli N2 fattori di vista della cavità. In definitiva è pari a:

N2 − N2 +N

2=

N2 −N

2=

N (N − 1)2

il numero massimo dei fattori di vista da calcolare per la cavità considerata.Infatti, tale numero può ulteriormnte diminuire per il verificarsi di particolari

circostanze. Ad esempio, se alcune delle superfici della cavità sono concave opiane i fattori di vista di tali superfici verso se stesse (Fii) sono evidentementenulli.


4.3.1 Equazioni di base per cavità grigie

La Fig.4.6 mostra le potenze termiche che, per unità di area, interessano la gene-rica superficie grigia di una cavità. Dalla figura si vede che per la stazionarietàdeve essere:

Qi = qiAi = Ai (Ji −Gi) (4.8)

Dalla medesima Fig.4.6 si vede che l’irradiazione e la radiosità non sono indi-pendenti essendo, per la definizione stessa di radiosità, che:

Ji = Eni i +Gi (1− i)

nella quale si è tenuto conto che per la superficie grigia vale il principio diKirchhoff (ai = i). Ne consegue che la (4.8) si può scrivere come:

Qi = AiJi −AiJi −Eni i

1− i= (Eni − Ji)

Ai i

1− i(4.9)

Nella equazione precedente compaiono tre grandezze incognite (Qi, Eni e Ji)le quali possono essere univocamente determinate a patto che per la genericasuperficie vengano scritte due ulteriori equazioni.Una di queste può essere ricavata considerando che l’irradiazione AiGi che

compare nella (4.8) proviene dalla cavità ed è data dalla somma delle radiositàJj delle N superfici che compongono la cavità stessa ognuna moltiplicata perl’area Aj e per il fattore di vista Fji. In formule:

AiGi =NXj=1

JjAjFji = Ai

NXj=1

JjFij

nella quale si è tenuto conto della proprietà di reciprocità. Sostituendo l’espres-sione precedente nelle (4.8) si ottiene:

Qi = Ai

⎛⎝Ji −NXj=1

JjFij

⎞⎠ =NXj=1

AiFij (Ji − Jj) =NXj=1

Qi→j (4.10)

essendo, per una cavità,PN

j=1Fij = 1. Con Qi→j si è indicata la potenza nettascambiata tra la i-esima e la j-esima superficie della cavità. La (4.10) mostrache la Qi→i è nulla indipendentemente dalla forma della superficie.L’ulteriore equazione è rappresentata dalla condizione al contorno che, nel

particolare problema considerato, è assegnata alla generica superficie. Nellapratica le condizioni al contorno sono essenzialmente:

• del primo tipo. E’ pertanto assegnata, per la superficie considerata, latemperatura assoluta Ti ovvero il potere emissivo Eni.

• del secondo tipo. E’ assegnato la potenza netta Qi scambiata tra lasuperficie e la cavità.

Fatte salve alcune eccezioni, nella pratica quest’ultima condizione si appli-ca a superfici isolate verso l’esterno (adiabatiche) per le quali Qi = 0. In taleipotesi, per la (4.8), la superficie emette una potenza raggiante uguale a quellaricevuta e per tale motivo è detta reirraggiante. Sono considerate reirraggianti,


ad esempio, le pareti dei forni che per ovvi motivi sono adiabatiche. Infatti,sebbene nella realtà una certa quantità di calore fluisca per conduzione e con-vezione dall’interno verso l’esterno, essa è a tutti gli effetti pratici trascurabilerispetto alle potenze scambiate per irraggiamento tra le superfici interne delforno. Per le pareti reirraggianti l’equazione (4.9) mostra che Eni = Ji comeper una parete nera.Le equazioni (4.9) e (4.10) unitamente a quella che esprime la condizione al

contorno, quindi, risultano sufficienti per la soluzione di un problema termicoin cavità.

4.3.2 Metodo dell’analogia elettrica

Il metodo dell’analogia elettrica costituisce un metodo che ben si presta per af-frontare lo scambio termico radiativo in cavità costituito da un limitato numerodi superfici (generalmente inferiore a quattro).Per lo sviluppo del metodo si considerino le equazioni (4.9 ,4.10). La prima

mostra che la potenza netta Qi scambiata tra la generica superficie e la cavitàsi presenta analoga alla corrente che attraversa una resistenza Ri (resistenzasuperficiale) pari a:

Ri =1− i

Ai i

che è posta tra due punti a diverso potenziale: il primo uguale al potere emissivodella superficie supposta nera (Eni) ed il secondo uguale alla radiosità dellamedesima superficie (Ji).L’equazione (4.10) mostra che la potenza netta Qi è data dalla somma delle

potenze termiche nette che la medesima superficie i−esima scambia con le Nsuperfici che formano la cavità (principio di conservazione dell’energia). Inoltrela struttura della medesima equazione suggerisce che ciascuna di dette N poten-ze è analoga alla corrente che attraversa una resistenza Rij (resistenza spaziale)paria a:

Rij =1

AiFijj = 1, 2, . . . , N

posta tra due punti a diverso potenziale: il primo, comune a tutte le resistenze,uguale alla radiosità Ji della superficie considerata, ed il secondo uguale allaradiosità Jj riferita a ciascuna delle N superfici che formano la cavità.Lo schema elettrico equivalente allo scambio termico radiativo tra la super-

ficie generica (i) e la cavità è riportato in Fig.4.7.Esempio. Per gli sviluppi futuri è utile determinare la potenza scambiata tradue superfici qualsiasi che formano la cavità di Fig.4.8,a. Delle due superficisiano assegnate le aree (A1 e A2), le temperature (T1 e T2) e le emissività ( 1 e2).La rete elettrica equivalente associata alla cavità è quella mostrata in Fig.4.8,b.

Per ottenerla è sufficiente riportare per ogni superficie due punti (uno a poten-ziale uguale a En e uno a potenziale uguale a J). Si unisce poi il punto apotenziale En1 a quello a potenziale J1 con la resistenza superficiale R1 = 1− 1

A1 1

e il punto a potenziale J1 con quello a potenziale J2 con una resistenza spazialeR12 =

1A1F12 .

Analogamente per la seconda superficie. Una resistenza superficiale R2 =1− 2

A2 2viene posta tra i punti a potenziale En2 e J2 mentre quella spaziale (R21 =


ni

i

1

122

N-1

N-1

N

N

i

ii

i

iE

J

J

J

J

R

RR

R

R

Figura 4.7: Schema elettrico equivalente allo scambio tra la superficie i−esimae la cavità

1A2F21 uguale a R12 per la proprietà di reciprocità dei fattori di vista) è già statacollocata con riferimento alla superficie 1.Applicando il metodo dell’analogia elettrica si costruisce la rete elettrica

equivalente di Fig.4.8,b da cui è possibile ricavare immediatamente che la po-tenza termica netta Q12 scambiata tra le due superfici della cavità è datadalla:

Q12 = Q1 =En1 − En2

1− 1

A1 1+ 1

A1F12 +1− 2

A2 2

=σA1

¡T 41 − T 42

¢1− 1

1+ 1

F12 +A1

A2

1− 2

2

W (4.11)

L’equazione (4.11) è valida qualunque sia la forma delle due superfici che lacompongono. La forma, infatti, influisce sul risultato finale per il tramite deivalori assunti dal fattore di vista e dal rapporto A1/A2.Alcuni casi di interesse applicativo sono riportati nella Tab.4.1.E’ semplice verificare che per una cavità formata da tre superfici (vedi Fig.

4.9.a) la rete equivalente ha la struttura mostrata in Fig.4.9.b. In tal caso lasoluzione richiede in primo luogo il calcolo delle radiosità e da queste, tramitel’equazione (4.10) si ricavano le potenze nette scambiate per irraggiamento daciascuna superficie.Se si ipotizza, come in precedenza che siano date le temperature delle tre su-

perfici, le tre radiosità possono ricavarsi tenendo conto che, per la conservazionedell’energia, valgono le:

Q1 = Q12 +Q13 ; Q2 = −Q12 +Q23 ; Q3 = − (Q13 +Q23)

ovvero:

En1 − J1R1

=J1 − J2R12

+J1 − J3R13

En2 − J2R2

= −J1 − J2R12

+J2 − J3R23

(4.12)

En3 − J3R3

= −µJ1 − J3R13

+J2 − J3R23

¶


Figura 4.8: Cavità a due superfici grigie e rete elettrica equivalente.

12

3

a)

b)

n

n

n1

3

211

1

12

12 2313

13 23

3

2

22

3

3

E

E

EJR R

Q

Q

R

R

RR

Q Q

Q

Q

J

J

Figura 4.9: Cavità a tre superfici e schema elettrico equivalente.

Esempio. Una cavità grigia a forma di triangolo equilatero infinitamente lungapresenta le temperature e le emissività riportate in Fig.4.10. Calcolare i flussiscambiati da ciascuna superficie con la cavità.Per prima cosa si ricavano i fattori di vista. Essi sono in totale 9 tra i quali

esistono 9 equazioni (3 relazioni di reciprocità, tre di somma e le ulteriori trediscendono dal fatto che le superfici sono piane). Poiché le superfici sono tutteuguali si ha:

F11 = F22 = F33 = 0F12 = F21; F13 = F31; F23 = F32F12 + F13 = 1F21 + F23 = 1F31 + F32 = 1


Tabella 4.1: Diversi casi di cavità formate da due superfici

Piccolo oggetto inuna grande cavità

1 11

2 22

AT

TA

A1

A2≈ 0

F12= 1

Q12= σA1 1

¡T 41 − T 42

¢Piani paralleliinfinitamente estesi

1

2 22

11A

A

T

T

A1= A2= AA1

A2= 1

F12= 1

Q12=σA(T41−T42 )1

1+ 1

2−1

Cilindri coassialiinfinitamente lunghi 1

2

22

11

r

rT

T A1

A2= r1

r2

F12= 1

Q12=σA1(T 41−T42 )1

1+1− 22

r1r2

Sfere concentriche

22T

rr1

2

11TA1

A2=³r1r2

´2F12= 1

Q12=σA1(T 41−T42 )1

1+1− 22

r1r2

2

Figura 4.10: Cavità a forma di triangolo equilatero

Risolvendo si ottiene che:Fij = 0.5 per i 6= j

per cui le resistenze che compaiono nelle (4.12) assumono i seguenti valori:

R1 =1− 1

A 1=1− 0.8A 0.8

=0.25

A; R2 =

1− 2

A 2=1− 0.8A 0.8

=0.25

A

R3 =1− 3

A 3=1− 0.5A 0.5

=1.0

A; R12 =

1

AF12=

1

A 0.5=2.0

A

R13 =1

AF13=

1

A 0.5=2.0

A; R23 =

1

AF23=

1

A 0.5=2.0

A

Le tre equazioni (4.12) si scrivono:

En1 = J1

µ1 +

R1R12

+R1R13

¶− J2

R1R12− J3

R1R13


En2 = J2

µ1 +

R2R12

+R2R23

¶− J1

R2R12− J3

R2R23

En3 = J3

µ1 +

R3R13

+R3R23

¶− J1

R3R13− J2

R3R23

Sostituendo i valori delle resistenze:

23224 = 1.25J1 − 0.125J2 − 0.125J37348 = −0.125J1 + 1.25J2 − 0.125J3459 = −0.5J1 − 0.5J2 + 2.0J3

e risolvendo si ottiene:

J1 = 0.8514 · 23224 + 0.1242 · 7348 + 0.0976 · 459 ≈ 20187 W/m2

J2 = 0.1242 · 23224 + 0.8514 · 7348 + 0.0976 · 459 ≈ 8641 W/m2

J3 = 0.3902 · 23224 + 0.3902 · 7348 + 0.8780 · 459 ≈ 7436 W/m2

Le potenze termiche scambiate dalle singole superfici con la cavità si ricavanoapplicando a ciascuna di esse la (4.10). Si ottiene:

Q1 = A (20187− 0.5 · 8641− 0.5 · 7436) = A · 12149 WQ2 = A (8641− 0.5 · 20187− 0.5 · 7436) = −A · 5171 WQ1 = A (7436− 0.5 · 8641− 0.5 · 20187) = −A · 6978 W

Osserviamo che la somma dei flussi è nullo: (12149− 5171− 6978)A = 0. Infattiper la stazionarietà deve essere nulla la potenza accumulata o sottratta allacavità.

4.3.3 Metodo matriciale

In genere se N > 3 il calcolo manuale diventa difficoltoso per cui può essere utilescrivere il sistema di equazioni in forma matriciale. Per far ciò si riconsiderinole (4.9, 4.10) che riportiamo per comodità:

Qi = (Eni − Ji)Ai i

1− i

Qi =NXj=1

AiFij (Ji − Jj)

E’ utile riscrivere la prima delle due equazioni precedenti in una forma che noncontempli la Qi ma il potere emissivo Eni in funzione delle sole radiosità4. Alloscopo si uguagli la prima equazione alla seconda:

(Eni − Ji)Ai i

1− i=

NXj=1

AiFij (Ji − Jj) = AiJi −Ai

NXj=1

FijJj

4 In questo modo si dispone di un’equazione che consente di inporre la condizione al contornodel 1◦ tipo.


Riordinando si ottiene:

Eni =Ji −

PNj=1 JjFij (1− i)

i(4.13)

La seconda equazione viene riscritta come:

qi =Qi

Ai=

NXj=1

Fij (Ji − Jj) = Ji −NXj=1

FijJj (4.14)

Introducendo la funzione delta di Kronecker (δij = 1 per i = j e δij = 0 peri 6= j), si può porre:

Ji =NXj=1

δijJj

Ne consegue che la (4.13) si modifica nella:

Eni =NXj=1

δij − Fij (1− i)

iJj (4.15)

ed allo stesso modo la (4.14) si trasforma nella:

qi =NXj=1

Jj (δij − Fij) (4.16)

Si consideri una cavità formata di N superfici. Per M di esse sia assegnatoil flusso termico qi e per le restanti N −M la temperatura (ovvero il potereemissivo En). In tali ipotesi si scrivono nell’ordine:

• M equazioni del tipo (4.16);

• N −M equazioni del tipo (4.15).

Ne risulta un sistema di N equazioni che contiene N incognite costituitedalle sole radiosità J . In forma matriciale:

[K]N×N

× {J}N×1

= {C}N×1

dove la matrice [K] assume la forma:

K =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

k11 k12 · · · k1j · · · k1Nk21 k22 · · · k2j · · · k2N...ki1 ki2 · · · kij · · · kiN...

kN1 kN2 · · · kNj · · · kNN

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦con:

kij = δij − Fij i = 1, 2, . . . ,M j = 1, 2, . . . , N

kij =δij−Fij(1− i)

ii =M + 1,M + 2, . . . , N j = 1, 2, . . . , N


Il vettore {J} contiene le N radiosità incognite mentre il vettore {C} ha lastruttura:

{C} =½{qi}i=1,2,...,M{Eni}i=M+1,...,N

¾Una volta che le N radiosità sono state determinate:

{J} = [K]−1 {C}

si ricavano:

• i flussi termici qi relativi alle N −M superfici per le quali erano assegnatele temperature applicando ad esse l’equazione del tipo (4.16);

• le temperature Ti =¡Eniσ

¢1/4assunte dalleM superfici con i flussi termici

assegnati applicando ad ognuna di esse l’equazione del tipo (4.15).

Capitolo 5

Applicazioni

5.1 Parete opaca sottoposta ad irraggiamentosolare

Ci interessa studiare il comportamento termico della parete piana di Fig.5.1.che separa due ambienti mantenuti a temperature diverse (Te e Ti) ma costantie che, sulla faccia esterna, riceve una certa potenza raggiante Wi per unità disuperficie.

Figura 5.1: Parete irraggiata

Di tale potenza incidente la frazione Wi · r viene riflessa, mentre la parterestante Wi · a viene assorbita.Comunque sia, la porzione di potenza assorbita provoca un innalzamento del-

l’energia interna della regione della lastra corrispondente alla superficie esternae quindi della sua temperatura la quale, una volta instaurata una condizionestazionaria, è assunta pari a T 0. Ciò è all’origine di due flussi termici specifici:

• il primo, q1, è convettivo e viene disperso direttamente verso l’ambiente

47

CAPITOLO 5. APPLICAZIONI 48

esterno (quello da cui proviene l’irraggiamento) in virtù della differenza ditemperatura T 0 − Te e vale:

q1 = he (T0 − Te) (5.1)

• il secondo, q2, consegue alla differenza di temperatura T 0 − Ti ed è dato,per l’analogia elettrica, dalla:

q2 =T 0 − Tisλ +

1hi

(5.2)

I due flussi su richiamati non sono indipendenti in quanto vale la:

q1 + q2 =Wi · a (5.3)

Le precedenti tre equazioni possono essere opportunamente combinate alloscopo di ottenere utili indicazioni.

Dalle (5.1,5.3) si elimina q1 ricavando la temperatura superficiale T 0:

T 0 =Wi · a− q2

he+ Te

la quale, sostituita nella (5.2), consente di ricavare dopo semplici passaggi che:

q2

µ1

hi+

s

λ+1

he

¶=

µTe +

Wi · ahe

¶− Ti

ovvero:

q2 =

³Te +

Wi·ahe

´− Ti

1hi+ s

λ +1he

=T̂e − TiP

R(5.4)

in cui la:

T̂e = Te +Wi · ahe

è detta temperatura aria-sole. Dalla (5.4) si vede che essa rappresenta la tempe-ratura che dovrebbe avere l’ambiente esterno, in assenza di irraggiamento solare,affinché il flusso termico trasmesso verso l’ambiente interno fosse lo stesso chenella situazione reale. Pertanto detto flusso termico si può determinare comenel caso di una parete interposta tra due fluidi purché si consideri, al postodella temperatura reale Te quella fittizia T̂e. L’andamento reale e fittizio delletemperature nel fluido esterno sono mostrate in Fig.5.1.La (5.4) mostra che q2 è tanto più basso quanto più è basso il valore della

temperatura aria sole ovvero quanto più è basso il coefficiente di assorbimento(l’emissività) della superficie della parete nei riguardi della radiazione solare (0.1e 3 µm), quanto più è alto il coefficiente di adduzione e quanto più è basso ilvalore della potenza raggiante incidente.La (5.2) mostra, anche, che q2 è tanto più piccolo quanto più è basso il valore

della temperatura T 0 raggiunta dalla superficie esterna della parete. A questoscopo non solo è utile che la superficie assorba poco l’energia solare incidente(quella a bassa lunghezza d’onda), ma è anche importante che la superficie emet-ta molto ovvero che possegga una elevata emissività nei riguardi della radiazioneinfrarossa (quella a cui emettono i corpi alla temperatura ambiente compresatra 8 − 10 µm). La parete ideale è quella trattata esternamente con latte dicalce o vernice bianca che presenta entrambe le caratteristiche ora ricordate.


5.2 Lastra di vetro sottoposta ad irraggiamentosolare

Nell’ipotesi che la lastra, irradiata ed interposta tra i due fluidi, sia trasparentealla radiazione (vetro), la potenza q che, per unità di superficie della lastra, sitrasferisce dall’ambiente esterno verso l’interno è dato dalla somma del flussotermico q2 originato dalla differenza di temperatura e della potenza raggianteentrante per trasparenza:

q = q2 +Wit

dove con t si è indicato il coefficiente di trasparenza del vetro nei riguardi dellaradiazione solare (generalmente pari a 0.8). Il flusso q2 può essere ricavato attra-verso la trattazione precedente con la semplificazione che la resistenza termicadella lastra di vetro sia trascurabile rispetto a quelle adduttive. Ne consegueche:

q2 =

³Te +

Wi·ahe

´− Ti

1hi+ 1

he

ed in definitiva:

q =

³Te +

Wi·ahe

´− Ti

1hi+ 1

he

+Wi · t

E’ possibile evidenziare che dei due addendi il secondo è predominante (anche10 volte in talune situazioni) rispetto al primo in presenza di radiazione solare.

5.3 Schermi radiativiSono dispositivi impiegati allo scopo di limitare lo scambio termico radiativo.Al fine di mostrarne il funzionamento consideriamo due superfici grigie opachedisposte parallelamente l’una rispetto all’altra e tali da potersi ritenere infinita-mente estese. Se le due superfici presentano emissività 1 e 2 rispettivamentee sono mantenute a temperature diverse T1 e T2 si è mostrato che la potenzascambiata tra essi è data dalla (vedi Tab.4.1):

Q12 =σA

¡T 41 − T 42

¢11+ 1

2− 1

W (5.5)

Supponiamo ora che tra le due lastre precedenti se ne frapponga una terza,anch’essa opaca per la quale si ipotizzerà una emissività diversa sulle due facce.Indichiamo con 31 e con 32 le emissività della superficie rivolta verso la lastra1 e 2 rispettivamente. Indichiamo poi con T3 la temperatura dello schermo.Il sistema risultante si configura come due cavità per le quali valgono le:

Q13 =σA

¡T 41 − T 43

¢11+ 1

31− 1

W (5.6)

Q32 =σA

¡T 43 − T 42

¢132+ 1

2− 1

W (5.7)


Per la stazionarietà le potenze espresse dalle due equazioni precedenti debbonoessere uguali e pari a quella Q̂12 scambiata tra le due superfici 1 e 2 in presenzadello schermo:

Q13 = Q32 = Q̂12

Ne deriva che:

Q13

µ1

1+1

31− 1¶= σA

¡T 41 − T 43

¢Q32

µ1

32+1

2− 1¶= σA

¡T 43 − T 42

¢Sommando membro a membro si ricava che:

Q̂12 =σA

¡T 41 − T 42

¢³11+ 1

31− 1´+³132+ 1

2− 1´

o anche:

Q̂12 =σA

¡T 41 − T 42

¢³11+ 1

2− 1´+³132+ 1

31− 1´

Paragonando l’equazione precedente con la (5.5) si osserva che Q̂12 < Q12 in unamisura che dipende dalle caratteristiche radiative dello schermo. La temperaturaa cui si porta lo schermo è intermedia tra T1 e T2 e vale:

T3 =

"T 41 −

Q̂12σA

µ1

1+1

31− 1¶#1/4

In particolare, se si ipotizza che 31 = 1 e 32 = 2 si ottiene:

Q̂12 =σA

¡T 41 − T 42

¢2³11+ 1

2− 1´ = Q12

2

e:

T3 =

"T 41 −

Q̂12σA

µ1

1+1

2− 1¶#1/4

=

"¡T 41 + T 42

¢2

#1/4Ripetendo un procedimento analogo nell’ipotesi di introdurre un ulteriore scher-mo si ricava che:

Q̂12 =Q123

e in generale per N schermi uguali:

Q̂12 =Q12N + 1

5.4 Effetto serraCon il termine di serra si indica un ambiente, destinato alla coltivazione dipiante di pregio, all’interno del quale vengono realizzate artificialmente specialicondizioni climatiche. Per mantenere inalterate nel tempo tali condizioni è ne-cessario fornire alla serra una certa potenza termica (in Watt), detta fabbisogno


Figura 5.2: Distribuzione spettrale dell’energia raggiante solare esternamenteall’atmosfera terrestre

termico della serra Q e che, in condizioni di regime stazionario, rappresenta lasomma delle potenze termiche disperse dalla serra stessa.Poiché per le esigenze proprie delle coltivazioni (fotosintesi) le serre debbono

possedere ampie superfici permeabili alla radiazione solare (ovvero elevati valoridel coefficiente di trasparenza alle lunghezze d’onda nell’intervallo 0.3 ÷ 3 µmcome mostrato in Fig.5.2), una parte anche rilevante del fabbisogno termicoviene automaticamente fornita alla serra in conseguenza del cosiddetto effettoserra. Tale fenomeno è originato dalla proprietà di alcuni materiali come il vetrocomune ed alcuni tipi di plastiche in fogli, che sono quasi totalmenti trasparentialla radiazione solare (vedi Fig.5.3) e quasi totalmente opachi alle radiazioniinfrarosse (5÷ 10 µm).La radiazione solare Ws (W/m2) che investe l’unità di area della copertura

in vetro della serra dipende dall’orientamento della copertura oltre che dallaposizione geografica. Di tale radiazione una piccola parte viene riflessa (rvs ·Ws)mentre la restante (tvs ·Ws) penetra all’interno della serra. E’ generalmentelecito trascurare la porzione di Ws assorbita dal vetro (avs ∼ 0).Della potenza tvs ·Ws, una porzione pari a circa il 5% viene impiegata per

la fotosintesi; il restante 95% viene in parte riflesso (e come tale riattraversa lacopertura fuoriuscendo dalla serra), in parte (agstvs ·Ws) viene assorbita dalterreno, dalle colture e dai materiali contenuti nella serra che, di conseguenza,aumentano la propria temperatura la quale, a regime, assumerà un valore medioche indichiamo con Tg e che risulta maggiore della temperatura dell’aria esternaalla serra. Il valore di Tg si ricava dal bilancio termico seguente:

ags · tvs ·Ws =Wconv +Wrad

il quale afferma che la potenza radiante entrante nella serra (tvs ·Ws) ed assor-bita dai materiali presenti uguaglia la somma della potenza scambiata sia perconvezione (Wconv) che per irraggiamento (Wrad). Quest’ultima, essendo emes-sa ad una temperatura prossima a quella ambiente, presenta una distribuzionespettrale in larghissima misura collocata nell’infrarosso (8− 10 µm).


Figura 5.3: Valri dei coefficienti emisferici spettrali di assorbimento riflessionee trasparenza per un vetro semplice (spessore 4 mm).

Se la copertura della serra fosse trasparente a quest’ultima radiazione, latemperatura di equilibrio Tg raggiungerebbe un valore minimo che può esserededotto dalla1:

Wconv = hc (Tg − Te) = ags · tvs ·Ws −Wrad

per cui:

Tg ' Ta = Te +ags · tvs ·Ws −Wrad

hc

Nella realtà la copertura in vetro della serra è, al contrario, opaca alla radiazioneinfrarossa la quale subisce un assorbimento progressivo e totale. E’ evidenteche in questo caso la temperatura di equilibrio della serra raggiunge un valoredeterminabile dal bilancio:

Wconv = hc (Tg − Te) = ags · tvs ·Ws

nettamente più alta del valore precedente.Un comportamento analogo a quello mostrato dal vetro nei riguardi della

radiazione infrarossa è seguito anche da alcuni gas normalmente presenti nel-l’atmosfera. E’ per tale motivo che il riscaldamento progressivo registrato dalpianeta nell’ultimo secolo è stato da molti imputato ad un vero e propri effettoserra provocato a livello planetario da alcuni dei gas (gas serra) prodotti dal-l’attività umana (principalmente l’anidride carbonica, il metano, gli idrocarburialogenati, il protossido di azoto).

1Si assuma in prima istanza che Tg ' Ta ossia che la temperatura del terreno e delle colturesia prossima a quella dell’aria.

irragg

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