INVESTIGACIÓN OPERATIVA UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN AGUSTIN” - AREQUIPA Augusto JAVES SANCHEZ Lic. Administración Maestría en Gestión Estratégica de Organizaciones Doctorado en Administración EXPOSITOR http://www.facebook.com/cursospara.emprendedores?sk=notes http://cursosparaemprendedores.blogspot.com/p/tesis.html 2 PROGRAMACIÓN LINEAL Formulación matemática del problema
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Un modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una función lineal, sujeta a un conjunto de restricciones lineales.
Un modelo de programación lineal esta compuesto de lo siguiente:
* Un conjunto de variables de decisión
* Una función objetivo
* Un conjunto de restricciones
PROGRAMACIÓN LINEAL
Es un método matemático que se emplea para resolver problemas de optimización. En palabras simples la P.L. busca asignar recursos limitados, entre actividades que compiten, de la forma mas óptima posible.
Supuestos de la P.L.
• Proporcionalidad
• Aditividad
• Divisibilidad
• Certidumbre
• Objetivo único
• No negatividad
PROGRAMACIÓN LINEAL
FORMULACION MATEMATICA
METODO GRAFICO METODO ALGEBRAICO
(SIMPLEX)
PROBLEMA GENERAL
PROBLEMAS DE TRANSPORTE PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN
PROBLEMAS ESPECIALES
PROGRAMACION LINEAL
La importancia de la programación lineal:
• Ciertos problemas se describen fácilmente a través de la programación lineal.
• Muchos problemas pueden aproximarse a modelos lineales.
• La salida generada por el programa que resuelve el modelo de programación lineal entrega información útil para responder nuevas condiciones sobre el “qué pasa si”.
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Formulación matemática básica
en un problema de I.O. (PL)
Ejemplo: Una multinacional minera extrae un tipo de mineral de dos
minas diferentes, el cuales es sometido a un proceso de trituración,
con tres grados: alto , medio y bajo. La compañía han firmado un
contrato para proveer de mineral a una planta de fundición, cada
semana, 12 toneladas de mineral de grado alto, 8 toneladas de grado
medio y 24 toneladas de grado bajo. Cada una de las minas tiene
diferentes procesos de fabricación.
Mina Costo por día (miles de Euros) Producción(toneladas/día)
Alto Medio Bajo
X 180 6 3 4
Y 160 1 1 6
¿Cuántos días a la semana debería operar cada mina para cumplir el
contrato con la planta de fundición con el que se comprometió la
multinacional?
Es necesario buscar una solución que minimice el costo de
producción global de la empresa, sujeta a las restricciones
impuestas por los proceso productivos asociados a cada mina así
como el contrato con la planta de fundición.
Traducción del problema en términos matemáticos
1. definir las variables
2. las restricciones
3. el objetivo
Formulación matemática básica
en un problema de I.O. (PL)
Variables
Representan las decisiones que
puede tomar la empresa:
Dx = número de días a la semana
que la mina X produce
Dy= número de días a la semana
que la mina Y produce
Notar que Dx0 y Dy0
Restricciones
Se recomienda primero plantear
las restricciones con palabras
antes de pasar a su formulación
matemática.
Restricción 1. refleja el balance
entre las limitaciones productivas
de la fábrica y el contrato con la
plante de fundición
Grado
Alto 6Dx+1Dy12
Medio 3Dx+1Dy8
Bajo 4Dx+6Dy24
Restricción 2. días de trabajo
disponibles a la semana
Dx5 y Dy5
Objetivo
Como objetivo buscamos
minimizar el costo
180Dx+160Dy
Formulación matemática básica
en un problema de I.O. (PL)
La representación completa del problema tomaría la siguiente
forma:
Minimizar 180Dx+160Dy
s.a.
6Dx+1Dy12
3Dx+1Dy8
4Dx+6Dy24
Dx5, Dy5
Dx0, Dy0
Formulación matemática básica
en un problema de I.O. (PL)
PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
PROBLEMA DE LA MEZCLA DE PRODUCTOS
Una compañía fabrica dos tipos de componentes electrónicos:
transistores y bobinas.
Cada transistor requiere un minuto de tiempo en el departamento de
ensamble, dos minutos de tiempo en el departamento de Control de
Calidad y un minuto de tiempo en empaque.
Cada bobina requiere dos minutos de tiempo en ensamble, un minuto de
tiempo en Control de Calidad y dos minutos en empaque.
Existe un total de 300 minutos en Ensamble, 400 minutos en C. Calidad y
400 minutos en Empaque disponibles cada día.
Tanto los transistores como las bobinas contribuyen en un dólar a la
utilidad.
La compañía desea determinar la mezcla de productos optima que
maximice la utilidad total.
PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Solución:
Formulación
Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Maximizar las utilidades de la compañía (U).{dólares/día}
Paso 2: Identificar las variables de decisión que se desea determinar
X….Cantidad de transistores a fabricar por día {unds./día}
Y….Cantidad de bobinas a fabricar por día {unds./día}
Paso 3: Identificar las restricciones del modelo
R1) Tiempo disponible en el depto. de Ensamble por día 300 min.
R2) Tiempo disponible en el depto. de C. Calidad por día de 400 min.
R3) Tiempo disponible en el depto. de Empaque por día de 400 min.
R4) No Negatividad.
PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Paso 4: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo
MAX { U = X + Y }
Sujeto a :
R1) X + 2Y 300
R2) 2X + Y 400
R3) X + 2Y 400
R4) X , Y 0
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Métodos de Resolución
Método Gráfico Empleado principalmente para PPL con dos variables de decisión. Este método se basa en la idea de obtener regiones de soluciones factibles (RSF), en las cuales se encontraría la combinación de variables de decisión que optimizan el modelo.
Método Algebraico (SIMPLEX) Empleado principalmente para PPL con más de dos variables de decisión. Este método se desarrollo con base en el método gráfico y corresponde a un sistema heurístico, por lo cual requiere de una solución inicial factible para empezar a funcionar.
Problemas típicos
• Problema del transporte
• Problema de flujo con coste mínimo en red
• Problema de asignación
• Problema de la mochila (knapsack)
• Problema del emparejamiento (matching)
• Problema del recubrimiento (set-covering)
• Problema del empaquetado (set-packing)
• Problema de partición (set-partitioning)
• Problema del coste fijo (fixed-charge)
• Problema del viajante (TSP)
• Problema de rutas óptimas
Algunas reflexiones
• Hemos pasado de la definición del problema a su formulación
matemática.
• Error de especificación, el error más frecuente consiste en
descuidar las limitaciones (restricciones, características de las
variables, etc,)
En el ejemplo anterior:
a) Todas las variables son continuas (admitimos fracciones de día)
b) Existe un único objetivo (minimizar los costes)
c) El objetivo y las restricciones son lineales
Las tres consideraciones anteriores nos llevan a lo que
denominamos un problema de Programación Lineal PL
Algunas reflexiones
El ejercicio anterior plantea un PROBLEMA DE DECISIÓN
Se ha tomado una situación real y se ha construido su equivalente
matemático MODELO MATEMÁTICO
Durante la formulación del modelo matemático se considera el método
cuantitativo que (esperanzadamente) nos permitirá resolver el modelo
numéricamente ALGORITMO
El algoritmo es un conjunto de instrucciones que siguiendo de manera
gradual producen una solución numérica
Otra definición de I.O.
Ciencia para la representación de problemas reales mediante modelos
matemáticos que junto con métodos cuantitativos nos permiten obtener
una solución numérica a los mismos
Dificultades
Dificultades de este tipo de enfoques:
•Identificación del problema (debemos ignorar partes o tratar el
problema entero).
•Elección del modelo matemático adecuado así como el algoritmo
adecuado para resolverlo (validación del algoritmo).
•Dificultades en la implementación.
•Velocidad (costes) que supone llegar a una solución.
•Calidad de la solución.
•Consistencia de la solución.
Cada muñeco:
• Produce un beneficio neto de 3 €.
• Requiere 2 horas de trabajo de acabado.
• Requiere 1 hora de trabajo de carpinteria.
Cada tren:
• Produce un beneficio neto de 2 €.
• Requiere 1 hora de trabajo de acabado.
• Requiere 1 hora trabajo de carpinteria.
Ejemplo desarrollado
Gepetto S.L., manufactura muñecos y trenes de madera.
Cada semana Gepetto puede disponer de: • Todo el material que necesite. • Solamente 100 horas de acabado. • Solamente 80 horas de carpinteria. También: • La demanda de trenes puede ser cualquiera (sin límite). • La demanda de muñecos es como mucho 40.
Gepetto quiere maximizar sus beneficios.
¿Cuántos muñecos y cuántos trenes debe fabricar?
Variables de
Decisión
x = nº de muñecos
producidos a la
semana
y = nº de trenes
producidos a la
semana
Función Objetivo. En cualquier
PPL, la decisión a tomar es
como maximizar (normalmente el
beneficio) o minimizar (el coste)
de alguna función de las
variables de decisión. Esta
función a maximizar o minimizar
se llama función objetivo.
Max z = 3x + 2y
El objetivo de Gepetto es
elegir valores de x e y para
maximizar 3x + 2y. Usaremos
la variable z para denotar el
valor de la función objetivo. La
función objetivo de Gepetto es:
Este problema es un ejemplo típico de un problema de programación lineal (PPL).
Restricciones
Son desigualdades que
limitan los posibles
valores de las variables
de decisión.
En este problema las
restricciones vienen
dadas por la
disponibilidad de horas
de acabado y carpintería
y por la demanda de
muñecos.
También suele haber
restricciones de signo o
no negatividad:
x ≥ 0
y ≥ 0
Restricción 1: no más de 100 horas de tiempo de acabado pueden ser usadas.
Restricción 2: no más de 80 horas de tiempo de carpinteria pueden ser usadas.
Restricción 3: limitación de demanda, no deben fabricarse más de 40 muñecos.
Estas tres restricciones pueden expresarse matematicamente
por las siguientes desigualdades:
Restricción 1: 2 x + y ≤ 100
Restricción 2: x + y ≤ 80
Restricción 3: x ≤ 40
Cuando x e y crecen, la función objetivo de Gepetto también crece.
Pero no puede crecer indefinidamente porque, para Gepetto, los
valores de x e y están limitados por las siguientes tres restricciones:
Restricciones
Además, tenemos las restricciones de signo: x ≥ 0 e y ≥ 0
x ≥ 0 (restricción de signo)
y ≥ 0 (restricción de signo)
Muñeco Tren
Beneficio 3 2
Acabado 2 1 ≤ 100
Carpintería 1 1 ≤ 80
Demanda ≤ 40
Formulación matemática del PPL
Max z = 3x + 2y (función objetivo)
2 x + y ≤ 100 (acabado)
x + y ≤ 80 (carpinteria)
x ≤ 40 (demanda muñecos)
Variables de Decisión x = nº de muñecos producidos a la semana
y = nº de trenes producidos a la semana
Max z = 3x + 2y (función objetivo)
Sujeto a (s.a:)
2 x + y ≤ 100 (restricción de acabado)
x + y ≤ 80 (restricción de carpinteria)
x ≤ 40 (restricción de demanda de muñecos)
x ≥ 0 (restricción de signo)
y ≥ 0 (restricción de signo)
Para el problema de Gepetto, combinando las restricciones de
signo x ≥ 0 e y ≥ 0 con la función objetivo y las restricciones,
tenemos el siguiente modelo de optimización:
Formulación matemática del PPL
Región factible
x = 40 e y = 20 está en la región
factible porque satisfacen todas
las restricciones de Gepetto.
Sin embargo, x = 15, y = 70 no
está en la región factible porque
este punto no satisface la
restricción de carpinteria
[15 + 70 > 80].
Restricciones de Gepetto
2x + y ≤ 100 (restricción finalizado)
x + y ≤ 80 (restricción carpintería)
x ≤ 40 (restricción demanda)
x ≥ 0 (restricción signo)
y ≥ 0 (restricción signo)
La región factible de un PPL es el conjunto de todos los puntos
que satisfacen todas las restricciones. Es la región del plano
delimitada por el sistema de desigualdades que forman las restricciones.
Solución óptima
La mayoría de PPL tienen solamente una solución
óptima. Sin embargo, algunos PPL no tienen
solución óptima, y otros PPL tienen un número
infinito de soluciones.
Más adelante veremos que la solución del PPL de
Gepetto es x = 20 e y = 60. Esta solución da un
valor de la función objetivo de: z = 3x + 2y = 3·20 + 2·60 = 180 €
Cuando decimos que x = 20 e y = 60 es la solución óptima,
estamos diciendo que, en ningún punto en la región factible, la
función objetivo tiene un valor (beneficio) superior a 180.
Para un problema de maximización, una solución
óptima es un punto en la región factible en el cual
la función objetivo tiene un valor máximo. Para un
problema de minimización, una solución óptima es
un punto en la región factible en el cual la función
objetivo tiene un valor mínimo.
Se puede demostrar
que la solución
óptima de un PPL
está siempre en la
frontera de la región
factible, en un
vértice (si la
solución es única) o
en un segmento
entre dos vértices
contiguos (si hay
infinitas soluciones)
Representación Gráfica de las
restricciones
2x + y = 100
Cualquier PPL con sólo dos
variables puede resolverse
gráficamente.
Por ejemplo, para representar
gráficamente la primera
restricción, 2x + y ≤ 100 :
Dibujamos la recta 2x + y = 100
20
20 40 60 80
40
60
80
100
Y
X
Elegimos el semiplano que
cumple la desigualdad: el
punto (0, 0) la cumple
(2·0 + 0 ≤ 100),
así que tomamos el
semiplano que lo contiene.
Dibujar la región factible
Puesto que el PPL de Gepetto tiene dos variables, se puede resolver
gráficamente. La región factible es el conjunto de todos los puntos
que satisfacen las restricciones:
2 x + y ≤ 100 (restricción de acabado)
x + y ≤ 80 (restricción de carpintería)
x ≤ 40 (restricción de demanda)
x ≥ 0 (restricción de signo)
y ≥ 0 (restricción de signo)
Vamos a dibujar la región factible que satisface estas restricciones.
Y
X
20
20 40 60 80
40
60
80
100 2x + y = 100
Restricciones
2 x + y ≤ 100
x + y ≤ 80
x ≤ 40
x ≥ 0
y ≥ 0
Dibujar la región factible
Teniendo en
cuenta las
restricciones de
signo (x ≥ 0, y ≥ 0),
nos queda:
Y
X
20
20 40 60 80
40
60
80
100
x + y = 80
Restricciones
2 x + y ≤ 100
x + y ≤ 80
x ≤ 40
x ≥ 0
y ≥ 0
Dibujar la región factible
Y
X
20
20 40 60 80
40
60
80
100
x = 40 Restricciones
2 x + y ≤ 100
x + y ≤ 80
x ≤ 40
x ≥ 0
y ≥ 0
Dibujar la región factible
Y
X
20
20 40 60 80
40
60
80
100 2x + y = 100
x + y = 80
x = 40
La intersección
de todos estos
semiplanos
(restricciones)
nos da la región
factible
Región
Factible
Dibujar la región factible
Y
X
20
20 40 60 80
40
60
80
100 2x + y = 100
x + y = 80
x = 40
Región
Factible
La región factible (al
estar limitada por
rectas) es un polígono.
En esta caso, el
polígono ABCDE.
A
B
C
D
E Como la solución
óptima está en alguno
de los vértices (A, B, C,
D o E) de la región
factible, calculamos
esos vértices.
Vértices de la región factible
Restricciones
2 x + y ≤ 100
x + y ≤ 80
x ≤ 40
x ≥ 0
y ≥ 0
Región
Factible
E(0, 80)
(20, 60)
C(40, 20)
B(40, 0)
A(0, 0)
Vértices de la región factible
Los vértices de la región factible
son intersecciones de dos
rectas. El punto D es la
intersección de las rectas
2x + y = 100
x + y = 80
La solución del sistema x = 20,
y = 60 nos da el punto D.
20
20 40 60 80
40
60
80
100
Y
X
D
B es solución de
x = 40
y = 0
2x + y = 100
x = 40
x + y = 80
C es solución de
x = 40
2x + y = 100
E es solución de
x + y = 80
x = 0
Y
X
20
20 40 60 80
40
60
80
100
Región
Factible
(0, 80)
(20, 60)
(40, 20)
(40, 0)
(0, 0)
Max z = 3x + 2y
z = 0 z = 100 z = 180
Para hallar la solución óptima, dibujamos las rectas en las cuales los puntos tienen el mismo valor de z.
La figura muestra estas lineas para
z = 0, z = 100, y z = 180
Resolución gráfica
Región
Factible
(0, 80)
(20, 60)
(40, 20)
(40, 0)
(0, 0)
Max z = 3x + 2y
z = 0 z = 100 z = 180
La última recta de z que interseca (toca) la región factible indica la solución óptima para el PPL. Para el problema de Gepetto, esto ocurre en el punto D (x = 20, y = 60, z = 180).
20
20 40 60 80
40
60
80
100
Y
X
Resolución gráfica
Región
Factible
(0, 80)
(20, 60)
(40, 20)
(40, 0)
(0, 0)
Max z = 3x + 2y
También podemos encontrar la solución óptima calculando el valor de z en los vértices de la región factible.
Vértice z = 3x + 2y
(0, 0) z = 3·0+2·0 = 0
(40, 0) z = 3·40+2·0 = 120
(40, 20) z = 3·40+2·20 = 160
(20, 60) z = 3·20+2·60 = 180
(0, 80) z = 3·0+2·80 = 160 20
20 40 60 80
40
60
80
100
Y
X
La solución óptima es:
x = 20 muñecos
y = 60 trenes
z = 180 € de beneficio
Resolución analítica
Hemos identificado la región factible para
el problema de Gepetto y buscado la
solución óptima, la cual era el punto en la
región factible con el mayor valor posible
de z.
Recuerda que: • La región factible en cualquier PPL está
limitada por segmentos (es un polígono, acotado o no).
• La región factible de cualquier PPL tiene solamente un número finito de vértices.
• Cualquier PPL que tenga solución óptima tiene un vértice que es óptimo.
Un problema de minimización
Dorian Auto fabrica y vende coches y
furgonetas.La empresa quiere emprender
una campaña publicitaria en TV y tiene
que decidir comprar los tiempos de
anuncios en dos tipos de programas: del corazón y fútbol.
• Cada anuncio del programa del corazón es visto por 6 millones de mujeres
y 2 millones de hombres.
• Cada partido de fútbol es visto por 3 millones de mujeres y 8 millones de
hombres.
• Un anuncio en el programa de corazón cuesta 50.000 € y un anuncio del
fútbol cuesta 100.000 €.
• Dorian Auto quisiera que los anuncios sean vistos por por lo menos 30
millones de mujeres y 24 millones de hombres.
Dorian Auto quiere saber cuántos anuncios debe contratar en cada tipo de
programa para que el coste de la campaña publicitaria sea mínimo.
• Cada anuncio del programa del
corazón es visto por 6 millones de
mujeres y 2 millones de hombres.
• Cada partido de fútbol es visto por 3
millones de mujeres y 8 millones de
hombres.
• Un anuncio en el programa de
corazón cuesta 50.000 € y un
anuncio del fútbol cuesta 100.000 €.
• Dorian Auto quisiera que los
anuncios sean vistos por por lo
menos 30 millones de mujeres y 24
millones de hombres.
• Dorian Auto quiere saber cuántos
anuncios debe contratar en cada
tipo de programa para que el coste
de la campaña publicitaria sea
mínimo.
Corazón
(x)
Fútbol
(y)
mujeres 6 3 6x + 3y ≥ 30
hombres 2 8 2x + 8y ≥ 24
Coste
1.000€ 50 100 50x +100y
Formulación del problema:
Variables de decisión: x = nº de anuncios en programa de corazón
y = nº de anuncios en fútbol
Min z = 50x + 100y (función objetivo en 1.000 €)
s.a: 6x + 3y ≥ 30 (mujeres)
2x + 8y ≥ 24 (hombres)
x, y ≥ 0 (no negatividad)
Formulación del problema:
X
Y
2 4 6 8 10 12 14
14
12
10
8
6
4
2
Min z = 50 x + 100y
s.a. 6x + 3y ≥ 30
2x + 8y ≥ 24
x, y ≥ 0
6x + 3y = 30
2x + 8y = 24
Dibujamos la región factible.
X
Y
2 4 6 8 10 12 14
14
12
10
8
6
4
2
La región factible
no está acotada
Región
Factible
Calculamos los vértices de la
región factible:
A
B
C
El vértice A es solución del
sistema
6x + 3y = 30
x = 0
Por tanto, A(0, 10)
El vértice B es solución de
6x + 3y = 30
2x + 8y = 24
Por tanto, B(4, 2)
El vértice C es solución de
2x + 8y = 24
y = 0
Por tanto, C(12, 0)
Región
Factible
Resolvemos por el método analítico
A(0, 10)
B(4, 2)
C(12, 0)
X
Y
2 4 6 8 10 12 14
14
12
10
8
6
4
2
Vértice z = 50x + 100y
A(0, 10) z = 50·0 + 100·10 =
= 0+10000 = 10 000
B(4, 2) z = 50·4 + 100·2 =
= 200+200 = 400
C(12, 0) z = 50·12 + 100·0 =
= 6000+0 = 6 000
El coste mínimo se obtiene en B.
Solución:
x = 4 anuncios en pr. corazón
y = 2 anuncios en futbol
Coste z = 400 (mil €)
Evaluamos la función objetivo z en los vértices.
Región
Factible
Resolvemos por el método gráfico
A(0, 10)
B(4, 2)
C(12, 0)
X
Y
2 4 6 8 10 12 14
14
12
10
8
6
4
2
El coste mínimo
se obtiene en el
punto B.
Solución:
x = 4 anuncios en pr. corazón
y = 2 anuncios en futbol
Coste z = 400 (mil €)
Min z = 50 x + 100y
s.a. 6x + 3y ≥ 30
2x + 8y ≥ 24
x, y ≥ 0
Z = 600
Z = 400
Número de Soluciones de un PPL
• Algunos PPL tienen un número infinito de
soluciones óptimas (alternativas o múltiples
soluciones óptimas).
• Algunos PPL no tienen soluciones factibles (no
tienen región factible).
• Algunos PPL son no acotados: Existen puntos en
la región factible con valores de z arbitrariamente
grandes (en un problema de maximización).
Los dos ejemplos anteriores, Gepetto y Dorian Auto,