INVESTIGACION OPERATIVA ING. MSC. MARIA SLUSARCZYK A.

INVESTIGACION OPERATIVA

ING. MSC. MARIA SLUSARCZYK A.

HISTORIA

La necesidad de tomar decisiones es tan antigua como el hombre mismo

La realidad humana se fue complicando poco a poco y las decisiones que en un principio eran triviales, se convirtieron en decisiones difíciles. Con la llegada de la Revolución Industrial, la sociedad se hizo mucho más compleja y las decisiones habían de tomarse con más cuidado porque involucraban a más personas en sus consecuencias.

HISTORIA

Investigación Operativa nace en Inglaterra en 1935, radar, II Guerra Mundial, control de espacio aéreo, simulación de los aviones enemigos,

Pioneros: A.P.Rowe, P.M.S. Blackett,

Se abre una sección de IO dentro de la armada

USA – entra en la guerra, grupo de lucha antisubmarina

DEFINICION

Investigación Operativa (Investigación de Operaciones), es una rama de las matemáticas consistente en el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones. Frecuentemente, trata el estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) el funcionamiento del mismo.

Es una moderna disciplina científica que se caracteriza por la aplicación de teoría, métodos y técnicas especiales, para buscar la solución de problemas de administración, organización y control que se producen en los diversos sistemas que existen en la naturaleza y los creados por el ser humano

El objeto de estudio de la Investigación Operativa es la toma científica de decisiones mediante el empleo de técnicas cuantitativas. Es una ciencia interdisciplinaria.

La investigación de operaciones sólo se aplicará en los problemas para los cuales el buen sentido se revela impotente.

AREAS DE ESTUDIO QUE UTILIZA LA INVESTIGACION OPERATIVA

Áreas o secciones habituales en el estudio de la IO son:

La Programación Lineal fue una de las primeras herramientas cuantitativas con la que contó la IO y hasta hoy es la mas importante.

Programación entera Problemas de transporte Análisis de grafos y de redes. PERT y CPM. Programación dinámica Introducción a la IO Teoría de juegos. Programación no lineal. Teoría de colas. Teoría de inventarios Procesos markovianos de decisión. Análisis de decisión. Simulación Fiabilidad

ELEMENTOS DE LA INVESTIGACION OPERATIVA

Las subdivisiones en las que se establece la IO, tienen los siguientes elementos en común:

Son necesarios amplios conocimientos de matemáticas, es decir, del manejo de muchas

técnicas matemáticas, aunque con inmediata aplicación a la realidad.

Es necesario que, al final de cada problema definido, haya una decisión que tomar.

Es preciso definir un modelo que dé cauce a la toma de decisiones.

APLICACIONES

Ámbito militar Marqueting Ámbito industrial Dirección de Producción Transporte urbano Administración de justicia Construcción de edificios

públicos Educación Hospitales y servicios sociales Agricultura

Investigación operativa – arte de modelar

Problema real

Problema ideal

Modelo matemático

Utilizar herramienta matemática

Análisis de resultados

Informe técnico para la

toma de decisiones

Un estudio de investigación operativa consiste en construir un modelo de la situación física.

Un modelo de investigación de operaciones se define como una representación idealizada (simplificada) de un sistema de la vida real.

Modelo matemático

El tipo mas importante de modelo de IO es el modelo simbólico o matemático.

Los símbolos matemáticos se utilizan para representar variables, las cuales están relacionadas con las funciones matemáticas apropiadas para describir el comportamiento del sistema.

Luego la solución del modelo se logra por manipulación matemática apropiada.

Modelo matemáticoModelo matemático

Variables (de decisión – x1, x2, …xn, de holgura y artificiales) y parámetros

Función objetivo

Restricciones

Variables de decisión son las incógnitas que deben de determinarse con la solución del modelo ej. x1

Parámetros representan las variables controlables del sistema

Restricciones limitan las variables de decisión a sus valores factibles o permisibles. Esto se expresa en la forma de funciones matemáticas restrictivas.

Función objetivo define la medida de efectividad del sistema como una función matemática de sus variables de decisión.

Objetivo: Se debe determinar los valores de las variables de decisión xj , j = 1,2,3…n, los cuales optimizaran ( máximo o mínimo) función

Z = f (x1, x2, …xn )

con sujeción a gi(x, x, …xn ) <= bi, , i = 1,2…..m

xj >= 0 , j = 1,2 ……N

Maximizar: Z ( X1 , X2 ) = 1,5X1 + X2 y las restricciones vendrán dadas por: 20X1 + 30X2 <=100*60 20X1 + 10X2 <= 80*60 X1 >= 0 X2 >= 0

Programación lineal

La característica distintiva de los modelos de programación lineal es que las funciones que representan el objetivo y las restricciones son lineales.

En cualquier empresa, muchas de las decisiones que se toman tienen por objeto hacer el mejor uso posible (optimización) de los recursos de la misma. Por recursos de una empresa entendemos la maquinaria que ésta posea, sus trabajadores, capital financiero, instalaciones, y las materias primas de que disponga.

La Programación Lineal (PL) es una técnica matemática diseñada para ayudar a los directivos en la planificación y toma de decisiones referentes a la asignación de los recursos.

Ejemplos de problemas donde la PL desarrolla un papel fundamental A partir de los recursos disponibles, determinar las

unidades a producir de cada bien de forma que se maximice el beneficio de la empresa.

Elegir materias primas en procesos de alimentación, para

obtener mezclas con unas determinadas propiedades al mínimo coste.

Determinar el sistema de distribución que minimice el coste

total de transporte, desde diversos almacenes a varios puntos de distribución.

Desarrollar un plan de producción que, satisfaciendo las demandas futuras de los productos de una empresa, minimice al mismo tiempo los costes totales de producción e inventario.

Características de un problema de PL Todos los problemas de PL tienen cuatro propiedades comunes

1. Pretenden optimizar (maximizar o minimizar) alguna cantidad (función objetivo). Así, por ejemplo, el principal objetivo de un banquero sería maximizar beneficios, mientras que el principal objetivo de una empresa transportista podría ser minimizar los costes de los envíos.

2. Habrá que tener en cuenta las restricciones que limitan el grado en el cual es posible modificar las variables que afectan a nuestra función objetivo. Así, a la hora de decidir cuántas unidades de cada bien se han de producir, deberemos considerar, entre otras, las limitaciones de personal y maquinaria de que disponemos.

3. El problema debe presentar distintas alternativas posibles: si una compañía produce cuatro bienes diferentes, la dirección puede usar PL para determinar las cantidades de recursos que asigna a la producción de cada uno de ellos (podría optar por hacer una asignación ponderada, dedicar todos los recursos a la producción de un único bien abandonando la producción del resto, etc.).

4. En PL, la función objetivo debe ser una función lineal, y las

restricciones deben ser expresables como ecuaciones o inecuaciones lineales.

Planteamiento de un problema de PL

Ejemplo: Una empresa fabrica dos modelos de mesas para ordenador, M1 y M2. Para su producción se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo M1 y de 30 minutos para el M2; y un trabajo de máquina de 20 minutos para M1 y de 10 minutos para M2. Se dispone de 100 horas al mes de trabajo manual y de 80 horas al mes de máquina. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 1,5 y 1 € para M1 y M2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

Nos limitaremos a plantear formalmente el problema ( lo resolveremos más adelante):

Llamando: X = “nº unidades producidas al mes de M1”, e Y = “nº unidades producidas al mes de M2 ”, nuestra función objetivo sería: Maximizar:

Z ( X1 , X2 ) = 1,5 X1 + X2 y las restricciones vendrán dadas por:

20X1 + 30X2 <=100*60 20X1 + 10X2 <= 80*60 X1 >= 0 X2 >= 0

Resolución gráfica de un problema de PL

El método gráfico de resolución tan sólo es aplicable a problemas con dos variables (X e Y). Para aquellos casos en que el número de variables del problema sea superior a dos, no será posible encontrar la solución a partir de un gráfico bidimensional y, por tanto, tendremos que usar métodos de resolución más complejos.

Volviendo al ejemplo de las mesas de ordenador, dado que en él tenemos sólo dos variables, podremos representar cada una de las restricciones en el plano real. Estas restricciones son semiespacios (por ser lineales), la intersección de los cuales se denomina región factible

Resolución gráfica de un problema de PL

Maximizar: Z (X1 ,X2 ) = 1,5 X1 + X2 y las restricciones vendrán dadas por: 20X1 + 30X2 = 6000 20X1 + 10X2 = 4800 X1 >= 0 X2 >= 0

Maximizar: Z (X1 ,X2 ) = 1,5 X1 + X2 y las restricciones vendrán dadas por: 20X1 + 30X2 <=100*60 20X1 + 10X2 <= 80*60 X1 >= 0 X2 >= 0

Dibujamos las lineas

20X1 + 30X2 = 6000 20X1 + 10X2 = 4800

20X1 + 30X2 = 6000

Si X1 = 0 X2 = 200Si X2 = 0 X1 = 300

20X1 + 10X2 = 4800

Si X1 = 0 X2 = 480Si X2 = 0 X1 = 240

Resolución gráfica de un problema de PL - graficamos

Área factible (cualquier punto dentro del área cumple las restricciones)

Resolución gráfica de un problema de PL

Por tanto, será suficiente hallar las coordenadas de dichos vértices (intersecciones de rectas) y determinar (sustituyendo en la función objetivo) cuál de ellos es la solución óptima. En nuestro ejemplo, tendríamos sólo cuatro puntos candidatos a ser solución del problema (los cuatro vértices del polígono), sustituyendo sus coordenadas en la función objetivo obtenemos: Z(0,0) = 0; Z(0,200) = 200; Z(210,60) = 375; y Z(240,0) = 360

La teoría matemática establece que, dado un problema de PL que tenga solución, ésta vendrá dada por uno de los vértices (o puntos extremos) del polígono que configura la región factible.

El metodo Simplex

En teoría de optimización matemática, el algoritmo Simplex,creado por el matemáticonorteamericano George BernardDanzing en 1947, es una técnicapopular para dar soluciones numéricas del problema de la programación lineal.

Permite encontrar una solución óptima en un problema de maximización o minimización, buscando en los vértices del polígono

El metodo Simplex El método Simplex es un método secuencial de optimización y puede

ser empleado, así como el método univariado, tanto para maximizar como para minimizar una respuesta.

El método usa el concepto de un simplex , que es un politopo de N + 1 vértices en N dimensiones

Un simplex es una figura geométrica de n dimensiones, constituido de n+1 puntos. Cada dimensión corresponde a una variable a ser optimizada.

Por ejemplo, un 0-simplex es un punto ; un 1-simplex un segmento de una línea; un 2-simplex (en dos dimensiones) un triangulo ; un 3-simplex (en tres dimensiones) es un tetraedro ; y un 4-simplex es un pentacoron.

El método puede ser extendido para mayores dimensiones, pero la visualización del simplex no será fácil. A pesar de esto, el método Simplex puede ser aplicado, teóricamente, para la optimización de cualquier número de variables.

El metodo Simplex

El procedimiento de optimización, en el método Simplex, comienza por la elección de los n+1 puntos donde será hecha la evaluación de la respuesta.

El metodo Simplex

El estándar n-simplex es el subconjunto de Rn+1 dado por:

Removiendo la restricción ti ≥ 0 en la condición anterior da una n-dimensional subespacio afín de Rn+1 conteniendo el estándar n-simplex. Los vértices del estándar n-simplex son los puntos:

e0 = (1, 0, 0, …, 0), e1 = (0, 1, 0, …, 0),.. en = (0, 0, 0, …, 1).

Metodo Simplex - resolución

SW para la IO

LINDO GAMS/MINOS XPRESS-LP; y el lenguaje MPL (Mathematical Programming

Language)

En los años noventa fueron apareciendo otras utilidades informáticas, como son las hojas de cálculo y sus complementos asociados, capaces de resolver programas lineales.

Entre algunos de estos complementos se pueden citar los siguientes: Solver, VINO, What's Best? y XA.

PHPSimplex es una herramienta online para resolver problemas de programación lineal. Su uso es libre y gratuito. PHPSimplex es capaz de resolver problemas mediante el Método Simplex y el Método de las Dos Fases, y no cuenta con limitaciones en el número de variables de decisión ni en las restricciones de los problemas.

Instalación de Solver

En el menú Herramientas, elija Complementos.

En el cuadro de diálogo Complementos, seleccione la casilla de verificación Solver.

SOLVER

La planilla de cálculo Excel tiene incorporada una poderosa herramienta para optimización, llamada Solver, que le permite:

Encontrar valores de celdas que igualan un valor numérico, es decir, resuelve sistemas de ecuaciones.

Encontrar valores de celdas que hacen máxima o mínima una función sujeta a restricciones, es decir, resuelve modelos de optimización restringida.

En este último caso, se puede trabajar con modelos lineales, con el método Simplex, o no lineales, usando métodos más generales.

SOLVER

Con Solver, se puede buscar el valor óptimo para una celda, denominada celda objetivo, en donde se escribe la fórmula de la función objetivo f (x1, x2, ..., xn).

Solver cambia los valores de un grupo de celdas, denominadas celdas cambiantes, y que estén relacionadas, directa o indirectamente, con la fórmula de la celda objetivo. En estas celdas se encuentran los valores de las variables controlables x1, x2, ..., xn.

SOLVER

Puede agregar restricciones a Solver, escribiendo una fórmula gj (x1, x2, ..., xn) en una celda, y especificando que la celda deberá ser mayor o igual, igual, o menor o igual que otra celda que contiene la constante cj.

También puede especificar que los valores sean enteros

Solver ajustará los valores de las celdas cambiantes, para generar el resultado especificado en la fórmula de la celda objetivo.

Algoritmos y Métodos Utilizados por Solver

Microsoft Excel Solver utiliza diversos métodos de solución, dependiendo de las opciones que seleccione.

Para los problemas de Programación Lineal utiliza el método Simplex.

Para problemas lineales enteros utiliza el método de ramificación y límite, implantado por John Watson y Dan Fylstra de Frontline Systems, Inc.

Para problemas no lineales utiliza el código de optimización no lineal (GRG2) desarrollado por la Universidad Leon Lasdon de Austin (Texas) y la Universidad Allan Waren (Cleveland).

Nuestro ejemplo en Solver

Definimos el problema en el Excel, en este caso el numero de mesas producidas ponemos según nuestro aparecer ej. 100 cada uno, solamente para poder definir la función objetivo que se encuentra en la celda F5

Nuestro ejemplo en Solver

Definimos las funciones y parámetros en la ventana de Solver.

Solver encontró la solución

Solucion en Solver

Solución

Numero de mesas M1 = 210

Numero de mesas M2 = 60

Beneficio total = 375

Nuestro ejemplo en Solver