Investigación operativa ii

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.

La aplicación del Método científico para resolver problemas dando soluciones

óptimas.

1. El problema

2. Posibles soluciones.

3. Construir el modelo matemático.

4. Implantar el modelo matemático.

5. Validar el modelo matemático.

6. Solución (sino hay solución regresamos al segundo paso).

UN MODELO MATEMÁTICO.

1.- Función objetivo (maximizar, minimizar).

2.- Restricciones

3.- Limitaciones.

4.- Condiciones matemáticas.

EJEMPLOS:

1.- La cervecería Nacional tiene tres plantas distribuidoras en la Ciudad de

Riobamba con ofertas de 500, 700 y 800 javas respectivamente que deben ser

distribuidas a 4 lugares cuyas demandas son 400, 900, 200 y 500 javas

respectivamente. Minimice el costo total de transporte. Si los costos unitarios se

presentan en la siguiente tabla.

MÉTODO DE LA ESQUINA DEL NOROESTE

DISTRIBUIDO 1 2 3 4 OFERTA

12 13 4 6

1 400 100 500

6 4 10 11

2 700 700

10 9 12 4

3 100 200 500 800

DEMANDA 400 900 200 500 2000

SOLUCIÓN: 14200

METODO DEL COSTO MINIMO

Cantidad de unidades a una ruta disponible del costo mínimo.

EJEMPLOS:

1.- Dado:

A B C D OFERTA

D1

2 3 4 6

5 50 45 100

D2

1 5 8 3

120 120

8 5 1 4

D3 80 80

D4

4 5 6 3

5 90 95

DEMANDA

125 50 130 90 395

SOLUCIÓN BASICA

FACTIBLE.

COSTO

MÍNIMO= 840

2.- DADO:

MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO

1 2 3 4 OFERTA

A

10 15 20 9

300 300

B

6 7 10 15

100 300 400

C

15 20 25 30

300 300 100 700

DEMANDA

100 600 300 400 1400

MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGUEL

Usa información de costos mediante el concepto de costo de oportunidad para

determinar una solución inicial factible.

Seleccionar en una fila la ruta más barata y la que le sigue. Hacer su diferencia

(penalidad que es el costo adicional por enviar una unidad desde el origen actual.

Lo anterior se repite para cada fila y cada columna esto es determinar todas las

penalidades.

Los pasos interactivos del Método de Voguel son los siguientes:

1. Identificar la fila o la columna con la máxima penalidad.

2. Colocar la máxima asignación posible a la ruta no usada que tenga menor

costo en la fila o la columna seleccionada en el punto uno (los empates se

resuelven arbitrariamente)

3. Reajustar la oferta y demanda en vista de esta asignación.

4. Eliminar la columna en la que haya quedado una demanda 0 (o la fila con

oferta 0), de consideraciones posteriores.

5. Calcular los nuevos costos de penalidad.

MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGUEL.

1. SACAR LAS PENALIDADES.

PLANTAS

Penalidades

Puertos 1 2 3 4 Oferta

1 12 13 4 6 2

500

2 6 4 10 11 2

700

3 10 9 12 4 5

800

Demanda 400 900 200 500 200

Penalidades

4

5

6

2

2. ASIGNACIÓN DE UNIDADES Y REAJUSTE DE OFERTA Y DEMANDA

Plantas

Puertos 1 2 3 4 Oferta Penalidades

1 12 13 4 6 2

200 300 500

2 6 4 10 11 2

700

3 10 9 12 4 5

800 Demanda 400 900 0 200 500 2000

Penalidades

4

5

6

2

3. ELIMINAR COLUMNA (FILA) CON DEMANDA (OFERTA) 0

Plantas

Puertos 1 2 3 4 Oferta Penalidades

1 12 13 4 6 2

200 300 500

2 6 4 10 11 2

700

3 10 9 12 4 5

800 Demanda 400 900 0 200 500 2000

Penalidades

4

5

6

2

4. CALCULAR LOS NUEVOS COSTOS DE PENALIDAD

Plantas

Puertos 1 2 3 4 Oferta Penalidades

1 12 13 4 6 6

200 300 500 2 6 4 10 11 2

700 3 10 9 12 4 5

800 Demanda 400 900 0 200 500 2000

Penalidades

4

5

2

5. SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE

Plantas

Puertos 1 2 3 4 Oferta Penalidades

1 12 13 4 6 6

200 300 300 500 2 6 4 10 11 2

700 0 700 3 10 9 12 4 5

400 200 200 600 800

Demanda 400 900 0 200 200 500 2000

Penalidades

4

5

2

Costo: 200*4+300*6+700*4+400*10+200*9+200*4 = $12.000

MÉTODO DE ASIGNACIÓN.

m= trabajadores

n=maquinas.

I= 1,2,3…m

J= 1,2,3…n

Cij

La gerencia general RPG (ejemplo de transportes con sede en Bruselas, este año

como parte de su Auditoria anual, decidió que cada uno de sus cuatro

Vicepresidentes visite e inspeccione cada una de sus plantas de ensamblaje

durante las primeras dos semanas de Junio. Las plantas están ubicadas en

Leipzig (Alemania), Nancy (Francia), Lieja en (Bélgica) y Tilburgo (Holanda).

Para decidir a qué vicepresidente enviar a una planta determinada, se asignaron

puntos (costos) a cada uno de ellos de acuerdo a su experiencia, habilidades

lingüísticas, tiempo que durara la inscripción y otros. Estos datos se muestran se

muestran en la siguiente tabla.

EJEMPLO:

Matriz de asignación:

Leipzig Nancy Liega Tilburgo

FINANZAS 24 10 21 11

MERCADOTECNIA 14 22 10 15

OPERACIONES 15 17 20 19

PERSONAL 11 19 14 13

Reducir en filas

1 2 3 4 pi

F 14 0 11 1 10

M 4 12 0 5 10

O 0 2 5 4 15

P 0 8 3 2 11

qj 1

Reducir en columnas

1 2 3 4 pi

F 14 0 11 0 10

M 4 12 0 4 10

O 0 2 5 3 15

P 0 8 3 1 11

qj 1

No es reducida: sólo tres rectas (para ser reducida deben ser 4)

1 2 3 4 pi

F

14

0

11

0 10

M 4 12 0 4 10

O 0 2 5 3 15

P 0 8 3 1 11

qj 1

1 2 3 4 pi

F

15

0

12 0 10

M 4 11 0 3 10

O 0 1 5 2 15

P 0 7 3 0 11

qj 1 + 1

1 2 3 4 pi

F

14

0

11 0 10

M 4 12 0 4 10

O 0 2 5 3 15

P 0 8 3 1 11

qj 1

1 2 3 4 pi

F 15 0 12 0 10

M 4 11 0 3 10

O 0 1 5 2 15

P 0 7 3 0 11

qj 1 + 1

Costo = c12 + c23 + c31 +c44

= 10+10+15+13 = 48

MÉTODO DE PASOS SECUENCIALES

Una compañía tiene tres fábricas ubicadas en las sucursales A, B , C las cuales

proveen a los almacenes que están ubicados en D, E, F y G.

La capacidad de producción son de 70 y 90 y 115 unidades mensuales

respectivamente, mientras que las capacidades de los almacenes es de 50, 60, 70

y 95 unidades respectivamente.

El costo de envió de una unidad desde cada una de las fábricas a cada una de los

almacenes se presenta en el siguiente cuadro:

D1 D2 D3 D4

O1 17 20 13 12

02 15 21 26 25

03 15 14 15 17

D1

D2

D3

D4

OF

O1

17

50

20

20

13

12

70

02

15

21

40

26

50

25

90

O3

15

14

15

20

17

95

115

DEM 50

60

70

95

Z= 17*50+20*20+21*40+26*50+15+20+17*95 =5305

17

20

21

26

15 17

0 3 8 10

17 17 20

18 21 26

7 15 17

U1+V1= 17 U2+V3=26

U1+V2=20 U3+V3= 15

U2+V2=21 U3+V4= 17

HACIENDO V1= O QUEDA LO SIGUIENTE:

U1= 17 V2=3 U2=18 V3= 8 U3=7 V4= 10

17 20 13 12

15 21 26 25

15 14 15 17

0 0 -12 -15

-3 0 0 -3

8 4 0 0

D1 D2 D3 D4 A1

O1 50 20 70

O2 60 30 90

O3

40 75 115

BJ 50 60 70 95

La nueva solución es : Z= 5305 + (20)(-15) = 5005

Ui/Vj 0 3 8 10

17 17 20 25 27

8 18 21 26 28

7 7 10 15 17

17 20 13 12

15 21 26 25

15 14 15 17

17 5 10 12

33 21 26 28

22 10 15 17

-

50

+

20

60 -

30

+

40

-

75

Nueva solución= Z= 5005+(30)(-18)= 4465

17 20 13 12

15 21 26 25

15 14 15 17

0 -6 -7 -5 17 17 23 10 12

15 15 21 8 10 22 22 28 15 17

70 70

0 15 3 0

-18 0 0 -3

-7 4 0 0

D1 D2 D3 D4 A1

O1 20 50 70

O2 30 60 90

O3 70 45 115

BJ 50 60 70 95

0 -3 3 0 0 0 18 15

-7 -14 0 0

50 40 90

20 70 25 115

50 60 70 95

17 20 13 12

15 21 26 25 15 14 15 17

0 6 7 9

3 3 9 10 12

15 15 21 22 24

8 8 14 15 17

MÉTODO DE PASOS SECUENCIALES.

1.-

1 2 3 4 OFERTA

A

10 15 20 9

100 200 300

B

6 7 10 15

400 400

C

15 20 25 30

300 400 700

DEMANDA

100 600 300 400 1400

Respuesta: -6+7-15+10= -4

1 2 3 4 OFERTA

A

10 15 20 9

300 300

B

6 7 10 15

100 300 400

C 15 20 25 30

14 11 3 0

0 0 4 1

7 0 0 0

300 400 700

DEMANDA

100 600 300 400 1400

Respuesta: -10+6-7+15= 4

Costo= 26.700

2.-

1 2 3 4 OFERTA

A

10 12 7 8

500 300 800

B

9 8 4 10

300 300

C

9 11 20 12

300 300 600

DEMANDA

500 600 300 300 1700

Respuestas: -9+8-12+10=-3

1 2 3 4 OFERTA

A

10 12 7 8

200 600 800

B

9 8 4 10

300

300

C

9 11 20 12

300 300 600

DEMANDA

500 600 300 300 1700

Respuesta:-8+12-10+9= 3

Costo= 21.500

3.-

1 2 3 4 OFERTA

A 22 20 17 18

1200 600 1800

B

17 11 14 14

1600 700 2300

C

19 16 20 13

300 1300 1600

DEMANDA

1200 2200 1000 1300 5700

Respuestas:

-17+11-20+22= -4

-16+20-14+11= 1

-14+14-20+13= -7

1 2 3 4 OFERTA

A

22 20 17 18

1200 600 1800

B

17 11 14 14

1600

700 2300

C

19 16 20 13

1000 600 1600

DEMANDA

1200 2200 1000 1300 5700

Respuestas:

-17+11-20+22= -4

-14+20-13+14= 7

1 2 3 4 OFERTA

A

22 20 17 18

1800 1800

B

17 11 14 14 1200 400

700 2300

C

19 16 20 13

1000 600 1600

DEMANDA

1200 2200 1000 1300 5700

Respuesta:

-22+17-11+20= 4

Costo= 78.400

4.

1

2

3

OFERTA

1

80

80

2

20

140

160

3

10

180

190

DEMANDA

100

150

180

430

RESPUESTAS:

5-8+4-9=-8

6-9+8-7=-2

2-4+9-8=-1

1

2

3

OFERTA

1

-8 80

80

2

100

60

160

3

10

180

190

DEMANDA

100

150

180

430

RESPUESTAS:

8-5+9-4=8

5 8 1

4 9 6

2 8 7

5 8 1

4 9 6

2 8 7

1-5+8-7=-3

6-9+8-7=-2

2-8+9-4=-1

1

2

3

OFERTA

1

-3 80

80

2

100

60

160

3

90

100

190

DEMANDA

100

150

180

430

5-1+7-8=3

6-9+8-7=-2

2-4+9-8=-1

1

2

3

OFERTA

1

80

80

2

100

-2 60

160

3

150

40

190

DEMANDA

100

150

180

430

5-1+7-8=3

9-6+7-8=2

2-7+6-4=-3

1

2

3

OFERTA

1

80

80

5 8 1

4 9 6

2 8 7

5 8 1

4 9 6

2 8 7

5 8 1

2

60

100

160

3 -3 40

150

190

DEMANDA

100

150

180

430

RESPUESTAS:

8-1+6-4=9

9-4+2-8=-1

7-2+4-6=3

1

2

3

OFERTA

1

80

80

2

-1

60

100

160

3

100

90

190

DEMANDA

100

150

180

430

5-1+6-9=1

4-9+8-2=1

7-6+9-8=2

F.O= 80*1+60*9+100*6+100*2+90*8=2140

5.-

1

2

3

OFERTA

1

100

100

2

50

50

100

4 9 6

2 8 7

5 8 1

4 9 6

2 8 7

5 7 3

2 3 9

3

100

100

200

DEMANDA

150

150

100

400

RESPUESTAS:

5-7+2-3=-3

9-3+4-1=9

5-2+3-4=2

1

2

3

OFERTA

1

50

-3

50

100

2

100

100

3

100

100

200

DEMANDA

150

150

100

400

RESPUESTAS:

3-5+4-1=1

3-5+7-2=3

5-4+5-7=-1

1

2

3

OFERTA

1

50

50

100

2

100

100

3

-1 100

100

200

DEMANDA

150

150

100

400

5 4 1

5 7 3

2 3 9

5 4 1

5 7 3

2 3 9

5 4 1

RESPUESTAS:

2-3+5-7=-3

3-7+5-1=0

4-5+7-5=1

1

2

3

OFERTA

1

100

100

2

-3 50

50

100

3

100

100

200

DEMANDA

150

150

100

400

RESPUESTAS:

7-5+3-2=3

9-2+5-1=11

4-3+2-5=-2

1

2

3

OFERTA

1

100

100

2

100

100

3

50

-2 50

100

200

DEMANDA

150

150

100

400

7-5+4-5=1

3-5+4-1=1

5 7 3

2 3 9

5 4 1

5 7 3

2 3 9

5 4 1

3-2+5-4=2

9-2+5-1=11

F.O= 1250

MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN MODIFICADA (MODI)

1.-

1

2

3

OFERTA

A

5

50

7

1

6

-8

50

B

8

50

9

225

10

-7

275

C

4

2

3

25

11

150

175

DEMANDA

100

250

150

500

RUTA EN USO COSTO ECUACIÓN

11 21

22 32

33

5 8

9 3

11

U1+V1=5 U2+V1=8

U2+V2=9 U3+V2=3

U3+V3=11

U=0

U1+V1=5 V1=5

U2+V1=8 U2=3

U2+V2=9 V2=6

U3+V2=3 U3=-3

U3+V3=11 V3=14

U1=0

U2=3

U3=-3

V1=5

V2=6

V3=14

E12= C12-(U1+V2)

E13= 7-(0+6)

E13= 1

E13= C13-(U1+V3)

E13= 6-(0+14)

E13= -8

E23= C23-(U2+V3)

E23= 10-(3+14)

E23=-7

E31= C31-(U3+V1)

E31= 4-(-3+5)

E31= 2

1

2

3

OFERTA

A

5

50

7

6

50

B

8 50

9 75

10 150

275

C

4

3 175

11 175

DEMANDA

100

250

150

500

U1=0

U1+V1=5 V1=5 U2+V1=8 U2=3

U2+V2=9 V2=6

U2+V3=10 V3=7

U3+V2=3 U3=-3

U1=0

U2=3

U3=-3

V1=5

V2=6

V3=7

E12= C12-(U1+V2)

E12=7-(0+6)

E12= 1

E13= C13-(U1+V3)

E13=6-(0+7)

E13=-1

E31= C31-(U3+V1)

E31=4-(-3+5)

E31= 2

E33=11-(-3+7)

E33= 7

1

2

3

OFERTA

A

5

7

-1 6 50

50

B

8 100

9 75

10 100

275

C

2 4

3 175

7 11 175

DEMANDA

100

250

150

500

U1=O

U1+V3=6 V3=6

U2+V1=8 V1=4

U1=0

U2=4

U3=-2

V1=4

V2=5

V3=6

E11= C11-(U1+V1)

E11=5-(0+4)

E11= 1

E12= C12-(U1+V2)

E12=7-(0+6)

E12= 1

E31= C31-(U3+V1)

E31=4-(-2+4)

E31= 2

E33= C33-(U3-V3)

E33=11-(-2+6)

E33= 7

1

2

3

OFERTA

A

5

1 7

-1 6

50

50

B

8 100

9 75

10 100

275

U2+V2=9 V2=5

U2+V3=10 U2=4

U3+V2=3 U3=-2

C

2 4

3

175

7 11

175

DEMANDA

100

250

150

500

V.O=3300

2.-

1

2

3

OFERTA

A

8 40

1 5

9 40

B

6

20

3

80

12

100

C

2

7 40

4 110

150

DEMANDA

60

120

110

290

RUTA EN USO COSTO ECUACIÓN 11

21 22

32 33

8

6 3

7 4

U1+V1=8

U2+V1=6 U2+V2=3

U3+V2=7 U3+V3=4

U1=0

U1+V1=8 V1=8

U2+V1=6 U2=-2

U2+V2=3 V2=5

U3+V2=7 U3=2

U3+V3=4 V3=2

U1=0

U2=-2

U3=2

V1=8

V2=5

V3=2

E12= C12-(U1+V2)

E12=5-(0+5)

E12=0

E13= C13-(U1+V3)

E13=9-(0+2)

E13= 7

E23= C23-(U2+V3)

E23=12-(-2+2)

E23= 12

E31= C31-(U3+V1)

E31=2-(2+8)

E31=-8

1

2

3

OFERTA

A

8 40

0 5

7 9 40

B

6

3

100

12 12

100

C

-8 2 20

7 20

4 110

150

DEMANDA

60

120

110

290

U1=0

U1+V1=8 V1=8

U2+V2=3 U2=-10

U3+V1=2 U3=-6

U3+V2=7 V2=13

U3+V3=4 V3=10

U1=0

U2=-10

U3=-6

V1=8

V2=13

V3=10

E12= C12-(U1+V2)

E12=5-(0+13)

E12= -8

E13= C13-(U1+V3)

E13=9-(0+10)

E13=-1

E21= C21-(U2+V1)

E21=6-(-10+8)

E21= 8

E23= C23-(U2+V3)

E23=12-(-10+10)

E23= 12

1

2

3

OFERTA

A

8

20

-8 5

20

-1 9

40

B

8 6

3 100

12 12 100

C

2 40

7

4 110

150

DEMANDA

60

120

110

290

U1=0

U1+V1=8 V1=8

U1+V2=5 V2=5

U2+V2=3 U2=-2

U3+V1=2 U3=-6

U3+V3=4 V3=10

U1=0

U2=-2

U3=-6

V1=8

V2=5

V3=10

E13= C13-(U1+V3)

E13=9-(0+10)

E13= -1

E21= C21-(U2+V1)

E21=6-(-2+8)

E21= 0

E23= C23-(U2-V1)

E23=12-(-2+8)

E23= 6

E32= C32-(U3-V2)

E32=7-(-6+5)

E32= 8

1

2

3

OFERTA

A 8

5 20

-1 9 20

40

B

0 6

3 100

6 12 100

C

2

60

8 7

4

90

150

DEMANDA

60

120

110

290

U1=0

U1+V2=5 V2=5

U1+V3=9 V3=9

U2+V2=3 U2=-2

U3+V1=2 V1=7

U3+V3=4 U3=-5

U1=0

U2=-2

U3=-5

V1=7

V2=5

V3=9

E11= C11-(U1+V1)

E11=8-(0+7)

E11= 1

E21= C21-(U2-V1)

E21=6-(-2+7)

E21= 1

E23= C23-(U2+V3)

E23=12-(-2+9)

E23= 5

E32= C32-(U3+V2)

E32=7-(-5+5)

E32= 7

1

2

3

OFERTA

1

20

20

40

2

100

100

3

60

90

150

DEMANDA

60

120

110

290

VO=1060

3.-

1

2

3

OFERTA

1

50

50

2

25

150

175

3

25

100

125

DEMANDA

75

175

100

350

RUTA EN USO COSTO ECUACIÓN

11

21 22 32 33

6

7 5 5 2

U1+V1=6

U2+V1=7 U2+V2=5 U3+V2=5 U3+V3=2

5 8 9

6 3 12

2 7 4

3 6 2

7 5 9

4 5 2

U1=0

U1+V1=6 V1=6

U2+V1=7 U2=1

U2+V2=5 V2=4

U3+V2=5 U3=1

U3+V3=2 V3=1

U1=0

U2=1

U3=1 V1=6

V2=4 V3=1

E12= C12-(U1+V2)

E12=3-(0+4)

E12= -1

E13= C13-(U1+V3)

E13=2-(0+1)

E13= 1

E23= C23-(U2+V3)

E23=9-(1+1)

E23=7

E31= C31-(U3+V1)

E31=4-(1+6)

E31= -3

1

2

3

OFERTA

1

50

-1

1

50

2

175

7

175

3

-3

25

100

125

DEMANDA

75

175

100

350

VO= 1450

4.-

1

2

3

OFERTA

A

80

80

B

20

140

160

C

10

180

190

DEMANDA

100

150

180

430

RUTA EN USO COSTO ECUACIÓN

11 21

22 32

33

8 4

9 8

7

U1+V1=8 U2+V1=4

U2+V2=9 U3+V2=8

U3+V3=7

U1=0

U1+V1=8 V1=8

U2+V1=4 U2=-4

U2+V2=9 V2=13

U3+V2=8 U3=-5

U3+V3=7 V3=12

U1=0

3 6 2

7 5 9

4 5 2

5 8 1

4 9 6

2 8 7

U2=-4

U3=-5

V1=8

V2=13

V3=12

E12= C12-(U1+V2)

E12=5-(0+13)

E12= -8

E13= C13-(U1+V3)

E13=1-(0+12)

E13= -11

E23= C23-(U2+V3)

E23=6-(-4+12)

E23= -2

E31= C31-(U3+V1)

E31=2-(-5+8)

E31= -1

1

2

3

OFERTA

1

-8

80

-11

80

2

100

60

-2

160

3 -1

10

180

190

DEMANDA

100

150

180

430

5 8 1

4 9 6

2 8 7

U1=0

U1+V2=5 V2=5

U2+V1=4 V1=0 U2+V2=9 U2=4

U3+V2=8 U3=3 U3+V3=7 V3=4

U1=0

U2=4

U3=3

V1=0 V2=5

V3=4

E11= C11-(U1+V1)

E11=8-(0+0)

E11=8

E13= C13-(U1+V3)

E13=1-(0+4)

E13= -3

E23= C23-(U2+V3)

E23=6-(4+4)

E23= -2

E31= C31-(U3+V1)

E31=2-(3+0)

E31= -1

1

2

3

OFERTA

1

8

-3

80

80

2

100

60

-2

160

5 8 1

4 9 6

3

-1

90

100

190

DEMANDA

100

150

180

430

U1=0

U1+V3=1 V3=1

U2+V1=4 V1=-3 U2+V2=9 U2=7

U3+V2=8 V2=2

U3+V3=7 U3=6

U1=0

U2=7

U3=6

V1=-3 V2=2

V3=1

E11= C11-(U1+V1)

E11=8-(0-3)

E11= 11

E12= C12-(U1+V2)

E12=5-(0+2)

E12= 3

E23= C23-(U2+V3)

E23=6-(7+1)

E23= -2

E31= C31-(U3+V1)

E31=2-(6-3)

E31= -1

2 8 7

1

2

3

OFERTA

1

11

3

80

80

2

100

-2

60

160

3

-1

150

40

190

DEMANDA

100

150

180

430

U1=0

U1+V3=1 V3=1

U2+V1=4 V1=-1

U2+V3=6 U2=5 U3+V2=8 V2=2

U3+V3=7 U3=6

U1=0

U2=5

U3=6 V1=-1

V2=2 V3=1

E11= C11-(U1+V1)

E11=8-(0-1)

E11= 9

E12= C12-(U1+V2)

E12=5-(0+2)

E12= 3

E22= C22-(U2+V2)

E22=9-(5+2)

5 8 1

4 9 6

2 8 7

E22= 2

E31= C31-(U3+V1)

E31=2-(6-1)

E31= -3

1

2

3

OFERTA

1

9

3

80

80

2

60

2

100

160

3

-3

40

150

190

DEMANDA

100

150

180

430

U1=0

U1+V3=1 V3=1 U2+V1=4 V1=-1

U2+V3=6 U2=5 U3+V1=2 U3=3

U3+V2=8 V2=5

U1=0

U2=5

U3=3 V1=-1

V2=5 V3=1

E11= C11-(U1+V1)

E11=8-(0-1)

E11= 9

E12= C12-(U1+V2)

E12=5-(0+5)

5 8 1

4 9 6

2 8 7

E12=0

E22= C22-(U2+V2)

E22=9-(5+5)

E22= -1

E33= C33-(U3+V3)

E33=7-(3+1)

E33= 3

1

2

3

OFERTA

1

9

0

80

80

2

-1 60

100

160

3

100

90

3

190

DEMANDA

100

150

180

430

U1=0

U1+V3=1 V3=1

U2+V2=9 V2=4 U2+V3=6 U2=5

U3+V1=2 V1=-2 U3+V2=8 U3=4

U1=0

U2=5

U3=5

V1=-2

V2=4

V3=1

E11= C11-(U1+V1)

5 8 1

4 9 6

2 8 7

E11=8-(0-2)

E11= 10

E13= C13-(U1+V3)

E12=5-(0+1)

E12= 4

E21= C21-(U2+V1)

E21=4-(5-2)

E21= 1

E33= C33-(U3+V3)

E33=7-(5+1)

E33= 1

1

2

3

OFERTA

1

80

80

2

60

100

160

3

100

90

190

DEMANDA

100

150

180

430

VO=2140

5.-

1

2

3

OFERTA

1

100

100

2

50

50

100

3

100

100

200

5 8 1

4 9 6

2 8 7

5 7 3

2 3 9

5 4 1

DEMANDA

150

150

100

400

RUTA EN USO COSTO ECUACIÓN

11 21 22 32 33

7 2 3 4 1

U1+V1=7 U2+V1=2 U2+V2=3 U3+V2=5 U3+V3=1

U1=0

U1+V1=7 V1=7

U2+V1=2 U2=-5

U2+V2=3 V2=8

U3+V2=5 U3=-3

U3+V3=1 V3=4

U1=0

U2= -5 U3=-3

V1=7

V2=8

V3=4

E12= C12-(U1+V2)

E12=5-(0+8)

E12= -3

E13= C13-(U1+V3)

E13=3-(0+4)

E13= -1

E23= C23-(U2+V3)

E23=9-(-5+4)

E23= 10

E31= C31-(U3+V1)

E31=5-(-3+7)

E31= 1

1

2

3

OFERTA

1

50

-3

50

-1

100

2

100

10

100

3 1

100

100

200

DEMANDA

150

150

100

400

U1=0

U1+V1=7 V1=7

U1+V2=5 V2=5

U2+V1=2 U2=-5 U3+V2=4 U3=-1

U3+V3=1 V3= 2

U1=0

U2=-5

U3=-1 V1=7

V2=5

V3=2

E13= C13-(U1+V3)

E13=3-(0+2)

E13= 1

E22= C22-(U2+V2)

E22=3-(-5+5)

E22= 3

E23= C23-(U2+V3)

5 7 3

2 3 9

5 4 1

E23=9-(-5+2)

E23= 12

E31= C31-(U3+V1)

E31=5-(-1+7)

E31= -1

1

2

3

OFERTA

1

100

1

100

2

100

3

12

100

3

-1

50

50

100

200

DEMANDA

150

150

100

400

U1=0

U1+V2=5 V2=5

U2+V1=2 U2=-4

U3+V1=5 V1=6 U3+V2=4 U3=-1

U3+V3=1 V3=2

U1=0

U2=-4 U3=-1

V1=6

V2=5

V3=2

E11= C11-(U1+V1)

E11=7-(0+6)

E11= 1

E13= C13-(U1+V3)

E13=3-(0+2)

5 7 3

2 3 9

5 4 1

E13= 1

E22= C22-(U2+V2)

E22=3-(-4+5)

E22= 2

E23= C23-(U2+V3)

E23=9-(-4+2)

E23= 11

1

2

3

OFERTA

1

100

1

100

2

100

3

12

100

3

-1

50

50

100

200

DEMANDA

150

150

100

400

REGLAS DE DERIVADAS

SUMA

PRODUCTO POR UN NÚMERO

PRODUCTO

COCIENTE

COMPOSICIÓN

(Regla de la cadena)

POTENCIA

5 7 3

2 3 9

5 4 1

TRIGONOMÉTRICA

FUNCIONES

ARCO

(Inversa o recíproca

de las trigonométricas)

EXPONENCIALES

LOGARÍTMICAS

PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA

La programación cuadrática (QP) es el nombre que se le da a un procedimiento

que minimiza una función cuadrática de n variables sujeta a m restricciones

lineales de igualdad o desigualdad. Un programa cuadrático es la forma más

simple de problema no lineal con restricciones de desigualdad. La importancia de

la programación cuadrática es debida a que un gran número de problemas

aparecen de forma natural como cuadráticos (optimización por mínimos

cuadrados, con restricciones lineales), pero además es importante porque aparece

como un su problema frecuentemente para resolver problemas no lineales más

complicados. Las técnicas propuestas para solucionar los problemas cuadráticos

tienen mucha similitud con la programación lineal.

Específicamente cada desigualdad debe ser satisfecha como igualdad. El

problema se reduce entonces a una búsqueda de vértices exactamente igual que

se hacía en programación lineal.

Consiste en maximizar o minimizar una función a través de un modelo matemático

extraído de un problema real que posea cualquier organización.

La función que se va a minimizar o maximizar esto quiere decir la manera óptima

en que un problema puede ser resuelto y esto a su vez minimiza costos y

maximiza las ganancias. Estos problemas vienen dados por funciones objetivo que

son las que vamos a maximizar o minimizar y por algunas restricciones dadas por

el contexto del problema, las restricciones pueden ser con o sin potencia, es decir,

con exponente o sin él.

RAMIFICACIÓN Y ACOTAMIENTO

Un método usado para resolver un problema de programación entera en el que los

nodos del árbol asociado se examinan de una manera sistemática tratando de

eliminar por consideración tantos nodos terminales como sea posible.

Con el método de ramificación y acotamiento, en vez de buscar los nodos

terminales directamente, comienza en el nivel superior del árbol y procede de

nodo en nodo hacia la base del árbol y los nodos terminales. En cada nodo, se

resuelve el programa lineal asociado. Sobre la base de esta solución, se toma una

decisión respecto a que nodos del árbol, si los hay, pueden eliminarse para otras

consideraciones, lo que reduce el número de nodos terminales que necesitan

examinarse.

CARACTERÍSTICAS CLAVES

Si un problema de programación lineal en un nodo es infactible, entonces

también lo es el problema entero asociado en ese nodo, así como todos los

problemas asociados con los nodos debajo del actual.

Si el programa lineal actual tiene una solución óptima, entonces el valor

óptimo de la función objetivo del problema entero correspondiente, así

como de cualquier programa lineal o entero asociado con un nodo debajo

del actual, no puede exceder el del actual.

Mientras más lejos se fije el valor de una variable de su valor en la solución

óptima de un programa lineal, peor será el valor de la función objetivo

óptima del programa lineal asociado

Una vez que un problema de programación lineal es infactible para un valor

entero fijo de una variable mayor (menor) que su valor óptimo en el

programa lineal, todos los valores mayores (menores) de esta variable

originan problemas de programación lineal infactibles.

Si el programa lineal en un nodo es ilimitado, el problema de programación

entera es ilimitado o infactible.

EJEMPLO

Paso 1

En primer lugar no se considera la restricción de que las variables deben ser

enteras y se busca el óptimo, con el método simplex.

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 3𝑥1 + 4𝑥2

S.A

2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6

2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 9

𝑥1,𝑥2 ≥ 0

Paso 2

Con la solución óptima (ej. X=a, Y=b), se comienza a realizar la ramificación del

problema

Se escoge una variable X del problema cuya solución no sea entera (no las de

holgura), y se ramifica (agrega una restricción)

Por un lado haciendo que X ≤ [a] y por la otra rama X ≥ [a]+1

P0

𝑋1∗ =

9

4

𝑋2∗ =

3

2

𝑍 = 12.75

𝑥1 ≤ 2 𝑥1 ≥ 31

P1

𝑥1 = 2

𝑥2 =5

3

𝑍 = 12.667

Se coge la parte entera de 9

4 en este

caso es 2 dado que al dividir 9 % 4 =

2.25

Por lo tanto el problema queda de la siguiente forma 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 3𝑥1 + 4𝑥2

S.A 2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6

2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 9 𝑥1 ≤ 2

𝑥1,𝑥2 ≥ 0

Aplicando X ≥ [a]+1 para la otra rama, entonces quedara en 𝑥1 ≥ 3

Por lo tanto el problema queda de la siguiente forma

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 3𝑥1 + 4𝑥2

S.A 2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6

2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 9

𝑥1 ≥ 3

𝑥1,𝑥2 ≥ 0

Hacemos que 𝑥1 = 2

Reemplazamos en las restricciones 2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6

2 ∗ 2 + 𝑥2 ≤ 6 𝑥2 ≤ 6 − 4

𝑥2 ≤ 2

Hacemos que 𝑥1 = 3

Reemplazamos en las restricciones y conseguimos que:

𝑋2 ≤ 0

𝑋2 ≤ 1

P2 𝑥1 = 3

𝑥2 = 0

𝑍 = 9

2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 9

2 ∗ 2 + 3𝑥2 ≤ 9

3𝑥2 ≤ 9 − 4

𝑥2 ≤5

3

Teniendo estos valores se halla el nuevo Z De la siguiente manera

(3*2) + (4*5

3) = 12.667

Volver a Calcular el nuevo valor Z (3*3) + (4+0) = 9

Se encuentra con una variable entera (Z=9), pero aun no podemos utilizar esta

solución como la óptima dado que la solución objetivo de la primera rama es

mayor, por lo tanto se debe seguir ramificando por P1.

Paso 3

Como 𝑋1tiene valor entero tomamos 𝑋2

P1 𝑥1 = 2

𝑥2 =5

3

𝑍 = 12.75

𝑋2 ≤ 1 𝑋2 ≥ 2

P3 𝑥1 = 2

𝑥2 = 1

𝑍 = 10

P4

𝑥1 =3

2

𝑥2 = 2

𝑍 = 12.50

Se coge la parte entera de 5

3 en este

caso es 1 dado que al dividir 5 % 3 =

1.667

La primera restricción que se agrega es 𝑋1 ≤ 1

La restricción que se agrega ahora es 𝑋2 ≥ 2

Se toma el problema anterior con la restricción de P1 la cual era 𝑋1 ≤ 2 y

además agregar la restricción de 𝑋2 ≤ 1 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 3𝑥1 + 4𝑥2

S.A 2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6 2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 9

𝑥1 ≤ 2

𝑥2 ≤ 1

𝑥1,𝑥2 ≥ 0

Como la restricción que se agrego es 𝑋2 ≤ 1 se asume que 𝑋2 toma el valor

de 1 y estos se remplazan en las restricciones anteriores quedando que:

𝑋1 ≤5

2

𝑋1 ≤ 3

𝑋1 ≤ 2

Por lo tanto el valor mayor que puede tomar la variable 𝑋1 es 2 y 𝑋2 es 1

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 3𝑥1 + 4𝑥2

S.A 2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6

2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 9

𝑥1 ≤ 2 𝑥2 ≥ 2

𝑥1,𝑥2 ≥ 0

Por lo tanto decimos que 𝑋2 = 2

Reemplazamos en las restricciones quedando 𝑋1 ≤ 2

𝑋1 ≤3

2

𝑋1 ≤ 2

Hallar el nuevo valor de Z (3*2) + (4+1) = 10

Hallar el nuevo valor de Z

(3*3

2) + (4*2)=12.50

En este caso no se encuentra una solución entera pero la función objetivo aun es

mayor a la solución entera encontrada en P3 por lo tanto se debe seguir

ramificando con P4

Paso 4

𝑋1 ≤ 1 𝑋1 ≥ 2

Dado que 𝑥1 la variable que no tiene

valores enteros, se debe ramificar por ahí. Se agrega la restricción 𝑋1 ≤ 1

La restricción que se agrega ahora es 𝑋2 ≥ 2

La función objetivo y el problema de programación lineal queda con sus restricciones originales 𝑥1 ≤ 2 que fue agregada antes de P1, 𝑥2 ≥ 2

agregada antes que P4 y 𝑥1 ≤ 1 que

fue agregada reciente 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 3𝑥1 + 4𝑥2

S.A 2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6

2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 9 𝑥1 ≤ 2

𝑥2 ≥ 2

𝑥1 ≤ 1

𝑥1,𝑥2 ≥ 0

Se dice que 𝑥1 = 1

Reemplazamos obteniendo 𝑥2 ≤ 4

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 3𝑥1 + 4𝑥2

S.A 2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6

2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 9

𝑥1 ≤ 2 𝑥2 ≥ 2

𝑥1 ≥ 2

𝑥1,𝑥2 ≥ 0

Se dice que 𝑥1 = 2

Reemplazando obteniendo

𝑥2 ≤ 2

𝑥2 ≤5

3

𝑥2 ≥ 2

En este caso el valor que 𝑥2 no se

puede determinar puesto que no hay

P4

𝑥1 =3

2

𝑥2 = 2

𝑍 = 12.5

P5 𝑥1 = 1

𝑥2 =7

3

𝑍 = 12.333

P6 𝑥1 = 2

𝑥2 =?

𝐼𝑛𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒

𝑥2 ≤7

3

𝑥2 ≥ 2

una intersección

Entre las inecuaciones dadas, esto se conoce como problema infactible.

Hallar el nuevo valor de Z

(3*1) + (4+7

3) = 12.333

Problema infactible Esta Rama se termina aquí, no se

puede seguir realizando.

Solo se debe continuar con la rama P5

Paso 5

𝑋2 ≤ 2 𝑋2 ≥ 3

P5 𝑥1 = 1

𝑥2 =7

3

𝑍 = 12.333

P7 𝑥1 = 1

𝑥2 = 2

𝑍 = 11

P8

𝑥1 = 0

𝑥2 = 3

𝑍 = 12