Investigación en matemáticas: Problemas inversos - Leyter Potenciano

Curso Internacional de Ciencia y Tecnología

Curso de Ciencias Para Profesores Julio 2013

20 de Julio 2013

Universidad Ricardo Palma

Organizado por:

Científicos Peruanos Jóvenes en el Perú y el Extranjero

Centro de Preparación para la Ciencia y Tecnología

Universidad Ricardo Palma

http://escueladeciencias.hol.es

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IntroduccionProblemas Inversos

¿Donde surgen los problemas inversos?¿Como abordar un problema inverso?

Tomografıa computarizadaEl problema de Calderon

Trabajo actual y futuro

Investigacion en Matematicas: Problemas Inversos

Leyter Potenciano Machado

Supervisor:Alberto Ruiz Gonzalez

Universidad Ricardo Palma20 de julio 2013

Leyter Potenciano Machado Investigacion en Matematicas





Outline1 Introduccion2 Problemas Inversos3 ¿Donde surgen los problemas inversos?

En MedicinaEn Geofısica, Astronomıa, etc.

4 ¿Como abordar un problema inverso?5 Tomografıa computarizada6 El problema de Calderon

Planteamiento del problemaCorazon del problemaEstudio del Problema

7 Trabajo actual y futuroPlanteamiento del problemaCorazon del problemaResultados conocidosLeyter Potenciano Machado Investigacion en Matematicas





Integrantes del grupo de Analisis Armonico de la UAM






Ejemplos cotidianos de problemas inversos

¿Como obtener una buena fruta?

1 Una sandıa.

2 Un melon.

3 Una granadilla, etc.






Posibles experimentos

1 Tocar la fruta.

2 Oler la fruta.

3 Observar el color de la fruta (madura, inmadura), etc.







1 Tocar la fruta.

2 Oler la fruta.








1 Tocar la fruta.

2 Oler la fruta.







En la naturaleza (Eco-localizacion). Onda sonora - Eco

1 Los murcielagos.

2 Los delfines.

3 Los submarinos, etc.







1 Los murcielagos.

2 Los delfines.








1 Los murcielagos.

2 Los delfines.








1 Los murcielagos.

2 Los delfines.







¿Que es un problema inverso?

A groso modo, se dice problema inverso a aquel modelo en elcual los valores de ciertos parametros deben ser obtenidos pormediciones y observaciones.







1. Ecografıa. Fenomeno fısico: Propagacion de una ondamecanica (ultra-sonido) y la medicion es el tiempo de eco.







1. Ecografıa. Fenomeno fısico: Propagacion de una ondamecanica (ultra-sonido) y la medicion es el tiempo de eco.







2. Tomografıa computarizada. Fenomeno fısico: Rayos Xatravesando un cuerpo y se puede reconstruir e identificar zonasdonde estos rayos X se atenuan.







2. Tomografıa computarizada. Fenomeno fısico: Rayos Xatravesando un cuerpo y se puede reconstruir e identificar zonasdonde estos rayos X se atenuan.







3. Resonancia magnetica. Fenomeno fısico: Emision de ondasmagneticas y se mide la atenuacion de estas.







4. Tomografıa de impedancia magnetica. Fenomeno fısico:Utilizando mediciones de voltaje y corriente en la superficie(frontera) de una parte del cuerpo del paciente, se trata derecuperar la conductividad electrica del organo analizado.







1 Exploracion geologica.

2 Imagenes sısmicas.

3 Geo radar.







Interdisciplinar

Primera conclusion: En problemas inversos se entrelazan unacantidad considerable de disciplinas: Matematicas, Fısica,Medicina, Biologıa, Ingenierıa, Computacion, etc.






1 ¿Que experimento realizar?.

2 ¿Como obtenemos informacion haciendo mediciones en elexterior o la frontera?.

3 ¿Como usar nuestras mediciones para obtener la informaciondeseada?.

4 ¿Cuan confiable es nuestro metodo?.






Tomografıa computarizada

Mediante una fuente de rayos X se emite un haz (en distintasdirecciones), y a medida que atraviesa el cuerpo este se vaatenuando mediante absorcion o convirtiendose en electricidad y setrata de recuperar un parametro µ(x) que mide cuanto decae elrayo X en la posicion x .






Observacion: Rayos X

Mediante una fuente de rayos X se emite un familia de haz en unadireccion y se mide la atenuacion de los rayos mediante undetector. Con este metodo los puntos en una misma lınea sonindistinguibles.






Un experimento: ¿Cuantas pepas hay en una sandıa?

Por dos metodos: Rayos X y Tomografıa Computarizada.







Tomografıa de impedancia magnetica

Denotemos por B un cuerpo que ocupa un espacio Ω ⊂ R3







1 Sea γ(x) la conductividad electrica de B.

2 γ es estrictamente positiva, es decir γ(x) > 0 para todox ∈ Ω.

3 El potencial u(x) en Ω con voltaje f satisface la siguienteecuacion diferencial:

div (γ(x)∇u) = 0 en Ω,u = f en ∂Ω.

(1)

4 Consideramos el mapa de Dirichlet-Neumann ∧γ como

f −→ ∧γf :=

(γ∂u

∂n

)|∂Ω

(2)







Corazon del problema

El problema de Calderon consiste en la recuperacion de laconductividad electrica γ(x) a partir del mapa deDirichlet-Neumann,

∧ : γ −→ ∧γ (3)







Para el estudio del problema inverso de Calderon, y en general enlos problemas inversos, surgen las siguientes preguntas naturales:

1 Identificalidad. Inyectividad del mapa de Dirichlet-Neumann∧.

2 Estabilidad. Continuidad de ∧, y en caso exista, tambien lade su inversa ∧−1.

3 Caracterizacion. Determinacion tanto del dominio como elrango de ∧.

4 Reconstruccion teorica. Formula para recuperar ∧ a partirde ∧γ .

5 Reconstruccion numerica. Construccion de un algoritmonumerico que permita aproximar los valores de γ.






















































Planteamiento del problemaCorazon del problemaResultados conocidos

Problema inverso de la elasticidad

Denotemos por B un cuerpo que ocupa un espacio Ω ⊂ R3. Estecuerpo es elastico, homogeneo e isotropico.

1 Una deformacion en B es una aplicacion d , de clase C 1 de Ωen R3.

2 Se define el desplazamiento u(x) = d(x)− x .

3 Si el desplazamiento producido por una deformacion sobre lafrontera del cuerpo viene dado por f , entonces u verifica:

Lu := div (λ (∇ · u) I + 2µsym (∇u)) = 0 en Ω,u = f en ∂Ω.

(4)













(4)













(4)













(4)







Analogamente al problema de Calderon, consideramos el mapa deDirichlet-Neumann asociado ∧, definido por:

〈∧f , g〉 =

∫Ωλ(∇ · u)(∇v) + 2µsym(∇u) · sym(∇v)dx , (5)

donde u es solucion de (4) y v es una extension de g .







Corazon del problema

Sean ∧1 y ∧2 los mapas de Dirichlet-Neumann asociados a losparametros de Lame (λ1, µ1) y (λ2, µ2), respectivamente. ¿Si∧1 = ∧2, entonces (λ1, µ1) = (λ2, µ2)?.







Resultados conocidos

1 Nakamura y Uhlman, 1995. El mapa de Dirichlet-Neumann∧, determina la derivada normal de u, y de todos los ordenesen la frontera.

2 Nakamura y Uhlman, 1995, 2002. Bajo la condicion|∇µ|C k−1(Ω) < ε(B), para k suficientemente grande, seobtiene la igualdad local de los parametros de Lame.

Problema general

Aun abierto.










Problema general

Aun abierto.










Problema general

Aun abierto.







Gracias


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